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ELE401 – Circuitos Magnéticos

PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO 1

CAPÍTULO I – CONCEITOS BÁSICOS

1.1 INTRODUÇÃO

O magnetismo desempenha um papel importante em quase todos os aparelhos elétricos utilizados hoje, seja na indústria, comércio, em casa ou na área de pesquisa.

As máquinas elétricas (transformadores, motores e geradores), disjuntores, aparelhos de TV, computadores e etc, empregam efeitos magnéticos.

Um circuito magnético é aquele onde existe um caminho para o fluxo magnético, de forma análoga ao circuito elétrico, que proporciona um caminho para a corrente elétrica.

Os materiais magnéticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnéticos determinam as dimensões dos equipamentos, suas capacidades, e introduzem limitações nos desempenhos, devido a saturações e perdas. É importante, portanto, conhecer suas características e propriedades básicas, para possibilitar um desenvolvimento mais econômico e adequado dos diversos equipamentos.

1.2 CAMPOS MAGNÉTICOS

Na região do espaço em torno de um imã permanente existe um campo magnético que pode ser representado por linhas semelhantes às linhas de campo associadas a um campo elétrico.

Conforme a figura 1.1, observamos que as linhas de campo magnético não começam e terminam em cargas, mas formam curvas fechadas.

Figura 1.1 – Linhas de campo magnético em um imã permanente

As linhas de campo se dirigem do polo norte para o polo sul no exterior e do polo sul para o polo norte no interior. As linhas estão igualmente espaçadas no interior da barra e simetricamente distribuídas no exterior a ela.

Esta propriedade é exibida pelas linhas de campo em materiais homogêneos (composição uniforme). Deve-se chamar a atenção para o fato das linhas procurarem ocupar a menor área possível.

A intensidade do campo magnético em dada região é diretamente proporcional à densidade de linhas de campo nessa região. Na figura 1.1 a intensidade do campo em “a” é maior que em “b” pois o número de linhas que atravessam “a” é maior do que “b” e as áreas de “a” e “b” são iguais.

Se colocarmos um material não magnético (vidro, cobre, p.ex.) nas proximidades de um imã permanente, a distribuição das linhas de campo sofrerá uma alteração quase imperceptível. Caso o material seja magnético (ferro), as linhas tenderão a passar pelo ferro e não pelo ar, conforme a figura 1.2.

Figura 1.2 – Efeitos sobre as linhas de campo

Observação: As linhas de fluxo buscam ser o mais curtas possível e tomar o caminho com permeabilidade mais alta.

Uma das aplicações práticas deste fenômeno é a construção de blindagens eletromagnéticas na proteção de instrumentos elétricos sensíveis a ação de campos magnéticos espúrios, conforme a figura 1.3.

Figura 1.3 – Efeito da blindagem eletromagnética

Em torno de qualquer fio percorrido por corrente existe um campo magnético (representado por linhas circulares), conforme figura 1.4.



Figura 1.4 – Linhas de campo nas proximidades de um condutor percorrido por corrente

Ao se formar uma espira com este condutor, as linhas de campo terão a mesma direção e sentido no centro da espira e o campo magnético nesta região ficará mais intenso, de acordo com a figura 1.5.

Figura 1.5 – Linhas de campo em uma espira percorrida por corrente

Um enrolamento com várias espiras produzirá um campo magnético como o da figura 1.6.

Figura 1.6 – Linhas de campo em uma bobina percorrida por corrente

As linhas de campo da figura 1.6 são bastante semelhantes as de um imã permanente (fig 1.1). A diferença mais evidente entre os dois está na densidade das linhas de campo, muito maior no caso do imã. Assim o campo gerado pela bobina da figura 1.6 é mais fraco do que o campo gerado pelo imã.

Pode-se aumentar a densidade do campo magnético inserindo-se um núcleo de material ferromagnético (ferro, aço, cobalto) no interior do enrolamento para concentrar as linhas de campo. Ao introduzirmos um núcleo para aumentar a intensidade do campo, criamos um eletroímã, conforme a figura 1.7 que, além de apresentar todas as propriedades de um imã permanente, produz um campo magnético cuja intensidade pode ser modificada alterando-se um dos seus parâmetros (corrente, número de espiras).

Figura 1.7 – Eletroímã

1.3 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

1.3.1 Fluxo Magnético

Considere um campo magnético não uniforme de módulo B onde são colocadas três espiras, conforme a figura 1.8, a seguir.

Figura 1.8 – Espiras colocadas em um campo magnético

A espira 1 tem uma área “A1” e ela está colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B1. A espira 2 tem uma área “A2<A1” e ela está colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B2, sendo B2 > B1. A espira 3 tem uma área “A3 = A2”, porém está

posicionada de tal forma que existe um ângulo "" entre a normal à superfície e o vetor campo magnético de módulo B3 (observar que B3 = B2). Pode-se perceber da figura 1.8, que:

a) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 1 e 2 é igual, embora as áreas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magnético B2 ser mais intenso do que o campo magnético B1 (devido a maior densidade de



linhas de campo);

b) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 2 e 3 é diferente, embora elas possuam a mesma área e estejam colocadas em posições de densidades iguais de campo magnético. Isto acontece porque a espira 3 está inclinada em relação ao vetor campo magnético,

formando um ângulo “”; portanto, a sua área projetada na perpendicular ao campo é menor que a área real.

Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que atravessa uma espira corresponde ao número de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo magnético B, da área “A” da espira e do

ângulo “” formado entre a normal à superfície da espira e o campo magnético.

De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magnético corresponde ao conjunto de linhas de campo magnético que emerge do pólo norte de um imã.

Matematicamente pode-se expressar o fluxo magnético como sendo:

cos AB (1.1)

Ou ainda, de uma forma mais geral,

A

dAnB (1.2)

Onde:

= Fluxo magnético através de uma superfície

B = Vetor campo magnético

n = Vetor unitário normal à superfície

dA = Elemento de área de uma superfície

Dimensões do Fluxo Magnético :

No sistema internacional, a unidade de fluxo magnético é o Weber [Wb].

WbWeber

A unidade [Weber] pode ser expressa, também, como sendo:

MaxwelllinhasWb 88 10101

A tabela 1.1 mostra as conversões entre os parâmetros.

S.I. CGS Inglês

1 Wb 108 Maxwell Linhas

B 1 2/ mWb 104 Gauss 6,452x104 Linhas/pol2

A 1m2 104 cm2 1,550pol2 Tabela 1.1 - Conversão

1.3.2 Lei de Faraday

Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu o princípio da indução eletromagnética, através de diversas experiências. Estas experiências estão sintetizadas no exemplo a seguir.

Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um amperímetro, fechando o circuito. Considere também um imã em forma de barra se aproximando da espira, conforme ilustra a figura 1.9, a seguir.

Figura 1.9 – Espira fechada com um amperímetro

Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o imã da espira, a agulha do amperímetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse trabalhando com um amperímetro de zero central), o que significava que havia aparecido no circuito uma corrente elétrica induzida. No momento em que Faraday parou de movimentar o imã, ele notou que a corrente através do circuito se anulava. Numa terceira etapa, afastando o imã da espira, o físico inglês viu a agulha do amperímetro novamente se deslocar, só que para o lado oposto, sinal de que havia surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrário àquele com a qual ela havia aparecido na primeira vez.

Com base nesta e em outras experiências realizadas, Faraday concluiu que:

“Sempre que houver variação do fluxo magnético através de uma espira, surgirá nesta espira uma força eletromotriz induzida”.

A este fenômeno dá-se o nome de “indução eletromagnética”.

A

NS



Da experiência desenvolvida por Faraday é necessário destacar que, para que surja uma f.e.m. induzida no circuito, não é necessária a existência de um fluxo magnético através da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do tempo.

Assim, pode-se escrever matematicamente que:

Vdt

de

(1.3)

Onde:

= Fluxo magnético, variável com o tempo, que atravessa o circuito.

E = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral)

1.3.3 Fatores que influem na variação do Fluxo Magnético

a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade do Campo Magnético

Considere um circuito fechado fixo e um imã em forma de barra, conforme ilustra a figura 1.10, a seguir.

Figura 1.10 – Imã se aproximando de um circuito fechado fixo

À medida que o imã se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do campo magnético e, portanto, há um aumento do fluxo através do circuito (maior número de linhas de campo o atravessa). A variação do campo magnético conduz a uma variação do fluxo

magnético (lembrar que cos AB ). Por outro

lado, o fluxo magnético variável faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o circuito é fechado, irá circular no mesmo uma corrente elétrica.

É importante observar, ainda, que o fenômeno da indução também ocorre quando se mantém o imã fixo e se movimenta o circuito fechado.

b) Variação do Fluxo pela variação da Área

Considere um circuito fechado de área “A” movendo-se no plano do papel sobre um campo magnético uniforme e perpendicular à folha, conforme ilustra a figura 1.11, a seguir.

Figura 1.11 – Circuito fechado entrando em um campo magnético

No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo, começa a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variação na área “A” imersa no campo magnético (“A” varia com o tempo). Aparece, então, uma f.e.m. induzida no circuito, esta f.e.m. dá origem a uma corrente e consequentemente o amperímetro sofre uma deflexão.

Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magnético, o fluxo através da área “A” não mais varia e, portanto, não há corrente induzida no circuito.

c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo “”

Considere um circuito fechado imerso em um campo magnético uniforme de módulo B, inicialmente na posição (1) perpendicular ao campo, conforme mostra a figura 1.12, a seguir.

Figura 1.12 – Espira girando em um campo magnético

Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a normal à superfície e o campo magnético. Nessas condições ocorre uma variação do fluxo através do circuito, esta variação produz uma f.e.m. induzida

N

S

imã móvel

circuito fechado

B

Bnn

(1) (2)

O



no mesmo e, consequentemente, haverá a circulação de uma corrente elétrica.

Observação: As análises anteriores podem ser verificadas através das expressões (1.1), do fluxo magnético e (1.3), da lei de Faraday.

d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente

Considere um circuito fechado colocado próximo de um eletroímã em forma de barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.13 a seguir.

Figura 1.13 – Circuito fechado próximo de um eletroímã

Para uma corrente “i” variável injetada na bobina do eletroímã, corresponderá um fluxo magnético variável que irá envolver o circuito fechado. Este fluxo variável dará origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e consequentemente uma corrente elétrica irá circular no referido circuito.

Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que:

- A variação do fluxo causada, ou por mudança na intensidade do campo magnético, devido a aproximação relativa entre o imã e o circuito (caso “a”); ou por variação da área do circuito

(caso “b”); ou ainda por variação do ângulo “” (caso “c”), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado. Esta f.e.m. é induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma ela é denominada “f.e.m. de movimento”;

- A variação do fluxo causada por variação na intensidade da corrente, considerando o eletroimã e o circuito, fixos (caso “d”) produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que é induzida, não por efeito de movimento, mas sim pela variação da corrente na bobina é denominada “f.e.m. de efeito transformador”.

1.3.4 Lei de Lenz

A intensidade da corrente elétrica originada pela variação do fluxo magnético, num circuito fechado,

puramente resistivo, é dada por:

R

ei (1

a Lei de Ohm)

O estudo do sentido da corrente elétrica é determinado pela Lei de Lenz, que diz o seguinte:

“O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem”.

Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela equação 1.3), como sendo:

Vdt

de

(1.4)

A equação (1.4) corresponde à expressão matemática da “Lei de Lenz-Faraday”.

1.3.5 Lei de Lenz-Faraday

Enunciado: “Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às variações do fluxo que lhe deu origem”.

Expressão Matemática:

Vdt

de

Onde:

= Fluxo magnético, variável com o tempo, que atravessa o circuito.

e = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral)

Sinal = Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de Lenz)

1.4 FLUXO ENLAÇADO

Considere a barra de ferro da figura 1.14, a seguir, envolvida por uma bobina de “N” espiras.

Figura 1.14 – Barra de ferro com N espiras

ELETROIMÃ

CIRCUITO

FECHADO

i

i

N

O

a b



Para uma corrente “i” injetada no terminal “a”

obtém-se um fluxo “” no material ferromagnético.

Na figura 1.7, este fluxo “” enlaça ou concatena as “N” espiras da bobina. Assim, pode-se definir que:

N (1.5)

Onde:

= Fluxo enlaçado ou concatenado

espWbuoespiraWeber

Portanto, “” corresponde ao fluxo que enlaça ou envolve as “N” espiras da bobina.

A figura 1.15, a seguir, apresenta outros exemplos.

Figura 1.15 – Fluxos enlaçados ou concatenados

Na figura 1.15 pode-se observar que:

11 3 fluxo enlaçado com a bobina (1);



24 4 fluxo enlaçado com a bobina (4).

Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da figura 1.16, a seguir.

Figura 1.16 – Fluxo enlaçado com uma bobina

Se o fluxo “” for variável com o tempo tem-se, através das leis de Lenz e Faraday, que:

dt

de

1 (1.6)

dt

de

2 (1.7)

dt

de

3 (1.8)

Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e (1.8), vem:

dt

d

dt

d

dt

deeee

321 (1.9)

Ou ainda,

dt

de

3 (1.10)

Para uma bobina de “N” espiras obtém-se:

dt

dNe

(1.11)

Ou de outra forma:

dt

Nde

)( (1.12)

Com N (ver equação 1.5), pode-se

escrever que:

dt

de

(1.13)

Sendo “” o fluxo total enlaçado ou concatenado com a bobina.

1.5 INDUTÂNCIA PRÓPRIA

A indutância própria é também chamada de auto-indutância. Para entender o seu significado, considere inicialmente a bobina de “N” espiras com corrente “i”, da figura 1.17 a seguir.

Figura 1.17 – Bobina de “N” Espiras com Corrente “i”

(1)

(3)

(2)

(4)

oo

12

e1 e2 e3

a be

N=3

i

N

a b



A corrente “i” passando pela bobina de “N” espiras

dá origem a um fluxo enlaçado “”. Em determinadas condições pode-se dizer que existe uma proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaçado por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é denominada “indutância própria da bobina”, e é normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que:

i

L

(1.14)

Ou ainda,

iL (1.15)

Como N , em (1.14), vem:

i

NL

(1.16)

Considere agora uma corrente variável com o tempo sendo injetada na bobina de “N” espiras da figura 1.17. Pode-se escrever que:

dt

diL

dt

d

(1.17)

Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se:

dt

de

(1.18)

Levando (1.18) em (1.17), obtém-se:

dt

diLe (1.19)

Portanto, da equação (1.19), observa-se que há uma queda de tensão na bobina, como efeito de sua indutância própria. Este comportamento pode ser representado através do circuito elétrico equivalente da figura 1.18, a seguir.

Figura 1.18 – Circuito Elétrico Equivalente

Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria apresenta uma dimensão de [Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H].

É importante observar também que, pela definição a indutância corresponde a uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente que o produz. Isto não é verdadeiro no caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a indutância pode apresentar valores variáveis com a corrente.

De uma forma geral, pode-se dizer que a indutância própria de uma bobina depende: das dimensões, do número de espiras e do meio onde se encontra esta bobina.

1.6 INDUTÂNCIA MÚTUA

Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração com duas bobinas apresentada a figura 1.19, a seguir.

Figura 1.19 – Configuração com Duas Bobinas

A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou mais bobinas adjacentes. Na figura 1.19, tem-se uma corrente “i1” passando pela bobina de “N1” espiras. Esta corrente “i1” dá origem a um fluxo enlaçado com a

bobina de “N2” espiras, de valor “21”, ou seja:

21221 N (1.20)

Onde,

21 = Fluxo magnético da bobina (2), produzido pela corrente i1;

N2 = Número de espiras da bobina (2).

Em determinadas condições, existe uma proporcionalidade entre a corrente “i1” e o fluxo

enlaçado (“21”), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é denominada indutância mútua entre as bobinas 2 e 1, e é normalmente representada por M21. Desta forma, pode-se

escrever que:

1

2121

iM

(1.21)



Ou ainda,

12121 iM (1.22)

De (1.20) e (1.21), tem-se:

1

21221

iNM

(1.23)

Considere agora uma corrente “i1” variável com o tempo sendo injetada na bobina (1), da figura 1.19. Pode-se escrever que:

dt

diM

dt

d 121

21

(1.24)

Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que:

dt

de 21

2

(1.25)

Levando (1.25) em (1.24), obtém-se:

dt

diMe 1

212 (1.26)

Portanto, da equação (1.26), observa-se que há uma tensão induzida na bobina (2), como efeito da circulação de uma corrente variável com o tempo na bobina (1). Esta tensão induzida depende da indutância mútua entre as duas bobinas (M21).

De forma análoga pode-se analisar a influência da passagem de uma corrente “i2” pela bobina (2), sobre a bobina (1). Neste caso, tem-se uma indutância mútua M12 cujo valor é idêntico ao da indutância M21, anteriormente descrita.

Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua apresenta uma dimensão de [Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H], da mesma forma que a indutância própria.

É importante observar também que, pela definição a indutância mútua corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a corrente que o produz. Isto não é verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas é constituído por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias mútuas podem apresentar valores variáveis com as correntes, em função da saturação.

De uma forma geral pode-se dizer que a indutância mútua entre duas bobinas adjacentes depende: da distância entre as bobinas, das dimensões físicas das duas bobinas, do número de espiras em cada bobina, e do meio considerado.

1.6.1 Convenção do Ponto

A convenção do ponto tem por objetivo a definição do sinal do termo relativo à indutância mútua.

A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos construtivos do circuito. A convenção do ponto elimina a necessidade de descrever os aspectos contrutivos.

Para se definir a polaridade deve-se proceder como:

a) Adotar um sentido para a corrente em uma das bobinas do acoplamento e colocar um ponto no terminal onde a corrente adotada ENTRA no enrolamento.

i

b) Com a regra da mão direita, determinar o sentido do fluxo gerado pela corrente adotada.

i

c) Colocar no outro enrolamento o fluxo que deve, SEMPRE, se opor ao fluxo inicial (Lei

de Lenz).

i

original

d) Utilizando a regra da mão direita, determinar o sentido da corrente que circulará pelo enrolamento. Com o sentido da corrente determinado, colocar um ponto no terminal onde a corrente SAI do

enrolamento.



i

i

Com a polaridade dos enrolamentos definida, pela marcação de pontos, o núcleo dos enrolamentos não precisa mais ser desenhado e o circuito passa a ser representado como mostrado a seguir.

e

+

- +

-

e

Figura 1.20 – Polaridade das Bobinas

Portanto, para um par de bobinas acopladas o sinal do termo relativo à indutância mútua fica definido da seguinte forma:

1) Quando as correntes assumidas nos enrolamentos entram ambas ou saem ambas dos terminais marcados, o sinal do termo M será positivo.

2) Quando uma corrente entra e a outra sai dos terminais marcados o sinal do termo M será negativo.

Assim, a polaridade de referência de uma tensão mútua depende da direção de referência da corrente induzida e os pontos nas bobinas acopladas.

A aplicação da convenção de pontos pode ser ilustrada conforme as figuras a seguir.

Mi1 i2

12

die M

dt

Mi1 i2

21

die M

dt

Figura 1.21 – Convenção de Pontos

Mi1 i2

12

die M

dt

Mi1 i2

21

die M

dt

Figura 1.22 – Convenção de Pontos

Seja a figura 1.23 a seguir:

M

i

L1 L2(+)

i

L1 L2(-)

M

Figura 1.23 – Bobinas em Série

A convenção de pontos para indutores conectados em série, com pontos se somando, a indutância total (polaridade aditiva) será:

MLLL 221 (1.27)

Para indutores conectados em série, com pontos opostos, a indutância total (polaridade subtrativa) será:

MLLL 221 (1.28)

1.6.2 Coeficiente de Acoplamento

Na figura 1.19, a corrente “i1” na bobina (1)

estabelece um fluxo magnético total “1”. Parte deste fluxo total atravessa a bobina (2), mais

precisamente a parcela “21”. A relação entre a

parcela de fluxo magnético “21” e o fluxo total “1” é denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por:

2

12

1

21

K (1.27)

Da expressão (1.23) tem-se que:

1

21221

iNM

De forma análoga pode-se escrever que:

2

12121

iNM

(1.28)

Como M12=M21, tem-se:

2

2112 MMM (1.29)

E ainda,

2

121

1

212

2

iN

iNM

(1.30)

Levando (1.27) em (1.30), vem:



2

121

1

212

22

iN

iNKM

(1.31)

Ou ainda,

2

22

1

11

22

iN

iNKM

(1.32)

Como,

1

111

iNL

(1.33)

2

222

iNL

(1.34)

Temos que:

21 LLKM (1.35)

Onde:

K = Coeficiente de acoplamento;

L1 = Indutância própria da bobina (1);

L2 = Indutância própria da bobina (2);

M = Indutância mútua entre as bobinas (1) e (2).

1.7 PERGUNTAS PROPOSTAS

Responda as seguintes perguntas:

01) O que é um circuito magnético? Onde são utilizados?

02) Por quê é importante o estudo de circuitos magnéticos?

03) O que se entende por fluxo magnético atravessando uma espira?

04) Do que depende um fluxo magnético?

05) Quais são as unidades de fluxo magnético que normalmente utilizadas?

06) Fale sobre a experiência realizada por Michael Faraday.

07) Qual é o significado da lei de Faraday?

08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? Dê exemplos.

09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? Dê um exemplo.

10) Qual é o significado da lei de Lenz?

11) Qual é o significado de fluxo enlaçado?

12) Dê exemplos de fluxos enlaçados com bobinas.

13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado?

14) O que é a indutância própria de uma bobina?

15) Qual é a relação entre a indutância própria e o fluxo enlaçado?

16) O que você entende por indutância mútua entre duas bobinas?

17) Qual é a unidade da indutância própria?

18) Qual é a unidade da indutância mútua?

19) O que é o coeficiente de acoplamento?

20) Qual é a relação entre a indutância mútua de duas bobinas e as suas respectivas auto-indutâncias? Faça uma dedução matemática.

1.8 PROBLEMAS PROPOSTAS

Resolva os seguintes problemas:

01) Considere um fluxo magnético de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber.

02) Qual é a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de 0.0006 [Wb] através de uma área de 0.0003 m2?

03) Determine a polaridade magnética do eletroimã da figura a seguir (utilize a regra da mão direita):

04) O fluxo de um eletroímã é de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente até 12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa bobina que contenha 10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magnético.

05) No problema anterior, qual é o valor da tensão induzida se o fluxo magnético permanecer constante em 06 [Wb] após 02 [s]?

06) Um imã permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir. Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida.



07) Uma bobina de 100 espiras, com auto-indutância de 10 [H], é percorrida por uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200 A/s. Calcular o fluxo enlaçado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma.

08) Uma bobina tem uma indutância própria igual a 5 [H] e corrente “i” dada por:

tiiMÁX

377sen . Fazer o gráfico do fluxo

magnético, do fluxo enlaçado e da f.e.m. induzida em função do tempo.

09) Qual é a densidade de fluxo de um núcleo que possui 20.000 linhas e uma área da seção reta de 5 [cm2]?

10) Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando. Todas as respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional.

B A 0.000035 [Wb] ? 0.001 [m

2]

? 0.8 [T] 0.005 [m2]

10000 [linhas] ? 02 [cm2]

0.000090[Wb] ? 0.003 [m2]

11) No campo estacionário de uma bobina de 500 espiras, calcule a tensão induzida produzida pelas seguintes variações de fluxo:

(a) 0,4 [Wb] aumentando para 0,6 [Wb] em 0,1 [s];

(b) 0,6 [Wb] diminuindo para 0,4 [Wb] em 0,1 [s];

(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em 5.10-6 [s];

(d) 0,4 [Wb] constante durante 0,1 [s].

12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina (01) é de 05 [A] e os

fluxos correspondentes 11 e 21 são, respectivamente, 20000 e 40000 [Maxwell]. Sendo N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras, determinar L1, L2, M e K.

13) Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] têm um coeficiente de acoplamento K = 0.9. Determinar

a indutância mútua entre elas, bem como a relação N1/N2.

14) Duas bobinas cujas respectivas auto-indutâncias são L1 = 0,05 [H] e L2 = 0,20 [H] têm coeficiente de acoplamento igual a 0,5. A bobina

(2) tem 1000 espiras. Sendo ti 400sen051 a

corrente na bobina (1), determinar a tensão na bobina (2) e o fluxo máximo estabelecido pela bobina (1).

15) Duas bobinas têm coeficiente de acoplamento igual a 0,85 e a bobina (1) tem 250 espiras. Com i1 = 0,2 [A] na bobina (1), o fluxo total

1 = 0,0003 [Wb]. Reduzindo-se i1 linearmente até zero, em dois milissegundos a tensão induzida na bobina (2) fica igual a 63,75 [V]. Determinar L1, L2, M e N2.

16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N1 = 100 e N2 = 800 espiras é 0,85. Com a bobina (1) aberta e uma corrente de 0,5 [A] na bobina (2), o fluxo é 0,00035 [Wb]. Determinar L1, L2 e M.

17) Duas bobinas idênticas têm indutância equivalente de 0,08 [H], quando ligadas em série aditiva, e de 0,035 [H], quando em série subtrativa. Quais são os valores de L1, L2, M e K?

18) Duas bobinas idênticas têm L = 0,02 [H] e coeficiente de acoplamento K = 0,8. Determinar M e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que elas estejam ligadas em série aditiva e em série subtrativa.

19) Duas bobinas cujas indutâncias estão na relação de quatro para um têm coeficiente de acoplamento igual a 0,6. Ligadas em série aditiva, sua indutância equivalente é 44,4 [mH]. Determinar L1, L2 e M.

20) Qual é a indutância de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]?

21) Uma bobina tem uma indutância de 50 [mH]. Qual é a tensão induzida na bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10000 [A/s]?

22) Uma determinada bobina de 20 [mH] opera com uma frequência de 950 [kHz]. Qual é a reatância indutiva da bobina?



1.9 BIBLIOGRAFIA

[1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., “Electric Power System Components - Transformers and Rotating Machines”, Van Nostrand Reinhold Company, 1979.

(Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14);

[2] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 1985.

(Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 - págs. 307 a 316);

[3] Joseph A. Edminister, “Circuitos Elétricos”, Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991.

(Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs. 362 a 365);

[4] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, 1986.

(Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 - págs. 775 a 781 e 784 a 786);

[5] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física”, Parte 03 - Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991. (Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 - págs. 219 a 222 e 227 a 228);

[6] “Curso Completo de Eletricidade Básica”, U. S. Navy, Bureau of Naval Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda.

(Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222, capítulo 10 - págs. 241 a 248 e 254 a 259);

[7] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers - Moscow, 1973.

(Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129).

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