Clculo 2Lucas Seco e Mauro PatroAgradecimentosAgradecemos as sugestes dos colegas do MAT-UnB e dos estudantes do Cl-culo 2 que utilizaramalguma das verses desse livro, o que permitiu uma con-sidervel melhoria no contedo e na apresentao do texto.SUMRIOSumrio 11 Introduo 52 Sequncias e sries 152.1 Limite de Sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Propriedades do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Sequncias e funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Sequncia de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Sequncias montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Teste da divergncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Sries telescpicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Sries geomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Operaes com sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Operaes com sries de potncias . . . . . . . . . . . . 562.3 Testes de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Teste da cauda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Teste da comparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Teste da convergncia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Teste da srie alternada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Teste da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Teste da razo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 Sries de potncias 8512 Sumrio3.1 Domnio de sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Derivada de sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Integral de sries de potncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Unicidade dos coecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.2 Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Srie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Polinmio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Calculadora cientca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exponenciais, potncias e suas inversas . . . . . . . . . 122Trigonomtricas hiperblicas e suas inversas . . . . . . 124Trigonomtricas e suas inversas . . . . . . . . . . . . . . 1254 Equaes diferenciais 1274.1 Equao diferencial ordinria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Sistemas de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.2 EDO separvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Catenria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 EDO linear de 1 ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4 EDO linear de 2 ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Soluo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Soluo da homognea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Soluo da no-homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.5 Coecientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Equao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Razes reais distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Raiz real nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Razes complexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.6 Coecientes variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Mecnica quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Oscilador harmnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181tomo de hidrogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Existncia e unicidade de solues . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Solues por sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895 Transformada de Laplace 1975.1 Propriedades da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Linearidade da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Transformada da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Sumrio 3Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Mudana de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Derivada da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Injetividade da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.2 Transformada inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.3 Funes denidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.4 Transformada de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A Apndice 245A.1 Sequncia montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.2 Integral imprpria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247A.3 Exponencial complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Funes com valores complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.4 Continuidade de sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . 256A.5 Derivada de sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260A.6 Solues por sries de potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263A.7 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270A.8 EDO linear de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Soluo da homognea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Soluo da no-homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283CAPTULO1INTRODUOO Clculo o estudo do movimento: a quantidades que se movem so dadaspor funes, os limites de funes fornecem as tendncias dessas quantida-des, e as derivadas de funes fornecemas taxas de variao dessas quantida-des. J a integral a antiderivada: dada a taxa de variao de uma quantidade,quem a quantidade? No Clculo 1 vimos diversos exemplos e aplicaesde limites, derivada e integral de funes polinomiais, trigonomtricas, expo-nenciais e suas combinaes.Derivar e calcular os limites de uma dada funo fcil, uma vez que seconhea as regras bsicas. No entanto,integrar nem sempre fcil! Aindaassim, para estudar o movimento, a integral a ferramenta mais importante:pense na situao em que voc est pilotando um veculo, seja um carro ouum foguete de posicionamento de um satlite. Voc quer chegar em algumlugar, portanto est interessado na posio do veculo, no entanto voc nocontrola a posio do veculo diretamente: voc tem controle da velocidade(freios) e da acelerao do veculo. Ou seja, voc tem controle das taxas devariao da quantidade, e com isso quer encontrar a quantidade: voc querintegrar!Nesse curso de Clculo 2 vamos, numcerto sentido, melhorar a integral. Oprimeiro passo para isso ser aumentar o nosso repertrio de funes: quantomaisfunestivermos, maisfunesconseguiremosintegraremaismovi-6 Captulo 1. Introduomentos poderemos descrever.Por exemplo, a rea abaixo da conhecida curva de sino de Gauss est rela-cionada ao clculo de certas probabilidades. Como calcular a integral denida_baex2dx =?b aex2Para calcul-la usando Clculo 1, precisamos primeiro calcular a integral in-denida obtendo uma primitiva de ex2(isto , uma funo cuja derivada ex2).Porm essa primitiva no nenhuma das funes do Clculo 1, e nemmesmo nenhuma combinao delas!Por outro lado, muito fcil obter a derivada e a integral indenida umpolinmio de grau nc0+c1x +c2x2+ +cnxnuma vez que(c0+ c1x + c2x2+ + cnxn)

=c1+ c22x + + cnnxn1e que_(c0+ c1x + c2x2+ + cnxn) dx =c0x + c1x22+ c2x33+ + cnxn+1n +1+CSer que toda funo pode ser dada por um polinmio?Cada vez que derivamos um polinmio seu grau diminui por um. Assim,depois de derivar n +1 vezes um polinmio de grau n temos que o polinmiozera. Por outro lado temos que(ex)

=ex7( cos(x))

= cos(x)( sen(x))

= sen(x)o que mostra que nenhuma das funes ex, cos(x), sen(x) dada por umpolinmio.Mas e se considerarmos polinmios innitos"?Exemplos1) A soma de todos os termos da progresso geomtrica de razo x1+x +x2+ +xn+ 1+x+x2 0 um polinmio innito.Se x umnmero entre 0 e 1, a potncia xnca cada vez menor medida que n cresce.Podemos obter o valor dessa soma innita partir da semelhana dos seguintes tringulos retngulos8 Captulo 1. Introduo1+x+x2 1xx21xx x2A BCObservequeahipotenusadoprimeiroedosegundotringuloverde tm a mesma inclinao pois1x1= x x2xe, como elastm um ponto em comum, essasduas hipotenusasformam uma reta. Repetindo esse raciocnio obtemos uma reta deC at B e, portanto, um tringulo retngulo ABC tal que AC =1 eAB =1+x +x2+ +xn+ Como o tringuloABC semelhante ao primeiro tringulo verde,segue que AB est para ACassim como 1 est para 1x, de modoque1+x +x2+ +xn+ =11xMais adiante veremos que essa igualdade vale para qualquer x (1, 1). Por exemplo, para x =12 temos1+12+14+ +_12_n+ =1112=2921+12+140 Faz sentido ento falar do polinmio innito 1+x+x2+ +xn+ , desde que tomemos o cuidado de considerar apenas valores dex em (1, 1).2)11+x dado por um polinmio innito? Temos que11+x=11(x)= 1+(x) +(x)2+(x)3+(x)4+ +(x)n+ = 1x +x2x3+x4x5+ +(1)nxn+ para x (1, 1).11+x2 dado por um polinmio innito? Temos que11+x2=11(x2)= 1+(x2) +(x2)2+(x2)3+(x2)4 +(x2)n+ = 1x2+x4x6+x8+ +(1)nx2n+ para x2 (1, 1), ou seja, para x (1, 1).3) Vimos que exno umpolinmio nito, pois (ex)

=ex. Ser que um polinmio innito? Fazendoex= c0+ c1x + c2x2+ c3x3+ c4x4+ devemos descobrir quem seria cada coeciente cnda potncia de10 Captulo 1. Introduograu n. Fazendo x =0, temose0= c0+ c10 + c202+ c303+ c404+ 1 = c0de modo que c0 = 1 o coeciente da potncia de grau 0. Deri-vando termo a termo temos que(ex)

= c1+ c22x + c33x2+ c44x3+ Usando ento que(ex)

= c1+ c22x2+ c33x2+ c44x3+ ex= c0+ c1x + c2x2+ c3x3+ e igualando os coecientes das potncias de mesmo grau,temosquec1=c0=1 = c1=1c22 =c1=1 = c2= 12c33 =c2= 12= c3=13!c44 =c3=13!= c4=14!Segue que, em geralcn=1n!de modo queex= 1 + x +12!x2+13!x3+14!x4+ 11Veremos mais adiante que isso pode ser feito rigorosamente e quea igualdade acima vale para todo x R. Observe que(ex)

= ( 1 + x +12!x2+13!x3+14!x4+ )

= 1 +12!2x +13!3x2+14!4x3+ = 1 + x +12!x2+13!x3+ = ex4) J comentamos que a rea abaixo da conhecida curva de sino deGauss, dada por_baex2dxest relacionada ao clculo de certas probabilidades.Podemoscalcular essaintegral usandoopolinmioinnitopara exe fazendoex2= 1 + (x2) +12!(x2)2+13!(x2)3+ = 1 x2+12!x413!x6+ para x (, ), de modo que_ex2dx = x x33+12!x5513!x77+ +Cpara todo x R.5) Vimos que sen(x) no um polinmio nito, pois ( sen(x))

= sen(x). Ser que um polinmio innito? Fazendosen(x) = c0+ c1x + c2x2+ c3x3+ 12 Captulo 1. Introduotemos quesen

(x) = c1+ c22x + c33x2+ c44x3+ sen

(x) = c22 + c33 2x + c44 3x2+ c55 4x3+ Fazendo x =0, temossen(0) = c0+ c10 + c202+ c303+ 0 = c0sen

(0) = c1+ c220 + c3302+ c4403+ 1 = c1de onde conclumos que c0=0 e c1=1. Usando quesen

(x) = c22 + c33 2x + c44 3x2+ c55 4x3+ sen(x) = c0 c1x c2x2 c3x3+ e igualando os coecientes das potncias de mesmo grau,temosquec22 =c0=0 = c2=0c33 2 =c1=1 = c3=13!c44 3 =c2=0 = c4=0c55 4 =c3=13!= c5=15!Segue quesen(x) = x 13!x3+15!x517!x7+19!x9+ Veremos mais adiante que isso pode ser feito rigorosamente e quea igualdade acima vale para todo x R.13Usandoque cos(x) = sen

(x) podemos facilmenteescrevercos(x) como um polinmio innitocos(x) = (x 13!x3+15!x517!x7+ )

= 1 13!3x2+15!5x417!7x6+ = 1 12!x2+14!x416!x6+ para todo x R.Sabemos quecos(x) uma funo par esen(x) uma funompar, isto cos(x) =cos(x) e sen(x) = sen(x)Observe que no polinmio innito para cos(x) aparecem apenaspotncias pares e no polinmio innito parasen(x) aparecemape-nas potncias mpares. Coincidncia?CAPTULO2SEQUNCIAS E SRIES2.1 LIMITE DE SEQUNCIASOlimitedesequnciasexpressaaideiadeaproximaessucessivas, queuma das ideias fundamentais do Clculo 2. Por exemplo,podemos aproxi-mar a rea de uma circunferncia de raio 1 pela rea ando polgono regularde n lados inscrito nessa circunferncia: quanto maior o nmero n de lados,mais prximo a rea an ca da rea da circunferncia.Mais geralmente, uma sequncia uma lista ordenada e innita de nme-ros reaisa0, a1, a2, a3, . . . , an, . . .Denominamos a0 de 0-simo termo da sequncia, a1 de 1-simo termo dasequncia, a2 de 2-simo termo da sequncia e assim por diante. Numa po-16 Captulo 2. Sequncias e sriessiogenrican, aparecean, on-simotermodasequncia, denominadotermo geral da sequncia. Muita vezes,denotamos sequncia acima sim-plesmente pelo seu termo geral an. Podemos visualizar uma sequncia comouma progresso innita de pontos da reta real.a3a2a0a1an0Uma sequncia an pode comear em n =0, n =1, n =2, etc: em geral nonos interessa os valores dos primeiros termos de uma sequncia an mas simseu valor limite: o valor do qual a sequncia anse aproxima a medida quen cresce para o innito. Para isso, olhamos a sequncia an como uma funoa(n) que para cada natural n associa o valor real a(n) =an e denimos o limiteda sequncia usando a mesma denio do limite no innito de funes reaislimnan=limna(n)como ilustrado na gura abaixo, onde limnan=a.n+1 n1...n... 7 6 54 3 21 0......aan...2.1. Limite de Sequncias 17Exemplos1) Considere uma corda de uminstrumento musical vibrando presaa duas extremidades. No primeiro harmnico dessa corda, o pri-meiro n ocorre apenas na outra extremidade. No segundo harm-nico dessa uma corda, o primeiro n ocorre na metade da corda.No terceiro harmnico dessa uma corda, o primeiro n ocorre emum tero da corda, e assim em diante.11/21/31/41/51/61/7Isso d origem sequncia harmnicaan=1nClaramente, temoslimn1n =0pois um limite do tipo limitado sobre innito.18 Captulo 2. Sequncias e sries2) an=n, a sequncia dos nmeros naturais0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .bn=2n, a sequncia dos nmeros pares0, 2, 4, 6, . . . , 2n, . . .cn=2n +1, a sequncia dos nmeros mpares1, 3, 5, 7, . . . , 2n +1, . . .Claramente, temoslimnan=limnbn=limncn=3) an=(1)n a sequncia alternada1, 1, 1, 1, . . . , (1)n, . . .1 10Observe quea2n=1 e a2n+1=1Temos que limnanno existe, uma vez que a sequncia alter-nada no se aproxima de nenhumvalor medida que n cresce parao innito.4) Seja an a rea do polgono regular de n lados inscrito na circun-ferncia de raio 1, n 3. Podemos calcular a rea anse notarmosque ela consiste de n tringulos com lados iguais de comprimento1 e ngulo 2/n entre eles.2.1. Limite de Sequncias 192nnfcilverquecadaumdessestringulostemaltura cos(/n)ebase 2 sen(/n) de modo que sua rea cos(/n) sen(/n) =sen(2/n)2onde usamos a frmula da soma de arcos de seno. Somando a readesses n tringulos obtemos a rea do polgono, dada poran=nsen(2/n)2Intuitivamente, devemos terlimnan=pois essa a rea da circunferncia de raio 1. Porm, como mostrarisso rigorosamente?5) Nesse exemplo vamos ver a importncia de se ter uma noo ri-gorosa de limite de sequncias. Considere a hipotenusa de um tri-ngulo retngulo de catetos com comprimento 1. Essa hipotenusatem, portanto, comprimento

2.20 Captulo 2. Sequncias e sries

211Vamos tentar aproximar sucessivamente o comprimento dessa hi-potenusa com o comprimento cn de escadas que vo do comeoao m da hipotenusa, com cada vez mais degrausc0c1c2c3c4Pelodesenho, temosaimpressodeque, quantomaiorn, maisprximo o comprimento das escadas camdo comprimento da hi-potenusa. Mas, de fato, isso que est acontecendo?No! Observe que o comprimento de cada escada sempre omesmo cn=2 para todo n. (Por qu?) Segue que cn uma sequn-cias constante elimncn=2Em geral, quando no houver risco de mal entendidos, o limite de an serdenotado simplesmente porliman=acando subentendido que n . Outra notao, que ser menos utilizada, anaque pode ser lida como an tende para seu limite a.2.1. Limite de Sequncias 21Observe que, para o limite de uma sequncia, no importa onde a sequn-cia comea mas sim onde a sequncia termina:os valores de anquando ntende ao innito. Em particular, se liman=a entoliman+1=a e liman1=apois quando n tende ao innito, ambos n 1 e n +1 tambm tendem ao in-nito.PROPRIEDADES DO LIMITETodas as propriedades vlidas para limite no innito de funes reais tambmso vlidas para limite de sequncias. Emparticular, valemas regras do limiteda soma, produto e quociente.Proposio 2.1Sejam liman e limbn existem , ento(S) liman+bn= liman+limbn(P) limanbn= limanlimbn(Q) lim anbn=limanlimbn, se limbn=0Valem tambm a monotonicidade e o teorema do sanduche.Proposio 2.2Temos que(A) Se anbn, ento limanlimbn.(B) Se ancnbn e liman=limbn=c, ento limcn=c.Dizemos que uma sequncia limitada se ela no se afasta indenida-mente da origem, mais precisamente, se existe um R >0 tal que |an| 0, ento lim1an=.(C) Se liman=e anbn, ento limbn=.ExemploVamos considerar a sequncia an= 10nn!e perceber que, para obterseu limite, s importa o que acontece para n grande. Temos quea0=1