7Neste captulo1. Pesquisa

Captulo

Noes de estatstica

estatstica2.Representaes

grficas3.Histograma

LogotipocriadopelaONUparaacampanha8jeitosdemudaromundo.

Comece pelo que j sabeAoavaliarosmaioresproblemasmundiais,aONU(OrganizaodaNaes Unidas)estabeleceu,em2000,osoitoobjetivosdomilnio,quenoBrasilso chamadosdeoitojeitosdemudaromundo,comointuitodemelhorara condiodevidadaspessoasedoplaneta. NoBrasil,porexemplo,halimentossuficientesparaalimentartodaa populao.Apesardisso,29%daspessoasestoabaixodalinhadapobreza eapresentamdeficinciaalimentar.Almdisso,apesardeoBrasilter aproximadamente12%detodaaguadocedoplaneta,22milhesdepessoas notmacessoguadeboaqualidade. 1.Supondoqueosdadosacimasejamreferentesaoanode2000equehouvesse 170milhesdebrasileirosnessapoca,quantosdelesestavamabaixodalinha dapobrezaeapresentavamdeficinciaalimentar?Qualaporcentagemde brasileirosquenotinhamacessoguadeboaqualidade? 2.Conversecomseuscolegassobrequeoutrosdadosdevemtersido consideradosnaelaboraodessesobjetivospelaONUeoquepode serfeitoparaajudarnaconcretizaodessesideais.

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1. Pesquisa estatsticaNo de hoje que a coleta e a anlise de informaes ajudam nas tomadas de decises. Na Antiguidade, a contagem da populao ajudava a estimar os impostos e tambm o poderio militar dos povos. Durante a Idade Mdia, os registros de batizados, casamento e bitos ajudavam na quantificao dessas informaes. Hoje, as coletas de dados ajudam no desenvolvimento de muitas atividades. A indstria alimentcia, por exemplo, costuma contratar empresas especializadas para verificar o grau de aceitao de determinado alimento. Para isso, so feitas perguntas para os pesquisados a respeito de tamanho, formato, cor, sabor e textura do alimento. Dependendo do resultado da pesquisa, a indstria analisa se deve ou no modificar o seu produto a fim de obter uma clientela maior. Pode-se descrever a pesquisa estatstica como um conjunto de metodologias cientficas aplicadas na coleta dos dados (que sero organizados e resumidos), na anlise e interpretao e na apresentao da concluso. Essas atividades esto sempre associadas a um planejamento, que visa quantificar e/ou qualificar fenmenos coletivos para futuras tomadas de decises.Saiba mais

No Brasil, carncia de dados no permite prospeco` Nodehojequeosespecialistasem particular,criminologistas corrematrsdadescoberta dascausasdocrimeeda violncia,combasena observaodastendncias deevoluotemporal eespacialdastaxasde criminalidade.NosEstados Unidos[...]longaa acumulaodeinformaes, anlises,estudose pesquisasdegrandeportee longadurao[...]. NoBrasil,hpelomenos duasdcadasvmse acumulandoestudos rigorosos[...].Noentanto, osestudosaindapadecem deproblemasalheios vontade,experinciae competnciacientficade pesquisadores.[...]Salvoem algunsestadosbrasileiros, noh,paraopasem seuconjunto,umsistema nacionalquepermita avaliaessegurasdas tendnciasdeevoluodos crimesedaviolncia.[...] Aausnciadeum sistemaconfivelimpede comparaesnacionais.Por suavez,aimpossibilidade decompararimpede quesepossaconhecer asparticularidadesda criminalidadenoBrasil, maispropriamentesuas tendnciasdominantes,a curto,mdioelongoprazos. Nacadeiadeconsequncias, essaimpossibilidade resultanaformulaode polticasdesegurana inconsequentes,debaixa eficinciainstitucionale quenorespondems demandascrescentespor maiorseguranapblica.Adorno, Srgio. Revista Scientific American, ano 2, n. 23, abr. 2004.

Populao e amostraEm pocas prximas s eleies, por exemplo, pode-se inquirir os eleitores de uma sala de aula, perguntando-lhes um a um sua inteno de voto. Mas no possvel consultar todos os eleitores de um estado brasileiro, pois a quantidade de pessoas a ser consultadas muito grande. Por isso, os institutos de pesquisas consultam apenas uma parcela dos eleitores que forneam informaes representativas do coletivo, ou seja, que forneam informaes que possam representar a vontade de todos os eleitores. O conjunto de todos os eleitores representa a populao de interesse, e a parcela da populao pesquisada a amostra dessa populao.Definio

Populaooconjuntodetodasascoisas,pessoaseobjetos,chamados deindivduosdapopulao,queinteressamparaumdeterminadoestudo. Amostraqualquersubconjunto(novazio)deumapopulao.

Escolher uma amostra adequadamente, ou seja, que represente de maneira apropriada a populao, fundamental para que as inferncias no forneam informaes errneas sobre a populao. A escolha da amostra, porm, nem sempre fcil. Por exemplo, deseja-se saber sobre a quantidade de pessoas que gostam de passear no parque. Assim, no se deve ir a um parque da cidade e perguntar s pessoas que l esto se elas gostam de ir a parques, pois dado que esto em um parque, provavelmente a resposta dada ser sim. Para ajudar nessa escolha, existem algumas tcnicas de amostragem, como as relacionadas abaixo. Amostragem aleatria simples Consiste em escolher uma amostra da populao, considerando que qualquer indivduo tem a mesma probabilidade de ser selecionado. Amostragem sistemtica utilizada em populaes que tm os elementos ordenados. Nessa tcnica, a seleo dos indivduos da amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador. Amostragem estratificada utilizada quando a populao est dividida (ou pode ser dividida) em subconjuntos ou estratos. Assim, seleciona-se o nmero de elementos da amostra proporcionalmente ao nmero de elementos de cada um dos estratos.

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Noesdeestatstica

Varivel quantitativa e qualitativaDada uma populao, as caractersticas de seus elementos so chamadas de variveis. Por exemplo, em uma populao de pessoas, as variveis podem ser, de acordo com o objeto de estudo, a altura, a idade, etc. As variveis podem ser divididas em categorias de acordo com as suas caractersticas, como mostra a tabela abaixo.QualitativaSovariveisquerevelamumatributo,ouseja,umaqualidade dosindivduosdaamostra. Ordinal Seoselementosdeuma varivelapresentamuma ordemouhierarquia,entoela classificadacomoqualitativa ordinal. Nominal Senohumaordemou hierarquiaentreoselementos deumavarivel,entoela classificadacomoqualitativa nominal.

QuantitativaSovariveisexpressaspormeiodevaloresnumricos. Discreta Avarivelquantitativa discretarepresentadapor valoresinteiros,quepodem sercontados,sempossveis intermedirios. Exemplos:nmerodecarros emumestacionamento; quantidadedeamigos. Contnua Avarivelquantitativacontnua podeassumirqualquervalor real.Porisso,namaioria doscasos,dependedeum instrumentodemedio. Exemplos:comprimentos; ngulos;perodosdetempo.

Exemplos:mesesdoano;cores Exemplos:cordocabelo;local dasfaixasnojud;classes denascimento;estadocivil. sociais.

Saiba mais

Varivel quantitativa ou qualitativa?` Emalgumassituaessoatribudosvalorespara variveisqualitativas. Issonosignifica,porm, queelaspassamaser quantitativas. Algumaspesquisas,por exemplo,atribuemonmero 1paraosexomasculinoe o2paraosexofeminino. Esseprocedimentofacilita amarcaoemum questionrio,pormela destitudadesignificado numrico,ouseja,nesse casoosnmeros1e2so apenasrtulos.

Considere que uma indstria eletrnica pretende lanar um novo notebook no mercado. Para isso, ela elabora uma pesquisa a ser aplicada entre os possveis consumidores daquele produto, chamados de consumidores em potencial. Nessa pesquisa, os entrevistados devem assinalar o que, na opinio deles, um notebook que || custa RS 3 000,00 deve ter. Ao lado, a figura mostra um questionrio preenchido. Todos os itens analisados so variveis da pesquisa. A varivel tamanho da tela quantitatiTamanhodatela: va contnua, pois apresenta valo15,4polegadas12,1polegadas res reais. Por outro lado, a varivel Cor memria RAM quantitativa disPretoPrata creta, pois tem valores inteiros. Por MemriaRAM fim, a varivel cor qualitativa no512Mb1024Mb minal, pois indica um atributo do produto.

Exerccio resolvido1. Classificarasvariveisaseguircomoqualitativaordinalounominal,quantitativadiscretaou contnua. a)idadeemanos b)preodeumcarro c) desempenhoemumaprova d)alturadeumapessoa e)sexo(masculinooufeminino) f) cordosolhos g)graudeescolaridade h)peso i) velocidademximadeumcarro j) nmerodetelevisesemumaresidncia k) doentesadio l) nmero de bactrias em 10 mL de gua domar Resoluo Ositenscegsovariveisqualitativasordinais; os itens e, f e k so variveis qualitativas nominais; os itens a, j e l so variveis quantitativas discretas;eositensb,d,heisovariveisquantitativascontnuas.

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Frequncia absoluta e frequncia relativaA quantidade que cada varivel acumula ou o nmero de vezes em que cada varivel citada ao final de uma determinada pesquisa chama-se frequncia absoluta (FA) dessa varivel. A frequncia absoluta utilizada para organizar os dados coletados de uma pesquisa de modo que a consulta a esses dados fique facilitada. Exemplo Em um instituto de beleza, verificou-se que havia cinco morenas, quatro loiras e trs ruivas esperando para cortar o cabelo; duas loiras e quatro morenas pintando as unhas; e uma ruiva e uma morena fazendo depilao. O nmero de morenas (5 1 4 1 1 5 10), loiras (4 1 2 5 6) e ruivas (3 1 1 5 4) no instituto corresponde frequncia absoluta de cada uma dessas variveis, ou seja, as frequncias absolutas de morenas, loiras e ruivas so, respectivamente, 10, 6 e 4. Para facilitar a organizao dos dados, pode-se utilizar uma tabela, como a mostrada abaixo.Tonalidade do cabelo QuantidadeMoreno 10 Loiro 6 Ruivo 4 Total 20

Saiba mais

Sries estatsticas` D-seonomedesrieestatsticaatodatabelacujo conjuntodeinformaes dadoemfunodapoca, dolocaloudaespcie. Assriestemporais,por exemplo,descrevemos valoresdavarivel,em determinadolocal,ao longodotempo.Assim,o nmerodecarrosvendidos nacidadedeSoPaulonos mesesdejaneiro,fevereiro emaroumavarivel temporal. Assriesgeogrficas,por outrolado,descrevemos valoresdavarivel,emum determinadotempo,por regies.Assim,onmerode carrosvendidosnosestados deSoPaulo,Parane Bahia,em2008,uma varivelgeogrfica.

A razo entre a frequncia absoluta de uma varivel e o total de citaes chamada de frequncia relativa (FR), ou seja, a frequncia relativa estabelece uma comparao entre cada varivel e o total pesquisado. Portanto, a soma de todas as frequncias relativas sempre igual a 100%. Assim, utilizando os mesmos dados do exemplo acima, tem-se que a razo entre o nmero de morenas, loiras e ruivas pelo total acumulado (20) so as frequncias relativas de cada uma dessas variveis, como mostra a tabela.MorenaFrequnciaabsoluta10 Frequnciarelativa 10 ___ 50,5550% 20

LoiraFrequnciaabsoluta6 Frequnciarelativa 6 ___ 50,3530% 20

RuivaFrequnciaabsoluta4 Frequnciarelativa 4 ___ 50,2520% 20

Por vezes, para facilitar a interpretao dos dados, interessante calcular a soma de uma frequncia absoluta com as frequncias absolutas anteriores ou a soma de uma frequncia relativa com as frequncias relativas anteriores. Essas frequncias obtidas so chamadas, respectivamente, de frequncia absoluta acumulada e frequncia relativa acumulada. Exemplo Uma professora quer avaliar o desempenho de seus alunos em determinada prova. Para isso, ela monta a tabela abaixo. Note que a frequncia absoluta acumulada mostra, por exemplo, que 28 alunos tiraram pelo menos nota 6 nessa prova, ou seja, 75,68% dos alunos.Notas10 9 8 7 6 5 4 3 Total

Para refletir

` Deacordocomosdadosdatabeladoexemploao lado,esupondoqueanota paraaaprovaosejano mnimoiguala6,qual aporcentagemdealunos queforamreprovados? Existemaisdeumamaneira derealizaresseclculo? Justifique.

Frequncia absoluta3 8 6 5 6 3 4 2 37

Frequncia absoluta acumulada3 318511 1116517 1715522 2216528 2813531 31145 35 3512537 37

Frequncia relativa3378,11% 83721,62% 63716,22% 53713,51% 63716,22% 3378,11% 43710,81% 2375,40% 100%

Frequncia relativa acumulada8,11% 8,11%121,62%529,73% 29,73%116,22%545,95% 45,95%113,51%559,46% 59,46%116,22%575,68% 75,68%18,11%583,79% 83,79%110,81%594,60% 94,60%15,40%5100% 100%

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Noesdeestatstica

Tabelas de frequncias das variveis quantitativasFoi visto que as variveis quantitativas so representadas por valores numricos e podem ser classificadas como discretas ou contnuas, dependendo de seus valores. A seguir ser visto, por meio de um exemplo, como preparar as tabelas de frequncia dessas variveis. A tabela abaixo representa o controle do nmero de passageiros (pax) e a distncia percorrida por um taxista (em km) durante o ms de fevereiro de 2009.Calendrio segunda tera quarta quinta sexta Fevereiro/2009 sb. dom.

140pax

No de FA passageiros37 38 39 40 41 42 Total 1 3 2 6 4 4 20

648,3km

2 9 16 23

37pax 652km 41pax 632,8km 40pax 610,5km 38pax 420km

3 10 17 24

38pax 479,2km 41pax 525km 39pax 589,9km 42pax 567,4km

4 11 18 25

42pax 627,1km 40pax 480,7km 42pax 568km 40pax 613,2km

5 12 19 26

38pax 579,9km 40pax 506km 42pax 634,3km 41pax 587,4km

6 13 20 27

7 14 21 28

8 15 22 29

FR1 ___ 50,05 20 3 ___ 50,15 20 2 ___ 50,1 20 6 ___ 50,3 20 4 ___ 50,2 20 4 ___ 50,2 20 1

FR5% 15% 10% 30% 20% 20% 100%

39pax 548,2km 41pax 640,7km 40pax 545,1km

Saiba mais

` Osmbolo representaumintervalofechado esquerdaeabertodireita. Ento,ointervalo420 467 daprimeiraclasseindica queovalor420pertence aele,eo467no.Ovalor 467,porm,pertence segundaclasse. Ointervalodaprimeira classefoiiniciadocomo menorvalor,420,masisso noobrigatrio.Elepode seriniciadocomumvalor menordesdequeomaior valornofiqueexcludoda ltimaclasse. ` Casoavariaodo nmerodepassageiros transportadossejamuito grandeemumdeterminado ms,pode-se,emelhor, represent-lospormeiode intervalos.Assim,atabela noficamuitoextensa, eaconsultaaosdados facilitada.s s

As duas variveis apresentadas so variveis quantitativas. Mas, como o nmeros de passageiros uma varivel quantitativa discreta e a distncia percorrida uma varivel quantitativa contnua, a construo das tabelas de frequncia feita de maneiras diferentes. Para a varivel discreta nmero de passageiros aparecem valores de 37 a 42 passageiros. Ento, para construir a tabela de frequncia, basta contabilizar os valores. Assim, pode-se montar a tabela ao lado. Como os valores da varivel distncia percorrida so muito diferentes, a tabulao desses dados ser feita na forma de intervalos, em vez de serem representados individualmente. Para isso, deve-se determinar a amplitude total dos dados, o nmero de intervalos (ou classes) e a amplitude das classes. 1o) Amplitude total a diferena entre o maior e menor valor, nesse caso At 5 652 420 5 232. 2o) O nmero de intervalos (classes) a ser utilizado depende do tipo de informaes que se pretende extrair e, em geral, esse nmero maior que trs. Uma maneira de determinar o nmero de classes aplicando o critrio da raiz, que determina o nmero de classes por meio da raiz quadrada do nmero de elemen20 tos. Assim, pelo critrio da raiz, no de classes 5 dXXX 5 4,47. Como o nmero de classes deve ser um nmero inteiro, ser adotado cinco classes. 3o) A amplitude das classes consiste na variao dos intervalos de cada classe e determinada pela razo entre a amplitude total e o nmero de classes. amplitudetotal 232 Ento, amplitudeclasses 5 ___________ 5 ____ 5 46,4 e ser adotado 47. 5 no de classes Assim, possvel construir a tabela de frequncia abaixo.ClassesClasse1 Classe2 Classe3 Classe4 Classe5

Distncia percorrida420 467 467 514 514 561 561 608 608 655 Total s47

FA1 3 3 5 8 20

FR1 ___ 50,05 20 3 ___ 50,15 20 3 ___ 50,15 20 5 ___ 50,25 20 8 ___ 50,40 20 1

FR5% 15% 15% 25% 40% 100%

s47 47 47 47

s

s

s

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Exerccios resolvidos2. Alunos de uma mesma sala participaram de uma pesquisa respondendo quantos irmos cada um tinha. A seguir, tem-se o resultado encontrado.1 1 0 1 2 0 0 2 0 0 1 2 1 2 2 3 3 1 2 1 122 111 133 100 132 176 115 121 128 135 132 167 99 115 123 127 159 108 108 102 141 142 147 144 152 139 146 114 154 136

Construir uma tabela de frequncia para esses dados. Resoluo A varivel quantidade de irmos quantitativa discreta, e o menor valor encontrado 0 e o maior 3. Assim, para construir a tabela de frequncia, basta contar o nmero de vezes que aparecem os diferentes valores para a varivel nmero de irmos.Nmero de irmos0 1 2 3 Total

Construir uma tabela de frequncia para esses dados. Resoluo Como os valores so muito diferentes, pode-se represent-los por meio de intervalos. 1o) Amplitude total A t 5 176 99 5 77. 30 2o) Pelo critrio da raiz, no de classses 5 dXXX 5 5,47; e ser adotado 5. amplitudetotal 77 3o) ____________ 5 ___ 5 15,4. 5 no de classes Ser adotado 16 para a amplitude das classes. Assim, tem-se a seguinte tabela de frequncia.ClassesClasse 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4 Classe 5

FA5 7 6 2 20

FR5 ___ 5 0,25 5 25% 20 7 ___ 5 0,35 5 35% 20 6 ___ 5 0,30 5 30% 20 2 ___ 5 0,1 5 10% 20 1 5 100%

No acidentes99 115 131 s16 16 16

FA7 7 10 4 2 30

FR7 ___ 0,233 30 7 ___ 0,233 30 10 ___ 0,333 30 4 ___ 0,133 30 2 ___ 0,067 30 1

FR23,3% 23,3% 33,3% 13,3% 6,7% 100%

115 131

s

147 163 179

147

s

s

3. A seguir, apresentam-se os nmeros de acidentes com automveis em uma cidade, registrados pela companhia de engenharia de trfego durante um ms.

16

163

Total

s16

Exerccios propostos4. Construa uma tabela de frequncia para cada uma das situaes apresentadas nas tabelas a seguir.Nmero de sinistros registrados por dia em uma seguradora100 125 135

Pontuao de alguns alunos em uma prova com duzentas questes

135 130 175 165 145 135 100 125

170 155 165

165 160 135

140 145 100

175 165 145

135 130 125 165 160

170 155 165 140 145

120 125 130 140

105 165 145 125

165 180 185 145

5. Situao 1: Foi realizado um estudo com os cem alunos de uma escola sobre o nmero de televisores que havia na casa de cada um. Para isso foi efetuado um questionrio ao qual responderam sessenta alunos. Situao 2: Em um banco foi realizado um estudo sobre o saldo de seus correntistas. Para isso foi realizada uma pesquisa aleatria, pelo sistema, de 1 000 correntistas. Nessas condies, determine para cada situao a populao em estudo, a amostra escolhida, a varivel em estudo e sua classificao.

Altura, em metros, de 25 alunos de um colgio

1,5 1,6 1,55 1,65 1,7

1,75 1,8 1,6 1,8 1,6

1,62 1,8 1,75 1,7 1,6

1,65 1,55 1,85 1,89 1,85

1,75 1,7 1,55 1,65 1,6

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Noes de estatstica

2. Representaes grficasSaiba mais

O quadro abaixo mostra o nmero de aprovados na primeira fase em cinco exames de um concurso.As aprovaesexames 122 (dezembro de 2003) 123 (abril de 2004) 124 (setembro de 2004) 125 (janeiro de 2005) 126 (maio de 2006) inscritos 29 733 21 774 19 660 27 724 21 132 22 246 (74,82%) 18 896 (86,79%) 17 974 (91,43%) 21 997 (79,35%) 19 682 (93,14%)0 20 40 60 80 100

Pictograma` Pictogramas so grficosconstrudos a partir de figuras autoexplicativas, normalmente utilizados para representar a intensidade de um determinado fenmeno. Tm como objetivo principal despertar a ateno do pblico, mostrando uma viso geral do fenmeno, e no se atendo a detalhes. Exemplo rea desmatada nos ltimos anos, em uma determinada regio.5 10 mil hectares de floresta desmatadaAno 2004 Ano 2005 Ano 2006 Ano 2007 Ano 2008

aprovados

Nesse quadro, a mesma informao, nmero de aprovados, apresentada de duas formas. A primeira, mostra o nmero de aprovados e a porcentagem em relao ao nmero de inscritos, que pode ser comparada a uma tabela, e a segunda, formada pelas barras, que pode ser associada a um grfico. Verifica-se que, para cada modo de apresentao, utiliza-se uma linguagem. Pela tabela possvel verificar o nmero exato de aprovados. Pelo grfico, as diferenas entre os valores em porcentagem so mais evidentes. Isso se deve ao fato de que os grficos tm um apelo visual mais forte, e assim as comparaes e a identificao das variveis com os maiores ou menores valores so feitas mais rapidamente. Existem diversos tipos de grficos. A seguir sero estudados o grfico de barras, de linhas ou segmentos, de setores e os grficos mltiplos.

Cartograma` Os cartogramas soconstrudos para representar dados estatsticos de regies geogrficas ou polticas em mapas.

Grfico de barrasO grfico de barras, que pode ser horizontal ou vertical, formado por barras de mesma largura cujos comprimentos esto diretamente relacionados s frequncias absolutas ou relativas das variveis. A tabela a seguir, por exemplo, mostra as porcentagens das distribuies dos gastos de dois grupos de famlias, com rendas mensais diferentes.Tipo de despesaHabitao Alimentao Transporte Sade Educao Outros

|| Renda at RS 500,0040% 30% 5% 5% 1% 19%

Renda maior ou igual || a RS 5 000,0020% 10% 15% 10% 10% 35%

Com esses dados possvel construir os seguintes grficos.|| Renda at RS 500,00Escassez de gua Baixa Baixa a mdia Mdia Alta Severa No disponvel

|| Renda maior ou igual a RS 5 000,00Outros Educao Sade Transporte Alimentao Habitao

Distribuio de gastos (%) 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 79.

s o o rte ade ao tro a nta po S Ou uc bit ns e Ed m Ha Tra Ali

0

10

20

30

40

Distribuio de gastos (%)

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Grfico de linhas ou segmentosO grfico de linhas ou segmentos obtido com o traado de segmentos de retas que ligam pontos cujos pares ordenados so conhecidos. Esse tipo de grfico utilizado quando duas grandezas se relacionam, ou quando se deseja enfatizar a evoluo dos valores de um determinado fenmeno. O grfico de segmentos ao lado mostra a taxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da popuTaxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da populao brasileira de 15 anos ou mais de idade lao brasileira de 15 anos ou mais. Os valores (%) para os anos de 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 22 1992, 1993, 1995 e 1997 foram, respectivamen20 te, 20%, 17%, 19,7%; 19%; 19%; 18,3%; 16,3%; 18 15,5% e 14,7%. Assim, para cada ano, marca-se 16 o ponto correspondente taxa de analfabetismo, e o grfico fica construdo quando se ligam os 14 pontos de perodos consecutivos. 12 Observe que, nesse caso, a evoluo dos dados 10 1 7 7 Ano 3 2 5 9 8 0 enfatizada pelo grfico mais importante que os 199 199 199 199 198 199 198 199 198 prprios nmeros. Por exemplo, possvel verifiFonte: IBGE. car que, a partir de 1989, a taxa de analfabetismo Disponvel em: . se manteve ou diminuiu. Acesso em: 17 jun. 2009.

Grfico de setoresPara construir o grfico de setores, considera-se um crculo (cujo ngulo central mede 360) como o total de uma varivel (100%), subdividido em setores circulares cujos ngulos centrais so proporcionais s porcentagens dos itens dessa varivel. Esse tipo de grfico utilizado quando se deseja comparar os itens de uma mesma varivel, ou a variao dos itens de uma mesma varivel em diferentes pesquisas. Com os grficos de setores a seguir, comparam-se as matrizes energticas de dois pases, A e B. Nesses grficos esto representadas as porcentagens de cada um dos tipos de fonte de energia utilizados.Pas A5% 15% 10% 50% hidreltrica nuclear termoeltrica elica outros 15%

Saiba mais

Grfico de setores em um semicrculo` Alguns grficos de setoresso representados em um semicrculo, seja por limitao de espao ou pura esttica. Nesse caso, o total da varivel, 100%, corresponde ao ngulo central de 180. Exemplo Animais domsticos em residncias de um estado brasileiro.Cachorros 26%

Pas B2% 18%

25%

20%

40%

Gatos 25% Passarinhos 18% Outros 13% Peixes 9% Roedores 9%

Nesse caso, a varivel fonte de energia foi dividida em cinco itens hidreltrica, nuclear, termoeltrica, elica e outros. Assim, o grfico de cada pas compara, em termos percentuais, cada item da varivel. possvel, de forma visual, concluir que a base da produo de energia no pas A se concentra nas hidreltricas. J, no pas B, a principal fonte de energia a nuclear. Mas, supondo que a energia produzida nos dois pases seja igual, tambm possvel comparar um mesmo item nos dois pases. Verifica-se, por exemplo, que o uso da energia hidreltrica no pas A maior que no pas B, o uso da energia nuclear em B maior que no pas A, o uso da energia elica no pas A maior que no pas B e o uso da energia termoeltrica igual nos dois pases.

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Noes de estatstica

Grficos mltiplosOs grficos mltiplos ou grficos de mltiplas entradas so utilizados para representar duas ou mais variveis em um mesmo grfico para que a inC mm ter-relao entre elas seja evidenciada. 26 300 Os climogramas so exemplos de grficos de mltiplas entradas, pois apre25 275 24 250 sentam informaes sobre os volumes mdios de chuva nos meses do ano e a 23 225 variao da temperatura ao longo do ano de um determinado local. O volu22 200 21 175 me mdio de chuva representado por um grfico de barras com escala em 20 150 19 125 milmetro e a variao da temperatura representada por um grfico de linha 18 100 com escala em C. 17 75 16 50 No climograma possvel estabelecer uma relao entre o volume de chu15 25 14 0 va e a variao da temperatura. No exemplo ao lado, verifica-se que, em um J F MA M J J A S O N D clima tropical continental, os meses mais frios tambm so os meses mais secos, pois ocorrem menores precipitaes. J o grfico de segmentos mltiplos ao Percentual de lentido do trnsito lado refere-se aos registros dos percentuais (%) 25 de lentido no trnsito da cidade de So Paulo, realizados pela CET (Companhia 20 de Engenharia de Trfego). Para construir 22,7 o grfico do dia, representado em azul, 15 a CET atualiza as informaes a cada meia 12,2 11,0 hora inserindo um ponto no grfico e tra10,9 9,0 10 8,7 ando um segmento de reta entre o novo 8,0 7,1 7,2 registro e o registro anterior. 8,0 7,3 6,9 6,4 5 Neste caso, pode-se verificar que h hor5,6 2,6 rios de pico de trnsito e horrios com me0 nos trnsito. Assim, esse tipo de informao 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 Horrio facilita, por exemplo, a programao de pesMdia superior Mdia inferior Maior ndice Dia 17 abr. 2009 soas que dependem do carro para trabalhar.Clima tropical continental

Exerccios resolvidos6. Em um estdio de futebol h 50 000 torcedores dos times A e B. Sabendo que 20 000 torcem pelo time A, construir um grfico de setores comparando as quantidades de torcedores dos dois times. Resoluo Se 20 000 pessoas torcem pelo time A, ento 30 000 pessoas torcem pelo time B e possvel construir a tabela abaixo.Nmero de torcedoresTime A Time B Total 20 000 30 000 50 000

7.

Considerando o seguinte climograma, responder s perguntas abaixo.C 30 20 10 0 10 20 J F M A M J J A S O N D mm 150 125 100 75 50 25

FR20 000 2 _______ 5 __ 5 40% 50 000 5 30 000 3 _______ 5 __ 5 60% 50 000 5 1 5 100%time A 144 216 time B

a) Os dados desse climograma referem-se a um local no hemisfrio Norte ou Sul? b) Qual o ms de maior precipitao? c) Nessa regio, o vero seco ou mido? Resoluo a) Como as menores temperaturas ocorrem nos meses de junho e julho, conclui-se que esse climograma se refere a um local no hemisfrio Sul, cujo inverno ocorre nesses meses. b) Observando o grfico de barras, tem-se que o ms com maior precipitao junho. c) Como nos meses mais quentes h os menores ndices pluviomtricos, ento o vero seco.

Para dividir um crculo em partes correspondentes a 40% e 60%, 40% deve-se determinar o ngulo central de cada uma das partes. 60% Time A 40% de 360 5 144 Time B 60% de 360 5 216 Ento, tem-se o grfico de setores ao lado.

174

Exerccios propostos8. Em um shopping center foi realizada uma pesquisa para determinar a quantidade de carros que os frequentadores desse shopping tinham. A figura a seguir representa o resultado dessa pesquisa.1 0 1 1 1 2 0 0 2 2 0 1 0 2 0 1 2 2 3 1 3 2 1 1 3 165 156 167 170 164 165 165 166 168 162 164 166 161 171 158 154 159 160 167 165

Com base nesses dados, pede-se o seguinte. a) Construa uma tabela de frequncias. b) Construa um grfico de barras. 11. As alturas, em centmetros, dos alunos do 8o ano de uma escola esto apresentadas a seguir.

Com base nesses dados, faa o que se pede em cada item a seguir. a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um grfico de barras. d) Construa um grfico de setores. 9. Um pequeno mercado verificou quanto cada cliente gastou em um final de semana, obtendo as informaes a seguir.Classes1

De acordo com os dados fornecidos acima, faa o que pedido. a) Classifique esta varivel. b) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa) e um grfico de barras. 12. Leia o grfico a seguir.Infartos: maioria dos casos entre 6 h e 12 hUm estudo realizado pela USP com 173 mil internaes entre 1987 e 1996 verificou em que hora mais acontecem os infartos.

Valor das compras0 100 200 300 400 500 100 s 200 300 s

Nmero de clientes 60 75 80 4256 45

2 3 4 5 6

De acordo com os dados da tabela, faa o que se pede. a) Classifique esta varivel. b) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um grfico de barras. 10. O grfico de setores abaixo representa a distribuio percentual do ndice de qualidade das guas na regio hidrogrfica do So Francisco.tima pssima 1% 1% Fonte: Revista Superinteressante, n. 263, So Paulo, Abril, mar. 2009. ruim 7% aceitvel 13% boa 78%

Fonte: Caderno Recursos Hdricos ANA 2005.

s

400 500 600

s s s

A figura acima tem a aparncia de um grfico de setores, mas no . Esse fato pode ser verificado pela desproporo entre as porcentagens. De acordo com os dados do enunciado e da figura, faa o que se pede em cada item a seguir. a) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). b) Construa um grfico de barras. c) Construa um grfico de setores indicando a medida dos ngulos centrais.

175

7

Noes de estatstica

3. HistogramaO histograma um grfico de barras verticais, em que o eixo das abscissas representa a varivel analisada e o eixo das ordenadas indica a frequncia (absoluta ou relativa) dessa varivel. A construo do histograma muito importante em uma anlise estatstica. Com ele possvel responder a muitas perguntas, como as seguintes. Como a distribuio dos dados? H picos definidos ou as frequncias so muito prximas? H mais de um pico? As frequncias so maiores no centro da distribuio ou nas laterais? possvel determinar um ponto central? Ele divide os dados em partes iguais (histograma simtrico)? A variao entre os dados muito grande? A seguir sero construdos histogramas para variveis discretas e contnuas.Histograma de uma varivel discretaNo histograma de uma varivel discreta as barras so de mesma espessura, equidistantes entre si, em que a altura da barra indica a frequncia (absoluta ou relativa) da varivel. Exemplo Um agente de trnsito anotou em sua agenda o nmero de acidentes que ocorriam em uma determinada via, durante 45 dias, e montou a seguinte tabela. Nmero de acidentes por dia 0 1 2 3 4 Total Nmero de dias 16 12 6 2 9 45 FR 35,56% 26,67% 13,33% 4,44% 20% 100%

Histograma de uma varivel contnuaNo histograma de uma varivel contnua as barras so de mesma espessura, uma ao lado da outra, em que a altura indica a frequncia (absoluta ou relativa) da varivel. A largura de cada barra corresponde ao tamanho do intervalo de cada classe. Exemplo Um mercado registrou o valor que cada cliente gastou em um determinado dia e montou a tabela abaixo. Classes Valor das compras Nmero de clientes 1 2 3 4 5 6 0 100 100 50 42 28 42 20 60 242 s FR 20,66% 17,36% 11,57% 17,36% 8,26% 24,79% 100%

200

200 300

s

300

s

400 500

400 500

Total

De acordo com os dados fornecidos, pode-se afirmar que a varivel analisada o nmero de acidentes por dia. possvel verificar que nesses 45 dias ocorreram, no mximo, quatro acidentes por dia. Assim, para construir esse histograma, coloca-se no eixo das abscissas a varivel nmero de acidentes por dia, e no eixo das ordenadas, a frequncia absoluta, no primeiro caso, e a frequncia relativa, no segundo caso, como foi feito abaixo.FA 16 12 9 6 2 0 1 2 3 4 no de acidentes por dia FR (%) 35,56 26,67 20 13,33 4,44 0 1 2 3 4 n de acidentes por dia

De acordo com os dados do exemplo, pode-se afirmar que a varivel o valor das compras. Alm disso, sabe-se que h seis classes, cuja amplitude igual a 100. Portanto, neste caso, a largura das barras deve ser correspondente a 100. Assim, para construir esse histograma, coloca-se no eixo das abscissas a varivel valor das compras, e, no eixo das ordenadas, a frequncia absoluta, no primeiro caso, e a frequncia relativa, no segundo caso, como mostrado a seguir.FA 60 50 42 28 20

s

s

600

s

Polgono de frequncia

FR (%) 24,79 20,66 17,36 11,57 8,26

0

100 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500 600

|| valor das compras (RS)

|| valor das compras (RS)

Observaes O zero da varivel no precisa, necessariamente, coincidir com a interseco dos eixos. O polgono obtido a partir do traado de segmentos de reta ligando-se os pontos mdios das bases superiores das barras do histograma chamado de polgono de frequncia ou polgono do histograma. Note que nas extremidades so considerados intervalos fictcios de frequncia zero.

176

Exerccios propostos13. Um professor de Educao Fsica verificou a altura dos alunos de uma sala de aula para montar um time de voleibol. Os resultados so apresentados na tabela a seguir.Classes1

16. A tabela a seguir mostra os dados obtidos em uma pesquisa realizada ao longo de um dia em um shopping em que se analisou o consumo de refrigerantes de seus frequentadores.Quantidade de latas de refrigerantes consumidas em um dia 0 1 2 3 4 FA 15 10 15 8 2

Altura (m)1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,6 1,7 1,9 2,0 s s

Frequncia absoluta 4 9 6 51

2 3 4 5

1,8

Com base nesses dados, faa o que pedido em cada item a seguir. a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela completa de frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um histograma para essa varivel. 14. Uma imobiliria recebe mensalmente o aluguel de algumas casas, conforme mostra a tabela a seguir.Classes1

Aluguel (RS ||)0 200 400 800 600 200 400 600 800 1 200 s s

s s s

Com base nesses dados, construa um grfico de setores e um histograma para essa varivel. 17. Em uma eleio de condomnio, trs pessoas, A, B e C, candidataram-se para eleger-se o prximo sndico. No final da eleio, verificou-se que 82 condminos votaram no candidato A, 64 no candidato B e 54 no candidato C. a) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). b) Construa um histograma para essa varivel. c) Construa um grfico de setores para essa varivel. 18. Uma multinacional dispe de um investimento de || RS 100 000 000,00 na bolsa de valores. O grfico de setores a seguir mostra de que maneira esse investimento est distribudo.indstria farmacutica 15% petroqumica 10% alimentos 5% carros e peas 40%

Nmero de casas 10 30 28 32 128

2 3 4 5 6

1 000

Com base nesses dados, construa um histograma para essa varivel e responda s seguintes perguntas, justificando suas respostas. a) Qual a faixa de aluguel mais frequente? b) Como a distribuio dos dados? H picos definidos ou as frequncias so muito prximas? 15. As idades dos frequentadores de um evento beneficente foram pesquisadas e organizadas conforme tabela abaixo.Idade das pessoas em um determinado evento 60 61 62 63 64 FA 10 21 15 9 5

Com base nesses dados, faa o que se pede em cada item a seguir. a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela completa de frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um histograma para essa varivel.

s s s

1 000

s

agropecuria 30%

De acordo com os dados do grfico e do enunciado, faa o que se pede em cada item a seguir. a) Construa uma tabela de frequncia (absoluta e relativa) para essa varivel. b) Construa um histograma para essa varivel. c) Qual o valor investido em carros e peas? d) No grfico de setores, qual a medida do ngulo central correspondente parte de alimentos? || e) Qual a diferena, em RS, entre o investimento em alimentos e em agropecuria?

177

7

Noes de estatstica

Exerccios complementaresPesquisa estatstica e representaes grficas19. O grfico de segmentos a seguir mostra o percentual de pessoas endividadas no carto de crdito, desde abril de 2008 a abril de 2009.Cresce percentual de pessoas endividadas no carto de crditoConsumidores com dvida no carto de crdito (%) 60

Com base nos dados, responda s seguintes perguntas. a) Em 2030, qual seria a diferena aproximada do consumo de petrleo se nenhuma medida fosse adotada e se aumentasse a eficincia do usurio final? b) Em 2020, qual seria a diferena aproximada das importaes de petrleo se nenhuma medida fosse adotada e se o petrleo fosse substitudo por biocombustveis? 21. As figuras mostram o total de emisses de gs carbnico nos anos de 1980 e 2005, do Canad, EUA, Brasil, Europa, Rssia e China.EmISSo dE Co2 PoR ANo Em bIlHo dE toNElAdAS

55 52 53

47 45 45 45 45

46 43

46

40 abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar. abr. 2009 2008 Fonte: Fecomrcio SP Fonte: Folha de S.Paulo, 15 abr. 2009. p. B2.

Canad 452,17 EUA 4 747,6

Europa 2 500

Unio Sovitica 3 027,53 China 1 454,65

Com base no grfico e em seus conhecimentos, responda s seguintes perguntas. a) Qual foi o perodo mais estvel? b) Quando se atingiu o ndice mais baixo? E o ndice mais alto? 20. Considere o seguinte grfico a respeito do consumo e das importaes de petrleo pelos EUA e o texto abaixo.EUA sem petrleoProduto equivalente ao petrleo (milhes de barris por dia) 35 30 25 20 15 10 5 Uso Importaes 60 70 80 90 2000 2010 2020 2030 ano Projees do governo Eficincia do usurio final Com substituio de suprimentos Com hidrgenio opcional de fontes renovveis

1980

Brasil 185,22

Canad 631,26 EUA 5 956,98

Europa 3 500

Rssia 1 696 China 5 322,69

2005

Brasil 360,57

0 km

5 540

Fonte: O Estado de S. Paulo. Disponvel em: . Acesso em: 20 abr. 2009.

0 1950

Consumo e importaes de petrleo nos EUA podem ser reduzidos ao se dobrar a eficincia dos veculos, prdios e indstria (linhas amarelas no grfico). Os EUA podem fazer mais redues ao trocar petrleo por alternativas competitivas como biocombustveis modernos e gs natural economizado (linhas verdes), alm de hidrognio combustvel (linhas azuis).Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 75.

a) Construa um grfico de barras para comparar o total emitido pelo Brasil em 1980 e em 2005 e calcule o aumento percentual nesse perodo. b) Monte uma tabela de frequncias e um grfico de setores comparando o total emitido pelo Canad, EUA, Brasil, Europa, Rssia e China, em 2005, considerando que o total de emisses naquele ano tenha sido de 20 bilhes de toneladas. c) Quais dos pases mostrados no mapa tiveram um aumento no total de emisses no perodo considerado? E quais tiveram uma diminuio?

178

22. Defina o tipo de grfico mais apropriado para cada uma das seguintes situaes. Justifique. a) Para analisar tendncias. b) Para comparao de valores. 23. A figura abaixo representa de que maneira as castas estavam divididas na ndia, em 2001.

25. Em uma loja, so vendidos trs modelos de televisores, A, B e C. A figura abaixo representa as propores de vendas de cada modelo.modelo A modelo C

126 144 modelo B

Nessas condies, construa uma tabela de frequncias e um histograma para essa varivel. 26. Em 19 de maro de 2009, a Folha de S.Paulo publicou um grfico com as mdias do Idesp nos anos de 2007 (barras vermelhas), 2008 (barras vinho) e a meta a ser alcanada em 2030 (barras pretas), mostrado abaixo.Fonte: Revista Superinteressante n. 263, So Paulo, Abril, mar. 2009. 7,00 6,00 5,00 3,25 3,23 2,60 2,54

Considerando que a populao da ndia era de 1,029 bilho de habitantes, em 2001, faa o que se pede em cada item a seguir. a) Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). b) Construa um grfico de barras. c) Construa um grfico de setores, indicando a medida dos ngulos centrais.

1,95 1,41

Histograma24. O histograma abaixo indica as atividades desenvolvidas por um aluno em um dia inteiro e a proporo do tempo utilizada em cada atividade.FR (%) 35

1a a 4a srie

5a a 8a srie

Ensino Mdio

Fonte: Folha de S.Paulo, 19 mar. 2009.

O Idesp o ndice de Desenvolvimento da Educao do Estado de So Paulo, que indica o desempenho das escolas e estabelece metas. Analisando os dados apresentados, o que possvel afirmar sobre a melhora ou piora no Ensino Mdio e no Ensino Fundamental?

25 20

desafio de lgica 27. A primeira linha de um tabuleiro dividido em 25 partes foi preenchida da seguinte forma. De que maneira os outros quadrados podem ser preenchidos, a fim de que na mesma linha, na mesma coluna e na mesma diagonal, o mesmo smbolo no aparea duas vezes?

7 3

10

0

dormir estudar brincar alimentar higiene praticar pessoal esporte atividades

De acordo com os dados do histograma, construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa) e um grfico de setores para essa varivel.

179

7

Noes de estatstica

Integre o aprendizado28. Validao. Em um colgio h 1 000 alunos, e 560 so meninas. Durante uma das aulas de Matemtica da 3a srie, um grupo de alunos ficou responsvel por realizar uma pesquisa estatstica sobre o nmero de primos que cada aluno desse colgio tem na famlia. Para tanto, o grupo decidiu colher as respostas em uma amostra de 150 alunos. a) Quantas meninas deve haver nessa amostra para que a proporo em relao populao total se mantenha? b) Construa um histograma de frequncia relativa para a quantidade de meninos e meninas desse colgio. 29. O problema da falta de gua j alarmante em algumas partes do mundo. A figura abaixo mostra o nvel de escassez da gua pelo mundo e quais grupos de pessoas sofrem mais com essa escassez. 30. A prtica de esportes benfica sade das pessoas em qualquer idade. Observe o grfico a seguir, que representa o tempo dirio, em mdia, que os jovens de uma cidade dedicam aos esportes de suas preferncias.no de jovens

300 250 225 200 190 150 115 100 50 0

20

40

60

80

100

120

minutos

Escassez de gua Baixa Baixa a mdia Mdia Alta Severa No disponvel

a) Quantos jovens dedicam, em mdia, mais de uma hora diria em prticas espotivas? b) Represente esses dados em um histograma de frequncia absoluta e represente o polgono de frequncia. 31. De acordo com a figura abaixo, que corresponde a um climograma, responda s seguintes questes.50 40 30 20 10 0 10 20 C J F M A M J J A S O N D 400 350 300 250 200 150 100 50 mm

QUEM SO OS FAMINTOS?Camponeses sem-terra Pastores, pescadores e povos das florestas Pobres urbanos

20%Pequenos proprietrios rurais

50%

10% 20%

A ESCASSEZ DE GUA prejudica mais os pequenos agricultores, muitos dos quais tm de arrancar seus sustento de reas semiridas distantes de poos ou represas. Cerca de metade dos famintos do mundo composta de proprietrios rurais humildes que cultivam acanhados lotes de terra; outros 20% so trabalhadores rurais sem-terra. Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 79.

De acordo com os dados fornecidos pelo enunciado, faa o que se pede. a) Construa uma tabela de frequncias e um grfico de barras para representar os grupos dos que sofrem com a escassez de gua. b) Se o Brasil detentor de grandes reservas hdricas, por que ele classificado como nvel mdio de escassez e no como baixo?180

a) Qual o ms mais chuvoso? b) Este climograma se refere a uma regio de qual hemisfrio, Norte ou Sul? c) Na cidade de So Paulo, o inverno frio (com mnimas de 7 C) e seco e o vero quente (mximas prximas a 40 C) e mido. possvel afirmar que este climograma reflete o clima da cidade de So Paulo? Por qu?

32. As pirmides etrias so grficos de barras horizontais que mostram a composio de uma populao, dividida por faixas de idade e sexo. Abaixo, tm-se as pirmides etrias do Brasil e do Japo, em 2005.Pirmide de idades, Brasil, 2005Grupo de idade 100 95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4

d) As barras que representam a quantidade de homens e mulheres so dispostas em sentidos opostos. Esse tipo de construo permite verificar o grau de simetria que a pirmide tem. Analisando as duas pirmides, o que se pode concluir sobre seus graus de simetria? Expresso e linguagem matemtica1. Leia

Observe estas sequncias. sequncia A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 sequncia B: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...2. Resolva Determine quantos termos compem a sequn-

10

0 0 0 0 0 00 8 00 6 00 4 00 2 00

0

20

00 000 000 000 000 6 4 8 10 Efetivo (em milhares)

Pirmide de idades, Japo, 2005Grupo de idade 100 95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4

cia A. Ela pode ser classificada como finita ou infinita? Justifique. Com relao sequncia B, quantos termos a compem? Como ela pode ser classificada? Justifique. Agora, considere o problema a seguir: Demonstre que 1 1 3 1 5 1 7 1 ... 1 13 5 n2. O que se pretende demonstrar? Assinale a alternativa que responda a essa pergunta. a) 1 1 3 1 5 1 7 1 13 5 52, j que so cinco parcelas. b) 1 1 3 1 5 1 7 5 n2 13, em que n um nmero real qualquer. c) 1 5 12, pois h apenas o primeiro termo da sequncia, 1 1 3 5 22, pois so considerados os dois primeiros termos da sequncia, e assim por diante, at ter verificado para todas as somas o valor de n2. O que significa o valor de n? possvel verificar essa igualdade para todos os casos? Considerando essa resposta, elabore uma estratgia e demonstre o que foi pedido.3. Reflita A demonstrao acima prova que a soma dos n pri-

60

00

40

00

00 20

0

60 2 40 Efetivo (em milhares)

0 00

00

00

Fonte: Revista Cincia Hoje. Disponvel em: . Acesso em: 20 abr. 2009.

Com base nessas informaes, responda s seguintes questes. a) No Japo, qual a faixa etria que concentra o maior nmero de pessoas? E no Brasil? b) Comparando os grficos, o que se pode afirmar com relao s taxas de natalidade nesses dois pases? c) Estatisticamente, alguns estudos indicam que as mulheres vivem mais do que os homens. H outro fator que possa explicar a diferena entre o nmero de homens e mulheres acima dos 80 anos no Japo? No caso de resposta afirmativa, qual esse fator?

meiros termos da sequncia A, apresentada no incio desta atividade, igual a n2, considerando-se que 1 < n < 7. A mesma demonstrao poderia ser utilizada para demonstrar que a soma dos n primeiros termos da sequncia B igual a n2? Justifique. O tipo de demonstrao utilizado na resoluo deste problema geralmente chamado de demonstrao por exausto. Elabore um pequeno texto para caracterizar esse processo. Agora, resolva o seguinte problema. Demonstre que no possvel traar todas as seis retas a seguir sem tirar o lpis do papel ou sem retraar nenhuma reta.

181

Estratgias e solues Apertos de moO dono de um hotel fez uma festa para comemorar seu aniversrio. Foram convidados para essa festa vrios amigos e familiares. Entre as pessoas convidadas, podiam ser identificados casais e pessoas solteiras. Todos os convidados cumprimentaram um ao outro com um aperto de mo, com exceo dos casais, claro. Um adolescente, que estava na festa acompanhando seus pais, ficou um pouco entediado, pois no havia muitas pessoas da sua idade na festa. Ento, para distrair-se, entreteve-se contando a quantidade de apertos de mo dados durante os cumprimentos. Ao final, ficou bastante espantado: contabilizou 1 111 apertos de mo! Quantos casais e quantos solteiros estavam na festa?

Identificao e registro de informaes1. Quais so os dados que o problema fornece? 2. O que o problema pede? 3. O problema seria mais fcil se s houvesse solteiros na festa? Explique.

Elaborao de hipteses e estratgias de resoluo1. Considerando suas respostas anteriores, vamos examinar um problema mais simples. Desconsidere a questo da existncia de casais e responda s seguintes questes. a) Quantos apertos de mo sero dados se houver dez convidados em uma festa em que todos se cumprimentam? b) E se o nmero de convidados for 15? c) Se houver n convidados, quantos sero os apertos de mo? d) Quantos convidados seriam necessrios para que a quantidade de apertos de mo fosse 990? 2. Se no nosso problema todos os convidados fossem solteiros, haveria mais ou menos apertos de mo que 1 111? Justifique. 3. Suponha que todos os convidados sejam solteiros. Quantos convidados seriam necessrios, nesse caso, para que o nmero de cumprimentos fosse maior ou igual a 1 111? Justifique. 4. Agora, responda questo proposta: Quantos casais e quantos solteiros estavam na festa do dono do hotel?

Reflexo1. Verifique se o resultado que voc obteve est de acordo com as informaes contidas no enunciado do problema. 2. Existem outras solues? Justifique sua resposta. 3. Voc capaz de imaginar outra estratgia para a resoluo deste problema? Descreva essa estratgia. 4. Voc j conhecia problemas parecidos com este que acabamos de resolver? Descreva-os. 5. Para resolver o problema, propusemos um problema semelhante que nos auxiliasse. Alterando alguns dados, elabore outro problema parecido e, depois de resolv-lo, proponha-o a algum colega. Resolva os problemas 4 e 8 das pginas 268 e 269.182

Roteiro de estudosPesquisa estatstica e representaes grficas Populao: conjunto de todas as coisas, pessoas e obje-

tos, chamados de indivduos da populao, que interessam para um determinado estudo. Amostra: qualquer subconjunto (no vazio) de uma populao. Varivel: cada caracterstica de interesse do pesquisador sobre determinada populao, ou seja, cada objeto de estudo. Varivel qualitativa: aquela que revela um atributo, ou seja, uma qualidade dos indivduos da amostra como, por exemplo, meses do ano, classes sociais, cor do cabelo, etc. Varivel quantitativa: aquela expressa por meio de valores numricos como a quantidade de amigos, o nmero de carros em um estacionamento, a altura, etc. Frequncia absoluta: a quantidade que cada varivel acumula ou o nmero de vezes que a varivel citada ao final de uma determinada pesquisa. Frequncia relativa: a razo entre a frequncia absoluta de uma varivel e o total de citaes. Grfico de barras: formado por barras de mesma largura, que podem ser horizontais ou verticais, cujos comprimentos esto diretamente relacionados com as frequncias absolutas ou relativas das variveis. Grfico de segmentos: obtido com o traado de segmentos de retas que ligam pontos cujos pares ordenados so conhecidos. Grfico de setores: formado por um crculo que representa o total de uma varivel, cujos setores circulares indicam, proporcionalmente, as porcentagens dos itens dessa varivel. Grfico mltiplo: a representao de duas ou mais variveis em um mesmo grfico. Retome os contedos com os exerccios propostos 4, 5, 8, 9, 10, 11 e 12 e com os exerccios complementares 19, 21 e 22. Resolva os exerccios 3, 6 e 12 de Vestibular e Enem.

Desafio 1 ` (Unesp-SP) O grfico representa o consumo mensal de gua em uma determinada residncia no perodo de um ano. As tarifas de gua para essa residncia so dadas a seguir: Consumo em metros cbicosm 40 30 20 10 0 183

37 38

34 33 32

32 30 28 26 30 29

de

6 07 07 07 07 07 07 07 07 07 07 07 z. 0 jan. fev. ar. abr. aio jun. jul. go. set. out. ov. n a m m meses

Faixa f(m3) 0 < f < 10 10 , f < 20 20 , f < 30 30 , f < 40

|| Tarifa (RS)

0,50 1,00 1,50 2,00

Assim, por exemplo, o gasto no ms de maro, que corresponde ao consumo de 34 m3, em reais, : 10 ? 0,50 1 10 ? 1,00 1 10 ? 1,50 1 4 ? 2,00 5 38,00 Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. Note que nos meses de janeiro e fevereiro, juntos, foram consumidos 56 m3 de gua e, para pagar essas duas contas, foram gastos x reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos y reais. Determine a diferena x y.

Histograma um grfico de barras verticais, em que o eixo das abs-

cissas representa a varivel analisada e o eixo das ordenadas indica a frequncia (absoluta ou relativa) dessa varivel.

Desafio 2 ` Durante a fabricao de um parafuso ocorreu uma desregulagem da mquina, que no foi detectada na hora, produzindo assim uma grande variao no nmero de peas produzidas para cada possvel dimetro. No final da fabricao, todos os dimetros dos parafusos foram medidos, e os dados foram registrados na forma de um histograma. Qual deve ser o histograma (A ou B) que indicar a desregulagem da mquina? A100 80 60 40 80 70 60 50 40 30 20 10 0

B

Retome os contedos com os exerccios propostos 13, 14 e 18 e com os exerccios complementares 24, 25 e 26.

20 0

183