SistemasContinuos
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Vibraes Mecnicas
Sistemas Contnuos
DEMEC UFPERamiro Willmersdorf
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Sistemas Contnuos
Sistemas contnuos ou distribudos Equaes diferenciais parciais; Cabos, cordas, vigas, etc.; Membranas, placas, etc; Processo de anlise:
DCL de elemento infinitesimal; Equaes de equilbrio dinmico; Solues Harmnicas; Condies de contorno;
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Sistemas Contnuos
Caractersticas: Infinitas frequncias naturais; Infinitos modos normais; Vibrao livre: superposio dos modos normais;
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Sistemas Contnuos
Vibrao lateral de um cabo tenso
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Sistemas Contnuos
Equao de movimento
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Sistemas Contnuos
Para um elemento infinitesimal:
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Sistemas ContnuosIntroduzindo na eq. de equilbrio
Para um cabo uniforme, com tenso constante
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Sistemas ContnuosPara vibrao livre
Ou, na forma da Equao de Onda
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Sistemas Contnuos
Condies Iniciais e de Contorno Posio conhecida no tempo 0; Velocidade conhecida no tempo 0; Extremidades fixas ao longo de todo o tempo;
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Sistemas Contnuos
Condies Contorno Alternativa: Extremidades Pinadas; No suportam esforos transversais;
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Sistemas Contnuos
Condies Contorno Alternativa: Extremidade com apoio elstico;
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Sistemas Contnuos
Equao diferencial linear parcial, em x e t; Soluo pelo mtodo da separao de variveis; A soluo um produto de funes de x apenas e t
apenas;
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Sistemas Contnuos
Introduzindo na equao de onda;
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Sistemas Contnuos
Fazendo
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Sistemas Contnuos
As solues das equaes so
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Sistemas Contnuos
Para o cabo fixo em ambas as extremidades:
O que leva a:
e A=0 e B sin lc=0
W (0)=0 e W (l)=0
Para uma soluo no trivial sin
lc=0
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Sistemas Contnuos
Equao de frequncias ou caracterstica
: autovalores ou frequncias naturais
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Sistemas Contnuos
A soluo completa para uma frequncia especfica
wn (x ,t ):ensimo modo normalensimo hamnicoensimo modo de vibrao
Cn e Dn :constantes a serem determinadas
W n(x): ensimo modo normal
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Sistemas Contnuos
n=n c
l: frequncia circular do ensimo modo
1: frequncia fundamental
1=21 =
2 lc
: perodo fundamental
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Sistemas Contnuos
Os pontos para os quais
wn (x , t )=0, t0
so ns da corda.
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Sistemas Contnuos
A soluo geral dada pela superposio de todos os modos normais:
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Sistemas Contnuos
Para um determinado conjunto de condies iniciais:
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Sistemas Contnuos
Calculando as constantes:
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Sistemas Contnuos
Exemplo
Com velocidade inicial nula.
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Sistemas Contnuos
Obviamente:
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Sistemas Contnuos
A condio inicial :
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Sistemas Contnuos
Calculando os coeficientes de Fourier
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Sistemas Contnuos
Sabendo que
A soluo fica
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Sistemas Contnuos
Vibrao Longitudinal de Uma Barra
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Sistemas Contnuos
Foras que agem em uma seo
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Sistemas Contnuos
Equlbrio de Foras para um elemento
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Sistemas Contnuos
Para uma barra uniforme
No caso de vibrao livre
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Sistemas Contnuos
Esta equao uma equao de onda, completamente anloga quela da corda em vibrao lateral.
A soluo dada por
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Sistemas Contnuos
A funo U(x) depende de x apenas, e um modo normal, e T(t) depende apenas de t.
Condies Iniciais
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Sistemas Contnuos
Condies de contorno usuais e solues
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Sistemas Contnuos
Exemplo: CC no usuais
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Sistemas Contnuos
Na extremidade esquerda
Na extremidade direita
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Sistemas Contnuos
Os modos normais para a barra em vibrao longitudinal satisfazem
Isto conhecido como a ortogonalidade dos modos normais.
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Sistemas Contnuos
Verificao
Introduzindo na eq. de onda
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Sistemas Contnuos
Multiplicando cada equao pela outro modo
Subtraindo e integrando de 0 a l
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Sistemas Contnuos
O lado direito desta equao 0 para qualquer combinao de condies de contorno!Por exemplo, para uma barra fixa livre
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Sistemas Contnuos
Exemplo: Barra fixalivre em vibrao longitudinal
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Sistemas Contnuos
As frequncias naturais so dadas por
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Sistemas Contnuos
Soluo geral
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Sistemas Contnuos
Exemplo: Barra com massa concentrada
Condio de contorno fcil
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Sistemas Contnuos
Na outra extremidade, equilbrio de foras na massa
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Sistemas Contnuos
A eq. caracterstica uma equao transcedental que no tem solues analticas;
Para cada razo de massas, a equao tem infinitas solues (frequncias naturais) e os correspondentes modos normais;
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Sistemas Contnuos
Vibrao em Toro de Eixo ou rvore
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Sistemas Contnuos
O momento de toro em uma seo
O torque de inrcia no elemento infinitesimal
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Sistemas Contnuos
Segunda lei de Newton
Novamente
dM t=M t x dx
O que leva a
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Sistemas Contnuos
Para um eixo uniforme
Para vibrao livre
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Sistemas Contnuos
Se o eixo tem seo transversal uniforme
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Sistemas Contnuos
Condies Iniciais
Soluo Geral
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Sistemas Contnuos
Condies de contorno usuais e solues
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Sistemas Contnuos
Exemplo
Considerar a extremidade esquerda fixa
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Sistemas Contnuos
Soluo geral
CC: (0, t)=0 A=0
Para x=l
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Sistemas Contnuos
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Sistemas Contnuos
Vibrao Transversal de Vigas
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Sistemas Contnuos
Considerando teoria clssica de vigas esbeltas!
V (x , t): esforo cisalhanteM (x , t ): momento fletor
f (x , t) : fora externa por unidade de comprimento
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Sistemas Contnuos
Fora de inrcia no elemento de viga
Equilbrio de foras na direo vertical
Equilbrio de momentos em relao o O
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Sistemas Contnuos
Como sempre
As equaes de movimento tornam-se
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Sistemas Contnuos
Introduzindo a segunda eq. na primeira
Da teoria de Euler-Bernoulli
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Sistemas Contnuos
Para uma viga no uniforme ento
Se a viga uniforme
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Sistemas Contnuos
Para vibrao livre
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Sistemas Contnuos
2 ordem no tempo: 2 condies iniciais; 4 ordem no espao: 4 condies de contorno; Soluo por separao de variveis;
Condies iniciais:
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Sistemas Contnuos
Separao de variveis
Substituindo na eq. de movimento
O que leva a
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Sistemas Contnuos
A soluo geral da equao temporal
Para a eq. do espao, supomos
o que leva a
com razes
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Sistemas Contnuos
A soluo geral ento
Alternativamente
ou
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Sistemas Contnuos
As constantes devem ser determinadas a partir das condies de contorno!
As frequncias naturais saem de
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Sistemas Contnuos
Condies de contorno usuais
Extremidade livre: momento e cortante nulos
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Sistemas Contnuos
Extremidade pivotada: deslocamento e momento nulos
Extremidade engastada: deslocamento e rotao nulos
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Sistemas Contnuos
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Sistemas Contnuos
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Sistemas Contnuos
Exemplo: Viga fixa e simplesmente apoiada
Condies de Contorno
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Sistemas Contnuos
Da primeira condio
Da segunda condio
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Sistemas Contnuos
A soluo torna-se
Com as demais condies
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Sistemas Contnuos
Para uma soluo no trivial
Ou
Ou
As razes desta equao so calculadas numericamente!
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Sistemas Contnuos
Cujas solues so
Da primeira equao de movimento
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Sistemas Contnuos
Os modos normais de vibrao so
A soluo fica ento (para uma frequncia)
A soluo geral ento
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