Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica -...

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Slide 1 Sinais e Sistemas – LEB 2006/07 ©Jorge Dias

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Cap. 5- Rep. De Sinais por Exponenciais: Transformada Laplace

Slide 1 Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM

Sinais e Sistemas - LEF 2008/09 © Jorge Dias

Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

Sinais e Sistemas Licenciatura em Engenharia Física

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra


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Tópicos:

Representação de Sinais por Funções Contínuas no Tempo: Transformada de Laplace

  Introdução

 Transformada de Laplace

 Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades

 Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace

 Propriedades da Região de Convergência

 A Função de Transferência

 Causalidade e Estabilidade

 Resposta em Frequência



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Introdução : A transformada de Laplace permite a caracterização de SLITs e é

especialmente adequada para analisar sistemas que envolvam sinais contínuos no tempo que não sejam absolutamente integráveis.

A transformada de Laplace, em semelhança à FT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs.

Caracterizando um SLIT usando a transformada de Laplace, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Laplace do sinal de entrada pela transformada de Laplace da resposta a impulso do sistema.

A transformada de Laplace é expressa de duas formas:

Unilateral – adequada para obter soluções de equações diferenciais com condições iniciais.

Bilateral – adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas.

A transformada de Laplace permite caracterizar funções próprias de um sistema

Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado à entrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente à entrada, mas modificado por um escalar.




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Transformada de Laplace : Se é uma exponencial complexa com frequência complexa

A é um co-seno

exponencialmente amortecido

A é um seno

exponencialmente amortecido

Em ambos os casos o valor de é considerado negativo.



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Transformada de Laplace : A função própria

Considerando um SLIT com resposta a impulso e ao qual é aplicado um sinal de entrada

Definindo a função de transferência

Podendo ser expresso por

Função Própria Valor Próprio




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Transformada de Laplace : Sendo

Com podemos reescrever a equação

O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada

-  Alterado em amplitude e fase

-  Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento



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Transformada de Laplace : Representação da Transformada:

Utilizando e utilizando como variável de integração

Que mostra que é a transformada de Fourier do sinal

Considerando um sinal arbitrário a relação anterior é mantida, sendo a transformada de Laplace definida através de

com




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Transformada de Laplace : Representação da Transformada:

O sinal pode ser recuperado pela transformada inversa de Fourier

Usando a mudança de variável e

Com os limites do integral ajustados à mudança de variável.

A transformada inversa vem Par da Transformada



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Transformada de Laplace : Convergência:

A condição necessária para a convergência da transformada de Laplace é a convergência do integral de que se expressa por

A gama de valores de para a qual a transformada de Laplace converge designa-se região de convergência (ROC).

Fourier não convergente Laplace é convergente

Vantagem!




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Transformada de Laplace : Plano complexo (plano-S):

Se a transformada de Laplace de é convergente então a transformada de Fourier pode ser obtida da transformada de Laplace com (no plano-S corresponde ao eixo imaginário).

O eixo divide o plano-S em duas metades (semi-plano esquerdo e semi-plano direito).



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Transformada de Laplace : Polos e Zeros no plano-S:

A razão entre dois polinómios

é a forma mais comum da transformada de Laplace.

Polos

Zeros

Zeros

Polos




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Transformada de Laplace : Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal Causal

Determinar a transformada de Laplace do sinal

e desenhar no plano-S os respectivos zeros e os polos.

Sendo

Se então quando

A transformada não existe se .



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Transformada de Laplace : Exemplo: Transformada de Laplace de um Sinal

Determinar a transformada de Laplace do sinal

e desenhar no plano-S os respectivos zeros e os polos.




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Transformada de Laplace : Transformadas de Laplace de um Sinal



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Transformada de Laplace Unilateral: Se uma entrada é aplicada a um sistema é nula para então a saída

será também nula para . Nestes sistemas assumimos que o sinal é aplicado à entrada quando e é possível estudar o seu comportamento para com a transformada de Laplace Unilateral (baseada só na parte do sinal).

A transformada de Laplace Unilateral de um sinal define-se por

com

A transformada unilateral e bilateral são equivalentes para sinais nulos para .




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Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace

São similares às das transformada de Fourier

As transformadas de Laplace Unilateral e Bilateral partilham propriedades.

Sendo

Uma das propriedades é a linearidade

e a escala



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Transformada de Laplace Unilateral: As propriedades da transformada de Laplace Unilateral




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Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades

Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal de saída do circuito quando o sinal de entrada é

Como neste sistema as transformadas

unilaterais são iguais às bilaterais

utilizando as tabelas da transformada

obtemos

Considerando a propriedades da transformada

de Laplace para a convolução obtemos

h(t) é conhecida



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Transformada de Laplace Unilateral: Exemplo: Aplicação de Propriedades

Determinar a transformada de Laplace Unilateral do sinal

Utilizando as tabelas da transformada

Considerando que e

as propriedades da transformada unilateral

para a convolução obtemos




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Transformada de Laplace Bilateral: A transformada bilateral de Laplace envolve sinais com valores para

e para sendo expressa por

As propriedades da transformada bilateral podem alterar as propriedades da região de convergência (ROC) de um sinal composto de vários sinais.

A região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição de



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Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero

Considere o sinal e que podem ser compostos linearmente pela forma

A região de convergência (ROC) de cada sinal individual

cuja intercepção




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Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do cancelamento pólo-zero

Assumindo que os dois sinais são compostos da forma com e teremos

Neste caso a região de convergência alargou!

Porque os pólos e zeros se cancelaram



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Transformada de Laplace Bilateral: As propriedades da transformada de Laplace Bilateral




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Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Efeito do deslocamento temporal

Considerando o sinal

calcule a sua transformada.



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Transformada de Laplace Bilateral: Transformada de Laplace Inversa

Sendo a transformada de Laplace expressa pela razão de dois polinómios em S

com podemos inverte-la utilizando

Ou o par do lado direito

Ou o par do lado esquerdo

A ROC associada com determina a escolha do par esquerdo ou direito




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Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa

Considerando o sinal

calcule a sua inversa da transformada de Laplace bilateral.

Usando a expansão em fracções parciais

cuja região de convergência é



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Transformada de Laplace Bilateral: Exemplo: Transformada Inversa

Invertendo

para cada membro

Combinando os três termos




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A Função de Transferência : A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema

pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada

A função de transferência corresponde à razão entre a transformada de Laplace do sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada.

Esta definição aplica-se para valores de s em que

Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT

Então

o que permite facilitar a função transferência.



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A Função de Transferência : Considerando uma equação diferencial expressa por

Se então

sendo

então




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A Função de Transferência : Exemplo: Função Transferência de Um Sistema de 2ª Ordem

Considerando a equação diferencial de um sistema de 2ª ordem

Determine a sua função de transferência.

Usando a expressão



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Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-S permitem analisar a resposta a

impulso de um sistema.

Factos:

Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para .

Um pólo em do semi-plano esquerdo do plano-S contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso.

Um pólo em do semi-plano direito do plano-S contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso.

Se um sistema é estável então a resposta a impulso é integrável e isso implica que exista transformada de Fourier. Logo o deverá estar incluído na região de convergência (ROC).




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Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-S permitem analisar a resposta a

impulso de um sistema.

Os sistemas estáveis e causais devem ter os seus pólos no semi-plano esquerdo do plano-S.



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Resposta em Frequência: A localização dos pólos e zeros no plano-S permitem analisar a

resposta em frequência de um sistema.

A resposta em frequência é obtida a partir da função de transferência substituindo s por (que equivale a determinar a função de transferência ao longo do do plano-S.

Com substituído na expressão

Podemos analisar a resposta em amplitude para um valor fixo de frequência, por exemplo




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Resposta em Frequência:

Esta expressão envolve a razão entre produtos de termos da forma em que é um pólo ou um zero

O factor é um número complexo cujo comprimento é dado por .

O comprimento do vector altera à medida que se altera.

Isso mostra a contribuição de cada pólo ou zero na resposta em amplitude.



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Resposta em Frequência: Os pólos ou zeros da função transferência têm influências diferentes na

amplitude da resposta em frequência

Zeros

Pólos




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Resposta em Frequência: A fase da resposta em frequência pode ser determinada pela fase

associada a cada pólo ou a cada zero.



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Resposta em Frequência: Se os pólos e zeros da função transferência são reais então a amplitude

da resposta em frequência pode ser expressa em dB (diagrama de Bode).

com




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Sumário

o Transformada de Laplace

o Transformada de Laplace Unilateral e suas Propriedades

o Propriedades da Transformada Bilateral de Laplace

o Propriedades da Região de Convergência

o A Função de Transferência

o Causalidade e Estabilidade

o Resposta em Frequência



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