35

CAPITULO 4

MAGNETIZAÇÃO DOS CLUSTERS

No capítulo anterior tratamos das probabilidades dos clusters, agora falaremos

das energias e seus autovalores e com esses resultados poderemos calcular a

magnetização para cada tipo de cluster. Começaremos com os clusters de tipos

single, logo par e tripla. Os resultados se podem generalizar para outros modelos

[4.1,2].

4.1.- Energia de um cluster tipo single

Seu hamiltoniano é o mesmo hamiltoniano de Zeeman:SHgH BI

rr ¼= m (4.1)

Onde g é o fator de Landé, S é o spin do íon e H é o campo magnético aplicado.

Resolvendo este hamiltoniano temos:

Sm

HmgE

HmgmSHmS

s

sBI

mmsBsIsss

�=

=m

dm ’,’ ,,

Para o íon magnético Mn o spin é S = 5/2, g = 2, mB=9.274 10-24 J/T ou 0.6717 K/T.

ms = -5/2, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, 5/2, e HI é uma matriz diagonal de 6x6 na base

| 5/2, ms Ö. O diagrama de níveis de energía está ilustrado na figura 4.1.

36

Figura 4.1.- Gráfico da energia dos clusters singles de íon Mn, quando o campo magnéticoaplicado vai de 0 a 50 kOe. A energia está em kelvin.

0 10 20 30 40 50-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

ms=-5/2

ms=-3/2

ms=-1/2

ms=1/2

ms=3/2

ms=5/2

E

(k)

H(kOe)

4.2.- Energia de um cluster de tipo par

O hamiltoniano para um cluster de tipo par, que tem dois íons com spins S1 e S2

é:

21

2121 )(2

SSS

SSHgSSJH

T

Biprrr

rrrrr

+=+¼+¼-= m

(4.2)

Onde o spin total do par é: 21 SSSTrrr += e também como todos os íons

magnéticos são iguais: SSS == 21 .

37

Análise

Os operadores zz SSSS 2122

21 ,,, , formam um conjunto completo de observáveis

que comutam entre si e portanto seus autovetores | m1, m2 Ö são comuns. Assim

também os operadores TzT SSSS ,,, 222

21 formam um conjunto completo de

observáveis que comutam e seus vetores próprios | ST, M Ö serão comuns. Então

para achar a energia destes clusters, primeiro pomos o hamiltoniano Hp na base

|m1, m2 Ö e devemos utilizar a relação do produto escalar de operadores seguinte:

zz SSSSSSSS 21212121 )(21 ++=¼ ����

vv

. Logo levando a uma representação matricial do

hamiltoniano obteremos que a matriz do hamiltoniano [Hp], é igual a uma matriz de

Jordan [ HJ ] mais outra diagonal [ MT ], vejamos:

21211’2

’12121

’2

’121

’2

’1 2 mmSSmmHgmmSSmmJmmHmm zzBiP ++¼-= mrr

2’21

’1

2’21

’12

’21

’1

2’21

’1

,,21

,,211,1,2211

1,1,221121’2

’1

)(

2)]1()1()][1()1([

)]1()1()][1()1([

mmmmB

mmmmimmmmi

mmmmiP

mmHg

mmJmmSSmmSSJ

mmSSmmSSJmmHmm

ddmdddddd

+++-+-+--+----++-+-=Ã

��

��

à [ HP ] = -Ji [ HJ ] + g:BH[ MT ] (4.3)

Para o caso do íon Mn encontramos que [ HP ], [ HJ ], [ MT ] são matrizes com

dimensão de 36x36, como o modelo que trataremos é r8 teremos oito constantes

de troca. Então para encontrar as energias dos clusters pares devemos resolver

oito matrizes [HJ] a sua forma diagonal vezes Ji mais a matriz diagonal [MT] vezes

g:BH.

38

Base de dados das energias dos clusters

Nosso grupo LESBT tem um programa feito em linguagem MatLab 5.2, que

calcula a matriz representativa de dimensão 36x36 para os clusters pares e

transforma a matriz [HJ] à forma diagonal, resolvendo cada bloco da matriz de

Jordan por separado e assim podemos ter eficiência do tempo de cálculo como no

espaço de memória. No caso das triplas a dimensão da matriz [ HJ ] é 216 x 216 e

para os quartetos é 1296 x 1296. Depois de definido os valores das constantes de

troca e o modelo de clusters utilizado, o programa realiza os cálculos das energias

dos clusters e constroi uma base de dados de energias para os clusters de tipo

singles pares, triplas e quartetos, em suas diferentes configurações (distancias de

suas ligações) para ser utilizada na determinação da magnetização da amostra e

demais simulações.

Método direto

Com outro método que chamaremos “direto” podemos encontrar as energias do

cluster par e alguns casos de cluster tipo triplo e quarteto. Isto é possível quando o

hamiltoniano HP na base correspondente | ST, M Ö resolve a sua forma diagonal

diretamente. Por exemplo, para os clusters pares o hamiltoniano tomará a

seguinte forma, nessa base de vetores próprios :

TzBTip HSgSSSJH m+---= )( 22

21

2 (4.4)

Suas energias próprias são:

[ ]T

T

BTTip

SM

SS

HMgSSSSJE

���

++-+-=20

)1(2)1( m

Para nosso caso do íon magnético Mn com spin S = 5/2, g = 2

ST = 5, 4, 3, 2, 1, 0.

39

Para o cluster de tipo par quando a interação Ji é negativa o estado

fundamental corresponde a um acoplamento antiferromagnético de dois spins,

então ST = 0 e não é degenerado. Se nós determinamos a diferença entre as

energias do estado fundamental e os outros estados ST = 1,2,..,2S, encontraremos

os valores seguintes com a equação (4.4):

2|Ji|, 6|Ji|, 12|Ji|,..,2S(2S+1)|Ji|

Na figura 4.2 podemos apreciar esses valores para nosso caso de íon Mn.

Figura 4.2 .- Gráfico dos níveis de energia do cluster tipo par em campo nulo em função do spintotal ST. O íon magnético corresponde ao íon Mn com spin S=5/2.

0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Ep=-Ji[ST(ST+1)-2S(S+1)]

E /

|Ji|

ST

Num campo magnético aplicado igual a zero (H=0) cada estado tem níveis que

são degenerados, mas esta degenerescência desaparece quando o campo

aplicado é maior que zero (H>0). Então dizemos que esses níveis foram

separados pela interação Zeeman e os vetores próprios estão na base { |ST,MÖ }.Uma conseqüência do desdobramento Zeeman, é que o estado fundamental do

cluster par muda descontinuamente com o incremento do campo magnético

aplicado H. Na figura 4.3 vemos esse fenômeno. Essas mudanças são causadas

pelo cruzamento de dois níveis menores contíguos, então nesse ponto as energias

são as mesmas e temos as relações seguintes aplicando a equação (4.4):

40

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

TiSB

TSBTTiP

TSBTTiP

SJHg

SHgSSSSJE

SHgSSSSJE

T

T

T

2

121

1121

=Ã-+-+-=

--+---=

mmm

O primeiro cruzamento acontecerá quando ST=1 e campo magnético H1

aplicado. Se seguirmos aumentando o campo magnético aparecerá um segundo

cruzamento quando ST=2, então H2 é igual a 2H1. Um terceiro cruzamento

aparecerá quando ST=3 e o campo magnético aplicado H3 é 3H1, etc.. Por isso

podemos escrever para o campo Hn :

Sn

ng

JH

B

in

2,..,3,2,1

2

== m

Figura 4.3 .- Gráfico da interseção dos menores níveis de energia do cluster par emfunção do campo magnético aplicado. As interseções estão em 2, 4, 6, 8 e 10 paraos íons magnéticos de Mn.

0 2 4 6 8 10 12-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

mT=0

mT=-1

mT=-2

mT=-3

mT=-4

mT=-5Hn = 2n|Ji| / gmB

H5H4

H3

H2

H1

E/|J

i|

gmBH/|Ji|

41

4.3.- Energia de um cluster de tipo tripla

Para um cluster de tipo tríade ou tripla mista aberta ou fechada onde os três

íons magnéticos S1, S2 e S3 tem interações com diferente constante de troca Ji, Jk e Jl

não se pode achar uma solução analítica exata de seu hamiltoniano, sendo

encontradas soluções numéricas. Mas em algumas situações onde Ji = Jk, Jl =0,

ou Ji = Jk = Jl ou Ji = Jk ,Jl � 0, se acham soluções analíticas como veremos mais

adiante.

Para o caso geral já mencionado, onde a interação de troca Ji tem lugar entre

os íons magnéticos de spin S1 e S2, a iteração Jk só tem lugar com os íons

magnéticos S1 e S3 e a iteração Jl só tem lugar com os íons magnéticos S2 e S3, seu

hamiltoniano é:

32

321

321323121 )(222

SSS

SSSS

SSSHgSSJSSJSSJH

a

T

BlkiMT

rrr

rrrr

rrrrrrrrrr

+=++=

++¼+¼-¼-¼-=� m(4.5)

Podemos reduzir este hamiltoniano ao seguinte:

T

aTa

a

TzBalikaTiMT

SM

SSSSS

SS

HSgSSSJSSJJSSSJH

�+��-

��+---¼-----=�

20

)()(2)( 23

22

231

221

2 mrr

(4.6)

O spin total do cluster tripla é: ST = S1+S2+S3 e também para nosso caso:

S1=S2=S3= S. Faremos a continuação uma análise semelhante ao caso do cluster

par.

Análise

Os operadores zzz SSSSSS 32123

22

21 ,,,,, , formam um conjunto completo de

observáveis que comutam e seus autovetores | m1,m2,m3 Ö comuns. Também os

operadores TzaT SSSSSS ,,,,, 2223

22

21 , formam um conjunto completo de observáveis

42

que comutam e seus vetores próprios |Sa,ST,MÖ também são comuns. Podemos

perceber que as matrizes que representam os operadores TzaT SSSSSS ,,,,, 2223

22

21 do

hamiltoniano HT-M formam matrizes diagonais nessa base comum. Entretanto o

operador da interação S1·S3 não tem uma representação em forma de matriz

diagonal nesta base. EMBEDEMBEDEMBEDEMBED

Então podemos escrever seu hamiltoniano como a soma de dois termos, o

primeiro tem uma representação matricial na forma de Jordan que devemos levar

a sua forma diagonal por algum método numérico, o segundo término já tem forma

diagonal.

O hamiltoniano para um cluster de tipo tríade mista aberta, que tem três íons

magnéticos com spin S1, S2 e S3 onde a constante de troca Ji existe entre os íons de

spins S1 e S2, a iteração Jk só tem lugar com os íons magnéticos S1 e S3, seu

hamiltoniano é:

32

321

3213121 )(22

SSS

SSSS

SSSHgSSJSSJH

a

T

BkiMAT

rrr

rrrr

rrrrrrrr

+=++=

++¼+¼-¼-=� m(4.8)

Tal como o mencionamos esse hamiltoniano também não tem solução analítica

exata e precisamos voltar à análise anterior. Entretanto, se ambas as interações

são antiferromagnéticas, o estado fundamental tem spin total 5/2.

Casos do método direto

A partir da equação (4.6) podemos considerar os seguintes casos que podem

resolver-se diretamente:

a) O hamiltoniano do cluster de tipo tríade aberta onde tem três íons

magnéticos com spin S1, S2 e S3, a constante de troca Ji é igual para as

interações com spin S1 e S2, S1 e S3. A terceira constante de troca é muito

fraca ou igual a zero. Então Ji=Jk e Jl=0, na equação (4.5)

)()(2 321321 SSSHgSSSJH BiOT

rrrrrrr ++¼++¼-=� m e na equação (4.6) achamos:

43

32

321

221

2 )(

SSS

SSSS

HSgSSSJH

a

T

TzBaTiOT

rrr

rrrr

+=++=

+++-=� m(4.9)

Os níveis de energia são:

[ ]

T

aTa

a

BaaTTiOT

SM

SSSSS

SS

HMgSSSSSSJE

�+��-

��++-+-+-=�

20

)1()1()1( m

O estado fundamental desta tripla aberta, sem campo magnético aplicado

H, se determina com os valores de Sa = 5 e ST = 5/2, então E0 = - 30|Ji|

b) O cluster de tipo tríade fechada, onde tem três íons magnéticos com spin

S1, S2 e S3, a interação de troca Ji é igual para cada uma das três interações

e tem lugar com os íons de spins S1 e S2, S1 e S3, S2 e S3. Então Ji =Jk =Jl , o

hamiltoniano na equação (4.5) se escreve:

)()(2 321133221 SSSHgSSSSSSJH BiFT

rrrrrrrrrr ++¼+¼+¼+¼-= m e com a equação

(4.6) se reduz a:

32

321

23

22

2221

2 )()(

SSS

SSSS

HSgSSSJSSSJH

a

T

TzBaiaTiFT

rrr

rrrr

+=++=

+---++-= m(4.10)

Os níveis de energia são:

[ ]

T

aTa

a

BTTiFT

SM

SSSSS

SS

HMgSSSSJE

�+��-

��++-+-=

20

)1(3)1( m

44

O estado fundamental desta tripla fechada, sem campo magnético aplicado

H, se determina com os valores de Sa = 2 ou 3 e ST = ½, então E0 = - 25.5|Ji|.

c) O hamiltoniano do cluster de tipo tríade mista fechada, onde tem três íons

magnéticos com spins S1, S2 e S3, a constante de troca Ji é igual para cada

uma das duas interações com spins S1 e S2, S1 e S3, e a iteração Jk só tem

lugar com os íons magnéticos S2 e S3. Então Ji =Jk ,Jl � 0 na equação

(4.5), )(2)(2 32132321 SSSHgSSJSSSJH BliMT

rrrrrrrrr ++¼+¼-+¼-= m e na equação

(4.6) temos:

32

321

23

22

2221

2 )()(

SSS

SSSS

HSgSSSJSSSJH

a

T

TzBalaTiFT

rrr

rrrr

+=++=

+---++-= m(4.11)

Os níveis de energia são:

[ ] [ ]

T

aTa

a

BaalaaTTiMT

SM

SSSSS

SS

HMgSSSSJSSSSSSJE

�+��-

��++-+-+-+-+-=

20

)1(2)1()1()1()1( m

O estado fundamental desta tripla fechada sem campo magnético aplicado

H é mais complicado de determinar porque também depende dos valores

das constantes de troca Ji e Jl. Por exemplo, se supomos que as constantes

de troca obedecem |Ji |>2|Jl |, com os valores de Sa = 5 e ST = 5/2, obteremos

o estado fundamental com energia E0 = - 30|Ji | + 12,5|Jl |. Nesta situação

estão incluídas as triplas estudadas no item a). Quando Ji é próximo de Jl,

ambas sendo antiferromagnéticas, se reproduz a situação do item b), em

que o estado fundamental tem spin total 1/2. Esta situação persiste no

intervalo 5/8|Ji |<= |Jl |<=14/8|Ji |.

Generalização do hamiltoniano de um cluster

Também podemos generalizar a análise que fizemos num cluster par e triplo e

estendê-lo ao caso de um cluster quarteto, resolvendo o hamiltoniano (4.12) onde

45

n = 1,2,3,4, é o tipo de cluster single, par, tripla e quarteto respectivamente. A

matriz diagonal (4.13) devemos achar para cada tipo de cluster.

ÊÊ +¼-=�

n

iziB

n

jijiijn HSgSSJH mrr

2 (4.12)

[ ] [ ] [ ]MHgEJE B

n

ji

ijij

n

TSbSaSMTSbSaSm+-=Ê

�,,,,,

(4.13)

Notamos que a energia dos estados dos clusters depende de seus números

quânticos:

ST,M para o cluster par onde 0 � ST � 2S e |M| � ST, M é o mesmo para todo tipo

de cluster.

Sa,ST,M para o cluster triplo, onde 0 � Sa � 2S e |Sa – S| � ST � Sa + S.

Sa,Sb,ST,M para o cluster quarteto onde 0 � Sa � 2S, 0 � Sb � 2S e

|Sa – Sb | � ST � Sa + Sb.

Até agora dispomos de duas bases de dados como são, a base de dados para

a estrutura hcp das probabilidades dos clusters com sua estatística hierarquizada

(mencionada no capítulo 3), e a base de dados das energias dos clusters pares,

triplas, quartetos. Com essa base de dados procederemos a calcular a

magnetização da amostra.

4.4.- Magnetização

O ponto de partida do calculo da Magnetização e da Susceptibilidade Magnética

dos clusters de spins é a função de partição Zi para um cluster de tipo i, que é

igual à somatória da exponencial dos autovalores da energia Ek,i desse cluster de

tipo i, vezes o fator b = ( kBT )-1 (a soma é efetuada sobre todos os níveis de

energia k para cada tipo de cluster i):

46

Ê -=k

iki EZ )exp( ,b (4.14)

Em nosso caso do íon Mn de spin S = 5/2 e modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 a função de

partição toma formas parecidas para cada tipo de cluster dependendo da

quantidade de números quânticos que têm suas energias. Para facilitar nossa

notação reescrevemos as equações (4.13) da energia para um cluster de tipo i

assim:

Ek,i = E’k,i + gmBHM

Onde no cluster single i = 1 e E’k,i=0, para o cluster par i =1,2,..,8 e E’k,i= E’ST,i, para

o cluster triplo i=1,2,..,104 e E’k,i= E’Sa ,ST,i, para o cluster quarteto i =1,2,..,3928 e

E’k,i= E’Sa,Sb,ST,i. , mas Sa, Sb nem sempre são bons números quânticos. (Aqui

tambem o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os diferentes

autoestados da energía do mesmo tipo de cluster i) Com essa notação a função

de partição tomará a seguinte forma:

]exp[]exp[

]exp[

’,

,

’,

HMgEZ

HMgEZ

BM

ikk

i

MkBiki

mbb

mbb

--=Ã--=ÊÊ

Ê(4.15)

Conhecendo a função de partição podemos calcular a energia livre Fi e também

a energia livre total F.

ÊÊ

-=Ã-=

4

1

ln)(

),(

),(ln),(

n

ni

i

ni

B

iBi

Zn

xPTkTHF

THZTkTHF

(4.16)

Onde Zin e Pi

n(x) são a função de partição e probabilidade do cluster de tipo i

pertencente a um single quando n=1, a um par quando n=2, a uma tripla quando

n=3 e a um quarteto quando n=4. O numero n é o numero de íons de esse tipo de

cluster i. Quando precisamos calcular a energia livre por unidade de massa

devemos multiplicar a toda a expressão por o fator (Na x/mx), onde x é a

47

concentração dos íons de manganês, Na é o numero de Avogadro, mx é a massa

molecular da amostra quando a concentração x tem o valor nominal ou um valor

comprovado experimentalmente (no capítulo 5 achamos o valor da concentração x

para ambas amostras pelo método da saturação magnética).A magnetização Mi

para um cluster de tipo i é encontrada pela relação:

iT

ii Z

HHF

M ln1

��ÜÜÝ

ÛÌÌÍË-=ÜÝ

ÛÌÍË��-= b

]exp[]exp[

]exp[]exp[

’,

’,

HMgE

HMgMEgM

BM

ikk

BM

ikk

Bi mbbmbb

m ----

=Ã ÊÊÊÊ

(4.17)

(Aqui também o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os

diferentes autoestados da energía do mesmo tipo de cluster i)

Para calcular a magnetização total M da amostra por unidade de massa ate

quartetos se deve usar a seguinte fórmula:

ÊÊ�

= 4

1

)(

n i

ni

ni

x

atotal M

nxP

mxN

M (4.18)

Mas se os clusters estão diluídos num retículo cristalino diamagnético (com

susceptibilidade cd) se deve somar à magnetização a contribuição do retículo

cristalino:

HMn

xPm

xNM d

n i

ni

ni

x

atotal c+= ÊÊ

�

4

1

)((4.19)

Agora definiremos alguns termos usados como são a saturação verdadeira M0

por unidade de massa, que é devida ao completo alinhamento de todos os íons

magnéticos. Outro término muitas vezes referido na literatura é a saturação

técnica Ms a qual nos referiremos mais adiante.EMBED

48

Sgm

xNM B

x

a mÜÜÝÛÌÌÍ

Ë=0

Como já falamos o fato de substituir o modelo de spins distribuídos

aleatoriamente que têm interação entre si, por outro modelo formado de cluster

que não têm interação entre si, nos permitirá calcular a magnetização total da

amostra com a equação (4.18). A equação (4.19) se usa quando o campo

magnético aplicado H ou a susceptibilidade cd são importantes. A equação (4.17)

da magnetização Mi de cada tipo de cluster na presença do campo magnético

externo H (H pode crescer ou decrescer), pode ser simplificada dependendo do

tamanho do cluster. No seguinte parágrafo discutiremos esse assunto.

4.5.- Magnetização de um cluster single

No modelo J1J2..Jn onde o spin do íon magnético é S, usando a equação (4.17) a

magnetização MI de um cluster single toma a forma seguinte:

)(ySBgM SBI m= (4.20)

Onde BS(y) é a função de Brillouin:

HSgySy

Sy

SS

SS

yB

B

S

mb=-++= )

2coth(

21

)2

12coth(

212

)((4.21)

A função de Brillouin tem a propriedade de tender a 1 quando o argumento y

tende a � ,o que significa que a baixa temperatura a magnetização se aproximará

à saturação mais rapidamente. Vemos na figura 4.4, que quanto menor é a

temperatura a curva terá uma rampa com maior pendente, esse gráfico é com

respeito à saturação verdadeira que tem ordenada 1.0.

49

Figura 4.4 .- Gráfico da magnetização dos clusters singles até 50 kOe e a temperaturas de 0.8 K e2 K. Aqui a magnetização M está em unidades de massa,então:M = (Nax /mx) S

8 MI. O valor de S = 5/2, n = 1, a probabilidade S8 = (1-x)56 e x = 0.01.

EMBED

0 5 10 15 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2 K

0.8 K

Saturação Verdadera = M0

S8=(1-x)56

x=0.01

M /

M0

H(kOe)

4.6.- Magnetização de um cluster par

Num cluster par se o campo magnético aplicado é igual a zero (H=0) cada

estado tem níveis que são degenerados, mas esta degenerescência é levantada

quando o campo aplicado é maior que zero (H>0) numa direção que chamaremos

z. Então dizemos que esses níveis foram separados pela a interação Zeeman e os

vetores próprios têm a base { |ST,MÖ }. Como já falamos anteriormente uma

conseqüência do desdobramento Zeeman é que o estado fundamental do cluster

par muda descontinuamente com o incremento do campo magnético aplicado H,

essas mudanças são causadas pelos cruzamentos de dois níveis menores

contíguos. O cruzamento acontece só para valores múltiplos do campo magnético

H1 aplicado, que corresponde a um primeiro degrau que aparecerá na curva de

50

magnetização. Se seguirmos aumentando o campo magnético aparecerá um

segundo degrau quando H2 é igual a 2H1, assim um terceiro degrau aparecerá

quando o campo aplicado H3 é igual a 3H1, etc., e se deve cumprir a relação do

campo magnético Hn com a interação de troca Ji :

Sn

HgJn nBi

2,..,3,2,1

2

== m

(4.22)

Lembramos que em cada um desses valores do campo Hn, o valor do número

quântico M decresce de uma unidade, sendo cada vez mais negativo porque

começamos com o valor do estado fundamental onde M=0.

A equação (4.17) para a magnetização para um cluster par Mp tomará a

seguinte forma:

HSgy

yS

SsinhSS

TkJ

yByS

SsinhSSS

TkJ

gM

B

S

S B

i

S

S

S B

i

BP

mb

m

=ßàÞÏÐ

Î ÜÝÛÌÍ

Ë +ßàÞÏÐ

Î +ßàÞÏÐ

Î ÜÝÛÌÍ

Ë +ßàÞÏÐ

Î += Ê

�

�

212

)1(exp

)(2

12)1(exp

2

0

2

0

(4.23)

Quando se desenha a equação (4.23), o gráfico mostrara uma série de degraus

que são conseqüência dos cruzamentos de níveis já mencionados. O centro de

cada degrau coincide com a posição de cada campo magnético Hn. Depois do

último degrau dos pares J1 e J2 a magnetização pode estar já saturada e atinge a

seu valor real [4.3]. Um exemplo se vê na figura 4.5 onde para nosso caso do íon

Mn nós encontramos cinco degraus, cuja forma se vai suavizando conforme sobe

a temperatura.

51

Figura 4.5 .- Gráfico da magnetização de clusters pares de íons de Mn comconcentração 0.01 na amostra e a temperaturas de 20 mK e 0.1 K.. A probabilidadeé o correspondente a J8, a relação kB T / |J| é 0.06 e 0.33 para as duastemperaturas, notamos cinco degraus porque o spin do íon Mn S é 5/2. Amagnetização M é por unidade de massa: M = (Nax /mx) ( P8

8(x) / 2) MP e se dividiupor M'0= (Nax /mx)gmBS para normaliza-la.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0,000

0,004

0,008

0,012

0,016

0,020

0,024

0,028

0.02 K0.1 K

H5H4

H3

H2

H1

P88= 6x(1-x)93

x = 0.01, Ji/kB= -0.30 KT=0.020 K e T=0.100 K

M /

M0

H(kOe)

Nem sempre poderemos observar os degraus diretamente, algumas vezes

dependendo do tamanho dos degraus só observaremos uns desníveis. Então

precisamos de uma ferramenta importante que é a derivada da curva de

magnetização (a susceptibilidade) que nos permitirá determinar mais facilmente as

posições dos campos magnéticos Hn e assim calcular Ji. A partir da curva das

susceptibilidades obtemos uma serie de picos simétricos onde cada um aponta

para um campo Hn. Também poderemos determinar a largura dos picos dos

degraus, em termos da largura a meia altura de cada pico. Comparando essa

largura DH chamada “largura térmica” da expressão seguinte nos encontraremos a

temperatura efetiva T, que em sempre é a mesma da experiência. Esta expressão

52

se utilizou no modelo de clusters para primeiros vizinhos e pode estender-se para

nosso modelo J1J2J3J4J5J6J7J8.

B

B

gTk

H m53.3=D

Então derivando a equação (4.23) e para nosso caso do íon Mn obteremos uma

série de cinco picos simétricos como se vê na figura 4.6. Esses picos mudam de

largura quando a temperatura cresce.

Figura 4.6 .- Gráfico da susceptibilidade para os clusters pares de íons Mn, onde x = 0.01, aprobabilidade corresponde à interação J8 e a temperaturas T= 20 mK e 0.1 K comum Ji = -0.30 K. No intento de compara-los se dividiu por (3.53M0)/dH, onde dH é alargura térmica.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0,0000

0,0004

0,0008

0,0012

0,0016

0,0020

0,0024

� H(2

0mK

)

DH(100mK)

P88= 6x(1-x)93

x = 0.01, Ji/kB= -0.30 KT=0.020 K e T=0.100 K

H5H4H3

H2H1

(dM

/dH

) dH/(3

.53M

0)

H(kOe)

Como estamos usando o modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 detectaremos não somente um

tipo de cluster, que constituiria só uma curva em forma de rampa como na figura

4.5, senão vários tipos de clusters pares cujos degraus aparecem misturados e

suas rampas somadas. Assim podemos vê-lo na seguinte figura 4.7.

53

Figura 4.7 .- Gráfico de uma curva de magnetização com quatro desníveis, o quesignifica que tem quatro rampas devidas a quatro diferentes clusters pares, x =0.005.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

soma

J4 e J7 =-0.06K

J6 = -0.10KJ3 e J5 =-0.20K

J8 = -0.33K

M

/M0

H(kOe)

Se somarmos à curva de magnetização dos clusters singles mais os clusters

pares, resultará uma curva com desníveis de pendentes decrescentes muito

parecidos a uma curva experimental. Para determinar a altura DM de cada rampa

dessa curva de magnetização partimos de equações lineares, que começam da

origem onde cada uma representa uma suposta rampa. Por outra parte achamos

outras equações que representam os desníveis ou traços que olhamos na curva

de magnetização, podemos calculá-las da reta que passa por cada desnível ou

traço, extrapolando desde o mesmo traço até o eixo das ordenadas. Logo depois

de somar as equações das rampas comparamo-las com as equações dos

desníveis respectivos e assim poderemos encontrar o valor de cada rampa.

Na figura 4.8 temos um exemplo de uma curva de magnetização com quatro

desníveis. Suas quatro rampas foram encontradas, ali vemos que nos desníveis

54

da curva de magnetização ou as rampas, os degraus não se percebem porque a

temperatura efetiva é maior que 20 mK.

Figura 4.8 .- Gráfico de uma curva de magnetização com quatro desníveis o que significa que temquatro rampas. A primeira rampa corresponde ao cluster single, as demais aosclusters pares onde tem a constante de troca Ji de diferentes.

4.7.- Magnetização das triplas

A magnetização das triplas acontece em seus dois casos, quer dizer,

quando são triplas abertas e triplas fechadas.

a) Para o cluster tripla aberta, quando o campo magnético aplicado é nulo

(H=0), o estado fundamental corresponde a dois spins alinhados no mesmo

sentido e o terceiro no sentido oposto, dando um spin total ST=S muito

parecido aos íons isolados. Por isso a magnetização da tripla aberta a baixo

55

campo nós podemos representá-la como uma função de Brillouin, com spin

S até o primeiro degrau produzido pelo cruzamento dos níveis com o

estado fundamental da mesma tripla.

Comparando os degraus das triplas com os degraus dos pares, podemos

concluir que a tripla aberta tem a mesma quantidade de degraus que um

cluster par, mas seus campos magnéticos Hn estão deslocados pelo valor

2S|Ji| / gmB em relação aos degraus dos pares.

( )Sn

HgJSn nBi

2,..,3,2,1

2

==+ m

(4.24)

A equação para a magnetização para uma tripla aberta é:

]exp[]exp[

]exp[]exp[

’,

’,

HMgE

HMgMEgM

BM

ikk

BM

ikk

BTA mbbmbb

m ----

=Ã ÊÊÊÊ

(4.25)

(Aqui tambem o índice k se refere aos índices necessários para distinguir os

diferentes autoestados da energía do mesmo tipo de cluster tripla aberta).

b) Quando um cluster de tripla fechada está submetido a um campo

magnético nulo (H=0), o estado fundamental depende do valor do spin S,

assim se o spin S é semi-intero então o valor do estado fundamental é

S0=1/2. Se o spin S é um número inteiro então o valor do estado

fundamental é S0=0. Para campos magnéticos maiores (H>0) as posições

dos degraus também dependem do valor do spin do íon magnético S, assim

para o caso de S semi-intero temos a relação seguinte para os cruzamentos

de níveis:

)21

3(,..,2,1

)12(

-==+Sn

HgJn nBi m(4.26)

E para S com valor inteiro:

56

Sn

HgnJ nBi

3,..,2,1

2

== m

(4.27)

A equação (4.25) da magnetização das triplas abertas podemos escrevê-la

de maneira semelhante para as triplas fechadas.

Saturação Técnica da Magnetização

Em geral, em baixa temperatura (kBT<<2|J1|) o comportamento magnético de um

tipo de cluster pode ser descrito como a soma de uma função de Brillouin (exceto

para os clusters como os pares cujo estado fundamental a campo nulo tem spin

zero) e uma função de tipo escada (exceto para os clusters singles). Quando

estamos em baixo campo (g BH<<2|J1|), onde os degraus de magnetização dos

clusters de J1 ainda não ocorreram, a magnetização do sistema é completamente

descrita por uma soma das funções de Brillouin. Na figura 4.4 vemos para os

clusters singles parte da função de Brillouin satura rapidamente na zona de baixo

campo magnético. Para diferençá-la da saturação verdadeira M0 essa saturação é

referida nas publicações como saturação técnica Ms. Seu valor é a soma dos

momentos magnéticos de todos os clusters no estado fundamental a campo nulo.

Para baixas concentrações de íons magnéticos (x ������) o valor de Ms pode ser

estimado com a seguinte equação valida para a estrutura hcp e íon magnético Mn:

( ) ( ) ãâá

ÓÒÑ ++++++= ......

151

31

1221112201201100 TTTTTSMM s .

Nesta expressão S, T representam as probabilidades dos singles e triplas

computadas no modelo J1J2 (em nossa nomenclatura). No primeiro parênteses

estão as triplas cujo estado fundamental a campo nulo tem spin 5/2 (1/3 do spin

total) e no segundo as que têm spin 1/2 (1/15 do total).

57

4.8.- A susceptibilidade magnética

Susceptibilidade a baixa temperatura

A susceptibilidade ci de um cluster de tipo i, usualmente se escreve como a

derivada parcial da magnetização com respeito ao campo magnético H, a

temperatura constante:

T

i

T

ii H

FHM ÜÜÝ

ÛÌÌÍË��-=ÜÝ

ÛÌÍË��=

2

2

c (4.28)

No modelo de clusters a susceptibilidade magnética de um sistema de spins

diluídos no retículo cristalino diamagnético, podemos escrevê-la da seguinte

forma:

dn i

ni

ni

x

a

nxP

mxN ccc += ÊÊ

�

4

1

)((4.29)

Onde Pd é a susceptibilidade do retículo cristalino.

Usualmente determinamos a posição exata no campo magnético Hn dos

degraus de magnetização dos clusters com a derivada numérica de nossos dados

experimentais, para isso utilizamos a relação seguinte:

HM

DD=c (4.30)

Nessa relação 0 = Mi+1 - Mi dos dados da magnetização e + = Hi+1 - Hi dos

dados do campo magnético tirados de nosso experimento.

Susceptibilidade a alta temperatura

Em altas temperaturas ( kBT >> |J1| ) a susceptibilidade (por unidade de volume

ou unidade de massa) c obedece a lei de Curie-Weiss:

Q-=T

Cc (4.31)

58

A constante de Curie C (por unidade de massa) é dada pela equação:

( )B

B

x

a

kSSg

mxN

C3

)1(2 +ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë= m(4.32)

(Também a constante C pode ser determinada em unidades de volume, então o

primeiro fator é igual a Nx, onde N é o número total de cátions por unidade de

volume).

A temperatura de Curie-Weiss é:

Ê+=Qi

iiB

JzSxSk

)1(3

2(4.33)

Onde Ji é a constante de troca entre o íon central magnético e um íon

magnético o qual está na esfera de vizinhos distantes i, e zi .é o número de sítios

de cátions sobre essa esfera. Para a estrutura hcp assumimos que J1in

e J1out

são

muito maiores que as outras constantes de troca, então a equação (4.33) se

escreve:

( )outin

B

JJzSxSk 11)1(

32 ++@Q (4.34)

onde z = 6 para essa estrutura.

Com as equações (4.33) ou (4.34) os valores de Q experimentais são usados

para obter informação acerca da constante de troca J1in e J1

out. Outro uso de Q é

para investigar se os íons magnéticos estão distribuídos aleatoriamente, neste

caso na equação (4.33) Q deve ser proporcional a x.

4.9 .- O programa de simulação

A simulação também é um programa de computador em linguagem MatLab 5.1,

cujo algoritmo foi desenhado por nosso grupo e utilizado em outras experiências

anteriores [4.4].

59

O que faz a simulação é calcular a magnetização total dos clusters até

quartetos produzindo resultados (M vs H) com os quais podemos graficar uma

curva de magnetização. Para isso precisa ser alimentada das duas bases de

dados das probabilidades e das energias dos clusters, que já foram descritas

neste e anterior capítulo da presente dissertação. Também alguns parâmetros

mais devem ser introduzidos como são, o modelo utilizado, os valores das

constantes de troca em graus kelvin, a temperatura da amostra.

A base de dados das probabilidades, contém para vários modelos de clusters a

descrição de suas configurações (ligações) entre seus íons mais outros

parâmetros como são nr e Nn,r.

A base de dados das energias é obtida construindo com a descrição das

configurações dos clusters a hamiltoniana de Heisenberg, que depois de resolvê-

la a sua forma diagonal encontra os níveis de energia para cada tipo de cluster.

A magnetização é obtida via função de partição e equações (4.16) e (4.17)

deste capítulo.

Extensivas simulações das curvas de magnetização foram executadas por nós,

para identificar a constante de troca Ji (do vizinho distante) responsável do

desnível produzido na curva de magnetização experimental. Enfim a simulação

usou o modelo standard de clusters. Mas a suposição que Ji decresce de maneira

monótona com a distancia ri foi despreocupada. Em lugar disso seqüências

alternativas das constantes Ji em termos de seus tamanhos foram tentadas, para

otimizar a comparação da curva gerada com a curva dos dados. A simulação

incluiu o modelo J1J2J3J4J5J6J7J8 onde a notação das configurações J1J2JiJjJkJlJmJn

significa que a simulação assume a seguinte ordem:

|J1|>|J2|>|Ji|>|Jj|>|Jk|>|Jl|>|Jm|>|Jn|

A simulação considera clusters quartetos com quartetos corretivos.

60

REFERÊNCIAS

[4.1] M. T. Liu, Y. Shapira, Ewout ter Haar, V. Bindilatti, E. J. MacNiff Jr.Phys. Rev. B 54, 9, 6457(1996).

[4.2] Osamu OkadaJ. Phys. Soc. Japan. 48, 391 (1980).

[4.3] Y. Shapira, S. Foner, D.H. Ridlgey, K. Dwight , A. Wold.Phys. Rev. B 30, 4021 (1984).

[4.4] V. Bindilatti, E. Ter Haar, N. F. Oliveira Jr.,Y. Shapira e M. T. Liu.Phys. Rev. Let. 28, 5425 (1998).

Filename: CAP-04r.docDirectory: D:\User\Rafael\Tes-DisertaTemplate: C:\Program Files\Microsoft Office\Office\Normal.dotTitle: CAPITULO 4Subject:Author: Instituto de FisicaKeywords:Comments:Creation Date: 11/01/01 10:34 AMChange Number: 164Last Saved On: 01/29/02 9:20 PMLast Saved By: Instituto de Fisica da USPTotal Editing Time: 1,558 MinutesLast Printed On: 08/25/03 3:01 PMAs of Last Complete Printing

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