S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria · Causalidade. Previsao: pontual, intervalos,...

IntroducaoModelos Estruturais

Conclusao

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de Economia

Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 1

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


Conclusao

O CursoDefinicoes Basicas

Ementa

Introducao aos modelos para series temporais: definicoes,interpretacao e identificacao.

Propriedades dinamicas: estacionariedade, funcao de respostaao impulso, etc.

Estimacao e propriedades dos estimadores para modelos deseries temporais: mınimos quadrados ordinarios (MQO),maxima verossimilhanca (MV), variaveis instrumentais (VI) emetodo generalizado dos momentos (MGM).

Testes e ciclo de modelagem

Raiz unitaria, cointegracao e regressao espuria.

VAR e cointegracao: estimacao, interpretacao e identificacao.

Previsao.



Conclusao


Series Temporais

O que e uma serie temporal?

Um conjunto de observacoes de uma determinada variavel aolongo do tempo.Sendo um pouco mais especıfico:

Um conjunto de observacoes de uma determinada variavel em

intervalos de tempo discretos e equiespacados.

Exemplos:

Inflacao mensal, ındice mensal de producao industrial, PIBtrimestral, IBOVESPA diario, consumo horario de energiaeletrica, etc.



Conclusao


Series Temporais – Alguns Exemplos

Indice diario (cotacao de fechamento) da BOVESPA e os logretornos para perıodo entre 01/08/1994 e 31/03/2000.

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x 104

Observacao

Indice

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

−0.1

0

0.1

0.2

Observacao

Retor

nos



Conclusao



M1 mensal (media) entre agosto/1994 e dezembro/2004.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

0.1

0.2

0.3

0.4

Observação

∆ 12log

(M1)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Observação

∆ 12∆lo

g(M1)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

−100

−50

0

50

100

Observação

∆12log

(M1)



Conclusao



Consumo horario de energia eletrica na area de concessao deuma empresa no sudeste no Brasil para os anos 1990–2000.

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

MW



Conclusao



A figura apresenta os mesmos dados, so que agora a serie foidividida em 24 novas series. Uma para cada hora (Dadosreferentes aos anos 1999 e 2000 foram omitidos).

1000

2750

4500hour 1 hour 2 hour 3 hour 4

1000

2750


1000

2750


1000

2750


1000

2750


90 91 92 93 94 95 96 97 981000

2750

4500hour 21

90 91 92 93 94 95 96 97 98

hour 22

90 91 92 93 94 95 96 97 98

hour 23

90 91 92 93 94 95 96 97 98

hour 24



Conclusao



Inflacao mensal medida pelo IPCA para o perıodo entrejaneiro de 1980 e dezembro de 2004.

0 50 100 150 200 250 300−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Observação

Inflaç

ão (IP

CA)



Conclusao


Series Temporais – Objetivos

Modelar relacoes entre variaveis. Podem ser relacoes estaticasou dinamicas (o passado influenciando o futuro). Causalidade.Previsao: pontual, intervalos, densidades.Dois tipos de modelos:

1 Modelos univariados: as caracterısticas das series de interessesao explicadas exclusivamente a partir do comportamento dapropria serie.

2 Modelos multivariados: as caracterısticas das series de interessesao explicadas em funcao nao apenas do comportamento dapropria serie, mas tambem de outras series.

Modelos escalares: apenas uma equacao.

Modelos vetoriais: multiplas equacoes.

Modelos estruturais versus forma reduzida. Em geral:modelos estruturais ⇒ interpretacao economica;forma reduzida ⇒ previsao, “leis do movimento”.

Importante: ha situacoes onde formas reduzidas saoeconomicamente interpretaveis.



Conclusao



Cada tipo de modelo possui certas vantagens e desvantagens,e a opcao por determinada abordagem dependera do objetivoda analise:

previsao;relacoes de causalidade;efeitos de polıticas;identificacao de choques estruturais.

Fatos estilizados:

tendencia, sazonalidade, ciclo;heterocedasticidade;valores extremos (outliers);quebras estruturais.



Conclusao



Por que um economista deve estudar econometria para seriestemporais?

1 Macroeconomia

Modelos DSGE, modelos de transmissao monetaria, avaliacao

do efeito de diferentes choques, construcao de indicadores

antecedentes, previsao, etc.

2 Financas

Analise de risco, otimizacao de carteiras e selecao de

portfolios, analise de eventos, previsao, modelos para estrutura

a termo, modelos macro-finance, aprecamento de ativos, etc.

3 Modelos dinamicos em microeconomia

Painel dinamico, modelos de duracao e de escolha discreta

para base de dados com muitas observacoes ao longo do

tempo, estrutura de dependencia temporal, etc.



Conclusao

MGDs e Modelos EconometricosExemplos

Modelos Estruturais

Cameron e Trivedi (2005, cap. 2, pag. 20)

Uma estrutura e composta pelos seguintes elementos:1 um conjunto de variaveis aleatorias z = (z1, . . . , zT )

particionado em (y, x) por conveniencia;2 distribuicao de probabilidade conjunta de z, F (z);3 uma ordenacao “a priori” sobre hipoteses de causa-e-efeito e a

imposicao de restricoes, tambem “a priori”; e4 uma forma funcional (parametrica, nao-parametrica,

semi-parametrica) para a especificacao do modelo.



Conclusao


Modelos Estruturais

Comissao Cowles (Sargan, 1988, p. 27)

Um modelo e a especificacao da distribuicao de probabilidade paraum conjunto de observacoes. Uma estrutura e a especificacao dosparametros desta distribuicao. Portanto, uma estrutura e ummodelo para o qual todos os parametros possuam valoresnumericos.



Conclusao


Modelos Estruturais

Os elementos de zt podem estar relacionados tantocontemporaneamente quanto ao longo do tempo(dinamicamente).

E consenso a existencia de “leis do movimento” que explicamas interacoes e o comportamento dinamico dos elementos dezt .

⇒ Caso tais leis sejam conhecidas, e possıvel testar teoriascomportamentais e prever o comportamento futuro de zt .⇒ Claro que ha tambem componentes aleatorios na natureza:incerteza, choques, erros dos agentes e distorcoes referentes aoprocesso de mensuracao e agregacao.



Conclusao


Series Temporais e Processos Estocasticos

Neste curso os elementos de zt sao series temporais.

Mais formalmente, uma serie temporal e uma realizacao deum processo estocastico.

Mas o que e um processo estocastico?



Conclusao


Processos Estocasticos

Definicao: Variavel Aleatoria

Dado um espaco de probabilidade (Ω,F ,P), uma variavelaleatoria e uma funcao real y : Ω −→ R, tal que para todonumero real c , Ac = ω ∈ Ω|y(ω) ≤ c ∈ F , ∀ c ∈ R.

A probabilidade de ocorrencia do evento Ac e definida por P.A funcao F : R −→ [0, 1] definida como F (c) = P(Ac) e aFuncao Distribuicao de y .



Conclusao


Processos Estocasticos

Definicao: Processos Estocasticos

Um processo estocastico e uma sequencia ordenada devariaveis aleatorias, yt(ω), ω ∈ Ω, t ∈ T , tal que para todot ∈ T , yt(ω) e uma variavel aleatoria em Ω e para todoω ∈ Ω, yt(ω) e uma realizacao do processo estocasticoindexado em T .

Portanto, uma serie temporal ytTt=1 e uma realizacao

particular ytt∈T de um processo estocastico.

Este processo estocastico e o mecanismo gerador da serietemporal y1(ω), y2(ω), . . . , yT (ω), denotada por yt.

Para simplificar a notacao, yt pode representar tanto umaserie temporal quanto o respectivo processo estocasticogerador dos dados.



Conclusao


O Mecanismo Gerador de Dados e Modelos Estruturais

Defina o mecanismo gerador de dados (MGD) como sendo adistribuicao conjunta (verdadeira!) de zt condicionada aoconjunto de informacao disponıvel:

Ft(zt |Fz ,t−1),

onde Fz ,t−1 = zt−1, zt−2, . . . e o conjunto de informacao.

Um modelo econometrico e uma famılia de funcoes dos dadosque tem por objetivo representar (aproximar) o verdadeiroMGD. Formalmente,

M (zt , zt−1, zt−2, . . . , dt ;ψ) ,ψ ∈ Ψ , Ψ ∈ Rp,

onde ψ e um vetor de p parametros que define o modelo e dtrepresenta possıveis quebras estruturais.



Conclusao



Axioma da Especificacao Correta

MD (zt , zt−1, zt−2, . . . , dt ;ψ0) = Ft(zt |Fz ,t−1)

ME (zt , zt−1, zt−2, . . . , dt ;ψ0) =

∫

ztFt(zt |Fz ,t−1)dz

MV (zt , zt−1, zt−2, . . . , dt ;ψ0) =

∫

ztz′tFt(zt |Fz ,t−1)dz−

∫

ztFt(zt |Fz ,t−1)dz

∫

z′tFt(zt |Fz ,t−1)dy



Conclusao



Em geral, postulamos modelos da sequinte forma:

ME (zt , zt−1, zt−2, . . . , dt ;ψ0) ≡ g(y, x,d,u;ψ0) = 0,

onde u e uma perturbacao aleatoria (erro) que e fundamentalpara definicao da distribuicao conjunta de z = (y, x).

g(y, x,d,u;ψ0) = 0 e a forma estrutural.

Caso haja uma solucao unica para yt em funcao de(yt−1, yt−2, . . . , x,u,d), entao

yt = h(yt−1, yt−2, . . . , x,u,d;θ0),

e a forma reduzida e θ0 = m(ψ0).



Conclusao


Otimizacao Intertemporal - Favero (2001, cap. 7)

Considere o problema usual de otimizacao de um consumidorrepresentativo:

maxct+i ,At+i

E

[∞∑

i=0

(1 + δ)−iU(ct+i )|Ft

]

s.a.

At+i = (1 + r)At+i−1 + yt+i − ct+i

limi−→∞

E[At+i(1 + r)i |Ft

]= 0,

onde y e a renda, c e o consumo e A e a riqueza que gera umretorno r . U e a funcao utilidade do consumidor (separavelinter- e intra-temporalmente). δ e a taxa de desconto.



Conclusao



O problema de otimizacao pode ser resolvido a partir damaximizacao do Lagrangiano:

maxct+i ,At+i

E

[∞∑

i=0

(1 + δ)−iGt+i |Ft

]

Gt+i = U(ct+i ) + λt+i [At+i − (1 + r)At+i−1 − yt+i + ct+i ].

Hipotese: retorno real e nao-estocastico e a funcao utilidade edada por

U(ct+i ) =c1−γt+i

1− γ,

onde γ e o parametro de aversao ao risco.

Dois parametros profundos: δ e γ.



Conclusao



A partir das condicoes de primeira ordem e da condicao detransversalidade:

∞∑

i=0

ct+i

(1 + r)i=

∞∑

i=0

yt+i

(1 + r)i+ (1 + r)At−i .

Dado que

ct+i = ct

(1 + r

1 + δ

)i/γ

, entao

ct = (ρ− 1)

[∞∑

i=0

yt+i

(1 + r)i+ (1 + r)At−i

]

,

onde

ρ =(1 + δ)

1γ

(1 + r)1γ−1

.



Conclusao



Quando δ = r :

ct = r

[∞∑

i=0

yt+i

(1 + r)i+ (1 + r)At−i

]

,

A expressao acima representa a funcao de consumo estruturale e a solucao fechada para o problema de otimizacaointer-temporal.

Caso yt = α1yt−1 + ut , podemos escrever

ct = (ρ− 1)(1 + r)At−1 + (ρ− 1)1 + r

1 + r − α1

yt + εt ,

onde εt e um erro auto-correlacionado.

A equacao acima e uma forma reduzida.



Conclusao


Um Modelo Simples de Transmissao Monetaria

Considere as seguintes equacoes:

πt = λyt + πet + u1t , 0 < λ < 1

yt = γ (it−1 − πet ) + u2t , −1 < γ < 0

πet = πt−1

it = i∗ + ρ (πt − π∗) , ρ ≥ 0,

onde ut = (u1t , u2t)′ ∼ NID(0,Ω), πt e a inflacao, yt e o

hiato do produto, πet e a expectativa de inflacao para o

instante t feita em t − 1, it e a taxa de juros nominal, i∗ e ataxa de juros de equilıbrio e π∗ e a meta de inflacao.

As equacoes acima definem um modelo estrutural parazt = (πt , yt , it , π

et )

′.



Conclusao



Suponha que o interesse seja no comportamento conjunto de(πt , yt). O modelo anterior pode ser reescrito da seguinteforma:

πt = λyt + πt−1 + u1t

yt = γ (i∗ − ρπ∗)︸︷︷︸

a0

+ γ(ρ− 1)︸︷︷︸

a1

πt−1 + u2t .

No modelo acima os choques estruturais continuamidentificados.

As equacoes acima representam um modelo estrutural“limitado” dado que tanto juros quanto as expectativas deinflacao nao aparecem mais explicitamente no modelo.



Conclusao



Forma reduzida:[1 −λ

0 1

] [πtyt

]

=

[0

γ (i∗ − ρπ∗)

]

+

[1 0

γ(ρ− 1) 0

] [πt−1

yt−1

]

+

[u1tu2t

]

[πtyt

]

=

[1 −λ

0 1

]−1 [0

γ (i∗ − ρπ∗)

]

+

[1 −λ

0 1

]−1 [1 0

γ(ρ− 1) 0

] [πt−1

yt−1

]

+

[1 −λ

0 1

]−1 [u1tu2t

]



Conclusao



Dado que[1 −λ

0 1

]−1

=

[1 λ

0 1

]

,

o modelo resultante e[πtyt

]

=

[λγ (i∗ − ρπ∗)γ (i∗ − ρπ∗)

]

+

[1 + λγ(ρ− 1) 0

γ(ρ− 1) 0

] [πt−1

yt−1

]

+

[u1t + λu2t

u2t

]

zt = A0 + A1zt−1 + vt

⇒ Modelo Auto-regressivo Vetorial (VAR)



Conclusao



O modelo anterior pode ser reescrito da seguinte forma:

πt = λγ (i∗ − ρπ∗) + [γλ(ρ− 1) + 1]πt−1 + λu2,t + u1t

πt = φ0 + φ1πt−1 + v1t

⇒ Modelo Auto-regressivo (AR).

Que tipo de informacao pode ser extraıda de cada um dosmodelos anteriores?

Note que todas as quatro formas (estrutural, estrutural“limitada”, VAR e AR) descrevem corretamente o mecanismogerador de dados. A diferenca esta no conjunto de informacaoconsiderado.



Conclusao


O Modelo de Samuelson (1939)

Considere a seguinte versao modificada do modelo deSamuelson (Review of Economics and Statistics, maio de1939) de interacao entre o “multiplicador keynesiano” e o“princıpio do acelerador”:

yt = ct + it + g

ct = αyt−1 + εt

it = β(ct − ct−1),

onde y , c , i , g e ε sao, respectivamente, a renda nacional, oconsumo, o investimento, os gastos do governo e um erroaleatorio.



Conclusao


O Modelo de Samuelson (1939)

Portanto,

yt = αyt−1 + εt︸︷︷︸

consumo

+ β(αyt−1 + εt − αyt−2 − εt−1)︸︷︷︸

investimento

+ g .

Logo,

yt = g + α(1 + β)yt−1 − βαyt−1 − βεt−1 + (β + 1)εt

yt = φ0 + φ1yt−1 + φ2yt−2 + θut−1 + ut ,

onde ut = (β + 1)εt .



Conclusao


Modelos DSGE

Apos a devida linearizacao em torno do equilıbrio desteady-state, um exemplo tıpico de um modelo DSGE(Dynamic Stochastic General Equilibrium) novo-Keynesiano e:

πt = βEt(πt+1) + κxt + ust

xt = Et(xt+1)− τ [Rt − Et(πt+1)] + udt

Rt = φππt + uRt ,

onde πt , xt , e Rt referem-se a inflacao, hiato do produto etaxa de juros nominal, respectivamente.

ust , udt e uRt sao choques nao antecipados.

ψ = (β, κ, τ, φπ)′ sao parametros profundos (estruturais) da

economia.



Conclusao


Modelos DSGE

A forma reduzida de modelos DSGE linearizados e dada por:

A(ψ)zt+1 = B(ψ)zt + C(ψ)ut+1 +D(ψ)ηt+1,

onde:

zt = (πt , xt ,Rt)′;

ut = (ust , udt , uRt)′ e

ηt+1 sao erros expectacionais.



Conclusao

Conclusao

Ao longo do curso vamos ver como estimar tanto formasestruturais quanto formas reduzidas.

Em cada caso, sera muito importante entendermos aslimitacoes e o potencial de cada modelo. Analise crıtica serafundamental!

Formas estruturais serao importantes para avaliarmos, porexemplo, o impacto de diferentes polıticas monetarias.Enquanto que formas reduzidas serao fundamentais pararealizacao de projecoes.


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