Sistemas difusos

Dr. Hugo A. Banda Gamboa

CORDICYTAgosto, 2016

CONTENIDO

I. Teoría de los Conjuntos Difusos

II. Conjuntos Difusos

III. Operadores Difusos

IV. Lógica Difusa

V. Inferencia y Razonamiento Difuso

VI. Ejemplos de Sistemas Difusos

VII. Sistemas de Inferencia Neuro-Difusos Adaptativos (ANFIS)

VIII.Conclusión

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TEORÍA DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS


La Teoría de Conjuntos Difusos La Teoría de Conjuntos Difusos se refiere al

estudio de clases de objetos con fronteras indefinidas, de tal forma que las transiciones entre sus conjuntos son graduales antes que abruptas.

Su estudio incluye: Lógica difusa

Aritmética difusa

Programación matemática difusa

Topología difusa

Teoría de gráficos difusos

Análisis de datos difusos


La Teoría de Conjuntos Difusos Lotfi Zadeh (1965), a través de la Teoría de los

Conjuntos Difusos propuso una representación de

tipo lingüística antes que matemática para los

sistemas difusos. Los conjuntos difusos permiten

representar conceptos imprecisos.

Están basados en la premisa que los elementos

clave en el pensamiento humano no son solamente

números, sino que pueden ser representados,

aproximadamente, por clases de objetos cuyas

funciones de membrecía pueden tener transiciones

graduales entre ellas y traslaparse.

*Zadeh L A. Fuzzy Sets. Inform. and Control, Vol 8, 1965, pp 338-353


La Función de MembrecíaDefine cómo un punto en el espacio de

entrada (universo de lectura), es proyectado a un valor de membrecía (difusidad) comprendido entre 0 y 1.

La función de membrecía puede ser lineal por tramos o una curva continua de forma arbitraria, escogida de tal manera que satisfaga la naturaleza del problema que representa, desde el punto de vista de simplicidad, conveniencia, rapidez y eficiencia.


Difusidad La difusidad describe el grado de pertenencia o

membrecía de un elemento a un conjunto difuso. Es

una medida de cuan bien una instancia (valor)

conforma con un ideal semántico o concepto.

Un conjunto difuso tiene varias propiedades

intrínsecas que afectan la forma cómo es utilizado y

cómo participa en un modelo:

Función que describe la membrecía de los elementos del

conjunto difuso (lineal, triangular, trapezoidal, sigmoidal,

gaussiana, ...).

Dimensión vertical (altura, normalización).

Dimensión horizontal (dominio, umbral, conjunto válido y

universo de lectura )


Variables Lingüísticas

Una variable lingüística puede tener uno o más valores lingüísticos, que corresponden a los nombres de las funciones de membrecía (conjuntos difusos).

Los valores lingüísticos, pueden ser vistos como una forma de compresión de datos, que se la conoce como granulación.


CONJUNTOS DIFUSOS


Conjuntos Difusos Los conjuntos difusos relacionan un valor que

representa un miembro de un conjunto, a un número entre 0 y 1 que indica el grado de pertenencia () de ese miembro a dicho conjunto.

Un grado igual a 0 significa que el valor no está contenido en el conjunto, mientras que un grado igual a 1 implica que el valor es totalmente representativo del conjunto.

Estos dos extremos están unidos por una función continua que representa una transición gradual entre 0 y 1.


Conjuntos Difusos: Ejemplos


120 160 200PESO EN LIBRAS

Pesados

0

1

x

(x)

Conjunto Válido

Universo de Lectura

Umbral

30 70 110Temperatura en ºC

CONJUNTOS DIFUSOS

0

1

x

(x)

Universo de Lectura para Variable Temperatura

Fría Tibia Normal Caliente

LARGA

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 5 9 13 17 21 25

DURACIÓN DEL PROYECTO (Semanas)

GR

AD

O D

E P

ER

TE

NE

NC

IA

Idea de un Proyecto de Larga Duración

OPERADORES DIFUSOS


Operadores Difusos Unión

A B = Max(A[x], B[x])

Intersección

A B = Min(A[x], B[x])

Complemento

~A = 1- A[x]

Normalización

Norm(A) = A[x]/ Max(A[x])


Aplicación de Operadores Difusos


A

Norm(A)1

0

A ~A

1

0

A

B

1

0

A

B

A B

1

0

A B

Operadores Difusos Dilatación

Dil(A) = (A[x])1/2

Concentración

Con(A) = (A[x])2

Intensificación


Int (A)=2*(A[x])2 0.0 <A[x] 0.5

1 – 2*(1 - A[x])2 0.5 < A[x] 1.0

Aplicación de Operadores Difusos


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

ACon(A)

Dil(A) Int(A)

Calificadores Difusos

Las variables lingüísticas pueden tener asociados calificadores difusos que cambian la forma de la función de membrecía.

Actúan de igual manera que los adjetivos o adverbios: muy, bastante, más o menos, algo, casi, alrededor de, definitivamente, positivamente, ligeramente, extremadamente, ...


Calificadores y Operaciones Difusas


Calificador OPERACIÓN

A y B A B

A o B A B

No (A) ~A

Muy (A) Con(A)

Ligeramente(A) Dil(A)

Más o Menos (A) Norm(Int(Dil(A)) No(A))

Razonablemente (A) Con(Norm(Dil(Con(A) Int(Con(A)))

Cualquier Cosa Menos (A) Int(No(A))

Algo Como (A) Int(Dil(A))

Parecido a (A) Norm(Int(Dil(A)) Int(Dil(No(A)))

En Cierto Sentido (A) Norm(Int(A) No(A))

Estructura de una Variable Lingüística


VariableLingüística

CalificadoresDifusos

Conjuntos Difusos

LÓGICA DIFUSA


La Lógica Difusa Es la base para el desarrollo de una nueva

tecnología en el diseño de sistemas de inteligencia artificial embebidos en las áreas de procesos e ingeniería de control, con el beneficio de:

Reducción significativa del tiempo de desarrollo.

Modelación de sistemas no-lineales muy complejos.

Implantación de controles utilizando sensores y circuitos integrados más baratos.

Diseño e instalación de sistemas avanzados empleando ingenieros de control antes que científicos del control.


La Lógica Difusa Proporciona los medios para reducir y explicar la

complejidad de sistemas:

Mucho de la complejidad está relacionada con la forma en que las variables del sistema son representadas y procesadas.

Los humanos no razonamos en términos de símbolos discretos y números, sino en términos lógicos ambiguos, inciertos, inexactos e imprecisos.


La Lógica DifusaEs un cálculo de compatibilidad.

Trata de describir las características de propiedades que tienen valores que varían en forma continua asociando particiones de estos valores con un membrete semántico.

Mucho del poder descriptivo de la lógica difusa está asociado con el hecho de que esas particiones semánticas pueden traslaparse.


INFERENCIA Y RAZONAMIENTO DIFUSO


Inferencia Difusa Es un método que interpreta los valores de un

vector de entrada y, basado en un conjunto de reglas, asigna valores al vector de salida.


ReglasInterpretación

Asignación

Términos de

Entrada

Términos de

Salida

Reglas Difusas Las variables y la lógica difusa pueden ser utilizadas

en reglas difusas para hacer inferencias.

El razonamiento en sistemas difusos, se realiza a

través de proposiciones (reglas):

Los conjuntos difusos son los bloques constructivos

de las reglas difusas. En consecuencia, un sistema

difuso se puede considerar como una proyección o

función que transfiere alternativas de un espacio de

entrada a resultados en un espacio de salida.


Interpretación de Reglas Difusas La interpretación de las reglas difusas se realiza en

tres pasos:

1. Fusificar las entradas.- Resolver todas las proposiciones difusas de los antecedentes a un grado de membrecía entre 0 y 1. Si sólo hay una parte en el antecedente, entonces este el grado de contribución de la regla.

2. Aplicar operadores fuzzy a antecedentes múltiples.- Si en el antecedente hay múltiples partes, entonces aplicar los operadores difusos y resolver el antecedente a un solo valor entre 0 y 1.

3. Aplicar el método de implicación.- Usar el grado de contribución de la regla para conformar el conjunto difuso de salida. Si el antecedente es parcialmente verdadero el conjunto difuso de salida es truncado, de acuerdo al método de implicación utilizado.


Interpretación de Reglas Difusas En los sistemas difusos, las reglas se ejecutan

en paralelo y todas contribuyen al resultado, según su grado de veracidad.

La salida de cada regla es un conjunto difuso.

Los conjuntos difusos resultantes de todas las reglas son agregados en un solo conjunto difuso de salida.

Finalmente, el conjunto resultante es defusificado, es decir resuelto a un valor numérico único.


Sistemas de Inferencia DifusaPara relacionar el vector de entrada dado

al vector de salida, el proceso de inferencia difusa involucra funciones de membrecía, operadores difusos y reglas difusas.

Estas relaciones proporcionan la base para tomar decisiones o identificar patrones.

Hay dos tipos de sistemas de inferencia difusa:

El propuesto por Ebrahim Mamdani; y,

El propuesto por Takagi, Sugeno y Kang.


Método de MamdaniEs el más común en la metodología de

desarrollo de sistemas difusos.

El Método de Mamdani fue el primero que se utilizó para construir sistemas de control (1975), utilizando la teoría de los conjuntos difusos propuesta por Lotfi Zadeh en 1973.

Se caracteriza por:

Ser muy intuitivo;

Tener una amplia aceptación; y,

Ser adecuado para uso humano.


Método Sugeno Fue introducido por Takagi, Sugeno y Kang en

1985.

Es similar en varios aspectos al método propuesto por Mamdani, excepto porque las funciones de membrecía de los valores lingüísticos de las variables de salida tienen forma de espiga (singleton spikes).

Se caracteriza por: Ser computacionalmente más eficiente

Tener superficie de salida continua, garantizada

Trabajar muy bien con técnicas de control lineal (PID), optimización y adaptación

Ser adecuado para el análisis matemático.


Razonamiento Difuso Los tres conceptos que constituyen la base

del razonamiento difuso, son: Método de Implicación: Enlace funcional

entre el grado de veracidad en las regiones difusas relacionadas por las proposiciones.

Método de Agregación: Forma de combinar las regiones difusas relacionadas.

Método de Defusificación: Operación que recibe el resultado de la agregación y entrega un valor resultante esperado.


Razonamiento Difuso Métodos de Implicación

Mínimo: Valor lingüístico de salida truncado

Producto: Valor lingüístico de salida escalado

Métodos de Agregación:

Máximo: Max(A,B,C)= Max(A[x],B[x], c[x])

Suma: R=(A[x], B[x], C[x], ...)

OR Probabilístico:

ProbOR(A,B)=A[x]+B[x]-A[x].B[x]

Métodos de Defusificación

Centroide.

Bisector.

Media de Valores Máximos.

Mayor de los Máximos.

Menor de los Máximos


Metodología Para Desarrollo de Sistemas Difusos Definir el modelo funcional y sus características operativas.

Seleccionar las variables de entrada y salida del modelo.

Definir las funciones de membrecía para cada valor difuso de las variables de entrada y salida del modelo.

Definir la Reglas Difusas: Establecer las relaciones entre todos los valores difusos de las variables de entrada y salida.

Definir los métodos para los operadores difusos: AND y OR.

Definir los métodos para el razonamiento difuso: implicación, agregación y defusificación.

Ejecutar la simulación del sistema,

Refinar y validar el modelo.


EJEMPLOS DE SISTEMAS DIFUSOS: FuzzyLogic ToolBox de MATLAB


Sistema Difuso: Ejemplo (1)Un sistema de control de temperatura

ambiental utiliza ventiladores. La variable de entrada X, es la temperatura ambiental y la de salida Y es la velocidad de los ventiladores.

Para la temperatura del ambiente se escogen como valores lingüísticos: fría, fresca, normal, abrigada, caliente.

Para la velocidad de los ventiladores se escogen los valores lingüísticos: mínima, baja, media, alta, máxima.


Las Reglas Difusas del Ejemplo (1) son:

Regla 1: Si la temperatura ambiente está fría entonces la velocidad de los ventiladores es mínima.

Regla 2: Si la temperatura ambiente está fresca entonces la velocidad de los ventiladores es baja.

Regla 3: Si la temperatura ambiente está normal entonces la velocidad de los ventiladores es media.

Regla 4: Si la temperatura ambiente está abrigada entonces la velocidad de los ventiladores es alta.

Regla 5: Si la temperatura ambiente está caliente entonces la velocidad de los ventiladores es máxima.


Conjuntos Difusos y Función de Transferencia del Ejemplo (1)


Ejecución de las 5 Reglas Difusas del Ejemplo (1)


Ejemplo (2): Fijación de Precios Una empresa mantiene una política de fijación de

precios de uno de sus productos, basada en los costos de producción y en el nivel de precios de su principal competidor.

El precio de venta al público debe estar alrededor del doble del costo de producción y siempre debe mantenerse cerca del precio del competidor.

Si se conoce que el costo de producción del bien es de USD $12,00 y el precio de venta del mismo bien por parte del consumidor, es de USD $26,00, desarrollar un sistema difuso para la fijación del precio de venta, según la política establecida.


Sistema Difuso para Fijación de Precio de Venta de un Producto


Sistema Difuso: Ejemplo (3)

Una empresa desea determinar el precio de un producto, en función de la oferta y demanda estimada en cierto momento.

Si la oferta y la demanda están balaceadas, el precio debe ser el recomendado de venta al público, pero si sube la demanda o baja la oferta, el precio debe incrementarse hasta un 50% arriba de su precio nominal; y, si la demanda baja o sube la oferta, el precio puede ser reducido hasta el 50% de su valor nominal.

Las variables de oferta y demanda se considera que varían entre el 50% y el 150% de lo que se conoce como valores normales en el mercado.


Estructura del Sistema Difuso Precio=f(Oferta,Demanda)


Regla 1: Si Oferta Baja y Demanda Baja

Entonces Precio Nominal

Regla 2: Si Oferta Baja y Demanda Normal

Entonces Precio Incrementado

Regla 3: Si Oferta Baja y Demanda Alta


Entrada 1:

OfertaRegla 4:

Si Oferta Normal y Demanda Baja

Entonces Precio Reducido

Regla 5: Si Oferta Normal y Demanda Normal

Entonces Precio NominalSalida: Precio

Entrada 2:

DemandaRegla 6:

Si Oferta Normal y Demanda Alta


Regla 7: Si Oferta Alta y Demanda Baja


Regla 8: Si Oferta Alta y Demanda Normal


Regla 9: Si Oferta Alta y Demanda Alta

Entonces Precio Nominal

Σ

Ejemplo (3) Método MamdaniPrecio=f(Oferta,Demanda)


Ejemplo (3) Método SugenoPrecio=f(Oferta,Demanda)


Aplicaciones de Sistemas Difusos

Categoría Ejemplos de Áreas de Aplicación

ControlEs la categoría en la que mayormente se desarrollan aplicaciones

Reconocimiento de Patrones

Imagen (OCR), audio y procesamiento de señales

Análisis Cuantitativo

Investigación de operaciones, estadística y administración

Inferencia

Sistemas expertos para diagnóstico, planeación y predicción; procesamiento de lenguaje natural, interfaces inteligentes, robots inteligentes, ingeniería de software

Recuperación de Información

Bases de datos

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Áreas de Aplicación Medicina

Robótica

Educación

Transporte

Agricultura

Computación

Automovilismo

Telecomunicaciones

Seguridad / Mantenimiento

Electrónica para el Consumidor

Administración y Gestión Empresarial

Ingeniería: Financiera, Eléctrica, Química, Mecánica, Civil, Ambiental, Geofísica, Nuclear, Aeroespacial ...


SISTEMAS DE INFERENCIA NEURO-DIFUSOS ADAPTATIVOS (ANFIS)


Sistema de Inferencia Difuso La estructura básica de un sistema de inferencia

difuso, es un modelo que:

1. Asocia características de variables de entrada a conjuntos difusos.

2. Los conjuntos difusos de entrada son asociados a reglas.

3. Las reglas se asocian a un conjunto de características de salida.

4. Las características de salida a conjuntos difusos; y,

5. Los conjuntos difusos de salida se relacionan a un valor único, que corresponde a las salida del sistema.


Sistema de Inferencia Difuso Como se pudo observar en los ejemplos

desarrollados en la sección anterior, las funciones de membrecía de los conjuntos difusos fueron inicialmente escogidas de manera arbitraria.

La estructura de las reglas fue determinada por la interpretación del diseñador de las características de las variables del modelo.

Luego, siguiendo un proceso experimental se cambiaron los parámetros de las funciones de membrecía, para modificar su forma e ir configurando la función de transferencia deseada.


Aprendizaje Neuro-Difuso De la experiencia obtenida del diseño de sistemas

difusos se puede concluir que es muy difícil discernir las funciones de membrecía que serían más apropiadas modelar la función de transferencia requerida, según la información disponible.

Para estos casos, si se dispone de un conjunto de datos de entrada y las correspondientes salidas deseadas, se puede utilizar un sistema de inferencia neuro – difuso adaptativo (ANFIS), para ajustar los parámetros de las funciones de membrecía.


Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System(ANFIS)

MATLAB, como parte del Fuzzy Toolbox, ofrece la

función anfis, que puede se accedida a través de la

línea de comando o del Diseñador Neuro – Difuso.

La función anfis construye un sistema de inferencia

difuso en el que los parámetros de las funciones de membrecía son adaptados utilizando ya sea un algoritmo de retropropagación sólo o combinado con el método de mínimos cuadrados.

La estructura del sistema de inferencia difuso es similar al de una red neuronal, en la que los parámetros asociados a las funciones de membrecía, cambian a través de un proceso de aprendizaje.


Diseñador Neuro - Difuso Para iniciar la interfaz gráfica, se utiliza el

siguiente comando:

neuroFuzzyDesigner

A través de la ventana del diseñador, se pueden realizar las siguientes tareas:

1. Cargar, graficar y borrar datos

2. Generar o cargar la estructura inicial del Sistema de Inferencia Difuso (FIS).

3. Entrenar el FIS

4. Validar el FIS entrenado.

El diseñador neuro-difuso, trabaja con FIS tipo Sugeno.


ANFIS-1: Datos Control de Temperatura Ambiental con Ventiladores

Datos para Entrenamiento

Datos para Comprobación


ANFIS-1: Resultados Control de Temperatura Ambiental con Ventiladores


ANFIS-2: Datos Fijación de Precios




ANFIS-2: Resultados Fijación de Precios


ANFIS-3: Datos Precio=f(Oferta,Demanda)




ANFIS-3: Resultados Precio=f(Oferta,Demanda)


ANFIS-4: Datos Predicción de Consumo de Energía Eléctrica


ANFIS-4: Resultados Predicción de Consumo de Energía Eléctrica


Conclusión

Lo natural no es exacto, lo exacto

no es natural.

- Albert Einstein


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