Semana 1-2
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1
Pesquisa Operacional
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22
Apresentação
Everaldo de Barros
• Mestre em Engenharia Aeronáutica-Mecânica - ITA
• Mestre em Técnicas Aeronáuticas e Espaciais – SUPAERO/França
• Doutor em Engenharia Mecânica – UNESP
• Pesquisador DCTA
• Prof. Titular da Faculdade Anhanguera de Taubaté
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3
Capítulos 1-2
Programação Linear
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4
1. Programação linear
Pesquisa Operacional – aspectos históricos
O nome “Pesquisa Operacional” surgiu pela 1a vez durante a
Segunda Guerra Mundial.
Foi resultado de estudos realizados por equipes
interdisciplinares de cientistas contratados para resolver
problemas militares.
A técnica se consolidou em 1947, com a equipe liderada por
George B. Dantzig (Rand Corporation no projeto SCOOP-
Scientific Computation of Optimum Programs) trabalhando para
Força Aérea Americana desenvolvendo técnicas para a
distribuição ótima de tropas.
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5
1. Programação linear
Pesquisa Operacional – definição
É um método científico que fornece instrumentos para a
tomada de decisões.
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6
1. Programação linear
Aspectos históricos
O nome “Pesquisa Operacional” surgiu pela 1a vez durante a
Segunda Guerra Mundial.
Foi resultado de estudos realizados por equipes
interdisciplinares de cientistas contratados para resolver
problemas militares.
A técnica se consolidou em 1947, com a equipe liderada por
George B. Dantzig (RAND CORPORATION no projeto SCOOP-
Scientific Computation of Optimum Programs) trabalhando para
Força Aérea Americana (EUA) desenvolvendo técnicas para a
distribuição ótima de tropas
.
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7
1. Programação linear
Modelos de programação matem ática
A escassez de certo produto ou matéria-prima ocorre pela
dificuldade de produção e/ou obtenção, entre outras razões.
Tal dificuldade exige que esses recursos escassos sejam
empregados de forma mais eficiente e eficaz.
Busca-se, portanto, maximizar ou minimizar uma
quantidade (lucro, custo, receita, número de produtos, entre
outros), chamada de fun ção objetivo , que depende de um
ou mais recursos escassos.
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8
Modelos de programação matem ática
Em problemas reais de otimização, busca-se maximizar ou
minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que
depende de um número finito de variáveis de entrada.
As variáveis de entrada podem ser:
• Independentes uma das outras.
• Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais
restrições.
1. Programação linear
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9
Áreas de aplicação da programação linear
• Administração da produção
• Análise de investimentos
• Alocação de recursos limitados
• Planejamento regional
• Logística
- Custo de transporte
- Localização de rede de distribuição
• Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação.
1. Programação linear
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10
Programação matem ática
Um problema de programação matemática é um problema
de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressos
como funções matemáticas e relações funcionais.
≥=≤
=
nnn
n
n
n
b
b
b
xxxg
xxxg
xxxg
xxxfz
:
),...,,(
:
),...,,(
),...,,(
:a Sujeito
),...,,( :Otimizar
2
1
21
212
211
21
1. Programação linear
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11
Programação matem ática
≥=≤
=
nnn
n
n
n
b
b
b
xxxg
xxxg
xxxg
xxxfz
:
),...,,(
:
),...,,(
),...,,(
:a Sujeito
),...,,( :Otimizar
2
1
21
212
211
21
xj - representa as quantidades das variáveis de decisão utilizadas (j = 1, 2,...,n)
bi - representa a quantidade disponível de determinado recurso (i = 1, 2,...,m)
f(x) - função-objetivo
g(x) - funções utilizadas nas restrições do problema (i = 1, 2,..., m)
1. Programação linear
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12
Variáveis de decisão
• x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão.
• As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o
cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.
• As variáveis de decisão representam as opções que um
administrador têm para atingir um objetivo. Ex.:
- Quanto produzir para maximizar o lucro?
- Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira?
1. Programação linear
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13
Problema de programação linear (PPL)
Um problema de programação matemática é linear se a
função-objetivo e cada uma das funções que representam as
restrições forem lineares, isto é, na forma abaixo:
nnn xcxcxcxxxf +++= ...),...,,( 221121
g x x x a x a x a xi n i i in n( , , . . . , ) . . .1 2 1 1 2 2= + + +
),...,,(21 n
xxxf
1. Programação linear
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14
Problema de programação NÃO linear
A presença de qualquer das expressões abaixo tornam o
problema não linear:
( ) 1 para 1 ≠nx n
( ) a basequalquer para log 1xa
aa x devalor qualquer para 1
1. Programação linear
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15
Programação linear
Exemplos:
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
≥≤+
≤+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2032
s.r.
2min
21
21
21
21
≥=+
≥+
+
xx
xx
xx
xx
1. Programação linear
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16
PPL na forma padrão
1. Programação linear
0x,...x,x,x
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
xc...xcxcZ
n321
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
nn2211
≥≤+++
≤+++≤+++
+++= :a Sujeito
Maximizar
não negativos
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17
PPL na forma padrão
1. Programação linear
0,
60020180
2032
s.r.
2min
21
21
21
21
≥=+
≥+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
≥≥≥≥≤≤≤≤+
≤≤≤≤+
+
xx
xx
xx
xx
0,
60020180
2042
s.r.
max
21
21
21
21
≥≥≥≥≤≤≤≤+
≤≤≤≤+
+
xx
xx
xx
xx
PPL na forma não padrão
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18
Formulação do PPL
A formulação de qualquer problema a ser resolvido segue alguns passos
básicos:
• Quais as variáveis de decisão ?
• Qual o objetivo ? Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão, que deve ser
único. Por exemplo, maximização de lucro, minimização de tempo, custo. Tal
objetivo será representado por uma função objetivo.
• Quais as restrições ?Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como
uma relação linear (igualdade ou desigualdade), definidas com as variáveis de
decisão.
1. Programação linear
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Exercícios
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
≥=≤
=
nnn
n
n
n
b
b
b
xxxg
xxxg
xxxg
xxxfz
:
),...,,(
:
),...,,(
),...,,(
:a Sujeito
),...,,( :Otimizar
2
1
21
212
211
21
xj - variáveis de decisão
f(x) - função-objetivo
g(x) - restrições
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Exercício 1. Um pintor faz quadros artesanais para vender numa feira que
acontece todo noite. Ele faz quadros grandes e desenhos pequenos, e os vende
por R$ 5,00 e R$ 3,00, respectivamente. Ele só consegue vender 3 quadros
grandes e 4 quadros pequenos por noite. O quadro grande é feito em 1 hora
(grosseiro) e o pequeno é feito em 1 hora e 48 minutos = 1,8 hora (detalhado).
O desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira. Quantos quadros
de cada tipo ele deve pintar para maximizar a sua receita?.
Solução: uma forma de facilitar o processo de modelagem consiste em responder
às perguntas na seguinte sequência:
• O que decide ?
• Para que decide ?
• Com que restrições ?
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
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Solução.
• Precisamos traduzir a decisão do pintor em um modelo de programação
linear para resolvê-lo.
• Variáveis de decisão: x1 e x2 as quantidades de quadros grandes e pequenos
que ele faz por dia, respectivamente.
• O objetivo do pintor é aumentar sua receita ao máximo.
• Restrições do problema:
- venda de quadros grandes e pequenos;
- tempo de pintura.
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
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22
Modelo para a tomada de decisão:
• Variáveis de decisão x1 – no. quadros grandes
x2 – no. quadros pequenos
• Função-objetivo max Z = 5x1 + 3x2
• Restrição de venda de quadros grandes x1 ≤ 3
• Restrição de venda de desenhos x2 ≤ 4
• Restrição de tempo x1 + 1,8x2 ≤ 8 (1h48 min = 1,8h)
• Não negatividade x1, x2 ≥ 0
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
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Exercício 2. Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de
algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã.
Para um terno são necessários: 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1metro de lã.
Para um vestido, são necessários: 1 metro de algodão, 2 metros de seda e3 metros de lã.
Se um terno e vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas pecas decada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro?
Solução:
• Variáveis de decisão
• Função objetivo
• Restrições
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
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Solução.
• Variáveis de decisão: x1 e x2 as quantidades de ternos e vestidos que o alfaite
produz.
• O objetivo do alfaiate é maximizar o seu lucro.
• Restrições do problema:
- algodão;
- seda;
- lã.
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 25: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Modelo para a tomada de decisão:
• Variáveis de decisão x1 – no. ternos
x2 – no. vestidos
• Função-objetivo max Z = 300x1 + 500x2
• Restrição de algodão 2x1 +x2 ≤ 16
• Restrição de seda x1 + 2x2 ≤ 11
• Restrição de lã x1 + 3x2 ≤ 15
• Não negatividade x1, x2 ≥ 0
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 26: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Exercício 3. Sabe-se que uma pessoa necessita em sua alimentação diária de
um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos.
Supondo que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos soja
e feijão. Um kg do soja contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de
carboidratos custa R$ 2,00. Um kg de feijão contém 6 unidades de proteínas, 5
unidades de carboidratos e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de
cada produto de modo que as exigências de alimentação sejam satisfeitas a um
custo mínimo ?
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 27: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Solução.
• Variáveis de decisão:
x1 - quantidade de soja
x2 - quantidade de feijão
• O objetivo é minimizar o custo da alimentação.
• Restrições do problema:
- proteínas;
- carboidratos .
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 28: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Modelo para a tomada de decisão:
• Variáveis de decisão x1 – quantidade de soja
x2 – quantidade de feijão
• Função-objetivo min Z = 2x1 + 3x2
• Restrição de qtide. proteínas (mínima) 3x1 + 6x2 ≥ 15
• Restrição de qtide. carboidratos 10x1 + 5x2 ≥ 20
• Não negatividade x1, x2 ≥ 0
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 29: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Exercício 4. Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos:
• o tipo A com 2 m3 de espaço refrigerado e 4 m3 de espaço não refrigerado;
• o tipo B com 3 m3 refrigerados e 3 m3 não refrigerados.
Uma fábrica precisou transportar 90 m3 de produto refrigerado e 120 m3
de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de
modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era R$ 0,30 por km e o do B,
R$ 0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 30: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Solução.
• Variáveis de decisão:
x1 – caminhão tipo A
x2 – caminhão tipo B
• O objetivo é minimizar o custo da alimentação.
• Restrições do problema:
- espaço refrigerado ;
- espaço não refrigerado.
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 31: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Modelo para a tomada de decisão:
• Variáveis de decisão x1 – caminhão tipo A
x2 – caminhão tipo B
• Função-objetivo min Z = 0,30x1 + 0,40x2
• Restrição do espaço refrigerado 2x1 + 3x2 ≤ 90
• Restrição do espaço não refrigerado 4x1 + 3x2 ≤ 120
• Não negatividade x1, x2 ≥ 0
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 32: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Exercício 5 (PLT ex. 6 p. 26). A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em
janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro,
tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de
lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção
da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra
no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar
16 ton de lâminas finas, 6 ton de lâminas médias e 28 ton de lâminas grossas.
Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para
cada tipo de lâmina.
• Fábrica de SP: custo de produção/dia de R$ 100.000,00 para uma capacidade
produtiva de 8 ton de lâminas finas, 1 ton de médias e 2 ton de lâminas grossas.
• Fábrica do RJ: custo de produção/dia R$ 200.000,00 para uma produção de 2 ton
de lâminas finas, 1 ton médias e 7 ton de lâminas grossas.
Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os
pedidos ao menor custo possível ?
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 33: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Exercício 6 (PLT ex. 7 p. 26). Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz
16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer
somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de
queijo para fazer um calzone.
Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é
vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se:
Quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente
para maximizar a sua receita, considerando que ela tem três pizzaiolos ?
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 34: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Exercício 7 (PLT ex. 8 p. 26). A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-
deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem
100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda
linha tem um limite de 42 horas semanais.
Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto
que na linha 2 o para-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.
Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa,
bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro
para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção
que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A.
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
![Page 35: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Exercício 7. (CORRAR, Luiz J. ex. 6 p. 333). A indústria Maximóveis fabrica dois tipos de produtos: cadeiras e mesas, que as seguintes margens de contribuição por unidade:
Exercícios. Apresente modelos de PL para as situações descritas.
Produto Margem de contribuição/un. (R$)
Cadeiras 10
Mesas 8
Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por esses deptos., cada unidade do produto consome determinado no horas:
DepartamentoConsumo de horas pelos produtos
Cadeira Mesa
Montagem 3 3
Acabamento 6 8
Os deptos. apresentam limitação na capacidade produtiva:
Depto Capacidade máx (horas)
Montagem 30
Acabamento 48
Qual é a melhor combinação possível de cadeiras e mesas a serem produzidas para obter a maior margem de contribuição total ?
![Page 36: Semana 1-2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062221/563dbacf550346aa9aa8422a/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Curso de AdministraçãoPesquisa Operacional