EM2D-11-34

Matemática 112 249

Capítulo 5

A figura, com medidas em metros, mos-409. tra a sala, com um depósito, que Fernanda alugou para montar uma loja. Sabendo-se que o depósito é quadrado e tem 9 m2 de área, pode-se concluir que a área total alugada por Fernanda tem:

6 m

4 m

Sala

Depósito9 m2

42 ma) 2

51 mb) 2

54 mc) 2

58 md) 2

60 me) 2

De um retângulo de lados 20 cm e 14 cm, 410. foram retirados dois quadrados iguais, como mostra a figura a seguir:

20

14

Se o perímetro da figura acima é de 92 cm, sua área é igual a:

152 cma) 2

182 cmb) 2

208 cmc) 2

230 cmd) 2

248 cme) 2

Uma quadra retangular de esportes de uma 411. escola, medindo 12 m por 24 m, foi ampliada em 96 m2, com acréscimo de uma faixa retangular de largura L, como mostra a figura abaixo.

O valor aproximado do comprimento, ex-pressso em metros, é:

24 m

12 m

L

L

10a) 2,5b) 20c) 40d) 60e)

Um feirante dispõe de uma área retan-412. gular de medidas 2 m por 3,5 m, para armar sua barraca. A fim de dar melhor atendimento aos seus fregueses, ele quer mandar fazer uma barraca retangular, com balcões de larguras iguais, em todo o contorno, reservando, na parte interna, uma área também retangular, para a circulação dos empregados que atende-rão aos compradores.

3,5 m

x

x2 m

Balcão

Área de circulaçãodos empregados

Para que a área de circulação dos emprega-dos seja igual a 2,5 m2, a largura x dos balcões deve ser de:

2,25 ma) 1,5 mb) 1 mc) 0,75 md) 0,5 me)

250

Ao elaborar um projeto, o paisagista 413. dividiu a área reservada para o jardim em três canteiros triangulares e um canteiro quadrado, como mostra a figura. Se a área do canteiro triangular sombreado na figura é de 6 m2, então a área de todos os canteiros juntos é:

3 m

x m

Então, é correto afirmar que, nessa com-pra, a fração correspondente à quantidade de sorvete do sabor chocolate foi:

28 ma) 2

32 mb) 2

37 mc) 2

38 md) 2

42 me) 2

João quer colocar azulejos em uma das 414. paredes do banheiro de sua casa. Se essa pare-de tem uma área de 54.000 cm2 e cada azulejo é um retângulo de 20 cm x 30 cm, quantos azulejos são necessários?

No projeto de reforma de uma casa, pre-415. tende-se fazer um jardim em forma de triângulo numa área retangular de dimensões 15 m x y m.

Qual deve ser o valor de y, de modo que o jardim tenha uma área de 23 m2?

15 m

8 m

Jardim y my m2

4,0 ma) 1,5 mb) 3,0 mc)

1,0 md) 3,5 me)

(UFMG) Paula comprou dois potes de 416. sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto.

Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o outro, quantidades iguais dos sabores choco-late e baunilha.

a) 25

b) 35

c) 512

d) 56

Dois vizinhos tinham, em frente de suas 417. casas, gramados quadrados com área S. O pri-meiro aumentou 5 m em uma das dimensões do seu gramado e diminuiu 5 m na outra, transfor-mando-o em um retângulo. O segundo manteve a forma quadrada, mas diminuiu em 1 m o ta-manho do lado. Com essas modificações, os dois gramados permaneceram com a mesma área. Observe as figuras e calcule o valor de S.

O comprimento de uma parede retangu-418. lar é o dobro de sua largura. Se a parede tiver 55 cm a menos de comprimento e 55 cm a mais de largura, será quadrada. Então, a área da parede é de:

2,42 ma) 2

2,45 mb) 2

1,21 mc) 2

1,22 md) 2

2,24 me) 2

Para calcular o valor aproximado da área 419. da região do aquifero Guarani, representada na figura a seguir, pode-se utilizar o seguinte procedimento:1o) Conta-se o número de unidades da malha contida totalmente pela região desejada.2o) Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a região que será calculada.3o) Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades contadas.4o) Conhecendo a área de uma unidade da ma-lha, determina-se, então, o valor aproximado da área da figura em questão, cujo valor em km2 é:

EM2D-11-34

Matemática 112 251

300 km

300 km

1,2 milhões.a) 1,6 milhões.b) 1,5 milhões.c)

1,8 milhões.d) 1,4 milhões.e)

A figura representa um retângulo subdi-420. vidido em 4 outros retângulos com as respec-tivas áreas.

a 8

9 2a

O valor de a é:4a) 6b) 8c) 10d) 12e)

630°

6

4 3e)

4

6

60° 30°

f)

Na figura, 422. ABCD é um trapézio isósceles, em que AD = 4, CD = 1, Â = 60º e a altura é 2 3A área desse trapézio é:

A B

CD

60°

Determine a área do trapézio nos casos a 421. seguir, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.

10

18

17

a)

10

20

1313

b)

3

3

5 2 13

c)

6

1060°

d)

4a)

b) 4 33

c) 5 3

d) 6 3

e) 3

Obtenha as diagonais de um losango de 423. lados medindo 5 cm, equivalente a um qua-drado de lado 2 6 cm.

A figura, cujas medidas estão em metros, 424. mostra um terreno destinado à plantação de um

certo tipo de flor. Sabe-se que 18

dessa área será

reservada para circulação de equipamentos e materiais, e que as mudas serão plantadas na área restante.

80 m

50 m

20 m

10 m

A área plantada terá:1.925 ma) 2

2.025 mb) 2

2.975 mc) 2

3,025 md) 2

3.215 me) 2

252

Um comício deverá ocorrer num ginásio 425. de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.

30 m

18 m12 m

6 m

Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração no local a 5 pessoas para cada 2 m2 de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da parte hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento?

A figura seguinte representa a planta 428. baixa de uma sala de estar cujas paredes con-tíguas são perpendiculares entre si, com exce-ção da parede AI. Sabe-se ainda que AB = 2 m, BC = 1,5 m, CD = 3 m, DE = 4,5 m, EF = 1 m, FG = 1 m, GH = 5 m e HI = 5,5 m. A área dessa sala de estar é, em metros quadrados:

A B

CD

EF

GH

I

2.700a) 1.620b) 1.350c)

1.125d) 1.050e)

Um cliente encomendou uma lâmina de vi-426. dro em forma de paralelogramo, com perímetro de 50 cm, devendo um dos lados ter 5 cm de diferença em relação ao outro e com o menor ângulo interno igual a 15°. Para fazer o orça-mento, o vidraceiro precisa calcular a área dessa lâmina de vidro.

Dados: sen 15° = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 2,70

A área da lâmina, em cm2, é:40,5a) 26b) 39c)

144d) 96e)

Um terreno tem forma de um trapézio 427. ABCD, com ângulos retos nos vértices A e D, como mostra a figura. Sabe-se que AB = 31 m, AD = 20 m e DC = 45 m. Deseja-se construir uma cerca, paralela ao lado AD, dividindo esse terreno em dois terrenos de mesma área. A distância do vértice D a esta cerca deve ser, em metros, igual a:

D C

A B

12a) 19b) 20c)

22d) 26e)

34,75a) 35,75b) 37,50c)

37,75d) 38,50e)

(Ufla-MG) A letra 429. M foi escrita com fai-xas com as dimensões apresentadas na figura. A área total das faixas é:

2 cm

2 cm2 cm

6 cm

10 cm

12 cm

2 cm

2 cm

64 cma) 2

30 cmb) 2

32 cmc) 2

60 cmd) 2

EM2D-11-34

Matemática 112 253

No quadrilátero ABCD representado abaixo, 430. os ângulos BAD e BCD são retos, AB = BC = 5 cm e AD = DC = 10 cm.

B

A P

C

D

Se CP é perpendicular a AD, então as áreas do quadrilátero ABCP e do triângulo CDP, em cm2, valem, respectivamente:

Determine as áreas:433. de um triângulo equilátero de lado igual a)

a 6 cm;de um hexágono regular de lado igual a b)

4 cm.

Para realizar uma competição de vale- 434. -tudo, os organizadores precisam montar um “hexagon” (ringue em forma de um hexágono regular). De acordo com as especificações, o ringue deve ter um diâmetro de 12 m. Assim, qual será a área do “hexagon”?

22 e 28.a) 24 e 26.b) 25 e 25.c)

26 e 24.d) 28 e 22.e)

Calcule a área do trapézio em destaque 431. na figura, assumindo que os valores numéricos no plano cartesiano estão em centímetros.

1

10 2 4

y

x

reta

3

Um losango possui 24 m432. 2 de área e 3 m de distância entre dois lados paralelos. O períme-tro do losango mede, em metros:

16a) 20b) 24c)

28d) 32e)

a) 48 3 2m

b) 54 3 2m

c) 24 2 2m

d) 36 2 2m

96 me) 2

Um hexágono regular ABCDEF tem lado 435. igual a 4 cm. A área do trapézio ADEF, em cm2, é igual a:a) 4 3

b) 2 3 4+

12c)

d) 8 4 3+

e) 12 3

Na figura, ABCDEF é um hexágono regu-436. lar de lado 1 cm. A área do triângulo BCE, em cm2, é:

BA

DE

F C

a) 23

b) 32

c) 3 2

d) 2 3

e) 3

(Fuvest-SP) Os pontos A, B e C são vérti-437. ces consecutivos de um hexágono regular de área igual a 6. Qual a área do triângulo ABC?

1a) 2b) 3c)

d) 2e) 3

254

Na figura abaixo, A, B e C são vértices 438. de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8.

CA

B

Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é:

As abelhas constroem seus favos na for-443. ma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro. Depois de vá-rios experimentos em uma colmeia, verificou--se que o corte transversal de um favo apre-senta uma das configurações abaixo:

8a) 12b) 16c)

20d) 24e)

O hexágono cujo interior aparece destaca-439. do em alaranjado na figura é regular e origina-se da sobreposição de dois triângulos equiláteros.

Se k é a área do hexágono, a soma das áre-as desses dois triângulos é igual a:

ka) 2kb) 3kc)

4kd) 5ke)

A razão 440. Área HÁrea K

SS

= =186

3, em que H é o hexágo-

no regular ABCDEF (com vértices nomeados no sentido horário) e K é o hexágono obtido pela intersecção dos triângulos ACE e BDF, é igual a:

2a) 2,5b) 3c)

3,5d) 4e)

(Fuvest-SP) A figura representa sete he-441. xágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os cen-tros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a:

d1

d2

d3

a) 3 3

b) 2 3

c) 3 32

d) 3

e) 32

Júlia construiu um losango, mostrado na 442. figura abaixo, usando 16 peças com a forma de triângulos equiláteros. As peças claras têm todas o mesmo tamanho, o mesmo ocorrendo com as peças escuras.

Se a área do losango montado por Júlia é 64 3, então as áreas de uma peça clara e de uma peça escura valem, respectivamente:

a) 3 3 9 3e .

b) 3 3 11 3e .

c) 2 3 6 3e .

d) 2 3 18 3e .

e) 3 25 3e .

EM2D-11-34

Matemática 112 255

Sabendo que 4

1 2

2 32

�� �

�3e 6= = , em que

l 1, l 2 e l 3 são, respectivamente, os lados do quadrado, do triângulo equilátero e do hexá-gono e que A , A e A são as áreas dos respec-tivos polígonos, podemos afirmar que:

Aa) ≠ A ≠ A .somente Ab) = A .Ac) = A = A .somente Ad) = A .somente Ae) = A .

O octógono regular de vértices ABCDEFGH, 444. cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mos-trado nesta figura:

S F E R

D

C

G

H

P A B Q

Então, é correto afirmar que a área do qua-drado PQRS é:

a) 1 2 2 2+ dm

b) 1 2 2+ dm

c) 3 2 2 2+ dm

d) 3 2 2+ dm

e) 2 2 2+ dm

A área de um triângulo de lados a, b e c é 447.

dada pela fórmula S p p a p b p c= ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) , em que p é o semiperímetro (2p = a + b + c).

Qual a área do triângulo de lados 5, 6 e 7?15a) 21b)

c) 7 5

d) 210e) 6 6

(Fuvest-SP) Um triângulo tem 12 cm de 448. perímetro e 6 cm2 de área. Quanto mede o raio da circunferência inscrita nesse triângulo?

Num triângulo isósceles, os lados de 449. mesma medida medem 2, e o ângulo for-mado por eles mede 120°. A área desse tri-ângulo é:

2a)

1b)

c) 12

d) 14

e) 3

Preocupado com a falta de área verde em 450. sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruza-mento de duas ruas, para construir uma pra-ça, conforme representado na figura abaixo:

150º30 m 40 m

Praça

A área da praça a ser construída, em m2, é:250a)

b) 250 3300c)

d) 300 3500e)

Dois lados de um triângulo medem, res-451. pectivamente, 15 cm e 20 cm e formam um ân-gulo de 30°. A área deste triângulo é igual a:

150a) 3 cm2

150 cmb) 2

300 cmc) 2

75d) 3 cm2

75 cme) 2

Dois lados de um paralelogramo medem 445. 3 cm e 6 cm e formam um ângulo de 45°. De-termine a área desse paralelogramo.

Um losango com lado 20 cm e um ângulo 446. interno de 30° tem área de:

57 cma) 2

87 cmb) 2

200 cmc) 2

346 cmd) 2

400 cme) 2

256

Se em um painel retangular foi afixado um 452. cartaz de formato triangular, como mostra a fi-gura, a área S ocupada pelo cartaz é igual a:

4 m S120º

5 m

a) 52

3 2m

10 mb) 2

5 mc) 2

d) 10 3 2m

e) 5 3 2m

Num triângulo qualquer, dois lados me-453. dem 10 cm e 8 cm, respectivamente, e o ân-gulo por eles formado é de 30°. A área deste triângulo mede:

20 cma) 2

10 cmb) 2

c) 80 3 2cm

d) 60 2 2cm80 cme) 2

Qual dos dois triângulos tem área maior: 454. o de lados 5, 5 e 6 ou o de lados 5, 5 e 8?

Cada lado congruente de um triângulo 455. isósceles mede 10 cm, e o ângulo agudo definido por esses lados mede a graus. Se sen a = 3 cos a, a área desse triângulo, em cm2, é igual a:a) 15 10b) 12 10c) 9 10

d) 15 3e) 12 3

Na figura, um octógono regular e um 456. quadrado estão inscritos na circunferência de raio r = 2. A área da região sombreada é:

a) 4 2 1⋅ −( )

b) 2

21+

c) 4 2 1

5

⋅ +( )

Determine a 457. área do triângulo retângulo.

7 cm

4 cm

Determine a área do triângulo isósceles.458.

10 cm 10 cm

6 cm

Determine a medida do raio da circun-459. ferência inscrita no triângulo de lados com medidas 5 cm, 7 cm e 8 cm.

Determine a medida do raio da circunfe-460. rência circunscrita ao triângulo do exercício anterior.

Determine a medida da altura relativa 461. ao lado de medida 8 cm do triângulo do exer-cício 459.

Na figura, os triângulos ABD e BCD são 462. isósceles. O triângulo BCD é retângulo, com o ângulo C reto, e A, B, C estão alinhados.

A B C

D

Dê a medida do ângulo BÂD em graus.a) Se BD = x, obtenha a área do triângulo b)

ABD em função de x.

Tem-se um triângulo equilátero em que 463. cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circuns-crito a esse triângulo, em centímetros, mede:a) 3

2b) 34c)

3d) 23e) 3

d) 8 27

e) 2 118+

EM2D-11-34

Matemática 112 257

A figura seguinte apresenta um retângu-464. lo ABCD e um triângulo equilátero ECD. A área da região sombreada será:

D C

4 m

A E B

a) 5 3

22m

2b) 3 m2

3c) 3 m2

5d) 3 m2

4e) 3 m2

Numa esquina cujas ruas se cruzam, 465. formando um ângulo de 120°, está situado um terreno triangular com frentes de 20 m e 45 m para essas ruas, conforme representado na figura abaixo.

20 m 45 m120º

A área desse terreno, em m2, é:

Na figura abaixo, os ângulos ABC = ADC são 467. retos. É correto afirmar que a área do quadrilá-tero ABCD, em metros quadrados, é igual a:

60°A B

C

D4 m

4 m

225a) 225b) 2225c) 3

450d) 2450e) 3

A área do triângulo ABC da figura se-466. guinte, em cm2, quando m(CD) = 40 cm, é:

120°

30°A C

D

B

1.200a) 31.200b) 800c) 3

800d) 600e) 3

a) 16 3b) 12 2

16c)

12d) e) 24 6

A figura indica um triângulo equilátero 468. ABC de lado unitário. Sabe-se ainda que r, s e t são retas paralelas, com A e B pertencentes a t e C pertencente a r.

tA B

Cr

sx

Admitindo-se que s esteja se deslocando de r até t e que x seja a distância entre r e s, a área sombreada na figura, em função de x, será igual a:

a) − + +

x x2 1 3

2

b) − +3

254

2x x

c) − +33

2x x

d) − +12

2x x

e) 12

x

258

Determine a área de cada um dos setores 469. circulares abaixo.a)

60°R = 3 cm

b) 30°

R = 3 cm

c)

R = 3 cm

d)

120°R = 3 cm

Determine a área de cada um dos seg-470. mentos circulares abaixo.

Na figura abaixo, a relação entre a área ha-472. churada e a área do círculo maior é de:

a)

60°R = 3 cm

b)

R = 3 cm

c)

R = 3 cm

120°

471. Na figura 3 abaixo apresentada, temos três circunferências com centros colineares cujo diâ-metro AB da circunferência maior foi dividido em 6 partes iguais de 1 centímetro cada. Sabendo- -se que C e D são os centros das circunferências menores, calcule a área da região sombreada.

A

B

C

Da) p cm2

1 cmb) 2

2c) p cm2

4d) p cm2

2 cme) 2

a) 15

b) 14

c) 13

d) 25

e) 12

Uma circunferência intercepta um triân-473. gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da cir-cunferência.

Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:

a) 9 2 36

2−

πcm

b) 9 318

2−

πcm

c) 9 3 2−( )π cm

d) 9 33

2−

πcm

e) 9 36

2−

πcm

EM2D-11-34

Matemática 112 259

Uma metalúrgica utiliza chapas de aço 474. quadradas de 8 m x 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na figura abaixo.

Dado: considere p = 3,14.A área da chapa que resta após a operação

é de, aproximadamente:

50 (2a) 3 – p)

100b) 3 – 2p

100 (c) 3 – p)

50d) 3 – 3p

100e) 3 – 3p

7,45 ma) 2

13,76 mb) 2

26,30 mc) 2

48 md) 2

56 me) 2

Na figura a seguir, sabe-se que cada um 475. dos quatro arcos AB, BC, CD e DA é um quarto de uma circunferência de raio 2 cm. Sabe-se ainda que os pontos A, B, C e D são pontos de tangência entre arcos.

A

C

D B

Então, considerando p @ 3,14, a área da figura será, aproximadamente:

3,44 cma) 2

0,86 cmb) 2

12,56 cmc) 2

6,28 cmd) 2

1,72 cme) 2

(Fameca-SP) O triângulo BIA da figura é 476. equilátero, de lado igual a 20. Os arcos de circun-ferência MN, NP e PM têm centros, respectivamen-te, nos vértices B, I e A. As medidas desses raios são todas iguais à metade da medida do lado. A área da região delimitada pelos três arcos é:

M

NP

I

B

A

Considere uma circunferência de diâmetro 477. L e centro C, conforme a figura.

C

Calcule a razão entre a área do círculo e área da região sombreada.

Considere um triângulo equilátero de 478. lado medindo x e um círculo de mesmo perí-metro que o triângulo equilátero.

Calcule, em função de x, a área do círculo em questão.

a) x2

6π

b) 94

2xπ

c) 36 2xπ

d) πx2

16

e) πx2

9

Na figura abaixo, o ângulo BAC mede 60° 479. e AB = AC. Se a circunferência tem raio 6, qual é a área da região destacada?

Dados: use as aproximações: p @ 3,14, 3 1 73≅ , .

60°

A

B C

260

(Unifesp) Na figura, são exibidas sete cir-480. cunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

A área da figura no interior do retângulo não ocupada pelos círculos, em cm2, está entre:

Nestas condições, calcule:a área da região sombreada, apresentada a)

em destaque à direita;o perímetro da figura que delimita a re-b)

gião sombreada.

Na praia, ao meio-dia, com o Sol a pino, 481. um guarda-sol cobre perfeitamente uma mesa quadrada de 1 metro de lado. A área de som-bra fora da mesa, em m2, conforme mostra a figura, é igual a:

a) p – 1b) π − 2

22c) p – 1

0,5d) 10 – e) p

Os dois círculos sombreados da figura são 482. iguais, tangentes entre si e tangenciam o re-tângulo LIMA. A menor das dimensões do re-tângulo mede 4 cm.

L I

A M

8 e 10.a) 6 e 8.b) 4 e 6.c)

2 e 4.d) 0 e 2.e)

(Vunesp) Um salão de festas na forma de 483. um hexágono regular, com 10 m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5 m de raio.

A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é:

a) 25 30 3 −( )πb) 25 12 3 −( )πc) 25 6 3 −( )πd) 10 30 3 −( )πe) 10 15 3 −( )π

A figura abaixo mostra um círculo sobre 484. o qual estão desenhados um triângulo equilá-tero e um retângulo, cada um com um vértice no centro do círculo. A área da figura hachu-rada em cinza mede 21p cm2.

A medida do raio do círculo é:a) 21 cm

6 cmb) c) 105 cm

10,5 cmd) 18 cme)

EM2D-11-34

Matemática 112 261

O cancro cítrico, causado por uma bactéria, 485. é uma das mais graves doenças da citricultura brasileira. O seu controle é regulado por lei, que determina a erradicação (plantas arrancadas pela raiz) em um raio (r) de 30 metros em torno do foco de contaminação, sendo que um produ-tor consciente coloca em rigorosa observação as plantas localizadas em um raio (R) de até 90 metros desse foco, conforme mostra a figura, em que as circunferências concêntricas determinam a região erradicada e a região em observação.

Focor

Regiãoerradicada

Região emobservação

R

A área da região em observação, em torno do foco de contaminação, tem:

Na figura, o raio 488. OA da circunferência mede 6 cm. Adotando-se p = 3, a área da região sombreada, em cm2, é igual a:

A B0

30°

2.400a) p m2

5.200b) p m26.400c) p m2

7.200d) p m28.100e) p m2

A área do anel entre dois círculos con-486. cêntricos é 25p cm2. O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é:

a) 9 2 3 −( )πb) 6 3 3 −( )πc) 12 3π −( )

d) 8 2 3π −( )e) 6 3 2 3π −( )

a) 9 4 3⋅ −( )b) 9 3−

c) 4 3⋅

d) 9 3⋅

e) 4 9 3⋅ −( )

(Fuvest-SP) Na figura seguinte, estão re-489. presentados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então, a área da região hachurada é:

a) π2

2+

b) p + 2pc) + 3

d) p + 42e) p + 1

Sobre a figura abaixo, calcule:490.

A

B C60°

12

a área do setor circular ABC;a) a área do círculo inscrito.b)

a) 52

5b)

c) 5 2

10d)

e) 10 2

Os dois arcos da figura abaixo têm o mes-487. mo raio igual a 6 cm e seus centros são os pon-tos B e C. A área hachurada mede, em cm2:

C A

D

B

262

No setor circular da figura, 491. a = 60° e M, N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor é 12, a área do círculo de centro O é:

NP

M

O

α

Em uma cidade do interior, a praça prin-492. cipal, em forma de um setor circular de 180 metros de raio e 200 metros de comprimento do arco, ficou lotada no comício político de um candidato a prefeito.

Admitindo uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, a melhor esti-mativa do número de pessoas presentes no comício é:

70 mila) 30 milb) 100 milc) 90 mild) 40 mile)

18a) p16b) p9c) p

4d) p12e) p

Capítulo 6

É dado o prisma reto de base triangular 493. da figura abaixo. Sabendo que a área da base S vale 6 cm2, determine seu volume.

9 cm

S

A figura abaixo nos mostra um prisma 494. reto cuja base é o triângulo retângulo de cate-tos 3 cm e 4 cm. Determine:

7 cm

Determine o volume do prisma reto mos-495. trado a seguir.

a área da base;a) a área lateral;b)

a área total;c) o volume.d)

Dica: para calcular a área de um triângulo retângulo, devemos multiplicar os catetos e dividir por 2.

10 cm

2 cm

3 cm

60°

Dica: conhecendo dois lados de um tri-ângulo e o ângulo por eles formado, podemos determinar sua área: multiplica-se os lados pelo seno do ângulo e divide-se por 2.

Um reservatório na forma de um prisma 496. reto de altura 20 cm apresenta a base em for-mato de um triângulo isósceles de base 12 cm e lados congruentes de medida igual a 10 cm cada um.

20 cm10 cm10 cm

12 cm

Determine a área da base, a área lateral, a área total e o volume desse reservatório.

EM2D-11-34

Matemática 112 263

Seja o prisma reto da figura abaixo. Sua 497. base é um trapézio isósceles. Considerando as medidas indicadas, determine:

4 cm5 cm 5 cm

15 cm

10 cm

a área do trapézio, ou seja, a área da base a) desse prisma;

a soma das áreas de cada um dos retângu-b) los que compõem a lateral do prisma, ou seja, a área lateral;

a capacidade desse prisma, ou seja, seu c) volume.

Observe o formato da parte de um te-498. lhado de uma loja. Determine o volume desse sólido.

4 cm5 cm

5 cm10 cm

21 cm

Um galpão de mantimentos tem a forma do 499. sólido ilustrado abaixo. Determine seu volume.

4 m

4 m

6 m3 m

Com uma folha de zinco retangular de 500. dimensões 40 cm por 3 m, constrói-se uma ca-lha em forma de “V”, conforme ilustra a figura abaixo.

3 m20 cm 120°

Considerando-se que seja possível encher totalmente a calha de água, o volume da água acumulada, em m3, é de:

0,03a) 30,04b) 30,05c) 3

0,06d) 30,07e) 3

Um sistema de irrigação é formado por 501. seis canais que se cruzam como na figura. As dimensões das seções transversais dos canais são apresentadas abaixo.

3 m

2 m

2 m

2 m

3 m 3 m

70 m

50 m

1 m3 m

1 m2 m

Calcule o volume de água armazenado no sistema.

A figura abaixo mostra a seção transver-502. sal de uma piscina com 20 m de comprimento por 15 m de largura, cuja profundidade varia uniformemente de 1 m a 3 m.

20 m 1 m

3 m

Considerando-se que o volume dessa piscina é o produto da área da seção exibida pela largu-ra da piscina, é correto afirmar que sua capaci-dade, em litros, é igual a:

600a) 6.000b) 60.000c)

600.000d) 6.000.000e)

264

Uma caçamba para recolher entulho, sem 503. tampa, tem a forma de um prisma reto, con-forme mostra a figura, em que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles.

A B

CD

EF

H G

As dimensões da caçamba, dadas em me-tros, são AB = 2, CD = 3,2, BC = 1 e CG = 1,5.

Calcule a capacidade dessa caçamba, em a) metros cúbicos.

As chapas de aço que compõem a caçamba b) devem ser protegidas com tinta anticorrosiva, tanto na parte interna quanto na parte ex-terna. Calcule a área a ser pintada, em metros quadrados.

Uma película de cromo é depositada 504. por evaporação, de maneira uniforme, sobre uma placa de vidro que possui o formato de um trapézio isósceles, conforme a figura a seguir. Considerando que a massa de Cr de-positada é de 0,357 g, qual é a espessura (al-tura) aproximada da película depositada?

(Dados: densidade do cromo = 7,14 g · cm−3)

45º

14 cm

4 cm

Na figura abaixo, temos um prisma regu-505. lar triangular de aresta da base 4 cm. Se sua altura mede 11 cm, determine:

a área da base;a) a área lateral;b) a área total;c) o volume.d)

Uma caixa de acondicionamento na for-506. ma de um prisma regular quadrangular possui área externa total igual a 48 m2.

Sendo sua altura igual a 5 m, determine seu volume.

Observe o prisma regular hexagonal ilus-507. trado na figura a seguir.

A medida da aresta da base é 6 cm e a me-dida da altura é 10 cm. Assim, qual é o valor de sua área total e de seu volume?

O perímetro da base de um prisma trian-508. gular regular mede 21 cm e a área lateral mede 105 cm2. A medida, em cm, da altura do sólido é:

a) 1

900cm

b) 1

1 800.cm

c) 190

cm

d) 1

180cm

e) 1450

cm

11a) 9b) 7c)

5d) 3e)

EM2D-11-34

Matemática 112 265

Na figura abaixo, está representada a 509. planificação de um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base.

Se a altura do prisma é 2, seu volume é:

648 a) 3 m3

216 b) 3 m3

108 c) 3m3

96 d) 3 m3

72e) 3 m3

4a) 3 6b) 3 8c) 3

10d) 312e) 3

O volume de um prisma regular reto he-510. xagonal, com 2 m de altura, é 3 m3. A medi-da da área lateral deste prisma é:

Considere um prisma hexagonal regular, 511. com as características: altura de 4 3 cm e área lateral o dobro da área de sua base, e as seguintes afirmativas:

A área da base do prisma é 96I. 3 cm2.O volume do prisma é 1.152 cmII. 3.O prisma tem 18 arestas e 12 vértices.III.

É correto o que se afirma em:I, II e III.a) II e III apenas.b) I e III apenas.c)

I e II apenas.d) III apenas.e)

A área da base de um prisma triangular 512. regular é 4 3 m2 e sua altura é 3 m. A área lateral e o volume do prisma são, respectiva-mente:

8a) 3 m2 e 16 3 m3.36 mb) 2 e 4 3 m2.12 mc) 2 e 12 3 m3.(36 + 8d) 3)m2 e 24 3 m3.36 me) 2 e 12 3 m3.

Num prisma hexagonal regular reto, a 513. área lateral é igual ao triplo da área da base, e a aresta lateral mede 9 cm. O volume desse prisma é:

Uma peça feita de ferro maciço tem a 514. forma de um prisma reto com 4 3 cm de al-tura. Sabendo-se que a base dessa peça é um triângulo equilátero de 5 cm de lado e que a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, podemos afirmar que a massa da peça em gramas é igual a:

585a) 525b) 625c)

685d) 700e)

Um recipiente, na forma de um prisma 515. reto de base quadrada, cuja área lateral é igual ao sêxtuplo da área da base, contém

um determinado medicamento que ocu-

pa 34

de sua capacidade total. Conforme

prescrição médica, três doses diárias desse medicamento, de 50 m l cada uma, deve-rão ser ministradas a um paciente durante seis dias. Nessa condições, é correto afir-mar que, para ministrar a quantidade total prescrita, o medicamento contido nesse re-cipiente será:

15 cm

x

x

insuficiente, faltando 125 ma) l .insuficiente, faltando 100 mb) l .suficiente, não faltando nem restando me-c)

dicamentos.suficiente, restando ainda 125 md) l .suficiente, restando ainda 225 me) l .

3a) m2

2b) 3 m2

3c) 3 m2

4d) 3 m2

5e) 3 m2

266

Sejam dois prismas regulares de mesma 516. altura h, o primeiro de base triangular e o se-gundo de base hexagonal. Em ambos os pris-mas, a aresta da base mede a. A razão entre o volume do prisma triangular e o volume do prisma hexagonal é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 16

e) 19

(UFV-MG) Uma piscina de 12 m de compri-519. mento, 6 m de largura e 3 m de profundidade

está cheia até os

58

de sua capacidade. Quantos

litros de água ainda cabem na piscina?81.000a) 27.000b) 54.000c)

84.000d) 42.000e)

Um reservatório de água inicialmente 520. vazio possui sua base com o formato retan-gular medindo 10 metros de comprimento por 5 metros de largura. Uma torneira é aberta para enchê-lo e, em alguns minutos, o nível da água no interior do reservatório atinge 10 cm. Para atingir esse nível foram necessários:

12.000 litros.a) 50.000 litros.b) 10.000 litros.c)

5.000 litros.d) 500 litros.e)

Em cada canto de uma folha quadrada 521. de papelão, cujo lado mede 18 cm, é cortado um pequeno quadrado de lado medindo 4 cm. Dobrando-se estes lados, formamos uma caixa sem tampa de volume 400 cm3. Existe um ou-tro valor da medida do lado do quadrado a ser recortado em cada canto, para que o volume da caixa resultante também seja de 400 cm3. Esse valor é:

7a) b) 6 6−c) 7

d) 7 2 6−e) 6

A figura é um prisma oblíquo cuja base é 522. um triângulo equilátero de perímetro 18 cm.

60°

10 cm

O volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a:

270a) 135b)

c) 45 3

d) 45 245e)

Se um prisma triangular reto é tal que 517. cada uma de suas arestas mede 2 m, então a medida do seu volume é:

3a) 2 m3

2b) 3 m3

6 mc) 3

8 md) 3

e) 3 m3

Um recipiente, com a forma de um pris-518. ma reto retângulo, cujas dimensões estão mostradas na figura, contém 60 litros de água:

40 cm

50 c

m

70 cm

Para que esse recipiente fique totalmente cheio, será necessário colocar, de água, mais:

Dado: 1 dm3 = 1 litro

220 litros.a) 180 litros.b) 140 litros.c) 100 litros.d) 80 litros.e)

EM2D-11-34

Matemática 112 267

Observe o bloco retangular da figura 1, 523. de vidro totalmente fechado e com água den-tro. Virando-o, como mostra a figura 2, pode-mos afirmar que o valor de x é:

Figura 1

20 cm

10 cm40 cm

6 cm

Figura 2

20 cm 10 cm

x cm 40 cm

da na figura, apresentava a forma de um he-xágono regular. Por razões técnicas, o projeto original precisou ser modificado. Para tanto, o arquiteto uniu os pontos médios de cada lado do hexágono ABCDEF, estabelecendo um novo hexágono regular GHIJLM, base do novo re-servatório, que terá 2 metros de largura.

A G

CH

I

FM

L

B

E J6 m

D

Determine:a diferença entre a área da base do reser-a)

vatório original e a área da base do novo re-servatório;

a capacidade do novo reservatório, que b) tem a forma de um prisma reto de base hexa-gonal regular.

O sólido da figura I foi obtido retirando-526. -se de um prisma triangular regular três pris-mas iguais, também triangulares e regulares, cada um deles representado pela figura II. Se

d = 58

x e o volume de cada cada prisma re-

tirado é 3, então o volume desse sólido é igual a:

Figura I

d

3

dd

d

x x2

Figura II

xx2

12 cma) 11 cmb) 10 cmc)

5 cmd) 6 cme)

A estrutura de um telhado tem a forma 524. de um prisma triangular reto, conforme o es-quema abaixo. Sabendo que são necessárias 20 telhas por metro quadrado para cobrir esse telhado, assinale a alternativa que mais se aproxima da quantidade de telhas necessárias para construí-lo. (Use 3 =1,7.)

10 m30º

30º

18 m

4.080a) 5.712b) 4.896c)

3.670d) 2.856e)

Um projeto original previa a construção 525. de um reservatório, cuja base ABCDEF, mostra-

12a) 314b) 315c) 3

16d) 319e) 3

268

(Vunesp) Considere o sólido da figura 527. (em amarelo), construído a partir de um pris-ma retangular reto.

AB

C

EF

D

G

Se AB = 2 cm, AD = 10 cm, FG = 8 cm e BC = EF = x cm, o volume do sólido, em cm3, é:

Calcule o volume, em litros, de um cubo 531. cuja área total vale 54 cm2.

A diagonal de um cubo mede 6532. 3 cm. Determine a área total desse cubo.

A área total de um cubo de aresta igual 533. a 2 m é:

4x (2x + 5)a) 4x (5x + 2)b) 4 (5 + 2x)c)

4xd) 2 (2 + 5x)4xe) 2 (2x + 5)

Uma metalúrgica que fabrica componentes 528. para um estaleiro deverá produzir uma peça ma-ciça de cobre, conforme a figura abaixo.

85°35°

2 m

4 m7 m

Com base nos textos e em seus conheci-mentos, é correto afirmar que o volume de co-bre necessário para a produção dessa peça é:

12a) 3 m3

3b) 3 m3

6c) 2 m3

12d) 2 m3

6e) 3 m3

Considere um cubo de aresta medindo 529. 4 cm. Determine:

a medida da diagonal de uma face;a) a medida da diagonal do cubo;b) a área total;c) o volume.d)

Sabe-se que 1 dm530. 3 = 1 l . Determine a capacidade, em litros, de um cubo de aresta igual a 5 dm.

12 ma) 2

16 mb) 220 mc) 2

22 md) 224 me) 2

Um cubo tem área total igual a 72 m534. 2; sua diagonal vale:a) 2 6 m

6 mb) 6 mc)

d) 12 me) 2 24 m

A soma dos comprimentos de todas as 535. arestas de um cubo é igual a 60 metros. A dia-gonal, em metros, mede:a) 3

3b) 35c) 37d) 3

9e) 3

Uma caixa d’água, completamente cheia, 536. de formato cúbico, aresta L e volume de 4.096.000 litros foi usada na fabricação de va-silhame PET de 1 litro. A medida da aresta L, em metros, está compreendida no intervalo:

15 a) <L <2020 b) <L <2525 c) < L < 30

30 d) < L < 3535 e) < L < 40

Flávia possui um jogo com 216 cubos 537. iguais, com as dimensões mostradas na figura I, que ficam guardados em uma caixa (figura II), também cúbica, preenchendo-a totalmente.

5 cm

x cm

x cmx cm

5 cm5 cm

Figura I

Figura II

A medida x da caixa é igual a:0,65 ma) 0,50 mb) 0,45 mc)

0,40 md) 0,30 me)

EM2D-11-34

Matemática 112 269

Considere a figura abaixo, que represen-538. ta a planificação de um cubo.

Qual dos cubos apresentados nas alternativas pode corresponder ao desenho da planificação?

Considere um paralelepípedo reto retân-541. gulo de dimensões iguais a 3 cm, 7 cm e 10 cm. Determine desse sólido:

a área total;a) o volume;b) a diagonal;c)

Sabe-se que 1 dm542. 3 = 1 l . Determine a capacidade, em litros, de um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 m, 5 dm e 80 cm.

Um certo tipo de sabão em pó é vendido 543. em caixas com a forma de um paralelepípedo reto retângu]o.

Antigamente, essa caixa media:6 cm x 15 cm x 20 cm

Por questões de economia do material da embalagem, a mesma quantidade de sabão passou a ser vendida em caixas que medem 8 cm x 15 cm x a.

Assim, o valor de a, em cm, é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figu-539. ra plana abaixo. Se o montarmos novamente, a face oposta à face B será a face:

A B

F

E

C D

Aa) Cb) Dc)

Ed) Fe)

Uma formiga move-se na superfície de 540. um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice ao vérti-ce oposto tem comprimento:a) a 2b) a 3

3 ac)

d) 1 2+( )ae) a 5

12a) 15b) 18c)

20d) 24e)

A figura abaixo é a representação de um 544. tabuleiro.

B

5 cm

12 cm

9 cm C

F E

DA

Qual o comprimento de uma linha esticada da extremidade A à extremidade D do tabuleiro?

15 cma) b) 10 5 cmc) 5 10 cmd) 10 2 cm

15 2 cme)

Um tanque tem a forma de um parale-545. lepípedo de dimensões 3 m, 3 m e 10 m. Para enchê-lo de água, são necessárias 5 horas. Esse tanque recebe água à razão de:

30 ma) 3 por hora.6 mb) 3 por hora.15 mc) 3 por hora.18 md) 3 por hora.35 me) 3 por hora.

270

Um tanque em forma de paralelepípedo 546. tem por base um retângulo cujos lados medem 90 cm e 18 dm. Uma pessoa, ao mergulhar to-talmente nesse tanque, faz o nível da água su-bir 0,15 m. O volume dessa pessoa, em m3, é:

(UEMG) Observe o desenho a seguir:550.

I

II

12 cm

10 cm40 cm

O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a 10 cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm.

Enchendo o vasilhame I de água e despejan-do esse líquido em II, que está vazia, esta terá sua capacidade ocupada em, aproximadamente:

20,8%a) 28%b) 22,2%c) 12,5%d)

Um reservatório de água tem a forma de 551. um paralelepípedo reto retangular cujos lados da base medem 1 m e 2 m. Se forem retirados 360 litros desse reservatório, então a altura do nível da água diminui:

30 cma) 27 cmb) 24 cmc) 21 cmd) 18 cme)

O reservatório de água de um prédio tem 552. a forma de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 m, 4 m e 2 m. Se o prédio tem 10 apartamentos e, devido ao racionamento, ficou estabelecido que o tanque só seria cheio uma vez por dia, pode-se afirmar que o gasto médio de água diário por apartamento será:

2.400 litros.a) 1.500 litros.b) 2.500 litros.c) 3.000 litros.d) 1.800 litros.e)

0,183a) 0,196b)

0,25c) 0,243d)

0,190e)

Para fazer refresco, a merendeira de uma 547. escola utilizou um recipiente com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, com medi-das internas iguais a 30 cm, 40 cm e 60 cm, que estava completamente vazio. Ela colocou nesse recipiente uma quantidade de água igual à metade da sua capacidade total e, em seguida, colocou 5 litros de suco concentrado. A quantidade total de refresco preparado pela merendeira foi:

36 litros.a) 41 litros.b) 48 litros.c)

49 litros.d) 51 litros.e)

(UEG-GO) Uma indústria deseja fabricar 548. um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 centímetros e a outra meça 30 centímetros. Para que a capacidade desse ga-lão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir, no mínimo:

11 cma) 10,4 cmb)

10 cmc) 1,6 cmd)

Medidas de áreas de superficíes e de vo-549. lume são utilizadas com frequência em várias atividades humanas, destacando-se o seu uso na construção civil.

Admite-se que uma lata de tinta pinte 80 m2, que a área de um piso seja 1.600 cm2 e que um tijolo tenha as dimensões da face lateral de 10 cm x 20 cm. Para se construir um galpão de base retangular, de dimensões 10 m x 20 m x 3 m

(altura), pintando internamente e externa-mente as paredes laterais, exceto o teto, com piso colocado completamente no chão, neces-sita-se de:

6,0 latas de tinta, 800 pisos e 12.000 tijolos.a) 4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 12.000 tijo-b)

los.4,5 latas de tinta, 1.250 pisos e 9.000 tijolos.c) 6,0 latas de tinta, 800 pisos e 8.000 tijo-d)

los.

EM2D-11-34

Matemática 112 271

Dado um cubo de aresta 8 cm, determine 553. a distância entre os centros A e B das faces adjacentes mostradas abaixo.

A

B

Observe o cubo de volume 27 cm554. 3 dese-nhado abaixo. Sabe-se que AB = 2 cm. Nessas condições, determine:

A B

C D

F

E

a medida da aresta desse cubo;a) a distância entre os pontos A e C;b) a distância entre os pontos A e D;c) a distância entre os pontos A e E;d) a distância entre os pontos A e F.e)

O hexaedro regular (cubo) representado 555. a seguir possui 96 cm2 de área total. Sendo igual a 3 cm a medida de AB, determine:

A

B

C

D

a medida de sua aresta;a) a distância AC;b) a distância AD.c)

Na figura abaixo, A e G são vértices opostos 556. de um cubo de lado a, P é um ponto da semirreta EA tal que AP = a e Q é um ponto da semirreta BF tal que FQ = a. As distâncias do ponto G ao ponto P e do ponto G ao ponto Q são, respectivamente.

No cubo representado na figura,557.

A

C

B

4

44

a área do triângulo ABC é:4a) 28b) 2

4c) 38d) 3

8e)

O cubo de vértices ABCDEFGH, indica-558. do na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a:

A

P

E F

Q

B

G

aa) 2 e a 3ab) 2 e a 5ac) 6 e a 2ad) 3 e a 6ae) 2 e a 3

A

C

B

E

H

DM

G

F

a) a 35

b) a 33

c) a 32

d) a 3

e) 2a 3

272

Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 559. medindo 40 cm. Seja P um ponto da aresta AB do cubo, que está localizado a 10 cm do vértice A.

Calcule a distância do ponto P ao ponto de intersecção das diagonais do cubo.

Determine a diagonal de um paralelepí-560. pedo, sendo 62 cm2 sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões.

(FGV-SP) A soma das medidas das 12 561. arestas de um paralelepípedo reto retângulo é igual a 140 cm. Se a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em cm2, é:

A partir das leituras acima, considerando 3 = 1,7 e a profundidade dessa caixa d’água

que é igual à diagonal de um cubo, é correto afirmar que a aresta do referido cubo é de:

776a) 784b) 798c)

800d) 812e)

Foram construídos dois aquários cúbi-562. cos, sem a tampa, utilizando-se em cada um deles 5 placas de vidro de 2 dm e de 4 dm de lado cada uma, respectivamente. A capacidade e a área do cubo maior superam a capacidade e a área do cubo menor, respectivamente, em:

52 litros e 54 dma) 2.54 litros e 58 dmb) 2.56 litros e 60 dmc) 2.60 litros e 62 dmd) 2.

563.

A charge acima ilustra uma campanha de conscientização da população sobre a necessi-dade de se evitar o desperdício de água. Os do-micílios são campeões do desaproveitamento de água. A mangueira da ilustração, ligada a uma torneira com vazão constante, enche em 34 mi-nutos uma caixa d’água cujas medidas internas são 0,80 m de comprimento, 1 m de largura e “x” m de profundidade.

www.saaej.so.gob.br/ambiente/desperdicio/htn-acessado em 6.4.2008(adaptado).

0,85 ma) 0,50 mb) 0,37 mc)

0,22 md) 0,26 me)

36 litros de água estão no interior de uma 564. caixa em forma de paralelepípedo, totalmen-te fechada. Conforme a face que fica apoiada numa mesa horizontal, a altura do líquido na caixa pode ser de 15 cm, 20 cm ou 30 cm. A capacidade total dessa caixa é de:

48 litros.a) 54 litros.b) 64 litros.c)

72 litros.d) 86 litros.e)

Calcule a medida da aresta de um cubo, 565. sabendo que a diagonal dele excede em 2 cm a diagonal da face.

A aresta de um cubo mede 2 cm. Em 566. quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm?

Calcule o volume de um cubo cuja área 567. total mede 600 cm2.

O segmento de reta que liga um dos vérti-568. ces de um cubo ao centro de uma das faces opos-tas mede 60 cm. Calcule o volume desse cubo.

Calcule o comprimento da aresta de um 569. cubo equivalente a um paralelepípedo retân-gulo de dimensões 8 cm, 64 cm e 216 cm.

As faces de um paralelepípedo retângulo 570. têm por área 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2. O volume desse paralelepípedo é:

1.296 cma) 3

48 cmb) 3

39 cmc) 3

36 cmd) 3

6e) 6 cm3

A diagonal da face de um cubo mede d. 571. Calcule, em função de d, a medida da diagonal do cubo.

Calcule o volume de um cubo cuja diago-572. nal mede 6 cm.

EM2D-11-34

Matemática 112 273

Calcule a área total de um cubo cuja dia-573. gonal mede 1 cm.

Aumentando-se de 1 m cada aresta de um 574. cubo, a sua área lateral aumenta de 164 m2. O volume do cubo original é:

6.000 ma) 3

7.000 mb) 3

8.000 mc) 3

12.000 md) 3

16.400 me) 3

Duas das três dimensões de um parale-575. lepípedo reto retângulo são iguais. Calcule o volume desse paralelepípedo, sabendo que as medidas, em metros, das arestas desse parale-lepípedo são números inteiros, sua área é 10 m2 e que uma de suas diagonais mede 6 m.

Um cubo de aresta de comprimento 576. a vai ser transformado num paralelepípedo reto-re-tângulo de altura 25% menor, preservando-se, porém, o seu volume e o comprimento de uma de suas arestas.

A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis faces) do novo sólido e a área total do sólido original será:

a) 16

2a

b) 13

2a

c) 12

2a

d) 23

2a

e) 56

2a

274

Anotações

Resoluções 275

EM2D-11-34

Matemática 112Capítulo 5

B409.

4

3

36

7 S = 6 · 7 = 42 m2

9 m2

\S = 42 + 9 = 51 m2

C410. 20

14

x

xx

x

x

xx

x

2p = 92 cm14 + 20 + 14 + 20 + 4x = 92 ⇒⇒68 + 4x = 92 ⇒ 4x = 24 ⇒⇒x = 6 cmS = 20 · 14 – 2 · x2 ⇒⇒S = 280 – 2 · 62 ⇒S = 280 – 72 ⇒⇒S = 208 cm2

B411.

24

24 + L

12

L

12

L

L

(24 + L) · L + 12 L = 96 ⇒⇒L2 + 36 L – 96 = 0D = 362 – 4 · 1 · (– 96) = 1.680Observe que 1 681 41. = . Como o texto

pede um valor aproximado para a largura L, temos:

1

2

L 2,536 41L 772 L (não convém)

2

≅≅ −=

− ±

\ L @ 2,5 m

E412.

3,5x

xxx

2 – 2x2

3,5 – 2x

(3,5 – 2x) (2 – 2x) = 2,5 ⇒⇒7 – 7x – 4x + 4x2 = 2,5 ⇒⇒4x2 – 11x + 4,5 = 0

Multiplicando por 10, temos:40x2 – 110x + 45 = 0

Dividindo por 5, temos:8x2 – 22x + 9 = 0D = (– 22)2 – 4 · 8 · 9 = 196

x

x m

x m

= ±⋅

= ±

= = =

= − = = =

22 1962 8

22 1416

3616

94

2 25

22 1416

816

12

0 5

1

2

,

,

Como 2x < 2 ⇔ x < 1,a resposta é x = 0,5 m.

A413.

3

3xx

x

x

276

S m

xx

x m

∆ =⋅

= ⇒ = ⇒

⇒ =

6

32

6 3 12

4

2

Área de todos os canteiros juntos:S = x(x + 3) = 4 · 7 ⇒ S = 28 m2

Seja 2 L (L em cada um) a quantidade total de sorvete.

No pote 1, temos L3

de chocolate e, no pote 2, temos L

2.

Assim, a fração correspondente à quan-tidade de sorvete de sabor chocolate é: L L

L

L L

LL

L2 32

3 26

256

12

512

+=

+

= ⋅ =

Seja x o lado do quadrado original. Para 417. que, após as modificações, as áreas permane-çam iguais, devemos ter:

(x – 5) (x + 5) = (x – 1)2, o que dá x = 13.

A área S do quadrado original é x2 = 169.

A418.

2x 2x – 55

x x + 55Quadrado

2x – 55 = x + 55 ⇒ x = 110 cmS = 2x · x = 2x2 = 2 · 1102 = 2 · 12.100 =

= 24.200 cm2 ⇒⇒S = 2,42 cm2

A419. 1o passo: 6 unidades da malha2o passo: 20 unidades da malha3o passo: 20 6

213

+ =

4o passo: S = 13 · 300 · 300 = 1.170.000 km2,aproximadamente 1,2 milhões de km2

B420.

x z

y a 8 y

t 9 2a t

x z

54.000 cm2

414.

3020

S = 20 · 30 = 600 cm2

Quantidade de azulejos necessária:

n = =54 000600

90. azulejos

A415. 15

8 7

S = 23 m2SIII

SI

SII

yy2

y2

Área do retângulo é igual à soma das áre-as triangulares.

152

152 2

82

72

23

15154

84

72

23

15234

7

⋅ = ⋅ + ⋅ +⋅

+ ⇒

⇒ = + + + ⇒

⇒ = +

yy y y

yy y y

yy yy

223+

Multiplicando por 4, temos:60y = 23y + 14y + 92 ⇒⇒23y = 92 ⇒⇒y = 4 m

C416.

Pote 1 Pote 2chocolate chocolatecreme baunilhamorango

Resoluções 277

EM2D-11-34

2

x y a x t 9

z t 2a y z 8

xyzt 2a xyzt 72

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

= =

⇒

a)421. 10

10 818

17h

172 = h2 + 82

h = 15

A h

A

A m

=+

⋅

= ⋅

=

10 181

282

15

210 2

b)

h

10

10

20

1313

5 5

132 = h2 + 52

h = 12

A h

A

A m

=+

⋅

= ⋅

=

20 102

302

12

180 2

c) 3

3 3 x

5 4h 2 13

52 = h2 + 32

h = 4

2 13 42

2 2( ) = + x

x = 6

Ax

h

A m

=+ +( ) + ⋅ =

+( ) + ⋅ =

⋅ ⇒ =

3 3 3

2

6 6 3

24

152

4 30 2

d)

10

h

6

6 460°

tgh

h

A h

A

A m

604

4 3

10 62

162

4 3

32 3 2

º =

=

=+

⋅

= ⋅

=

e)

h

x x

630°

6

4 3

4 3

h

senh

x

x

Ax x

h

A

A m

=

=

=

=

=+ +( )

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

3

306

306

3 3

4 3

214 3

23

21 3 2

º

cos º

278

f)

h

x y

3 3

4

4

6

60° 30°

senh

h

x

x

tgy

y

Ax y

h

A

606

3 3

606

3

303 3

9

4 4

2203

º

cos º

º

=

=

=

=

=

=

=+ +( ) + ⋅ ⇒

⇒ = ⋅⋅ ⇒

⇒ =

3 3

30 3 2A m

D422.

A B

44

C1

1x

D

60°

2 3

x

cos604

12 4

2 4 2

5 1 2 3

26 3

= ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ =

=+( ) ⋅ ⇒ =

x x

x x

S S

55

55

d2

D2

423.

2 6

2 6

Losango equivalente a um quadrado sig-nifica que esses dois polígonos possuem mes-ma área.

S = S

2 62

482( ) =

⋅⇒ ⋅ =

D dD d

Teorema de Pitágoras:

SD d

D d

Assim vamos resolver o siste

22 2

2 2

2 2

100

=

+

⇒

⇒ + =, mma

D d

D d dD

DD

DD

:2 2

22

2

100

4848

48100

2 304

+ =

⋅ = ⇒ =

+

= ⇒

⇒ +.

224 2100 100 2 304 0= ⇒ − + =D D .

Fazendo D x temos

x x

x

2

2 100 2 304 0

10 000 9 216 784

100 7

=− + == − =

=±

,

.

. .

:

∆

8842

100 282

1282

64

722

36

1

2

=±

= =

= =

x

x

Substituindo os valores acima em D2 = x, temos:

D2 = 64 D2 = 36D = 8 cm D = 6 cmAssim, as diagonais do losango medem

8 cm e 6 cm.

A424. 8020

40

60

50

20

10

Resoluções 279

EM2D-11-34

S

S

S m

= ⋅ +⋅

⇒

⇒ = + ⇒⇒ =

50 2060 40

21 000 1 200

2 200 2

. .

.

Se 18

da área é reservado para circulação

de equipamentos e materiais, 78

é reservado para o plantio.

Assim, S mp = ⋅ =78

2 200 1 925 2. .

D425. Área do ginásio de esportes:30 · 18 = 540 m2

Área do palanque:

18 12 6

290 2+( ) ⋅ = m

Área a ser ocupada pelo público:540 – 90 = 450 m2

Número de pessoas = 4502

5 1 125⋅ = .

C426.

x + 5

15°

x + 5

xx h

2p = x + 5 + x + 5 + x + x50 = 4x + 10 ⇒ x = 10 cm

senhx

hh cm

A

A cm

15

0 2610

2 6

15 2 6

39 2

° =

= ⇒ =

∴ = ⋅=

, ,

,

B427. AADEF = AFBCE

20 45 31202

⋅ = −( ) + −( ) ⋅x x x

20x = (76 – 2x) · 102x = 76 – 2xx = 19 m

D C

A F

E

20 m

31 m

x

45 m

B

B428.

A

SI

SIISIII

C

B2

3

11

5

3

5,5

1,5

4,5

D

EF

GH

I

S S S S

S

S S

I II III= + +

=+( ) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

⇒ = + + ⇒ =

3 2 1 5

25 5 5 1 4 5

3 75 27 5 4 5 3

,, ,

, , , 55 75 2, m

D429.

2

2

2

2 233

2 23310

12

A área total é igual à área de dois retân-gulos mais a área de dois paralelogramos.

2

12 S = 12 · 2 = 24 cm2

280

2

3 S = 2 · 3 = 6 cm2

Assim, S = 2 · 24 + 2 · 6 = 48 + 12 ⇒⇒S = 60 cm2

D430.

B S

5

5

10

S

A P

C

D

10

SABCD = 2 · SDABD = 2 · 10 52⋅ ⇒

⇒SABCD = 50 cm2

B

A

5

5

10Y

x 10 – xP

C

D

y x x y+( ) ⋅ +−( ) ⋅5

2

10

2 = 50

xy + 5x + 10y – xy = 100 ⇒ x + 2y = 20⇒ x = 20 – 2y (I) e102 = y2 + (10 – x)2 ⇒⇒ 100 = y2 + 100 – 20x + x2 ⇒⇒ x2 + y2 – 20x = 0 (II)Substituindo (I) em (II), temos:(20 – 2y)2 + y2 – 20 (20 – 2y) = 0 ⇒⇒ 400 – 80y + 4y2 + y2 – 400 + 40y = 0 ⇒⇒ 5y2 – 40y = 0 ⇒⇒ 5y (y – 8) = 0y = 0 ou y = 8Para y = 8 ⇒ x = 20 – 2 · 8 ⇒ x = 4Assim, as áreas do quadrilátero e do tri-

ângulo são:

B

A

5

58

4 6P

C

D

S cm

S cm

ABCP

CDP

=+( ) ⋅ =

=⋅

=

8 5 4

226

8 62

24

2

2∆

Inicialmente, precisamos encontrar uma 431. equação da reta. Usando a equação reduzida da reta, temos:

y = ax + b(0, 1) ∈ à retay = ax + 11 3,( )x y

∈ à reta

3 = a + 1 ⇒ a = 2\ y = 2x + 1Para x = 4, temos:y = 2 · 4 + 1 ⇒ y = 9

Para x = 2, temos:y = 2 · 2 + 1 ⇒ y = 5

1

10 2 4

y

x

3

5

5

9

2

9

\S = 9 5 2

2

+( ) ⋅ ⇒

⇒ S = 14 cm2

Resoluções 281

EM2D-11-34

E432. Lembre-se de que um losango é um pa-

ralelogramo. Então, podemos determinar sua área fazendo base x altura.

x

24 m2 3 m

x

x x

S = 24 m2 ⇒ x · 3 = 24 ⇒⇒ x = 8 m\ 2p = 4x = 4 · 8 ⇔ 2p = 32 m

a)433.

6 cm 6 cm

6 cm

S

cm

=⋅

⋅= =

l

2

22

34

6 34

36 34

9 3 =

S = 9 3 2cm

b)

4 cm

2

2

2

3S 6

4

4 3S 6

4

S 6 4 3 S 24 3 cm

⋅= ⇒

⋅⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

�

B434.

6 m

12 m

�2

2

2

3S 64

6 3S 6

4

S 6 9 3

S 54 3 m

= ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

E435.

4 cm

BA

DE

F C

�2ADEF

2

ADEF

ADEF

2ADEF

3S 3

4

4 3S 3

4

S 3 4 3

S 12 3 cm

= ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

B436.

BA

D1 cmE

F C

BA

DE

F C

Assim:

�2 223 1 3 3S 2 2 S cm

4 4 2= = ⋅ ⇒ =

282

A437.

BA

C

BA

C

Como a área do hexágono é 6, temos que

a área sombreada é S = =66

1.

B438.

CA

B

A área de cada hexágono regular é 8.Então, cada um dos 6 triângulos equilá-

teros em que o hexágono se divide tem área

igual a 86

43

= .

Note que a área do triângulo ABC é igual a 9 desses triângulos equiláteros. Assim:

S SABC ABC= ⋅ ⇒ =943

12

C439. Com base no texto, temos a figura:

P

U

ABT

C FA

S

EDQ R

Chamando de S a área da região desta-cada e sendo k a área do hexágono ABCDEF, temos:

SK

=6

Decompondo a figura anterior, têm-se os dois triângulos equiláteros, PQR e STU:

P

RQ

k6

k6

k6

k6

k6

k6

k6

k6

k6

U

T S

k6

k6

k6

k6

k6k

6k6

k6

k6

Logo, a soma das áreas dos triângulos equiláteros PQR e STU é:

186

3⋅ =k

k

C440.

S S S

S

S

S S

SS

S SS

S

S

S

S S

S

A

D

F B

E C

Área HÁrea K

SS

= =186

3

Resoluções 283

EM2D-11-34

E441.

1 1

�2 23 2 1 3 3S 2 S4 4 2

⋅ ⋅= ⋅ = ⇒ =

D442.

Como a figura pode ser fracionada em 32 triângulos de mesma área (sendo 14 brancos e 18 escuros), temos:

A

LogoA

A

branco

= =

=

= ⋅ =

64 332

2 3

2 3

9 2 3 18 3preto

C443.

��

��

41

2

2

3

32

6

=

=Assumiremos que A = A e que A = A .A = A

2 23 2

23 2

3

6

6 6

=

= ⇔ =

� �

���

�

2 23 23 3

64 4

⋅⋅ =� � ⇒

⇒

⇒ ⇒

A = A

��

� ���

222

1

4 42 1

12

34

3 32 2

=

= ⇔ =⇒

⇒

\A = A = A

C444.

S Fa

1

1

1

a

aa

E R

D

C

G

H

P A B Q

12 = a2 + a2

2 112

1

2

2

2

22

1 2 1 2 2 2

3 2 2

2 2

2

2

a a

a a cm

S

S cm

= ⇒ = ⇒

⇒ = ⋅ ⇒ =

= +( ) = + + ⇒

⇒ = +( )

9 2 2cm445.

3

6

45° SI

SI

S S Ssen

S S cm

I= ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅ °

⇒

⇒ = ⇒ =

2 26 3 45

2

182

29 2 2

C446.

20

2030° SI SI

S S

Ssen

S cm S cm

I= ⋅

= ⋅⋅ ⋅ °

⇒

⇒ = ⋅ ⇒ =

2

220 20 30

2

40012

2002 2

E447. 2p = 5 + 6 + 7 = 18 ⇒ p = 9

S p p a p b p c= ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )

284

S

S

S

= −( ) −( ) −( )= ⋅ ⋅ ⋅

=

9 9 5 9 6 9 7

9 4 3 2

6 6

Há uma fórmula que dá a área, em função 448. da circunferência inscrita e do semiperíme-tro: S = p · r.

No caso, 12 = perímetro ⇒ p = 6

rSp

r r cm= ⇒ = ⇒ =66

1 .

E449.

2

2

120º

Ab c sen

A

Asen

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅ °

=

= ⋅ =

∴ =

=⋅ ⋅

cos α

α

22 2 120

2

23

23

3

2Dica: use

l l

C450.

praça

2

30 40 sen 150S 600 sen 30

21

600 300 m2

⋅ ⋅ °= = ⋅ ° =

= ⋅ =

E451.

20

15

30°

Ssen

cm=⋅ ⋅ °

= ⋅ =15 20 30

2150

12

75 2

E452.

Ssen

sen

m

=⋅ ⋅ °

= ⋅ ° =

= =

4 5 1202

10 60

10 32

5 3 2

A453.

10

8

30°

Ssen

cm=⋅ ⋅ °

= ⋅ =10 8 30

240

12

20 2

Os triângulos são equivalentes.454.

5

5

6

P15 5 6

28=

+ +=

S

S S

S S

1

1 1

1 1

8 8 5 8 5 8 6

8 3 3 2 16 9

4 3 12

= ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒⇒ = ⋅ ⇒ =

5

58

P25 5 8

29=

+ +=

S

S S

S S

2

2 2

2 2

9 9 5 9 5 9 8

9 4 4 1 16 9

4 3 12

= ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⇒⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒⇒ = ⋅ ⇒ =

A455.

1010

α

sen

sen

tg

α ααα

α

= ⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

3

3

31

cos

cos

Resoluções 285

EM2D-11-34

α

1

3 x

x

x

senx

2 2 23 1 10

10

3 3

10

= + = ⇒

⇒ =

∴ = =α

Área do triângulo:

Ssen

cm

=⋅ ⋅

=⋅

⋅ =

= =

10 102

50 3

10

10

10

150 1010

15 10 2

α

A456.

45°45°

A

C

B

2

2 O

Note que a área sombreada é igual à diferen-ça entre duas vezes a área do DAOC e o DAOB.

Ssen

=⋅ ⋅ °

⋅ −⋅

=

= − = −

2 2 452

22 22

2 22

1 2 1

Assim, a área pedida é:

Spedida = 4 · S = 4 ( 2 – 1)

S cm=⋅

=4 72

14 2457.

10

3 3

h

458. 10 3

100 9

91

91

6 912

3 91

2 2 2

2

2

2

= + ⇒⇒ − = ⇒⇒ = ⇒

⇒ =

=⋅

=

h

h

h

h

S

S cm

5 7

8

459.

p

S p p a p b p c

S

S

=+ +

=

= −( ) −( ) −( )= ⋅ −( ) −( ) −( ) ⇒

⇒ =

5 7 82

10

10 10 8 10 7 10 5

10 ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

⇒ == ⋅

= ⋅ ⇒ =

2 3 5 10 10 3

10 3

10 3 10 3

2

S

S cm

S p r

r r

Agora, usamos .

ccm

7

3

4

10 35 7 8

4

10 3 70

70

10 37

3

2

cm

Sabc

R

R

R

R

R cm

=

=⋅ ⋅

⇒

⇒ = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

460.

286

461.

5h

7

8

SH

H

H cm

=⋅

⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

82

10 3 4

5 32

A CB

45°

45°

135°x

xα

α462.

a) No

a a

No ABD temos

a b b b

∆+ = ⇒ =∆

= ⇒ = ⇒ =

BCD, temos:

:

2 90 180 45

2 2 45 2

º º º

,

º 22 30º ’

b) No ABD, temos:∆

∆

∆

Ax x sen a

Ax sen

ABD

ABD

=⋅ ⋅ −( )

⇒

⇒ =⋅ −

180

2180 452

º

º ºº

º

( )⇒

⇒ =⋅

⇒

⇒ =

2135

22

4

2

2

Ax sen

Ax

ABD

ABD

∆

∆

B463.

6 6

6

R

Sabc

R R R= ⇒

⋅=

⋅ ⋅⇒ = ⇒

46 3

46 6 6

43

62

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⇒ =

R

R R cm

6

3

3

3

6 33

2 3

E464. D C

A E

4

4

4

2 2

H H H

B

2

3H (altura de triângulo equilátero)

24 3

H2

H 2 3 m

Assim

2 HS 2 2 2 3 S 4 3 m

2

=

= =

⋅= ⋅ = ⋅ ⇒ = 2

H (altura de triângulo equilátero)2

4 3H

2H 2 3 m

Assim:

2 H2

=

= =

⋅

�

⇒

C465.

Ssen

sen

S m

=⋅ ⋅ °

= ⋅ ° =

=⋅

⇒ =

20 45 1202

450 60

450 32

225 3 2

E466.

120°30°30°

40 40

30°A C

Da

b

B

No ABC, temos:∆

sena

a

a cm

e b

b

b

3040

12 40

20

3040

32 40

20

° =

=

=

° =

=

=

cos

33

40

220 3 60

2600 3 2

cm

Sb a

S cm

Área do ABC:∆

=+( ) = ⋅

⇒ =

Resoluções 287

EM2D-11-34

A467.

30°30°

A B

C

D

SI

SI 4

4

a

No ABC, temos:∆

° = ⇒ = ⇒ =

= ⋅ = ⋅⋅

= ⋅

tga a

a

S Sa

ABCD I

304 3

34 12

3

2 24

212

34 ==

= ⋅ = ⇒ =48

3

3

3

48 33

16 3 2S mABCD

C468.

t A B1

Cr

s

xy

32

3 2x2−

12

12

Por semelhança de triângulo, temos:

12

32

3 22

33 2

2

3 2

2 3

3

3

3 2 36

y xy

x

yx

yx

=−

⇒ =−

⇒

⇒ =−

⋅ ⇒

⇒ =−

Área sombreada em função de x:

A

x

x

Ax

xx x x

A x x

S

S

S

= ⋅+ −

⋅ ⇒

⇒ =+ −

⋅ =+ −

⇒

⇒ =−

+

2

12

3 2 36

23 3 2 3

63 3 2 3

6

33

2

2

a)469. SR

cm=⋅

=⋅

= =π π π π2 2

26

36

96

32

b) SR

cm=⋅

=⋅

= =π π π π2 2

212

312

912

34

c) SR

cm=⋅

=⋅

=π π π2 2

24

34

94

d) SR

cm=⋅

=⋅

=π π

π2 2

23

33

3

470. a) SR R R sen

S cm

=⋅

−⋅ ⋅ °

=

=⋅

−⋅

⋅ ⇒

⇒ = −

π

π

π

2

2

2

660

2

36

3 32

32

32

9 34

b) SR R R

S cm

=⋅

−⋅

=⋅

−⋅

⇒

⇒ = −

π π

π

2 2

2

4 23

43 32

94

94

c) SR R R sen

sen

S

S

=⋅

−⋅ ⋅ °

=

=⋅

−⋅ ⋅ °

⇒

⇒ = − −

⇒ = −

π

π

π

π

2

23

1202

33

3 3 602

392

32

39 33

42cm

C471.

A

1

1

1

B

C

D

Note que a circunferência maior tem raio R = 3 cm e as duas circunferências menores têm raios R1 = 2 cm e R2 = 1 cm.

288

Assim, a área em destaque é:

SR R R

S

S

S

S

=⋅ − ⋅ − ⋅

⇒

=⋅ − ⋅ − ⋅

=⋅ − ⋅ −

=⋅

=

π π π

π π π

π π π

π

212

22

2 2 22

3 2 12

9 42

42

2 ⋅⋅ π cm2

B472.

r r r r

A r r r

A r r r

círculo maior

hachurada

= ( ) = =

= − =

π π π

π π π

2 4 4

4 22

22

2 2 2

2 2 2. ==

= = =

π

ππ

r

razão AA

rr

hachurada

círculo maior

2

2

2414

E473.

3

3

660°

S S S

S

S

S cm

setor= −

=⋅

−⋅

⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = −

∆

6 34

36

9 396

9 36

2 2

2

π

π

π

B474.

2 2 2

8

8

2 S = 82 – 4 · p · 22 ⇒⇒S = 64 – 16 · 3,14 ⇒⇒S = 16(4 – 3,14) ⇒⇒S = 16 · 0,86 ⇒⇒S = 13,76 m2

A475.

2

2

2

2

22

22S

S

S

S

S cm

= − ⋅⋅

⇒

⇒ ≅ − ⋅ ⇒⇒ ≅ −( ) ⇒⇒ ≅ ⋅ ⇒⇒ ≅

4 42

416 4 3 14

4 4 3 14

4 0 86

3 44

22π

,

,

,

, 22

A476.

M

N

P

10

10

1010

10

10

60°

60°

60°

I

B

A

S

S

S S

=⋅

− ⋅⋅

⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = − ⇒ = −( )

20 34

3106

100 3100

2

100 3 50 50 2 3

2 2π

π

π π

x

x

S477.

Seja L = 2x• Área do círculo: p · x2

•Sx x x x x x

= ⋅ − ⋅ = − =−( )π π π2 2 2 2

4 2 424

24

Assim, a razão pedida fica:

ππ

ππ

ππ

xx

xx

2

22

224

42

42−( ) = ⋅

−( ) =−

Resoluções 289

EM2D-11-34

B478.

Rxx

x C = 2πR

Como o círculo tem o mesmo perímetro que o triângulo equilátero, temos:

2pR = 3x ⇒ Rxx

= 32

Assim, a área do círculo fica:

S Rx x x= ⋅ = ⋅ = =π π

πππ π

22 2

2

232

94

94

60°

60° 60°

A

B CM

O3

6

479.

O DABC é equilátero.O ponto O é o baricentro do DABC, então

OA = 6 ⇒ OM = 3 e a altura do DABC, de lado d, vale AM = 9, mas:

39 6 3

2= ⇒ =

\ A área da região destacada, AD, vale:

A A AD c rculo ABC= ⋅ −( )23 í ∆

22

D2 3

A r3 4

= ⋅ π −

AD = −( )2 12 9 3π

AD = −( )2 12 9 3π , usando 3 1 73≅ , e p = 3,14.

Temos:AD @ 2 (12 · 3,14 – 9 · 1,73)AD @ 44,22

Do enunciado, temos a figura:480.

120°1

11

1

1

1

a) A área S pedida pode ser obtida fa-zendo-se a área do hexágono regular menos a área de seis setores circulares de ângulo cen-tral 120° e raio unitário, cada um.

Logo:

S

S S

= ⋅⋅

− ⋅⋅

⇒

⇒ = − ∴ = ⋅ −( )6

2 34

61

3

6 3 2 2 3 3

2 2π

π π

b) O perímetro pedido é igual a 62 1

3

2⋅

⋅π,

ou seja, 4p.

B481. Seja r o raio da circunferência:

r

r

1 m

1 m

(2r)2 = 12 + 12

r m2 12

=

\ a área de sombra, As, vale:As = Acírculo – Aquadrado

As = pr2 – 12 = p · 12

– 1 ⇒

⇒ As m= −π 22

2

B482. L I

A M

2 2 2 2

24

8Área pedida:A = 4 · 8 – 2 · p · 22 ⇒⇒ A = 32 – 8p⇒⇒ A @ 32 – 8 · 3,14 ⇒⇒ A @ 6,88 cm

290

C483.

1010

105

S = Shex. – Scír.

S = ⋅ ⋅ − ⋅610 3

45

22π ⇒

⇒ S = −150 3 25π ⇒

⇒ S m= −( )25 6 3 2π

B484.

60° RR

R

R

S = 21 p cm2

π π π πRR R2

2 2

6 421− − =

Multiplicando-se por 12, vem:12 pR2 – 2pR2 – 3pR2 = 12 · 21 · p⇒⇒ 7pR2 = 12 · 21 · p⇒⇒ R2 = 12 · 3 ⇒⇒ R2 = 36 ⇒R = 6 cm

D485.

30 90

S = pR2 – pr2 ⇒⇒ S = p · 902 – p · 302 ⇒⇒S = p · 90 · 90 – p · 900 ⇒⇒S = p · 900 · 9 – p · 900 ⇒⇒S = 900 p (9 – 1) ⇒⇒S = 900 p · 8 ⇒⇒S = 7.200 p m2

D486. Seja AB a corda:

A

B

CO

R

r

a

a

S = 25p cm2

pR2 – pr2 = 25p⇒⇒p(R2 – r2) = 25p ⇒⇒R2 – r2 = 25No DOAC, temos:R2 = r2 + a2

R2 – r2 = a2 ⇒⇒a2 = 25 ⇒⇒a = 5\a corda AB mede 2a = 2 · 5 = 10 cm.

A487.

C A

D

B

66

6

6α

β12

x

No DABC, temos:

senABBC

α = = =612

12

\ a = 30° e b = 60°

cos

cos

α =

= ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ =

ACBC

x

x xx cm

3012

312 12

36

6 3

Assim, a área hachurada mede:

S S S S

S

S

S

= − −

=⋅

−⋅

−⋅

⇒

⇒ = − − ⇒

⇒ = − ⇒

∆ 30 60

2 26 3 62

612

66

18 3 3 6

18 3 9

π π

π π

π SS cm= −( )9 2 3 2π

Resoluções 291

EM2D-11-34

A488.

A BO

30°

30°

120°

6 6

6

S S S

Ssen

S sen

S

setor= −

=⋅

−⋅ ⋅

⇒

⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

⇒ = −

∆

π 63

6 6 1202

12 3 18 60

3618

2

⋅⋅⇒

⇒ = − ⇒

⇒ = −( )

32

36 9 3

9 4 3 2

S

S cm

B489.

2I II2 2

Área = AI + AII,

em que A e AI II=⋅

= =⋅2 2

22

24

2ππ,

\Área = 2 + p

490. A

B C

60°30°

12

R

R

12 – RO

M

a) A

A

setor

setor

=

=

π

π

·126

24

2

b)

2círculo

círculo

No BOM temos :

Rsen 30 R 4

12 RA 4

A 16

∆

° = ⇒ =−

∴ = π⋅= π

A491. Do enunciado, temos a figura, onde r é a

medida do raio do círculo de centro O:

NP

M

O

r

r12 – r30°

30°

No triângulo retângulo LMO, temos:

senr

rr

rr

3012

12 12

4

=−

=−

∴ =

Logo, a área pedida é igual a p · 42, ou seja, 16p.

A492.

180

d = 200

π π

ππ

R R

S

SR

R

2

2

2

200

2002

=⋅ ⋅

⇒

⇒ S = 100 R ⇒ ⇒ S = 100 · 180 ⇒⇒ S = 18.000 m2

Assim, o número de pessoas presentes no comício é:

n = 4 · 18.000 ⇒⇒ n = 72.000

292

Capítulo 6

SB =+( ) ⋅10 4 4

2 = 28 cm2

b) SL = 10 · 15 + 5 · 15 + 4 · 15 + 5 · 15SL = 150 + 75 + 60 + 75 ⇒ SL = 360 cm2

c) V = SB · HV = 28 · 15 ⇒ V = 420 cm3

Note a presença de um prisma reto de 498. altura 21 cm. É o trapézio com as mesmas di-mensões do exercício anterior.

34

4 55

4

310

S cmB =+( ) ⋅ =

10 4 4

228 2

Assim, V = SB · H = 28 · 21 = 588 cm3

133 64

4

499.

A área da base é dada pela soma das áre-as de um retângulo e de um triângulo.

V = SB · H

V = ⋅ +⋅

⋅3 4

4 12

6 ⇒ V = 14 · 6

V = 84 m3

A500. Considerando-se que seja possível encher

totalmente a calha de água, temos um prisma de base triangular.

Vsen

V V m

=⋅ ⋅ °

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

0 2 0 2 1202

3

0 023

23 0 03 3 3

, ,

, ,

V = S493. B · HV = S · H ⇒ V = 6 · 9 ⇒⇒ V = 54 cm3

5

43

43

7

494.

a) SB = 3 42⋅

= 6 cm2

b) SL = 4 · 7 + 3 · 7 + 5 · 7 = 84 cm2 c) ST = 2SB + SL = 2 · 6 + 84 = 96 cm2

d) V = SB · H = 6 · 7 = 42 cm3

V = SB · H495.

Vsen

V V cm

=⋅ ⋅ °

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

2 3 602

10

33

210 15 3 3

h

12

1010

66

496.

102 = h2 + 62 ⇒h2 = 64 ⇒ h = 8 cm

S• B = 122⋅ h = 6 · 8 = 48 cm2

S• L = 10 · 20 + 10 · 20 + 12 · 20 = 640 cm2

S• T = 2 · SB + SL = 2 · 48 + 640 == 96 + 640 = 736 cm2

V = S• B · H = 48 · 20 = 960 cm3

a497. )

34

h 55

4

310

52 = h2 + 32 ⇒ h = 4 cm

Resoluções 293

EM2D-11-34

3

2

2

2

3 3

70

50

501.

Vamos determinar o volume dos seis ca-nais e descontar o volume hachurado.V = 3 (2 · 70 · 1 + 30 · 50 · 1) – 9 · 2 · 3 · 1 ⇒

⇒V = 3 · 290 – 54 ⇒V = 870 – 54 ⇒⇒V = 816 m3

D502. A área da base é igual à área da seção,

que, por sua vez, coincide com a área de um trapézio retângulo.

V S H

V

B= ⋅

=+( ) ⋅ ⋅ = ⋅ =

3 1 20

215 40 15

= 600 m3 = 600.000 l

0,6

2

h 1

BA

D C

1

20,6

3,2503.

1 0 6

1610

136100

136100

64100810

2 2 2

22

2

2

2

= +

= +

= +

= −

=

=

h

h

h

h

h

h

,

hh m= 0 8,

a) V S H

Vh

CG

V

V

V

B= ⋅

=+( ) ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =⋅

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒⇒ =

3 2 2

25 2 0 8

21 5

2 6 0 8 1 5

3

,

, ,,

, , ,

,112 3m

V S H

Vh

CG

V

V

V

B= ⋅

=+( ) ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =⋅

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒⇒ =

3 2 2

25 2 0 8

21 5

2 6 0 8 1 5

3

,

, ,,

, , ,

,112 3m

b) A área a ser pintada é dada pelo do-bro das seguintes áreas:

trapézio ABCD• trapézio EFGH• retângulo BCGF• retângulo AEHD• retângulo ABEF•

Assim,

S = ⋅+( ) ⋅ +

+( ) ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

23 2 2 0 8

2

3 2 2 0 8

21 1 5 1 1 5 2 1 5

, , , ,

, , ,⇒⇒

⇒ =S m20 32 2,

A504.

45º 45º55

4

4

a

14

dmV

VV V cm

=

= ⇒ = ⇒ =7 140 357 0 357

7 140 05 3,

, ,,

,

Assim,V S H

H

H

H H

B= ⋅

=+( ) ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = = =

0 0514 4 5

20 05 45

0 0545

510045

12045

,

,

, 11900

cm

a)505. S cmB =⋅

=4 3

44 3

22

b) SL = 3 · 4 · 11 = 132 cm2

c) S S S

cm

T B L= ⋅ + = ⋅ + =

= + = +( )2 2 4 3 132

8 3 132 4 2 3 33 2

d) V S H cmB= ⋅ = ⋅ =4 3 11 44 3 3

294

Seja x a medida da aresta da base.506. ST = 48 m2

2 · SB + SL = 48 ⇒⇒2x2 + 20x – 48 = 0 ⇒⇒x2 + 10x – 24 = 0

Soma:

Produto:

S

P

= −= −

−( )10

2412 2,

\ x = 2 mAssim, o volume fica:V = SB · HV = x2 · 5 ⇒V = 22 · 5 ⇒⇒V = 20 m3

S cm V cmT = +( ) =36 3 3 10 540 32 3;507.

Área total:

S S S

S

S

T B L

T

T

= + = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ + = + ⇒

⇒ =

2 2 66 3

46 6 10

12 9 3 360 108 3 360

36 3

2

33 10 2+( )cmVolume:

V S H V

V V cm

B= ⋅ ⇒ = ⋅⋅

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

66 3

410

6 9 3 10 540 3

2

3

D508.

ah

a

a

E509. Área da base:

S

Volume

V S H

B

B

= ⋅⋅

=

= ⋅ = ⋅ =

62 3

46 3

6 3 2 12 3

2

:

2p = 21 cm3a = 21 ⇒ a = 7 cmSL = 105 cm2

3 · a · h = 105 ⇒ ⇒ 3 · 7 · h = 105 ⇒

⇒h =10521

⇒h = 5 cm

D510. V m

S H

aa

a a

a

Assim

S

B

L

=

⋅ =

⋅⋅

⋅ = ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

=

3

3

63

42 3 3 1

13

1

3

3

3

32

3

22

2

:

66

63

32

12 33

4 3 2

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒

⇒ =

a h

S S

S m

L L

L

A511. SL = 2 · SB

6 · a · h = 26 3

4

2⋅

⋅ ⋅a⇒

⇒ 6 · a · 4 · 3 = 3 · a2 · 3 ⇒⇒ 24a = 3a2 ⇒ 8 = a ⇒a = 8 cm2

I. Sa

S

S cm

B B

B

= ⋅⋅

⇒ =⋅ ⋅

⇒

⇒ =

63

46 8 3

4

96 3

2 2

2

II. V = SB · H = 96 3 · 4 3 ⇒⇒ V = 96 · 3 · 4 ⇒ V = 1.152 cm3

III. 12 vértices18 arestas

E512.

3aa

a

S

a

a a m

B =

⋅= ⇒

⇒ = ⇒ =

4 3

34

4 3

16 4

2

2

Resoluções 295

EM2D-11-34

Assim:SL = 3 · a · hSL = 3 · 4 · 3 ⇒ SL = 36 m2

V = SB · H ⇒V = 4 3 · 3 ⇒⇒ V = 12 3 m2

A513. S S

a ha

aa

a a a

a

L B= ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

⇒

⇒ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒

3

6 3 63

4

6 93 6 3

4

36 3 3 12 3

2

2

2

==

= ⋅ = ⋅⋅

⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ ⇒ =

12

3

63

49

64

1443

9 3 648 3

2

3

cm

As

V S Ha

V V cm

B

sim:

A514. V S H

V

V V cm

As

dmV

mm g

B= ⋅

=⋅

⇒

⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⇒ = ⇒ =

5 4 3425 3 75

7 875

585

2

3

sim:

,

E515. SL = 6 · SB4 · x · 15 = 6 · x2 ⇒⇒60x = 6x2 ⇒ 10 = xVolume de medicamento:

V = 34

· SB · H = 34

· 102 · 15 =

= 3 · 25 · 15 = 1.125 cm3 = 1.125 m lTrês doses durante seis dias totalizam 18

doses.Assim:18 · 50 = 900 m lO medicamento será suficiente, restando

ainda 1.125 – 900 = 225 m l no recipiente.

D516. Volume do prisma triangular regular:

Va

hT = ⋅2 34

Volume do prisma hexagonal regular:

Va

h

AVV

ah

ah

H

T

H

= ⋅ ⋅

∴ =⋅

⋅ ⋅=

63

4

34

63

4

16

2

2

2

B517.

V S H mB= ⋅ =⋅

⋅ =2 3

42 2 3

23

E518. Volume do recipiente, em dm3:V = 7 · 4 · 5V = 140 dm3

V = 140 lAssim, serão necessários mais140 – 60 = 80 l de água.

A519. Capacidade da piscina, em dm3:V = 120 · 60 · 30V = 216.000 dm3

V = 216.000 lQuantidade de água que ainda cabe na

piscina:

38

· 216.000 = 81.000 l

D520.

1

50

100

V = 100 · 50 · 1V = 5.000 dm3

V = 5.000 l

296

D521.

18 – 2x

x

x

x

x x

x

x

x

18 – 2x

18 – 2x

x

18 – 2x

V = 400 cm3

(18 – 2x)(18 – 2x) · x = 400 ⇒⇒2(9 – x) · 2(9 – x) · x = 400 ⇒⇒(9 – x)2 · x = 100 ⇒⇒(81 – 18x + x2) · x = 100 ⇒⇒x3 – 18x2 + 81x – 100 = 0Sabemos que x = 4 é uma das raízes, então:

4 1 – 18 81 – 100

1 – 14 25 0

\ x2 – 14x + 25 = 0D = (–14)2 – 4 · 1 · 25D = 196 – 100 = 96

x

x

x

=± ⋅

=±

= ±

∴= +

= −

14 6 162

14 4 62

142

4 62

7 2 6

7 2 61

2

Como 2x deve ser menor que 18, temos:2x < 18x < 9Assim, 7 2 6−

B522.

60°

10 h

6

66

senh h

h cm

Assi

V S h cmB

6010

32 10

5 3

6 34

5 3 9 5 3 1352

= ⇒ = ⇒

⇒ =

= ⋅ =⋅

⋅ = ⋅ ⋅ =

m:

22

A523. Note que os volumes são iguais:40 · 10 · 14 = 20 · 10 · (40 – x) ⇒⇒ 4 · 14 = 2 (40 – x) ⇒ 40 – x = 28 ⇒⇒ x = 12 cm

A524.

1030º30º

a

99

cos 309 3

29

18

3

= ⇒ = ⇒

⇒ =

a a

a m

Quantidade de telhas necessária:

n a

n

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ = ≅

2 10 20

40018

3

7 2001 7

4 235 3.,

. ,

O valor mais próximo é 4.080 telhas.

A G

CO

H

I

F x x

x

M

L

B

E J

6 m

D

525.

x x m=⋅

⇒ =6 3

23 3

Observe que OJ é altura do triângulo equilátero OED e também é o lado do hexágo-no GHIJLM.

a) S

S

S

= ⋅⋅

− ⋅⋅( )

⇒

⇒ =⋅

− ( )

⇒

⇒ = ⋅ −( ) ⇒

66 3

26

3 3 3

4

6 32

6 3 3

3 32

36 27

22

22

⇒⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅

S

S m

3 32

9

27 32

2

Resoluções 297

EM2D-11-34

S

S

S

= ⋅⋅

− ⋅⋅( )

⇒

⇒ =⋅

− ( )

⇒

⇒ = ⋅ −( ) ⇒

66 3

26

3 3 3

4

6 32

6 3 3

3 32

36 27

22

22

⇒⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅

S

S m

3 32

9

27 32

2

b) V S H

V

V

V m

B= ⋅

= ⋅( ) ⋅

⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

63 3 3

42

32

9 3 2 3

81 3

2

3

C526. Volume do prisma da figura II:

V

x xx x

II =

⋅⋅ = ⇒ = ⇒ =

3

34 2

3 8 22

3

Volume do sólido total:

V S H dx

x x

V

B= ⋅ =⋅

⋅ +

=

= ⋅ ⋅ +

⇒

⇒ = ⋅⋅

3 34

432

9 34

458

32

9 34

20 2

2

883 22

9 34

8 18 3+⋅

= ⋅ =

Volume do sólido da figura I:VI = V – 3 VII ⇒⇒ VI = 18 3 – 3 · 3 ⇒⇒ VI = 15 3

A527.

A

B2

x

x x

8

C

EF

D

G

10

S

V = S · x,em que S = 2 · 10 + 8 · x = 8x + 20V = (8x + 20) x ⇒ V = 4x (2x + 5)

E528.

85°

35°60°

2

a 7

7 2 2 2 60

7 4 412

2 3 0

2

31 3

2 2 2

2

2

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒

⇒ = + − ⋅ ⇒

⇒ − − === −

−(

a a

a a

a a

S

P

cos

, )) ∴ =a m3

Assim, o volume fica:

V S Hsen

m

B= ⋅ =⋅ ⋅

⋅ =

= ⋅ =

2 3 602

4

3 32

4 6 3 3

º

a)529. d = 4 2 cmb) D = 4 3 cmc) ST = 6 · 42 = 96 cm2

d) V = 43 = 64 cm3

V = 5530. 3

V = 125 dm3

V = 125 l

S531. T = 54 cm2

6 · a2 =54 ⇒ a = 3 cm ⇒a = 0,3 dm

V = a3 = (0,3)3 = 310

271 000

33

=.

dm ⇒

⇒ V = 0,027 l

D = 6532. 3

a 3 = 6 3a = 6 cmST = 6a2 = 6 · 62 = 63 = 216 cm2

E533.

2 m

2 m2 m

298

A área total do cubo é dada por:AT = 6 · Ab ⇒AT = 6 · a2 ⇒⇒ AT = 6 · 22 ⇒ AT = 24 m2

B534. A = 6a2 ⇒ 6a2 = 72 ⇒a2 = 12 ⇒⇒ a = 2 3

D a D D= ⇒ = ⋅ ⇒ =3 2 3 3 6 m

C535.

E540.

B

B'

a

aaA

No desenho destacado:AB’2 = (2a)2 + a2

AB’2 = 5a2

\ AB’ = a 5

a)541. ST = 2(3 · 7 + 3 · 10 + 7 · 10) == 2 · (21 + 30 + 70) ⇒⇒ST = 2 · 121 = 242 cm2

b) V = 3 · 7 · 10 = 210 cm3

c) D

cm

= + + = + + =

=

3 7 10 9 49 100

158

2 2 2

542.

5 dm

3 m = 30 dm

80 cm = 8 dm

V = 8 · 5 · 30V = 1.200 dm3

V = 1.200 l

B543. 6 · 15 · 20 = 8 · 15 · a ⇒⇒ 6 · 20 = 8 · a ⇒8a = 120 ⇒⇒ a = 15 cm

C544.

D

D cm

= + + = + + = ⇒

⇒ = ⋅ =

5 9 12 25 81 144 250

25 10 5 10

2 2 2

a

aa

12 60 5

3 5 3

·a a m

D a D m

= ⇒ =

= ⇒ =

A536.

�3 3

33 12

4

V 4.096.000

V 4.096 m L 4.096

L 2 L 16 m

== ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ =

E537. 216 = 63 cubos como o da figura I.Assim, temos 6 camadas de cubinhos de

aresta 5 cm.\ x = 6 · 5 = 30 cm = 0,3 m

A538. Observando atentamente, marcamos a

alternativa A.

C539. Considere na figura uma representação

da nova montagem do cubo:

A

B

F

EC

D

Logo, a face oposta à face é a face D.

Resoluções 299

EM2D-11-34

D545.

A razão pela qual esse tanque recebe água é:

3 3 105

18 3⋅ ⋅= m hora/

D546.

18 dm = 1,8 m

0,15 m

90 cm = 0,9 m

Note que o volume da pessoa é igual ao volume de água deslocado.

V = 0,9 · 1,8 · 0,15 = 0,243 m3

B547.

40 cm = 4 dm

30 cm = 3 dm

60 cm = 6 dm

�6 3 4V 5 36 5 V 41

2⋅ ⋅

= + = + ⇒ =

C548.

a + 0,2 dm

a30 cm = 3 dm

V ≥ 3,6 d3 · a · (a + 0,2) ≥ 3,6 ⇒⇒ a(a + 0,2) ≥ 1,2 ⇒⇒ 10 a (a + 0,2) ≥12No mínimo, a menor aresta medirá:10a (a + 0,2) = 12 ⇒⇒ 10 a2 + 2a – 12 = 0 ⇒⇒ 5a2 + a – 6 = 0D = 12 – 4 · 5 (–6) = 121

1 121a

2 5− ±

= ⇒⋅

a1

2

1 11 10a 1

1 11 10 1010

− += = =

− ±1 11 1210 10−− não

convém

a= =

\ a menor aresta mede 1 dm = 10 cm.

C549.

3 m

20 m10 m

Galpão

• 1 lata → 80 m2

• área de um piso →1.600 cm2

• tijolo → 10

20

I. Quantidade x de pisos no chão:

x =⋅

= =10 200 16

2000 16

1 250, ,

.

II. Quantidade y de tijolos nas paredes:

y =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅=

+=

= =

2 10 3 2 20 30 1 0 2

60 1200 02

1800 02

9 000

, , ,

,.

III. Quantidade z de latas de tinta nas paredes (dentro e fora):

z =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

=+

= =

4 10 3 4 20 380

120 24080

36080

4 5,

A550. • VI = 103 ⇒ • VII = 40 · 10 · 12 ⇒⇒ VI = 1.000 cm3 ⇒VII = 4.800 cm3

A água ocupará 1.000 cm3 no vasilhame II, que possui 4.800 cm3 de capacidade. Assim, temos:

1 0004 800

1048

524

0 2083 20 8..

, , %= = ≅ ou

300

E551.

x

20 dm10 dm

V = 360 l20 · 10 x = 360 ⇒ x = 1,8 dm ⇒⇒ x = 18 cm

A552. V = 30 · 40 · 20V = 24.000 dm3

V = 24.000 lGasto médio por apartamento

G = =24 000

102 400

.. l

4

4

A

Bx

553.

x2 = 42 + 42 = 2 · 42 ⇒⇒ x = 4 2 cm

a)554. V = 27 cm3

a3 = 27 ⇒ a = 3 cm

b) C

BA 2

3x

x2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒ x = 13 cm

c)

B 3A 2

y

D

3

5

y2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34 ⇒⇒ y = 34 cm

d)

B

3

A 2

zE

z2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 ⇒⇒ z = 13 cm

e)

β

3

A 2

t 3

F

3 2

t2 = 22 + (3 2)2 = 4 + 9 · 2 ⇒ t2 = 4 + 18 = t2 = 22 ⇒⇒ t = 22 cm

a)555. ST = 96 cm2

6 · a2 = 96 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = 4 cmb) A

B

C4

4

3x

4 2

Resoluções 301

EM2D-11-34

x2 = 32 + (4 2 )2 ⇒⇒ x2 = 9 + 42 · 22 ⇒⇒ x2 = 9 + 32 = 41 ⇒⇒ x = 41 cm

c) A

D

4

3

4

44

4 2

y 7

y2 = 72 + (4 2)2 ⇒⇒ y2 = 49 + 16 · 2 ⇒⇒ y2 = 49 + 32 ⇒⇒ y2 = 81 ⇒ y = 9 cm

C556.

A

a

P

E F

Q

Ga

a

ax

y

aa 2

x2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ x = a 2y2 = (2a)2 + (a 2 )2 ⇒ y2 = 4a2 + 2a2 = 6a2 ⇒⇒ y = a 6

B557.

A

C

B

4

44

4 2

S SABC ABC∆ ∆=⋅

⇒ =4 4 2

28 2

C558.

A aa

C

B

E

H

DM

G

F

a2

xa 2

2

xa a

xa a a

xa

22 2

22 2 2

22

2

424

34

32

=

+

⇒

⇒ = + = ⇒ =

559.

A

C

B

E

H

D

M

N

RP

10

G

F

Sejam N o ponto de intersecção das dia-gonais do cubo, M o encontro das diagonais do retângulo ABCD e R o ponto médio do lado AB. Queremos calcular a medida do segmento NP.

Temos que PR = 10 cm e MR = 20 cm.O triângulo MPR é retângulo. Logo,MP2

= PR2 + RM2 = 100 + 400 = 500O triângulo NMP também é retângulo.

Portanto, NP2 = MP2 + MN2 ⇔⇔ NP2 = 900 + 400 ⇒ NP2 = 900 ⇒⇒ NP = 30 cm

(a + b + c)560. 2 = D2 + ST102 = D2 + 62 ⇒⇒ D2 = 100 – 62 ⇒⇒ D2 = 28 ⇒⇒ D = 28 ⇒⇒ D = 2 7 cm

302

B561. a

a

aa

c

cc

c

bbb b

4a + 4b + 4c = 140 ⇒⇒ a + b + c = 35 ⇒(a + b + c)2 = D2 + ST352 = 212 + ST ⇒⇒ ST = 352 – 212 ⇒⇒ ST = (35 + 21) · (35 – 21) ⇒⇒ ST = 56 · 14 ⇒⇒ ST = 784 cm2

C562.

4 dm

I

VI = 43 = 64 dm3 = 64 lSI = 5 · 42 = 5 ·16 = 80 dm2

2 dm

II

VII = 23 = 8 dm3 = 8 lSII = 5 · 22 = 5 · 4 = 20 dm2

Assim, I supera II em 64 l – 8 l = 56 l e 80 – 20 = 60 dm2.

B563.

0,8 m = 8 dm1 m = 10 dm

=x a 3

aa

a D = a 3 = x

300 l ________ 15 minutos8 · 10 · x ________ 3480 x · 15 = 300 · 34 ⇒

⇒ m=⋅⋅

=⋅

= = =300 34

152 34

8344

172

8 5,80

Assim:0,85 = a 3 ⇒ 0,85 = a · 1,7 ⇒

⇒ a =0 851 7,,

⇒ a = 0,5 m

D564.

1,5

ab

bc

2

ac

3

a b

b c

a b

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

1 5 36

2 36

3 36

,

Multiplicando-se as equações, vem:a2 · b2 · c2 · 9 = 36 · 36 · 36 ⇒⇒a2b2c2 = 4 · 36 · 36 ⇒⇒(abc)2 = 4 · 36 · 36 ⇒⇒abc = 4 36 36⋅ ⋅ ⇒⇒abc = 2 · 6 · 6 ⇒⇒V = 72 l

a

aa

a 2

a 3

565.

D d

a a a a

a a cm

= + ⇒

⇒ = + ⇒ − = ⇒

⇒ −( ) = ⇒ =−

2

3 2 2 3 2 2

3 2 22

3 2

Resoluções 303

EM2D-11-34

566.

2

22 3

3

3

2 3

3 3

Assim, sendo x esse aumento, temos:

2 3 3 3 3 3 2 3

3

+ = ⇒ = − ⇒

⇒ =

x x

x cm

S567. T = 600 cm2 ⇒⇒6a2 = 600 ⇒ a2 = 100 ⇒a = 10 cm ⇒V = a3 ⇒ V = 103 ⇒V = 1.000 cm3

Seja A o vértice e C o centro de uma das 568. faces opostas.

A DB

C

2a

60

aa

a

NO DABD, temos:

A D

B

2a

xa

x2 = (2a)2 + a2 = 4a2 + a2 = 5a2 ⇒⇒x = a 5No DABC, temos:

AB

C

60 a

a 5

60 = a2 + (a 5)2 ⇒⇒3.600 = a2 + 5a2 ⇒6 a2 = 3.600 ⇒⇒a2 = 600 ⇒a = 10 6 cm\a aresta desse cubo mede 2a = 20 6 cm

e seu volume vale: V = a3 = (20 6)3 = 203 · 63 = 8.000 · 6 6 ⇒⇒V = 4.800 6 cm3

Se o cubo e o paralelepípedo são equiva-569. lentes, então eles possuem mesmo volume.

Vcubo = Vparalelepípedoa3 = 8 · 64 · 216

a

a

a

a

a cm

= ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒⇒ = ⋅ ⋅ ⇒⇒ =

8 64 216

8 64 36 6

8 64 6

2 4 6

48

3

3

3 3 33

D570.

a

a · b

a · cb · c

b

c

ab

ac

bc

a b c

abc

V

V

===

⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒

⇒

6

9

24

6 9 24

6 9 6 4

6 3 2

2 2 2

== 36 3cm

571.

a

aa

a 2

a 3

d a ad

ad

D a Dd

Dd

= ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

= ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

22

2

2

22

32

23

62

304

• = ⇒

⇒ = ⇒

⇒⋅

=

⇒ =

D a

a

a

a

3

6 3

2 3

3

2

572. • = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

V a

V

V

V cm

3

3

2

3

2

2 2

2 2

• = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

D cm

a

a cm

1

3 1

1

3

573.

• = ⇒

⇒ = ⋅ = ⋅ = ⇒

⇒ =

S a

S

S cm

T

T

T

6

61

36

13

63

2

2

2

2

C574.

a

aa a + 1

a + 1

a + 1

S aL1

4 2=

S aL24 1 2= +( )

Assim, de acordo com o texto:4(a + 1)2 = 4a2 + 164 ⇒⇒(a + 1)2 = a2 + 41 ⇒⇒a2 + 2a + 1 = a2 + 41 ⇒⇒2a = 40 ⇒ a = 20 m V = a3 ⇒ V = 203 ⇒ V = 8.000 m3

a

a

b

6

575.

• =

+ + = ⇒ + =

D m

a a b a b

6

6 2 62 2 2 2 2

e• ST = 10 m2

2(a · a + a · b + a · b) = 10 ⇒⇒a2 + 2ab = 5Veja as opções para a e b inteiros:a = 1 e b = 2 2a2 + b2 = 6 ⇒⇒2 · 12 + 22 = 6 ⇒⇒6 = 6ea2 + 2ab = 5 ⇒⇒12 + 2 · 1 · 2 = 5 ⇒⇒5 = 5Assim, as dimensões são 1 m, 1 m e 2 m.V = 1 · 1 · 2 ⇒⇒V = 2 m3

A576.

a ca a

a b

Seja a dimensão b 25% menor que a ares-ta a do cubo. Assim:

b a ba

= ⋅ ⇒ =7534

%

Sabemos que os dois volumes são iguais. Então:

a a b c a aa

c

ca

3 3 34

43

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

· ·

Assim, a diferença entre as áreas totais do sólido novo (paralelepípedo) e do cubo é:

Da a a

aa

a a Da

= ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⇒ =2

34

43

34

43

66

22