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REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste captulo ser apresentada uma prtica ferramenta grfica e matemtica que

permitir e facilitar as operaes algbricas necessrias aplicao dos mtodos de

clculo e anlise de circuitos eltricos que operem com sinais senoidais de tenso e de corrente de mesma freqncia. Este mtodo faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor.

INTRODUO J sabemos que podemos representar sinais de tenso e de corrente alternadas

senoidais atravs das seguintes expresses matemticas no chamado domnio do tempo ou domnio temporal, pois so funo do tempo:

Tenso instantnea: v(t) = Vp . sen (w.t V) Corrente instantnea: i(t) = Ip . sen (w.t I)

Estas expresses matemticas para tenses e correntes, na forma trigonomtrica do domnio do tempo, no permitem mtodos prticos para a anlise de circuitos

eltricos, pois no so fceis de serem algebricamente operadas.

Exemplo Sabemos que potncia eltrica o produto da tenso pela corrente. Obtenha a equao da potncia eltrica multiplicando a tenso instantnea

v(t)=10sen(100t) pela corrente instantnea i(t)=2sen(100t-60o):

Resolvendo, temos:

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potncia num circuito no uma operao to simples e evidente. Exemplo 5.1.2: Sabemos que numa malha de um circuito eltrico devemos somar as tenses. Some

os dois sinais de tenso na forma trigonomtrica e obtenha as formas de onda, sendo

v1(t)=10sen(100t)) e v2(t)=15sen(100t+60o). Para somarmos algebricamente tenses

senoidais e obtermos a forma de onda resultante uma soluo pouco prtica e

trabalhosa seria fazer esta operao de soma ponto a ponto das curvas senoidais, ao

longo do eixo das abscissas, como mostra a figura 5.1.1. Outra soluo seria

operarmos os sinais buscando alguma identidade trigonomtrica. De ambas as

formas, conclumos que esta tarefa no simples, nem rpida e nem evidente.

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sinais senoidais de tenses e correntes para que possamos fazer uma anlise rpida e

correta de circuitos eltricos.

Pudemos perceber que os parmetros mais importantes dos sinais de tenso e de

corrente alternadas so:

Valor de Pico: Vp e Ip

Valor Eficaz: Vef e Ief

Velocidade Angular: Freqncia: f

Perodo: T

Fase Inicial:

Sabemos que todo o sistema eltrico do Brasil opera a uma mesma freqncia (60Hz).

O que diferencia em algumas regies so as tenses (110; 127; 220; 227V, por

exemplo). Da mesma forma, no mtodo que ser apresentado, se todas as fontes de

tenso e de corrente de um circuito possurem a mesma freqncia angular poderemos omitir na representao da tenso v e da corrente i. Seja, por exemplo, o circuito da figura 5.1.2, com trs fontes de tenso alternadas operando

com mesmas freqncias angulares =200rad/s, onde:

Todas as trs fontes apresentam a mesma freqncia angular = 200 rad/s. Desta forma, no diferencia as tenses e pode ser omitida na representao de v1, v2 e v3. A diferenciao entre estas tenses dever ser feita, ento, em funo da tenso de

pico Vp (ou da tenso eficaz Vef) e do ngulo de fase inicial de cada fonte.

Ser apresentado neste captulo, um mtodo para representao de sinais senoidais,

de mesma freqncia, que permita facilidade nas operaes algbricas necessrias

anlise e clculo de circuitos de corrente alternada. Esse mtodo chamado

Representao Fasorial de Sinais Senoidais.

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FASOR Do estudo da Fsica, sabemos que um ponto se deslocando em um movimento circular

uniforme (movimento harmnico) pode ser representado atravs de suas projees

num plano cartesiano formando uma senide, como mostra a figura 5.2.1. A recproca

tambm verdadeira, ou seja, uma senide pode ser representada pelas projees de

seus pontos como um ponto girando em um movimento circular uniforme.

Um movimento harmnico giratrio pode ser descrito por uma senide e vice-versa.

Cada ponto de uma senide pode ser representado por um vetor de mdulo constante

numa posio diferente, como indicado na figura 5.2.1. A medida que a senide

descrita o vetor assume posies diferentes. Quando a senide completa um ciclo, o

vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posio inicial novamente.

Este vetor , portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senide foi descrito num dado intervalo de tempo (perodo T), o vetor deu uma volta completa no mesmo perodo da

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senide. Assim, podemos concluir que para uma dada freqncia f do sinal senoidal, o

movimento harmnico (giratrio) do vetor possui a mesma freqncia e, portanto o

vetor gira no sentido anti-horrio com a mesma freqncia ou velocidade angular da senide.

Analisando a figura 5.2.1 podemos observar que o ponto C, em qualquer posio

angular do seu movimento giratrio, forma um vetor radial girante cujo mdulo constante e igual ao valor de pico (amplitude) da senide. Ento: Uma senide pode ser descrita por um vetor radial girante com mdulo igual sua amplitude (valor de pico) e mesma freqncia angular A cada ciclo completado da senide, o vetor radial girante volta sua posio inicial. Se observarmos a projeo do valor

da senide no instante inicial t=0 ou na posio angular inicial =t=0o, o vetor radial girante est posicionado a um determinado ngulo em relao ao eixo x.

Aps um perodo T (360o) o valor estar na mesma posio de partida. Podemos

observar que este ngulo corresponde ao ngulo de fase inicial da senide. A cada perodo ou ciclo completado o vetor radial girante est sempre na mesma posio angular inicial . Se o ciclo da senide iniciar adiantado, o ngulo de fase inicial 0 positivo. Se o ciclo da senide iniciar atrasado, o ngulo de fase inicial 0 negativo, conforme ilustra a figura 5.2.2.

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Considerando que este vetor radial:

gira mesma freqncia angular constante da senide de origem; possui mesma freqncia f e perodo que a senide de origem;

a cada volta se encontra na mesma posio inicial correspondente ao ngulo de fase

inicial da senide de origem possui um mdulo constante e igual ao valor de pico Vp da senide de origem;

Ento esse vetor girante possui os mesmos parmetros que descrevem a senide e

considerando uma dada freqncia, para defini-lo basta o seu mdulo e o seu ngulo

de fase inicial.

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A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor um vetor radial girante com freqncia , com mdulo igual ao valor de pico VP e com ngulo de fase inicial , que representa uma senide de iguais parmetros. Assim, os sinais senoidais de tenso e corrente tambm podem ser representados

atravs de vetores girantes, chamados Fasor Tenso e Fasor Corrente, como indica a figura 5.2.2.

Um fasor pode ser entendido como um vetor preso em uma das suas extremidades e

girando, como os ponteiros de um relgio, uma velocidade angular dada em radianos por segundo. Se a extremidade presa do vetor girante for a origem de um

plano cartesiano x-y pode-se traar as projees x e y de cada instante do

deslocamento de sua extremidade livre (ponta da seta) neste plano, como mostra a

figura 5.2.1. A projeo do fasor no eixo y uma funo seno que representa a

amplitude instantnea da senide resultante, como ilustra a figura 5.2.3. A amplitude

mxima (valor de pico) corresponder ao mdulo do fasor. Assim, a projeo y pode

ser dada pela funo senoidal:

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Os fasores so representados graficamente atravs de diagramas fasoriais, como mostra a figura 5.2.3. Se o diagrama fasorial representar apenas a posio do fasor no

instante inicial, o seu mdulo corresponde ao segmento OC na figura 5.2.3 e representa o valor de pico da senide. O ngulo desse fasor corresponde ao ngulo

de fase inicial da senide. A projeo sobre o eixo y representa a amplitude da senide no instante inicial t=0. Portanto, a funo que este fasor representa :

Representar graficamente os sinais senoidais atravs do diagrama fasorial e de sua

projeo senoidal:

Soluo: O fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser posicionado sobre o

eixo x, pois o seu ngulo de fase inicial =0o, e deve ter mdulo igual a 10 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4. O fasor I correspondente ao sinal

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senoidal i(t) deve ser posicionado a +45o a partir do eixo x e deve ter mdulo de 5

unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4.

Observao: Um diagrama fasorial pode conter um ou vrios Fasores (vrios sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma freqncia.

Exemplo 5.2.2: Do diagrama fasorial da figura 5.2.4, obter a defasagem entre os sinais senoidais correspondentes aos fasores V e I:

Soluo: o fasor corrente I est adiantado de 45o do fasor tenso, pois =45o-0o=45o. Tambm podemos dizer que a tenso est atrasada de 45o da corrente

.

Exemplo 5.2.3: Um fasor de tenso de mdulo 10 descreve uma rotao completa em 0,02s partindo da posio inicial -30o. Determine:

a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal

desse sinal;

b) o ngulo em que a tenso 10V.

c) a freqncia angular e a expresso matemtica para as variaes instantneas

desse sinal;

d) o valor da tenso no instante t=0s;

Soluo: o fasor tem mdulo de 10V e parte de -30o (ou /6 rad). Sua representao grfica fica como apresentada na figura 5.2.5(a). Como a fase inicial de =-30o a senide comea o seu semiciclo positivo no ngulo =+30o.

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O valor de pico positivo (10V) ocorrer em 90o+=120o e assim por diante, como mostra o grfico da figura 5.2.5(b).

Como a rotao completada aps 0,02s, a freqncia angular pode ser determinada

por:

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OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS A representao fasorial importante na anlise de circuitos eltricos pois permite

realizar facilmente diversas operaes matemticas entre tenses, correntes e

potncias, sem usar a funo do domnio do tempo (expresses trigonomtricas) ou a

representao grfica da onda.

A representao trigonomtrica permite algumas operaes matemticas usando equaes chamadas identidades trigonomtricas, mas dificultam os clculos.

Considerando que sinais senoidais de tenso e de corrente podem ser representados

atravs de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por nmeros

complexos, podemos oper-los atravs da lgebra aplicvel aos nmeros complexos.

Feito isso podemos converter novamente o fasor resultante para o domnio do tempo e

encontrarmos novamente uma funo senoidal. A figura 5.4.1 representa esse

procedimento.

Fasores podem ser operados atravs da lgebra dos nmeros complexos.

Observao: Na notao fasorial a funo seno sempre a referncia e a freqncia no representada, portanto:

A lgebra fasorial para sinais senoidais aplicvel somente para sinais de mesma freqncia.

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A representao fasorial atravs de nmeros complexos na forma retangular e na forma polar, permite todas as operaes matemticas mais direta e facilmente e segue as mesmas regras para operaes com nmeros complexos estudadas em

matemtica.

Observao: possvel transformar nmeros complexos da forma de polar para a forma retangular e vice-versa. Por exemplo, podemos transformar um fasor tenso na

forma polar para a forma retangular e vice-versa, como demonstrado na figura 5.4.2.

O diagrama fasorial permite somente operaes grficas de adio e subtrao. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtrao de

vetores atravs do Mtodo do Paralelogramo. Assim como para os vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma grfica ou analtica, como mostra a figura

5.4.3:

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Como devemos somar e subtrair os sinais, devemos operar estes nmeros complexos

na forma retangular. Assim, transformando para a forma retangular:

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A partir dos sinais senoidais no domnio do tempo, as formas de onda podem ser

traadas, como indica a figura 5.4.4.

Podemos perceber como a lgebra fasorial facilita as operaes com os sinais

senoidais que, na forma trigonomtrica, apresentam maior complexidade.

TABELA RESUMO De acordo com o que estudamos, podemos concluir que h quatro maneiras de

representarmos um sinal senoidal: atravs do grfico da forma de onda, do diagrama

fasorial, da expresso matemtica trigonomtrica e dos fasores.

A forma de onda a representao mais visual, mostrando a variao peridica do sinal atravs dos grficos em funo do tempo ou em funo do ngulo. O

osciloscpio o instrumento utilizado para visualizarmos a forma de onda de um sinal

eltrico de tenso.

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O diagrama fasorial uma forma grfica simplificada de representarmos o sinal senoidal, permitindo fazermos operaes grficas de soma e subtrao entre vrios

sinais de tenso ou entre sinais de corrente.

A expresso matemtica na forma trigonomtrica representa a funo de forma completa, mostrando todos os detalhes do sinal e permite a determinao dos seus

valores instantneos.

A representao de sinais senoidais atravs dos fasores utiliza os nmeros complexos e a forma mais simplificada da funo, contendo apenas a amplitude e o

ngulo de fase inicial do sinal.

Essa representao permite facilmente operaes de soma, subtrao, multiplicao e

diviso entre vrios sinais eltricos.

A tabela 5.5.1 apresenta um resumo das representaes matemticas para os sinais

senoidais de tenso e corrente.