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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO

SUL - UNIJUÍ

SANDRA EDINARA BARATTO VIECELLI

MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO DE UMA

BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS.

Ijuí / RS – BRASIL, 2014

2



BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Modelagem Matemática da Universidade Regional do

Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ),

como requisito parcial para obtenção do título de Mestre

em Modelagem Matemática.

Orientador: Dr. Antonio Carlos Valdiero

Ijuí / RS – BRASIL

2014

3

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO

SUL

DCEEng – DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA


BANCADA PARA ENSAIO DE ESTRUTURAS

Elaborado por


Como Requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática

Ijuí, RS, 04 de Abril de 2014

4

Ao meu grande amor, Rodrigo, por estar sempre ao meu lado,

nos melhores e piores momentos de minha vida.

5

AGRADECIMENTOS

A Deus, por sempre me conceder sabedoria nas escolhas dos melhores caminhos, coragem

para acreditar, força para não desistir e proteção para me amparar.

Ao meu esposo, pelo amor incondicional, paciência na minha ausência e nas horas de

sofrimento e desespero, ajudando a obter forças para lutar e seguir em frente, com muito

amor, carinho e muita coragem para não desistir de meus sonhos. Rodrigo, obrigada por não

desistir de mim.

A Minha Família, em especial aos Meus Pais, e a Minha Irmã, um enorme obrigada por

acreditarem sempre em mim e naquilo que faço e por todos os ensinamentos de vida. Espero

que esta etapa, que agora termino, possa de alguma forma, retribuir e compensar todo o

carinho, apoio e dedicação que me oferecem.

Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero, pelos ensinamentos transmitidos, pela

orientação e direcionamento de pesquisa, pela paciência, disponibilidade e dedicação. Além

disso, devo a ele inúmeras tardes de conversa produtiva sobre a evolução deste trabalho.

Dessa forma um agradecimento especial ao meu mentor e amigo.

A todos os meus amigos, por compreender minhas inúmeras ausências durante a produção

deste trabalho e por valorizar a trajetória que escolhi seguir. Agradeço também aos meus

amigos pelos momentos de diversão, pelos conselhos, e pelas palavras de conforto nos

momentos mais difíceis.

Aos colegas do Mestrado em Modelagem Matemática, pelos momentos de estudos e

descontração, também pelas palavras amigas e pelo carinho a mim dedicado. Agradeço em

especial meu colega e parceiro Claudio pela amizade e pelas trocas de conhecimentos. Muitas

foram às tardes e noites de estudos no Laboratório.

Á Geni, secretária do Mestrado, pela amizade, pelo carinho e pela atenção disponibilizada.

6

Á UNIJUÍ pela infraestrutura disponibilizada e a todos os professores do Mestrado pelos

conhecimentos transmitidos.

Aos bolsistas do laboratório de pesquisa da UNIJUÍ, campus Panambi, pelo auxilio na

construção da bancada, em especial ao Djonatan.

Ao CNPq pelo apoio financeiro em forma de bolsa.

A todos aqueles que de uma forma ou de outra contribuíram para realização deste trabalho.

7

Não existe felicidade completa. Quando

compreendemos e aceitamos esse fato,

ficamos mais sábios, passando a saborear

melhor cada gota de felicidade proporcionada

por nosso destino e nossos esforços.

OSHO

8

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................. 10

LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. 13

LISTA DE SÍMBOLOS ........................................................................................................... 14

RESUMO ................................................................................................................................. 18

ABSTRACT ............................................................................................................................. 20

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 21

1.1 Generalidades ................................................................................................................. 21

1.2 Descrição do Atuador Pneumático ................................................................................. 23

1.3 Bancada Didática para o Concurso de Pórticos .............................................................. 24

1.4 Antecedentes e Revisão Bibliográfica ............................................................................ 27

1.5 Objetivos e Justificava .................................................................................................... 30

1.6 Metodologia .................................................................................................................... 31

1.7 Problema Proposto e Organização do Trabalho ............................................................. 32

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO .................................. 34

2.1 Introdução ....................................................................................................................... 34

2.2 Modelo Não Linear de 3ª Ordem. ................................................................................... 35

2.3 Desenvolvimento do Modelo Matemático dos componentes do Atuador Pneumático .. 37

2.3.1 Não Linearidade da Zona Morta na Válvula ........................................................... 37

2.3.2 Caracterização da Vazão Mássica na Servoválvula ................................................ 39

2.3.3 Dinâmica das Pressões nas Câmaras do Cilindro .................................................... 41

2.3.4 Equação do Movimento com Inclusão da Dinâmica do Atrito ............................... 42

2.4 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem................................................................ 49

2.5 Discussões ...................................................................................................................... 49

3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL ........................ 50

3.1 Introdução ....................................................................................................................... 50

3.2 Descrição da Bancada de testes do Atuador Pneumático ............................................... 50

3.5 Implementação Computacional ...................................................................................... 65

3.5.1 Diagrama de blocos do modelo de 3ª ordem ........................................................... 65

3.5.2 Diagrama de blocos do modelo de 5ª ordem ........................................................... 67

3.5.3 Diagrama de blocos para uma estratégia de força ................................................... 71

3.6 Resultados de Validação Experimental .......................................................................... 72

3.6.1 Validação Experimental do Modelo de 3ª Ordem e do Modelo de 5ª Ordem ......... 73

9

3.7 Teste Experimental de uma Estratégia para Aplicação de Forças .................................. 76

3.8 Discussões ...................................................................................................................... 87

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS .................................................................... 89

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 91

10

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Desenho esquemático do Atuador Pneumático (ISO 1219) ..................................... 23

Figura 2: Vista isométrica da bancada de ensaio de estruturas (a) desenho, (b) fotografia da

construção da bancada de pórticos. .......................................................................................... 25

Figura 3: Fotografia da bancada de ensaios de estruturas ........................................................ 26

Figura 4: Fotografia dos integrantes do projeto ‘Concurso de Pórticos’ .................................. 26

Figura 5: Desenho esquemático da bancada de testes .............................................................. 32

Figura 6: Desenho esquemático da modelagem da bancada de testes ...................................... 35

Figura 7: Desenho em corte de uma servoválvula direcional ................................................... 38

Figura 8: Representação gráfica da não linearidade da zona morta ......................................... 39

Figura 9: Representação gráfica da equação da vazão mássica em função da diferença de

pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da servoválvula. .................................... 40

Figura 10: Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático com haste .................. 41

Figura 11: Desenho esquemático de um cilindro pneumático .................................................. 43

Figura 12: Desenho sistema não linear massa-superfície envolvendo o atrito ......................... 44

Figura 13: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente ......... 45

Figura 14: Representação da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies

de contato .................................................................................................................................. 46

Figura 15: Características de atrito viscoso (a) e de arraste (b)................................................ 47

Figura 16: Bancada de aquisição de dados experimentais ....................................................... 51

Figura 17: Fotografia conector de sinais da placa dSPACE ..................................................... 52

Figura 18: Interface do programa ControlDesk ........................................................................ 52

Figura 19: Fonte HP 6543A para alimentação da vávula proporcional ................................... 53

Figura 20: Unidade de conservação de ar ................................................................................. 54

Figura 21: Transdutores de pressão .......................................................................................... 54

Figura 22: Fotografia da servoválvula pneumática .................................................................. 55

Figura 23: Cilindro pneumático de haste simples e dupla ação ............................................... 55

Figura 24: Transdutor de posição ............................................................................................. 56

Figura 25: Análise da velocidade constante para a identificação do atrito. ............................. 58

Figura 26: Trecho de posição com aceleração aproximadamente nula. ................................... 58

11

Figura 27: Mapa Estático do Atrito obtido experimentalmente ............................................... 61

Figura 28: Mapa do Atrito estático com ajuste dos parâmetros ............................................... 62

Figura 29: Diagrama de blocos do modelo matemático de 3ª ordem. ...................................... 66

Figura 30: Gráfico da frequência natural em função da posição .............................................. 66

Figura 31: Diagrama de blocos do modelo matemático de 5ª ordem ....................................... 67

Figura 32: Diagrama de blocos da equação da vazão ............................................................... 68

Figura 33: Diagrama de blocos da dinâmica das pressões ....................................................... 69

Figura 34: Diagrama de blocos da Equação do Movimento .................................................... 69

Figura 35: Diagrama de blocos da Dinâmica do Atrito ............................................................ 70

Figura 36: Diagrama de blocos ds Dinâmica das Microdeformações ...................................... 70

Figura 37: Atrito em Regime Permanente ................................................................................ 71

Figura 38: Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica da função alfa do modelo Lugre. 71

Figura 39: Diagrama de blocos da equação da vazão com a inclusão do vetor das pressões de

suprimento. ............................................................................................................................... 72

Figura 40: Gráfico do sinal de controle no teste experimental com entrada de 4,1 volts......... 73

Figura 41: Gráfico do comportamento das pressões com sinal de controle de 4,1 volts no teste

experimental. ............................................................................................................................ 74

Figura 42: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional do

modelo de 3ª Ordem para o movimento de avanço .................................................................. 75


modelo de 5ª Ordem para o movimento de avanço .................................................................. 76

Figura 44: Gráfico representativo do momento em que do cilindro é centrado ....................... 77

Figura 45: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 1,1 bar ............... 78

Figura 46: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 1,1 bar.................. 78

Figura 47: Posição do êmbolo para a força pneumática exercida ............................................ 79

Figura 48: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 1,5 bar ............... 80

Figura 49: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 1,5 bar.................. 80


Figura 51: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 2,05 bar ............. 82

Figura 52: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 2,05 bar................ 82


Figura 54: Gráfico da força pneumática em função da deformação vertical da estrutura ........ 84

Figura 55: Gráfico do comportamento das pressões no teste experimental ............................. 85

Figura 56: Gráfico teórico do comportamento da dinâmica das pressões ................................ 85

12

Figura 57: Gráfico experimental da força pneumática em função do tempo ........................... 86

Figura 58: Gráfico teórico da função pneumática em função do tempo .................................. 86

Figura 59: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional da

força pneumática em função do tempo. .................................................................................... 87

13

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Principais componentes da bancada experimental .................................................. 57

Tabela 2 - Experimentos realizados com voltagens positivas .................................................. 59

Tabela 3 - Experimentos realizados com voltagens negativas ................................................. 60

Tabela 4 - Parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito no cilindro pneumático ....................... 63

Tabela 5 - Valores dos parâmetros das não linearidades da servoválvula pneumática utilizada

.................................................................................................................................................. 64

Tabela 6 - Valores dos parâmetros relacionados ao fluido ar................................................... 64

Tabela 7 - Valores dos parâmetros das não linearidades do cilindro pneumático utilizado ..... 65

Tabela 8 – Valores obtidos experimentalmente da força pneumática em função da deformação

da estrutura ............................................................................................................................... 83

14

LISTA DE SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

A1 Área da câmara A do cilindro [m2]

A2 Área da câmara B do cilindro [m2]

A Câmara do cilindro A

B Câmara do cilindro B

B Coeficiente de amortecimento viscoso [Ns/m]

Cp Calor específico do ar a pressão constante

Cv Calor específico do ar a volume constante

D Diâmetro do êmbolo do cilindro [m]

Diâmetro da haste do cilindro [m]

Fatr Força de atrito [N]

Fatr, ss Força de atrito em regime permanente [N]

Fc Força de atrito Coulomb [N]

FL Força de carga [N]

Fp Força pneumática [N]

Fs Força de atrito estático [N]

gss( ) Função que descreve parte das características do atrito

em regime permanente

g1(Pa, sign(u)) Função não linear dos componentes dependentes

do sinal de controle

g2(Pb, sign(u)) Função não linear dos componentes dependentes

do sinal de controle

Coeficiente de rigidez [N/m]

Ganho de velocidade

L Comprimento do curso total do cilindro [m]

M Massa acoplada ao êmbolo do atuador [kg]

md Inclinação direita da zona morta

me Inclinação esquerda da zona morta

15

Patm Pressão atmosférica [Pa]

Pa, y3 Pressão na câmara A do cilindro [Pa]

Pb, y4 Pressão na câmara B do cilindro [Pa]

pai Pressão inicial na câmara A do cilindro [Pa]

pbi Pressão inicial na câmara B do cilindro [Pa]

ps Pressão de suprimento [Pa]

qma Vazão mássica na câmara A do cilindro [kg/s]

qmb Vazão mássica na câmara B do cilindro [kg/s]

R Constante universal dos gases [jkg/k]

T Temperatura do ar [k]

UT Sinal de controle [V]

Uzm Sinal de controle da zona morta [V]

Va0 Volume morto na câmara A do cilindro quando [m3]

o êmbolo está na posição inicial ( )

Vb0 Volume morto na câmara B do cilindro quando [m3]

o êmbolo está na posição inicial ( )

Velocidade stribeck [m/s]

Componente plástica do deslocamento [m]

xv Posição do carretel da servoválvula [m]

Posição do êmbolo do atuador [m]

Posição do êmbolo do atuador [m]

Velocidade do atuador [m/s]

Aceleração do atuador [m/s]

Microdeformações médias das rugosidades entre [m]

as superfícies de contato

z Componente plástica do deslocamento [m]

zba Deslocamento de força de quebra [m]

zmax Valor máximo das microdeformações [m]

zmd Limite direito da zona morta [V]

zme Limite esquerdo da zona morta [V]

Microdeformações em regime permanente [m]

Frequência natural

16

Alfabeto Grego

Coeficiente constante da função exponencial

Coeficiente de vazão para a câmara enchendo

Coeficiente de vazão para a câmara esvaziando

Relação entre os calores específicos do ar

Coeficientes de rigidez das microdeformações [N/m]

Coeficiente de amortecimento das microdeformações [Ns/m]

Coeficiente de arraste [Ns2/m

2]

Frequência Natural [rad/s]

Taxa de amortecimento do movimento do sistema

17

Símbolos

Variação

Derivada primeira

Derivada segunda

Somatório

18

RESUMO

O presente trabalho trata da modelagem matemática de um atuador pneumático responsável

pelo acionamento de uma bancada para ensaios de estruturas mecânicas, a qual será utilizada

no projeto de título “Concurso de Pórticos” (processo CNPq nº409998/2013-3, Chamada nº

18/2013 MCTI/CNPq/Secretaria de Políticas da Mulher-PR/Petrobras - Meninas e Jovens

Fazendo Ciências Exatas, Engenharias e Computação). As contribuições principais deste

trabalho são a modelagem e identificação das características não lineares do atrito no atuador

utilizado para a aplicação de forças, bem como a sistematização do modelo matemático

completo, sua simulação computacional e validação experimental. Os atuadores pneumáticos

são utilizados na maioria das instalações industriais e nos campos da automação e da robótica

pelas diversas vantagens que o caracterizam. Dentre estas vantagens considera-se uma

tecnologia de baixo custo, manutenção fácil, boa relação peso/potência, rapidez de resposta e

principalmente uma tecnologia limpa, que não polui o meio ambiente. Porém, para atuadores

pneumáticos a modelagem matemática é complexa quando comparada a outros tipos de

acionamentos, pois apresentam limitações no controle decorrente das características não

lineares inerentes ao sistema. Estas características não lineares resultam da alta

compressibilidade do ar e das não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como

o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta, além

do atrito nas vedações do cilindro linear. A modelagem matemática é muito importante para

entendimento e previsão do comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e pode

contribuir para a adequada aplicação e desempenho em sistemas automáticos, principalmente

na definição de estratégias de controle. Neste trabalho, desenvolveu-se a formulação de um

modelo matemático não linear completo de 5ª ordem que representa o comportamento

dinâmico do atuador pneumático. Com o objetivo de comparação com o modelo

desenvolvido, apresenta-se também um modelo matemático não linear de 3ª ordem, validados

experimentalmente. Por fim, foram realizados testes de controle de força em malha aberta

variando-se a pressão de suprimento do sistema. Os resultados obtidos ilustram as

características do modelo matemático desenvolvido.

19

Palavras-Chave: Modelagem Matemática do atrito, Atuador Pneumático, Validação

Experimental.

20

ABSTRACT

The following paper deals with the mathematical modeling of the pneumatic actuator

responsible for triggering a bench for testing mechanical structures, which will be used in the

project entitled "Structures Concourse" (CNPq process number 409998/2013-3, Call No.

18/2013 MCTI / CNPq / Secretariat of Woman Policies-PR/Petrobras - Girls and Young

Women Making Exact Sciences, Engineering and Computing). The main contributions of this

paper are the modeling and identification of nonlinear characteristics of friction in the actuator

used for the application of forces and the systematization of the complete mathematical

model, its computer simulation and experimental validation. The pneumatic actuators are used

in most industrial facilities and in the fields of automation and robotics because of the several

advantages that characterize it. Among these benefits, it is considered a technology of low

cost, easy maintenance, good power/weight ratio, fast response, and especially, it is a clean

technology that does not pollute the environment. However, for pneumatic actuators

mathematical modeling is complex when compared to other types of drives, since they have

limitations in the control system due to the inherent non-linear characteristics. These

nonlinear features are result of the high compressibility of air and the nonlinearities present in

pneumatic systems, such as the non-linear behavior of the mass flow holes of the valve and its

dead zone, in addition to the friction of the seals in the linear cylinder. Mathematical

modeling is very important for understanding and predicting dynamic behavior of pneumatic

actuators and can contribute to the proper implementation and performance in automated

systems, especially in the definition of control strategies. In this study, a mathematical

formulation of the nonlinear full model of 5th order was developed, and which represents the

dynamic behavior of the pneumatic actuator. With the purpose of comparison with the

developed model, it is also presented a nonlinear mathematical model of 3rd order,

experimentally validated. Finally, control tests under open loop varying the supply pressure of

the system were carried out. The results obtained illustrate the features of the developed

mathematical model.

Keywords: Mathematical Modeling of Friction, Pneumatic Actuator, Experimental

Validation.

21

1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Este trabalho trata da modelagem matemática e da validação experimental do atuador

pneumático de uma bancada para ensaio de estruturas mecânicas compostas de colunas e

vigas. Esta dissertação está inserida na linha de pesquisa de Modelagem Matemática de

Sistemas Não Lineares e Controle de Sistemas Dinâmicos, relacionada com o campo

interdisciplinar.

Devido o aumento do desenvolvimento tecnológico que caracteriza o mundo moderno,

as aplicações de precisão tem conquistado um crescente espaço no ambiente industrial. Em

particular, os campos da automação e da robótica que estão presentes em diversas áreas de

produção (SOBCZYK, 2009), e utilizam a pneumática como meio de aplicações pelas

diversas vantagens que o caracterizam.

A pneumática é o ramo da engenharia que estuda a aplicação do ar comprimido para a

tecnologia de acionamentos e comandos. Nos últimos anos a pneumática tornou-se uma das

tecnologias mais utilizadas no setor industrial e de automação, por se tratar de uma tecnologia

de baixo custo, manutenção fácil, boa relação peso/potência, rapidez de resposta e,

principalmente, uma tecnologia limpa, que não polui o meio ambiente (NISHIOKA et al.,

2010; LEE et al., 2010; VALDIERO et al., 2011; QIONG et al., 2011; WANG et al., 2011).

A utilização do ar comprimido como fonte de energia apresenta grandes vantagens, tratando-

se de uma tecnologia limpa onde não existe o risco de contaminação do ambiente como

acontece com a energia hidráulica, destaca, MOREIRA (2012). Além das vantagens citadas

acima os atuadores pneumáticos, segundo, (LE et al, 2013), em comparação com atuadores

elétricos tem maior proporção de força para massa e pode gerar mais força sem qualquer

mecanismo de redução.

Contudo, para atuadores pneumáticos a modelagem matemática é complexa quando

comparada a outros tipos de acionamentos, pois apresentam limitações severas no controle

decorrente das características altamente não lineares inerentes ao sistema. Dentre essas não

linearidades, pode-se destacar a compressibilidade do ar (Suzuki, 2010), a vazão mássica nos

orifícios da válvula e a zona morta (Valdiero et al., 2011), além do atrito entre as partes

22

móveis e as vedações do atuador que também exibe características não lineares, tornando

difícil o controle do sistema, (BAVARESCO, 2007).

Atualmente, diversos autores (PRADIPTA et al., 2013, LAGHROUCHE et al., 2013)

apresentam estudos relacionados aos efeitos de degradação do desempenho do movimento

causados pelas características não lineares do atrito que precisam ser conhecidas e

compensadas para o bom desempenho do sistema dinâmico. Shen et al. (2013) destaca que a

compensação e a modelagem do atrito dinâmico têm feito grandes avanços, motivada por

modelos em combinação com métodos de identificação baseados em dados experimentais

para a compensação de atrito. Valdiero (2012) enfatiza que o atrito é um fenômeno que exibe

diversas características não lineares. As características de atrito são em geral dependentes da

velocidade, da temperatura, do sentido do movimento, da lubrificação e do desgaste entre as

superfícies. As características dinâmicas do atrito são responsáveis por degradações no

desempenho do sistema e necessitam serem observadas para uma adequada compensação e

consequentemente diminuição de seus efeitos.

As vazões mássicas são funções não lineares das pressões nas câmaras do cilindro e da

tensão aplicada a servoválvula. É através da servoválvula que se obtêm a vazão mássica a

qual é liberada pelos orifícios e coloca em funcionamento o cilindro. A vazão mássica de ar

está relacionada à variação de pressão nas câmaras do cilindro utilizando-se o princípio da

conservação de energia.

A zona morta é uma relação estática de entrada-saída na qual para uma faixa de

valores de entrada a resposta de saída é nula. Sua inclusão na modelagem matemática do

atuador pneumático é importante, pois possibilita minimizar os erros de seguimento de

trajetória e também contribui para que não ocorra degradação no desempenho do controlador,

destaca Ritter (2010).

Dessa forma, ao modelar o comportamento dinâmico de um atuador pneumático, é

necessário considerar as não linearidades presentes neste sistema dinâmico, como uma forma

de compensar essas características não lineares e minimizar seus efeitos danosos, os quais

prejudicam o desempenho do sistema. O controle de servoposicionadores pneumáticos tem

evoluído muito na última década, sendo que existem diversos trabalhos publicados nesta área.

A modelagem matemática desenvolvida neste trabalho fundamenta-se no modelo

matemático não linear de 5ª ordem para o atuador pneumático apresentado por Ritter (2010).

A seção seguinte descreve o atuador pneumático e a bancada de testes de ensaios de

estruturas, o qual é o principal objeto da pesquisa.

23

1.2 Descrição do Atuador Pneumático

O servoposicionador pneumático é um sistema que possibilita o posicionamento de

uma carga mecânica em uma localização desejada ou seguir uma trajetória variável em função

do tempo. O elemento responsável pela aplicação da força sobre a carga é dito atuador e sua

forma de acionamento pode ser elétrica, hidráulica ou pneumática. Neste trabalho, o sistema

de posicionamento a ser estudado é composto por um atuador pneumático.

O servoposicionador pneumático linear em estudo é um sistema dinâmico composto

por uma servoválvula de controle direcional, um cilindro pneumático linear de dupla ação e

haste simples, bem como o sistema de controle. Na Figura 1 está ilustrado o desenho

esquemático do servoposicionador pneumático.

Figura 1: Desenho esquemático do Atuador Pneumático (ISO 1219)

Fonte: Autoria própria

O atuador pneumático funciona com o ar comprimido que é fornecido à servoválvula a

uma dada pressão de suprimento ( antecipadamente regulada. Durante a operação, o

controlador gera uma tensão de controle u, que energiza as bobinas do solenoide da válvula de

24

modo que uma força magnética resultante é aplicada no carretel da servoválvula, produzindo

o deslocamento do carretel. Este, ao ser deslocado, abre os orifícios de controle para que

uma das câmaras do cilindro seja ligada à linha de pressão de suprimento e a outra seja ligada

à pressão atmosférica ( . Dessa forma, produz uma diferença de pressão nas câmaras do

cilindro, que resulta em uma força pneumática que movimenta o êmbolo do cilindro e gera

um deslocamento y, positivo ou negativo, dependendo do sinal de entrada.

1.3 Bancada Didática para o Concurso de Pórticos

A bancada de ensaios em estudo é formada por uma estrutura mecânica composta de

colunas e vigas, um atuador pneumático, uma válvula direcional que permite regular a entrada

e a saída de ar nas câmaras do cilindro e um sensor de posição que define a posição de

deslocamento da haste do cilindro pneumático.

Esta bancada de ensaio para pórticos tem fins didáticos e de pesquisa e foi

desenvolvida para os testes de controle. Nesta bancada monta-se a estrutura do tipo pórtico,

para ensaio de aplicação de uma carga central com a medição do espaço útil disponível, da

massa da estrutura, da máxima força de carga que a estrutura resiste e da deflexão central da

estrutura.

A Figura 2 ilustra o desenho esquemático da bancada, bem como a fotografia da

construção da estrutura de madeira.

25

Figura 2: Vista isométrica da bancada de ensaio de estruturas (a) desenho, (b) fotografia da

construção da bancada de pórticos.


Para o acionamento desta estrutura será utilizado um servoposicionador pneumático de

dupla ação e haste simples, uma servoválvula de controle direcional e um sistema de controle

composto por uma placa de controle e aquisição de dados dSPACE 1104, que utiliza a

integração dos softwares MatLab/Simulink e ControlDesk como meio de programação. Na

Figura 3 está ilustrada a fotografia da bancada experimental utilizada para testes

experimentais com aplicação de força de carga.

26

Figura 3: Fotografia da bancada de ensaios de estruturas


A bancada experimental foi desenvolvida pelo Núcleo de Inovação em Máquinas

Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) nos Laboratórios do curso de Engenharia Mecânica

da UNIJUÍ Campus Panambi e com o apoio do projeto: Concurso de Pórticos, Meninas e

Jovens Fazendo Ciências Exatas, Engenharia e Computação. A Figura 4 mostra as integrantes

do projeto.

Figura 4: Fotografia dos integrantes do projeto ‘Concurso de Pórticos’


27

1.4 Antecedentes e Revisão Bibliográfica

A modelagem matemática está intrinsecamente relacionada com a aplicabilidade da

matemática e de seus conceitos em fenômenos do mundo real. Para modelar uma situação ou

fenômeno, matematicamente, é necessário que se tenha suficiente experiência ou

entendimento da questão para ser capaz de descrever e refinar com clareza a transformação de

problemas da realidade em problemas matemáticos.

Com intuído de aprimorar o conhecimento em relação à modelagem matemática

proposta neste trabalho, buscou-se uma fundamentação teórica baseada em estudos realizados

anteriormente, a qual se faz importante para o entendimento e o bom andamento da pesquisa,

assim como, para analisar o que está sendo estudado e também o que foi estudado por outros

pesquisadores acerca do estudo proposto.

Diversas são as contribuições oriundas de dissertações em Modelagem Matemática da

UNIJUÍ, mais precisamente do grupo de pesquisa “Projeto em Sistemas Mecânicos,

Mecatrônica e Robótica”, inserido na linha de pesquisa Modelagem Matemática de Sistemas

Não Lineares e Controle de Sistemas Dinâmicos. Dentre estes trabalhos pode-se citar

(BAVARESCO, 2007; ENDLER, 2009; RITTER, 2010; PORSCH, 2012; ZAMBERLAN,

2013; RICHTER, 2013), que constituem um importante antecedente desta pesquisa.

Uma contribuição importante feita por Bavaresco (2007) em seu estudo trouxe um

levantamento de modelos matemáticos utilizados em acionamentos pneumáticos, dentre estes,

observou modelos de 3ª a 5ª ordem, disponíveis na literatura, aos quais observou uma grande

variação de complexidade dos modelos estudados.

Para o desenvolvimento da pesquisa Bavaresco (2007) adotou então, um modelo não

linear de 3ª ordem, com adaptações do modelo proposto por Vieira (1998), com o objetivo de

facilitar a síntese e a implementação de estratégias de controle. Com base no modelo não

linear adotado, formulou-se um projeto de controlador através de uma metodologia testada em

sistemas caóticos, que ainda não tinha sido utilizada em atuadores pneumáticos. Porém, a não

linearidade da zona morta da servoválvula, mostrou-se prejudicial ao sistema e foi

compensada pela inversa de seu modelo parametrizado.

Dando sequência ao trabalho de Bavaresco (2007), Endler (2009) propôs uma

metodologia de controle ótimo por realimentação para sistemas não lineares, por meio de uma

nova proposta para a dinâmica da vazão mássica através dos orifícios da servoválvula, a partir

do levantamento de dados experimentais para as pressões em função do tempo. O modelo

implementado foi de 4ª ordem descrito em forma de variáveis de estado, que resultou em uma

28

nova equação da vazão, facilitando assim, a implementação do projeto de controle de

servoposicionadores pneumáticos.

A fim de compor um modelo matemático mais completo, Ritter (2010), apresentou em

seus estudos a sistematização das diversas não linearidades presentes no comportamento

dinâmico do atuador pneumático, implementado um modelo completo de 5ª ordem. Este

sistema de equações apresenta a combinação do modelo da servoválvula com a do cilindro, e

inclui a não linearidade da zona morta, da vazão nos orifícios da servoválvula, a dinâmica das

pressões nas câmaras do cilindro e o atrito dinâmico. Também, apresentou um estudo

comparativo da influência do tamanho do cilindro no comportamento dinâmico do modelo

não linear.

Porsch (2012) em sua dissertação desenvolveu a aplicação da modelagem matemática

de uma bancada de simulação de declive de terrenos com acionamento pneumático. O modelo

matemático não linear proposto é de 5ª ordem, o qual descreve as variações de inclinação

lateral de uma colheitadeira autopropelida de grão. Este modelo matemático apresenta todas

as não linearidades presentes no sistema incluindo a dinâmica da plataforma girante. Este

trabalho foi de grande valia, pois apresenta a modelagem matemática de um mecanismo muito

utilizado na agricultura, contribuindo assim para a pesquisa de mecanismos agrícolas com

valores mais acessíveis para pequenos agricultores.

Em seu estudo, Zamberlan (2013) apresentou a modelagem matemática de um atuador

pneumático elaborado para compor um mecanismo articulado para aplicação na poda de

árvores. O modelo matemático adotado foi de 5ª ordem que permite simular o comportamento

dinâmico do atuador em estudo. O diferencial desde trabalho é o fato de o cilindro ter sido

construído em laboratório, o que dificulta o controle do mesmo.

Richter (2013) propôs em seu trabalho uma proposta de modelagem matemática e o

controle de posição de um atuador pneumático para uma dada aplicação em um equipamento

florestal. Propôs também o controle da posição de um cilindro especial de haste simples e

dupla ação. O modelo matemático adotado foi de 5ª ordem, o qual caracteriza a não

linearidades presentes no sistema. O diferencial deste estudo é a modelagem matemática e

desenvolvimento do controle de posição de um cilindro pneumático linear para aplicação

deste equipamento florestal para uma faixa de trabalho em torno de 2,5m de curso.

Além dos estudos desenvolvidos em dissertações de mestrado da UNIJUÍ, realizou-se

uma pesquisa em trabalhos recentes (SOBCZYK, 2009; HENÉ, 2010; ALLGAYER, 2011;

SUSUKI, 2010; CUKLA, 2012; TAHERI et al 2014), que foram desenvolvidos por diversos

29

pesquisadores de outras instituições, a fim de contextualizar sobre estudos relacionados na

área do presente trabalho.

Em relação ao controle preciso do segmento de trajetória de um servoposicionador

pneumático, Sobczyk (2009) apresentou em sua tese um modelo matemático, com atenção

voltada a modelagem dos efeitos do atrito. Para a representação desses efeitos, propôs uma

modificação da estrutura matemática do modelo de atrito utilizado no contexto dos algoritmos

de controle em tempo real, (modelo LuGre). Além disso, estudou o grau de similaridade entre

os comportamentos para o atrito por meio dos dois modelos. Demonstrou então, que a escolha

adequada dos parâmetros do modelo aproximado permite que os resultados sejam muito

próximos dos obtido com o uso do modelo original.

Para que o melhoramento do desempenho de sistemas de posicionamentos

pneumáticos, Hené (2010) enfatiza em seu estudo que é necessário alcançar um correto

dimensionamento da válvula e do cilindro para que a condição operacional do sistema seja

perfeitamente compreendida. Sendo assim, analisou a influência dos valores obtidos de

catálogos de fabricantes de válvulas em relação aos valores obtidos através de ensaios

experimentais. Através deste estudo foi possível elaborar um método de dimensionamento de

sistemas pneumáticos que auxilie na escolha dos componentes pneumáticos, apresentando um

conceito alternativo aos tradicionais métodos de dimensionamento. Além disso, os estudos de

caso apresentados, demonstraram que o método se comporta satisfatoriamente.

Com a proposta do projeto de um manipulador robótico cilíndrico acionado

pneumaticamente e de baixo custo, Allgayer (2011) desenvolveu um robô para realizar

operações de movimentação de peças que venham substituir trabalhos insalubres e repetitivos.

O controle deste sistema foi realizado por meio da técnica de realimentação de estados, a

partir de um modelo de 3ª ordem. Embora, sem a existência de um protótipo físico para

comparar com o modelo proposto, concluiu-se, que o resultado de seu estudo apresentou uma

resposta adequada, baseados na literatura e em cálculos. Contudo, Allgayer (2011) destaca

que os resultados obtidos podem divergir da realidade, principalmente em relação ao atrito.

Susuki (2010) propôs estudar o controle de um servoposicionador pneumático através

da aplicação do método de linearização por realimentação aliada ao método de controle por

realimentação de estados. Como estratégia de linearização utilizou as estimativas das não

linearidades do modelo matemático para linearizar o comportamento do servoposicionador

pneumático. Também fez uma análise de robustez em relação ao comportamento do sistema

frente as incertezas dos parâmetros estimados. Em sua pesquisa concluiu, que os resultados do

30

controlador mostraram-se promissores com redução no erro de posição no segmento da

trajetória e na parada precisa.

Em uma contribuição mais recente em relação ao controle de atuadores pneumáticos

Cukla (2012) apresentou uma proposta de estudo com objetivo de desenvolver um sistema de

controle para servoposicionadores pneumáticos que utilize software e hardware

economicamente acessíveis e que apresentem dimensões compactas e fácil utilização e com

um desempenho similar aos comerciais. Constatou em seus estudos que o trabalho atingiu as

metas propostas de desenvolver o controle preciso de servoposicionadores pneumáticos.

Quanto a aplicação de força em cilindros pneumáticos, Taheri et al (2014), propôs um

novo controlador força-rigidez através de deslizamento - backstepping. Com base num

modelo matemático detalhado do sistema pneumático que incluiu a dinâmica das válvulas, o

algoritmo proposto foi provado capaz de controlar a força desejada e rigidez de forma

independente, sem bater. A validação dos experimentos foi realizada utilizando uma

plataforma em tempo real por um cilindro pneumático adequado para aplicações robóticas

wearable e por duas servovávulas proporcional. Os resultados experimentais validaram a

eficácia do modelo matemático e do desempenho do algoritmo de controle. A força desejada e

rigidez foram monitorados com precisão, com baixo erro na amplitude e mudança de fase

mínima. Verificou em seu trabalho que o algoritmo de controle proposto pode ser utilizado

em qualquer aplicação que exige controle da força - rigidez de um cilindro pneumático.

A partir do levantamento bibliográfico acerca de vários estudos realizados sobre

servoposionadores pneumáticos bem como seus componentes, foi possível observar que

existe um grande número de pesquisas relacionadas ao controle das não linearidades

apresentadas em atuadores pneumáticos. Sendo assim, o intuito desta dissertação é em

contribuir para a evolução destas pesquisas, pois o objetivo deste trabalho é fazer a

identificação das não linearidades, bem como o controle de um servoposicionar pneumático

que será utilizado para o acionamento de uma bancada de testes para ensaios de estruturas

mecânicas.

1.5 Objetivos e Justificava

O principal objetivo deste trabalho é pesquisar, desenvolver e validar a modelagem

matemática do comportamento dinâmico do atuador pneumático responsável pela aplicação

de uma força de carga em uma bancada experimental de ensaio de pórticos e outras estruturas

31

mecânicas, desenvolvida pelo Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo

Sistemas (NIMASS) nos Laboratórios do curso de Engenharia Mecânica da UNIJUÍ Campus

Panambi.

Para alcançar o objetivo principal deverão ser atingidos os seguintes objetivos

específicos:

Desenvolver um modelo matemático para o atuador pneumático adotado para a

aplicação de forças de carga;

Realizar simulações computacionais;

Analisar o comportamento dinâmico do atuador pneumático;

Validar experimentalmente o modelo desenvolvido através de testes e ensaio de

estruturas;

A bancada de ensaio de estruturas foi desenvolvida para testes de controle de

aplicação de força e tens fins didáticos e de pesquisa, visto que esta bancada será utilizada

para o projeto do CNPq titulado como ‘Concurso de Pórticos’, que visa incentivar as meninas

e jovens a fazer Ciências Exatas, Engenharias e Computação. Pretende-se também através

deste trabalho contribuir para a melhoria do desempenho das aplicações com atuadores

pneumáticos.

1.6 Metodologia

A partir de uma ampla revisão bibliográfica sobre o tema proposto, a pesquisa consiste

em estudos relacionados a analise de diferentes modelos matemáticos que sistematizam as

principais não linearidades em atuadores pneumáticos, observando as relações e as

simplificações consideradas pelos antecedentes desta pesquisa.

Tem-se então a elaboração do modelo matemático que contempla as não linearidades

presentes no sistema, sendo a dinâmica da vazão mássica nos orifícios da servoválvula, a

dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, o movimento do êmbolo do cilindro e a

dinâmica do atrito, compondo assim, um modelo matemático não linear de 5ª ordem, que

descreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático em estudo.

Para as simulações computacionais utiliza-se o software MatLab/Simulink e para os

testes experimentais, dispõe-se de uma bancada com um servoposicionador pneumático e um

sistema de instrumentação eletrônica dSPACE, disponível no laboratório de automação da

32

Unijuí, campus Panambi. Na Figura 5 encontram-se ilustrados os componentes que integram a

bancada de testes experimental.

Figura 5: Desenho esquemático da bancada de testes


1.7 Problema Proposto e Organização do Trabalho

A presente dissertação de mestrado propõe um modelo matemático composto por uma

servoválvula direcional e um cilindro pneumático a fim de modelar matematicamente o seu

comportamento dinâmico. Propõe-se através deste trabalho contribuir para a melhoria do

desempenho das aplicações com atuadores pneumáticos, através da identificação do atrito

dinâmico, da implementação e validação experimental de uma bancada de ensaio de estruturas

tipo pórticos para testes de aplicação de força.

33

Este trabalho está organizado em 4 capítulos. O capítulo 2 descreve a modelagem

matemática do atuador pneumático em estudo e apresenta as não linearidades presentes no

sistema. Primeiramente é apresentado um modelo matemático de 3ª ordem e posteriormente o

modelo matemático da servoválvula e do cilindro, assim como a não linearidade de zona

morta, resultando no modelo adotado de 5ª ordem.

Em seguida, no capítulo 3, é apresentada a descrição da bancada utilizada para a

realização dos testes experimentais, a identificação dos parâmetros do atrito, e a determinação

dos demais parâmetros utilizados no modelo apresentados por meio de tabelas. Neste capítulo

apresenta-se os resultados da implementação computacional e da validação do modelo

matemático de 3ª ordem e de 5ª ordem para fins de comparação. Por fim, têm-se os testes

experimentais para aplicação de força de carga.

O capítulo 4 apresenta as conclusões sobre o estudo realizado bem como as

perspectivas de trabalhos futuros.

34

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO

2.1 Introdução

Modelagem de acordo com dicionário da língua portuguesa significa “molde”, logo

modelagem matemática significa moldar alguma situação que está inserida em outro contexto,

a fim de explicar matematicamente situações que ocorrem no cotidiano.

O ser humano na busca de resolver situações da realidade procura representar ou fazer

uso de representação, ou seja, modelando ou utilizando-se de modelos. Isso nos sugere que a

essência da modelagem está presente em quase todas as atividades humanas desde os tempos

mais primitivos, o que pode contribuir para os avanços científicos.

Araújo (2009) destaca que a Modelagem Matemática pode ser entendida como o uso

de modelos matemáticos para a resolução de problemas reais. Ou seja, significa buscar

representações matemáticas para uma situação real, procurando interpretá-la e entendê-la, na

tentativa de resolver problemas relacionados à situação.

A modelagem matemática é a area do conhecimento que estuda a simulação de

sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos

campos de estudo, tais como, física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja,

modelagem matemática consiste na tentativa de se descrever matematicamente um fenômeno.

Dessa forma, a modelagem matemática é muito importante para entendimento e

previsão do comportamento dinâmico de atuadores pneumáticos e pode contribuir para a

adequada aplicação e desempenho em sistemas automáticos, principalmente na definição de

estratégias de controle.

Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática que descreve o comportamento

dinâmico do atuador pneumático bem como suas características não lineares. O atuador

pneumático em estudo é composto por uma servoválvula direcional proporcional e um

cilindro de haste simples e dupla ação. O modelo matemático propostos é descrito por um

sistema de equações diferenciais ordinárias de 5ª ordem o qual descreve o servoposicionador

pneumático linear, representado na forma de variáveis de estado. Também será implementado

35

um modelo matemático de 3ª ordem proposto por Bavaresco (2007), para fins de comparação

de resultados.

A Figura 6 mostra o diagrama de blocos esquemático dos principais elementos

incluídos na modelagem matemática utilizados para representar o comportamento dinâmico

do atuador pneumático para o acionamento de uma bancada de ensaio de estruturas,

considerando as principais não linearidades da zona morta, a equação da vazão mássica e a

equação do movimento incluindo o atrito dinâmico.

Figura 6: Desenho esquemático da modelagem da bancada de testes


2.2 Modelo Não Linear de 3ª Ordem.

O modelo matemático proposto nesta seção tem como referência os trabalhos de

Vieira (1998) apud Bavaresco (2007). Este modelo matemático representa de maneira mais

simplificada os atuadores pneumáticos, sendo assim, um ponto de partida para o estudo do

comportamento dinâmico do atuador, facilitando a aplicação de técnicas de controle. Este

modelo pode ser escrito por um sistema de equações representado através de variáveis de

estado:

36

(2.1)

(2.2)

(2.3)

onde é a posição do êmbolo do atuador, é a velocidade, é a

aceleração, e são respectivamente a frequência natural e a taxa de amortecimento do

movimento do sistema, é o ganho de velocidade da malha aberta e é o sinal de controle

em tensão aplicado a servoválvula. O ganho de velocidade em malha aberta pode ser

calculado através da equação (2.4).

(2.4)

sendo a vazão volumétrica normal da válvula, a pressão atmosférica, a pressão de

suprimento e a tensão máxima de entrada na válvula.

A expressão geral para determinação da frequência natural de atuadores lineares é

dado por:

(2.5)

onde M é massa total acoplada do êmbolo do atuador, A é área da seção transversal do

cilindro, e são respectivamente os volumes nas câmaras 1 e 2 e é o fator de

compressibilidade do ar dado por:

(2.6)

onde é a relação entre os calores específicos do ar e a pressão de suprimento.

O volume das câmaras depende da posição do êmbolo do atuador, dessa forma a

expressão para representação da frequência natural em atuadores pneumáticos é descrita pela

seguinte equação não linear:

37

(2.7)

onde e são os volumes mortos nas câmaras 1 e 2 respectivamente.

2.3 Desenvolvimento do Modelo Matemático dos componentes do Atuador Pneumático

O modelo matemático proposto nesta seção apresenta a combinação da dinâmica da

válvula com a dinâmica do cilindro, incluindo o modelo dinâmico do atrito, ou seja, o modelo

Lugre. São apresentados os princípios físicos e as deduções matemáticas para a obtenção de

um modelo não linear mais completo do atuador pneumático.

2.3.1 Não Linearidade da Zona Morta na Válvula

Esta subseção trata da identificação da zona morta em servoválvula proporcionais

direcionais. Estudos realizados por (VALDIERO et al, 2005; SALCEDO, 2010), mostram

que o sistema eletromecânico de controle da válvula apresenta uma largura de banda maior

que a do sistema pneumático. Assim é possível assumir que há uma relação estática entre a

entrada em tensão e a saída em deslocamento do carretel de controle.

Gury (2008) destaca que a zona morta é uma faixa pré-determinada da entrada na qual

a saída permanece inalterada, independente da mudança de direção do sinal de estrada.

Bavaresco (2007) destaca que este tipo de imperfeição é bastante comum em sistemas

mecânicos, principalmente em servoválvulas. A presença da zona morta nas servoválvulas

gera limitações significativas no desempenho de controladores por realimentação,

principalmente no que diz respeito à minimização do erro de posicionamento e de

seguimentos de trajetórias, diante disso, se faz necessário a utilização de metodologias de

identificação e compensação dessa não linearidade. A Figura 7 apresenta o desenho

esquemático do corte da uma servoválvula direcional com seus principais elementos.

38

Figura 7: Desenho em corte de uma servoválvula direcional

Fonte: Bavaresco (2007)

A zona morta é uma relação estática de entrada e saída, em que para uma faixa de

domínio não há resposta, ou seja, a saída é nula. O modelo matemático que descreve as não

linearidades presentes em servoválvulas direcionais é dado por Tao e KaKotovic, o qual

apresentam um modelo genérico, descrito pela equação (2.8):

(2.8)

onde é o limite direito da zona morta, é o limite esquerdo da zona morta, u é o sinal

de entrada, é a inclinação direita da zona morta e a inclinação esquerda da zona

morta. A Figura 8 mostra a representação do trecho de zona morta do sinal de entrada u em

relação ao sinal de saída .

39

Figura 8: Representação gráfica da não linearidade da zona morta

Fonte: Valdiero (2005)

Portanto, para atuadores pneumáticos é importante que a abertura dos orifícios da

servoválvula seja proporcional ao sinal de controle aplicado para que se obtenha um sistema

de controle eficaz. Para que isso ocorra é necessário que seja feita a compensação da zona

morta, através da identificação dos parâmetros por meio de testes experimentais.

2.3.2 Caracterização da Vazão Mássica na Servoválvula

A servoválvula é empregada para controlar o escoamento do ar sob pressão. É através

da servoválvula que se obtêm a vazão mássica a qual é liberada pelos orifícios e coloca em

funcionamento o cilindro, contudo depende da tensão de controle e também das pressões

nas câmaras do cilindro. A vazão mássica de ar esta relacionada a variação de pressão nas

câmaras do cilindro atuador utilizando-se o princípio da conservação de energia, conforme

descrito amplamente na literatura (BOBROW e MCDONELL, 1998; VIEIRA, 1998;

PERONDI, 2002; ENDLER et al., 2009). Contudo, a maior dificuldade encontrada na

literatura é em isolar o sinal , dificultando a aplicação de um controlador não linear que

leva em consideração as características não lineares do sistema.

Com o intuito de facilitar a modelagem matemática da vazão mássica, Endler (2009)

apresentou um equacionamento completo através de curvas de pressão em função do tempo

levantadas experimentalmente, conforme descrito pelas equações (2.9) e (2.10):

40

(2.9)

(2.10)

onde e são funções de sinal dadas por:

(2.11)

(2.12)

onde é a pressão de suprimento, é a pressão atmosférica, e são

coeficientes constantes característicos respectivamente do enchimento e do esvaziamento das

câmaras do cilindro. Estes coeficientes foram levantados experimentalmente por Endler

(2009) o qual serão utilizados para este estudo. A Figura 9 representa graficamente o

comportamento da vazão mássica em um dos orifícios da servoválvula, versus o sinal de

entrada e a diferença das pressões .

Figura 9: Representação gráfica da equação da vazão mássica em função da diferença de

pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da servoválvula.

Fonte: Endler (2009)

41

2.3.3 Dinâmica das Pressões nas Câmaras do Cilindro

Utilizando-se das leis da conservação de energia é obtida a formulação do modelo

matemático da dinâmica das pressões. A conservação da energia é empregada para realizar o

balanço energético entre a energia da massa que entra no volume de controle, a potência do

movimento do pistão e a variação da energia interna no volume de controle (Perondi, 2002).

A fim de equacionar a dinâmica das pressões, deve-se assumir algumas hipóteses:

O ar funciona como um gás perfeito;

O sistema é considerado adiabático, ou seja, com trocas de calor desprezíveis

através das paredes do cilindro;

Os processos são reversíveis, caracterizando um comportamento isentrópico para o

sistema;

A Figura 10 ilustra um desenho esquemático do cilindro pneumático com haste

considerado nesta modelagem.

Figura 10: Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático com haste


Para determinação da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro utiliza-se a

equação da continuidade e a equação do movimento da haste, baseando-se no princípio de

conservação de energia, cujo detalhamento poderá ser encontrado em Perondi (2002) e mais

recentemente em Endler (2009). A equação resultante do balanço energético é:

(2.13)

42

onde, T é a temperatura do ar de suprimento, é a vazão mássica na câmara

A do cilindro, é a pressão na câmara A do cilindro, é a relação entre os calores

específicos do ar, onde é o calor específico do ar à pressão constante, é o calor

especifico do ar a volume constante, é o volume na câmara A e R é constante universal dos

gases.

Ponderando, que o volume total da câmara A do cilindro é dado pela soma dos

volumes variáveis da câmara com o seu volume morto, tem-se:

(2.14)

onde A é a área do êmbolo, é o deslocamento do êmbolo e é o volume morto na câmara

A incluindo às tubulações. A taxa de variação deste volume é dada por , onde

é a velocidade do êmbolo.

Sendo assim, derivando a equação (2.13) em relação à e considerando a relação

, tem-se:

(2.15)

Análoga para a pressão na câmara A, tem-se para a câmara B:

(2.16)

2.3.4 Equação do Movimento com Inclusão da Dinâmica do Atrito

O movimento da haste de um cilindro é gerado através das forças aplicadas sobre o

êmbolo do cilindro. De maneira geral quando se trabalha com sistemas que envolvam

movimento é necessário tratar com muito cuidado os resultados procedentes do atrito, pois

este pode causar dificuldades no controle, bem como a degradação do sistema. Sendo assim, a

modelagem das características do atrito e a equação do movimento constituirá o enfoque desta

subseção. Através da Figura 11 ilustra-se as forças atuantes consideradas no cilindro

pneumático em estudo.

43

Figura 11: Desenho esquemático de um cilindro pneumático


Conforme pode-se observar na Figura 11, as forças exercidas no êmbolo são: a força

de atrito Fatr, que ocorre principalmente nas superfícies de contato entre a haste e as vedações,

FL que representa a força de carga e que á força pneumática.

A partir da aplicação da 2ª Lei de Newton, tem-se a determinação da equação de

equilíbrio dinâmico das forças, dada por:

(2.17)

onde M é a massa deslocada composta pelo êmbolo e pela haste do cilindro, é a aceleração

da haste do cilindro pneumático, Fatr é a força de atrito, Fp é a força pneumática, dada pela

diferença de pressão nas câmaras do cilindro, logo:

(2.18)

Assim, pode-se reescrever a equação (2.17) da seguinte forma:

(2.19)

44

O atrito é um aspecto importante de muitos sistemas de controle, tanto para os

mecanismos pneumáticos quanto para sistemas hidráulicos. O atrito é o efeito ocasionado pelo

contato entre duas superfícies que apresenta movimento, comprometendo o controle dos

sistemas pneumáticos, pois apresenta características não lineares e de difícil modelagem

(SOBCZYK, 2009). Em atuadores pneumáticos, a principal fonte de atrito provém do contato

com as vedações do cilindro (Perondi, 2002).

A Figura 12 representa o contato entre duas superfícies com rugosidades que descreve

esta não linearidade envolvendo o atrito. Neste sistema tem-se uma massa deslizando sobre

uma superfície plana, devido a força aplicada sobre a mesma, tendo a ação contrária de

uma força de atrito , apresentado assim, um deslocamento do corpo rígido ( ), que pode

ser decomposto em uma componente elástica ( ) e em outra plástica ( ).

Figura 12: Desenho sistema não linear massa-superfície envolvendo o atrito

Fonte: Ritter (2010)

Atrito é um fenômeno não linear que exibe diversas características não lineares. As

características de atrito são em geral dependentes da velocidade, da temperatura, do sentido

do movimento, da lubrificação e do desgaste entre as superfícies. As características dinâmicas

do atrito são responsáveis por degradações no desempenho do sistema e necessitam serem

observadas para uma adequada compensação e consequentemente diminuição de seus efeitos.

(VALDIERO, 2012).

Dentre esses efeitos pode-se mencionar as principais características dinâmicas do

atrito estático, o atrito de Coulomb, o atrito viscoso ou o atrito de arraste, o atrito de Stribeck,

a memória de atrito e o deslocamento de predeslizamento, que muitas vezes resultam em

45

efeitos danosos ao controle, como os efeitos conhecidos na literatura por adere-desliza (stick-

slip), oscilações em torno da posição desejada (hunting), perda de movimento (standstill) e

erros nas inversões de movimento em dois eixos ortogonais (quadrature glich). O estudo mais

detalhado destas características pode ser encontrado em Valdiero (2005). A combinação das

características do atrito resulta em uma função não linear conforme ilustrado pela Figura 13

que representa a força de atrito versus a velocidade em regime permanente.

Figura 13: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente

Fonte: Valdiero (2005)

Devido ao fato do atrito ser uma não linearidade presente nos sistemas mecânicos e

por causar dificuldades de controle, surgiram diversos modelos para atender esta demanda,

cada um procurando descrever o atrito de uma maneira mais completa. Mesmo sendo o atrito

um fenômeno bastante estudado por pesquisadores nos últimos anos não se tem um modelo

dinâmico aceito universalmente, no entanto a escolha de um modelo mais adequado que

inclua todas essas características se dá ao conhecido modelo LuGre, proposto por Canudas de

Wit et al. (1995). Este modelo está fundamentado no entendimento do mecanismo

microscópico do fenômeno do atrito. Neste nível, as superfícies são muito irregulares e seu

contato se dá através de rugosidades o que dificulta o deslizamento entre elas. A Figura 14

ilustra este fenômeno.

46

Figura 14: Representação da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies

de contato

Fonte: Miotto (2009)

Esta microdeformação causa uma força de atrito descrita por:

(2.20)

onde o parâmetro representa o coeficiente de rigidez das deformações microscópicas entre

as superfícies de contato, é um estado interno não mensurável que representa a deformação

média entre as superfícies e é o coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação

, é o coeficiente de arraste, é a velocidade relativa entre as superfícies e a função sinal

que tem a finalidade de manter a característica do elemento. Sendo que a força de

atrito é composta por três parcelas, a primeira proporcional as médias das deformações ( ),

a segunda proporcional a taxa de variação das deformações a terceira refere-se ao atrito

de arraste o qual é causado pela resistência ao movimento de um corpo através de um fluído,

sendo proporcional ao quadrado da velocidade e muitas vezes decorrente de um escoamento

turbulento.

(2.21)

Em contrapartida, o atrito viscoso, é linearmente proporcional a velocidade e

corresponde a uma situação de boa lubrificação, porém a resposta do sistema com este atrito

foi insatisfatória, o qual não foi utilizado na modelagem. A Figura 15 e equação (2.22)

descrevem suas características:

(2.22)

47

onde B é o coeficiente de amortecimento viscoso.

Figura 15: Características de atrito viscoso (a) e de arraste (b)

Fonte: Valdirero (2005)

A dinâmica das microdeformações denotada pela variável não mensurável é

modelada através da seguinte equação:

(2.23)

onde representa uma função positiva que descreve parte das características do atrito

em regime permanente, descrita por:

(2.24)

onde é o atrito de Coulomb, é o atrito estático e é a velocidade de Stribeck .

De acordo com Dupont et al. (2000), a função foi incorporada ao modelo

Lugre e é empregada para obter a representação do atrito estático em velocidades baixíssimas.

Sendo que esta função é definida por:

48

zyse

yzzse

yzzzse

zzse

zyz

zyzz

senyz

ba

ba

ba

ba

sgnsgn,

)(,

,0

,1

,12

12

2

10

0

,

max

max

max

max

(2.25)

(2.26)

onde é o deslocamento de força de quebra, de modo que para todo o movimento

na interface de atrito é composto apenas de comportamentos elásticos, e é o valor

máximo das microdeformações e depende da velocidade.

Deste modo, ao considerar a dinâmica das microdeformações, onde se encontra

modelada na equação (2.23), pode-se ressaltar que, em regime permanente, a velocidade é

constante, e tem-se . Entretanto, pode-se aproximar o desvio por meio da

seguinte equação:

(2.27)

Assim, substituindo-se a equação (2.27) na equação (2.23), obtêm-se então a equação

(2.28), onde esta representa a força de atrito em regime permanente para movimentos com

velocidades constantes:

(2.28)

Esta equação será de fundamental importância para a identificação dos parâmetros

estáticos de atrito ( , , , ).

49

2.4 Modelo Matemático Não Linear de 5ª Ordem

O modelo matemático proposto é descrito por um sistema de equações diferenciais

ordinárias de 5ª ordem o qual descreve o servoposicionador pneumático linear, representado

na forma de variáveis de estado. Este modelo é descrito pelas equações apresentadas na

subseção 2.3, considerando , , , e , tem-se

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

onde é a posição do êmbolo, é a velocidade, e as pressões na câmaras A1 e A2 do

cilindro, e é a dinâmica das microdeformações, Fatr a força de atrito, qma e qmb são as

vazões mássicas nas câmaras A e B do cilindro, A é a área do cilindro, Va0 e Vb0 os volumes

das câmaras A e B, respectivamente, T é a temperatura do ar de suprimento, R é a constante

universal dos gases, e é a relação entre os calores específicos do ar.

2.5 Discussões

Este capítulo apresentou a modelagem matemática das principais características não

lineares do atuador pneumático para o acionamento de uma bancada para ensaios de

estruturas. A combinação das diversas não linearidades presentes neste sistema resultou em

um modelo matemático de 5ª ordem que representa o comportamento dinâmico do atuador em

estudo. Este modelo considera a não linearidade da dinâmica das pressões, zona morta, a

vazão nos orifícios da servovávula e a dinâmica do movimento que inclui o atrito dinâmico.

A modelagem matemática apresentada neste capítulo torna-se necessária para a

implementação, simulação computacional e análise do comportamento dinâmico do sistema

pneumático.

50

3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL

3.1 Introdução

Este capítulo descreve a simulação computacional e validação do modelo matemático

não linear de 3ª ordem, bem como do modelo adotado de 5ª ordem proposto no capítulo 2,

para fins de comparação dos resultados. Apresenta-se também as simulações experimentais da

bancada de ensaio de estruturas para aplicação de força de carga.

As simulações computacionais apresentadas são realizadas no software

Matlab/Simulink e na solução das equações teve como método numérico Runge Kutta. Os

parâmetros utilizados nas simulações numéricas foram identificados através de testes

experimentais realizados no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Sistemas

(NIMASS).

3.2 Descrição da Bancada de testes do Atuador Pneumático

A estrutura geral da bancada é composta pelos seguintes elementos: sistema de

aquisição de dados, unidade de condicionamento de ar, válvula reguladora de pressão, cilindro

pneumático e transdutores de pressão e posição. A Figura 16 ilustra os componentes da

bancada experimental.

51

Figura 16: Bancada de aquisição de dados experimentais


O sistema de aquisição de dados envolve os seguintes componentes: um

microcomputador, uma placa dSPACE1104 que utiliza a integração dos softwares

MatLab/Simulink e ControlDesk, responsáveis pela captura dos dados da bancada

experimental, para que em seguida sejam analisados e comparados com os dados obtidos nas

simulações computacionais pois, permite a construção de uma interface gráfica para controle

e manipulação de um conjunto de parâmetros em tempo real e por um conector de sinais da

placa dSPACE.

A Figura 17 mostra a fotografia do conector de sinais da placa dSPACE utilizada neste

trabalho.

52

Figura 17: Fotografia conector de sinais da placa dSPACE


Este componente é um conector de sinais da placa dSPACE, composta de oito

conversores analógico-digital (entrada ADC) e oito conversores digital-analógico (saída

DAC), onde se faz a conexão dos cabos de comunicação dos sensores que transmitem o sinal

até a placa instalada no microcomputador.

Os dados capturados experimentalmente podem ser visualizados através da interface

criada no programa ControlDesk para gerenciamento dos dados, que permite analisar em

tempo real as tarefas de controle e manipulação dos resultados obtidos através do aplicativo

Matlab/Simulink. Através da Figura18 pode-se observar o layout gerado pelo software

ControlDesk.

Figura 18: Interface do programa ControlDesk


53

Para a alimentação dos componemtes com corrente contínua, utilizou-se uma fonte de

tensão contínua da marca HP 6543A, que permite controlar os sinais máximos que podem ser

enviados a servoválvula afim de evitar danos aos equipamentos. Para esta fonte HP 6543A,

foram reguladas voltagem máxima de 24 volts e corrente de 1 Ampére, conforme mostra a

Figura19:

Figura 19: Fonte HP 6543A para alimentação da vávula proporcional


A unidade de conservação utilizada no trabalho tem a finalidade de purificar o ar

comprimido e ajustar a uma pressão constante do ar antes de ser conectado a servoválvula

proporcional. A filtragem do ar é indispensável, pois elimina impurezas da tubulação,

partículas de óxido e água condensada antes de chegar a servoválvula. Dessa forma, a unidade

de conservação aumenta consideravelmente a segurança de funcionamento dos equipamentos

pneumáticos. A Figura 20 mostra a unidade de condicionamento de ar.

54

Figura 20: Unidade de conservação de ar

Fonte: Autoria propria

Para medir a pressão nas câmaras do cilindro atuador foram utilizados três

transdutores de pressão, cada um acoplado a uma câmara do cilindro e a entrada da

servovalvula direcional. Estes trandutores são responsáveis pela captura e controle das

pressões nas câmaras A e B. Tais sensores estão representados na Figura 21:

Figura 21: Transdutores de pressão


A servoválvula proporcional utilizada neste trabalho, conforme expressa na Figura 22,

tem a finalidade de regular as vazões de pressurização e/ou exaustão nas câmaras do cilindro

de forma proporcional ao sinal de controle aplicado, de modo que a diferença de pressão

necessária ao movimento desejado seja suprida ao êmbolo. O deslocamento do carretel da

servoválvula é provocado por uma tensão aplicada no solenoide, assim, o carretel da

55

servoválvula é deslocado em um sentido, uma das câmaras do cilindro é conectada a pressão

de suprimento e a outra à pressão atmosférica.

Figura 22: Fotografia da servoválvula pneumática


O atuador pneumático utilizado nesta bancada consiste de um cilindro pneumático de

dupla ação e haste simples, conforme demonstrado na Figura 23. O cilindro é responsável

pelo posicionamento da carga acoplada ao êmbolo em função das diferenças entre as pressões

geradas no interior das câmaras do cilindro.

Figura 23: Cilindro pneumático de haste simples e dupla ação


56

Para obter os dados experimentais sobre o deslocamento da bancada é utilizado um

transdutor de posição, conforme mostrado na Figura 24. O transdutor de posição é um

equipamento que converte variações de movimento em um sinal de saída do tipo elétrico. Os

transdutores detectam a posição medida pelo princípio magnetostritivo e sem contato. Isto faz

com que sejam absolutamente isentos de desgaste ou necessidade de manutenção. Além do

sinal absoluto de saída, oferecem alta resolução, repetibilidade e linearidade, assim como

imunidade a choques, vibrações e contaminação.

Figura 24: Transdutor de posição


Na Tabela 1 estão descritas as especificações técnicas dos principais componenetes

utilizados na bancada experimental, bem como seus fabricantes.

57

Tabela 1 - Principais componentes da bancada experimental

Descrição do

Componente

Fabricante Código Especificações Precisão

Servoválvula de

Controle Direcional

Festo

MPYE-5-1/8-

HF-010B

5 vias e 3 posições

Vazão = 700l/min

-

Cilindro Pneumático

Festo

DCN-100-500-

PPV

Curso = 0,5 m

-

Unidade de

Conservação

Festo

LFR-D 5M-

MIDI

C143

0,5....7 bar

Vazão máxima de

160 l/min

-

Sensor de Pressão

Festo

SDE1-D10-G2-

R18-C-PU-M8

Faixa de medição

0...10 bar

4%

Sensor de Posição

Balluff

BTL6-A110-

M0200-A1-

S115

Curso = 0,5m

20 μm

3.3 Identificação das Características Não Lineares do Atrito

Com o objetivo de se obter resultados confiáveis tanto nos experimentos de validação

do modelo descrito no capítulo 2, quanto nas simulações computacionais, foi realizada a

identificação das características do atrito. Os parâmetros a serem identificados são o atrito

estático ( , o atrito Coulomb ( , a velocidade de Stribeck ( o atrito viscoso e de arraste

( ).

A identificação das características do atrito baseia-se na análise do Mapa Estático do

Atrito, que é obtido através de diversos experimentos variando as velocidades de trabalho do

sistema. Os experimentos para composição do mapa foram realizados em malha aberta,

variando o sinal de controle de abertura da válvula de velocidades baixas até a máxima

velocidade de trabalho do sistema. Para cada experimento realizado foi capturado uma faixa

de tempo onde a velocidade é constante, pois para velocidades constantes a aceleração é nula

e a força de atrito iguala-se a força produzida pelas diferença das pressões nas câmaras do

cilindro, conforme mostrado na equação (3.1).

(3.1)

58

Os gráficos a seguir representam a trajetória de um experimento com sinal de controle

de 3,9 volts em que a velocidade do sistema é constante. A Figura 25 ilustra o trecho em que a

velocidade permanece constante para um sinal de controle de 3,9 volts.

Figura 25: Análise da velocidade constante para a identificação do atrito.

Aproximando a posição em função do tempo selecionado, obtem-se o trecho em que a

aceleração é nula, podendo ser verificado na Figura 26.

Figura 26: Trecho de posição com aceleração aproximadamente nula.

Sendo assim, para o experimento de 3,9 volts, tem-se o trecho de tempo compreendido

entre 5,8 e 6,2 segundos.

0 2 4 6 8 10 12

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Posiç

ão y

(m

)

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

Pre

ssões (

bar)

0 2 4 6 8 10 12

0

2000

4000

6000

Forç

a P

neum

ática (

N)

Tempo (s)

5.8 5.85 5.9 5.95 6 6.05 6.1 6.15 6.2

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

Tempo (s)

Posiç

ão y

(m

)

59

Dessa forma, a força de atrito é dada pela equação (2.28) e os quatro parâmetros do

atrito podem ser obtidos através dos dados experimentais demonstrados na Tabela 2 e Tabela

3, que representam as forças de atrito positivas e negativas.

Para a aquisição dos valores mostrados nas tabelas, foram analisadas as trajetórias de

cada experimento, buscando-se o trecho em que a velocidade é constante a fim de anular a

aceleração o obter a força de atrito.

Tabela 2 - Experimentos realizados com voltagens positivas

Teste de Atrito

Nº

Sinal de Controle

(volts)

Velocidade

(m/s)

Força de Atrito

(N)

1 0,5 0,001334535 274,909607

2 0,9 0,00802991 249,4022517

3 1,1 0,016537676 279,5664209

4 1,3 0,027429618 297,9800932

5 1,5 0,040731635 312,6093757

6 1,7 0,051533903 379,6259083

7 1,9 0,06086434 408,6164971

8 2,1 0,071011223 450,8288985

9 2,3 0,081250117 484,1693018

10 2,7 0,098998429 558,8968088

11 2,9 0,106709977 587,9018216

12 3,1 0,111445043 609,3383071

13 3,3 0,124804514 714,8087554

14 3,5 0,130955812 810,930432

15 3,7 0,134072459 860,62166

16 3,9 0,138579108 916,378193

17 4,9 0,159548005 1081,517122

18 5,6 0,167444039 1161,004937

19 7,1 0,175175597 1324,642712

60

Tabela 3 - Experimentos realizados com voltagens negativas

Teste de Atrito

Nº

Sinal de Controle

(volts)

Velocidade

(m/s)

Força de Atrito

(N)

1 -1 -0,008124543 -125,9813921

2 -1,2 -0,014226819 -89,01735832

3 -1,4 -0,024192002 -119,7000057

4 -1,6 -0,034472637 -146,7878987

5 -1,8 -0,047157304 -213,7659354

6 -2 -0,062250696 -296,3268697

7 -2,2 -0,069284237 -319,0715713

8 -2,4 -0,079750259 -372,3462682

9 -2,6 -0,078121587 -381,2743581

10 -2,8 -0,102363039 -506,936613

11 -3,2 -0,118085214 -610,6950769

12 -3,4 -0,120461404 -646,0578189

13 -3,6 -0,131219446 -703,1436531

14 -3,8 -0,136417104 -749,957437

15 -4 -0,141224496 -780,1378729

16 -4,2 -0,139663613 -796,118793

17 -4,4 -0,145811031 -864,164812

18 -4,6 -0,148009746 -896,0580399

19 -4,8 -0,154055584 -933,1161717

20 -5 -0,154841276 -964,448126

21 -5,5 -0,15917149 -1021,510002

22 -6,5 -0,169806051 -1118,274342

23 -7 -0,170857905 -1146,498203

24 -8 -0,171184032 -1189,313338

25 -9,5 -0,174008508 -1200,662857

26 -10 -0,177044818 -1289,708973

A partir da aquisição das velocidades e dos valores da força de atrito para cada

experimento realizado, obtem-se o Mapa Estático do Atrito para o atuador pneumático em

estudo, conforme mostra a Figura 27:

61

Figura 27: Mapa Estático do Atrito obtido experimentalmente

A partir do gráfico observa-se que cada ponto representa um experimento realizado,

onde os pontos em azul representam os experimentos com velocidades positivas e os pontos

em vermelho representam os experimentos com velocidades negativas.

Desta forma, é possível ajustar uma curva experimental onde os parâmetros do atrito

podem ser identificados. Para este procedimento utiliza-se o algoritmo nlinfit do MatLab. Os

ajustes resultantes do mapa estático são apresentados na Figura 28.

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Velocidade (m/s)

Forç

a d

e A

trito(N

)

62

Figura 28: Mapa do Atrito estático com ajuste dos parâmetros

Obtidos os parâmetros estáticos, pode-se então estimar os parâmetros dinâmicos e

. Perondi (2002) obteve uma estimativa dos parâmetros dinâmicos utilizando um

equipamento óptico de precisão para as medições dos deslocamentos do embolo de um

cilindro pneumático em regime de predeslizamento e com medição das forças aplicadas, mas

teve os resultados prejudicados devido a existência de vibrações mecânicas transmitidas do

ambiente de trabalho para a bancada. Em virtude disto os parâmetros dinâmicos foram

ajustados por simulações e com valores menores que os obtidos pela medição.

No presente trabalho utilizou-se a metodologia proposta por Valdiero (2005) apud

Miotto (2009), em que o valor do parâmetro dinâmico seja ajustado por meio de

simulações seguindo duas orientações: a ordem das microdeformações na região de pré-

deslizamento sejam valores aceitáveis estando na faixa de 1 a 50 e a viabilidade de

instituição de tempo real de um observador de atrito sem a perda de estabilidade numérica por

limitações do tempo de amostragem. Desta forma, o parâmetro é representado pela

equação (3.2):

(3.2)

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Experimento

Ajuste

63

O valor do parâmetro dinâmico proporciona o amortecimento adequado ao modelo

de atrito na região de pré-deslizamento e é ajustado de acordo com as condições deduzida por

Barahanov e Ortega (2000) apud Valdiero (2012). Sendo assim, o parâmetro é escrito na

forma da equação (3.3):

(3.3)

Os valores das microdeformações de quebra são consideradas constantes,

delimitam a região que ocorrem as microdeformações elásticas conforme Dupont et al. (2002)

apud Valdiero (2012) e devem satisfazer a condição dada pela equação (3.4).

(3.4)

Na Tabela 4 apresentam-se os valores obtidos para os parâmetros estáticos e

dinâmicos do atrito.

Tabela 4 - Parâmetros estáticos e dinâmicos do atrito no cilindro pneumático

Parâmetros

Força de Atrito Coulomb 230 N 110 N

Força de Atrito Estático 250 N 150 N

Coeficiente de rigidez das deformações

microscópicas

= 5x106 N/m = 2,2x10

6 N/m

Coeficiente de amortecimento = 3,9x105 N.s/m = 9,4x10

4 N.s/m

Coeficiente de arraste = 34202 N.s2/m

2 = 34202 N.s

2/m

2

Velocidade de Stribeck = 0,01 m/s = 0,01 m/s

3.4 Determinação dos parâmetros do atuador pneumático

Os parâmetros utilizados para as simulações numéricas foram obtidos a partir de

consulta a catálogos, medição e através de testes experimentais realizados na bancada de

testes (seção 3.2) da infraestrutura do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo

Sistemas (NIMASS).

64

A Tabela 5 apresenta o valor dos parâmetros da equação da vazão mássica na

servoválvula utilizada e da identificação da zona morta, estes parâmetros foram identificados

por Zamberlan (2013). Os parâmetros relacionados às propriedades do ar são apresentados na

Tabela 6 e a Tabela 7 especifica os valores dos parâmetros das não linearidades do cilindro

utilizado.

Tabela 5 - Valores dos parâmetros das não linearidades da servoválvula pneumática utilizada

Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Observações

Limite direito da zona morta zmd 0,78 V Obtidos

experimentalmente

conforme Zamberlan

(2013)

Limite esquerdo da zona morta zme 0,78 V

Inclinação direita da zona morta md 1

Inclinação esquerda da zona morta me 1

Coeficiente de vazão para a câmara

enchendo

0,69501x10-8

Obtidos

experimentalmente

conforme Endler (2009)

Coeficiente de vazão para a câmara

esvaziando

0,898105x10-8

Tabela 6 - Valores dos parâmetros relacionados ao fluido ar.

Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Observações

Pressão de suprimento 7x105 Medido

Pressão Atmosférica 1x105

Literatura

Constante universal dos gases R 287 Jkg/K

Temperatura do ar T 293

Relação entre os calores específicos

do ar

1,4

Adimensional

65

Tabela 7 - Valores dos parâmetros das não linearidades do cilindro pneumático utilizado

Descrição do Parâmetro Simbologia Valor

Diâmetro do êmbolo D 100x10-3

m

Diâmetro da haste 25x10-3

m

Curso total L 0,5 m

Área do êmbolo 7,9x10-3

Área do êmbolo descontada a

haste

7,4x10-3

Volume na câmara A 1,9958x10-3

Volume na câmera B 1,8723x10-3

Massa acoplada M 6,03 kg

3.5 Implementação Computacional

Nesta seção descreve-se a implementação computacional do modelo matemático não

linear de 3ª ordem e de um modelo mais completo não linear de 5ª ordem, para a bancada de

simulação que descreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático, na qual é feita a

comparação dos resultados obtidos.

3.5.1 Diagrama de blocos do modelo de 3ª ordem

O modelo matemático de 3ª ordem do atuador pneumático é implementado na

ferramenta Simulink através de um diagrama de blocos, conforme mostrado na Figura 29,

onde o primeiro bloco representa a entrada do sistema dinâmico, caracterizando um sinal de

controle em malha aberta u.

Este modelo matemático considera a não linearidade da frequência natural que é

gerada quando o volume da câmara do cilindro é muito pequeno, esta dinâmica é muito rápida

resultando em altos valores da frequência natural do cilindro pneumático, ou seja, o sistema

dinâmico torna-se oscilatório e em certas condições até instável. A partir da modelagem

matemática e dos valores dos parâmetros dimensionais do cilindro, pode-se calcular a

frequência natural do cilindro e verificar os limites de uma região central do curso onde ela

66

permanece praticamente constante. Fora desta região e próximo dos finais de curso há um

acréscimo brusco da frequência natural.

Figura 29: Diagrama de blocos do modelo matemático de 3ª ordem.

Para o cálculo da frequência natural do cilindro pneumático de haste simples e dupla

ação utilizou-se a equação (2.7) apresentada detalhadamente na seção (2.2). O gráfico

ilustrado pela Figura 30 representa o comportamento da frequência natural em função da

posição do êmbolo do cilindro.

Figura 30: Gráfico da frequência natural em função da posição

y2 y1y3

1

s

velocidade

uzm

sinal de controle1

u

sinal de controle

y

resposta

1

s

posição

wn

frequencia natural

1

s

aceleração

((2*gama*ps)/(3*M)*(A1^2/(VA0+A1*u)+A2^2/(VB0-A2*u)))^0.5

Wn

Dead Zone

4.1

Constant

kq

u^2

2*epson

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Posição y(m)

Fre

quência

Natu

ral (r

ad/s

)

67

A partir da análise do gráfico verifica-se que este cilindro não trabalha com altos

valores de frequência natural, visto que na região das extremidades do curso do cilindro a

frequência natural é maior do que na região central.

3.5.2 Diagrama de blocos do modelo de 5ª ordem

O diagrama de blocos representado na Figura 31 resulta da implementação das

equações (2.29), (2.30), (2.31), (2.32) e (2.33) que compõem o modelo matemático de 5ª

ordem do atuador adotado. Sendo que o primeiro bloco representa o sinal de controle em

malha aberta u e o segundo bloco representa a não linearidade da zona Morta. Este diagrama

possui também um subsistema que representa a Equação da Vazão da servoválvula, um

subsistema que representa a Dinâmica das Pressões e por fim um subsistema que representa a

Equação do Movimento do Cilindro.

Figura 31: Diagrama de blocos do modelo matemático de 5ª ordem

A equação da vazão mássica da servoválvula baseia-se nas equações (2.9) e (2.10),

representada através do diagrama de blocos conforme Figura 32. Este possui com entrada o

sinal de saída da não linearidade da zona morta, e possui realimentação das pressões nas

câmaras A e B do cilindro, que resulta no acoplamento dinâmico da válvula com a equação da

continuidade nas câmaras do cilindro. As varáveis de saída deste subsistema são e .

A Figura 32 representa as equações da vazão na câmara A e B do cilindro.

Zona MortaStep

Fp

y

dy

Equação do

Movimento

do Cilindro

pa

pb

UT

qma

qmb

Equação da Vazão

Mássica da servoválvula

qma

qmb

y

dy

pa

pb

Fp

Dinâmica das Pressões

68

Figura 32: Diagrama de blocos da equação da vazão

Partindo da Equação da Continuidade, obtêm-se a Dinâmica das Pressões que

representa a variação das pressões nas câmaras do cilindro em relação a posição e velocidade

do êmbolo em função do tempo, proveniente do subsistema mecânico, resultando em um

acoplamento dinâmico. As condições iniciais de posição e velocidade são obtidas a partir dos

testes experimentais. As variáveis de saída deste subsistema são as pressões nas câmaras do

cilindro, e , as quais devem ser informadas inicialmente para que a simulação numérica

apresente resultados adequados de previsão do comportamento dinâmico, e , a força

pneumática é resultante da diferença do produto entre as áreas e pressões das câmaras A e B

do cilindro. A Figura 33 apresenta o diagrama de blocos da dinâmica das pressões.

2

qmb

1

qma

ps-pb

ps-pa

ps

pressão suprimento

patm

pressão atmosférica

pb-patm

pa-patm

beta_esv

coeficiente esvaziamento

camara

beta_ench

coeficiente enchimento

camara

g2

To Workspace1

g1

To Workspace

Switch2

Switch

Product5

Product4

Product3

Product2

Product1

Product

-1

Gain

atan(2*u)

Fcn1

3

UT

2

pb

1

pa

69

Figura 33: Diagrama de blocos da dinâmica das pressões

A Figura 34 representa a dinâmica do movimento do atuador pneumático, resultante

do somatório das forças aplicadas ao êmbolo do cilindro, incluindo a dinâmica do atrito. Este

subsistema tem como entrada a força pneumática e como saída a velocidade e a posição.

Figura 34: Diagrama de blocos da Equação do Movimento

dpb

dpa

3

Fp

2 pb

1

pa

A2

Área2

A1

Área1

A1

Área do Êmbolo

A2

Área do lado da haste

dpb To Workspace5

dpa To Workspace4

Product3

Product2

Product1

Product

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

R*T

Gain1

R*T

Gain

(Vb0-(A2*u))

Fcn3

(Va0+(A1*u))

Fcn2

gama/u

Fcn1

gama/u

Fcn

Add1

Add

(A1.pa-A2.pb)4

dy

3

y

2

qmb

1

qma

ydyd2y

2

dy

1

y

dyFatr

dinâmica do atrito

d2y To Workspace3

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

1/M

Gain(A1.pa-A2.pb)-Fatr.dy

1

Fp

70

O subsistema da dinâmica do atrito é composto por três outros subsistemas

demonstrados na Figura 35, 36, 37. Estes diagramas representam as equações mencionadas

detalhadamente na seção 2.3.4.

Figura 35: Diagrama de blocos da Dinâmica do Atrito

Figura 36: Diagrama de blocos ds Dinâmica das Microdeformações

1

Fatr

u(1)^2

dy^2

alf a(z,dy )

dy

gss

dz

z

dinâmica da

microdeformação z

dy

gss

z

alf a(z,dy )

alfa(z,dy)

Sign(dy)Product

sigma0

Gain4

sigma2

Gain3

sigma1

Gain2

Add

1

dy

y' z' z

1/gss

3

z

2

dz

1

gss

v elocidadegss

atrito em regime permanente

Subtract1

Product

1

s

Integrator2

sigma0

Gain2

Divide

|u|

Abs

2

dy

1

alfa(z,dy)

71

Figura 37: Atrito em Regime Permanente

Figura 38: Diagrama de blocos do subsistema da dinâmica da função alfa do modelo Lugre.

3.5.3 Diagrama de blocos para uma estratégia de força

A Figura 30 representa o diagrama de blocos para as equações das vazões mássicas

para uma estratégia de força, tendo como entrada o vetor das pressões de suprimento e como

sinal de saída a força pneumática.

1

gss

Fc+((Fs-Fc)*exp(-(u(1)/dys)^2))

características do atrito em regime permanente

1

velocidade

1

alfa(z,dy)

|z|-|zmax|

|u|

|z|

|u|

|zmax|

0

zero

0.9zba=90% de zmax

zba-|z|

1

um

sign(dy)*sign(z)

sigma0

sigma0

u(1)/u(2)

gss/sigma0

0

Zero

alfa

Sign(z)

Sign(dy)

-1

Gain

>=0

>= 0

1/2*sin(pi*(u(2)-((u(1)+u(3))/2))/(u(1)-u(3)))+1/2

0<0.5sin(pi*(z-((zmax+zba)/2))/(zmax-zba))+0.5<1

>=0

3

z

2

gss

1

dy

72

Figura 39: Diagrama de blocos da equação da vazão com a inclusão do vetor das pressões de

suprimento.

3.6 Resultados de Validação Experimental

Para as simulações numérica utilizou-se o software MatLab, o qual integra ferramentas

de análise numérica, processamento de dados e geração de gráficos. Como extensão do

MatLab tem-se o Simulink, que possui uma interface gráfica para construir modelos como

diagramas de blocos, através do qual pode-se expressar o modelo matemático não linear, além

de uma vasta biblioteca de blocos pré-definidos, na forma de diagrama de blocos.

Para a resolução do sistema de equações diferenciais foi utilizado o método de

integração Runge-Kutta com o passo de 0,001 segundos. A metodologia dos testes

experimentais consistiu em posicionar o êmbolo do cilindro nas extremidades do curso

(posição recuado y = -0,25m e posição avançado y = 0,25m) aplicar um sinal de controle em

degrau que possibilita a análise do comportamento das variáveis de estado do atuador

pneumático em diferentes partidas.

2

qmb

1

qma

ps-pb

ps-pa

ps

pressão suprimento

patm

pressão atmosférica

pb-patm

pa-patm

beta_esv

coeficiente esvaziamento

camara

beta_ench

coeficiente enchimento

camara

vetorpse

To Workspace2

g2

To Workspace1

g1

To Workspace

Terminator

Switch2

Switch

Product5

Product4

Product3

Product2

Product1

Product

-1

Gain

pse

From

Workspace

atan(2*u)

Fcn1

3

UT

2

pb

1

pa

73

3.6.1 Validação Experimental do Modelo de 3ª Ordem e do Modelo de 5ª Ordem

Nesta seção apresenta-se a comparação entre a simulação numérica e os resultados

experimentais para o movimento de avanço do cilindro, validando o modelo matemático de 3ª

ordem e de 5ª ordem, para fins de comparação de resultados.

Para as simulações computacionais foram utilizadas as condições iniciais das pressões

e da posição do cilindro dos testes experimentais adotados. A Figura 40 apresenta o sinal de

controle em degrau de 4,1 volts aplicado no teste experimental.

Figura 40: Gráfico do sinal de controle no teste experimental com entrada de 4,1 volts.

A Figura 41 mostra a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo (s)

Sin

al de C

ontr

ole

(bar)

74

Figura 41: Gráfico do comportamento das pressões com sinal de controle de 4,1 volts no teste

experimental.

A partir das pressões iniciais experimentais obteve-se as condições iniciais para a

simulação e desta forma pode-se comparar o comportamento do modelo matemático com os

resultados da bancada, em especial a posição. A Figura 42 apresenta a validação para o

movimento de avanço do cilindro com sinal de entrada de 4,1 volts.

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo (s)

Pre

ssões (

bar)

pa(bar)

pb(bar)

ps(bar)

75


modelo de 3ª Ordem para o movimento de avanço

Apresenta-se a seguir a validação do modelo matemático adotado de 5ª ordem para o

movimento de avanço do cilindro. Para a validação deste modelo utilizou-se um sinal de

controle de 4,1 volts para o avanço, conforme mostrado na Figura 40. Também foram

estimadas a pressões iniciais para as simulações numéricas computacionais, a fim de obter a

validação do modelo matemático adotado. A Figura 41 ilustra o comportamento das pressões

para o experimento realizado.

A Figura 43 apresenta a validação para o movimento de avanço do cilindro com sinal

de entrada de 4,1 volts.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

Tempo(s)

Posiç

ão y

(m)

Simulação

Experimental

76


modelo de 5ª Ordem para o movimento de avanço

Analisando a validação dos modelos implementados é possível verificar que existe um

atraso na partida do modelo de 3ª ordem em relação ao modelo de 5ª ordem, ficando

evidenciado que o modelo não linear de 5ª ordem apresenta melhores resultados.

3.7 Teste Experimental de uma Estratégia para Aplicação de Forças

Esta seção apresenta os resultados dos testes experimentais realizados na bancada de

testes para estruturas com aplicação de força. A metodologia adotada para os testes

experimentais consistiu primeiramente em centrar o êmbolo do cilindro na posição y = 0 em

malha fechada, com pressão de suprimento igual a 0,5 bar. A partir do cilindro centrado

realizaram-se os testes para força de carga, sendo que o procedimento para estes testes

consistiu em abrir toda a válvula no sentido de recuo, u = -10 volts, e variar a pressão de

suprimento em malha aberta, e assim realizar a aquisição das variáveis, tempo, posição,

pressões e força pneumática.

O principal objetivo dos testes experimentais realizados é verificar qual a força

máxima de carga suportada pela estrutura adotada, para isso foram realizados vários testes

variando a pressão de suprimento desde a mais baixa até a mais alta suportada pelo sistema.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

Tempo (s)

Posiç

ão y

(m

)

Simulação

Experimental

77

A Figura 44 apresenta os gráficos que ilustram o momento em que o êmbolo está

sendo centrado considerando um pequeno erro resultante da força de atrito.

Figura 44: Gráfico representativo do momento em que do cilindro é centrado

O teste experimental mostrado a seguir foi realizado com uma pressão de suprimento

regulada em 1,1 bar. A Figura 45 ilustra a variação de pressão de suprimento. A Figura 46

ilustra a força pneumática exercida e a Figura 47 ilustra a posição do atuador para dada força

pneumática.

60 70 80 90 100 110 120-10

-5

0

5

Sin

al de C

ontr

ole

u (V)

60 70 80 90 100 110 1200

1

2

3

Pre

ssões

pa(bar)

pb(bar)

ps(bar)

60 70 80 90 100 110 120

-0.2

0

0.2

Posiç

ão y

(m

)

Tempo(s)

78

Figura 45: Dinâmica das pressões com pressão de suprimento regulada em 1,1 bar

Figura 46: Força pneumática gerada a partir da pressão de suprimento de 1,1 bar

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo (s)

Pre

ssões(b

ar)

pa(bar)

pb(bar)

ps(bar)

0 10 20 30 40 50 60 70 80-800

-750

-700

-650

-600

-550

-500

-450

-400

-350

Tempo (s)

Forç

a P

neum

ática(N

)

79

Figura 47: Posição do êmbolo para a força pneumática exercida

A seguir têm-se os gráficos para o teste experimental com pressão de suprimento

regulada em 1,5 bar. A Figura 48 mostra o momento em que a pressão de suprimento foi

regulada a partir de 1,1 bar até a pressão desejada de 1,5 bar. A Figura 49 mostra a força

pneumática exercida. A Figura 48 mostra a posição do êmbolo para uma a força pneumática

exercida.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.045

-0.04

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015P

osiç

ão y

(m

)

Tempo(s)

80



0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tempo (s)

Pre

ssões (

bar)

pa(bar)

pb(bar)

ps(bar)

0 10 20 30 40 50 60 70 80-1100

-1050

-1000

-950

-900

-850

-800

-750

-700

Tempo (s)

Forç

a P

neum

ática (

N)

81


Em seguida foi realizado o teste experimental com pressão de suprimento regulada em

2,05 bar. Os gráficos a seguir ilustram o momento em a estrutura não resiste a força de carga

exercida e quebra. A Figura 51 mostra o momento em que a pressão de suprimento foi

regulada em de 2,05 bar.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.065

-0.06

-0.055

-0.05

-0.045

-0.04

-0.035P

osiç

ão y

(m

)

Tempo (s)

82


A Figura 52 mostra a força pneumática exercida e a Figura 53 mostra a posição do

êmbolo no momento da quebra da estrutura de madeira.


0 10 20 30 40 50 60 700

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

Pre

ssões (

bar)

pa(bar)

pb(bar)

ps(bar)

0 10 20 30 40 50 60 70-1600

-1500

-1400

-1300

-1200

-1100

-1000

-900

-800

-700

-600

Tempo (s)

Forç

a P

neum

ática (

N)

Quebra

83


Analisando os gráficos acima pode-se verificar que a estrutura de madeira resistiu a

uma força pneumática de aproximadamente 1440 N.

A partir dos dados coleta através dos testes experimentais de aplicação de força de

carga foi possível traçar uma reta com os pontos obtidos e dessa forma encontrar a constante

elástica de rigidez da estrutura. A Tabela 8 apresenta os pontos considerados nos testes

experimentais.

Tabela 8 – Valores obtidos experimentalmente da força pneumática em função da deformação

da estrutura

Testes Experimentais Força Pneumática (N) Deformação da estrutura (m)

Teste 1 -407 -0,015

Teste 2 -740 -0,04

Teste 3 -1070 -0,06

A Figura 54 mostra o gráfico da força pneumática em função da deformação da

estrutura durante o teste de ensaio da estrutura de madeira.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Posiç

ão y

(m

)

Tempo (s)

84

Figura 54: Gráfico da força pneumática em função da deformação vertical da estrutura

A partir deste gráfico pode-se estimar o coeficiente de rigidez da estrutura, Ke =

14744,26 N/m. Para a validação do modelo escolheu-se o experimento em que a pressão de

suprimento foi regulada em 1,1 bar. A Figura 55 mostra o gráfico experimental da dinâmica

das pressões nas câmaras A e B do cilindro pneumático.

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

Deformação Medida (m)

Forç

a E

stim

ada (

N)

Teste

Ajuste

ke

85

Figura 55: Gráfico do comportamento das pressões no teste experimental

A Figura 56 mostra o gráfico teórico do comportamento das pressões nas câmaras do

cilindro.

Figura 56: Gráfico teórico do comportamento da dinâmica das pressões

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tempo (s)

Pre

ssões (

bar)

ps (bar)

pa (bar)

pb (bar)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12x 10

4

Tempo (s)

Pre

ssões (

bar)

ps (bar)

pa (bar)

pb (bar)

86

A Figura 57 representa o gráfico experimental da força pneumática em função do

tempo.

Figura 57: Gráfico experimental da força pneumática em função do tempo

A Figura 58 mostra o gráfico teórico da força pneumática em função do tempo, sendo

que para esta simulação utilizou-se um vetor de pressões de suprimento, conforme mostrado

no diagrama de blocos na seção (3.5.3).

Figura 58: Gráfico teórico da função pneumática em função do tempo

0 5 10 15 20 25 30 35 40-750

-700

-650

-600

-550

-500

-450

-400

-350

Tempo(s)

Forç

a P

neum

ática (

N)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-850

-800

-750

-700

-650

-600

-550

-500

-450

-400

Tempo(s)

Forç

a P

neum

ática (

N)

87

A Figura 59: representa a validação do modelo matemático da força pneumática em

função do tempo.

Figura 59: Gráfico comparativo do teste experimental com a simulação computacional da

força pneumática em função do tempo.

Os resultados experimentais e computacionais mostraram uma boa aproximação,

porém percebe-se que a uma diferença entre o gráfico experimental e computacional que deve

ser considerada, decorrente do comportamento da dinâmica das pressões e do atrito dinâmico.

3.8 Discussões

Neste capítulo foram apresentados os resultados das simulações computacionais e

experimentais. Inicialmente foi descrita a bancada de aquisição de dados, bem como seus

principais componentes. Em seguida foi realizada a identificação do atrito por meio de testes

experimentais, ajustados através do algoritmo nlinfit do software Matlab.

Apresentaram-se, também a partir de tabelas, os valores medidos e calculados dos

parâmetros do modelo utilizados para as simulações numéricas, assim como os demais

parâmetros identificados experimentalmente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-850

-800

-750

-700

-650

-600

-550

-500

-450

-400

-350

Tempo (s)

Forç

a P

neum

ática (

N)

Simulação

Experimental

88

A seguir foi descrita a implementação computacional do modelo matemático de 3ª

ordem, bem como o modelo matemático adotado de 5ª ordem, através da ferramenta

Matlab/Simulink por meio de diagramas de blocos. Tem-se então a validação do modelo

matemático de 3ª ordem e de 5ª ordem, bem como a comparação dos resultados obtidos. Os

resultados obtidos da validação experimental do modelo adotado ilustram a sua eficiência.

Por fim foi apresentada a validação dos testes experimentais em malha aberta, da

bancada de ensaio de estruturas para aplicação de força, onde os resultados mostraram

adequados ao modelo adotado, porém existe uma diferença de ajuste que deve ser

considerada, provavelmente decorrente do comportamento da dinâmica das pressões e do

atrito dinâmico.

89

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Esta dissertação tratou da modelagem matemática e identificação do atrito dinâmico

do atuador pneumático de haste simples e dupla ação utilizado para o acionamento de uma

bancada de ensaio de estruturas. Neste trabalho desenvolveram-se dois modelos matemáticos

para fins de comparação de resultados, primeiramente foi desenvolvido um modelo

matemático não linear de 3ª ordem que considera a não linearidade da frequência natural.

Posteriormente foi desenvolvido um modelo matemático adotado de 5ª ordem para o atuador

pneumático em estudo, este modelo apresenta a combinação do modelo da servoválvula com

a do cilindro, incluindo a não linearidade da zona morta, da vazão mássica nos orifícios da

servoválvula, da dinâmica das pressões e do movimento do êmbolo do cilindro, que considera

o atrito dinâmico.

Os resultados de simulação computacional foram obtidos utilizando-se o software

MatLab/Simulink, a partir dos parâmetros e dados coletados, utilizando o modelo matemático

adotado, a fim de comparar os resultados experimentais da bancada.

A validação experimental do modelo adotado consistiu na comparação entre as

simulações experimentais e computacionais, através da implementação do modelo

matemático de 3ª e 5ª ordem. Como resultados, mostrou-se através da validação e comparação

dos modelos que o modelo adotado de 5ª ordem apresenta melhores resultados.

Os resultados da validação do modelo adotado em relação a aplicação de força de

carga mostrou-se eficiente, porém percebe-se que existem alguns fatores que interferiram na

convergência do modelo matemático simulado e os testes experimentais, provavelmente

decorrente do comportamento da dinâmica das pressões e do atrito dinâmico.

As principais contribuições deste trabalho são a identificação das características não

lineares do atrito dinâmico que foram identificados através do levantamento do mapa estático

do atrito por meio de testes experimentais em malha aberta, com o auxílio do algoritmo nlinfit

do software Matlab, bem como o desenvolvimento de um modelo matemático não linear que

descreve o comportamento dinâmico de uma bancada de ensaio para aplicação de força, sua

simulação computacional e validação experimental.

Os resultados obtidos através da bancada de ensaio para testes de estruturas mecânicas

contribuirão para o projeto de título “Concurso de Pórticos” (processo CNPq nº409998/2013-

90

3, Chamada nº 18/2013 MCTI/CNPq/Secretaria de Políticas da Mulher-PR/Petrobras -

Meninas e Jovens Fazendo Ciências Exatas, Engenharias e Computação).

Como perspectiva de trabalhos futuros sugere-se que sejam realizadas estratégias de

controle para testes de aplicação de força para a bancada experimental, bem como a utilização

de uma válvula reguladora de pressão.

91

REFERÊNCIAS

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pneumaticamente. 2011. 99f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) –

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