Soluo da P1 de lgebra Linear I Prof. Claudio Anael

Nome: 03/07/2003

Instrues. Estude cuidadosamente a resoluo das questes. Tente imaginar outra forma de

resolver os problemas. Procure sempre uma interpretao geomtrica.

1. Questo (2,5 pontos): Calcular a soluo geral do sistema linear AX = b, onde

A =

1 1 2 32 2 3 11 1 1 2

e b = 35

2

Como sabemos, o mtodo de Gauss usa operaes elementares com as linhas para construir

um sistema mais simples UX = c, porm com o mesmo conjunto soluo que possui osistema original AX = b. O escalonamento da matriz [A|b] nos conduz ao resultado

[U |c] = 1 1 2 3 30 0 1 5 1

0 0 0 0 0

.TomandoX = [x y z t]t, dividimos o conjunto de variveis em bsicas (x e z, correspondendoaos pivs) e livres (y e t). Do sistema UX = c podemos construir a soluo geral:

x = 1 y + 7ty = yz = 1 5tt = t .

Por diversas razes, incluindo uma forma rpida de testar se a soluo geral est correta,

sempre bom escrever a soluo geral como combinao linear:1010

+ y1100

+ t

7051

.Aqui podemos apreciar a separao da soluo geral em soluo particular (a primeira

matriz acima) e a soluo da equao homognea (AX = 0) associada. Os geradores (defato uma base) do ncleo de A so facilmente extrados da expresso acima.

2. Questo (2,0 pontos): Qual condio o parmetro deve satisfazer para que a matriz

A =

2 1 31 1 3 2 5

seja invertvel? Justique sua resposta.

2Para que uma matriz A33 seja invertvel preciso que seu posto seja 3. O posto deuma matriz representa precisamente o nmero de linhas linearmente independentes. Como

sabemos, uma maneira ecaz de calcularmos o posto escalonar a matriz A e contar onmero de linhas no nulas da U . Obtemos

U =

2 1 30 1/2 3/20 0 + 2

Para que o posto de A seja 3 obrigatrio que 6= 2.3. Questo (2,5 pontos): Considere os dois tens abaixo.

(a) Calcule uma expresso (sistema de equaes lineares) que simbolize o espao coluna

da matriz

A =

1 1 02 1 10 1 1

.Para encontrar um conjunto de equaes lineares que descreva o espao coluna de A,podemos escalonar a matriz [A|b], usando um b genrico, para vericar que condieso termo b deve satisfazer para que seja um tpico elemento de C(A). Empregando umtermo b = [x y z]t, encontramos a matriz ampliada

[U |c] = 1 1 0 x0 1 1 y 2x

0 0 0 2x+ y + z

.Podemos ento concluir que

C(A) = {(x, y, z) R3 / 2x+ y + z = 0} .(b) Calcule uma base para o subespao vetorial

S = {(x, y, z) R3 / x 3y + 4z = 0} .Precisamos simplesmente resolver o sistema x 3y + 4z = 0. A soluo geral

x = 3y 4zy = yz = z .

Falta pr a soluo geral na forma de combinao linear de vetores para encontrar

uma base do N(A). Assim, 31

0

, 40

1

base de S.

34. Questo (3,0 pontos): Considere os tens abaixo. Cada tem vale 0,5 pontos.

(a) Suponha que existam solues para os dois sistemas quadrados: AX = b1 e AX = b2.O sistema AX = (2b1 + 3b2) tem soluo? Justique.SIM. Vamos apresentar duas demonstraes. Se ambos AX = b1 e AX = b2 tmsolues, porque tanto b1 quanto b2 pertencem ao espao coluna de A. Como oC(A) fechado para a multiplicao por escalar, tanto 2b1 quanto 3b2 pertencem C(A). E, como C(A) fechado para a soma de vetores, (2b1+3b2) C(A). O sistemaAX = (2b1 + 3b2) ter soluo com toda certeza.A segunda demonstrao baseada na construo de uma soluo para o sistema

AX = (2b1+3b2). Suponhamos queX1 eX2 so duas solues dos respectivos sistemasAX = b1 e AX = b2. fcil vericar que 2X1 (3X2) soluo do sistema AX = 2b1(AX = 3b2) e que portanto, (2X1 + 3X2) soluo do sistema AX = (2b1 + 3b2).(b) Se Ab1 = b2 e Ab2 = b3. Encontre uma soluo do sistema A2X = b3. Justique.

Como A2b1 = Ab2 = b3, conclu-se facilmente que b1 uma soluo do sistemaA2X = b3.(c) Se AX = 0 tem uma nica soluo, o sistema AX = b, com b 6= 0, tem quantassolues? Justique.

Se AX = 0 tem somente a soluo trivial, ento no existem variveis livres, emborapossa haver linhas nulas na U . Neste caso um sistema AX = b, com b 6= 0 ou temuma nica soluo ou ento incompatvel (nenhuma soluo). Depender do termo

independente b.

(d) Um sistema AmnXn1 = bm1, onde o posto de A igual a m, tem solues paraqualquer b? Justique.

Como o posto mximo, no existiro linhas nulas na U , ou seja, o espao colunaser o Rm e portanto para qualquer b haver soluo.(e) O subconjunto S = {(x, y, z, t) R4 / x = y , z = 0} um subespao do R4?Justique.

Um elemento tpico de S

yy0t

.Podemos ento vericar que o vetor nulo pertence a S, o que corresponde a escolhermosy = t = 0. Por outro lado a soma de dois elementos de S um elemento de S:

yy0t

+aa0d

=y + ay + a0

t+ d

.

4Por ltimo, devemos vericar o fechamento da multiplicao por escalar.

yy0t

=yy0t

.Obtemos um vetor tpico de S, exibindo o fechamento para o produto por um escalar.Concluimos que S um legtimo subespao vetorial.

(f) Encontre uma matriz real A22 6= I22 tal que A2 = I.

Aqui podemos construir uma matriz A genrica e impr que A2 = I, os parmetrosde A cam ento amarrados. Como as equaes envolvidas so no lineares difcilextrair todas as informaes da soluo geral, mas possvel se fazer escolhas simples.

Uma delas, bem debatida em sala de aula [0 11 0

].