Prismas

Prismas são sólidos geométricos que possuem as seguintes características:

• duas bases poligonais paralelas e congruentes; • arestas laterais paralelas e congruentes ligando as duas bases.

Nomenclatura: O nome dos prismas é dado a partir do polígono da base

Caso as arestas laterais sejam perpendiculares às bases, o prisma é chamado de reto. Volume: Qualquer que seja o prisma, seu volume V será obtido pelo produto da área da base (Ab) pela altura (h).

Sólidos semelhantes Se dois sólidos são semelhantes de modos que a razão de semelhança do maior para o menor é k, então:

• a relação entre suas áreas será:

• a relação entre seus volumes será:

Revisão 08 3º ano Fabio 2014 Matemática

Nome: Nº.: Turma:

1. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é

a) 2 380x 36x 4x− +

b) 2 380x 36x 4x+ +

c) 2 380x 18x x− +

d) 2 380x 18x x+ +

e) 2 320x 9x x− + 2. (Unioeste 2012) O fabricante de uma marca de sabão em pó comercializa seu produto em embalagens na forma de paralelepípedo de dimensões 5 cm 20 cm 20 cm,× × que contém 1Kg de sabão em pó. A empresa quer diminuir o custo com embalagem e decide criar uma nova embalagem com o dobro do volume da original, ou seja, que conterá 2 Kg de sabão em pó. Entretanto deseja-se preservar a proporcionalidade das dimensões da caixa, pois o fabricante acredita que esta proporção agrada os clientes. Nestas condições as dimensões da nova embalagem devem ser a) 10 cm 40 cm 40 cm.× ×

b) 5 3 cm 20 3 cm 20 3 cm.× ×

c) 3 3 32 cm 4 2 cm 4 2 cm.× ×

d) 10 cm 20 cm 20 cm.× ×

e) 3 3 35 2 cm 20 2 cm 20 2 cm.× × 3. (Uerj 2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.

Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a:

a) 3 3

b) 3 4

c) 6

d) 8

4. (Unesp 2012) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros.

A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale:

a) 5

a6

b) 6

a6

c) 5

a5

d) 6

a5

e) 30

a6

5. (Uftm 2012) Sem perda do volume original, um ourives pretende transformar um cubo de ouro de 1 cm3 em uma placa na forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Adotando a medida da aresta do cubo como largura da placa e 50% da medida da aresta do cubo como altura da placa, a medida, em centímetros, do comprimento dessa placa resultará em a) 1,2. b) 1,5. c) 1,8. d) 2,0. e) 2,2. 6. (Uern 2012) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro possui 12 cm de largura e 3 cm de espessura, então o total de livros recebidos é a) 540. b) 450. c) 810. d) 720. 7. (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a

a) 360. b) 344. c) 324. d) 368.

8. (Mackenzie 2012)

O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é a) 64 b) 90 c) 48 d) 125 e) 100 9. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 10. (Pucrs 2012) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.

A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é

a) 410

b) 510

c) 35.10

d) 45.10

e) 425.10

11. (Ufrgs 2011) O paralelepípedo reto A, com dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm, é a reprodução em escala 1:10 do paralelepípedo B. Então, o volume do paralelepípedo B, em 3cm , é a) 85. b) 850. c) 8.500. d) 85.000. e) 850.000. 12. (Unicamp simulado 2011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.

Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa a) 1728 litros de água. b) 1440 litros de água. c) 1000 litros de água. d) 572 litros de água.

Gabarito: Resposta da questão 1: [A] O volume da caixa é dado por

2

2 3

x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )

80x 36x 4x .

⋅ − ⋅ − = ⋅ − − +

= − +

Resposta da questão 2: [E]

Sejam 1V e 2V os volumes das caixas 1 e 2, respectivamente.

2 1

3

3

V 2 V

5k 20k 20k 2 5 20 20

k 2

k 2

= ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

=

=

Logo, as dimensões da nova embalagem são 3 3 35 2 cm, 20 2 cm e 20 2 cm. Resposta da questão 3: [B] A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é

3k 2= ; A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas dos

pacotes é 22 3 3k 2 4= = .

Resposta da questão 4: [E]

Seja P o pé da perpendicular baixada do vértice A sobre BH. Queremos calcular AP. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo HDA, obtemos

2 2 2 2 2 2AH DH AD AH (2a) a

AH a 5 cm.

= + ⇔ = +

⇒ =

Como a base do paralelepípedo é um quadrado de lado a, segue que BD a 2 cm.= A medida da diagonal BH é dada por

2 2 2 2BH DH BD (2a) 2a a 6 cm.= + = + = Portanto, do triângulo retângulo ABH, obtemos

BH AP AB AH a 6 AP a a 5

a 5 6AP

6 6

a 30AP cm.

6

⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅

⇒ = ⋅

⇔ =

Resposta da questão 5: [D] Seja c o comprimento da placa.

Sabendo que o volume do cubo é 31cm , segue que sua aresta mede 3 1 1cm.= Portanto, como não houve perda na transformação, vem

11 1 c c 2cm.

2= ⋅ ⋅ ⇔ =

Resposta da questão 6: [D] Sabendo que cada livro possui 12 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros, segue que as arestas das caixas medem 2 12 24cm.⋅ = Logo, como a espessura de cada livro é 3 cm,

temos que cada pilha terá 24

83

= livros e, portanto, cada caixa conterá 2 8 16⋅ = livros. Desse

modo, o número de livros recebidos pela livraria é 45 16 720.⋅ = Resposta da questão 7: [A]

Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por: 2. 6.18 (superior e inferior) + 2.18.3 (frente e fundo) + 2.6.3 (laterais) = 360.

Resposta da questão 8: [B] A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 36, 20) 4.= Portanto, o resultado pedido é dado por 8 36 20

2 9 5 90.4 4 4

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Resposta da questão 9: [C]

O nível da água subiria 2400

2cm,40 30

=⋅

fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm− + = de altura.

Resposta da questão 10: [A] Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5 m.=

Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m 30 m× serão cobertas por telhas, segue

que o resultado pedido é dado por 42

2 5 3010 .

3 10−⋅ ⋅ =⋅

Resposta da questão 11: [D] Temos que o volume AV do paralelepípedo A é dado por 3

AV 8,5 2,5 4 85cm .= ⋅ ⋅ =

Por outro lado, como o paralelepípedo A é a reprodução em escala 1: 10 do paralelepípedo B,

segue que o volume BV do paralelepípedo B é tal que 3

3AB

B

V 1V 85 1000 85.000cm .

V 10 = ⇔ = ⋅ =

Resposta da questão 12: [A]

CABCDE ∆−∆

mxxxxxx

2,195,7695,165,1

5,1 =⇔=⇔−=⇔=−

Logo V = (1,2)3 = 1,728m3 = 1728L