Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuase alternadas.

Em diversos dispositivos, a forrna de onda da corrente depende daforrna de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos mesmos, ouseja, se são resistivos, indutivos ou capacitivos.

Este capitulo tem por objetivo o estudo gráfico e matemático daforrna de onda senoidal, que é a mais importante para a análise de circuitosem corrente alternada.

Sinal Contínuo (CC ou DC)

O sínal contínuo (CC- Corrente Continua ou DC -Direct Current)tem sempre a mesma polaridade, podendo seu valor ser constante ouvariável. A figura 2.1(a) mostra um resistor alimentado por uma fonte detensão contínua e constante, bem como as forrnas de onda da tensão (b)e dacorrente (c).

(a) Circuito (b) Tensão Continua (c) Corrente Continua

Figura 2.1 -Formas de Onda da Tensão e Corrente Continuas

Sinal Alternado (CA ou AC)

O sinal alternado (CA - Corrente Alternada ou AC - Altemoteeu rren t) varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo decomo essa variação ocorre, tem-se diversas fonnas de sinais alternados(senoidal, quadrada, triangular etc).

Dessas formas de onda, a mais importante para nosso estudo é ascnoidal, que será abordada daqui em diante. .

Representação Gráfica

Uma tensão senoidal pode ser representada Hraficamente de duas(<l1l11"~: nos domínios temporal e angular, como mostra a figura 2.2.

(b) Dominio Angular

Figura 2.2 - Gráficos da Tensão Senoidal

Valor de Pico e Valor de Pico a Pico -

A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidalpode atingir é denominada tensão de pico V e a amplitude total, entre osvalores máximos posítivo e negativo, é denomi~ada tensão de pico a pico

.Vpp' sendo:

I \Ípp = 2.Vp I

Período e Freqüência

O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamadode período (T) e o Iiúmero de vezes que um ciclo se repete por segundo échamado de freqüência (t), sendo a relação entre eles a seguinte:

~;~~W~Onde: [TI = s ~ segundo

[I] = Hz ou c/s => Hertz ou ciclos/segundo

Representação Matemática

Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domíniostemporal e angular podem ser representados, respectivamente, por:

(,W-:' _- ;omJ' ";f,li;"''';;~·7Tv:'S1:~po,.~:s~,;,<~~'f;,,,"''',-'':':..•..-,..ct'~~'·.,f~ < ~

'+,v(t),=N"'I'Serl 'Clít<!ii~')!S'e~'i'~~fjj,~;!Ijj"v(el;=f,JS!'''!sene"~iJm;f<!;li?-;~'P;S}iiiB;:JPd#;~i!J'I,f!5f::;;'~!~"1'~H·~;;i.~\1,;;M~!~<i,•• ::1J".P_I~:;~~.;f<

Onde: v(t)= v(e} = valor da tensão no instante t ou para o ânguloe (em V)

Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em V)

úl = freqüência angular (em rd/s)

e = ãngulo (em rd)

Freqüência Angular

A freqüência angular ou velocidade angular, representada pelaletra grega 00 (õmega), corresponde à variação do ângulo e do sinal em funçãocio tempo.

Das expressões matemáticas anteriores, tem-se a relação: e = o:t .

Pelos gráficos da figura 2.2, quando e = 21t, tem-se que t = T.Assim, é válida a relação 21t = 00. T . Portanto, a freqüência angular 00 podeser calculada por:

~f'~I1f~ilt~~f~:If~Exemplo:

I Analisemos o seguinte sinal senoidal: I

Tensão de pico: Vp = 5 V

Tensão de pico a pico: Vpp = 10 V

Como um ciclocompleto se repete a cada 0,25 s, seu período valeT = 0,25 s.

Em 1 s são completados 4 ciclos, isto é, a freqüência vale: f = 4 c,5 = 4 Hz.

Matematicamente, tem-se, portanto: f =.!. = _1_ = 4HzT 0,25

A freqüência angular vale: 00 = 21t.f = 21t.4 = 81t rd / s

Como esta tensão está representada graficamente no domíni<tempo, sua expressão é:

l'

v(t) = Vp.senOJl:=> v(t) = 5.sen81rt

Para sabermos o valor da tensão num determinado instante t, porexemplo, em t = 0,6 s, basta substituirmos este valor na sua expressãomatemática:

v(t) = 5.sen(8n.0,6) = 2,94V

Fase Inicial

Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seuciclo no instante t=O s. Neste caso, dizemos que o sinal poss~ uma faseinicial ao.

Assimsendo, a expressão completa para representar o sinal senoidaldeve incluir esta fase inicial, conforme segue:

1~K~I~1{,~~~~a}~Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, ao é positivo. Se o sinal

inicia o seu ciclo atrasado, ao é negativo, como mostra a figura 2.3.

I(b) Sinal Atrasado

•Figura 2.3 -Representação Gráfica da Fase Inicial

Exemplo:

Representar graficamente os segUintessinais senoidais:

vI (t) = 10.sen(20k1rt + n / 3) (V)

v2(t) = 15.sen(8k7tl:- 30°) (V)

A freqüência de vI(t)vale: f = ~ = 20kn = 10kHz2n 2n

Portanto, seu período é de: T = 1-. = _1_ = 0,1ms = 100JlS. f 10k -J"

o sinal inicia o seu cicloadiantado de 1t/ 3 rd, e para t = O,tem-se:

1tVI(O)= 10.sen 3 = 8,66V

A freqüência de vz(t)vale: f = ~ = 8k1t = 4kHz21t 21t

Portanto, seu período é de: T = f = 4~ ~ à,25ms = 250JlS

O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° (ou 1t/6 rd), e parat = O, tem-se:

vz(O)= 15.sen(-300) = -7,5V

Defasagem

Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinalsenoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles.

A diferença de fase ~e entre dois sinais de mesma freqüênciaé denominada defasagem, sendo que a mesma é medida tomando-se um dossinais como referência.

Exemplos:

Qual a defasagem entre os seguintes sinais:

a) vI (t) = 10. sen(rot+1t/ 2) (V)

vz(t)=5.senrot (V)

Graficamente, tem-se: I

Portanto, vI está adiantado de 1t/ 2 rd em relação a Vzou Vzestá atrasado de 1t/ 2 rd em relação a vI' Isto significa quea defasagem de vI em relação a vZ é de ~e= 1t/ 2 rd ou adefasagem de Vzem relação a vI é de ~e= -1t / 2 rd,

..v

b) VI(t) = 18. sen(OJI:-1t / 4) (V)

V2(t) = 12.sen(oí-1t/4) (V)

Graficamente, tem-se:

Portanto, vI e v2 iniciam o ciclo atrasados em 1t/4 rd, mas

a defasagem entre eles é nula (1l8 = O) ,isto é, os sinais estãoem fase ou em sincronismo. .•

c) vI (t) = 12.sen(oí + 1t/ 4) (V)

V2(t) = 8.sen(<tí -1t / 2) (V)

Graficamente, tem-se:

1'1Em relação a vI' tem-se:

, 1t 1t 31t118= 802 - 801 = -- - - = --rd

2 4 4

Portanto, v2 está atrasado de 31t / 4 rd em relação a vI'

Em relação a v2' tem-se:

1t ( 1t) 31t118= 801 -802 ="4- -2 =4rd

Portanto, VI está adiantado de 31t / 4 rd em relação a v2'

Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ouvetor girante de amplitude igual ao valor de pico (V ) do sinal, girando no

psentido anti-horário com velocidade angular CJ) • A este tipo de representação,dá-se o nome de diagrama fasorial, como mostra a figura 2.4.

Figura 2.4 -Diagrama Fasorial de um Sinal Senoidal

Sinais genoidais 31

A projeção do segmento OP = Vp no eixo vertical é uma funçãoseno, reproduzindo, portanto, a tensão senoidal v(t}ou v(e}:

A figura 2.5 mostra o diagrama fasorial e os valores instantâneos detensão para vários valores de e ou cot:

Figura 2.5 - Valores Instantâneos de um Sinal Senoidal.•Os valores instantâneos podem ser calculados facilmente por:

e = o ~ v(e}= Vp.senOo= o9 = 30° ~ v(e}= Vp.sen300= 0,5.Vp9=60° ~ v(e}=Vp.sen600=0,866.Vpe = 90° ~ v(e}= Vp.sen900= Vp9 = 120° ~ v(e)= Vp.sen1200= 0;866.Vp

e assim por diante, para quaisquer outros valores de 9.

Se no instante t=O o vetor OP formar um ângulo eo com 'areferência do diagrama fasorial (parte positiva do eixo horizontal), istosignifica que o sinal possui úma fase inicial e, portanto, o valor instantâneoda tensão será dado por:

1"G(t};~;N':~Q(~i::~)::1

Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 90 é positivo. Se o sin:

inicia o seu ciclo atrasado, eo é negativo, como mostra a figura 2.6.

(a) Sinal Adiantado (b) Sinal Atrasado IFigura 2.6· Representação Fasorial da Fase Inicial

Exemplo:

Representar os seguintes sinais seiloidais graficamente e através dediagrama fasorial correspondente:

VI (t) = 10.sen(1007tl:+ 1t/3) (V)

vz(t} = 15.sen(207tl:-300} (V) !i

A freqüência de v1(t)vale: f = ~ = 1001t = 50Hz '. ~ ~ r

!

Portanto, seu período é de: T =!= l- = 20ms If 50 '

i

O sinal inicia o seu ciclo adiantado de 1t/3 rd, e para t = O, ter.:-Ise: I

1t IVI (O)= 10.sen- = 8,66V"

3 ~.I1..- .....

00=100 rrrd/s--.....VI

v,(Vj

10

Exemplo:-------------------Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do

diagrama fasorial correspondente, determinando a defasagem entre eles:

t (ms) VI(t) = 5.sen(lOO1tt+ 1t /3) (V)

vz(t) = 8.sen(1001tt -1t /6) (V)

A freqüência de v2(t)vale: f = ~ = 201t = 10Hz21t 21t

Pelas expressões, as representações gráfica e fasorial desses sinaissão as seguintes:

Ol=l00md/s.....---v(V)

0)=20 mdls~

V2

wt(rd)

Portanto, seu período é de: T = + = :0 = 100ms

o sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° (ou 1t / 6 rd), e parat = O, tem-se:

vz(O)= 15.sen(-300) = -7,5V

t (ms)

Assim, tanto pelo diagrama fasorial como pelo gráfico, é possívelverificar que a defasagem entre os sinais é de 1t / 2 rd ou 90° , sendo quevI está adiantado em relação a vz.

Adefasagem óe entre dois sinaissenoidais de mesma freqüência, pode, também, ser visualizada num diagrama fasorial.

Como foi visto no Capítulo 1, um número complexo tem ummódulo e fase, como na representação fasorial. Isto sugere a possibilidadede se representar um sinal senoidal também por um número complexo, sendoa amplitude e a fase inicial do sinal correspondentes respectivamente aomódulo e ao ângulo do número complexo.

Sinais Senoidais 35

v ~ tensão complexa (variável)

V ~ tensão de pico (valor fixo)p

~ letra minúscula

• Diagrama Fasorial: Representa o fenômeno graficamentede forma mais simplificadaque a forma de onda, permitindo,inclusive, operações de soma e subtração de vários sinais.

• Expressão Trigonométrica:Representa matematicamentea função com todos os seus detalhes, como: amplitude,freqüência angular e fase inicial, além de permitir o cálculode valores instantâneos.

• Número Complexo: Representa matematicamente afunção de forma mais simplificada que a expressãotrigonométrica, informando apenas a amplitude e a faseinicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração,multiplicação e divisão de vários sinais.

Nomenclaturas utilizadas matematicamente:

Expressão trigonométrica: v{t) = VP' sen(cd: + 90 )

v{t)~ tensão instantânea (variável) ~ letra minúscula

VP ~ tensão de pico (valor fixo) ~ letra maiúscula

Expressão em número complexo:

~ letra maiúscula

Forma Trigonométrica Número Complexo

vI (t) = 10.sen cd: (V) vI ~ 10 1'0° V

v2(t) = 15.sen(rot+600) (V) v2 = 15 160° V

Exemplo:---------Vejamos as quatro formas diferentes de se representar uma tensão

senoidal:

Forma de Onda:v(fJ)[Vj

Exemplo:

Representar as tensões v1(t)e v2{t)a seguir na forma de númeroscomplexos:

OBSERVAÇÃO:

wt

• No caso de tensões, correntes e potências elétricasrepresentadas por números complexos, os móclulospodemser dados tanto por valores de pico quanto por valoreseficazes, sendo que este último conceito será estudado maisadiante neste capítulo.

Por que quatro formas de representação de um sinalsenoidal?

Diagrama Fasorial:v(8)

• Forma de Onda: Representa visualmente o sinal, tal comoele é e como aparece no osciloscópio, durante a análise deum circuito. Ele pode estar no domínio temporal v(t) ouangular v(8).

36 Sinais Senoidais

Expressão Trigonométrica: v(t) = 12.sen(0JI:+ 600) (V)

Número Complexo: v = 12 1600 V ou v = 6 + jl0,39 V

Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, sãonecessárias diversas operações matemáticas entre tensões, correntes epotências.

As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto comdiagrama fasorial como através dos números complexos, embora este último

.processo seja o mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, àprecisão dos resultados. Já, as operações de multiplicação,divisão,potenciaçãoe raiz quadrada devem ser realizadas somente por números complexos, dadasas limitações do digrama fasorial.

Adição e Subtração .•Já vimos no Capítulo 1, como as operações de adição e subtração

. podem ser feitas com números complexos. Obviamente, isto vale tambémquando os números complexos representam tensões, correntes e potências.

Com o diagrama fasorial, tais operações podem ser realizadasatravés de um processo gráfico denominado método do paralelogramo.

Para isso, é necessário conhecer uma propriedade da representaçãopor diagrama fasoriak como segue:

Número Negativo (ou Multiplicado por -1)

Num diagrama fasorial,dado um fasor, o seu negativocorresponde aodeslocamento do fasor em 180°. Nos números complexos, isto corresponde a:

Forma Polar:

Somar ou subtrair 180° na fase.Forma Cartesiana:

Trocar os sinais das partes real e imaginária.

Exemplos:

Dadas as tensões a seguir, obter VI+ v2 e VI - v2 por diagramafasorial e por números complexos, representando o.resultado graficamente:

a) VI = 20 ~ V e v2 = 5 ~ V

VI+v2=20~+ 5100=20+5=25=25~ V

VI- v2 = 20 ~ - (5 ~) = 20 ~ + 5 11800 =}

vI-v2=20-5=15=15 ~ V

b) Vl = 20 lJt.. v e Vz = 12 1-90° V

V1+V2 =20lJ!:. + 12 I-90° =20-j12=23,32 1-30,96° V

V1-v2 = 20 ~ - (12 1-90° )= 20 ~ + 12 1-900+180°=>v1- vz= 20 LQ:. + 12 190° = 20 + j12 = 23,32 130,96° V

c) vl = 20 1600 V e Vz = 10 1-30° V

vl+vz=20 1600 + 10 1-300 =10+jI7,32+8,66-j5::::>vI + v2 = 18,66 + j12,32 = 22,36 133,430 V

VI -Vz = 20 1600- (10 I-30°)::::>

VI -Vz = 20 1600 + 10 1-30°+180° ::::>vI - Vz = 10 + j17,32 - 8,66 + j5 = 1,34 + j22,32::::>vI - Vz = 22,36 186,56° V

Multiplicação e Divisão

Para realizar operações de multiplicação e divisão envolvendotensões, correntes e potências complexas, basta utilizar a forma polar,conforme foi visto no Capítulo 1, uma vez que através de diagrama fasorial,tais operações seriam extremamente complicadas.

A resistência elétrica, quando submetida a uma tensão alternada,produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesmafreqüência e mesma fase da tensão, porém, com amplitude que dependedos valores da tensão aplicada e da resistência, conforme a PrimeiraLei deOhm, que pode agora ser generalizada para sinàis alternados senoidais.

Tensão e Corrente na Resistência Elétrica

Considere o circuito a seguir, no qual uma fonte de tensão senoidalv(t) alimenta um resistor R:

Sendo: v(t) = Vp.sen(oí + 80)

Pela Primeira Lei de Ohm, tem-se:

i{t)= v(t) ~ i{t)= Vp .sen(oí + 80) ~R R.

i{t)= Ip.sen(OJI:+ 80)

Vonde: Ip = ; é o valor de pico da corrente.

A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representaçãQfasorial desses sinais estão mostradas na figura 2.8.

(a) Diagrama Fasorial (b) Formas de Onda

'Figura2.8 - Tensão e Corrente C.A. num Resistor

Como se vê, o resistor não provoca nenhuma defasagem entretensão e corrente e, portanto, a resistência elétrica pode ser representada po~um número complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou.composto apenas pela parte real R (na forma cartesiana), isto é:

Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos,,tem-se, portanto:

v=Vp ~ e R=R~

v V 180 Vi=R=~=;180-00 ~i=Ip~

Potência Dissipada pela Resistência Elétrica

Vejamos agora o que acontece com a potência .elétrica numaresistência submetida a uma tensão alternada senoidaI.

A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica Rpode ser obtida pelo produto, ponto a ponto, entre v(t)e i(t),ou em funçãode R, isto é:

A figura 2.9 mostra como fica a forma de onda da potência:

Figura 2.9 - Tensão, Corrente e Potência C.A. num Resistor

Como resultado, tem-se que a potência elétricaconsumida é pulsantee sempre positiva, pois num mesmo instante, a tensão e a corrente sãoambas positivas ou negativas, o que prova que, independente da polaridadeda tensão ou do sentido da corrente, a resistência comporta-se sempre comoum receptor, consumindo a potência fornecida pela fOnte, que por sua vez,comporta-se sempre como um gerador.

Além disso, nota-se que a freqüência da forma de onda da potênciaé o dobro da freqüência da tensão e da corrente.

Neste caso, P representa a potência de pico, e vale:p

1·;,~~llY'~i~tlPela figura 2.9, percebe-se também que, enquanto a corrente e a

tensão têm valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada peloresistor é a metade da potência de pico, ou seja:

Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa naanálise da potência nos circuitos em corrente alternada.

Para sinaisalternados senoidais, existe um conceito muito importan:edenominado valor eficaz ou rms.

O valor eficaz V f ou V de uma tensão alternada corresponci'Ôe ~5 .ao valor de uma tensão contínua que, se aplicada a uma resistência, faria co~.que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tens~,oalternada.

Asmedidas de tensão e corrente alternadas realizadaspor mu!tímetrcssão dadas sempre em valores eficazes.

Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensãoeficaz V pode ser calculada a partir do valor de pico V ou de pico a pie.)V rTlJ5d 't - P, atraves as segum es expressoes:pp

OBSERVAÇÕES:

• A sigla rms significa root mean square ou raiz médiaquadráticaj

• O conceito de valor eficaz é aplicado também à correnteelétricaj

• As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes(110 Vrmse 220 Vrms).

Para compreender melhor 6 significado físico deste valor,consideremos um sinal senoidal com tensão de pico V alimentando umresistor R, conforme a figura 2.10: p

(a) Circuito (b)Sinais

Figura2.10 - Sinais Senoidais num Circuito Resistivo

A tensão e a corrente eficazes no resistor valem, respectivamente:

V I . VV = -E.. e I = -P- onde: I =---.E.rms J2 rms J2 P R

A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valol"("~eficazes de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisad,lno tópico anterior, ou seja:

_ _ Vp Ip _ Vp.IpP - Vrms·Irms - .J2. J2 - -2-

Desta forma, para sinais alternados senoidais, é muito mais fácilItrabalhar em função de vàlores eficazes, uma vezque a potência resultante no::-cálculos já corresponde à potência média P.

Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistOluma tensão C.C. de valor igual ao da tensão eficaz, conforme mostra a figuri,\2.11. .

Figura2.11 - Correspondência entre V e Vrms cc

Desta forma, a potência pode ser calculada por uma das seguintesexpressões:

Apenas para finalizar,já vimos que as tensões e correntes alternadassenoidais num circuito podem ser representadas por números complexos.Daqui em diante, os seus módulos poderão ser expressos em valores depico ou eficazes, sendo que neste último caso, suas grandezas ouunidades deverão vir acompanhadas da sigla rms, para que não sejamconfundidas, isto é:

Exemplos:

1) Uma fonte c.A. com tensão de pico V = 100V alimentap

um resistor de valor R = 100.0.. Qual a tensão c.c. que,aplicada a este resistor, faz com que ele dissipe a mesmapotência?

A tensão eficaz vale:

Vp· 100v(t)=lOO.senoot - R=lOon Vnns = .J2 = .J2 = 70,7 V

A potência dissipada pelo resistor vale:2

P = Vnns = (70,71 ==50WR 100.•

Assim, a mesma potência seria dissipada se fosse ligada aoresistor de 100.0. uma tensão contínua de 70,7V.

2) No Brasil, as residências recebem pela rede elétrica astensões de 110V e220V , ambas com freqüência denns nns .60 Hz. Determinar, para ambos os sinais:

a) O período: '

O período é o mesmo para ambos os sinais:

1 1T=-=-==1667msf 60 '

b) A freqüência angular:

.A freqüência angular é a mesma para ambos os sinais:

(j) == 2n. f == 2n.60 == 120n ==377 rd / s

l'

c) Valores de pico e de pico a pico:

Vnns = 110 V

Vp = .J2. Vnns = .J2.110 ==156V

Vpp= 2J2. Vnns = 2J2.110 ==311V

Vnns = 220 V

Vp = .J2.Vnns = J2.220 ==311V

Vpp= 2.J2. Vnns = 2J2.220 ==622V

d) Expressões matemáticas:

Vnns = 110 V

v{t}= Vp.senrot => v{t}= 156.sen377t M

V = 220 Vnns

v{t)= Vp.senrot => v{t)= 311.sen377t M

3) Um chuveiro elétrico residencial tem o circuito lnlUll10 U

especificações a seguir:R, R,

Alimentação: 220 VIII 111

220V"", Potência Inverno: 3!>()O W60Hz

Potência Verão: 2500 W• Desligado

a) Qual o valor das resistências RI e Rz?

Na posição inverno, apenas a resistência RI é alimcrdr\dnAssim sendo, seu valor pode ser calculado da seguinte fOlll1t1

v2 2202Pi = nns ~ RI = -- ~ RI == 13,83Q

RI 3500

Na posição verão, as duas resistências ficam associadas emsérie. Assim sendo, o valor de R2 pode ser calculado daseguinte ·forma:

V2 2202 .Pv = nns ~ RI +R2 = 2500 ~ RI +R2 = 19,36QRI +R2

:. Rz = 19,36 - RI ~ Rz = 19,36 :"'13,83 ~ Rz = 5,530

b) Qual o valor dos fusíveis que devem ser utilizados paraproteção da instalação elétrica?

A corrente é mais intensa quando o chuveiro está na posiçãoinverno:

~ 3500 -Inns = _1- ~.Inns = -2- ~ Inns = 15,91A

Vnns 2 O

O valor de pico desta corrente vale:

Ip = .J2.Inns ~ Ip = .J2.15,91 ~ Ip = 22,5A

Assim, os fusíveis devem ser dimensionados para uma correntemaior que 22,5 A. Comercialmente, existe, por exemplo,fusível de 30 A.

Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal

2.1- Dado o gráfico das tensões senoidais a seguir, pedem-se,para ambos os sinais:

a) Valor de pico e valor de pico a pico;

b) Período, freqüencia e freqüência angular;

c) Fase inicial e defasagem entre eles;

d) Expressão matemática.

2.2- Uma tensãosenoidal tem frequênciade 100Hz, valor de picode 10V e inicia o ciclo com atraso de 1t / 3 rd. Pedem-se:

a) Período e frequência angular;

b) Expressão matemática;

c) Representação gráfica.

Diagrama Fasorial

2.3- Represente os sinafs do Exercício Proposto 2.1 através dediagrama fasorial.

_ .•...-Representação com Niímeros Complexos

/

2.4- Represente os sinais do Exercício Proposto 2.1 através de. números complexos.

Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos

2.5- Dadas as tensões vI = 30 10° V e

v2(t) = 20.sen(rot+ 1t / 2) M, pedem-se os sinais:..a) v3 = vI + v2 fasorialmente;

b) v3 = vI + v2 matematicamente através de númeroscomplexos;

c) v3 = vI + v2 matematicamente através das expressõestrigonométricas;

d) v3 = vI + v2 graficamente (soma ponto a ponto);

e) v4 = vI - v2 fasorialmente;

f) v4 = vI- v2matematicamente atravésde númer~s complexos;

g) v4 = vI - v2 matematicamente através das expressõestrigonométricas;

h) v4 = vI - v2 graficamente (subtração ponto a ponto).

Circuitos Resistivos em C.A.

2.6- Dado o circuito a seguir, determine:

a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica ecomplexa;

b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t)e i(t)j

c) Expressões de vI(t) e v2(t)nas formas trigonométrica ecomplexa;

d) Formas de onda e representações fasor'iaisde v1(t)e v2(t);

e) Potências de pico e média fomecida pelo gerador edissipada por cada resistor;

f) Formas de onda das potências do item anterior.

2.7- Dado o circuito a seguir, determine:

a) Expressões de v(t) e i(t) naS formas trigonométríca \'complexa;

b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t)e i(tl;

c) Expressões de iI(t) e iz(t) nas formas trigonométrícíii (,complexa; .

d) Fonnas de onda e representações fasoriais de i1(t)e i

2(t);

e) Potências de pico e média fomecida pelo gerador edissipada por cada resistor;

f) Fonnas de onda das potências do item anterior.Valor Eficaz

2.8- Um aquecedor elétrico para tomeira tem o circuito a seguir:

llOVnns

60Hz

a) Qual a potência média e de pico dissipada pelo aquecedorem cada posição?

b) Qual a corrente eficaze de pico consumida pelo aquecedorem cada posição?