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Revisão de Álgebra Matricial
Profa. Patricia Maria Bortolon
Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986
Álgebra Matricial
• Da Matemática do 1º. Grau:
2
1
:(2) Em
1
33
143
42)1(
:(1) Em
1 :(2) De
)2(1
)1(42
y
xy
x
x
x
xx
xy
xy
xy
y = -2x + 4
y = x + 1
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Eq1
Eq2
Linear (Eq1)
Linear (Eq2)
Álgebra Matricial
Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
1 1,70 70 23
2 1,75 60 45
3 1,60 52 25
4 1,81 72 30
• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a
seguinte hipótese sobre a relação entre essas
variáveis:
Peso = β0 + β1Altura + β2Idade
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados
das pessoas que tenho:
• As incógnitas são β0, β1,β2
• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade
sobre o PL das empresas?
723081,1
522560,1
604575,1
702370,1
210
210
210
210
Álgebra Matricial
Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E
Vale 26,8 214.662 27,0
Petro 11,5 519.970 20,1
BRFoods 5,9 27.751 29,6
Gol 7,3 9.064 60,2
• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricos você possa lançar a seguinte hipótese:
ROE = β0 + β1Ativo + Β2D/E
• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra: Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de 2010:
Álgebra Matricial
• Posso escrever as seguintes equações com os dados
que tenho:
3,72,60064.9
9,56,29751.27
5,111,20970.519
8,2627662.214
210
210
210
210
Álgebra Matricial
• Podemos representar esses dados dispondo-os em
linhas e colunas. A isso chamamos matriz:
• Pode ser representada entre ( ); [ ]; ║ ║
3,72,60064.91
9,56,29751.271
5,111,20970.5191
8,260,27662.2141
Álgebra Matricial
• Exemplos:
Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas
aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima
coluna
Na matriz A => a11=2 a23=3
Na matriz B => b23=4 b13=11
11
4
7
9
0
5
8
1
1
3
5
1
3
6
22X32X3 BA
Álgebra Matricial
• Escalar: no. real = matriz 1 x 1 = [k]
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Quadrada: quando m = n
– Matriz Nula: quando aij = 0 i e j
654
103
021
00
00
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1
– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn
y
x
3
4
1
00103
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada
nxn
– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matriz
quadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j
600
020
001
100
010
001
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz
quadrada
– Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matriz
quadrada
600
420
531
631
048
001
Álgebra Matricial
• Tipos Especiais de Matrizes:
– Matriz Simétrica: quando m = n e aij = aji
645
423
531
Operações com Matrizes
• Adição
– As matrizes precisam ser de mesma ordem
– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]
– C = A + B = [aij + bij]mxn
– Propriedades da soma:
1. Comutatividade: A + B = B + A
2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n
14
8
9
3
7
3
4
3
5
3
1
1
0
0
2
1e
9
5
8
4
7
3
6
2
C
BA
Operações com Matrizes
• Subtração
– Segue o mesmo princípio da soma
• Multiplicação por escalar:
– Seja k um escalar e A = [aij]mxn
– k . A = [k . aij]mxn
– Exemplo:
– Propriedades:
1. k (A + B) = k A + k B
2. (k1 + k2) A = k1A + k2A
3. 0.A = 0
4. k1(k2A) = (k1k2)A
62
204
31
102e2
A
A
k
k
Operações com Matrizes
• Transposição
– Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e
colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm.
Denota-se A’
– Exemplo:
21'2
1
23
31'
23
31
431
102'
41
30
12
32
23
CC
BB
AA
x
x
Operações com Matrizes
• Transposição
– Propriedades:
1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A
2. A’’ = A
3. (A + B)’ = A’ + B’
4. (kA)’ = kA’
5. (AB)’ = B’A’
Exemplo de Aplicação
• Suponha que você está tentando prever o retorno de
uma carteira. Analistas fizeram as previsões de
retorno de 3 ações para 3 estados da economia.
• Se você estiver planejando investir 30% em Vale,
30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá em
cada estado?
Estado da Natureza
Vale Petro Gol
BOOM 5% 4% 6%
ESTÁVEL 3% 3% 2%
RECESSÃO 2% 1% 0%
Exemplo de Aplicação
• Retornos esperados:
– BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%
– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%
– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%
• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:
131333%9,0
%6,2
%1,5
%40
%30
%30
%0%1%2
%2%3%3
%6%4%5
xxx
Multiplicação de Matrizes
Amxn x Bnxp = Cmxp
• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos
elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna
de B
• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisam
ser iguais
2323
22
2375
44
22
4.3)1(50.31.5
4.2)1(40.21.4
4.1)1(20.11.2
40
11
35
24
12
xx
x
x
Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
1. Em geral AB ≠ BA
Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0
2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matriz
identidade)
3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
1611
21222
1611
e
000
000
000
Então
321
642
321
e
012
123
111
Sejam
BAAB
BA
Multiplicação de Matrizes
• Propriedades:
4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)
5. (AB)C = A(BC) (associatividade)
6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem)
7. 0.A = 0 e A.0 = 0
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório:
n
i
inn
n
i
in
n
nx
n
nx
n
n
i
i
xxxxxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
xxxx
1
2121
1
21
2
1
1
2
1
1
21
1
1
1
1
'Ou
111' Então
1
1
1
,
1x
x1
1x
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório de quadrados:
n
i
in
n
n
n
n
i
i
xxxx
x
x
x
xxx
xxxx
1
222
2
2
1
2
1
21
22
2
2
1
1
2
' Então
xx
Representando algumas operações
matemáticas na forma matricial
• Somatório de produtos cruzados:
xy
yx
'
' Então
1
2211
2
1
21
2211
1
n
i
iinn
n
n
nni
n
i
i
yxyxyxyx
y
y
y
xxx
yxyxyxyx
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
)''2(3/1).'2(
4570
2230
1341
)'3(
)'2(
)'1(
4570
2230
134
)(
)'3()3(1).1(
)'2()2(2).1(
5231
4452
1341
)3(
)2(
)1(
523
4452
134
)(
321
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
II
xxx
xxx
xxx
I
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
)3(3).'''3(
3/23/100
3/23/210
3/113/101
)'''3(
)'''2(
)'''1(
3/23/100
3/23/20
3/113/10
)(
)'''3()''3(7).''2(
)'''1()''1(4).''2(
4570
3/23/210
1341
)''3(
)''2(
)''1(
4570
3/23/20
134
)(
321
321
321
321
321
321
iv
xxx
xxx
xxx
IV
xxx
xxx
xxx
III
Sistemas de Equações Lineares
• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido
podemos associar uma matriz
2100
2010
3001
)3(
)2(
)1(
2100
200
300
)(
)2()2(3/2).3(
)1()1(3/1).3(
2100
3/23/210
3/113/101
)3(
)2(
)1(
2100
3/23/20
3/113/10
)(
321
321
321
321
321
321
v
v
v
viviv
viviv
iv
iv
iv
xxx
xxx
xxx
VI
xxx
xxx
xxx
V
Sistemas de Equações Lineares
• Ou ainda:
• Observações:
– As operações realizadas preservam as igualdades
– (x1, x2, x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, V
e VI
– Operações possíveis:
• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0
• Adicionar uma equação a outra
• Permutar duas equações
2
2
3
3
2
1
x
x
x
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é:
– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
– Uma solução é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que
satisfaça simultaneamente estas m equações
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:
A x X = B
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos:
– Matriz Ampliada:
– A matriz ampliada do sistema VI é:
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
2100
2010
3001
2100
200
300
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Sistemas de Equações Lineares
• Sistemas de equações lineares equivalentes: se toda solução de um sistema é também solução de outro
• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matriz ampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição:
a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1
b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas
d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então,
k1 < k2 < ... < kr
Sistemas de Equações Lineares
• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linha
reduzida à forma escada linha equivalente
• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.
• Exemplos:
sredundante equações 2 há
1 Nulidade
2 Posto
000
000
9/110
9/1401
8164
151
241
312
1 Nulidade
3 Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121
B
A
Sistemas de Equações Lineares
• Também dizemos que as duas primeiras equações são
“independentes” e as demais “dependentes”
• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita como
soma de produtos destas outras linhas por constantes
• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear
das outras
• POSTO = no. de equações independentes
sredundante equações 2 há
1 Nulidade
2 Posto
000
000
9/110
9/1401
8164
151
241
312
1 Nulidade
3 Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121
B
A
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
a x = b
1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a
2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução
3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 1:
1
3
110
301
631
512
63
52
2
1
21
21
x
x
xx
xx-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6 8 10
Posto do sistema reduzido = 2
Posto da matriz ampliada = 2
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 2:
000
2/52/1
000
2/52/11
1536
512
1536
52
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6
Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 que
satisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2
O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.
Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso
2 – 1 = 1 <= o sistema tem uma variável livre
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 3:
100
02/1
100
02/11
1036
512
1036
52
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Não tem solução = incompatível = impossível
O posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Então, um sistema pode admitir:
1. Uma única solução = possível = compatível = determinado
2. Infinitas soluções = possível = indeterminado
3. Nenhuma solução = impossível = incompatível
Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Teorema:
1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao
posto da matriz de coeficientes
2. Se além disso p = n, a solução será única
3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, e
as outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p =
graus de liberdade
Determinante e Matriz Inversa
• a x = b => solução é x = b / a
• Matriz 2 x 2
• Matriz 3 x 3
AA
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa
322311122133312213231231322113332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
A
Determinante e Matriz Inversa
• Cada termo tem apenas um elemento de cada linha e
coluna
• Uma matriz N x N terá N! elementos no seu cálculo,
assim, uma matriz 5 x 5 terá 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
120 termos em sua expansão
• Se a matriz é 2 x 2 cada termo tem 2 elementos da
matriz, se é 3 x 3 terá 3 elementos em cada termo, se
é 5 x 5, 5 elementos
• Para a regra para o sinal de cada termo ver pag. 66 e
67 do Boldrini
Determinante e Matriz Inversa
• Propriedades:
1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos então det A = 0
2. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular
3. det A = det A’
4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o det fica multiplicado por esta constante
5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca de sinal
6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante é nulo
7. det (A.B) = det A . det B
Determinante e Matriz Inversa
• Menor: o menor do elemento aij é o determinante da
submatriz resultante da retirada da linha i e da coluna
j
• Co-fator = é um menor sinalizado
32233322
3332
2322
1111
333231
232221
131211
é demenor o aaaaaa
aaMa
aaa
aaa
aaa
A
ij
ji
ij Mc )1(
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elemento
aij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A)
ou
• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co-
fatores
• Teorema:
A
')'( AcofAadjA
nIdetAadjAAAA )().('.
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A de ordem n, a inversa de A é uma matriz B tal que
A . B = B . A = In
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
Escrevemos A-1 para a inversa de A.
Observações:
1. Se A e B são quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A . B é inversível e
(AB)-1 = B-1 . A-1
De fato:
AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I
(B-1A-1)(AB) = I
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
2. Nem toda matriz tem inversa
3. Se A tem inversa, podemos escrever:
AA-1 = In
det(A.A-1) = det (In)
det A . det A-1 = 1
Se A tem inversa:
i. det A ≠ 0
ii. det A-1 = Adet
1
Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de A
é a inversa da transposta
Teorema:
Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e
somente se det A ≠ 0
Neste caso:
)(1
adjAdetA
A1
Exemplo: pag. 744 Gujarati
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
A x X = B
Matriz de coeficientes
Matriz de incógnitas
Matriz de termos
independentes
Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:
A-1(AX) = A-1B
(AA-1)X=A-1B
InX = A-1B
X = A-1B
mmnmm
n
n
n b
b
b
aaa
aaa
aaa
x
x
x
2
1
1
21
22221
11211
2
1
Valor Esperado
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
• Propriedades
x
xxfXE )()(
dxxxfXE )()(
)().()( :tesindependen são Y e X Se
)()(
)(
YEXEXYE
bXaEbaXE
bbE
Variância
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
x
x xfXEX )()()var( 22
dxxfXX )()()var( 2
Variância
• Propriedades
),cov()var()var()var(
:então tes,independen são não Y e X Se
)var()var()var(
)var()var()var(
)var()var()var(
:então tes,independen são Y e X Se
)var()var(:então ,constantes são e Se
0)var(
)()(
22
2
222
YXYXYX
YbXabYaX
YXYX
YXYX
XabaXba
b
XEXE
Retorno e Variância de Carteiras na Forma
Matricial
• Exemplo com 3 ativos
• Seja Ri o retornos dos ativos i = A, B, C e assuma que
os retornos R1, R2 e R3 são normalmente distribuídos
com
• Carteira x
• Retorno da carteira
ijjiiiii RRRRE ),cov(,)var(, 2
1
ativo no investido capital do %
CBA
i
xxx
ix
CCBBAAxp RxRxRxR ,
Retorno e Variância de Carteiras na Forma
Matricial
• Retorno esperado da carteira
• Variância da carteira
• Distribuição de probabilidade da carteira
CCBBAAxpxp xxxRE ,,
BCCBACCAABBA
CCBBAAxpxp
xxxxxx
xxxR
222
var 222222
,
2
,
),(~ 2
,,, xpxpxp NR
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Representação Matricial
2
2
2
,
1
1
1
,,
CBCAC
BCBAB
ACABA
C
B
A
C
B
A
C
B
A
x
x
x
R
R
R
x
1μR
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Sobre a matriz de covariâncias
– Usando álgebra matricial a matriz de covariâncias do vetor
de retornos R é definida a partir de:
– Se R tem N elementos, então será uma matriz N x N
'
)cov( μRμRR E
2
21
2
2
212
112
2
1
nnn
n
n
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Para o caso em que N = 2:
2
212
12
2
1
212
211
2
221122
2211
2
11
2
221122
2211
2
11
2211
22
11'
1212
)var(),cov(
),cov()var(
.
RRR
RRR
RERRE
RRERE
RRR
RRRE
RRR
REE xx μRμR
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Retorno da carteira:
• Retorno esperado da carteira:
xR
Rx
'
)(',
CCBBAA
C
B
A
CBAxp
RxRxRx
R
R
R
xxxR
xμ
μx
'
)(',
CCBBAA
C
B
A
CBAxp
xxx
xxx
Retorno e Variância de Carteiras na
Forma Matricial
• Variância da carteira:
BCBBACCAABBA
CCBBAA
C
B
A
CBCAC
BCBAB
ACABA
CBA
xp
xxxxxx
xxx
x
x
x
xxx
E
E
222
')')(('
)')((')'var(
222222
2
2
2
2
,
xxxμRμRx
xμRμRxRx