Reproducao SP Matematica 3 Unidade 3 Capitulo 7 (1)

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Capítulo

7Neste capítulo

Noções de estatística

1. Pesquisaestatística

2.Representaçõesgráficas

3.Histograma

Aoavaliarosmaioresproblemasmundiais,aONU(OrganizaçãodaNaçõesUnidas)estabeleceu,em2000,osoitoobjetivosdomilênio,quenoBrasilsãochamadosde“oitojeitosdemudaromundo”,comointuitodemelhoraracondiçãodevidadaspessoasedoplaneta.

NoBrasil,porexemplo,háalimentossuficientesparaalimentartodaapopulação.Apesardisso,29%daspessoasestãoabaixodalinhadapobrezaeapresentamdeficiênciaalimentar.Alémdisso,apesardeoBrasilteraproximadamente12%detodaaáguadocedoplaneta,22milhõesdepessoasnãotêmacessoàáguadeboaqualidade.

1.Supondoqueosdadosacimasejamreferentesaoanode2000equehouvesse170milhõesdebrasileirosnessaépoca,quantosdelesestavamabaixodalinhadapobrezaeapresentavamdeficiênciaalimentar?Qualéaporcentagemdebrasileirosquenãotinhamacessoàáguadeboaqualidade?

2.ConversecomseuscolegassobrequeoutrosdadosdevemtersidoconsideradosnaelaboraçãodessesobjetivospelaONUeoquepodeserfeitoparaajudarnaconcretizaçãodessesideais.

Comece pelo que já sabe

LogotipocriadopelaONUparaacampanha8jeitosdemudaromundo.

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Saiba mais

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No Brasil, carência de dados não permite prospecção

“Nãoédehojeque `osespecialistas—emparticular,criminologistas—corrematrásdadescobertadascausasdocrimeedaviolência,combasenaobservaçãodastendênciasdeevoluçãotemporaleespacialdastaxasdecriminalidade.NosEstadosUnidos[...]élongaaacumulaçãodeinformações,análises,estudosepesquisasdegrandeporteelongaduração[...].NoBrasil,hápelomenosduasdécadasvêmseacumulandoestudosrigorosos[...].Noentanto,osestudosaindapadecemdeproblemasalheiosàvontade,experiênciaecompetênciacientíficadepesquisadores.[...]Salvoemalgunsestadosbrasileiros,nãohá,paraopaísemseuconjunto,umsistemanacionalquepermitaavaliaçõessegurasdastendênciasdeevoluçãodoscrimesedaviolência.[...]Aausênciadeumsistemaconfiávelimpedecomparaçõesnacionais.Porsuavez,aimpossibilidadedecompararimpedequesepossaconhecerasparticularidadesdacriminalidadenoBrasil,maispropriamentesuastendênciasdominantes,acurto,médioelongoprazos.Nacadeiadeconsequências,essaimpossibilidaderesultanaformulaçãodepolíticasdesegurançainconsequentes,debaixaeficiênciainstitucionalequenãorespondemàsdemandascrescentespormaiorsegurançapública.”

Adorno, Sérgio. Revista Scientific American, ano 2, n. 23, abr. 2004.

Populaçãoéoconjuntodetodasascoisas,pessoaseobjetos,chamadosdeindivíduosdapopulação,queinteressamparaumdeterminadoestudo.

Amostraéqualquersubconjunto(nãovazio)deumapopulação.

Definição

1. Pesquisa estatísticaNão é de hoje que a coleta e a análise de informações ajudam nas toma-

das de decisões. Na Antiguidade, a contagem da população ajudava a esti-mar os impostos e também o poderio militar dos povos. Durante a Idade Mé-dia, os registros de batizados, casamento e óbitos ajudavam na quantificação dessas informações.

Hoje, as coletas de dados ajudam no desenvolvimento de muitas ativida-des. A indústria alimentícia, por exemplo, costuma contratar empresas espe-cializadas para verificar o grau de aceitação de determinado alimento. Para isso, são feitas perguntas para os pesquisados a respeito de tamanho, forma-to, cor, sabor e textura do alimento. Dependendo do resultado da pesquisa, a indústria analisa se deve ou não modificar o seu produto a fim de obter uma clientela maior.

Pode-se descrever a pesquisa estatística como um conjunto de metodo-logias científicas aplicadas na coleta dos dados (que serão organizados e re-sumidos), na análise e interpretação e na apresentação da conclusão. Essas atividades estão sempre associadas a um planejamento, que visa quantificar e/ou qualificar fenômenos coletivos para futuras tomadas de decisões.

População e amostra Em épocas próximas às eleições, por exemplo, pode-se inquirir os eleito-

res de uma sala de aula, perguntando-lhes um a um sua intenção de voto. Mas não é possível consultar todos os eleitores de um estado brasileiro, pois a quantidade de pessoas a ser consultadas é muito grande. Por isso, os insti-tutos de pesquisas consultam apenas uma parcela dos eleitores que forneçam informações representativas do coletivo, ou seja, que forneçam informações que possam representar a vontade de todos os eleitores. O conjunto de todos os eleitores representa a população de interesse, e a parcela da população pesquisada é a amostra dessa população.

Escolher uma amostra adequadamente, ou seja, que represente de maneira apropriada a população, é fundamental para que as inferências não forneçam informações errôneas sobre a população. A escolha da amostra, porém, nem sempre é fácil. Por exemplo, deseja-se saber sobre a quantidade de pessoas que gostam de passear no parque. Assim, não se deve ir a um parque da ci-dade e perguntar às pessoas que lá estão se elas gostam de ir a parques, pois dado que estão em um parque, provavelmente a resposta dada será “sim”.

Para ajudar nessa escolha, existem algumas técnicas de amostragem, como as relacionadas abaixo.

Amostragem aleatória simples – Consiste em escolher uma amostra da po-��

pulação, considerando que qualquer indivíduo tem a mesma probabilidade de ser selecionado.Amostragem sistemática – É utilizada em populações que têm os elemen-��

tos ordenados. Nessa técnica, a seleção dos indivíduos da amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador.Amostragem estratificada – É utilizada quando a população está dividida ��

(ou pode ser dividida) em subconjuntos ou estratos. Assim, seleciona-se o número de elementos da amostra proporcionalmente ao número de ele-mentos de cada um dos estratos.

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Noçõesdeestatística7

Qualitativa Quantitativa

Sãovariáveisquerevelamumatributo,ouseja,umaqualidadedosindivíduosdaamostra.

Sãovariáveisexpressaspormeiodevaloresnuméricos.

Ordinal Nominal Discreta Contínua

Seoselementosdeumavariávelapresentamumaordemouhierarquia,entãoelaéclassificadacomoqualitativaordinal.

Senãoháumaordemouhierarquiaentreoselementosdeumavariável,entãoelaéclassificadacomoqualitativanominal.

Avariávelquantitativadiscretaérepresentadaporvaloresinteiros,quepodemsercontados,sempossíveisintermediários.

Avariávelquantitativacontínuapodeassumirqualquervalorreal.Porisso,namaioriadoscasos,dependedeuminstrumentodemedição.

Exemplos:mesesdoano;coresdasfaixasnojudô;classessociais.

Exemplos:cordocabelo;localdenascimento;estadocivil.

Exemplos:númerodecarrosemumestacionamento;quantidadedeamigos.

Exemplos:comprimentos;ângulos;períodosdetempo.

Variável quantitativa e qualitativa Dada uma população, as características de seus elementos são chamadas

de variáveis. Por exemplo, em uma população de pessoas, as variáveis po-dem ser, de acordo com o objeto de estudo, a altura, a idade, etc. As variá-veis podem ser divididas em categorias de acordo com as suas características, como mostra a tabela abaixo.

Considere que uma indústria eletrônica pretende lançar um novo notebook no mercado. Para isso, ela elabora uma pesquisa a ser aplicada entre os possí-veis consumidores daquele produ-to, chamados de consumidores em potencial. Nessa pesquisa, os en-trevistados devem assinalar o que, na opinião deles, um notebook que custa RS|| 3 000,00 deve ter. Ao lado, a figura mostra um questio-nário preenchido.

Todos os itens analisados são variáveis da pesquisa. A variá-vel tamanho da tela é quantitati-va contínua, pois apresenta valo-res reais. Por outro lado, a variável memória RAM é quantitativa dis-creta, pois tem valores inteiros. Por fim, a variá vel cor é qualitativa no-minal, pois indica um atributo do produto.

Classificarasvariáveisaseguircomoqualitati-1. vaordinalounominal,quantitativadiscretaoucontínua.

a)idadeemanos

b)preçodeumcarro

c)desempenhoemumaprova

d)alturadeumapessoa

e)sexo(masculinooufeminino)

f) cordosolhos

g)graudeescolaridade

h)peso

i) velocidademáximadeumcarro

j) númerodetelevisõesemumaresidência

k)doente—sadio

l) número de bactérias em 10 mL de águadomar

Resolução

Ositenscegsãovariáveisqualitativasordinais;os itense, fek sãovariáveisqualitativasnomi-nais;os itensa, je l sãovariáveisquantitativasdiscretas;eositensb,d,heisãovariáveisquan-titativascontínuas.

Exercício resolvido

Variável quantitativa ou qualitativa?

Emalgumassituaçõessão `atribuídosvaloresparavariáveisqualitativas.Issonãosignifica,porém,queelaspassamaserquantitativas.Algumaspesquisas,porexemplo,atribuemonúmero1paraosexomasculinoeo2paraosexofeminino.Esseprocedimentofacilitaamarcaçãoemumquestionário,porémelaédestituídadesignificadonumérico,ouseja,nessecasoosnúmeros1e2sãoapenasrótulos.

Saiba mais

Tamanho�da�tela:

Cor

Memória�RAM

15,4�polegadas�—�12,1�polegadas

Preto�—�Prata

512�Mb�—�1�024�Mb

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Séries estatísticasDá-seonomedesérie `estatísticaatodatabelacujoconjuntodeinformaçõesédadoemfunçãodaépoca,dolocaloudaespécie.Assériestemporais,porexemplo,descrevemosvaloresdavariável,emdeterminadolocal,aolongodotempo.Assim,onúmerodecarrosvendidosnacidadedeSãoPaulonosmesesdejaneiro,fevereiroemarçoéumavariáveltemporal.Assériesgeográficas,poroutrolado,descrevemosvaloresdavariável,emumdeterminadotempo,porregiões.Assim,onúmerodecarrosvendidosnosestadosdeSãoPaulo,ParanáeBahia,em2008,éumavariávelgeográfica.

Saiba mais

Frequência absoluta e frequência relativa A quantidade que cada variável acumula ou o número de vezes em que

cada variável é citada ao final de uma determinada pesquisa chama-se fre- quência absoluta (FA) dessa variável. A frequência absoluta é utilizada para organizar os dados coletados de uma pesquisa de modo que a consulta a es-ses dados fique facilitada.

ExemploEm um instituto de beleza, verificou-se que havia cinco morenas, quatro

loiras e três ruivas esperando para cortar o cabelo; duas loiras e quatro more-nas pintando as unhas; e uma ruiva e uma morena fazendo depilação. O nú-mero de morenas (5 1 4 1 1 5 10), loiras (4 1 2 5 6) e ruivas (3 1 1 5 4) no instituto corresponde à frequência absoluta de cada uma dessas variáveis, ou seja, as frequências absolutas de morenas, loiras e ruivas são, respectiva-mente, 10, 6 e 4. Para facilitar a organização dos dados, pode-se utilizar uma tabela, como a mostrada abaixo.

Tonalidade do cabelo Moreno Loiro Ruivo Total

Quantidade 10 6 4 20

A razão entre a frequência absoluta de uma variável e o total de citações é chamada de frequência relativa (FR), ou seja, a frequência relativa estabele-ce uma comparação entre cada variável e o total pesquisado. Portanto, a soma de todas as frequências relativas é sempre igual a 100%.

Assim, utilizando os mesmos dados do exemplo acima, tem-se que a razão entre o número de morenas, loiras e ruivas pelo total acumulado (20) são as frequências relativas de cada uma dessas variáveis, como mostra a tabela.

Morena Loira Ruiva

Frequênciaabsoluta–10Frequênciarelativa–

10___2050,5550%


6___2050,3530%


4___2050,2520%

Por vezes, para facilitar a interpretação dos dados, é interessante calcular a soma de uma frequência absoluta com as frequências absolutas anteriores ou a soma de uma frequência relativa com as frequências relativas anteriores. Essas frequências obtidas são chamadas, respectivamente, de frequência ab-soluta acumulada e frequência relativa acumulada.

ExemploUma professora quer avaliar o desempenho de seus alunos em determina-

da prova. Para isso, ela monta a tabela abaixo. Note que a frequência absoluta acumulada mostra, por exemplo, que 28 alunos tiraram pelo menos nota 6 nessa prova, ou seja, 75,68% dos alunos.

NotasFrequência absoluta

Frequência absoluta

acumulada

Frequência relativa

Frequência relativa acumulada

10 3 3 3378,11% 8,11%

9 8 318511 83721,62% 8,11%121,62%529,73%

8 6 1116517 63716,22% 29,73%116,22%545,95%

7 5 1715522 53713,51% 45,95%113,51%559,46%

6 6 2216528 63716,22% 59,46%116,22%575,68%

5 3 2813531 3378,11% 75,68%18,11%583,79%

4 4 31145 35 43710,81% 83,79%110,81%594,60%

3 2 3512537 2375,40% 94,60%15,40%5100%

Total 37 37 100% 100%

Para refletir

Deacordocomosdados `databeladoexemploaolado,esupondoqueanotaparaaaprovaçãosejanomínimoiguala6,qualéaporcentagemdealunosqueforamreprovados?Existemaisdeumamaneiraderealizaressecálculo?Justifique.

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Noçõesdeestatística7

No de passageiros

FA FR FR

37 1 1___2050,05 5%

38 3 3___2050,15 15%

39 2 2___2050,1 10%

40 6 6___2050,3 30%

41 4 4___2050,2 20%

42 4 4___2050,2 20%

Total 20 1 100%

Tabelas de frequências das variáveis quantitativas Foi visto que as variáveis quantitativas são representadas por valores nu-

méricos e podem ser classificadas como discretas ou contínuas, dependendo de seus valores. A seguir será visto, por meio de um exemplo, como preparar as tabelas de frequência dessas variáveis.

A tabela abaixo representa o controle do número de passageiros (pax) e a dis-tância percorrida por um taxista (em km) durante o mês de fevereiro de 2009.

Calendário Fevereiro/2009

segunda terça quarta quinta sexta sáb. dom.

140pax

237pax

338pax

442pax

538pax

6 7 8648,3km 652km 479,2km 627,1km 579,9km

39pax9

41pax10

41pax11

40pax12

40pax13 14 15548,2km 632,8km 525km 480,7km 506km

41pax16

40pax17

39pax18

42pax19

42pax20 21 22640,7km 610,5km 589,9km 568km 634,3km

40pax23

38pax24

42pax25

40pax26

41pax27 28 29545,1km 420km 567,4km 613,2km 587,4km

As duas variáveis apresentadas são variáveis quantitativas. Mas, como o números de passageiros é uma variável quantitativa discreta e a distância per-corrida é uma variável quantitativa contínua, a construção das tabelas de fre-quência é feita de maneiras diferentes.

Para a variável discreta número de passageiros aparecem valores de 37 a 42 passageiros. Então, para construir a tabela de frequência, basta contabili-zar os valores. Assim, pode-se montar a tabela ao lado.

Como os valores da variável distância percorrida são muito diferentes, a ta-bulação desses dados será feita na forma de intervalos, em vez de serem repre-sentados individualmente. Para isso, deve-se determinar a amplitude total dos dados, o número de intervalos (ou classes) e a amplitude das classes.

1o) Amplitude total é a diferença entre o maior e menor valor, nesse caso At 5 652 420 5 232.

2o) O número de intervalos (classes) a ser utilizado depende do tipo de infor-mações que se pretende extrair e, em geral, esse número é maior que três. Uma maneira de determinar o número de classes é aplicando o critério da raiz, que determina o número de classes por meio da raiz quadrada do número de elemen-tos. Assim, pelo critério da raiz, no de classes 5 dXXX 20 5 4,47. Como o número de classes deve ser um número inteiro, será adotado cinco classes.

3o) A amplitude das classes consiste na variação dos intervalos de cada classe e é determinada pela razão entre a amplitude total e o número de classes.

Então, amplitudeclasses 5 amplitudetotal ___________ no de classes

5 232 ____ 5

5 46,4 e será adotado 47.

Assim, é possível construir a tabela de frequência abaixo.

Classes Distância percorrida FA FR FR

Classe1420

s

46747

1 1___2050,05 5%

Classe2467

s

51447

3 3___2050,15 15%

Classe3514

s

56147

3 3___2050,15 15%

Classe4561

s

60847

5 5___2050,25 25%

Classe5608

s

65547

8 8___2050,40 40%

Total 20 1 100%

Osímbolo ` s

representaumintervalofechadoàesquerdaeabertoàdireita.Então,ointervalo420

s

467daprimeiraclasseindicaqueovalor420pertenceaele,eo467não.Ovalor467,porém,pertenceàsegundaclasse.Ointervalodaprimeiraclassefoiiniciadocomomenorvalor,420,masissonãoéobrigatório.Elepodeseriniciadocomumvalormenordesdequeomaiorvalornãofiqueexcluídodaúltimaclasse.Casoavariaçãodo `númerodepassageirostransportadossejamuitograndeemumdeterminadomês,pode-se,eémelhor,representá-lospormeiodeintervalos.Assim,atabelanãoficamuitoextensa,eaconsultaaosdadoséfacilitada.

Saiba mais

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Alunos de uma mesma sala participaram de uma 2. pesquisa respondendo quantos irmãos cada um tinha. A seguir, tem-se o resultado encontrado.

1 0 2 0 0 1 1 2 3 2

1 1 0 2 0 2 2 3 1 1

Construir uma tabela de frequência para esses dados.

Resolução

A variável quantidade de irmãos é quantitativa dis-creta, e o menor valor encontrado é 0 e o maior é 3.

Assim, para construir a tabela de frequência, basta contar o número de vezes que aparecem os dife-rentes valores para a variável número de irmãos.

Número de irmãos

FA FR

0 5 5 ___ 20 5 0,25 5 25%

1 7 7 ___ 20 5 0,35 5 35%

2 6 6 ___ 20 5 0,30 5 30%

3 2 2 ___ 20 5 0,1 5 10%

Total 20 1 5 100%

A seguir, apresentam-se os números de aciden-3. tes com automóveis em uma cidade, registrados pela companhia de engenharia de tráfego duran-te um mês.

122 176 132 127 141 139

111 115 167 159 142 146

133 121 99 108 147 114

100 128 115 108 144 154

132 135 123 102 152 136

Construir uma tabela de frequência para esses dados.

ResoluçãoComo os valores são muito diferentes, pode-se representá-los por meio de intervalos.1o) Amplitude total é A t 5 176 99 5 77.2o) Pelo critério da raiz, no de classses 5 d XXX 30 5 5,47;

e será adotado 5.

3o) amplitudetotal ____________ n o de classes 5 77 ___ 5 5 15,4.

Será adotado 16 para a amplitude das classes.

Assim, tem-se a seguinte tabela de frequência.

Classes No acidentes FA FR FR

Classe 199

s

11516

7 7 ___ 30 0,233 23,3%

Classe 2115

s

13116

7 7 ___ 30 0,233 23,3%

Classe 3131

s

14716

10 10 ___ 30 0,333 33,3%

Classe 4147

s

16316

4 4 ___ 30 0,133 13,3%

Classe 5163

s

17916

2 2 ___ 30 0,067 6,7%

Total 30 1 100%

Exercícios resolvidos

Pontuação de alguns alunos em uma prova com duzentas questões

135 170 165 140 175

130 155 160 145 165

125 165 135 100 145

Situação 1:5. Foi realizado um estudo com os cem alunos de uma escola sobre o número de televi-sores que havia na casa de cada um. Para isso foi efetuado um questionário ao qual responderam sessenta alunos.

Situação 2: Em um banco foi realizado um estu-do sobre o saldo de seus correntistas. Para isso foi realizada uma pesquisa aleatória, pelo sistema, de 1 000 correntistas.Nessas condições, determine para cada situação a população em estudo, a amostra escolhida, a variá-vel em estudo e sua classificação.

Exercícios propostos

Construa uma tabela de frequência para cada uma 4. das situações apresentadas nas tabelas a seguir.

Número de sinistros registrados por dia em uma seguradora

100 125 135 135 170 175

120 105 165 130 155 165

125 165 180 125 165 145

130 145 185 165 140 135

140 125 145 160 145 100

Altura, em metros, de 25 alunos de um colégio

1,5 1,75 1,62 1,65 1,75

1,6 1,8 1,8 1,55 1,7

1,55 1,6 1,75 1,85 1,55

1,65 1,8 1,7 1,89 1,65

1,7 1,6 1,6 1,85 1,6

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Noções de estatística7

PictogramaPictogramas são gráficos `construídos a partir de figuras autoexplicativas, normalmente utilizados para representar a intensidade de um determinado fenômeno. Têm como objetivo principal despertar a atenção do público, mostrando uma visão geral do fenômeno, e não se atendo a detalhes.Exemplo — Área desmatada nos últimos anos, em uma determinada região.

CartogramaOs cartogramas são `construídos para representar dados estatísticos de regiões geográficas ou políticas em mapas.

Escassez de água

BaixaBaixa a médiaMédiaAltaSeveraNão disponível

Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 79.

Saiba mais

2. Representações gráficas O quadro abaixo mostra o número de aprovados na primeira fase em cin-

co exames de um concurso.

Nesse quadro, a mesma informação, número de aprovados, é apresentada de duas formas. A primeira, mostra o número de aprovados e a porcentagem em relação ao número de inscritos, que pode ser comparada a uma tabela, e a se-gunda, é formada pelas barras, que pode ser associada a um gráfico.

Verifica-se que, para cada modo de apresentação, utiliza-se uma lingua-gem. Pela tabela é possível verificar o número exato de aprovados. Pelo grá-fico, as diferenças entre os valores em porcentagem são mais evidentes. Isso se deve ao fato de que os gráficos têm um apelo visual mais forte, e assim as comparações e a identificação das variáveis com os maiores ou menores valo-res são feitas mais rapidamente.

Existem diversos tipos de gráficos. A seguir serão estudados o gráfico de barras, de linhas ou segmentos, de setores e os gráficos múltiplos.

Gráfico de barras O gráfico de barras, que pode ser horizontal ou vertical, é formado por

barras de mesma largura cujos comprimentos estão diretamente relacionados às frequências absolutas ou relativas das variáveis.

A tabela a seguir, por exemplo, mostra as porcentagens das distribuições dos gastos de dois grupos de famílias, com rendas mensais diferentes.

Tipo de despesa Renda até RS|| 500,00Renda maior ou igual

a RS|| 5 000,00

Habitação 40% 20%

Alimentação 30% 10%

Transporte 5% 15%

Saúde 5% 10%

Educação 1% 10%

Outros 19% 35%

Com esses dados é possível construir os seguintes gráficos.

Renda até RS|| 500,00

Distribuição de gastos (%)

Habitação

05

1015

2025303540

Alimentação

TransporteSaúde

EducaçãoOutro

s

Renda maior ou igual a RS|| 5 000,00

Distribuição de gastos (%)0

Alimentação

Habitação

Transporte

Saúde

Educação

Outros

10 20 30 40

5 10 mil hectares de floresta desmatada

Ano 2004

Ano 2005

Ano 2006

Ano 2007

Ano 2008

As aprovações

122 (dezembro de 2003) 29 733 22 246 (74,82%)

123 (abril de 2004) 21 774 18 896 (86,79%)

124 (setembro de 2004) 19 660 17 974 (91,43%)

125 (janeiro de 2005) 27 724 21 997 (79,35%)

126 (maio de 2006) 21 132 19 682 (93,14%)

exames inscritos aprovados

0 20 40 60 80 100

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Nesse caso, a variável fonte de energia foi dividida em cinco itens – hidrelétrica, nuclear, termoelétrica, eólica e outros. Assim, o gráfico de cada país compara, em termos percentuais, cada item da variável.

É possível, de forma visual, concluir que a base da produção de ener-gia no país A se concentra nas hidrelétricas. Já, no país B, a principal fon-te de energia é a nuclear. Mas, supondo que a energia produzida nos dois países seja igual, também é possível comparar um mesmo item nos dois países. Verifica-se, por exemplo, que o uso da energia hidrelétrica no país A é maior que no país B, o uso da energia nuclear em B é maior que no país A, o uso da energia eólica no país A é maior que no país B e o uso da energia termoelétrica é igual nos dois países.

Gráfico de setores em um semicírculo

Alguns gráficos de setores `são representados em um semicírculo, seja por limitação de espaço ou pura estética. Nesse caso, o total da variável, 100%, corresponde ao ângulo central de 180°. Exemplo — Animais domésticos em residências de um estado brasileiro.

Cachorros26%

Gatos25%

Roedores9%

Peixes9%

Outros13%

Passarinhos18%

Saiba mais

Gráfico de linhas ou segmentos O gráfico de linhas ou segmentos é obtido com o traçado de segmentos

de retas que ligam pontos cujos pares ordenados são conhecidos. Esse tipo de gráfico é utilizado quando duas grandezas se relacionam, ou quando se dese-ja enfatizar a evolução dos valores de um determinado fenômeno.

O gráfico de segmentos ao lado mostra a taxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da popu-lação brasileira de 15 anos ou mais. Os valores para os anos de 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 1992, 1993, 1995 e 1997 foram, respectivamen-te, 20%, 17%, 19,7%; 19%; 19%; 18,3%; 16,3%; 15,5% e 14,7%. Assim, para cada ano, marca-se o ponto correspondente à taxa de analfabetismo, e o gráfico fica construído quando se ligam os pontos de períodos consecutivos.

Observe que, nesse caso, a evolução dos dados enfatizada pelo gráfico é mais importante que os próprios números. Por exemplo, é possível verifi-car que, a partir de 1989, a taxa de analfabetismo se manteve ou diminuiu.

Gráfico de setores Para construir o gráfico de setores, considera-se um círculo (cujo ângulo

central mede 360°) como o total de uma variável (100%), subdividido em se-tores circulares cujos ângulos centrais são proporcionais às porcentagens dos itens dessa variável.

Esse tipo de gráfico é utilizado quando se deseja comparar os itens de uma mesma variável, ou a variação dos itens de uma mesma variável em diferen-tes pesquisas.

Com os gráficos de setores a seguir, comparam-se as matrizes energéticas de dois países, A e B. Nesses gráficos estão representadas as porcentagens de cada um dos tipos de fonte de energia utilizados.

Fonte: IBGE.Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/>.

Acesso em: 17 jun. 2009.

Taxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da população brasileira de 15 anos ou mais de idade

(%)

Ano1987

10

12

14

16

18

20

22

19881989

19901991

19921993

19951997

hidrelétrica

nuclear

termoelétrica

eólica

outros

País A País B

50%

10%5%

15%

25%

18%2%15%

40%20%

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 173 06.10.09 11:20:38

174


Gráficos múltiplos Os gráficos múltiplos ou gráficos de múltiplas entradas são utilizados

para representar duas ou mais variáveis em um mesmo gráfico para que a in-ter-relação entre elas seja evidenciada.

Os climogramas são exemplos de gráficos de múltiplas entradas, pois apre-sentam informações sobre os volumes médios de chuva nos meses do ano e a variação da temperatura ao longo do ano de um determinado local. O volu-me médio de chuva é representado por um gráfico de barras com escala em milímetro e a variação da temperatura é representada por um gráfico de linha com escala em °C.

No climograma é possível estabelecer uma relação entre o volume de chu-va e a variação da temperatura. No exemplo ao lado, verifica-se que, em um clima tropical continental, os meses mais frios também são os meses mais se-cos, pois ocorrem menores precipitações.

Já o gráfico de segmentos múltiplos ao lado refere-se aos registros dos percen tuais de lentidão no trânsito da cidade de São Paulo, realizados pela CET (Companhia de Engenharia de Tráfego). Para construir o “gráfico do dia”, representado em azul, a CET atualiza as informações a cada meia hora inserindo um ponto no gráfico e tra-çando um segmento de reta entre o novo registro e o registro anterior.

Neste caso, pode-se verificar que há horá-rios de pico de trânsito e horários com me-nos trânsito. Assim, esse tipo de informação facilita, por exemplo, a programação de pes-soas que dependem do carro para trabalhar.

Em um estádio de futebol há 50 000 torcedores 6. dos times A e B. Sabendo que 20 000 torcem pelo time A, construir um gráfico de setores comparan-do as quantidades de torcedores dos dois times.

ResoluçãoSe 20 000 pessoas torcem pelo time A, então 30 000 pessoas torcem pelo time B e é possível construir a tabela abaixo.

Número de torcedores FR

Time A

20 000 20 000 _______ 50 000 5 2 __ 5 5 40%

Time B

30 000 30 000 _______ 50 000 5 3 __ 5 5 60%

Total 50 000 1 5 100%

Para dividir um círculo em partes correspondentes a 40% e 60%, deve-se determinar o ângulo cen-tral de cada uma das partes.Time A — 40% de 360° 5 144°Time B — 60% de 360° 5 216°

Então, tem-se o gráfico de setores ao lado.

Considerando o seguinte climograma, responder 7. às perguntas abaixo.

°C mm

J

�20�10

0102030

255075100125150

F M A A S NO DM J J

a) Os dados desse climograma referem-se a um local no hemisfério Norte ou Sul?

b) Qual é o mês de maior precipitação?c) Nessa região, o verão é seco ou úmido?

Resoluçãoa) Como as menores temperaturas ocorrem nos

meses de junho e julho, conclui-se que esse cli-mograma se refere a um local no hemisfério Sul, cujo inverno ocorre nesses meses.

b) Observando o gráfico de barras, tem-se que o mês com maior precipitação é junho.

c) Como nos meses mais quentes há os menores índices pluviométricos, então o verão é seco.

Exercícios resolvidos

Clima tropical continentalmm

J0

255075

100125150175

200225250275300

14151617181920212223242526

F M A A S NO DM J J

°C

Percentual de lentidão do trânsito(%)

Horário7:000

5

10

15

20

25

2,65,6

8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00

10,912,2

11,0

6,9 6,4

7,28,0

7,37,1

8,0

8,79,0

Dia 17 abr. 2009 Média superior Média inferior Maior índice

22,7

time A

144°

216°60%

40%

time B

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 174 06.10.09 11:20:39

175


Fonte: Revista Superinteressante, n. 263, São Paulo, Abril, mar. 2009.

A figura acima tem a aparência de um gráfico de setores, mas não é. Esse fato pode ser verifica-do pela desproporção entre as porcentagens. De acordo com os dados do enunciado e da figura, faça o que se pede em cada item a seguir.

a) Construa uma tabela de frequências (absoluta e relativa).

b) Construa um gráfico de barras.

c) Construa um gráfico de setores indicando a medida dos ângulos centrais.

Com base nesses dados, pede-se o seguinte.a) Construa uma tabela de frequências.b) Construa um gráfico de barras.

As alturas, em centímetros, dos alunos do 811. o ano de uma escola estão apresentadas a seguir.

165 164 168 161 159

156 165 162 171 160

167 165 164 158 167

170 166 166 154 165

De acordo com os dados fornecidos acima, faça o que é pedido.

a) Classifique esta variável.

b) Construa uma tabela de frequências (absoluta e relativa) e um gráfico de barras.

Leia o gráfico a seguir.12.

Em um 8. shopping center foi realizada uma pesquisa para determinar a quantidade de carros que os fre-quentadores desse shopping tinham. A figura a se-guir representa o resultado dessa pesquisa.

1 2 0 1 3

0 0 1 2 2

1 0 0 2 1

1 2 2 3 1

1 2 0 1 3

Com base nesses dados, faça o que se pede em cada item a seguir.a) Classifique essa variável.b) Construa uma tabela de frequências (absoluta e

relativa).c) Construa um gráfico de barras. d) Construa um gráfico de setores.

Um pequeno mercado verificou quanto cada clien-9. te gastou em um final de semana, obtendo as infor-mações a seguir.

ClassesValor das compras

Número de clientes

1 0

s

100 60

2 100

s

200 75

3 200

s

300 80

4 300 s

400 42

5 400

s

500 56

6 500

s

600 45

De acordo com os dados da tabela, faça o que se pede.a) Classifique esta variável.b) Construa uma tabela de frequências (absoluta e

relativa).c) Construa um gráfico de barras.

O gráfico de setores abaixo representa a distribui-10. ção percentual do índice de qualidade das águas na região hidrográfica do São Francisco.

Fonte: Caderno Recursos Hídricos – ANA – 2005.

ruim7%

péssima1%

aceitável13%

boa78%

ótima1%

Infartos: maioria dos casos entre 6 h e 12 h

Um estudo realizado pela USP com 173 mil internações entre 1987 e 1996 verificou em que hora mais acontecem os infartos.

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 175 06.10.09 11:20:40

Histograma de uma variável discreta Histograma de uma variável contínua

No histograma de uma variável discreta as barras são de mesma espessura, equidistantes entre si, em que a altura da barra indica a frequência (absoluta ou relativa) da variável.

No histograma de uma variável contínua as barras são de mesma espessura, uma ao lado da outra, em que a altura indica a frequência (absoluta ou relativa) da variável. A largura de cada barra corresponde ao tamanho do intervalo de cada classe.

Exemplo – Um agente de trânsito anotou em sua agenda o número de acidentes que ocorriam em uma determinada via, durante 45 dias, e montou a seguinte tabela.

Número deacidentes por dia

Número de dias FR

0 16 35,56%

1 12 26,67%

2 6 13,33%

3 2 4,44%

4 9 20%

Total 45 100%

De acordo com os dados fornecidos, pode-se afirmar que a variável analisada é o número de acidentes por dia. É possível verificar que nesses 45 dias ocorreram, no máximo, quatro acidentes por dia. Assim, para construir esse histograma, coloca-se no eixo das abscissas a variável número de acidentes por dia, e no eixo das ordenadas, a frequência absoluta, no primeiro caso, e a frequência relativa, no segundo caso, como foi feito abaixo.

Exemplo – Um mercado registrou o valor que cada cliente gastou em um determinado dia e montou a tabela abaixo.

Classes Valor das compras Número de clientes FR

1 0

s

100 50 20,66%

2 100

s

200 42 17,36%

3 200

s

300 28 11,57%

4 300

s

400 42 17,36%

5 400

s

500 20 8,26%

6 500

s

600 60 24,79%

Total 242 100%

De acordo com os dados do exemplo, pode-se afirmar que a variável é o valor das compras. Além disso, sabe-se que há seis classes, cuja amplitude é igual a 100. Portanto, neste caso, a largura das barras deve ser correspondente a 100. Assim, para construir esse histograma, coloca-se no eixo das abscissas a variável valor das compras, e, no eixo das ordenadas, a frequência absoluta, no primeiro caso, e a frequência relativa, no segundo caso, como mostrado a seguir.

Observações• O zero da variável não precisa, necessariamente, coincidir com a intersecção dos eixos.• O polígono obtido a partir do traçado de segmentos de reta ligando-se os pontos médios das bases superiores das barras do

histograma é chamado de polígono de frequência ou polígono do histograma. Note que nas extremidades são considerados intervalos fictícios de frequência zero.

no de acidentespor dia

FA

0

2

6

9

12

16

1 2 3 4

n° de acidentespor dia

FR (%)

0

4,44

13,33

20

26,67

35,56

1 2 3 4

FA

0

20

28

42

50

60

Polígono defrequência

100 200 300 400 500 600

valor das compras (RS||)

FR (%)

8,26

11,57

17,36

20,66

24,79

0 100 200 300 400 500 600

valor das compras (RS||)

176


3. Histograma O histograma é um gráfico de barras verticais, em que o eixo das abscis-

sas representa a variável analisada e o eixo das ordenadas indica a frequência (absoluta ou relativa) dessa variável.

A construção do histograma é muito importante em uma análise estatísti-ca. Com ele é possível responder a muitas perguntas, como as seguintes.

Como é a distribuição dos dados? Há picos definidos ou as frequências são �

muito próximas? Há mais de um pico? As frequências são maiores no cen-tro da distribuição ou nas laterais?É possível determinar um ponto central? Ele divide os dados em partes �

iguais (histograma simétrico)?A variação entre os dados é muito grande? �

A seguir serão construídos histogramas para variáveis discretas e contínuas.

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 176 06.10.09 11:20:40

A tabela a seguir mostra os dados obtidos em 16. uma pesquisa realizada ao longo de um dia em um shopping em que se analisou o consumo de refrige-rantes de seus frequentadores.

Quantidade de latas de refrigerantes

consumidas em um diaFA

0 15

1 10

2 15

3 8

4 2

Com base nesses dados, construa um gráfico de se-tores e um histograma para essa variável.

Em uma eleição de condomínio, três pessoas, 17. A, B e C, candidataram-se para eleger-se o próximo sín-dico. No final da eleição, verificou-se que 82 condô-minos votaram no candidato A, 64 no candidato B e 54 no candidato C.

a) Construa uma tabela de frequências (absoluta e relativa).

b) Construa um histograma para essa variável.

c) Construa um gráfico de setores para essa variável.

Uma multinacional dispõe de um investimento de 18. RS|| 100 000 000,00 na bolsa de valores. O gráfico de setores a seguir mostra de que maneira esse in-vestimento está distribuído.

carros e peças40%

agropecuária30%

alimentos5%

indústria farmacêutica

15%

petroquímica10%

De acordo com os dados do gráfico e do enunciado, faça o que se pede em cada item a seguir.

a) Construa uma tabela de frequência (absoluta e relativa) para essa variável.

b) Construa um histograma para essa variável.

c) Qual é o valor investido em carros e peças?

d) No gráfico de setores, qual é a medida do ângulo central correspondente à parte de alimentos?

e) Qual é a diferença, em RS|| , entre o investimento em alimentos e em agropecuária?

Um professor de Educação Física verificou a altu-13. ra dos alunos de uma sala de aula para montar um time de voleibol. Os resultados são apresentados na tabela a seguir.

Classes Altura (m) Frequência absoluta

1 1,5

s

1,6 4

2 1,6

s

1,7 9

3 1,7

s

1,8 6

4 1,8

s

1,9 5

5 1,9

s

2,0 1

Com base nesses dados, faça o que é pedido em cada item a seguir.a) Classifique essa variável.b) Construa uma tabela completa de frequências

(absoluta e relativa).c) Construa um histograma para essa variável.

Uma imobiliária recebe mensalmente o aluguel de 14. algumas casas, conforme mostra a tabela a seguir.

Classes Aluguel (RS||) Número de casas

1 0

s

200 10

2 200

s

400 30

3 400

s

600 28

4 600

s

800 32

5 800

s

1 000 12

6 1 000 s

1 200 8

Com base nesses dados, construa um histograma para essa variável e responda às seguintes pergun-tas, justificando suas respostas.a) Qual é a faixa de aluguel mais frequente?b) Como é a distribuição dos dados? Há picos defi-

nidos ou as frequências são muito próximas?

As idades dos frequentadores de um evento bene-15. ficente foram pesquisadas e organizadas conforme tabela abaixo.

Idade das pessoas em um determinado evento

FA

60 10

61 21

62 15

63 9

64 5

Com base nesses dados, faça o que se pede em cada item a seguir.a) Classifique essa variável.b) Construa uma tabela completa de frequências

(absoluta e relativa).c) Construa um histograma para essa variável.

177


4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 177 06.10.09 11:20:41

178

Exercícios complementares

7 Noções de estatística

Pesquisa estatística e representações gráficas

O gráfico de segmentos a seguir mostra o percen-19. tual de pessoas endividadas no cartão de crédito, desde abril de 2008 a abril de 2009.

Consumidores com dívidano cartão de crédito (%)

abr.2008Fonte: Fecomércio — SP

maio

Cresce percentual de pessoas endividadas no cartão de crédito

55

53

45 45 45 45

4746

43

46

40

jun. jul. nov. dez. jan.2009

fev. mar. abr.ago. set. out.

52

60

Fonte: Folha de S.Paulo, 15 abr. 2009. p. B2.

Com base no gráfico e em seus conhecimentos, responda às seguintes perguntas.a) Qual foi o período mais estável?b) Quando se atingiu o índice mais baixo? E o índice

mais alto?

Considere o seguinte gráfico a respeito do consu-20. mo e das importações de petróleo pelos EUA e o texto abaixo.

Com base nos dados, responda às seguintes per-guntas.a) Em 2030, qual seria a diferença aproximada do

consumo de petróleo se nenhuma medida fosse adotada e se aumentasse a eficiência do usuário final?

b) Em 2020, qual seria a diferença aproximada das importações de petróleo se nenhuma medida fosse adotada e se o petróleo fosse substituído por biocombustíveis?

As figuras mostram o total de emissões de gás car-21. bônico nos anos de 1980 e 2005, do Canadá, EUA, Brasil, Europa, Rússia e China.

Consumo e importações de petróleo nos EUA podem ser reduzidos ao se dobrar a eficiência dos veículos, prédios e indústria (linhas amarelas no grá-fico). Os EUA podem fazer mais reduções ao trocar petróleo por alternativas competitivas como bio-combustíveis modernos e gás natural economizado (linhas verdes), além de hidrogênio combustível (li-nhas azuis).

Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 75.

Fonte: O Estado de S. Paulo.Disponível em: <http://www.estadao.com.br/especiais/mapa-da-emissao-

de-carbono,19078.htm>. Acesso em: 20 abr. 2009.

a) Construa um gráfico de barras para comparar o total emitido pelo Brasil em 1980 e em 2005 e calcule o aumento percentual nesse período.

b) Monte uma tabela de frequências e um gráfico de setores comparando o total emitido pelo Ca-nadá, EUA, Brasil, Europa, Rússia e China, em 2005, considerando que o total de emissões na-quele ano tenha sido de 20 bilhões de tonela-das.

c) Quais dos países mostrados no mapa tiveram um aumento no total de emissões no período considerado? E quais tiveram uma diminuição?

EUA4 747,6

Canadá452,17

Brasil185,22

1980

2005

Europa2 500

China1454,65

União Soviética3 027,53

EUA5956,98

Canadá631,26

Brasil360,57

Europa3 500

China5322,69

Rússia1696

km

0 5540

EUA sem petróleo

Projeções do governoEficiência do usuário finalCom substituição de suprimentosCom hidrôgenio opcional defontes renováveis

Uso

Importações

1950 60 70 80 90 2000 2010 2020 2030

ano

Pro

du

to e

qu

ival

ente

ao

pet

róle

o(m

ilhõ

es d

e ba

rris

po

r d

ia) 35

30

25

20

15

10

5

0

EmISSão dE Co2 PoR ANo Em bIlHão dE toNElAdAS

Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 178 06.10.09 11:20:42

179

Defina o tipo de gráfico mais apropriado para cada 22. uma das seguintes situações. Justifique.a) Para analisar tendências.b) Para comparação de valores.

A figura abaixo representa de que maneira as cas-23. tas estavam divididas na Índia, em 2001.

Em uma loja, são vendidos três modelos de televi-25. sores, A, B e C. A figura abaixo representa as pro-porções de vendas de cada modelo.

desafio de lógica

A primeira linha de um tabuleiro dividido em 27. 25 partes foi preenchida da seguinte forma.

De que maneira os ou-tros quadrados podem ser preenchidos, a fim de que na mesma li-nha, na mesma coluna e na mesma diagonal, o mesmo símbolo não apareça duas vezes?

� � ♥ � �

Fonte: Revista Superinteressante n. 263, São Paulo, Abril, mar. 2009.

Considerando que a população da Índia era de 1,029 bilhão de habitantes, em 2001, faça o que se pede em cada item a seguir.a) Construa uma tabela de frequências (absoluta e

relativa).b) Construa um gráfico de barras.c) Construa um gráfico de setores, indicando a me-

dida dos ângulos centrais.

Histograma

O histograma abaixo indica as atividades desenvol-24. vidas por um aluno em um dia inteiro e a proporção do tempo utilizada em cada atividade.

FR (%)

atividades

dormir03

710

20

25

35

estudar brincar alimentar higienepessoal

praticaresporte

De acordo com os dados do histograma, construa uma tabela de frequências (absoluta e relativa) e um gráfico de setores para essa variável.

144°

126°

modelo A

modelo B

modelo C

Nessas condições, cons trua uma tabela de fre quên cias e um histograma para essa variável.

Em 19 de março de 2009, a 26. Folha de S.Paulo pu-blicou um gráfico com as médias do Idesp nos anos de 2007 (barras vermelhas), 2008 (barras vinho) e a meta a ser alcançada em 2030 (barras pretas), mostrado abaixo.

7,00

6,00

5,00

1,411,95

3,25

1a a 4a

série5a a 8a

sérieEnsinoMédio

2,54

2,603,23

Fonte: Folha de S.Paulo, 19 mar. 2009.

O Idesp é o Índice de Desenvolvimento da Educa-ção do Estado de São Paulo, que indica o desem-penho das escolas e estabelece metas. Analisan-do os dados apresentados, o que é possível afir-mar sobre a melhora ou piora no Ensino Médio e no Ensino Fundamental?

4P_EMM3_LA_U03_C07_164A183.indd 179 06.10.09 11:20:43

7 Noções de estatística

Integre o aprendizado

180

Validação.28. Em um colégio há 1 000 alunos, e 560 são meninas. Durante uma das aulas de Matemá-tica da 3a série, um grupo de alunos ficou respon-sável por realizar uma pesquisa estatística sobre o número de primos que cada aluno desse colé-gio tem na família. Para tanto, o grupo decidiu colher as respostas em uma amostra de 150 alu-nos.

a) Quantas meninas deve haver nessa amostra para que a proporção em relação à população total se mantenha?

b) Construa um histograma de frequência relativa para a quantidade de meninos e meninas desse colégio.

O problema da falta de água já é alarmante em al-29. gumas partes do mundo. A figura abaixo mostra o nível de escassez da água pelo mundo e quais gru-pos de pessoas sofrem mais com essa escassez.

A prática de esportes é benéfica à saúde das pes-30. soas em qualquer idade. Observe o gráfico a se-guir, que representa o tempo diário, em média, que os jovens de uma cidade dedicam aos esportes de suas preferências.

BaixaBaixa a médiaMédiaAltaSeveraNão disponível

Escassezde água

A ESCASSEZ DE ÁGUA prejudica mais os pequenos agricultores, muitos dos quais têm de arrancar seus sustento de áreas semiáridas distantes de poços ou represas.Cerca de metade dos famintos do mundo é composta de proprietários rurais humildes que cultivam acanhados lotes de terra; outros 20% são trabalhadores rurais sem-terra.

Camponesessem-terra

QUEM SÃO OS FAMINTOS?

Pastores,pescadorese povos dasflorestas

Pobresurbanos

Pequenosproprietários

rurais

20%

20%

50% 10%

°C mmJ

�20

�10

0

10

20

30

40

50

50

100

150

200

250

300

350

400

F M A A S NO DM J JFonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 79.

De acordo com os dados fornecidos pelo enuncia-do, faça o que se pede.

a) Construa uma tabela de frequências e um gráfi-co de barras para representar os grupos dos que sofrem com a escassez de água.

b) Se o Brasil é detentor de grandes reservas hídri-cas, por que ele é classificado como nível médio de escassez e não como baixo?

020 40 60 80 100 120 minutos

no de jovens

100

200

300

250

190

225

150

115

50

a) Quantos jovens dedicam, em média, mais de uma hora diária em práticas espotivas?

b) Represente esses dados em um histograma de frequência absoluta e represente o polígono de frequência.

De acordo com a figura abaixo, que corresponde a 31. um climograma, responda às seguintes questões.

a) Qual é o mês mais chuvoso?

b) Este climograma se refere a uma região de qual hemisfério, Norte ou Sul?

c) Na cidade de São Paulo, o inverno é frio (com mínimas de 7 °C) e seco e o verão é quente (má-ximas próximas a 40 °C) e úmido. É possível afirmar que este climograma reflete o clima da cidade de São Paulo? Por quê?


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As pirâmides etárias são gráficos de barras horizon-32. tais que mostram a composição de uma população, dividida por faixas de idade e sexo. Abaixo, têm-se as pirâmides etárias do Brasil e do Japão, em 2005.

Expressão e linguagem matemática

1. LeiaObserve estas sequências.sequência A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13sequência B: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

2. ResolvaDetermine quantos termos compõem a sequên- �cia A. Ela pode ser classificada como finita ou in-finita? Justifique.Com relação à sequência � B, quantos termos a com-põem? Como ela pode ser classificada? Justifique.Agora, considere o problema a seguir:Demonstre que 1 1 3 1 5 1 7 1 ... 1 13 5 n2.O que se pretende demonstrar? Assinale a alter- �nativa que responda a essa pergunta.

a) 1 1 3 1 5 1 7 1 13 5 52, já que são cinco par-celas.

b) 1 1 3 1 5 1 7 5 n2 13, em que n é um número real qualquer.

c) 1 5 12, pois há apenas o primeiro termo da se-quên cia, 1 1 3 5 22, pois são considerados os dois primeiros termos da sequência, e assim por diante, até ter verificado para todas as somas o valor de n2.O que significa o valor de � n?É possível verificar essa igualdade para todos os �casos? Considerando essa resposta, elabore uma estratégia e demonstre o que foi pedido.

3. ReflitaA demonstração acima prova que a soma dos � n pri-meiros termos da sequência A, apresentada no iní-cio desta atividade, é igual a n2, considerando-se que 1 < n < 7. A mesma demonstração poderia ser utilizada para demonstrar que a soma dos n primei-ros termos da sequência B é igual a n2? Justifique.O tipo de demonstração utilizado na resolução �deste problema é geralmente chamado de de-monstração por exaustão. Elabore um pequeno texto para caracterizar esse processo.Agora, resolva o seguinte problema. �

Demonstre que não é �possível traçar todas as seis retas a seguir sem tirar o lápis do papel ou sem retraçar nenhuma reta.

Fonte: Revista Ciência Hoje.

Disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/images/ch%20online/2008/ 110031b.jpg>. Acesso em: 20 abr. 2009.

Com base nessas informações, responda às seguin-tes questões.a) No Japão, qual é a faixa etária que concentra o

maior número de pessoas? E no Brasil?b) Comparando os gráficos, o que se pode afirmar com

relação às taxas de natalidade nesses dois países?c) Estatisticamente, alguns estudos indicam que

as mulheres vivem mais do que os homens. Há outro fator que possa explicar a diferença entre o número de homens e mulheres acima dos 80 anos no Japão? No caso de resposta afirmativa, qual é esse fator?

Pirâmide de idades, Brasil, 2005

Efetivo (em milhares)

Grupo de idade

10 0001 0000

8 0008 000

6 0006 000

4 0004 000

2 0002 0000

5-90-4

10-1415-1920-2425-2930-34

40-4435-39

45-4950-5455-5960-6465-69

75-7970-74

80-8485-8990-9495-99100

4 0002 000

Pirâmide de idades, Japão, 2005

Efetivo (em milhares)

Grupo de idade

6 000

5-90-4

10-1415-1920-2425-2930-34

40-4435-39

45-4950-5455-5960-6465-69

75-7970-74

80-8485-8990-9495-99100

6 0004 000

2 0000

d) As barras que representam a quantidade de homens e mulheres são dispostas em sentidos opostos. Esse tipo de construção permite verifi-car o grau de simetria que a pirâmide tem. Anali-sando as duas pirâmides, o que se pode concluir sobre seus graus de simetria?

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Estratégias e soluções

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Apertos de mãoO dono de um hotel fez uma festa para come-

morar seu aniversário. Foram convidados para essa festa vários amigos e familiares.

Entre as pessoas convidadas, podiam ser iden-tificados casais e pessoas solteiras. Todos os con-vidados cumprimentaram um ao outro com um aperto de mão, com exceção dos casais, é claro.

Um adolescente, que estava na festa acompa-nhando seus pais, ficou um pouco entediado, pois não havia muitas pessoas da sua idade na fes-ta. Então, para distrair-se, entreteve-se contando a quantidade de apertos de mão dados durante os cumprimentos. Ao final, ficou bastante espanta-do: contabilizou 1 111 apertos de mão!

Quantos casais e quantos solteiros estavam na festa?

» Identificação e registro de informações

1. Quais são os dados que o problema fornece?

2. O que o problema pede?

3. O problema seria mais fácil se só houvesse solteiros na festa? Explique.

» Elaboração de hipóteses e estratégias de resolução1. Considerando suas respostas anteriores, vamos examinar um problema mais simples.

Desconsidere a questão da existência de casais e responda às seguintes questões. a) Quantos apertos de mão serão dados se houver dez convidados em uma festa em que

todos se cumprimentam? b) E se o número de convidados for 15? c) Se houver n convidados, quantos serão os apertos de mão? d) Quantos convidados seriam necessários para que a quantidade de apertos de mão

fosse 990?

2. Se no nosso problema todos os convidados fossem solteiros, haveria mais ou menos apertos de mão que 1 111? Justifique.

3. Suponha que todos os convidados sejam solteiros. Quantos convidados seriam necessários, nesse caso, para que o número de cumprimentos fosse maior ou igual a 1 111? Justifique.

4. Agora, responda à questão proposta: Quantos casais e quantos solteiros estavam na fes-ta do dono do hotel?

» Reflexão

1. Verifique se o resultado que você obteve está de acordo com as informações contidas no enunciado do problema.

2. Existem outras soluções? Justifique sua resposta.

3. Você é capaz de imaginar outra estratégia para a resolução deste problema? Descreva essa estratégia.

4. Você já conhecia problemas parecidos com este que acabamos de resolver? Descreva-os.

5. Para resolver o problema, propusemos um problema semelhante que nos auxiliasse. Al-terando alguns dados, elabore outro problema parecido e, depois de resolvê-lo, propo-nha-o a algum colega.

Resolva os problemas 4 e 8 das páginas 268 e 269.

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Roteiro de estudos

População: � conjunto de todas as coisas, pessoas e obje-tos, chamados de indivíduos da população, que interes-sam para um determinado estudo.Amostra: � qualquer subconjunto (não vazio) de uma po-pulação. Variável: � cada característica de interesse do pesquisador so-bre determinada população, ou seja, cada objeto de estudo. Variável qualitativa: � aquela que revela um atributo, ou seja, uma qualidade dos indivíduos da amostra como, por exem-plo, meses do ano, classes sociais, cor do cabelo, etc. Variável quantitativa: � aquela expressa por meio de valores numéricos como a quantidade de amigos, o número de car-ros em um estacionamento, a altura, etc.Frequência absoluta: � é a quantidade que cada variável acumula ou o número de vezes que a variável é citada ao final de uma determinada pesquisa.Frequência relativa: � é a razão entre a frequência absoluta de uma variável e o total de citações.Gráfico de barras: � formado por barras de mesma largura, que podem ser horizontais ou verticais, cujos comprimen-tos estão diretamente relacionados com as frequências absolutas ou relativas das variáveis. Gráfico de segmentos: � é obtido com o traçado de seg-mentos de retas que ligam pontos cujos pares ordenados são conhecidos.Gráfico de setores: � é formado por um círculo que repre-senta o total de uma variável, cujos setores circulares in-dicam, proporcionalmente, as porcentagens dos itens dessa variável.Gráfico múltiplo: � é a representação de duas ou mais variá veis em um mesmo gráfico.

É um gráfico de barras verticais, em que o eixo das abs- �cissas representa a variável analisada e o eixo das orde-nadas indica a frequência (absoluta ou relativa) dessa variável.

Pesquisa estatística e representações gráficas

Histograma

Retome os conteúdos com os exercícios propostos 4, 5, 8, 9, 10, 11 e 12 e com os exercícios complementares 19, 21 e 22.Resolva os exercícios 3, 6 e 12 de Vestibular e Enem.

Retome os conteúdos com os exercícios propostos 13, 14 e 18 e com os exercícios complementares 24, 25 e 26.

Desafio 1 ` (Unesp-SP) O gráfico representa o consu-mo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir:

meses

m3

dez. 06

0

10

20

30

40 37 38

18

34 33 3228 26

30 2932 30

jan. 07fev. 0

7

mar. 07

abr. 07

maio 07jun. 0

7jul. 0

7

ago. 07

set. 07

out. 07

nov. 07

Consumo em metros cúbicos

Faixa f(m3) Tarifa (RS|| )

0 < f < 10 0,50

10 , f < 20 1,00

20 , f < 30 1,50

30 , f < 40 2,00

Assim, por exemplo, o gasto no mês de março, que corresponde ao consumo de 34 m 3 , em reais, é:

10 ? 0,50 1 10 ? 1,00 1 10 ? 1,50 1 4 ? 2,00 5 38,00

Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo.

Note que nos meses de janeiro e fevereiro, juntos, fo-ram consumidos 56 m3 de água e, para pagar essas duas contas, foram gastos x reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos y reais. Deter-mine a diferença x y.

Desafio 2 ` Durante a fabricação de um parafuso ocorreu uma desregulagem da máquina, que não foi detectada na hora, produzindo assim uma grande variação no número de peças produzidas para cada possível diâmetro. No final da fabricação, todos os diâmetros dos parafusos foram medidos, e os dados foram registrados na forma de um histograma. Qual deve ser o histograma (A ou B) que indicará a desre-gulagem da máquina?

0

20

40

60

80

100A

0

2010

30

50

70

40

60

80

B


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Reproducao SP Matematica 3 Unidade 3 Capitulo 7 (1)

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