LTCAT & ART Engenharia de Segurança do Trabalho CEUNES / UFES.
Cap 4 - Rejane - MEC SOLIDOS - Ceunes 2013 2_sem 1- Slide-pag
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Cap. 4 Resultantes de umsistema de foras
Referncias: Esttica: Mecnica para Engenharia. HIBBELER. 12 ed.,
Pearson. Mecnica para Engenharia: Esttica. MERIAM & KRAIGE, 6 ed.,
LTD.
Profa Rejane de Castro Santana
-
MOMENTO (M0) / TORQUE: definio
Tendncia rotao de um corpo em torno
de um ponto ou eixo quando uma fora
aplicada;
O ponto no deve interceptar a linha de
ao da fora;ao da fora;
Intensidade de M0 proporcional :
Intensidade da FORA aplicada;
DISTNCIA perpendicular d;
d: brao da alavanca, distncia perpendicular
do eixo at a linha de ao da fora.
-
MOMENTO (M0): intensidade
Anlise das Figuras de acordo com a direo
de aplicao das foras: O que mais
eficiente?
d=d sen
Intensidade de M Intensidade de M0
M0 = Fd
d: brao do momento, distncia perpendicular
do eixo at a linha de ao da fora.
Unidades de M0:
N.m;
lb.ft
-
MOMENTO (M0): direo e sentido
Direo: em torno do eixo que passa pelo
ponto O, e perpendicular ao plano que
contem a fora F e o brao do momento d;
Sentido: Regra da mo direita:
Os dedos indicam a tendncia
rotao;
O polegar direito indica o sentido de M0;
O vetor M0: representado por uma
seta curva;
-
MOMENTO (M0) resultante
Sistemas bidimensionais: adio algbrica
dos momentos causados no sistema por
todas as foras;
Conveno: Conveno:
+ : sentido anti-horrio, positivo no eixo z
- : sentido horrio;
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EXEMPLO
Determine o momento da fora em relao ao ponto O
para cada caso:
-
EXEMPLO
Determine o momento resultante das 4 foras em relao
ao ponto O:
-
EXEMPLO: Determine o momento resultante das 4 foras
em relao ao ponto O:
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MOMENTO (M0): produto vetorial
Produto vetorial de 2 vetores A e B:
C = A B
C igual a A vetor B
Intensidade de C: C = A B sen Intensidade de C: C = A B sen
Direo:
perpendicular ao plano que contem A e B;
Regra da mo direita
C = A B = (A B sen) uc
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MOMENTO (M0): produto vetorial
C = A B
Intensidade de C: C = A B sen
Direo: C = A B = (A B sen) uc
Propriedades:
Comutativa (no vlida):
A B = - B A
Multiplicao por um escalar:
a(A B) =(aA) B =A (aB) = (A B)a
Distributiva:
A (B + D) = (A B) + (A D)
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MOMENTO (M0): produto vetorial
C = A B
Intensidade de C: C = A B sen
Direo: C = A B = (A B sen) uc
Formulao do vetor cartesiano:
i j : i j :
Intensidade: (i) (j) (sen 90) = (1) (1) (1) = 1
Direo: regra da mo direita: +k
Assim: i j = (1) k
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MOMENTO (M0): produto vetorial
C = A B
Intensidade de C: C = A B sen
Direo: C = A B = (A B sen) uc
Formulao do vetor cartesiano:
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MOMENTO (M0)
Produto vetorial
M0 = r F
r: vetor de posio que vai do ponto de referncia do
momento (O) a qualquer ponto na linha de ao de F;
Intensidade de M : Intensidade de M0:
M0 = r F sen = F r sen = F d
Princpio da Transmissibilidade
M0 = r1 F = r2 F = r3 F
F : vetor deslizante
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MOMENTO (M0): Formulao do vetor cartesiano
Problemas tridimensionais:
rx, ry, rz: componentes x, y, z do vetor
posio definido do ponto O at qualquer
ponto sobre a linha de ao da fora;
Visualizao dos momentos gerados por cada fora !
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MOMENTO (M0): Teorema de Varignon
Princpio dos momentos: o momento de uma fora em
relao a um ponto igual soma dos momentos das
componentes em relao ao mesmo ponto.
Problemas bidimensionais: Decompoe-se a fora F em Fx
e Fy, e calcula-se o momento de cada componente:
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EXEMPLO:
Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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EXEMPLO:
Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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EXEMPLO:
Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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EXEMPLO: Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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EXERCCIO:
Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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EXERCCIO:
Determine o momento da fora F em relao ao ponto O.
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MOMENTO (M0) de uma fora em relao a um eixo
Ex. : Fora aplicada a chave para soltar a porca do pneu;
O que importa?
Momento em torno do eixo y! (a porca s gira em torno do eixo y)
Anlise escalar: My = F dy = F (d cos)
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Anlise vetorial:
1: Calculo do momento da fora em relao a qualquer
pomto O que passe pelo eixo (y): M0 = r F
2: My projeo de M0 no eixo y
Produto triplo escalar
MOMENTO (M0) de uma fora em relao a um eixo
My = j.M0 = j. (r F)
Para um eixo qualquer:
Ma = ua.M0 = ua. (r F)
M a = Ma ua
-
Exemplo: Determine o momento resultante das 3 foras em
relao ao eixo x, y e z.
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M a = Ma ua
EXERCCIO: Determine o momento MAB produzido pela
fora F que tende a girar o tubo em relao ao eixo AB.
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M a = Ma ua
EXERCCIO: Determine o momento MAB produzido pela
fora F que tende a girar o tubo em relao ao eixo AB.
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MOMENTO (M) de um binrio
Binrio: 2 foras paralelas de mesma intensidade e direes
opostas;
Fr= 0
Mr 0: binrio produz uma tendncia do corpo a rotacionar
M = rB F + rA (-F) = (rB rA) F
Como rB =r + rA , ou (rB - rA )= r
M = r F
M = depende somente da distncia entre
as foras, um vetor livre;
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MOMENTO (M) de um binrio
Formulao escalar:
M = Fd
d: distancia perpendicular entre as linhas de ao das
foras;
Direo: regra da mo direita
Formulao vetorial:
M = r F
M = depende somente do vetor r, um vetor livre;
OBS: considere o momento das duas foras em relao a
um ponto situado na linha de ao de uma das foras!!!
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MOMENTO (M) de um binrio
BINRIOS EQUIVALENTES: binrios que produzem um
momento com a mesma intensidade e direo;
M = Fd = 30 . 0,4 = 12 N.m
M = Fd = 40 . 0,3 = 12 N.m
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MOMENTO (M) de um binrio resultante
Binrios so vetores;
A resultante de vrio binrio obtida atravs da soma vetorial;
Mr = (r F)
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Exemplo: Determine a intensidade e a direo do momento
binrio agindo sobre a engrenagem
OBS: M = Fd e M = r F
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Exemplo: Determine a intensidade e a direo do momento
binrio agindo sobre a engrenagem.
OBS: M = Fd e M = r F
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Exemplo: Substitua os 2 binrios agindo sobre a coluna de
tubo por um momento de binrio resultante.
OBS: M = Fd e M = r F
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Exemplo: Substitua os 2 binrios agindo sobre a coluna de
tubo por um momento de binrio resultante.
OBS: M = Fd e M = r F
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EXERCCIO
Dois binrios agem sobre a estrutura. Se d = 4 ft, determine o momento de
binrio resultante. Calcule o resultado o resultado decompondo cada fora
em componentes x e y e:
a) Encontrado o momento de cada binrio;
b) Somando os momentos de todas as componentes de fora em relao ao
ponto B.
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EXERCCIO
Dois binrios agem sobre a estrutura. Se d = 4 ft, determine o momento de
binrio resultante. Calcule o resultado o resultado decompondo cada fora
em componentes x e y e:
a) Encontrado o momento de cada binrio;
b) Somando os momentos de todas as componentes de fora em relao ao
ponto B.
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Simplificao de um sistema de foras e binrio
Substituio so sistema de foras e momentos binrios por um
sistema equivalente: FR + M
mantem mesmos efeitos externos:
efeitos de rotao e translao (corpo livre);
foras de reao (corpo em repouso);
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Simplificao de um sistema de foras e binrio
Substituio so sistema de foras e momentos binrios por um
sistema equivalente: FR + M
Princpio da transmissibilidade: fora F um vetor deslizante,
pode ser aplicado em qualquer ponto de sua linha de ao;
A fora F tambm pode ser substituda por uma fora F que nao
esteja na mesma linha de ao + um momento binrio M:
F e -F formam momento binrio M (vetor livre), M=Fd
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Simplificao de um sistema de foras e binrio
Do mesmo modo, um sistema de vrias foras Fi
e momentos binrios Mi podem ser substituidos por
um sistema equivalente: FR + M
Na condio original:
M1 = r1 F1 M1 = r1 F1
M2 = r2 F2
Na condio final (carregamentos em O)
Fr= F1 + F2 = F
(MR)O = M + M1 + M2 = M0 + M
Lembre-se: M (momento binrio) um vetor livre,
ou seja, pode ser deslocado e no modificar as
reaes no sistema;
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EXEMPLO:
Substitua o sistema de foras e binrios por um sistema de
fora e momento binrio resultante equivalente agindo no
ponto O.
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EXEMPLO: Substitua o sistema de foras e binrios por um sistema
de fora e momento binrio resultante equivalente agindo no ponto O.
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EXEMPLO: O membro estrutural est sujeito a um momento de
binrio M e s foras F1 e F2. Substitua esse sistema por um sistema
de fora e momento de binrio resultante equivalente agindo no ponto
O.
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EXEMPLO:
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Simplificaes adicionais de um sistema de
foras e binrio
Para sistemas com linha de ao de FR e (MR)O
perpendiculares: o sistema pode ser reduzida a somente uma FR .
Sistemas de foras concorrentes;
Sistemas de foras coplanares; Sistemas de foras coplanares;
Sistema de foras paralelas;
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Simplificao adicional de um sistema de foras
e binrio
Sistemas de foras concorrentes:
Todas as linhas de fora interceptam no ponto O;
O sistema de foras no produz momento em relao ao
ponto O;
F = F Fr= F
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Simplificao adicional de um sistema de foras
e binrio
Sistemas de foras coplanares:
Todas as linhas de fora atuam no mesmo plano: as foras podem ser
substituidas por Fr = F
O momento de cada fora Fi est direcionado perpendicularmente ao
plano, totos Mi possuem mesma direo;i
A somatria dos momentos MO = (MR)O pode ser substituda por uma
Fr em uma distncia perpendicular d do ponto O, tal que Fr produza o
mesmo momento (MR)O , ou seja: (MR)O = Fr d ou d = (MR)O / Fr
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Simplificao adicional de um sistema de foras
e binrio
Sistemas de foras paralelas:
As foras paralelas podem ser substituidas por Fr = F na mesma
direo;
O momento Mi de cada fora Fi est no plano da chapa;
A somatria dos momentos MO = (MR)O pode ser substituda por umaO R O
Fr em uma distncia perpendicular d do ponto O, tal que Fr produza o
mesmo momento (MR)O , ou seja: (MR)O = Fr d ou d = (MR)O / Fr
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EXEMPLO: Substitua o sistema de foras e momentos de
binrio que agem sobre a viga por uma fora resultante
equivalente, Encontre onde sua linha de ao intercepte a
viga.
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EXEMPLO:
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EXEMPLO: Substitua o sistema de foras por uma fora
resultante equivalente e especifique seu ponto de aplicao.
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EXEMPLO:
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Reduo de carregamento distribudo simples
Ex. de carregamento distribudo:
Presso do vento sobre um edifcio;
Presso da gua em tanque;
P =F/A (N/m2 = Pa)
Carregamento uniforme de presso: p=p(x) N/m2
p = p(x) = F/(b.x)
W(x) = p(x) b (N/m)
Fr = p(x) b dx = W(x) dx = dA
Coplanar: o sistema de foras pode ser
substitudo por uma fora resultante FR que age em
uma posio especfica da barra, tal que provoque o
mesmo momento que o sistema original;FR : rea sob a curva
-
Reduo de carregamento distribudo simples:
POSIO DA FORA RESULTANTE
p=p(x) N/m2
W (x) = p(x) b (N/m)
Fr = p(x) b dx = W(x) dx
FR : rea sob a curva
FR: aplicada no centride da rea ou centro geomtrico:
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EXEMPLO: Determine a intensidade e a posio da
fora resultante equivalente que agem sobre a viga.
p=p(x) N/m2
W (x) = p(x) b (N/m)
Fr = p(x) b dx = W(x) dx
FR : rea dob a curva
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EXEMPLO: Determine a intensidade e a posio da
fora resultante equivalente que agem sobre a viga.
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EXERCCIO: Determine as intensidades w1 e w2 do
carregamento distribudo agindo na parte inferior da plataforma, de
modo que esse carregamento tenha uma fora resultante equivalente
igual mas oposta resultante do carregamento distribudo atuando
no topo da plataforma.
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EXERCCIO: Represente a resultante das 3 foras e do
momento binrio por uma fora equivalente Fr e um
momento binrio em A. Descreva M e a direo de Fr.
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EXERCCIO: Represente a resultante das 3 foras e do
momento binrio por uma fora equivalente Fr e um
momento binrio em A. Descreva M e a direo de Fr.