SENAI - CIRCUITOS MAGNÉTICOS

7/31/2019 SENAI - CIRCUITOS MAGNTICOS

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REVISO DE CIRCUITOS MAGNTICOS

(Janeiro de 2008)

1) Introduo

Duas grandezas vetoriais esto relacionadas com o campo magntico: a Intensidade doCampo (H) e a densidade do campo (B).

A intensidade de campo magntico (H), relacionada diretamente causa (ou origemdo campo), ou ainda com a corrente eltrica pela chamada Lei de Ampre.

= sdJldHrrrr

.. (1)

Onde:

H a intensidade do campo magntico [A/m];dl o comprimento infinitesimal [m];J a densidade de corrente [A/m2]; eds o elemento infinitesimal de superfcie [m2].

Todas as grandezas so vetoriais e o produto definido em (1) o produto escalar entreestes vetores.

Exemplo 1

Determinar a intensidade de campo a uma distncia r de um condutor muito longo, novcuo, percorrido por uma corrente I.

I

r

Figura 1.1: Intensidade do campo magntico em um condutor longo

Soluo

A uma distncia r do centro do condutor, supondo que o meio tenha permeabilidadeconstante, ou seja, que H tenha mdulo constante, seja perpendicular a r em todoponto da circunferncia e co-linear com o vetor l, a integral da equao (1) se simplifica

muito, ficando apenas:


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2

rHdlH 2.. = (2)

O lado direito da equao representa a corrente total envolvida pela linha de integrao.Neste caso particular o valor da corrente dado e igual a I. Portanto:

r

IH

2= (3)

Observe que H uma grandeza vetorial, portanto definida com mdulo e direo. Omdulo dado pela equao (3) e a direo dada pela regra da mo direita.

A segunda grandeza vetorial importante no estudo dos circuitos magnticos adensidade de campo B. Esta grandeza est relacionada com os efeitos do campomagntico, com a fora (ou conjugado) magntica e com a tenso gerada.

No vcuo, os dois vetores B e H so sempre proporcionais e co-lineares. A relao entreeles dada por:

HBrr

0= (4)

onde 0 a permeabilidade do vcuo. No sistema MKS (que ser usado em toda partenestas notas) o valor desta constante :

70 10.4

= [H/m] (5)

A densidade de fluxo est relacionada com o fluxo pela seguinte expresso:

= sdBrr

. (6)

Onde:

o fluxo magntico [weber] ou [Wb];B a densidade de campo magntico [tesla] ou [T];ds o elemento de rea [m2]

Se N espiras de uma bobina for envolvida por um fluxo , diz-se que o fluxoconcatenado com a bobina ser dado por:

N= [Wb] (7)

A tenso gerada nos terminais desta bobina dada pela lei de Faraday:

dt

de

= [V] (8)

Essa talvez seja a equao mais importante para entender e simular problemasrelacionados com converso de energia.


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3

2) Materiais Ferromagnticos

A caracterstica bsica dos materiais ferromagnticos a de produzir um grande efeito,ou seja, um elevado valor de B, para uma pequena causa (H ou I pequenos).

Esta caracterstica pode ser visualizada nas figuras 2.1 e 2.2.

I=0

Figura 2.1: Domnios Magnticos orientados de forma aleatria

I>0

Figura 2.2: Domnios Magnticos sob o efeito de um campo de intensidade H.

Em materiais ferromagnticos existem domnios magnticos ou bipolos quenormalmente esto orientados de forma aleatria. Havendo a circulao de uma correnteI pelo condutor, o campo magntico criado polariza os domnios magnticos domaterial amplificando bastante o efeito da corrente, como pode ser visto na figura 2.2.

A densidade de campo resultante ser composta por uma pequena parcela (0H) quepolariza os bipolos e uma outra componente, em geral muito maior, de densidade decampo produzida pelos bipolos orientados.

iBHB += 0 (9)

possvel, em uma determinada faixa, encontrar uma relao de proporcionalidadeentre a densidade e a intensidade do campo produzida pelos bipolos magnticos.Combinando as duas parcelas da equao (9) obtm-se:

HB rrr

0= (10)

onde r a permeabilidade relativa do material. A permeabilidade relativa uma

grandeza adimensional que pode variar de 100 a 100.000. Para os materiais


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4

ferromagnticos usados em equipamentos eltricos este nmero est na faixa de 2.000 a4.000.

A figura 2.3 mostra a relao entre B e H no vcuo e em um material ferromagntico(M-19). Observa-se, neste ltimo, que a relao linear entre B e H s ocorre para

pequenos valores de H.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 20000 40000 60000 80000 100000

H (A/m)

B(

T) M -19

vcuo

Figura 2.3: Relao entre B e H

A figura 2.3 mostra claramente que a utilizao de materiais ferromagnticos faz comque pequenas causas (H pequeno) produzam grandes efeitos (B grande). Reduzindo-se a

escala para evidenciar a parte linear da curva, obtm-se a figura 2.3.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0 200 400 600 800 1000

H (A/m)

B(

T)

Figura 2.4: Caracterstica B x H (detalhe)

Evidentemente, quando a intensidade de campo atinge um determinado valor onde todosos bipolos do material estejam orientador, no adianta mais aumentar o valor de H que o

valor de B s aumenta proporcionalmente a permeabilidade do vcuo. Diz-se, ento,que o material est saturado.


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5

A figura 2.5 mostra, esquematicamente, a relao entre B e H (considerando umaaproximao de trechos de retas) levando em conta a saturao.

B

H

r

Figura 2.5: Curva BxH com saturao

A saturao magntica uma das caractersticas mais importantes dos materiaismagnticos. O dimensionamento de um dispositivo de converso tem que levar emconsiderao este efeito. O ponto onde o material satura depende das suascaractersticas fsicas. Em alguns materiais este valor 0,3 T, em outros 2 T. Pode-seconsiderar 1 T como um valor tpico.

Outro efeito importante no comportamento dos materiais ferromagnticos a Histeresis.A curva BxH real, medida em um material ferromagntico no uma reta e depende daderivada de H. Para um mesmo valor de H pode-se ter mais de um valor de Bdependendo se o H estiver aumentando ou diminuindo. Variando-se ciclicamente a

corrente em um condutor envolvendo um ncleo de ferro, obtm-se uma curva com ascaractersticas mostradas na figura 2.6 onde se observa o efeito da histerese.

Figura 2.6: Curva de histeresis

A energia fornecida ao material para passar de um valor de densidade de campo B = 0at B = Bmx no devolvida quando a intensidade de campo volta a zero. Estas perdasso chamadas de perdas por Histeresis e so tanto maiores quanto maior for o nvel desaturao do material.

Exemplo 2

Quais seriam as perdas por histeresis em um material ferro-magntico?


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6

Soluo

possvel avaliar a energia perdida em um material ferro-magntico quando submetidoa uma fonte senoidal de tenso (v) operando a uma freqncia (f). Basta supor que o

material tenha uma rea A e um cumprimento mdio l. A energia ser dada por:

= pdtE

dt

dNe

eip

=

=

Supondo uma intensidade de campo (H) constante ao longo do cumprimento l, acorrente pode ser dada pela lei de Ampre:

N

Hli =

Ento:

==2

1

B

BHdBvolAlHdBE

A energia, portanto, proporcional ao volume e integral de intensidade do campo em

funo da densidade B. Esta integral corresponde rea interna da curva de histeresis.

3) Circuitos Magnticos

A alta permeabilidade dos materiais magnticos permite definir um caminho para ofluxo da mesma forma que a baixa resistividade do cobre permite definir um caminhopara circulao de corrente.

O conhecimento que os alunos de engenharia eltrica tm com circuitos eltricos fazcom que uma analogia entre circuitos eltricos e magnticos facilite bastante a

compreenso dos efeitos magnticos.

Esta analogia se baseia nas equaes que descrevem os campos:

= sdJirr

(11)

A corrente em um condutor igual integral da densidade da corrente na superfcie.

= sdBrr

. (12)

O equivalente no circuito magntico o fluxo.


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7

= ldEvrr

. (13)

A tenso, ou diferena de potencial (ddp) ou fora eletromotriz (fem), igual a integralda intensidade de campo eltrico ao longo de um caminho.

== ldHFNirr . (14)

O equivalente nos circuitos magnticos a fora magnetomotriz (ou fmm).

EJrr

= (15)

A densidade de corrente igual a condutividade do material multiplicada pelaintensidade do campo eltrico.

HB r

rr

0= (16)

O equivalente nos circuitos magnticos a densidade de fluxo.

Definio de Relutncia

O conceito de relutncia anlogo ao de resistncia. Para um condutor o conceito deresistncia passagem de corrente eltrica bastante bvio. Supondo um condutor deseo transversal S com uma densidade de corrente constante J, tem-se:

vl

S

SESJi ...

=== (17)

Define-se, ento resistncia como:

S

lR

= (18)

de onde se obtm a relao entre tenso e corrente em um circuito eltrico conhecidacomo a lei de Ohm.

Riv = (19)

Uma deduo semelhante pode ser feita para a resistncia passagem de um fluxo emum determinado circuito magntico.

Exemplo 3

Calcular a intensidade do campo em um toride a uma distncia r do seu centro,supondo que o toride tenha permeabilidade constante.


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8

r

N

I

Figura 3.1: Toride de seo retangular e largura w

Soluo

De (14) tem-se:

== ldHFNirr

. (20)

A uma distncia r do centro, supondo a permeabilidade constante, a intensidade docampo permanece constante. A direo dada pela regra da mo direita e ser semprecolinear com o vetor dl, desta forma a integral definida em (20) tem resoluo simples edireta:

r

NiH

2= (21)

Exemplo 4

Calcular o fluxo no toride supondo que a sua largura seja w, seu raio interno r 1 e seuraio externo r2.

Soluo

A densidade do fluxo est relacionada com a intensidade pela caracterstica depermeabilidade do material.

r

NiB

r

20

= (22)

Usando a definio de fluxo (6):

= sdBrr

. (23)

lembrando que os vetores so colineares e que a rea infinitesimal pode ser dada por:


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9

wdrds = (24)

tem-se:

=2

120

r

r

r drr

Niw

(25)

1

20 ln2 r

rNiwr

= (26)

A pequena dificuldade na integrao se deve variao da intensidade do campo com oraio. Para simplificar ainda mais o problema, em muitas situaes, razovel supor umaintensidade de campo mdia ao longo do circuito magntico. Neste caso, supondo que aintensidade mdia seja aquela que percorre o caminho mdio do toride, tem-se:

l

NimdioH =)( (27)

Onde, neste caso:

22 21

rrl

+= (28)

Sendo a intensidade de campo mdia suposta constante ao longo do circuito magntico,a densidade de campo tambm ser constante e a integral que define o fluxo se restringe

a integrao da rea infinitesimal ao longo da prpria rea, portanto:

== SmdioHdsmdioB r ).()( 0 (29)

ou

Nil

Sr 0= (30)

Definindo relutncia como:

S

mdiol

r0

)(= (31)

Tem-se uma relao anloga lei de ohm para circuitos magnticos:

=F

(32)

interessante notar que a definio de relutncia est relacionada com as caractersticas

fsicas do circuito magntico, ou seja, com o seu comprimento, com a sua rea e com apermeabilidade do material.


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10

Este conjunto de simplificaes permite que, para um determinado circuito magntico,com caractersticas fsicas conhecidas, a relao entre B e H pode ser alterada para umarelao entre a fora magnetomotriz e o fluxo. Para isto, basta alterar um fator de escalano grfico. Ou seja, multiplicar a escala vertical (B) pela rea e a horizontal (H) pela

comprimento mdio. A figura 3.2 mostra esta alterao.

B

H

r

F

1/R

Figura 3.2: Relao entre fluxo e fmm

A declividade da curva da Figura 3.2 o inverso da relutncia. Esta grandeza chamadade permencia.

==

1)(

0

mdiol

SP r

(33)

Definio de Indutncia

Pode-se ir alm, em circuitos magnticos envolvidos por uma bobina de N espiras,supondo que todo o fluxo esteja restrito ao circuito e por conseqncia envolva (ouconcatene) as N espiras da bobina. Multiplicando-se o eixo vertical da figura 3.2 por N,obtm-se o fluxo concatenado com a bobina (pela prpria definio). Dividindo-se oeixo horizontal pelo mesmo N obtm-se a corrente e o grfico da figura 3.2 passa arelacionar fluxo concatenado com corrente. A relao entre estas duas grandezas chamada de indutncia.

B

H

r

F

1/R

i

L

Figura 3.3: Relao entre fluxo concatenado e corrente


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11

Matematicamente, tem-se:

iL

= (34)

Pode-se derivar outras expresses definindo a indutncia, usando, por exemplo, adefinio de relutncia, tem-se:

===

2N

N

F

N

iL

(35)

Usando a definio de permencia:

PNL2

= (36)

importante notar que a indutncia (assim como a relutncia) depende dascaractersticas fsicas do circuito magntico, do nmero de espiras (ao quadrado), docomprimento, da rea e da permeabilidade relativa do material.

Para que haja converso eletromecnica de energia necessrio que haja movimentoentre as partes. Portanto, em converso, os circuitos magnticos normalmente tm umaparcela com ar, ou como comumente chamado, um entreferro.

Exemplo 5

Calcular o fluxo no toride com entreferro da figura (8) abaixo.

l

N

I

g

r

S

Figura 3.4: Circuito Magntico com entreferro

Soluo

O primeiro passo o clculo da intensidade de campo ao longo do percurso. Usando alei de Ampre, tem-se:


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12

= HdlNi (37)

Neste exemplo a permeabilidade diferente nos dois meios, portanto no possvelsupor Hconstante. Para retirar a intensidade de campo da integral preciso dividi-la emduas partes: ncleo e entreferro. Considerando a intensidade constante em cada umdestes caminhos, tem-se:

gHHNi gn .. += l (38)

Onde Hn a intensidade de campo no ncleo, l o caminho mdio do circuitomagntico, Hg a intensidade de campo no entreferro (ou gap) e g o comprimentodo entreferro.

A rea da seo transversal do toride facilmente definida e pode ser dada por S.Por outro lado, a rea do entreferro tem uma definio um pouco mais delicada uma vez

que no existe nenhum limite fsico para o ar que envolve o toride. Considerando que possvel defini-la e que ela dada por Ag, e lembrando que ao longo de um caminhomagntico o fluxo contnuo, tem-se:

ggn ABSB == (39)

Tomando a relao de proporcionalidade entre a densidade de fluxo e a intensidade docampo:

gg

nrn

HB

HB

0

0

=

=(40)

Substituindo-se (39) e (40) em (38), obtm-se:

}{00

gr A

g

SNiF +==

l(41)

Voltando definio de relutncia, tem-se:

0

0

g

g

rn

A

gR

SR

=

=

l

(42)

}{ gn RRF += (43)

interessante observar que as relutncias, da mesma forma que as resistncias, emsrie, se somam. Uma anlise da equao (42) mostra tambm que, mesmo quando ocomprimento mdio do circuito magntico muito maior que o entreferro, a relutncia

do entreferro a predominante uma vez que a permeabilidade relativa do materialferromagntico muito grande.


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13

Desprezar a relutncia do caminho magntico (ou do ncleo de ferro) simplificabastante qualquer problema, uma vez que, com esta simplificao o circuito passa a serlinear. Com esta simplificao, a indutncia da bobina dada simplesmente por:

gRNL

2= (44)

Quanto maior o entreferro, menor a indutncia. importante lembrar que o conceito deindutncia est relacionado com a proporcionalidade entre corrente e fluxo concatenado,ou seja, causa e efeito. Para que se tenha grandes efeitos, necessrio que as indutnciassejam grandes, em outras palavras, que os entreferros sejam os menores possveis.

Exemplo 6

Calcular a indutncia da bobina do circuito magntico da Figura 3.5. Suponha que possvel desprezar a relutncia do material ferromagntico.

Figura 3.5: Circuito magntico do exemplo 6

Soluo

O fluxo calculado da mesma forma que nos exemplos anteriores. Pela lei de Ampre,tem-se que:

== 111 gHNidlHNi (45)

Da mesma forma, escolhendo um caminho de integrao que envolva a outra perna docircuito magntico:

== 222 gHNidlHNi (46)

A densidade de fluxo proporcional permeabilidade do vcuo e o fluxo ser a integralda densidade ao longo da rea. Mantendo as hipteses de densidade de fluxo constante

possvel calcular (com muita facilidade) o fluxo em cada uma das pernas do circuitomagntico:


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14

1

10101111

g

ANiHABA

=== (47)

Da mesma forma:

2

20202222

g

ANiHABA

=== (48)

Usando a definio da permencia (inverso da relutncia), tem-se:

22

11

.

.

PF

PF

=

=

(49)

O fluxo total concatenado pela bobina ser dado pela soma dos fluxos 1 e 2,multiplicado pelo nmero de espiras.

)()( 212

21 PPiNN +=+= (50)

fcil perceber que, da mesma forma que nos circuitos eltricos, as permencias emparalelo se somam.

Finalmente, a indutncia dada por:

)( 212

PPNL += (51)

4) Circuitos Eltricos Acoplados Magneticamente

Os conceitos vistos no item anterior so absolutamente fundamentais para acompreenso de circuitos eltricos acoplados. Suponha dois circuitos acoplados comomostra a figura 4.1.

Figura 4.1: Dois circuitos acoplados

Exemplo 7


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15

Quais seriam as equaes que descrevem estes dois circuitos eltricos?

Soluo

A soluo trivial. tenso aplicada se ope uma queda de tenso devido resistncia

do enrolamento e outra devido variao do fluxo concatenado dado pela lei deFaraday.

dt

dirv

dt

dirv

2222

1111

+=

+=

(52)

A anlise foi feita para dois circuitos acoplados mas pode, evidentemente, ser estendidapara qualquer nmero de circuitos. Usando uma notao matricial, tem-se:

][]][[][ dt

dirv += (53)

onde:

T

nvvvv ]...[][ 21= (54)

=

nr

r

r

r

...00

00

0...0

][

2

1

(55)

T

niiii ]...[][ 21= (56)

e

T

n ]...[][ 21 = (57)

Para resolver este sistema de equaes preciso definir qual o fluxo concatenado comcada uma das bobinas.

Exemplo 8

Qual o fluxo concatenado com a bobina 1?

SoluoSe houver uma corrente i1 circulando na bobina 1, haver uma fora magnetomotriz eum fluxo produzido por esta corrente. O fluxo ser inversamente proporcional arelutncia do caminho magntico. A relutncia do caminho magntico visto pela bobina

pode ser dividida em duas, a primeira relacionada ao caminho magntico do ferro e a


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16

outra relacionada com os outros caminhos alternativos por onde possvel que o fluxopasse.

A parcela do fluxo que envolve o circuito magntico, ou, mais precisamente, concatenaa bobina que est acoplada com a bobina 1 chamado de fluxo de magnetizao (mag).

O fluxo que no concatena a outra bobina chamado fluxo de disperso (disp).

A circulao de corrente pelo circuito 2 produz um efeito semelhante, ou seja, uma partedo fluxo se dispersa e outra magnetiza a outra bobina. Considerando apenas estas duasbobinas acopladas o fluxo concatenado com a bobina 1 ser dado por:

)( 21111 magmagdispN ++= (58)

Da mesma forma, para a bobina dois:

)( 12222 magmagdispN ++= (59)

Como foi visto, conveniente relacionar fluxo concatenado com corrente para eliminardas equaes (52) (ou 53) a varivel fluxo. Desta forma, pode-se identificar trscomponentes do fluxo: disperso e magnetizao relacionados prpria correntecirculando na bobina e magnetizao provocada pela corrente circulando na outrabobina.

21111 magdispmag ++= (60)

Definindo, ento, os seguintes coeficientes de indutncia:

1iL

mag

mag

= (61)

chamada indutncia de magnetizao.

1iL

disp

disp

= (62)

chamada indutncia de disperso, e

2

1212

iL

= (63)

chamada indutncia mtua.

A equao de tenso pode, ento, ser simplificada para:

2121111 )( iLdt

diLL

dt

dirv

dispmag +++= (64)


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17

Fazendo uma anlise semelhante, obtm-se, para a bobina 2 a seguinte expresso:

1212222 )( iLdt

diLL

dt

dirv dispmag +++= (65)

possvel definir as indutncias em funo das relutncias dos caminhos magnticos.

Exemplo 9

Definir as indutncias em funo da relutncia do caminho magntico.

Soluo

Os fluxos definidos na Figura 4.1 podem ser colocados em funo da relao entre afora magnetomotriz e a relutncia. Assim:

1

111

disp

dispR

iN= (66)

2

222

disp

dispR

iN= (67)

1

111

mag

magR

iN= (68)

2

222

mag

magR

iN= (69)

A relutncia de magnetizao fcil de calcular. Ela dada pela relao entre ocomprimento mdio do circuito magntico pelo produto da permeabilidade e a rea.Portanto:

A

lRRR

r

magmagmag0

21 === (70)

Substituindo estas definies nas equaes que definem os fluxos concatenados, tem-se:

221

1

21

11

21

1 iR

NNi

R

Ni

R

N

magmagdisp

++= (71)

Usando a definio apresentada do coeficiente de indutncia, pode-se definircoeficientes especficos relacionados ao caminho de disperso e ao de magnetizao.

1

21

1

disp

disp

R

NL = (72)


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18

mag

magR

NL

21

1 = (73)

Estas indutncias, como foi visto, so chamadas respectivamente de disperso e

magnetizao. A relao entre o fluxo total produzido pela corrente na bobina 1 e estacorrente chamada indutncia prpria da bobina. Diretamente das equaes anteriorestem-se:

1111 dispmag LLL += (74)

A indutncia mtua, por definio, relaciona o fluxo concatenado com uma bobinadevido a uma corrente em outra bobina. Ento:

021

212

=

=

ii

L

(75)

012

121

=

=i

iL

(76)

Usando a equao (71) tem-se:

magR

NNL 2112 = (77)

Como a relutncia do caminho de magnetizao nica, bvio que L12 = L21.

Todas as indutncias estando definidas, possvel descrever o vetor de fluxoconcatenado em funo das correntes.

]][[][ iL= (78)

=

2

1

2221

1211

2

1

i

i

LL

LL

(79)

ou

+

+=

2

1

221

121

2

1

i

i

LLL

LLL

magdisp

magdisp

(80)

E a equao de tenso pode ser reescrita da mesma forma que em (64) e (65). Observeque, nestas equaes aparecem 5 coeficientes de indutncia diferentes.

Exemplo 10


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19

Propor uma mudana de variveis de forma a simplificar o circuito equivalente de doiscircuitos acoplados.

Soluo

Para simplificar o circuito equivalente interessante que a mtua e as indutncias demagnetizao tenham o mesmo valor numrico. Para isto, considera-se uma correntefictcia i2 que produz a mesma fmm que i2 se estivesse circulando no enrolamento 1.Ou seja:

21

22' iN

Ni = (81)

Este procedimento chamado referir o enrolamento 2 ao enrolamento 1.Evidentemente seria possvel fazer a mesma coisa em relao ao enrolamento 1.

Para que neste novo sistema a potncia permanea inalterada, tem-se:

22222 '' ivivp == (82)

Ento:

22

12' vN

Nv = (83)

Como o tempo tambm deve permanecer inalterado em qualquer troca de variveis, arelao entre os fluxos concatenados real e fictcios dada por:

22

12' N

N= (84)

Substituindo na equao (80) tem-se:

+

+

=

2

1

22

2

2

121

2

1

122

111

2

1

')(' i

i

LLNNL

NN

LN

NLL

magdisp

magdisp

(85)

Voltando definio das indutncias, observa-se facilmente que:

Mmagmag LLN

NL

N

NL === 12

2

12

2

2

11 )( (86)

A equao de tenso pode ento ser reescrita como:

)'( 211

1111 iidt

dL

dt

diLirv Mdisp +++= (87)


20/25

20

)'('

'''' 212

2222 iidt

dL

dt

diLirv

Mdisp +++= (88)

E o circuito equivalente dado por:

Figura 4.2: Circuito T equivalente de circuitos eltricos acoplados

Para simplificar a notao o ndice disp das indutncias de disperso foi eliminado nafigura 4.1.

Aplicaes do conceito de indutncia

Exemplo 11

Traar a curva da corrente em funo do tempo no dispositivo da Figura 4.3considerando que o dispositivo abre em t = T0 e fecha em t = T1.

Figura 4.3: rel do Exemplo 11

Soluo

Considerando que o dispositivo estivesse fechado no tempo anterior a t = T0, muitofcil calcular a corrente circulando na bobina. De fato, a equao que relaciona correntee tenso dada por:

dt

driv

+= (89)

A fonte de tenso contnua, portanto v = E. O fluxo produzido pela foramagnetomotriz, seja qual for, constante, ento:


21/25

21

0=dt

d(90)

Portanto, para os tempos anteriores a t = T0, tem-se i = E/R.

Em t = T0 o dispositivo aberto. Esta abertura provoca um aumento significativo darelutncia do caminho magntico, ou seja, o fluxo tenderia a diminuir. Como o fluxono pode variar instantaneamente, caso contrrio a derivada da equao (89) tende ainfinito, ento a corrente aumenta de forma a manter o produto Li constante. Com opassar do tempo, e as perdas inerentes da resistncia da bobina, a corrente volta a seestabilizar no mesmo valor E/R. claro que, neste novo equilbrio, o fluxo muitomenor que o inicial.

Finalmente, fechando novamente o dispositivo, o processo se repete ao contrrio, ouseja, a corrente diminui instantaneamente para depois voltar ao seu valor de regime. Ogrfico da corrente em funo do tempo mostrado na Figura 4.3.

Figura 4.3: Corrente em funo do tempo em um rel

Exemplo 12

Calcular a indutncia vista pela bobina 1 quando a bobina 2 est curto-circuitada.Desprezar o valor das resistncias.

Figura 4.4: Dispositivo do exemplo 12.

Soluo


22/25


23/25

23

Com as hipteses feitas no exemplo 12, a resistncia desprezada e a relao entre ofluxo e a corrente pode ser visualizada com o secundrio em curto circuito.

Figura 4.5: Circuito equivalente

A indutncia equivalente dada por:

12112211

2

11

22

2

12

222

12

2

1

)1(

'

'

'

'

LLL

LL

L

LLL

LL

LLLLL

LL

LLLL

M

M

MM

MMM

M

M

eq

=

=+=+

++=

++=

(97)

Como era esperado.

5) Corrente de Excitao

O circuito equivalente da figura 4.2 mostra o caso de duas bobinas acopladas quando arelao entre fluxo concatenado e corrente linear. Na realidade, a caracterstica B x H

dos materiais ferro-magnticos, alm de no ser linear, apresenta a histeresis. interessante calcular a corrente de excitao considerando esta particularidade.

Exemplo 14

Suponha uma bobina alimentada por uma tenso puramente senoidal. Qual a forma deonda da corrente de excitao.

Soluo

Supor que a tenso seja senoidal equivale a dizer que o fluxo tambm senoidal. Asduas grandezas esto defasadas de 90.

)cos(

)sin(

tNv

dt

dN

dt

dv

t

=

==

=

(98)

Sendo, por hiptese, o fluxo uma onda puramente senoidal, deve-se determinar qual ovalor da corrente, no tempo, que produza esta onda senoidal, levando em consideraoque a relao B x H no seja linear.


24/25

24

1

2

3

4

6

Figura 5.1: corrente de excitao

A corrente de excitao no senoidal mas peridica.

A saturao provoca uma distoro no valor de pico da corrente (4) e a histeresisprovoca um adiantamento da corrente em relao ao fluxo.

Como a onda peridica, possvel fazer a sua decomposio em srie de Fourier. Estadecomposio mostra que o harmnico mais importante o terceiro.

Normalmente, para analisar o transformador em regime permanente, usa-se desprezar asharmnica e considerar que a corrente de excitao tenha apenas sua componentefundamental.

Considerando apenas a componente fundamental da corrente de excitao (60 Hz) elapode ser representada atravs de um diagrama fasorial. A figura 5.2 mostra o diagramafasorial que representa a corrente de excitao. Como foi visto, a corrente est adiantadaem relao ao fluxo devido ao efeito da histeresis. Observa-se uma componenteimportante, em fase com o fluxo, chamada de corrente de magnetizao. A componenteem fase com a tenso chamada de corrente de perdas no ncleo. Fasorialmente, tem-se:

nmagexc III += (99)

Figura 5.2: Diagrama Fasorial

Levando em considerao que a corrente de perdas no ncleo pode representar no

apenas a histeresis, mas tambm as correntes de Foucault, o circuito equivalente de duasbobinas acopladas pode ser aperfeioado com a incluso de uma resistncia equivalente


25/25

que representaria todas as perdas no ncleo. Esta resistncia chamada de resistncia deperdas no ncleo (Rn). A figura 5.3 mostra o circuito equivalente completo.

Figura 5.3: Circuito equivalente de duas bobinas acopladas

Evidentemente, o circuito equivalente do transformador tem que semelhante ao circuitomostrado na figura 5.3.

6) Referncias Bibliogrficas

[1] SEN, P.C. Principles of Electric Machines and Power Electronics, NewYork, John Wiley and Sons, 1996.

[2] MATSCH, L. W., MORGAN, J. D., "Electromagnetic and ElectromechanicalMachines", Harper and Row, NY, 1986.

[3] FITZGERALD, A. E., KINSLEY, C., KUSKO, A., "Mquinas Eltrica",McGraw Hill, So Paulo, 1979.

[4] Kimbark, E.W., Power System Stability, Dover Publication, Inc, NY, 1956.

[5] NASAR, S. A., "Electric Machines and Transformers", Macmillan, NY, 1984.

[6] NASAR, S. A., "Mquinas Eltricas", Coleo Schaum, McGraw-Hill, SoPaulo, 1984.

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