Relatório de Fotónica 1 - fenix.tecnico.ulisboa.ptP20... · O primeiro cabo submarino...

Relatório de Fotónica

1

A disciplina de Fotónica existe desde o ano lectivo de 2002/2003 (mais precisamente desde o

ano lectivo de 2001/2002, ano de transição curricular) onde pertencia ao 4.º ano da

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores do DEEC do IST (LEEC-

pB). A partir do ano lectivo de 2007/2008 este disciplina passou a integrar o MEEC do DEEC

do IST (segundo ciclo universitário no âmbito do Processo de Bolonha).

De certa forma esta disciplina representa uma evolução da antiga disciplina de FOOI

(Fibras Ópticas e Óptica Integrada) que terminou no ano lectivo de 2001/2002. A disciplina

de FOOI foi criada pelo Prof. Afonso Barbosa, tendo funcionado a partir do ano lectivo de

1992/1993. Desde o ano lectivo de 1996/1997 que o Autor deste Relatório passou a ser o

responsável por FOOI (e, posteriormente, por Fotónica).

O presente Relatório apresenta os objectivos, o programa, os conteúdos e os

métodos de ensino teórico e prático bem como o processo de avaliação da disciplina

de Fotónica. Esta disciplina faz parte do Mestrado em Engenharia Electrotécnica e

de Computadores (MEEC), no âmbito do segundo ciclo do ensino superior

universitário (Processo de Bolonha), ministrado pelo Departamento de Engenharia

Electrotécnica e de Computadores (DEEC) do Instituto Superior Técnico (IST).

Este Relatório destina-se a cumprir o disposto na alínea b) do artigo 5.º do Decreto-

Lei n.º 239/2007, de 19 de Junho, referente às provas de agregação tendo em vista a

atribuição do título académico de agregado.

2 Carlos R. Paiva

“Merely deducing one statement from another does not necessarily constitute

an explanation, as we see clearly in those cases where either statement can be

deduced from the other. Einstein inferred the existence of photons in 1905

from the successful theory of heat radiation that had been proposed five years

earlier by Max Planck; seventeen years later Satyendra Nath Bose showed that

Planck’s theory could be deduced from Einstein’s theory of photons.

Explanation, unlike deduction, carries a unique sense of direction. We have an

overwhelming sense that the photon theory of light is more fundamental than

any statement about heat radiation and is therefore the explanation of the

properties of heat radiation. And in the same way, although Newton derived

his famous laws of motion in part from the earlier laws of Kepler that describe

the motion of planets in the solar system, we say that Newton’s laws explain

Kepler’s, not the other way around.”

Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory: The Search for the

Fundamental Laws of Nature. London: Vintage, 1993 (p. 20)


3

Capítulo Página

1. Introdução 5

2. Objectivos 19

3. Programa 39

4. Aulas práticas 81

5. Avaliação de conhecimentos 119

6. Trabalhos de avaliação 139

7. Bibliografia comentada 175

Acrónimos usados em Fotónica 197

4 Carlos R. Paiva

“(...) a heterodoxia não é fácil. Serviço divino a poucos cometido, paga-o a

moeda que os deuses amam: a amargura e a solidão.”

Eduardo Lourenço, Heterodoxia. Lisboa: Assírio & Alvim, 1987 (p. 3)


5

No Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea da Academia das Ciências de Lisboa

(Lisboa: Verbo, 2001) podemos encontrar a seguinte definição de Electrónica: «ciência que

estuda o comportamento dos electrões sob a acção de campos eléctricos e magnéticos ou de

uma combinação dos referidos campos e das suas aplicações». Neste dicionário, porém, não

se encontra qualquer definição de Fotónica. Trata-se, obviamente, de um neologismo

derivado do inglês Photonics e que foi cunhado, precisamente, por analogia com Electronics.

Uma pesquisa na Wikipedia permite, porém, encontrar a seguinte definição:

Photonics is the science of generating, controlling, and detecting

photons, particularly in the visible and near infra-red spectrum, but also

extending to the ultraviolet (0.2 - 0.35 µm wavelength), long-wave

infrared (8 - 12 µm wavelength), and far-infrared/THz portion of the

spectrum (e.g., 2-4 THz corresponding to 75-150 µm wavelength)

where today quantum cascade lasers are being actively developed.

Photonics is an outgrowth of the first practical semiconductor light emitters invented in the

early 1960s at General Electric, MIT Lincoln Laboratory, IBM, and RCA and made practical

by Zhores Alferov and Dmitri Z. Garbuzov and collaborators working at the Ioffe Physico-

Technical Institute and almost simultaneously by Izuo Hayashi and Mort Panish working at

Bell Telephone Laboratories.

Podemos ser mais concisos e directos: a Fotónica é a ciência que estuda a geração,

transmissão, detecção e controlo dos fotões. Neste sentido engloba a Óptica e a

Optoelectrónica nas suas diferentes vertentes técnico-científicas. De certa forma a Fotónica é

uma nova designação para a Óptica a partir da segunda metade do séc. XX, i.e., depois do

6 Carlos R. Paiva

aparecimento dos lasers, dos lasers semicondutores, dos sistemas de comunicação óptica e da

óptica não-linear.

Assim, a Fotónica é a Óptica do séc. XXI e, portanto, engloba todas as suas sucessivas

generalizações teóricas: desde a Óptica Geométrica até à Óptica Quântica.

Geração, transmissão,

controlo e detecção

de fotões

Geração, transmissão,

controlo e detecção

de electrões

Óptica Geométrica

Óptica Ondulatória

Óptica Electromagnética

Óptica Quântica


7

A tabela seguinte tenta fazer uma análise mais compreensiva das várias áreas científicas da

Fotónica.

Óptica geométrica

Óptica ondulatória

Feixes ópticos

Polarização

Conceitos fundamentais

Óptica electromagnética

Cristais fotónicos

Guias ópticos planares

Fibras ópticas Propagação de ondas electromagnéticas

Cavidades ópticas

Interacção entre fotões e átomos

Amplificadores laser Lasers

Lasers (não-semicondutores)

Óptica dos semicondutores

Fontes ópticas semicondutoras Optoelectrónica

Fototedectores

Electro-óptica

Magneto-óptica

Acusto-óptica

Óptica não-linear

Dispositivos fotónicos

Óptica ultra-rápida

Redes ópticas e comutação Sistemas de comunicação óptica

Sistemas de transmissão óptica

8 Carlos R. Paiva

A utilização da designação «Fotónica» processou-se através de vários acontecimentos.

Porém, a primeira edição do livro

Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 1991

é, talvez, uma referência histórica ao mesmo tempo sintomática e sistematizadora. O

aparecimento da revista Optics & Photonics News (OPN) da OSA (ver lista de acrónimos no

fim deste relatório) é outro dado histórico relevante. Note-se que, tendo a OSA sido fundada

em 1916, o primeiro número da revista OPN data de 1989.

A invenção do laser é o marco histórico decisivo que está na origem de toda esta

evolução. Charles H. Townes, J. P. Gordon e H. J. Zeiger tinham construído o primeiro maser

– o análogo do laser para as microondas (Columbia University, 1953). Porém, deve-se a

Theodore H. Maiman a construção do primeiro laser (Hughes Research Laboratories, Malibu,

16 de Maio de 1960).

Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. Oxford: Oxford University Press,

2005.

Os sistemas de comunicação óptica, baseados nas fibras ópticas de baixas perdas,

constituem o outro passo tecnológico decisivo na evolução da Fotónica.

2a

2n1n

Fibra Óptica


9

As fibras ópticas dos anos 60 apresentavam perdas superiores a 1000 dB/km (os cabos

coaxiais exibiam cerca de 5-10 dB/km). Foi preciso um longo processo tecnológico para se

chegar até às fibras ópticas de baixas perdas (cerca de 0.2 dB/km perto do comprimento de

onda de 1.55 µm). Os primeiros sistemas de comunicação óptica disponíveis comercialmente

datam de 1980. O primeiro cabo submarino transatlântico com fibra óptica, o TAT-8,

começou a sua operação em 1988.

Jeff Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics. New York: Oxford University

Press, 1999.

Em 2006 a companhia japonesa NTT (Nippon Telegraph and Telephone Corporation)

anunciou que tinha conseguido fazer a demonstração de uma ligação com um débito binário

de 14 Tb/s (111 Gb/s com 140 canais WDM) para uma distância de 160 km sobre uma única

fibra óptica.

Na tabela seguinte indicam-se as «janelas» de transmissão utilizadas nos sistemas de

comunicação óptica.

Banda Comprimento de onda [nm]

O Original 1260 – 1360

E Extended 1360 – 1460

S Short 1460 – 1530

C Conventional 1530 – 1565

L Long 1565 – 1625

U Ultra-long 1625 – 1675

Note-se que, quando se definiu a Fotónica, não se falou em domínio óptico: quando se

fala em fotão está subentendido, quase sempre, que se está a operar no domínio óptico do

10 Carlos R. Paiva

espectro electromagnético. Este domínio não se limita, obviamente, às bandas ITU dos

sistemas de comunicação óptica.

De uma forma relativamente vaga é possível estabelecer o domínio óptico como a zona

espectral das frequências entre as microondas e os raios X, incluindo o espectro do visível

(380-750 nm) e estendendo-se até às zonas do ultravioleta (abaixo dos 380 nm) e do

infravermelho (acima dos 750 nm). O infravermelho estende-se desde 700 nm até 1 mm. O

ultravioleta, por sua vez, vai desde 400 nm até 10 nm. Os raios X, já fora do domínio óptico,

Consideremos um sistema de comunicação digital.

Admitamos que o débito binário B é cerca de 1% da

frequência 0f da portadora, i.e., tem-se 00.01B f= × .

Suponhamos que a informação se encontra organizada em

canais de audio a 0 64 kb/sB = . Comparemos, então, a

capacidade de informação em Fotónica com a que se verifica

em Microondas.

Em Microondas, para uma portadora 0 5 GHzf = , o

números total de canais será 0 800N B B= ≈ .

Em Fotónica, para uma portadora 0 1.55 µmc fλ = = ,

o número total de canais será 70 3 10N B B= ≈ × .


11

abrangem a zona compreendia entre 10 nm e 0.01 nm. As microondas, também fora do

domínio óptico, incluem UHF (0.3-3 GHz), SHF (3-30 GHz) e EHF (30-300 GHz).

Na evolução histórica da Fotónica muitos outros acontecimentos poderiam ser aqui

referidos. Vamos, porém, mencionar apenas mais dois: (i) os solitões ópticos; (ii) as fibras

amplificadoras dopadas com érbio ou EDFAs.

Os solitões ópticos têm uma dupla importância em termos da Fotónica:

• Constituem um exemplo teórico importante da Óptica Não-Linear, ao ponto de

poderem ser considerados como uma área específica própria de investigação em

Fotónica.

• As aplicações dos solitões ópticos compreendem várias sub-áreas: solitões

espaciais; solitões temporais (nomeadamente em fibras ópticas); solitões escuros;

solitões vectoriais; solitões em cristais fotónicos; solitões em acopladores não-

lineares; solitões paramétricos; etc.

Cor Comprimento de Onda

violeta 380–450 nm

azul 450–495 nm

verde 495–570 nm

amarelo 570–590 nm

laranja 590–620 nm

vermelho 620–750 nm

Domínio Óptico Visível

12 Carlos R. Paiva

Banda Comprimento de onda

EUV 10 nm – 120 nm

FUV 120 nm – 200 nm

MUV 200 nm – 300 nm UV

NUV 300 nm – 400 nm

VS 400 nm – 750 nm

NIR 0.75 µm – 1.4 µm

SWIR 1.4 µm – 3 µm

MWIR 3 µm – 8 µm

LWIR 8 µm – 15 µm

IR

FIR 15 µm – 1 mm

Existem vários livros que abordam estes aspectos diversificados dos solitões ópticos. Entre

eles destacam-se os seguintes:

Linn F. Mollenauer and James P. Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals

and Applications. San Diego, CA: Academic Press, 2006

Yuri S. Kivshar and Govind P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to Photonic

Crystals. San Diego, CA: Academic Press, Elsevier, 2003

Nail N. Akhmediev and Adrian Ankiewicz, Solitons: Nonlinear Pulses and Beams.

London: Chapman & Hall, 1997

Eugenio Iannone, Francesco Matera, Antonio Mecozzi, and Marina Settembre,

Nonlinear Optical Communication Networks. New York: Wiley, 1998

Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Comunications. New York:

Oxford University Press, 1995


13

Entretanto, dado que os solitões ocorrem em muias áreas científicas para além da óptica,

existem vários livros que abordam os solitões sob esta perspectiva mais geral. Citam-se, entre

eles:

P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge

University Press, 1989

Mark J. Ablowitz and Harvey Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform.

Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1981

G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley, 1999.

Uma revolução assinalável, do ponto de vista dos sistemas de comunicação óptica, foi

o aparecimento das fibras amplificadoras dopadas com (iões) de érbio ou EDFAs em 1989.

Esta revolução tem essencialmente a ver com a amplificação óptica – dispensando, deste

modo, a electrónica (que trabalha, necessariamente, em frequências não-ópticas, muito mais

baixas). Uma EDFA é, basicamente, uma fibra óptica que funciona como um amplificador

laser e que, por sua vez, utiliza lasers semicondutores para o seu bombeamento (em duas

bandas: 980 nm e 1480 nm). As EDFAs podem trabalhar quer na banda C (entre 1525 nm e

1565 nm, aproximadamente) quer na banda L (entre 1570 nm e 1610 nm, aproximadamente).

Existe uma vasta literatura sobre amplificação óptica e, mais especificamente, sobre EDFAs.

Refere-se, aqui, apenas um clássico sobre este assunto (outras versões mais recentes deste

livro apareceram entretanto):

Emmanuel Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers: Principles and Applications.

New York: Wiley, 1994

Não pertencendo a Fotónica (aqui entendida, stricto sensu, como a disciplina de que

trata este relatório) à área científica de sistemas, é natural que os sistemas de comunicação

óptica não façam parte do respectivo programa. Existem vários livros dedicados a este tópico

específico. Refere-se, apenas, aquele que – na minha opinião – é (ainda) o melhor livro

existente para esta área (dos SCO):

Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,

2002.

14 Carlos R. Paiva

O fotão é uma particula da mecânica quântica. Mais precisamente: da electrodinâmica

quântica ou QED (quantum electrodynamics). No âmbito da óptica quântica, o fotão é uma

partícula de massa (considerada) nula e que, portanto, tem (sempre) – em qualquer referencial

de inércia (imerso no vácuo) – a velocidade (por definição)

velocidade do fotão 299 792 458 m/sc→ = .

Partícula Onda

Radiação

Matéria

E ω

p k

MAXWELLEINSTEIN

de BROGLIE TEORIA ATÓMICA


15

c p

20 mc=E

E

K

0E

θ

Dinâmica relativista de uma partícula

2 2 20

2 2 20

02

0 0

0 0

2 2

1cos 1

sin

sec

pp

g

gp

c pp k c k

p mv

c p cv

v k pd dvdk d p

d c p cv vd p v

ω

ω ω

γγ

θ βωγ

ωθ β

ωωθ γω

= +== = +

==

= = −=

= = = = =

= == = =

= = = =

E EE

E E

E

E

E

EE

E

E

E

0 0 Kγ= = +E E E

16 Carlos R. Paiva

No âmbito da mecânica relativista uma partícula material tem uma energia total, num

dado referencial de inércia, E . Essa energia relaciona-se com a sua energia própria (ou

intrínseca) 0E , medida no seu referencial próprio, através da relação 0γ=E E . A sua energia

cinética é, então, dada por ( )0 01K γ= − = −E E E , i.e.,

( )( )

( )

( )

2

2

2

22

1

2 4 6 2

4 62

2 4

1

1 11

1 1! 2

1 3 152 8 48

1 3 152 8 48

n

n

K mc

mc

mc nn

mc

v vmv m mc c

γ

β

βπ

β β β

∞

=

= −

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞= Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

∑

o que mostra como, quando 1β , se recupera efectivamente a expressão newtoniana

212

c K mv→∞ ⇒ = .

No dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie, existe a correspondência ω=E e

p k= , onde p é o momento linear da partícula de velocidade v . O feixe de ondas que está

associado à partícula tem uma velocidade de grupo gv v= . A frequência da portadora será

então

2 2 22

2 pp

B g

v c c c pf v k k kv v v

πω π

λ= = = = = = =

E .

No referencial próprio da partícula existe apenas uma oscilação harmónica de frequência 0ω

tal que


17

2

0 0 00 0 2 22 mcf m

c cωω π= = = → = =

E E .

No caso do fotão, que tem uma massa 0m = , é 0 0=E e 0 0ω = , K=E , p gv v v c= = = ,

tendo-se portanto

0c p

mc kω

== →

=E

o que mostra que qualquer fotão possui um momento linear – como revela quer o efeito

fotoeléctrico quer o efeito Compton.

0 h fm pc c c

ω= → = = =

E .

“Récemment, j’ai entendu un collègue de l’Académie vanter les mérites de sa

discipline en faisant état du chiffre d’affaires réalisé en France par le secteur

industriel correspondant: argument, selon mon propre point de vue, tout

simplement monstrueux et m’amenant à souhaiter une ségrégation plus nette

entre la science proprement dite et ses applications technologiques.”

René Thom, Paraboles et Catastrophes. Paris: Flammarion, 1983 (p. 13)

18 Carlos R. Paiva

“Matter is composed of fermions, while the fundamental unit of light, the

photon, is the typical boson. A fermion can emit or absorb a boson, and, in the

process, it can either remain unchanged or transform itself into another

fermion. In this sense physicists speak of bosons acting on fermions. The

shuttling of bosons back and forth between fermions produces the forces we

observe.”

Anthony Zee, Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics.

Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007 (p. 270)

“Maxwell’s 1873 Treatise on Electricity and Magnetism is difficult to read,

because it is based on the idea that electric and magnetic fields represent

tensions in a physical medium, the ether, in which we no longer believe. In this

respect, Maxwell is pre-Maxwellian. (…) Maxwellianism – the theory of

electricity, magnetism, and light that is based on Maxwell’s work – reached its

mature form (which does not require reference to an ether) by 1900, and it is

this mature Maxwellianism that we teach our students. Later they take courses

on quantum mechanics in which they learn that light is composed of particles

called photons, and that Maxwell’s equations are only approximate; but this

does not prevent them from continuing to understand and use Maxwellian

electrodynamics where appropriate.”

Steven Weinberg, Facing Up: Science and Its Cultural Adversaries.

Cambridge, MA: Harvard University Press, 2001 (pp. 195-196)


19

O objectivo essencial da disciplina de Fotónica é o de ensinar alguns conceitos

fundamentais.

Óptica geométrica: métodos variacionais.

Feixes ópticos.

Teoria elementar da dispersão. Introdução aos metamateriais com índice de

refracção negativo.

Cristais fotónicos.

Análise modal de guias dieléctricos planares.

Interacção entre fotões e átomos: amplificação e oscilação laser.

Lasers semicondutores.

Introdução à mecânica quântica.

Fibras ópticas: regimes linear e não-linear. Solitões em fibras ópticas.

Meios anisotrópicos. Efeito electro-óptico.

Óptica relativista. Meios em movimento.

É dada especial atenção à simulação numérica: equações das taxas em lasers

semicondutores; diagramas de dispersão; modelo de Kronig-Penney; propagação de

impulsos em fibras ópticas (regimes linear e não-linear).

Introduz-se a álgebra geométrica (de Clifford) no plano, no espaço e no espaço-

tempo de Minkowski. Consideram-se as duas aplicações seguintes: (i) meios

anisotrópicos; (ii) óptica relativista.

20 Carlos R. Paiva

A disciplina de Fotónica pretende ensinar alguns conceitos fundamentais desta área científica.

Alguns desses conceitos são apresentados da forma que é habitual. Outros, porém, são

apresentados de forma heterodoxa: quer os meios anisotrópicos quer a óptica relativista são

analisados segundo uma perspectiva pedagógica inovadora: utiliza-se, em ambos os casos, a

álgebra geométrica (de Clifford).

A programação (e.g., usando MATLAB) é um instrumento fundamental desta disciplina. Em

vários capítulos é necessário o recurso a um computador para a resolução numérica de

determinados problemas. Listam-se, de seguida, alguns tópicos que requerem programação.

Resolução numérica das equações das taxas (lasers semicondutores com modulação

directa da corrente de injecção)

Bandas de energia no modelo de Kronig-Penney (resolução da equação de Schrödinger

independente do tempo em mecânica quântica)

Resolução numérica das equações modais de guias ópticos (quer no caso dos guias

planares quer no caso das fibras ópticas) e representação gráfica (diagramas

operacionais e diagramas de dispersão)

Simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas (quer no regime

linear quer no regime não-linear).

Bibliografia sobre MATLAB G. Lindfield and J. Penny, Numerical Methods Using MATLAB. London: Ellis

Horwood, 1995

Ting-Chung Poon and Taegeun Kim, Engineering Optics with MATLAB®.

Singapore: World Scientific, 2006


21

O objectivo de introduzir a álgebra geométrica é o de mostrar como esta estrutura matemática

permite tratar, de forma unificada, matérias (aparentemente) sem relação entre si. Com efeito,

a álgebra geométrica constitui-se como uma linguagem universal. Através desta nova

linguagem matemática é possível tratar (entre outros): mecânica newtoniana; processamento

de sinais; robótica; ciência dos computadores; electrodinâmica clássica; relatividade restrita;

mecânica quântica; geometrias não-euclidianas; relatividade geral; electrodinâmica quântica.

Bibliografia sobre álgebra geométrica Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University

Press, 2nd ed., 2001

David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer

Academic Publishers, 2nd ed., 1999

Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:

Cambridge University Press, 2003

Leo Dorst, Daniel Fontijne, and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer

Science. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007

William E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach. Boston:

Birkhäuser, 1999

Rafał Abłamowicz and Garret Sobczyk, Lectures on Clifford (Geometric) Algebras

and Applications. Boston: Birkhäuser, 2004

William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With Applications in

Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996

David Hestenes and Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A

Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1984.

22 Carlos R. Paiva

1e 2e 12e

1e 1 12e 2e

2e 12−e 1 1−e

12e 2−e 1e 1−

Tabela multiplicativa em 2C

12 1 2 1 2= = ∧e e e e e

( )

( )2

2

simetriaanti-simetria

1212

= ⋅ + ∧

→ ⋅ = ⋅→ ∧ = − ∧

⋅ = + ∈= ⋅ + ∧→

= ⋅ − ∧∧ = − ∈

ab a b a b

a b b aa b b a

a b ab baab a b a bba a b b a a b ab ba ∧

( )( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2 2 1

21 2 2

22

2 21 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 21 2 1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2

1

base ortonormada de vectores do plano ,

1, 0

produto geométrico

0

x y C

x y x y x y x y

x y x y x y x y

→

= = ⋅ = ⋅ =

= + ∈ ⊂

→ = =

= + + = + + +

= + = + ⋅ + = +

∴ + = ⇒ = −

e e

e e e e e e

r e e

r rr r

rr e e e e e e e e

r e e e e e e

e e e e e e e e

e( ) ( )( ) ( )( )2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1= = − = − = −e e e e e e e e e e e


23

1 2 12BASE : 1 ,

escalares vectores pseudoescalares

e e e

( )2

2

20 1 2

0

1

122

11 1 dim

1 2 1

22 2

escalar

2 vector

22 pseudoescalar

1 2 1 4C

Cu u u u C

u

u

u

α

β

→

→

→

→

= + + =

= ⊕ ⊕= + + ∈

= ∈

= ∈

= = ∈

∧

∧a

F e

24 Carlos R. Paiva

1 2 3 23 31 12 123BASE : 1 , , , ,

escalares vectores bivectores pseudoescalares

e e e e e e e

( )3

3

30 1 2 3

0

1

2

1233

11 1

dim1 2 1

1 3 3 1

2 33 3 3

escalar

3 vector

23 bivector

33 pseudoescalar

1 3 3 1 8C

Cu u u u u C

u

u

u

u

α

β

→

→

→

→

→

= + + + =

= ⊕ ⊕ ⊕= + + + ∈

= ∈

= ∈

= ∈

= = ∈

∧ ∧

∧∧

a

F

V e


25

a

b

×c = a b

∧F = a b

3 : produto exterior e produto externoC

a

b

c∧ ∧V = a b c

33 : pseudoescalar (ou elemento de volume) em C

26 Carlos R. Paiva

0 1 2 3 10 20 30 12 13 23 012 013 023 123 01231 , , , , , , , , , , ,

escalares vectores bivectores trivectores pseudoescalares

=e e e e e e e e e e e e e e I e

( )3

2 3 44 4 4 4

1,3

1,30 1 2 3 4

0

1

2

3

4

dim 1 4 6 4 1 16

escalarvectorbivectortrivectorpse

11 1

1 2 11 3 3 1

1

udoes

4 6 4 1

calar

C

C

u u u u u u C

uuuuu

α

= + + + + =

= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

= + + + + ∈

= →= →= →= →= →

→

aFTV

∧ ∧ ∧

202 2 21 2 3

1métrica de Lorentz

1=

→= = = −

ee e e


27

Quando se passa do espaço tridimensional ordinário para o espaço-tempo

quadridimensional de Minkowski é necessário adoptar uma métrica diferente. No espaço

tridimensional ordinário está implícita uma métrica euclideana. No espaço quadridimensional

de Minkowski a métrica deixa de ser definidia positiva – é uma métrica de Lorentz. Uma

consequência imediata disto é o conhecido «paradoxo» dos gémeos (ou dos relógios). Na

realidade não se trata de um verdadeiro paradoxo: é, apenas, uma manifestação de uma nova

métrica não-euclidiana – a métrica de Lorentz. Naturalmente que este tipo de problema se

torna fundamental em relatividade geral onde o espaço deixa de ter uma métrica rígida

(espaço plano) para ter uma métrica flexível (espaço curvo).

É claro que se pode perguntar: mas qual é a relevância disto para a Engenharia

Electrotécnica? A resposta é a seguinte:

Em primeiro lugar, o comportamento electromagnético é regido – ao nível

macroscópico – pelas equações de Maxwell. As equações de Maxwell, no âmbito do

grupo de Lorentz, têm uma relação íntima com a teoria da relatividade restrita.

Perceber essa relação é perceber a própria essência das equações de Maxwell.

Por exemplo, quando se estudam os metamateriais necessários para tornar invísivel

uma determinada região do espaço (invisibility cloaking), a métrica é – tal como em

relatividade geral – uma métrica flexível correspondente à curvatura do espaço.

“Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on

space, telling it how to curve.”

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation. San

Francisco: Freeman, 1973 (p. 5)

28 Carlos R. Paiva

Ulf Leonhardt and Thomas G. Philbin, “General relativity in electrical engineering,”

New Journal of Physics, Vol. 8, p. 247, 2006, doi: 10.1088/1367-2630/8/10/247

Marco A. Ribeiro and Carlos R. Paiva, “An equivalence principle for electromagnetics

through Clifford’s geometric algebras,” Metamaterials, Vol. 2, pp. 77-91, March

2008, doi: 10.1016/j.metmat.2008.03.02

Existe alguma polémica na literatura sobre a relação entre as equações de Maxwell e a

teoria da relatividade restrita. Para certos autores, todo o edifício electromagnético pode ser

construído a partir da lei de Coulomb – considerada como axioma – bastando, depois,

acrescentar os postulados da teoria da relatividade. É o que se faz em:

Moses Fayngold, Special Relativity and How it Works. Weinheim: Wiley-VCH, 2008

(Chapter 6)

Para outros autores, porém, tal não é possível. Uma breve discussão deste ponto pode

encontrar-se em:

Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC

Press, 2001 (p. 42).

Porém, na minha opinião, não existe uma verdadeira contradição entre estas duas

perspectivas. Com efeito, na electrodinâmica clássica é possível isolar a sua estrutura não-

métrica – estrutura a que se pode chamar electrodinâmica pré-métrica. Nesta separação, é

possível escrever as duas equações de Maxwell num espaço-tempo quadridimensional nu

(i.e., desprovido de métrica) de acordo com uma aximomática baseada em princípios de

conservação. Assim, toda a questão relacionada com a métrica é relegada para a relação

constitutiva no espaço-tempo. Deste modo, a relação entre as equações de Maxwell e a

relatividade restrita é deslocada para uma zona secundária, na periferia da teoria, que nada

tem a ver com a essência estrutural das equações. Dada a sua importância, sublinhemos o

seguinte aspecto: é possível escrever as duas equações de Maxwell (homogénea e não-

homogénea) no espaço-tempo de forma independente de qualquer métrica, de modo que estas

duas equações são, simultaneamente, válidas quer em relatividade restrita quer em


29

relatividade geral. Esta construção é possível através do formalismo matemático das formas

diferenciais tal como se explica em:

Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, Foundations of Classical Electrodynamics:

Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003

Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, “Spacetime metric from local and linear

electrodynamics: A new axiomatic scheme,” in: J. Ehlers and C. Lämmerzahl, Editors,

Special Relativity: Will it Survive the Next 101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006

(pp. 163-187).

“Our formalism can accommodate generalizations of classical

electrodynamics, including those violating Lorentz invariance, simply by

suitably modifying the fifth axiom while keeping the first four axioms as

indispensable.” (p. 5)

“In the conventional approach to electrodynamics, the Poincaré group is an

essential ingredient for cooking up the formalism of electrodynamics. In the

general covariant approach, with electric charge and magnetic flux

conservation as its basis, which we have followed, the metric is distilled from a

linear spacetime relation with reciprocity and symmetry as additives. The

metric, and thus the gravitational potential, is a derived concept. The metric

gets its meaning from electrodynamics; it is not a fundamental field.” (p. 303)

Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, Foundations of Classical

Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003

30 Carlos R. Paiva

A escrita habitual das equações de Maxwell, no espaço tridimensional ordinário,

esconde a sua verdadeira estrutura. Com efeito, as quatro equações – escritas em termos dos

operadores tridimensionais rotacional e divergência – pressupõe uma dada estrutura métrica

para o espaço-tempo.

Podemos argumentar – com razão – que esta é a forma mais aconselhável para iniciar

o estudo do electromagnetismo (nomeadamente no primeiro ciclo do ensino superior). De

facto, o significado dos operadores diferenciais divergência, rotacional e gradiente permite,

através da utilização dos teoremas integrais (de Stokes e da divergência), uma interpretação

sólida da teoria.

Alfredo Barbosa Henriques e Jorge Crispim Romão, Electromagnetismo. Lisboa: IST

Press, 2006

Paul Charles Matthews, Vector Calculus. London: Springer-Verlag, 1998

Harry Moritz Schey, Div, Grad, Curl, and All That. New York: W. W. Norton, 4th

ed., 2005

Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford: Oxford

University Press, 2000.

equação de Maxwell-Faraday

lei de Gauss magnética 0

equação de Maxwell-Ampère

lei de Gauss

t

t

ρ

∂→ ∇× = −

∂

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = +

∂

→ ∇ ⋅ =

BE

B

DH J

D


31

O estudioso do electromagnetismo encontra, na literatura, excelentes livros onde pode

aprofundar os seus conhecimentos.

0 2

0

equação de Maxwell-Faraday

lei de Gauss magnética 0

1equação de Maxwell-Ampère

lei de Gauss

t

t

t

c tµ

ρε

∂→ ∇× = −

∂

→ ∇ ⋅ =

∂→ ∇× = +

∂

→ ∇ ⋅ =

BE

B

EB J

E

p t p

p

t p m

m

t

ρ ρ ρ ρ= −∇ ⋅ → = +

∂=∂

→ = + +=∇×

P

PJJ J J J

J M

0

0

1

ε

µ

= +

= −

D E P

H B M

32 Carlos R. Paiva

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 0

0 0

, exp00 exp

0 0

t i t

iω

ω

ωρ

ω ω

=ℜ −== = ⋅

× = × = −⋅ = ⋅ =

E r E rJ E r E k r

k E B k H Dk D k B

Ondas planas e monocromáticas em regiões sem fontes

“The Boffi equations are mathematically appealing since they now specify both

the curl and divergence of the two field quantities E and B . By the Helmholtz

theorem we know that a field vector is uniquely specified when both its curl

and divergence are given. But this assumes that the equivalent sources

produced by P and M are true source fields in the same sense as J .”

Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL:

CRC Press, 2001 (p. 46)

“So Maxwell had four field vectors – E , D , B , and H – the D and H were

hidden ways of not paying attention to what was going inside the material. You

will find the equations written this way in many places.”

Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman

Lectures on Physics – Vol. II: Mainly Electromagnetism and Matter.

Reading, MA: Addison-Wesley, 1964 (pp. 32-4 – 32-5)


33

Bibliografia sobre electromagnetismo Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman

Lectures on Physics – Volume II: Mainly Electromagnetism and Matter. Reading,

MA: Addison-Wesley, 1964

Robert S. Elliot, Electromagnetics: History, Theory, and Applications. New York:

IEEE Press, 1993

Paul Lorrain, Dale Corson, e François Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas.

Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2000

J. A. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering.

Chichester: Wiley, 2008

David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics. Reading, MA: Addison-Wesley,

2nd ed., 1989

David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics. Upper Saddle River, NJ:

Prentice-Hall, 3rd ed., 1999

Attay Kovetz, Electromagnetic Theory. Oxford: Oxford University Press, 2000

Harald J. W. Müller-Kirsten, Electrodynamics: An Introduction Including Quantum

Effects. Singapore: World Scientific, 2004

John David Jackson, Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 3rd ed., 1999

Ismo V. Lindell, Methods for Electromagnetic Field Analysis. New York: IEEE

Press, 1992

Lev Davidovich Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. London:

Butterworth-Heinemann, 4th revised English edition, 1975

Hollis C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach.

New York: McGraw-Hill, 1985

Robert E. Collin, Field Theory of Guided Waves. New York: IEEE Press, 2nd ed.,

1991

Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC

Press, 2001

Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing,

2005

Jean Van Bladel, Electromagnetic Fields. Hoboken, NJ: IEEE/Wiley, 2nd ed., 2007.

34 Carlos R. Paiva

Ainda hoje se pode (e deve) recomendar a leitura do tratado inaugural do próprio

Maxwell.

James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism – Vol. 1. New York:

Dover, (1891) 1954

James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism – Vol. 2. New York:

Dover, (1891) 1954.

A estrutura matemática e formal de uma teoria pode não ser irrelevante. Pode, mesmo

em alguns casos, constituir um instrumento fundamental para que a própria essência de uma

dada teoria possa aparecer, de forma transparente e inequívoca, assim revelando aspectos que

– de outro modo – permaneceriam obnubilados por formalismos arcaicos.

“Forms illuminate electromagnetism, and electromagnetism illuminates

forms.”

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation.

San Francisco: Freeman, 1973 (p. 105)

“I wish to create the impression in my readers that the true mathematical

structure of these entities will appear only now, as in a mountain landscape

when the fog lifts.”

Arnold Sommerfeld, Electrodynamics. New York: Academic Press, 1952 (p.

212)


35

“The possibility that mathematical tools used today were invented to solve

problems in the past and might not be well suited for current problems is never

considered.”

David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the

Mathematical Language of Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71,

Issue 2, pp. 104-121, February 2003

“Mathematicians had few misconceptions, and Atyah and others developed

Clifford algebra as a powerful tool for geometry. Even in these developments,

however, the emphasis was usually on Clifford algebra as an extra tool on top

of the standard techniques for solving geometric problems. The algebra was

seldom used as a complete language for geometry. The picture first started to

change when Hestenes recovered Clifford’s original interpretation of the Pauli

matrices. This led Hestenes to question whether the appearance of a Clifford

algebra was telling us something about the underlying structure of quantum

theory. Hestenes then went out to promote the universal nature of the algebra,

which he publicised in a series of books and papers. Acceptance of this view is

growing and, while not everyone is in full agreement, it is now hard to find an

area of physics to which geometric algebra cannot or has not been applied

without some degree of success.”

Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists.

Cambridge: Cambridge University Press, 2005 (pp. 123-124)

36 Carlos R. Paiva

As equações de Maxwell, na álgebra geométrica 1,3C do espaço-tempo

quadridimensional plano de Minkowski, dependem da métrica de Lorentz.

1,3Espaço-tempo de Minkowski: C

2

1,3 00 1 2 3 2 2 2

1 2 3

1, , ,

1=

→ →= = = −

ee e e e

e e e

0

0

0

0

intensidade do campo eléctrico

intensidade do campo magnético

excitação eléctrica

excitação magnética

1bivector de Faraday

1bivector de Maxwell

densidade de carga

E

B

D

H

c

c

→ =

→ =

→ =

→ =

→ = +

→ = +

E e

B e

D e

H e

F E I B

G D I H

01-corrente eléctrica Jc

ρ→ = +J e

1 2 31 2 3

0

operadores diferenciais1

x x x

c t

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂→

∂∂ = −∇

∂

e e e

e

equação homogénea de Maxwell 0equação não-homogénea de Maxwell

→ ∂∧ =→ ∂ =

FG J


37

É possível escrever as duas equações de Maxwell (homogénea e não-homogénea) de

forma independente de qualquer métrica – electrodinâmica pré-métrica. A variedade X

quadridimensional é nua: nela não está definida qualquer métrica (ou conexão). Existe uma

foliação 1 3+ que separa a parte transversal (espaço) da parte longitudinal (tempo).

FORMAS DIFERENCIAIS

Electrodinâmica pré - métrica

intensidade do campo EM forma-2excitação do campo EM forma-2densidade de carga-corrente forma-3

FGJ

→ →→ →→ →

2

derivada exterior

forma forma 1

nilpotência 0

d

dp p

d

→

⎯⎯→ +

=

equação homogénea de Maxwell 0equação não-homogénea de Maxwell

d Fd G J

→ =→ =

0 é uma forma exactaé uma forma fechada

dd

ω ωω ϕ ω

= →= →

Teorema de StokesX X

dω ω∂

→ =∫ ∫

38 Carlos R. Paiva

Bibliografia sobre formas diferenciais Ismo V. Lindell, Differential Forms in Electromagnetics. Hoboken, NJ: IEEE/Wiley,

2004

Steven H. Weintraub, Differential Forms: A Complement to Vector Calculus. San

Diego, CA: Academic Press, 1997

Shigeyuki Morita, Geometry of Differential Forms. Providence, RI: American

Mathematical Society, 2001

David Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms. Boston: Birkhäuser,

2006

Manfredo P. do Carmo, Differential Forms and Applications. Berlin: Springer-

Verelag, 1994

Henri Cartan, Differential Forms. New York: Dover, (1971) 2006

Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. New

York: Dover (1963) 1989

S. S. Chern, W. H. Chen, and K. S. Lam, Lectures on Differential Geometry.

Sigapore: World Scientific, 1999

Paul W. Gross and P. Robert Koyiuga, Electromagnetic Theory and Computation: A

Topological Approach. New York: Cambridge University Press (Mathematical

Sciences Research Institute), 2004

Bernard Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge:


Chris J. Isham, Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World

Scientific, 2nd ed., 2003

Walter Thirring, Classical Mathematical Physics: Dynamical Systems and Field

Theories. New York: Springer-Verlag, 3rd ed., 1997

Peter Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics: Groups, Hilbert Space

and Differential Geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 2004

Georges de Rham, Variétés Différentiables: Formes, Courants, Formes

Harmoniques. Paris: Hermann, 3ème edition, 1973.


39

Dimensionamento O programa de Fotónica encontra-se dimensionado para um semestre lectivo com um total de

14 semanas de aulas. Em cada semana de aulas existem 2 aulas teóricas (com a duração de 1

hora e 30 minutos cada) e 1 aula prática (também com a duração de 1 hora e 30 minutos

cada). O semestre lectivo corresponde, assim, a um total de 28 aulas teóricas e 14 aulas

práticas.

Aulas Teóricas Nas aulas teóricas apresenta-se a matéria com um ênfase particular na sua fundamentação

teórica:

• Todos os resultados mais importantes são deduzidos a partir de princípios

fundamentais.

• Cada tópico é enquadrado no seu âmbito mais geral.

• Os métodos matemáticos servem não só para permitir um maior aprofundamento

mas também para clarificar o que existe de essencialmente comum em abordagens

que, aparentemente, não têm ligação entre si.

“I am skeptical of claims that [courses with names like «Conceptual Physics»]

are successful in teaching physics concepts without mathematics.”

David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the

mathematical language of physics,” American Journal of Physics, Vol. 71,

Issue 2, pp. 104-121, February 2003

40 Carlos R. Paiva

Comentário Geral Tenta-se evitar um ensino puramente conceptual, sem fundamentação matemática. De facto,

esse tipo de ensino – que evita o formalismo matemático – pode ser mais «fácil», no sentido

em que não exige tanto dos alunos tornando-o, portanto, mais «acessível». Mas, por outro

lado, não fornece as ferramentas necessárias para o seu aprofundamento crítico, reduzido –

em geral – a uma predicação de generalidades infecundas pois não possui os instrumentos

mínimos para se desenvolver e reconstruir. Porém, também não se pode ir ao extremo do

formalismo «seco», desprovido de motivação e arredado dos exemplos concretos: um tal

exercício, puramente formal, é simplesmente cego e sem ambição – reduz-se, na prática, a

uma espécie de «crochet» matemático que não consegue vislumbrar a totalidade do edifício

científico, não conseguindo entender (e portanto, por maioria de razão, não conseguindo

transmitir) nem qual é o seu âmbito nem quais são os seus objectivos.

Aulas Práticas Nas aulas práticas a iniciativa passa do professor para o(a) aluno(a): cada aluno(a) tem de

sentir, por si, as dificuldades naturais da matéria e tentar superá-las. Só assim poderá ter uma

compreensão mais profunda de cada tópico. Porém, as aulas práticas não podem ser meros

exercícios autogestionários: cabe ao professor orientar e apresentar saídas quando um impasse

obnubila ou impede a continuidade fluida da resolução.

Ao organizar o programa de uma disciplina, o maior problema com que se depara o professor

responsável não é a escolha dos tópicos a incluir. O maior problema reside, de facto, numa

decisão fundamental e inexorável: decidir quais os tópicos a excluir, tendo em conta o tempo

disponível. Num ensino a este nível científico existe, em geral, uma quantidade enorme de

livros de texto (textbooks) potencialmente recomendáveis e onde os tópicos fundamentais a

incluir se encontram tratados (com maior ou menor profundidade). O papel do professor

responsável é o de destilar esse conhecimento através das suas idiossincrasias pessoais que

são o resultado do seu percurso próprio (quer como pedagogo quer como investigador) e de

uma mundividência específica irrepetível. Nesse sentido um programa é, também, algo de


41

profundamente revelador: de forma consciente ou não, nele se reflecte a própria personalidade

científica (e não só) do organizador (ou, se se prefir, do programador).

Naturalmente que, ao desenhar um programa, se parte de um princípio básico: é

necessário ter uma consciência clara do que é suposto ser o conhecimento médio dos

destinatários – os alunos que vão frequentar a disciplina. Porém, tal coisa – esse

conhecimento médio – é, naturalmente, uma ficção útil: pode não corresponder exactamente a

um dado indívíduo concreto, mas é uma base estatística (mais ou menos vaga) que serve

como hipótese (indispensável) de trabalho. Qual é, então, o perfil expectável desse aluno

imaginário? Trata-se, em primeiro lugar, de alguém que frequentou (com sucesso) as

disciplinas básicas de física, de matemática, de electrónica e de electrotecnica teórica. E que,

em segundo lugar, frequentou (com sucesso) a disciplina de PROE (ver acrónimos no fim),

onde terá aprendido as noções fundamentais de propagação e radiação de ondas

electromagnéticas (em espaço livre, em meios ilimitados, nas interfaces planas entre dois

meios isotrópicos e em guias metálicos e dieléctricos simples).

Por outro lado, que tipo de conhecimento é o que deve constituir a disciplina de

Fotónica? Comecemos por referir a bibliografia básica que, na minha opinião, deve servir de

ponto de referência (ver caixa anexa, na página seguinte).

“Todas estas regras se elaboram e exercem na inspiração do terrível, mas o

terrível possui a sua doçura oblíqua, uma lírica sumptuosidade, uma

exaltação muito pura. As crianças amam as lagartixas com uma crueldade

cheia de paciência e pormenorizado arrebatamento.”

Herberto Helder, Photomaton & Vox. Lisboa: Assírio & Alvim, 3ª. ed., 1995

(pp. 20-21)

42 Carlos R. Paiva

Como é óbvio, é impossível a uma disciplina como Fotónica tratar de todos os

assuntos cobertos nesta bibliografia básica. Há que fazer escolhas, excluir tópicos. Há, até

mesmo, que incluir outros tópicos e outros tipos de abordagem considerados novos ou mesmo

heterodoxos – no sentido em que não fazem parte do que é suposto ser um primeiro curso de

Fotónica (do ponto de vista do que se poderá entender por opinião «média» ou

«mainstream»).

Para se ter uma primeira visão das escolhas implícitas no programa de Fotónica

apresenta-se a seguir uma tabela onde se descreve, de forma sintética, a constituição dos

vários capítulos.

B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of

Photonics (Hoboken, NJ: Wiley, 2nd ed., 2007)

A. Yariv and P. Yeh, Photonics: Optical Electronics in

Modern Communications (New York: Oxford University

Press, 6th ed., 2007)

I. R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction

to Classical and Quantum Optics (Oxford: Oxford

University Press, 2008)

P. Markoš and C. M. Soukoulis, Wave Propagation: From

Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials

(Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008)


43

PROGRAMA DE FOTÓNICA

CAPÍTULO TÍTULO DO CAPÍTULO AULAS

TEÓRICAS

1 Introdução 1

2 Métodos variacionais 2

3 Teoria elementar da dispersão 2

4 Cristais fotónicos 2

5 Interacção entre fotões e átomos 2

6 Lasers semicondutores 2

7 Feixes ópticos 1

8 Introdução à mecânica quântica 3

9 Guias ópticos planares 1

10 Fibras ópticas 3

11 Solitões em fibras ópticas 1

12 Introdução à álgebra geométrica 2

13 Meios anisotrópicos 2

14 Efeito electro-óptico 1

15 Óptica relativista 3

Número total de aulas teóricas 28

Muitos dos capítulos dariam, quando individualmente considerados, para outros tantos

cursos só sobre cada um desses temas específicos. Porém, não é esse o objectivos desta

disciplina. Existem ainda tópicos que tiveram de ser excluídos, de forma a dar lugar a outros

que (até) não costumam integrar o programa típico de um primeiro curso de Fotónica. Por

exemplo: apesar de terem pertencido em anos anteriores ao programa de Fotónica, foram

excluídos assuntos (inegavelmente importantes) tais como a teoria da fotodetecção e as fibras

amplificadoras dopadas com érbio (as EDFAs). Em contrapartida, tópicos novos – tais como

os cristais fotónicos, a introdução à mecânica quântica e a óptica relativista – passaram a

44 Carlos R. Paiva

integrar o programa. Com efeito, o programa de uma disciplina deve ser encarado como uma

espécie de organismo vivo que se adapta às novas realidades do mundo da investigação

científica e tecnológica – sem, com isso, se tornar no palco volátil das vanguardas e dos

«modismos» do momento. Mas é claro que os novos temas referidos não podem ser

considerados vanguardistas: e.g., os cristais fotónicos – que não constavam da primeira edição

(1991) do livro de Saleh e Teich (da bibliografia básica) – integram agora o Capítulo 7 (pp.

243-288) da segunda edição deste livro (2007).

Pode argumentar-se, com razão, que o tal aluno imaginário (com um perfil expectável)

e que se inscreve em Fotónica já teve exposição suficiente (através das disciplinas da física)

em dois tópicos que, aparentemente, não deveriam integrar o programa: mecânica quântica e

relatividade restrita. Em relação a ambos os tópicos, respondo da seguinte forma: sendo

verdade que, nas disciplinas de física, os alunos já tiveram contacto com esses dois assuntos,

diz a minha experiência pedagógica que – quando frequentam Fotónica – são poucos (diria

mesmo: raros) os alunos que (ainda) têm ideias (minimamente) coerentes sobre mecânica

quântica e relatividade restrita. A mecânica quântica é – até mais do que a relatividade restrita

– um tópico que pouco cativa a imaginação desses alunos. A aparente justificação para este

estranho estado de coisas é a seguinte: e.g., o chamado «paradoxo» dos gémeos da

relatividade restrita tem, na construção e evolução intelectual desses alunos, um efeito mais

duradouro do que a «estranheza» do mundo quântico. Existe uma vaga recordação de uma

equação que (poucos, para ser optimista) sabem como apareceu (refiro-me, naturalmente, à

equação de Schrödinger). Existe, ainda, uma relação (muito) pouco clara com os efeitos não-

clássicos, e.g.: (i) a penetração «proibida», à luz da física clássica, de uma barreira de

potencial; (ii) a quantificação da energia de uma «partícula numa caixa».

Que a mecânica quântica tem, cada vez mais, um papel importante como teoria

fundamental para a Fotónica parece-me inquestionável. Basta citar os lasers para que qualquer

dúvida a esse respeito desapareça. A ideia segundo a qual o tratamento pedagogicamente mais

eficaz para o estudo dos lasers é a teoria semi-clássica, não convence. Sendo verdadeiro este

argumento, não deixa de ser verdade que uma parte do tratamento semi-clássico dos lasers (a

quantificação da energia em níveis discretos ou em bandas de energia no caso dos

semicondutores) continua a ser um mistério para a maioria dos alunos. Os alunos sabem da

existência dessa quantificação mas não entendem (i.e., não sabem explicar) a sua origem.

Isso, porém, não é aceitável: basta consultar o livro de Markoš e Soukoulis (da bibliografia


45

básica) para entender a importância do modelo de Kronig-Penney para uma grande

quantidade de dispositivos fotónicos.

Mas e a relatividade restrita? O que justifica a sua presença no programa? Aqui a

resposta é mais difícil de dar de forma directa. Porém, a sua justificação não deixa de ser, do

meu ponto de vista, tão sólida como a que foi dada para a mecânica quântica. Não se trata,

neste caso, de justificar a importância de uma teoria pela sua relevância específica para a

explicação de um conjunto importante de dispositivos ou de efeitos. Trata-se, aqui, de algo

que – não sendo missão específica de Fotónica – é missão que o Autor deste relatório entende

como sua: explicar a própria natureza da teoria electromagnética.

Para a maioria dos alunos não existe uma relação clara entre teoria da relatividade

restrita e teoria electromagnética. Pretende-se, neste último capítulo de Fotónica, colmatar

essa lacuna. Mas isso é feito aproveitando o facto de se ter utilizado a álgebra geométrica do

espaço – a álgebra de Clifford 3C – no estudo dos meios anisotrópicos. Para se estudar a

óptica relativista começa-se por apresentar uma nova álgebra geométrica – a álgebra de

Clifford 1,3C . Cumpre-se, assim, uma outra tarefa cara ao Autor: dar ao electromagnetismo e

à teoria da relatividade restrita uma linguagem matemática que permita levar, até às últimas

consequências, a antevisão célebre de Minkowski sobre a união quadridimensional espaço-

tempo.

“Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into

mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an

independent reality.”

Hermann Minkowski, “Space and Time.” In: H. A. Lorentz, A. Einstein, H.

Weyl, and H. Minkowski, The Principle of Relativity. New York: Dover

(1923) 1952 (p. 75)

46 Carlos R. Paiva

Na álgebra geométrica a métrica não aparece de forma explícita: ela aparece como

uma característica implícita à própria estrutura (i.e., «built-in»). Com efeito, ao definir o

produto geométrico entre dois vectores (qualquer que seja a dimensão do espaço linear onde

residam os vectores a e b ) na forma

produto geométrico produto interno produto exterior

ou de Clifford ou escalar ou de Grassmann

definição universal → = ⋅ + ∧ab a b a b

cria-se uma produto invertível, que tanto se aplica a 2C , a 3C , ou a 1,3C . Com efeito, vem

“One sometimes participant in special relativity will have to be put to the

sword: « 4x ic t= ». This imaginary coordinate was invented to make the

geometry of spacetime look formally as little different as possible from the

geometry of Euclidean space: to make a Lorentz transformation look on paper

like a rotation; and to spare one the distinction that one otherwise is forced to

make between quantities with upper indices (such as the components pµ of the

energy-momentum vector) and quantities with lower indices (such as the

components pµ of the energy-momentum 1-form). However, it is no kindness

to be spared this latter distinctions. (…) In this chapter and hereafter, as

throughout the literature of general relativity, a real time coordinate is used, 0

convx t c t= = (superscript 0 rather than 4 to avoid any possibility of confusion

with the imaginary time coordinate).”

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation.

San Francisco: Freeman, 1973 (p. 51)


47

112

11

2

uu

u

−−

−−

= ⎧ =→ = ⇒ ⎨

=⎩=

aa a ba abb b abb

.

Um acontecimento no espaço-tempo quadridimensional de Minkowski é descrito pelo

acontecimento r (vector do espaço quadrático 1,3 ) tal que

( ) 1,3 0,30 ,c t r r= + ∈ ∈r e .

O invariante 2r é imediatamente obtido.

( )( )

22 2

2 2 20 0 2 2 2 2 2 20 0

0 0 22 2

, , 1,

0,

c t rc t r

c t r c t rc t r

c t r

⎧ >⎪= + ⎪⇒ = = − = − <⎨= − ⎪

=⎪⎩

r e er r e e r r r

e r e

1,

= e e

Note-se que, como 0,3r ∈ , se tem sempre ( ) 22r r= − (para 0r ≠ ).

Faz-se, a seguir, uma apresentação dos sumários de cada um dos capítulos do programa de

Fotónica. Em cada capítulo indica-se uma bibliografia básica – i.e., aquela que os alunos

devem consultar. Além disso, também se apresenta um conjunto de sugestões de leituras

adicionais – para que os alunos eventualmente interessados possam aí continuar a sua

formação.

48 Carlos R. Paiva

Capítulo 2

Capítu

Óptica geométrica

Feixes ópticos

Óptica Electromagnéti

lo 7

Capítulo

Conceitosfundamentai

3

Caca

pítulo 13

s

→

→ →

→→

→

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪

⎧⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎩⎩

Cristais fotónicos

Guias ópticos pl

Capítulo 4

Capítulo 9anares

Fibras ópt Capítu

Propag

lo 10icas

Cavid

açãode ondas

electromagnéticaCaades óptic pítulo 5as

s

→

→→

→

⎧⎪⎪⎪⎨

→

⎪⎪⎪⎩

Interacção entre fotões e átomos

Amplificadores laser

Lasers (não-semicondutore

Cap La

s

sers

)

ítulo 8 Capítulo 5

⎧ ⎫⎪ ⎪

→ ⎪ ⎪⎨→ ⎬→⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎩

Lasers semicondutOptoelect ores Caróni píca tulo 6→ →

Capítulo Dispositi Electro-óptica

Óptica não-linear

14vosfotónico Capítulo s 11

⎧ →⎪→ ⎨→⎪⎩

Meios anisotrópicos

Capítulo 12

Capítulo

Óp

IntroduçãoÁlgebra

geométricaA

tica relativis

13

Capítulo 1plicações

5ta

⎧⎪⎪⎪→ ⎨

⎧⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎩

→

⎩

→→

→


49

Nota importante Como se disse atrás, um programa é uma selecção criteriosa de tópicos numa organização

temporal delimitada. Dado que o semestre lectivo se organiza em 28 aulas teóricas e 14 aulas

práticas, existe um imperativo de organização temporal que tem de ser seguido

escrupulosamente – caso contrário o programa é, simplesmente, impraticável. Assim, não é de

admirar que os sumários de certos capítulos possam parecer inexequíveis para o número de

aulas teóricas correspondentes. Existe, porém, uma explicação para essas situações: nesses

casos os sumários, além de indicarem os tópicos efectivamente tratados em pormenor nas

correspondentes aulas teóricas, também servem um outro propósito. Esse propósito é o de

enunciar os tópicos que, apesar de receberem um tratamento meramente indicativo nas aulas

teóricas, são efectivamente desenvolvidos não nas aulas teóricas mas antes nas aulas práticas

ou nos trabalhos de avaliação. Basta consultar os enunciados dos trabalhos de avaliação e os

enunciados dos problemas das aulas práticas para poder inferir quais os casos específicos em

que tais situações têm lugar. De forma a tornar isso ainda mais claro, vejamos um exemplo

paradigmático – o caso do Capítulo 9, com apenas uma aula teórica correspondente. Trata-se,

aqui, de um capítulo em que a matéria que consta do sumário seria obviamente inexequível

se: (i) não existisse o trabalho de avaliação T4 sobre guias ópticos rectangulares (método do

índice de refracção efectivo); (ii) não existissem os problemas da aulas prática 8; (iii) não se

tratasse de um tópico que já foi tratado, pelo menos de forma introdutória, na disciplina de

Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas (que todos os alunos deverão ter

concluído antes de frequentar Fotónica).

Bibliografia complementar Em cada capítulo indica-se uma bibliografia complementar que seria completamente irrealista

esperar que fosse considerada literatura necessária para a compreensão da matéria do capítulo

em questão. Não é disso que se trata. Trata-se, tão somente, de uma indicação fornecida – a

título de sugestões de leitura adicional (further reading) – para os alunos eventualmente

interessados em prosseguir o seu estudo nessas áreas científicas (já fora, ou para além, do

âmbito de Fotónica). É também esse o papel do professor – o de orientar os alunos

interessados em prosseguir um estudo mais aprofundado das matérias que lhes tenham

suscitado maior curiosidade.

50 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica (Evolução da Óptica e da Fotónica) Ralph Baierlein, Newton to Einstein: The Trail of Light. Cambridge: Cambridge



Press, 1999

Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. New York: Oxford University Press,

2005

Bibliografia complementar (Física) Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of

Theoretical Reasoning in Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed.,

2003

N. David Mermin, It’s About Time: Understanding Einstein’s Relativity. Princeton,

NJ: Princeton University Press, 2005

Bernard Schutz, Gravity From the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity

and General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2003

Introdução Apresentação da disciplina. Electrónica e Fotónica. Evolução histórica da Óptica até

à Fotónica. Alguns aspectos científicos e tecnológicos da Fotónica. Áreas científicas

da Fotónica. Conhecimentos necessários para a frequência da disciplina. Aulas

teóricas e aulas práticas. Programa da disciplina. A importância da programação:

simulação numérica; resolução numérica de equações; apresentação gráfica dos

resultados. Métodos de trabalho, resolução de problemas e regras da avaliação de

conhecimentos. Bibliografia.

Aulas teóricas: 1.


51

Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction

to General Relativity. San Francisco, CA: Addison-Wesley, 2000

John Archibald Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime. New York:

Freeman, 1999

Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity. Cambridge: Cambridge


Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.

New York: Alfred A. Knopf, 2005

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation. San

Francisco, CA: Freeman, 1973

Roland Omnès, Understanding Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton


Max Born, Atomic Physics. New York: Dover, (1969) 1989

Robert Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,

Nuclei, and Particles. New York: Wiley, 2nd ed., 1985

Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics. Singapore: Thomson

Learning, 1976

A. B. Pippard, The Physics of Vibration. Cambridge: Cambridge University Press,

omnibus edition, 1989

Bibliografia complementar (Matemática) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. New York: Springer-Verlag, 2ndd., 1997

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra. Lisboa: IST Press, 2004

Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag,

(1974) 1987

Paul R. Halmos, Linear Algebra Problem Book. Washington, DC: The Mathematical

Association of America, 1995

Paul R. Halmos, Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, (1960) 1974

Claude E. Shannon and Warren Weaver, The Mathematical Theory of

Communication. Illinois: University of Illinois Press, (1949) 1998

Tristam Needham, Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press, 1997

Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and

Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2003

52 Carlos R. Paiva

John Stillwell, Mathematics and Its History. New York: Springer-Verlag, 2nd ed.,

2002

Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from the BOOK. Berlin: Springer-

Verlag, 3rd ed., 2004

H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. Hoboken, NJ: Wiley, 2nd Ed., (1969)

1980

Robert Bix, Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves. New

York: Springer, 2nd ed., 2006

Sadri Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations.

New York: Springer-Verlag, 2006

William E. Boyle and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problems. Hoboken, NJ. Wiley, 8thd., 2005

Paul Glendinning, Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of

Nonlinear Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1994

Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1983

J. Campos Ferreira, Introdução à Teoria das Distribuições. Lisboa: Fundação

Calouste Gulbenkian, 1993

Laurent Schwartz, Théorie des Distributions. Paris: Hermann, (1966) 1998

Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction. Cambridge:

Cambridge University Press, 2nd., 2004

Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics. Bristol: IOP Publishing, 2nd ed.,

2003

I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products. San

Diego, CA: Academic Press, 6th ed., 2000

Bibliografia complementar (História, Filosofia, Ciência, Epistemologia) Abraham Pais, Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein.

Oxford: Oxford University Press, 2005

Abraham Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World. Oxford:


Anthony Zee, Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics.

Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007


53

John Gribbin, History of Western Science, 1543-2001. London: The Folio Society,

2006

Godfrey Harold Hardy, A Mathematician’s Apology. Cambridge: Canto, Cambridge

University Press, (1940)-(1967) 1992

Charles Darwin, On the Origin of Species. London: The Folio Society, 2006

Richard Dawkins, The Blind Watchmaker. London: The Folio Society, 2007

Karl Raimund Popper, The Logic of Scientific Discovery. London: Routledge, 2002

Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: The University

of Chicago Press, 3rd ed., 1996

Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. London:

Penguin Books, (1979) 1999

Roberto Torretti, The Philosophy of Physics. Cambridge: Cambridge University

Press, 1999

Alan Sokal and Jean Bricmont, Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals’s

Abuse of Science. New York: Picador, 1998

The Sokal Hoax: The Sham That Shook the Academy, Edited by the editors of

Lingua Franca. Lincoln, NE: University of Nebraska Press, 2000

Richard Dawkins, The Oxford Book of Modern Science Writing. Oxford: Oxford


54 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Métodos Variacionais. DEEC – IST, 2007/2008

Don S. Lemons, Perfect Form: Variational Principles, Methods, and Applications in

Elementary Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997 (pp. 3-44)

Bibliografia complementar Samuel P. Morgan, “General solution of the Luneberg lens problem,” Journal of

Applied Physics, Vol. 29, No. 9, pp. 1358-1368, September 1958

Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics. Cambridge: Cambridge University

Press, 7th (expanded) edition, 1999

Keigo Iizuka, Engineering Optics. Berlin: Springer-Verlag, 2nd ed., 1987

Robert Weinstock, Calculus of Variations: With Applications to Physics and

Engineering. New York: Dover, (1952) 1974

I. M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations. Mineola, NY: Dover, (1963)

2000

Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. New York: Dover, 4th

ed., (1970) 1986

Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial

College Press, 2004

Métodos variacionais Princípio variacional de Fermat. Problemas elementares: reflexão num espelho; lei

de Snell. Carácter teleológico dos princípios variacionais. Equação de Euler-

Lagrange (uma variável) e casos particulares (primeiros integrais). Generalização a

várias variáveis. O problema da braquistócrona. Aplicações à óptica geométrica:

estruturas planares com índice de refracção variável; raios em fibras ópticas; lente de

Luneberg.


55

Jürgen Jost and Xianqing Li-Jost, Calculus of Variations. Cambridge: Cambridge


56 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Teoria Elementar da Dispersão. DEEC – IST, 2007/2008


Wiley, 2nd ed., 2007 (Sec. 5.5: pp. 170-184)

Carlos R. Paiva, Metamateriais DNG. DEEC – IST, 2007/2008

Bibliografia complementar Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005



Martin W. McCall, Akhlesh Lakhtakia, and Werner S. Weiglhofer, “The negative

index of refraction demystified,” European Journal of Physics, Vol. 23, pp. 353-359,

2002

Ari Sihvola, Electromagnetic Mixing Formulas and Applications. London: The

Institute of Electrical Engineers, 1999

Teoria elementar da dispersão Vectores reais (no domínio do tempo) e vectores complexos (no domínio da

frequência). Ondas planas monocromáticas em meios isotrópicos e sem perdas:

ondas uniformes e não-uniformes. Velocidade de fase e velocidade de grupo.

Equações de Maxwell no domínio do tempo e no domínio da frequência.

Causalidade e relações de Kramers-Kronig. Modelo de Lorentz: condutores e

dieléctricos. Equação de Sellmeier. Modelo de Drude e plasmões. Introdução aos

metamateriais DNG: meios com índice de refracção negativo.

Aulas teóricas: 2.


57

Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to

Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University

Press, 2008

Nader Engheta and Richard W. Ziolkowski, Editors, Metamaterials: Physics and

Engineering Explorations. Hoboken, NJ: IEEE Press, Wiley, 2006

Ricardo Marqués, Ferran Martín, and Mario Sorolla, Metamaterials with Negative

Parameters. Hoboken, NJ: Wiley, 2008

Christophe Caloz and Tatsuo Itoh, Electromagnetic Metamaterials: Transmission

Line Theory and Microwave Applications. Hoboken, NJ: IEEE Press, Wiley, 2006

George V. Eleftheriades and Keith G. Balmain, Editors, Negative-Refraction

Metamaterials: Fundamental Principles and Applications. Hoboken, NJ: IEEE

Press, Wiley, 2005

Andery K. Sarychev and Vladimir M. Shalaev, Electrodynamics of Metamaterials.

Singapore: World Scientific, 2007

58 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 7: pp. 243-288)

Carlos R. Paiva, Cavidades Ópticas de Fabry-Perot. DEEC – IST, 2007/2008.

Bibliografia complementar Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 12: pp.

539-601)



Press, 2008

John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, and Robert D. Meade,

Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University


Léon Brillouin, Wave Propagation in Periodic Structures. Mineola, NY: Dover,

(1953) 2003

Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005

Cristais fotónicos Óptica matricial dos meios planares estratificados: matrizes de dispersão e de

transmissão; fórmulas de Airy. Cavidades ópticas de Fabry-Perot. Cristais fotónicos

1D: teorema de Floquet e ondas de Bloch; equação de dispersão; PBG (photonic

bandgaps). Análise de Fourier de meios periódicos. Breve introdução aos cristais

fotónicos 2D e 3D.

Aulas teóricas: 2.


59

Amnon Yariv and Pochi Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of

Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003

Kazuaki Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer-Verlag,

2nd ed., 2005

Sergei Tretyakov, Analytical Modeling in Applied Electromagnetics. Norwood, MA:

Artech House, 2003

60 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Interacção entre Fotões e Átomos. DEEC – IST, 2007/2008

Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light. Oxford: Oxford University Press,

3rd ed., 2000 (Chapter 1: pp. 3-45)

Bibliografia complementar Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of


2003 (Case Study V: The origins of the concept of quanta: pp. 281-395)


Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapters 13-15: pp. 482-626)

Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapters 5-6:

pp. 211-312)

Ian R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction to Classical and

Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008 (Chapters 12-14: pp. 325-

440)

Mark Fox, Quantum Optics: An Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2006

Interacção entre fotões e átomos Densidade de modos numa cavidade óptica. Quantificação dos níveis de energia de

uma cavidade óptica. Processos de interacção entre fotões e átomos: emissão

espontânea; absorção; emissão estimulada. A lei da radiação de Planck. Flutuações

estatísticas do número de fotões. Os coeficientes A e B de Einstein. Excitação óptica

de um sistema laser com dois níveis. Inversão da população e amplificação laser.

Oscilação laser.

Aulas teóricas: 2.


61

Thomas S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912.

Chicago: The University of Chicago Press, (1978) 1987

Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986

Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988

Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. New York: Oxford University Press,

2005

Max Born, Atomic Physics. New York: Dover, (1969) 1989

62 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Lasers Semicondutores. DEEC – IST, 2007/2008



673-713)

Bibliografia complementar Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapters 16-17: pp. 627-747)


2002 (Chapter 3: pp. 77-132)


Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008 (Chapter 14: pp. 383-440)

Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995

John Singleton, Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford: Oxford


Mark Fox, Optical Properties of Solids. Oxford: Oxford University Press, 2001

Lasers semicondutores Revisão de alguns conceitos da física dos semicondutores. A distribuição de Fermi-

Dirac. Ganho e absorção num meio semicondutor. Lasers de corrente de injecção.

Modulação directa da corrente de injecção: equações das taxas; regime estacionário;

desvio dinâmico de frequência (chirp). Responsividade espectral e função de

transferência. Modulação externa. Resolução numérica das equações das taxas.

Aulas teóricas: 2.


63

John Edward Carroll, Rate Equations in Semiconductor Electronics. Cambridge:


Weng W. Chow and Stephan W. Koch, Semiconductor-Laser Fundamentals: Physics

of the Gain Materials. Berlin: Springer-Verlag, 1999

Hans P. Zappe, Introduction to Semiconductor Integrated Optics. Norwood, MA:

Artech House, 1995

Pallab Bhattacharya, Semiconductor Optoelectronic Devices. Upper Saddle River,

NJ: Prentice-Hall, 2nd ed., 1997

David Wood, Optoelectronic Semiconductor Devices. London: Prentice-Hall, 1994

S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. New York: Wiley, 2nd ed., 1981

Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. II: For Fiber and Integrated Optics.


64 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Feixes Ópticos. DEEC – IST, 2007/2008





66-109)

Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ:

Prentice-Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp. 81-157)

Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986

Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988

Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media.




Feixes ópticos Da equação de Helmholtz à equação paraxial das ondas. Feixes gaussianos em meios

homogéneos. Características dos feixes gaussianos. Relação entre os feixes ópticos e

o integral de difracção de Fresnel-Kirchhoff. Simulação numérica da propagação de

feixes ópticos em regime linear.

Aulas teóricas: 1.


65

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Introdução à Mecânica Quântica. DEEC – IST, 2007/2008

Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 3rd ed., 2003

(Chapters 2-6: pp. 23-119)



Press, 2008 (Chapter 4: pp. 74-97)

Bibliografia complementar Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman

Lectures on Physics – Vol. III: Quantum Mechanics. Reading, MA: Addison-

Wesley, 1965

Introdução à mecânica quântica O dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie. A mecânica ondulatória de

Schrödinger. A interpretação estatística de Max Born da função de onda. Evolução

de um feixe de ondas em mecânica ondulatória. A equação de Schrödinger. As

relações de incerteza de Heisenberg. Densidade de corrente de probabilidade. A

equação de Schrödinger independente do tempo como uma equação de valores

próprios. O vector de estado substitui o conceito de função de onda. Uma visão

integrada da mecânica ondulatória (Schrödinger) e da mecânica das matrizes

(Heisenberg). Notação de Dirac. O postulado da expansão. Uma partícula numa

caixa: quantificação da energia. Problemas unidimensionais: barreira e poço de

potencial; distribuição delta de Dirac. O oscilador harmónico e os níveis de energia

de uma cavidade óptica. O modelo de Kronig-Penney e as bandas de energia num

cristal 1D. Espaços de Hilbert: observáveis, operadores e valores expectáveis.

Aulas teóricas: 3.

66 Carlos R. Paiva

Robert B. Griffiths, Consistent Quantum Theory. Cambridge: Cambridge University

Press, 2002

Thomas F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form. Mineola, NY:

Dover, (1986) 2005

Ramamurti Shankar, Principles of Quantum Mechanics. New York: Plenum Press,

Kluwer Academic, 2nd ed., 1994

Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1995

John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics. Sausalito, CA:

University Science Books, 2000

Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics. New York: Wiley, 3rd ed., 1998

Roland Omnès, The Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton


Jun John Sakurai, Modern Quantum Mechanics. Reading, MA: Addsison-Wesley,

revised edition, 1994

Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development. Singapore:

World Scientific, 1998

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory).

Oxford: Butterworth-Heinemann, 3rd ed., (1977) 2004

Florian Scheck, Quantum Physics. Berlin: Springer-Verlag, 2007

Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Oxford

University Press, 4th ed., 1958

Chris J. Isham, Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural

Foundations. London: Imperial College Press, 1995

Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics. San Francisco, CA: Addison-

Wesley, 4th ed., 2003

John Stewart Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge:

Cambridge University Press, revised edition, 2004

N. David Mermin, Quantum Computer Science: An Introduction. Cambridge:



67

Bibliografia básica Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:

Academic Press, Elsevier, 2nd ed., 2006 (Chapter 2: pp. 13-55)



110-155)




(Chapter 7: pp. 242-282)

Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman

and Hall, 1983

M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981

Robert E. Collin, Field Theory of Guided Waves. New York: IEEE Press, 2nd ed.,

1991 (Chapter 11: pp. 697-748)

Guias ópticos planares Análise modal de guias dieléctricos (abertos): (i) espectro discreto (modos

superficiais); espectro contínuo (modos de radiação e evanescentes). Modos TE e

TM numa placa dieléctrica: estruturas simétrica e assimétrica. Equações modais:

variáveis normalizadas; diagramas operacionais; diagramas de dispersão. Modos

superficiais numa interface DPS-DNG. Plasmões. Guias dieléctricos rectangulares

(3D): modos híbridos; método da constante dieléctrica efectiva.

Aulas teóricas: 1.

68 Carlos R. Paiva

Dietrich Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides. San Diego, CA:

Academic Press, 2nd ed., 1991

Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing,

2005 (Chapter 3: pp. 295-494)


69

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Fibras Ópticas. DEEC – IST, 2007/2008



110-155)


2002 (Chapter 2: pp. 23-76)



602-632)

Fibras ópticas Descrição de uma fibra óptica em termos de óptica geométrica. Reflexão interna

total. Representação espectral: (i) espectro discreto (modos superficiais); espectro

contínuo (modos de radiação ITE e ITM e modos evanescentes). Abertura numérica

e contraste dieléctrico. Fibras ópticas de perfil variável: dispersão intermodal. Fibras

ópticas de perfil em degrau: análise modal (modos híbridos HE e EH e aproximação

dos modos LP). Parâmetros normalizados e diagramas de dispersão. Regime

monomodal. Aproximação gaussiana. Dispersão da velocidade de grupo: dispersão

do guia (ou estrutural) e dispersão material. Dispersão de ordem superior. Débito

binário. Atenuação e EDFAs. Acoplamento codireccional: agregados lineares e

circulares de fibras. Propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais (regime

linear): equação de propagação; simulação numérica via FFT.

Aulas teóricas: 3.

70 Carlos R. Paiva

Bibliografia complementar Carlos R. Paiva, Fibras Amplificadoras Dopadas com Érbio. DEEC – IST,

2003/2004

Carlos R. Paiva, Teoria Elementar da Fotodetecção. DEEC – IST, 2005/2006.



Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:



(Chapter 8: pp. 283-334)

M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981

Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman

and Hall, 1983


Academic Press, 2nd ed., 1991

Gerd Keiser, Optical Fiber Communications. Singapore: McGraw-Hill, 3rd ed., 2000

Göran Einarsson, Principles of Lightwave Communications. Chichester: Wiley, 1996

John M. Senior, Optical Fiber Communications: Principles and Practice. London:

Prebtice-Hall, 2nd ed., 1992

Emmanuel Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers: Principles and Applications.



Press, 1999

Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing.

Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989 (Chapters 8-9: pp. 514-661)

Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, and D. Ronald Fannin, Signals and Systems:

Continuous and Discrete. New York: Macmillan, 3rd ed., 1993 (Chapter 10: pp. 486-

547)


71

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Solitões em Fibras Ópticas. DEEC – IST, 2007/2008


Wiley, 2nd ed., 2007 (Sec. 22.5: pp. 984-998)

Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th

ed., 2007 (Sec. 2.4: pp. 41-46)

Bibliografia complementar Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,

2002 (Chapter 9: pp. 404-477)


Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Sec. 14.5: pp.

663-670)

Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:


Solitões em fibras ópticas Efeito óptico de Kerr em fibras ópticas. Auto-modulação de fase. Comprimento de

dispersão e comprimento não-linear. Discussão qualitativa sobre a ocorrência de

solitões claros (zona de dispersão anómala) e escuros (zona de dispersão normal).

Equação de propagação de impulsos em fibras ópticas no regime não-linear.

Equação não-linear de Schrödinger. Solitão fundamental e solitões de ordem

superior. Sistemas de comunicação óptica com solitões. Simulação numérica da

propagação de solitões: SSFM (split-step Fourier method).

Aulas teóricas: 1.

72 Carlos R. Paiva


Academic Press, 2nd ed., 1991 (Chapter 9: pp. 335-365)

Linn F. Mollenauer and James P. Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals

and Applications. San Diego, CA: Academic Press, 2006

E. G. Sauter, Nonlinear Optics. New York: Wiley, 1996

Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th

ed., 2007

Yuri S. Kivshar and Govind P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to Photonic

Crystals. San Diego, CA: Academic Press, Elsevier, 2003

Nail N. Akhmediev and Adrian Ankiewicz, Solitons: Nonlinear Pulses and Beams.

London: Chapman & Hall, 1997

Eugenio Iannone, Francesco Matera, Antonio Mecozzi, and Marina Settembre,

Nonlinear Optical Communication Networks. New York: Wiley, 1998

Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Comunications. New York:


F. Abdullaev, S. Darmanyan, and P. Khabibullaev, Optical Solitons. Berlin: Springer-

Verlag, 1993.

P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge


Mark J. Ablowitz and Harvey Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform.

Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1981


73

Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Introdução à Álgebra Geométrica. DEEC – IST, 2007/2008

Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University

Press, 2nd ed., 2001 (Chapters 1-3: p. 1-49; Chapters 5-8: 67-117)

Bibliografia complementar David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical

language of physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121,

February 2003


Cambridge University Press, 2003 (Chapters 1-2: pp. 1-53)


Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapters 1-2: pp. 1-119)

Rafał Abłamowicz and Garret Sobczyk, Editors, Lectures on Clifford (Geometric)

Algebras and Applications. Boston: Birkhäuser, 2004 (Lecture 1: pp. 1-29)

Introdução à álgebra geométrica Espaços lineares (ou vectoriais). Álgebras. Produtos interno, externo, exterior e

geométrico (ou de Clifford) entre vectores. Produto tensorial. Álgebra geométrica

(de Clifford) no plano. Bivectores. Álgebra geométrica do espaço tridimensional.

Métrica. Lâminas e multivectores. Rotores. Reflexões e rotações. Quaterniões de

Hamilton. Funções lineares de vectores e de multivectores. Determinantes. Relações

entre a álgebra geométrica de Clifford e a álgebra exterior de Grassmann. A álgebra

vectorial ordinária (de Gibbs) como uma álgebra de Lie. Duais de Clifford e duais de

Hodge.

Aulas teóricas: 2.

74 Carlos R. Paiva



Leo Dorst, Daniel Fontijne, and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer

Science. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007


Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996 (Chapters 1-6: pp.

1-82)

David Hestenes and Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A

Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1984

David Hestenes, “Mathematical viruses,” pp. 3-16. In: A. Micali, R. Boudet, and J.

Helmstetter, Editors, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical

Physics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992


75

Bibliografia básica Sérgio A. Matos, Marco A. Ribeiro, and Carlos R. Paiva, “Anisotropy without tensors:

a novel approach using geometric algebra,” Optics Express, Vol. 15, No. 23, pp.

15175-15186, November 2007


New York: McGraw-Hill, 1985 (Chapters 5-6: pp. 181-262)

Bibliografia complementar Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:

Cambridge University Press, 2003 (Chapter 4: pp. 84-125)


Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapter 5: pp. 252-333)

Chris Doran, Anthony Lasenby, and Stephen Gull, “Linear Algebra,” Chapter 6, pp.

65-82. In: William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With

Applications in Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996



Meios anisotrópicos Funções lineares de multivectores na álgebra geométrica do espaço. A anisotropia

eléctrica de um cristal não-magnético em termos de um bivector. Cristais uniaxiais e

biaxiais. Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais e biaxiais:

ondas características e superfícies do vector constante de propagação. Polarização

das ondas características. Eixos dieléctricos principais e eixos ópticos. Interface

entre um meio uniaxial e um meio isotrópico. Lâminas retardadoras.

Aulas teóricas: 2.

76 Carlos R. Paiva



1-65)

J. A. Brandão Faria, Óptica: Fundamentos e Aplicações. Lisboa: Editorial Presença,

1994 (Capítulo 8: pp. 139-163)

J. F. Nye, Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and

Matrices. Oxford: Oxford University Press, (1957) 1985





Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005


New York: Wiley, 2002 (Chapter 4: pp. 263-301)


77

Bibliografia básica Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Sections 9.0-

9.3: pp. 406-431)

Bibliografia complementar Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 20: Sections 20.1-20.2: pp. 836-856)

J. A. Brandão Faria, Óptica: Fundamentos e Aplicações. Lisboa: Editorial Presença,

1994 (Capítulo 9: pp. 165-187)


Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003 (Chapters 7-8: pp. 220-317)


(Chapter 12: pp. 508-537)

Keigo Iizuka, Engineering Optics. Berlin: Springer-Verlag, 2nd ed., 1987 (Chapter

14: pp. 378-407)


New York: Wiley, 2002 (Chapter 5: pp. 302-361)

Efeito electro-óptico Efeito electro-óptico: linear (Pockels) e não-lienar (Kerr). Efeito electro-óptico de

Pockels: modulação de amplitude; modulação de fase; interferómetro de Mach-

Zehnder. Efeito electro-óptico em cristais líquidos.

Aulas teóricas: 1.

78 Carlos R. Paiva

Bibliografia básica Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:

Cambridge University Press, 2003 (Chapter 5: pp. 126-166)

Bibliografia complementar A. R. Lee and T. M. Kalotas, “Lorentz transformations from the first postulate,”

American Journal of Physics,” Vol. 43, No. 5, pp. 434-437, May 1975

Jean-Marc Lévy-Leblond, “One more derivation of the Lorentz transformation,”

American Journal of Physics, Vol. 44, No. 3, pp. 271-277, March 1976

N. David Mermin, “Relativity without light,” American Journal of Physics, Vol. 52,

No. 2, pp. 119-124, February 1984

David Hestenes, “Spacetime physics with geometric algebra,” American Journal of

Physics, Vol. 71, No. 7, pp. 691-714, July 2003

Óptica relativista Postulados de Einstein da relatividade restrita. Dilatação do tempo e contracção do

espaço. Diagramas de Lorentz e de Minkowski. Relatividade da simultaneidade.

«Paradoxo» dos gémeos. Transformação especial de Lorentz. Grupo de Lorentz.

Espaço-tempo de Minkowski e causalidade. Álgebra geométrica do espaço-tempo de

Minkowski. Rotores e «boosts». Vectores próprios e vectores relativos. Efeito

Doppler. Efeito Compton. Inércia da energia. Movimento hiperbólico e «paradoxo»

dos gémeos revisitado. As duas equações de Maxwell (homogénea e não-

homogénea) na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski. Óptica

relativista dos meios em movimento.

Aulas teóricas: 3.


79

Carlos R. Paiva and Marco R. Ribeiro, “Doppler shift from a composition of boosts

with Thomas rotation: a spacetime algebra approach,” Journal of Electromagnetic

Waves and Applications, Vol. 20, No. 7, pp. 941-953, 2006

Carlos R. Paiva, Óptica Relativista. DEEC – IST, 2003/2004


New York: McGraw-Hill, 1985 (Chapter 8: pp. 299-339)


Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapter 9: pp. 574-660)


Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996 (Chapters 1-6: pp.

1-82)



Wofgang Rindler, Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University


Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité Restreinte: Bases et Applications.

Paris: Dunod, 2005

A. P. French, Special Relativity. New York: W. W. Norton, 1968

Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Sacetime Physics: Introduction to

Special Relativity. New York: Freeman, 2nd ed., 1992

Moses Fayngold, Special Relativity and How it Works. Weinheim: Wiley-VCH, 2008

Patricia M. Schwarz and John H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to

Strings. Cambridge: Cambridge University Press, 2004

Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte: Cours et

Exercices Corrigés. Paris: Dunod, 2001

Michel Hulin, Nicole Hulin, et Lydie Mousselin, Relativité Restreinte: Cours,

Exercices et Problèmes Résolus. Paris: Dunod, 2ème éd., 1998

George F. R. Ellis and Ruth M. Williams, Flat and Curved Space-Times. Oxford:

Oxford University Press, 2nd ed., 2000

H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, and H. Weyl, The Principle of Relativity:

A Collection of Original Papers on the Special and General Theory of Relativity.

New York: Dover, (1923) 1952

80 Carlos R. Paiva

Gregory L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime: An Introduction to the

Mathematics of the Special Theory of Relativity. Mineola, NY: Dover, (1992) 2003

Jürgen Ehlers and Claus Lämmerzahl, Editors, Special Relativity: Will it Survive the

Next 101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006

John W. Schutz, Independent Axioms for Minkowski Space-Time. Essex: Addison-

Wesley Longman, 1997

“A theory which is not refutable by any conceivable event is nonscientific.

Irrefutability is not a virtue of a theory (as people often think) but a vice.”

Karl Raimund Popper, Conjectures and Refutations. London: Routledge,

(1963) 2002 (p. 48)


81

Notas sobre as aulas práticas

1. Nas aulas práticas de uma disciplina resolvem-se problemas. Estes problemas são, em

geral, uma aplicação da teoria exposta nas aulas teóricas precedentes. Os problemas

podem, também, apontar para generalizações da própria teoria.

2. Só através da resolução de problemas é que cada aluno(a) pode ganhar algo mais do que

uma ideia superficial e vaga dos tópicos abordados, i.e., pode adquirir uma verdadeira

compreensão da matéria.

3. Além disso, o rigor, o espírito crítico, bem como a criatividade e curiosidade intelectuais –

que estão associados à actividade científica – só podem ser cultivados e desenvolvidos

“An expert is someone who has made all the mistakes.”

Hans Albrecht Bethe (1906-2005)

“Therefore we should strive to make mistakes as fast as possible.” John Archibald Wheeler (1911-2008)

82 Carlos R. Paiva

através da prática científica: não basta a predisposição inata (ou adquirida) de cada um(a)

para essa actividade. Uma mente «em forma» requere uma atenção cuidada e exercícios

continuados – tal como um corpo «em forma».

4. A primeira semana de aulas é, frequentemente, apenas ocupada pelas aulas teóricas. A

razão é óbvia: só depois da primeira semana de aulas é que existe matéria crítica

suficiente para justificar a resolução de problemas de aplicação. Mas podemos (e

devemos) discordar desta atitude: o programa de uma disciplina, como Fotónica, depende

de matérias científicas (que se presumem) adquiridas em vários domínios: na matemática;

na física; em domínios específicos do electromagnetismo – tais como a propagação e

radiação de ondas electromagnéticas; na utilização de plataformas computacionais (e.g., a

plataforma MATLAB) para a resolução (ou simulação) numérica e para a apresentação

gráfica dos resultados. Assim sendo, há linhas de continuidade que devem ser sublinhadas

e relembradas. Isso pode ser feito numa «Aula Prática Introdutória» que tenha lugar logo

na primeira semana de aulas. Obviamente que não é possível satisfazer todas essas linhas

de continuidade numa única aula prática. Mas, pelo menos, o papel simbólico dessa aula

(e da totalidade dos enunciados de problemas referentes a essa aula que, por limitação de

tempo, nunca seria possível resolver no período temporal de uma única aula) fica assim

cumprido. A mensagem de que a formação é contínua, que nunca deve parar, fica portanto

transmitida – não como regra vaga, intenção piedosa, mas como prática e exemplo que

devem (têm) de ser adoptados.

5. Pretende-se transmitir, ainda, uma outra mensagem: o conhecimento científico não se

organiza em compartimentos estanques, i.e., existe uma natural interdisciplinaridade

inerente a este tipo de conhecimento. Não é possível, e.g., dizer onde começa a engenharia

e acaba a física (ou vice-versa). Há zonas claras onde estes domínios não se intersectam,

mas também existem zonas onde é mais difícil (se não mesmo impossível) estabelecer

linhas de demarcação clara. Por exemplo: no estudo dos metamateriais em

electromagnetismo, existem tópicos mais fundamentais e outros mais aplicados – mas é

impossível dizer quais os tópicos que são propriedade exclusiva da física e quais os que o

são da engenharia.

6. Pretende-se finalmente sublinhar que, no caso da matemática, existe uma exigência

absoluta de rigor e de «pureza» – no sentido da abstracção formal e da completa

independência entre a verdade matemática e a realidade observada (ou experimentada). A

verdade matemática nada tem a ver com quaisquer necessidades práticas, utilitárias ou de


83

concordância com a realidade. Apesar disso (e talvez mesmo por isso) a matemática é

imprescindível para uma verdadeira formulação científica e deve, portanto, contaminar

todas as matérias próprias da física e da engenharia. Com efeito, apesar da matemática

receber, muitas vezes, uma «realimentação» das ciências naturais (basta analisar a sua

evolução histórica), o seu quadro por excelência é o da total abstracção – aquilo a que se

costuma chamar «matemática pura». Quando a física e a engenharia recorrem à

matemática não devem, por isso, baixar a exigência de rigor que lhe é inerente – o que

corresponderia a destruir a própria necessidade de formalização matemática.

7. Entre os enunciados destinados a cada aula prática (que fazem parte de uma colecção que

pode ser consultada), apenas um número muito limitado pode ser efectivamente resolvido

na própria aula. Com isto, pretende-se: (i) tornar claro que a resolução de problemas não

pode ficar restringida às aulas práticas; (ii) passar a mensagem de que a resolução de

problemas é o principal elemento de aprendizagem científica. Ou seja, em conclusão:

partindo do pressuposto de que cada aluno(a) pretende uma compreensão efectiva e

produtiva da matéria, o conjunto de enunciados oferecidos (para o conjunto das aulas

práticas) tem de (e deve) ser explorado para além das aulas práticas.

A tabela seguinte lista a sequência das 14 aulas práticas de Fotónica (cada aula com a duração

de 1h 30 minutos). Não sendo o objectivo deste Relatório conter os enunciados dos problemas

das aulas práticas (que podem ser consultados noutro documento), apresenta-se a seguir uma

colecção restrita que apenas contém um único problema representativo de cada aula prática.

Não se trata, portanto, de uma colecção com a pretensão da completude. Pretende-se, tão

somente, revelar o estilo típico dos problemas das aulas práticas.

84 Carlos R. Paiva

AULAS PRÁTICAS

AULA TÍTULO

1 Aula prática introdutória

2 Métodos variacionais

3 Teoria elementar da dispersão

4 Lasers

5 Vectores complexos e polarização

6 Feixes ópticos

7 Mecânica quântica

8 Guias ópticos planares

9 Teoria modal das fibras ópticas

10 Propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais (regime linear)

11 Regime não-linear em fibras ópticas e solitões

12 Álgebra geométrica

13 Meios anisotrópicos

14 Óptica relativista

Na amostra que se segue cada problema é designado por Problema PN. O número N refere-

se à aula prática em que esse problema se integra (de acordo com a tabela anterior).


85

Um operador linear 3 3: →ε tem três valores próprios reais e distintos 3 2 1ε ε ε> > .

Façamos, para conveniência de cálculo posterior,

23 3 3 1

2 2 23 1 2 1 2 1

2 21 1 3 2 3

2 21 2

2 2

ε α β γ ε ε βγ γ ε α ε ε β γ

ε α β γ ε ε β γ

= + − =+ = → = → − = −

= − − =.

Seja 1 2 3, ,= e e eB uma base ortonormada de 3 constituída pelos vectores próprios do

operador considerado, i.e., tais que

( )( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

eixo eixo eixo

XXX

εεε

→ =→ =→ =

e ee ee e

εεε

.

Mostre que, definindo (ver figura anexa)

1 1 1 3 3

2 1 1 3 3

γ γγ γ

= += − +

d e ed e e

em que ( )1 sin 2γ φ= e ( )3 cos 2γ φ= , é

possível escrever o operador linear

considerado em termos destes dois vectores

unitários como segue

( ) ( ) ( )3 31 2 2 1α β∈ = + ⋅ + ⋅ = ∈⎡ ⎤⎣ ⎦a a a a d d a d d bε .

Nomenclatura: Este problema mostra que um operador linear 3 3: →ε , com três valores

próprios distintos, se pode escrever em termos de dois vectores unitários 1d e 2d não

paralelos. Por essa razão diz-se que se trata de um operador biaxial.

⊗

2X

3X

1X

3γ

1γ 1γ−

1d 2d

φ

86 Carlos R. Paiva

Notas: Note que, de acordo com a figura, se tem

2 2 2 2 1 2 31 2 3 1

3 1

2cos cos sin2 2

ε ε εφ φφ γ γε ε− +

⋅ = = − = − =−

d d .

Assim, vem

( ) ( )3 2 2 1

3 1 3 1

1 11 cos , 1 cos2 2

ε ε ε εφ φε ε ε ε− −

+ = − =− −

.

Como se admite que 3 2 1ε ε ε> > , é 3 2 0ε ε− > , 2 1 0ε ε− > e 3 1 0ε ε− > . Além disso, como

1 cos 1 coscos , sin2 2 2 2φ φ φ φ+ −= =

infere-se ainda que

3 2 2 13 1

3 1 3 1

,ε ε ε εγ γε ε ε ε− −

= =− −

.

Sugestão: Notando que se pode fazer

( )1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3a a a a a aε ε ε= + + → = + +a e e e a e e eε

( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 3 2 3 3a aε ε ε ε ε∴ = + − + −a a e eε

há, agora, que escrever 1 1a e e 1 1a e exclusivamente em termos de a , 1d e 2d . Assim, tem-se

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 21 1 1 1 1 22

1 1 1

1 2 1 2 1 23 3 3 3 1 22

3 3 3

2 2 4

2 2 4

a a

a a

γ γ γ

γ γ γ

− ⋅ ⋅ −−= = = −

+ + ⋅ ⋅ += = = +

d d a a d dd de e d d

d d d d a a d de e d d


87

( )sε

sθ

( ) ( )ε = ⋅s s sε

pelo que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 22βα= + ⋅ + + − ⋅ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦a a a d d d d a d d d dε

( ) ( ) ( )1 2 2 1α β∴ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a a d d a d dε .

Definição: Define-se o valor escalar do operador linear segundo uma direcção caracterizada

pelo vector unitário s , como sendo

( ) ( )ε = ⋅s s sε .

Um operador para o qual ( )ε s seja um campo

escalar dependente da direcção s diz-se um

operador anisotrópico.

Operador uniaxial: Um caso particular do tratado neste problema corresponde a ter-se 1 2ε ε= .

Façamos, neste caso, 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= . Mas então

1 2 1 2cos 1 0ε ε

φ φε ε

⊥

⊥

−⋅ = = = ⇒ = ⇒ = =

−d d d d c

( ) ( )( )ε ε ε⊥ ⊥∴ = + − ⋅a a c a cε .

Diz-se que se trata de um operador uniaxial uma vez que os dois eixos se reduziram a um

único eixo c . Note-se que este caso poderia deduzir-se simplesmente da seguinte forma

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3a a aε ε ε ε ε ε ε ε⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥= − + = + − = + − ⋅a a c c a c a a c cε .

Operador isotrópico: Um caso particular do caso particular anterior corresponde a ter-se

iε ε ε⊥= = . Mas então ( ) iε=a aε . Diz-se que se trata de um operador isotrópico, uma vez

que todas as direcções do espaço 3 são equivalentes.

88 Carlos R. Paiva

Mostre que, numa atmosfera em que ( )n n r= (coordenadas polares), se verifica a lei de Snell

( ) ( )sinn r r φ κ=

onde κ é uma constante e φ é o ângulo indicado na figura anexa. Mostre, ainda, que esta lei

de Snell equivale a escrever a equação diferencial

( )( )

2

221

n r rdd r r

θθθ κθ

′′ = → =

′+

donde se infere que a trajectória satisfaz a equação

( )( )0

02 2 2

r

r

duru n u u

κθ θκ

= ± +−

∫ .

Note-se que, quando ( )n r r κ= , se tem uma reflexão total ou turning point.

d sr dθ

rθ

φ

X

Y

O

( )n n r= d r

φ


89

Sugestão: Em coordenadas polares, tem-se ( )cosx r θ= e ( )siny r θ= . Assim, comece por

mostrar que se tem 2 2 2 2 2 2d s d x d y d r r dθ= + = + . Atendendo então à figura, verifique que

se tem

( )( )2

sin1

d rrd s r

θ θφθ

′= =

′+.

O princípio de Fermat impõe, então, a estacionaridade de

( ) ( ) ( ) ( )2

1

22, , , 1r

r

fI f r d r f r n r rθ θ θ κθ∂′ ′ ′= = + → =

′∂∫ .

90 Carlos R. Paiva

As relações constitutivas dos meios isotrópicos simples (i.e., sem acoplamento

magnetoeléctrico), são (com ,ε µ ∈ )

0

0

ε εµ µ

==

D EB H

e admitem a classificação genérica que se apresenta na figura anexa.

Considerando um modelo de Lorentz para a dispersão, vem

( )

( )

2

2 20

2

2 20

1modelo de Lorentz

1

pe

e e

pm

m m

i

i

ωε ω

ω ω ω

ωµ ω

ω ω ω

⎧= +⎪

− Γ −⎪→ ⎨⎪ = +⎪ − Γ −⎩

em que 0 ,e mω representam as frequências de ressonância enquanto que os coeficientes ,e mΓ

representam as frequências de colisão (i.e., as perdas) e ,pe mω as frequências de plasma. Neste

modelo é possível encontrar um intervalo de frequências 1 , 2 ,,e m e mω ω⎡ ⎤⎣ ⎦ em que cada um dos

parâmetros ( )ε ω e ( )µ ω apresenta uma parte real negativa.

( )ε ε′ = ℜ

( )µ µ′ = ℜ

0,mei

0plasma

s E G

s

o Nε µ′ ′< > 0,

me0

dieléctricos

ios DPSε µ′ ′> >

0, 0metamateria

meios DNG

isε µ′ ′< < 0, 0

meio

meios M

s girot

NG

rópicosε µ′ ′> <


91

(a) Mostre que, de acordo com o modelo de Lorentz, se tem

( ) ( )2 21 , 11 11 1

e m

e m

e m

p p

i iq q

ε λ µ λλ λλ λ

= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(b) Represente graficamente as partes reais e imaginárias de ( )ε λ , ( )µ λ e do índice de

refracção ( )n λ para os seguintes valores numéricos: 1ep = , 0.8mp = , 100e mq q= = ,

0.3 mmeλ = e 0.32 mmmλ = . Mostre, através deste exemplo, que um meio com um

índice de refracção negativo ou NIR (negative index of refraction) não é a mesma coisa

que um meio DNG.

92 Carlos R. Paiva


93

Nota: No caso geral em que há perdas, tem-se iε ε ε′ ′′= + e iµ µ µ′ ′′= + . O índice de

refracção será, consequentemente, também complexo e dado por

( )( )n n n n i n n i nε µ ε ε µ µ′ ′′ ′ ′′= = + + ,

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nεε εε

ε εε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

,

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nεε εε

ε εε

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′′ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

,

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nµ

µ µµµ µ

µ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

,

( )

12

12 4

2

sgn1 1

21

nµ

µ µµµ µ

µ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′′ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Assim, num meio DNG em que 0ε µ′′ ′′= = e ( ) ( )sgn sgn 1ε µ′ ′= = − , obtém-se

( )( ) 1 2 1 2meio DNG 0n n n i n i nε µ ε µ ε µ′′ ′′ ′ ′→ = = = − <

i.e., um meio que tem, simultaneamente, um índice de refracção negativo.

94 Carlos R. Paiva

De acordo com a lei da radiação de Planck, a densidade espectral de energia numa cavidade

em equilíbrio termodinâmico à temperatura absoluta T é dada por

( ) ( ) ( )3

2 3

exp 1

ss

B

uc

k T

ωωω ωπ ω

= → =⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(a) Sabendo que o máximo da radiação cósmica de fundo (cosmic background radiation)

ocorre para a frequência 160.5 GHzpf = , estime a temperatura média equivalente

dessa radiação isotrópica.

Sugestão: Comece por mostrar que

( )3

13 3

1 2 3

18B

xB

h fxk T xu f C

ek TCh cπ

=

→ =−

=

e que ( )max pu u f= corresponde a encontrar a solução de ( )3 1 xe x−− = , i.e.,

2.8214x = .


95

(b) Deduza lei de Wien

pB

hcTy k

λ =

onde pλ é o comprimento de onda para o qual se observa um máximo da densidade

espectral de energia e 4.9651y = é uma constante adimensional que é a solução da

equação ( )5 1 ye y−− = . Note que, quando se exprime o comprimento de onda pλ em

milímetros e a temperatura absoluta em graus Kelvin, se tem

2.8978p Tλ = .

Sugestão: Comece por mostrar que

( )5

25 5

2 4 4

18B

yB

hcyk T yu C

ek TCh c

λλ

π

=

→ =−

=.

96 Carlos R. Paiva

(c) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann de acordo com a qual a densidade volúmica de

energia é dada por

( )2 4

16 3 4 43 3 7.5658 10 Jm K

15Bka U T aTc

π − − −= = × → = .

Sugestão: 3 4

0 1 15x

x d xe

π∞

=−∫ .


97

Dado um vector complexo a define-se o correspondente vector real da polarização respectiva

( )p a :

( ) i∗

∗

×=

⋅a ap aa a

.

Mostre que o vector ( )p a é perpendicular ao plano da elipse correspondente a a e que o seu

sentido é o da normal direita.

Definindo ( ) ( )p =a p a como sendo o comprimento do vector da polarização, mostre ainda

que se tem ( )0 1p≤ ≤a e que a elipticidade ( )e a da elipse (i.e., o quociente entre o eixo

menor e o eixo maior) é dada por

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

2

1 1 21

p ee p

p e− −

= → =+

a aa a

a a.

Note-se que, para o caso da PL, ( ) 0p =a ; para o caso da PC, ( ) 1p =a .

( )p a

aa

( )p a

98 Carlos R. Paiva

polarização condição elipticidade

PL ( ) 0p =a ( ) 0e =a

PC ( ) 1p =a ( ) 1e =a

Em geral define-se o vector da elipticidade

( ) ( ) ( )i e∗

∗

×= → =

⋅ + ⋅a ae a a e a

a a a a

que é paralelo ao vector da polarização ( )p a .


99

Um feixe gaussiano pode ser um modo de oscilação de uma cavidade óptica constituída por

dois espelhos esféricos. Com efeito, consideremos dois espelhos esféricos côncavos, cujos

raios de curvatura são 1 0R < e 2 0R < , a uma distância d tal como se indica na figura anexa.

Para que um feixe gaussiano seja um modo de oscilação desta cavidade óptica, é necessário

que se verifique, com 2 1z z d= + ,

20

1 11

20

2 22

zR zz

zR zz

= +

− = +.

Mostre que isso é possível desde que

( )

( )( )( )( )

21

2 1

2 1

1 2 2 120 2

2 1

02

0

02

d R dz

R R d

z z d

d R d R d R R dz

R R d

+= − <

+ +

= + >

+ + + += − >

+ +

e ainda que a última condição, a de ter 20 0z > , implica que

1R 2R

d

1z 0 2z z

100 Carlos R. Paiva

1

11 2

22

1condição de estabilidade 0 1

1

dgR

g gdgR

= +

→ → ≤ ≤= +

.


101

Pretende-se, neste problema, analisar quanticamente o oscilador harmónico unidimensional.

Comecemos por considerar a equação de Schrödinger independente do tempo

( ) ( )2

2 2

2 0d u m V x u xd x

+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦E

que é, como é sabido, equivalente à equação de valores próprios do operador hamiltoniano

( )2ˆˆ ˆ,

2p dH V x p im d x

= + = − .

Consideremos, então, o potencial harmónico

( ) 2 2 21 12 2

k V x k x m xm

ω ω= → = = .

(a) Introduzindo as variáveis adimensionais

2

m x

εω

ωξ

=

=

E

mostre que a equação de Schrödinger se reescreve na forma

( ) ( )2

22 0d u u

dε ξ ξ

ξ+ − = .

(b) Notando que a última equação diferencial é a equação de valores próprios

( ) ( )2

22

ˆ ˆdL Lu ud

ξ ξ ε ξξ

= − + → =

mostre que, ao valor próprio 1ε = , corresponde a função própria gaussiana

20 0

11 exp2

uε ξ⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(c) Mostre que se tem

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2

d d u d d duud d d d d

d du u ud d

ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ±⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓ ∓

∓ ∓

para qualquer função própria de L .

102 Carlos R. Paiva

(d) Usando as duas relações obtidas na alínea anterior, mostre que

( ) ( ) ( )2

22 2 0d d du u

d d dξ ξ ε ξ ξ ξ

ξ ξ ξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎡ ⎤+ ± − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∓ ∓

o que significa que, aos valores próprios ( )2ε ± , correspondem as funções próprias

( )2 d ud

ε ξ ξξ

⎛ ⎞± → ⎜ ⎟

⎝ ⎠∓ .

(e) O resultado obtido na alínea anterior permite obter todas as funções próprias a partir da

gaussiana ( )0u ξ . Verifique, com efeito, que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21 0 1 1

2 22 1 2 2

3 22 2 3 3

13 2 exp2

15 4 2 exp2

17 8 12 exp2

d u u ud

d u u ud

d u u ud

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

ε ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

tendo-se, em geral,

1 10,1, 2, 22 2n nn n nε ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠E…

a que corresponde a função própria

( ) ( ) 21H exp2n n nu cξ ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

onde ( )Hn ξ é o ésimon − polinómio de Hermite tal que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20H 1, H 1 exp expn

n n

dd

ξ ξ ξ ξξ

⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ .

Os primeiros cinco polinómios de Hermite são

( )( )( )( )( )

0

12

23

34 2

4

H 1H 2

polinómios de Hermite H 4 2H 8 12H 16 48 12

ξξ ξξ ξξ ξ ξξ ξ ξ

==

→ = −= −= − +

.

Verifica-se, deste modo, que o operador ( )d d ξ ξ− é um operador de «criação» na

medida em que permite obter uma função própria de L de ordem 1n + a partir da


103

função própria de ordem n . Analogamente, o operador ( )d d ξ ξ+ é um operador de

«aniquilação» na medida em que permite obter uma função própria de L de ordem

1n − a partir da função própria de ordem n . Sublinhe-se ainda que, ao modo

fundamental (i.e., o modo de ordem 0n = ), não corresponde uma energia nula mas sim

uma energia

01energia do nível 02

n ω= → =E .

(f) As constantes de normalização nc devem ser tais que se verifiquem as relações de

ortonormalidade

( ) ( )1,0,j k j k

j ku x u x d x

j kδ

∞∗

−∞

=⎧= = ⎨ ≠⎩

∫ .

Nestas condições mostre que

( ) ( )1 4

1 22 22 ! exp H2

nn n

m m mu x n x xω ω ωπ

−− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

104 Carlos R. Paiva

Nota: Em teoria quântica do campo electromagnético, cada modo de oscilação é associado a

um modo do oscilador harmónico quântico. A radiação e absorção de radiação é então

interpretada como a criação ou a aniquilação (respectivamente) de um fotão, i.e., de um

quantum de radiação electromagnética de energia ω .

Os primeiros cinco níveis de energia de um oscilador harmónico quântico.

0

1

2

3

4

12

ω

92

ω

72

ω

52

ω

32

ω

0

nEn

criação de um fotão

aniquilação de um fotão


105

Considere a placa dieléctrica assimétrica de espessura t representada na figura junta. O índice

de refracção do núcleo é 2n , o índice de refracção da bainha é 3n e o índice de refracção do

superestrato é 1n . Tem-se 2 1n n> e 2 3n n> .

(a) Para ondas electromagnéticas com a forma ( )exp i z tβ ω−⎡ ⎤⎣ ⎦ mostre que as únicas

componentes não nulas dos modos superficiais TE são ( ), ,y x zE H H , tendo-se

( )2

022

0

01

x yy

yy

z

H EE

x EEx

H ix

βω µ

κ

ω µ

= −∂

+ = →∂∂

= −∂

enquanto que, para os modos TM, as únicas componentes não nulas são ( ), ,y x zH E E

com

( )( )

( )

2202

2

20

01

x yy

yy

z

E En xH

x HEx

E in x x

βωε

κ

ωε

=∂

+ = →∂∂

=∂

( ) ( ) ( )1

2 2 2 20 2

3

, 0, 0,

n xx n x k n x n t x

n x tκ β

>⎧⎪= − → = − < <⎨⎪ < −⎩

.

3n

1n

2n z

x

t

0x =

x t= −

106 Carlos R. Paiva

(b) Fazendo 2 2 2 22 0h n k β= − , 2 2 2 2

1 1 0n kα β= − e 2 2 2 23 3 0n kα β= − , mostre que as equações

modais dos modos superficiais são:

( ) ( )

( ) ( )

1 32

1 3

2 2 2 22 3 1 1 2 3

2 2 2 41 3 2 1 3

modos TE tan

modos TM tan

hht

h

h n n n nht

n n h n

α αα α

α α

α α

+→ =

−

+→ =

−

.

(c) Mostre que nenhum modo superficial se propaga desde que

1 22 2

2 2 1 3 10 2 3 2 2

2 3

0 tan n nv k t n n vn n

− ⎛ ⎞−= − → < < ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

(d) Qual é a condição que deve observar a frequência normalizada v de forma que o regime

seja monomodal?

(e) Mostre que, sendo cλ o comprimento de onda de corte de um dado modo superficial, se

tem

1 22 21 3 1

m 2 22 22 32 3

1 22 221 3 12

m 2 2 22 21 2 32 3

1modos TE tan2

1modos TM tan2

c

c

n nt mn nn n

n nnt mn n nn n

πλ π

πλ π

−

−

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

.

(f) Para 1 1n = , 2 2n = e 3 1.7n = represente graficamente o índice de refracção modal

0n kβ= em função de t λ para os modos superficiais que se podem propagar.

Considere o intervalo 0 2.5t λ< < .


107

Considere um agregado linear de três fibras ópticas idênticas. Seja C o coeficiente de

acoplamento entre duas fibras quaisquer adjacentes e despreze o acoplamento entre as fibras 1

e 3. Designe por β a constante de propagação longitudinal em cada fibra.

(a) Mostre que as constantes de propagação dos três supermodos são 1 2 Cβ β= + ,

2β β= e 3 2 Cβ β= − .

(b) Mostre que os três valores próprios associados às constantes determinadas na alínea

anterior, são

1 2 3

1 12 21

1 1 11 , 0 , 12 2 21 1 1

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

u u u .

(c) Sendo ( ),nB z ω as envolventes dos modos elementares associados a cada guia

individual (com 1 3n≤ ≤ ) e ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , ,T

z B z B z B zω ω ω ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦B , mostre que a

matriz de transferência ( ),z ωT , tal que ( ) ( ) ( ), , 0,z zω ω ω= ⋅B T B , é dada por

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos 2 1 2 sin 2 cos 2 11 exp 2 sin 2 2cos 2 2 sin 22

cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1

C z i C z C z

i z i C z C z i C z

C z i C z C z

β

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

T .

a a a

y

x

1 2 3

108 Carlos R. Paiva

(d) Para ( ) ( )2 30, 0, 0B Bω ω= = , defina (com 1 3n≤ ≤ ) os coeficientes de transmissão

( ) ( ) ( )2

1, , / 0,n nt z B z Bω ω ω= . Represente graficamente (assinalando os pontos

notáveis), 1t , 2t e 3t para 0 Bz L≤ ≤ , com ( )0/ 2BL Cπ ω= em que 0ω é a frequência

nominal. Mostre que ( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0, , , 1t z t z t zω ω ω+ + ≡ .


109

Considere, à entrada 0z = de uma fibra óptica monomodal operada em regime linear, o

impulso gaussiano

( )2

00

10, exp2iC tA t A

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

em que 0A é a amplitude do impulso e cC β= − o parâmetro do chirp ( cβ é o factor de

Henry). Admita que 3 0β = .

(a) Sendo ( ) ( )1 0, /z t t zτ β τ= − e 20 2/DL τ β= , mostre que

( ) ( )( )( )

222 0

2

,, exp

z tAA z tz z

τη η

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦, com ( ) ( )

2 2

21 sgnD D

z zz CL L

η β⎡ ⎤ ⎛ ⎞

= + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

.

(b) Represente graficamente ( )zη em função da variável normalizada / Dz Lζ = para

0 2ζ≤ ≤ . Admita que ( )2sgn 1β = − e ainda que 0, 2C = ± .

(c) Para 2 0Cβ < mostre que a largura mínima do impulso é 0min 21 C

ττ =+

. Calcule o

ponto minz z= onde ocorre essa largura mínima.

(d) Definindo o valor máximo do ritmo binário como sendo 0 01/ 2B τ= , mostre que

110 Carlos R. Paiva

( ) ( )

( )2 2

220 2

2

sgn 1 1

4 1

C CB L

C

β η

β

− + + −=

+

para z L= . Represente graficamente 20B L em função de C no intervalo 6 6C− ≤ ≤ .

Admita que 1.25η = e 22 20ps /kmβ = − .

Sugestão: Note que

( )2

2exp exp4ba x b x dx

a aπ∞

−∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .


111

A equação de propagação de impulsos numa fibra óptica operada em regime não-linear é

governada, se se desprezarem as perdas, pela equação

2

21 2 2

12

A A Ai i A Az t t

β β γ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

(a) Mostre que, fazendo a mudança de variáveis z z= e 1t t zβ∗ = − , a equação anterior se

transforma em

2

22 2

12

A Ai i A Az t

β γ∗

∂ ∂+ =

∂ ∂.

(b) Em regime CW (continuous wave) a amplitude ( ),A z t∗ reduz-se a uma variável

( )A A z= que obedece simplesmente à equação

2A i A A

zγ∂

=∂

.

Mostre que, neste caso, se obtém uma solução ( ) ( )0 NLexpA z P i zφ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ em que

( )NL 0z P zφ γ= .

(c) Porém, a solução obtida na alínea anterior não é uma solução estável. Considere, com

efeito, uma pequena perturbação dessa solução ( ),p z t∗ tal que

( ) ( ) ( )0 NL, , expA z t P p z t i zφ∗ ∗⎡ ⎤= + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ onde se admite que 0p P<< . Nestas

condições, mostre que

2

22

NL

22

p pi i pz t L

β

∗

∂ ∂+ = ℜ

∂ ∂

em que, como é habitual, se introduziu o comprimento não-linear NL 01L Pγ= .

(d) Admitindo que a perturbação introduzida na alínea anterior tem a forma

( ) ( ) ( )1 2, exp expp z t p i Kz t p i Kz t∗ ∗ ∗= −Ω + − −Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , com 1 2,p p ∈ e onde Ω

representa a frequência da perturbação enquanto que K representa a correspondente

constante de propagação, mostre então que se tem

( ) ( )2 2 22 2

2 NL

1 4sgn ,2 c cK

Lβ β

βΩ = ± Ω Ω + Ω Ω = .

112 Carlos R. Paiva

(e) Na zona de dispersão normal, em que ( )2sgn 1β = , a constante de propagação ( )K K= Ω

é, de facto, um número real e, consequentemente, a perturbação não introduz qualquer

instabilidade, i.e., a solução CW obtida na alínea (b) é estável. Porém, na zona de

dispersão anómala, em que ( )2sgn 1β = − , a constante de propagação ( )K K= Ω só é real

para desvios de frequência (em relação à portadora 0ω ) tais que 2 2cΩ ≥ Ω . De facto,

quando 2 2cΩ < Ω , tem-se K i= Λ em que 2gΛ = ± onde g representa um ganho

diferencial (de potência) dado pela expressão ( ) 2 22 cg βΩ = Ω Ω −Ω . Considerando

22 20ps kmβ = − e 1 12 W kmγ − −= , represente graficamente [ ]1km THzg vs−⎡ ⎤ − −Ω⎣ ⎦ para

os seguintes valores da potência de pico: (i) 0 1WP = ; (ii) 0 2 WP = ; (iii) 0 4 WP = .

Mostre que o máximo do ganho diferencial é dado por max 02g Pγ= ocorrendo para

2cΩ = ±Ω .


113

Mostre que a operação

ˆ, exp2

R R R θ⎛ ⎞′ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

a a a B

corresponde a uma rotação do vector 3C∈a de um ângulo θ no plano do bivector unitário

B (i.e., com 2ˆ 1= −B ) e tal que

2 2ˆ , 1,sin

2θ∧

= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m nB m n

no sentido ditado pela orientação deste bivector (i.e., de m para n ).

B

a ′a

θa ′a

123= −u Be

114 Carlos R. Paiva

Sugestão: Note que 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ− = = −B B B B , donde

( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,− −⊥= = − = ∧ = − ∧a a B B a B B a a B B a B B .

Prove, então, que

ˆ ˆ

ˆ ˆR R

R R⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⎧ = ⇒ =⎪⎨

= − ⇒ =⎪⎩

a B Ba a a

a B Ba a a.

Daqui se infere que

2, , R⊥ ⊥ ⊥′ ′ ′ ′ ′= + = =a a a a a a a a

onde, efectivamente,

( )2 ˆexpR θ= −B .


115

Mostre que, num cristal não-magnético, a equação das ondas planas e monocromáticas se

pode escrever na forma simples

( )2ˆ 0, n ⊥ ⊥∧ = = −k E E E Eη

onde 0ˆn k=k k , ( )ˆ ˆ= ⋅E E k k e ⊥ = −E E E . Mostre ainda que todas as ondas são TM,

tendo-se

( )

( )

0123

123

ˆ

1 ˆ

cn

n

µ⊥ = ∧

= ∧

E k H e

H k D e.

Sugestão: Comece por mostrar que as equações de Maxwell, para ondas electromagnéticas da

forma

( ) ( )0 0exp expk i t i k c tω= → ⋅ − = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦k n k r n r ,

se podem escrever como segue

123

123

00

cc

∧ = ⋅ =∧ = − ⋅ =

n E Be n Dn H De n H

.

A equação 0⋅ =n H mostra que todas as ondas são TM. Logo, como

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

123 123 0 123

n nµ

⊥∧ = − ⋅ == ∧ = ∧

n n E E n E n En Be n B e n H e

infere-se que

116 Carlos R. Paiva

( ) ( )2 2n n⊥ ⊥= ⇒ =E E E Eε η

( )2n⊥ ⊥ ⊥∴ = − = −E E E E Eη .

A equação de ondas ˆ 0∧ =k E resulta, então, de forma imediata a partir da definição de E .

Note-se, ainda, que

( ) ( ) ( )20 123 0 123n c cµ µ⊥ ⎡ ⎤∧ = = = ∧⎣ ⎦n n E E n He n H e

( )0123

ˆcnµ

⊥∴ = ∧E k H e .

Analogamente, vem

( ) ( )( ) ( )

2 2

123 123

n n∧ = − ⋅ == ∧

n n H H n H n Hn De n D e

( ) 1231 ˆn

∴ = ∧H k D e .


117

Uma nave espacial parte da Terra no ano 2100. Um de dois gémeos nascidos em 2080

permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial. De forma a que os

viajantes se sintam como no planeta Terra, a nave movimenta-se sempre com uma aceleração

própria g (com 29.8 m/sg = ). A viagem decorre do seguinte modo: na primeira fase acelera

ao longo de uma linha recta durante 0 2 anosτ = (medidos no seu tempo próprio); numa

segunda fase desacelera durante mais 0τ ; numa terceira fase, depois de inverter a marcha,

acelera durante 0τ ; numa quarta e última fase desacelera durante 0τ até que, por fim, aterra.

O gémeo astronauta tem, portanto, 28 anos de idade aquando do seu regresso à Terra.

(a) Qual é a idade do gémeo que ficou na Terra?

(b) Até que distância viajou a nave espacial?

(c) Trace as linhas de universo dos dois gémeos no plano ( ),t x do gémeo que fica em Terra.

Escolha, para calibrar o eixo t , a varável adimensional 0t τ ; para unidade de espaço

escolha o ano-luz. Considere os dois casos seguintes: (i) 0 1anoτ = ; (ii) 0 1.5 anosτ = ; (iii)

0 2 anosτ = .

gémeo

astronauta

gémeo

terrestre

0 1τ = 0 1.1868t = 1 0.9189x = 24 anos 24.75 anos

0 1.5τ = 0 2.1735t = 1 1.9848x = 26 anos 28.69 anos

0 2τ = 0 3.7505t = 1 3.6310x = 28 anos 35.00 anos

118 Carlos R. Paiva


119

A avaliação de conhecimentos não se destina, apenas, a classificar os alunos. Destina-se,

também, a promover a aquisição de conhecimentos. Para esse efeito existe uma componente

de avaliação contínua com objectivos que, a seguir, se explicitam.

• Manter uma ligação dos alunos à disciplina através de um acompanhamento (o mais

possível) sem interrupções (seja das aulas teóricas, seja das aulas práticas) através de um

conjunto de trabalhos distribuídos ao longo do semestre.

• Criar hábitos de simulação numérica para a resolução dos problemas que não têm uma

solução analítica fechada, nomeadamente: (i) na resolução de equações diferenciais

ordinárias – e.g., as equações das taxas na modulação directa da corrente de injecção dos

lasers semicondutores; (ii) na propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais

(seja em regime linear, seja em regime não linear) onde se faz uso intensivo da FFT.

• Habituar os alunos a obter soluções numéricas das equações modais de guias dieléctricos,

nomeadamente: (i) nos guias planares 2D e 3D; (ii) no caso das fibras ópticas (seja no

caso geral ou na aproximação dos modos LP). Pretende-se, também, que os alunos se

habituem a representar graficamente essas soluções numéricas na forma de diagramas de

dispersão normalizados (e.g., através de diagramas b vs v− − ).

• Suscitar uma melhor compreensão dos assuntos tratados através da resolução de

problemas concretos. Uma compreensão superficial da matéria não é suficiente: só através

da resolução de problemas concretos é possível garantir uma «intimidade» necessária com

a matéria leccionada. A resolução de problemas deve ser feita através de três processos

distintos: (i) nas aulas práticas; (ii) através da resolução dos trabalhos de avaliação

contínua; (iii) através da resolução individual de problemas que, apesar de fazeram parte

da colecção de problemas das aulas práticas, não podem – devido à limitação de tempo –

ser resolvidos nessas aulas.

120 Carlos R. Paiva

A nota final fN da disciplina, com 0 20fN≤ ≤ e fN ∈ , é obtida de acordo com a regra

que se a seguir se indica. Como é habitual, o(a) aluno(a) será considerado(a): (i) aprovado(a)

com uma nota fN , quando 10fN ≥ ; reprovado(a) quando 10fN < . A nota fN será

atribuída de acordo com a seguinte expressão

( ), 16

int 0.3 0.7, 16

p pp f

o p

N NN T E N

N N≤⎧

= + → = ⎨ >⎩

em que nota provisóriapN = e nota da oraloN = . Designa-se por T , com 0 20T≤ ≤ e

T ∈ (com duas casas decimais), a média das classificações obtidas nos trabalhos de

avaliação contínua e E , com 0 20E≤ ≤ e E∈ (com duas casas decimais), a melhor nota

obtida nas duas datas de exame final. Os alunos cuja nota pN seja igual ou superior a 17

valores têm, obrigatoriamente, de fazer uma oral – caso contrário a sua nota final será

16fN = . A nota da oral deverá ser, sempre, 16oN ≥ (não se considera a hipótese de ser

possível obter 16oN < ).

Notas mínimas: Para obter aproveitamento na disciplina é necessário que, simultaneamente,

se tenha obtido 10T ≥ e 10E ≥ .

Apresentam-se a seguir, a título de exemplo, os enunciados (bem como as respectivas

resoluções) das duas datas de exame do ano lectivo de 2007/2008.


121

Docente responsável: Prof. Carlos R. Paiva

Duração: 3 horas • Exame de 19 de Junho de 2008

Ano Lectivo: 2007/2008 • 1.ª DATA

The possibility that mathematical tools used today were invented to solve problems in the past and might not be well suited for current problems is never considered. Wtä|w [xáàxÇxá

1. Determine o contraste dieléctrico ∆ de uma fibra óptica com 1 1.45n = e 4 µma = de forma que esta seja monomodal para 1.2 µmλ > .

Resolução: O regime é monomodal para cλ λ> (neste caso 1.2 µmcλ = ), ou seja, para 2.4048cv v< = . Como

1 2c cv n k a= ∆ , em que 2c ck π λ= , vem então 2

3

1

1 3.135 102 2

c cvn aλ

π−⎛ ⎞

∆ = = ×⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2. Um sistema de comunicação óptica com solitões, operado em 1.55 µmλ = e em que

( )2 ps / km nmD = ⋅ , tem um débito binário 10 Gb/sB = . A área efectiva do núcleo é 2

eff 50 µmA = . Determine, para 20 22 2.6 10 m / Wn −= × , a potência de pico dos solitões

(fundamentais) com uma largura (FWHM) 30 pssτ = . Qual é a potência média do correspondente sistema RZ com solitões? Qual é o valor do coeficiente 0q ?

Resolução: Como ( )02 ln 1 2sτ τ= + , obtém-se 0 17.02 psτ = . Por outro lado, tem-se

1 12 0 2

eff eff

2 2.1079 W kmn k nA A

πγλ

− −= = = .

Logo, a potência de pico 0P será dada por 2

222 0 2

0

2.5491 ps / km 4.18 mW2

D Pc

βλβπ γ τ

= − = − ⇒ = = .

Para um sinal RZ a potência média será

0 0 0 02 0.71 mW2 2

s ss s

B

BP P P BT

τ τ= ⇒ = = = =E E

E .

Note-se que, como 10 02B q τ− = , é ( )0 0 2 2.94sq P P= = .

122 Carlos R. Paiva

3. Um feixe gaussiano cujo comprimento de onda é 1 µmλ = tem, num certo ponto 1z , 1 1 mR = e

1 1 mmw = . Determine ( )2 2R R z= e ( )2 2w w z= para 2 1z z d= + com 10 cmd = . Resolução: Num feixe gaussiano tem-se

( )

( )

22 2

02 0

0 00

20

1

21

zw z wzk wz

zR z zz

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= →

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

pelo que

( ) ( ) 2 22 0 11 1

2 20 0 0 1 1

43.1416

2z R z k wz ww zk w z R R

πλ

= ⇒ = = = .

Mas então, vem 1 1

0 2 2211

102 1

1 11 2 2

0 12

1 1

0.3033 mm

11

0.9080 m

1 1

w wwwzRz

z z dR Rzz Rz w

πλ

λπ

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

++ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= + →= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

22 0 2

0

220

2 22

1 1.1005 mm

1 1.0909 m

zw ww

wR zz

λπ

πλ

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∴

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4. Considere uma interface plana, em 0x = , entre dois meios: um meio caracterizado por ( )1 1,ε µ na

região 0x > ; um meio caracterizado por ( )2 2,ε µ na região 0x < . Admita que 1 0ε > e 1 0µ > (i.e., o meio 1 é DPS). Mostre que é possível a propagação de modos superficiais TE desde que

2 0µ < (i.e., desde que o meio 2 seja MNG ou DNG) e deduza a correspondente equação modal. Resolução:

2 2 21 1 1 02 2 22 2 2 0

kk

α β ε µα β ε µ

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩

1 2modos superficiais 0, 0α α→ > >

( )modos TE , ,y x zE H H→

( ) ( )( )

1

2

exp , 0exp , 0y

x xE x

x xα

α⎧ − >⎪= ⎨ <⎪⎩

( ) ( )( ) ( )

0 0condições fronteira 0

0 0

y y

z z

E x E xx

H x H x

+ −

+ −

⎧ = = =⎪→ = → ⎨= = =⎪⎩


123

( )

( )

0

0

1

x y

yx

H Ex

EH i

x x

βωµ µ

ωµ µ

⎧= −⎪

⎪⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂⎩

2 1 1 2equação modal (TM) 0µ α µ α→ + =

1 11 2 2

2 2

00 0 meio DNG ou MNG

0µ µα α µα µ

>∴ → = − > ⇒ < ⇒

>

5. Prove o seguinte: um raio óptico tem uma trajectória ( ) 2x z a z= num meio cujo índice de

refracção tem um perfil ( ) 0 1 4n x n a x= + . Resolução: Tem-se

( )( )

( )

0

0 2

1

x z

x z

duz zn u

D

− = ±⎡ ⎤

−⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ .

Logo, fazendo 0D n= , 0 0z = e ( )0 0x = , vem sucessivamente ( )

( ) 2

00

1 14 42 24

x zxduz au a x x z a z

a aau⎡ ⎤= = = ⇒ =⎣ ⎦∫ .

6. Explique fisicamente o aparecimento de chirp (ou trinado) num sinal óptico emitido por um laser

semicondutor cuja corrente de injecção é modulada directamente. Que tipo de problemas é que este efeito pode levantar num sistema de comunicação óptica? Que solução alternativa existe e quais as desvantagens dessa solução alternativa?

Resolução: A existência de uma corrente de injecção ( )I t variável no tempo provoca uma alteração temporal da concentração de electrões no material semicondutor. Assim, o respectivo índice de refracção varia também ao longo do tempo. Logo, a fase do sinal óptico que percorre o material sofre uma consequente variação temporal cuja derivada temporal dá origem a uma frequência instantânea, variável no tempo, que vai caracterizar este sinal óptico. Esta é a origem do chirp: o aparecimento de um desvio dinâmico de frequência. O chirp provoca um alargamento do espectro dos impulsos. Daí que estes sofram um maior efeito da dispersão da velocidade de grupo. Uma solução alternativa consiste na utilização de modulação externa. Este processo tem a desvantagem de desperdiçar a energia emitida quando estiver no estado off.

124 Carlos R. Paiva

7. Na álgebra geométrica 3C (i.e., correspondente ao espaço euclideano 3 ), com uma base ortonormada 1 2 3, ,e e e , considere os seguintes vectores: 1 2 33 4 7= + +a e e e , 1 2 37= + +b e e e ,

2 37= +c e e . Determine: (i) ×b c , = ∧B b c , 1−B , a B e ∧a B ; (ii) as componentes a (projecção) e ⊥a (rejeição) do vector a em relação ao plano = ∧B b c ; (iii) ( )exp ∧a B .

Resolução:

1 2 3

2 31 7 1 70 7 1

× = = − +e e e

b c e e

2 3 3 1 1 2

31 121 7 1 70 7 1

∧ ∧ ∧= ∧ = = − +

e e e e e eB b c e e

( ) ( )123 2 3 123 31 127 7= ∧ = × = − + = − +B b c b c e e e e e e

( )2 112 31 12 312

1 1 150 , 7 0.14 0.025050 5 2

−= − → = = = = − − = − +BB B B e e e eB

( ) ( ) ( ) 1 2 3

3 28 7 3838 35 35 21 3

28 7 35⋅ = + + =

→ = ∧ = ⋅ − ⋅ = − = − + +⋅ = + =

a ba B a b c a b c a c b c b e e e

a c

( ) 123 123

3 4 71 7 1 450 7 1

∧ = ∧ ∧ = =a B a b c e e

( ) ( )1 1 1− − −

⊥

= + ∧aBB a B B a B B

aa

( )( )123 12 31 2 345 0.14 0.02 0.9 6.3⊥ = − + = − +a e e e e e

( )( )1 2 3 12 31

2 3 1 123 123 1

1 2 3

35 21 3 0.14 0.024.9 0.7 2.94 0.42 0.42 0.063 4.9 0.7

= − + + − += + + + − += + +

a e e e e ee e e e e e

e e e

( ) ( ) ( ) ( )123 123 123exp exp 45 cos 45 sin 45 0.5253 0.8509∧ = = + ≈ +a B e e e

8. Um cristal não-magnético biaxial é caracterizado por uma função dieléctrica

( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 2 1 2 2 11 2ε ε ε= + − ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤⎣ ⎦E E E d d E d dε em que 1 1.25ε = , 2 2ε = e 3 2.5ε = . No

referencial dos eixos dieléctricos principais 1 2 3, ,e e e , determine: (i) os dois eixos 1d e 2d ; (ii) os dois eixos ópticos 1c e 2c do cristal biaxial; (iii) o valor da constante dieléctrica (relativa) ao longo da direcção ( )1 2 2= +s e e .

Resolução:

2 11

3 1 1 1 1 3 3

2 1 1 3 33 23

3 1

sin 0.77462

cos 0.63252

ε ε φγε ε γ γ

γ γε ε φγε ε

− ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− = +⎝ ⎠→

= − +− ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

d e ed e e


125

31 1

2 1 1 1 3 3

2 1 1 3 313 3

2

sin 0.86602

cos 0.5002

ε δτ γε τ τ

τ τε δτ γε

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ = +⎝ ⎠→

= − +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

c e ec e e

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 2 2 112

ε ε ε= + − ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤⎣ ⎦s s s d d s d dε

( ) ( )( )( )2 3 2 1 2 1.85ε ε ε ε∴ = ⋅ = + − ⋅ ⋅ =s s s s d s dε .

9. Neste problema pretende-se averiguar o que aconteceria se, em vez da teoria da relatividade

restrita, o espaço-tempo quadridimensional (plano) 4 fosse descrito por uma métrica euclidiana. Mais precisamente: imagine que, para 4, ∈x y , com ( )0 1 2 3 0, , ,x x x x x x= = +x e

( )0 1 2 3 0, , ,y y y y y y= = +y , se define 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0x y x y x y x y x y x y⋅ = + + + = + ⋅x y . Numa base

0 1 2 3, , ,= e e e eB ortonormada de 4 um acontecimento r tem, em particular, a forma

( ) 0ct r= +r e com 0x ct= . Note que, deste modo, ( )2 2r r= + ao contrário de 1,3C (espaço de

Minkowski) onde ( )2 2r r= − .

(a) Mostre que, em 4C , o teorema de Pitágoras tem a forma: ( ) 2 22 2 2+ = + = +x y x y x y para 0⋅ =x y quando 4, ∈x y . Como se escreve este teorema em 1,3C e que efeito físico conhecido se encontra associado?

(b) Mostre que a velocidade própria de uma partícula em 4C é dada por ( ) 0u cγ= + =u v f em

que 0c=v e , u cβ = , u u= e 21 1γ β= + . Mais concretamente: 0c=u f , no referencial próprio da partícula; ( )uγ= +u v , no referencial inercial 0c=v e .

(c) Prove que o resultado obtido na alínea anterior se pode escrever na forma ( )0exp θ=u U v ,

em que 0 0 0u=U e com cosγ θ= e sinγ β θ= . Analogamente, podemos escrever ( )( )0 0 0expcv cuθ= U . Indique, através de um diagrama vectorial, qual a relação entre 0cu ,

0cv , v e u onde 0 0 0u=U e e 0u u v= . Usando esse diagrama vectorial mostre que, nesta «relatividade euclidiana» (i.e., correspondente a 4C ), o conceito de simultaneidade é relativo – tal como na relatividade restrita (correspondente a 1,3C ).

(d) Mostre que a composição de velocidades corresponde a ( ) ( )1 2 1 21β β β β β= + − .

Represente graficamente, de forma qualitativa, β em função de 1β para 2 1 2β = . Comente fisicamente o resultado obtido e compare-o com a teoria da relatividade restrita em que

( ) ( )1 2 1 21β β β β β= + + . Que conclusão final retira desta análise?

Nota importante: Está-se a considerar que ( )1 1 0exp θ=u U v , ( )2 2 0 1exp θ=u V u e ainda que

0 0=U V , com 0 0 0u=U e e 0 0 0v=V f . Sugestão: Tenha em consideração que ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2tan tan tan 1 tan tanθ θ θ θ θ θ+ = + − .

126 Carlos R. Paiva

Resolução:

(a) Em geral, tem-se ( ) ( )2 2 2 2 2 2+ = + + + = + + ⋅x y x y x y y x x y x y . Quando 0⋅ =x y , vem

simplesmente ( )2 2 2+ = +x y x y quer em 4C quer em 1,3C . Porém, só em 4C é que se

tem 22 =x x e 22 =y y , pelo que ( ) 2 22 2 2+ = + = +x y x y x y . No entanto, em 1,3C ,

não é verdade que 22 =x x e 22 =y y (no caso geral). Com efeito, em 1,3C , sendo

0 0x x= +x e e 0 0y y= +y e , tem-se

( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02x x x x x x x x x x x x x x x x= + + = + ⋅ + + = + + ⋅ = −x e e e e e

e, analogamente, 22 20y y= −y . Assim, no espaço de Minkowski, tem-se

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 20 0 0 0x y x y x y+ = + = + − + ≤ +x y x y

para 0⋅ =x y (i.e., a correspondente formulação do teorema de Pitágoras). Um efeito físico associado a esta desigualdade é o conhecido «paradoxo» dos gémeos.

(b) Comecemos por considerar a trajectória ( ) ( ) ( ) ( )0 0t c t r t cτ= + =r e f de uma partícula no

espaço-tempo. Derivando em ordem ao tempo próprio τ , obtém-se

( )( )0 0 0d dt d t d rc t c u cd d d dt

γτ τ τ

= = + = + =ru e e f

onde u d r dt= e ( )t d t dγ τ= . Logo, como 2 2 2c= =u v , em que 0c=v e , infere-se que

( )2 2 2 2c u cγ + = já que, em 4C , é ( )2 2u u= com u u= . Logo, fazendo u cβ = , obtém-

se 21 1γ β= + e ( ) 0u cγ= + =u v f .

(c) Introduzindo cosγ θ= e sinγ β θ= é tanβ θ= e, portanto, ( ) ( )0u cuγ γ β= + = +u v v

em que u cβ= e 0u uu= com ( )20 1u = . Mas então

( ) ( ) ( )0 0 0 0cos sin cos sin expcu uθ θ θ θ θ= + = + =u v e v U v onde 0 0 0u=U e já que se tem

( )( ) ( )( ) ( )22 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1u u u u u= = − = − = −U e e e e e .

Portanto ( )0cos sin cuθ θ= +u v e, analogamente,

( )( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 0exp cos sin cos sincv cu cu cuθ θ θ θ θ= = + = −U U v dado que se tem

( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0u u u u u u= = − = − = −U e e e e .

Obtém-se, deste modo, o diagrama da figura anexa . Trata-se, portanto, de uma rotação de um ângulo θ que transforma 0c=v e e 0cu em 0c=u f e 0cv , respectivamente. A segunda figura mostra como dois acontecimentos A e B que são simultâneos em ( ),S ct x→ não o são em ( ),S c t x→ : em S o acontecimento A é anterior ao acontecimento B .


127

(d) Consideremos o esquema anexo. Tem-se ( )1 1 0exp θ=u U v e ( )2 2 0 1exp θ=u V u em que

0 0 0u=U e e 0 0 0v=V f . A partícula 1 tem velocidade própria 1u e a partícula 2 tem velocidade própria 2u . Porém, a velocidade própria 2u em termos do observador 0c=v e é dada por ( )2 0exp θ=u U v . Isto só é possível desde que 0 0=U V para que

( ) ( ) ( )2 2 0 1 0 1 2 0exp exp expθ θ θ θ= = ⎡ + ⎤⎣ ⎦u V U v U v .

Mas então 1 2θ θ θ= + e daí que ( )1 2tan tanβ θ θ θ= = + .

Como

( ) 1 21 2

1 2

tan tantan1 tan tan

θ θθ θθ θ+

+ =−

infere-se, ainda, que 1 2

1 21β βββ β+

=−

.

0cu

v

0c v

u

θ

θ

ct c t

x

0ct

Ac t

Bc t

A B

θ

128 Carlos R. Paiva

A figura que representa a variação de β com 1β para 2 1 2β = revela coisas estranhas: (1) não existe qualquer limite para a velocidade de uma partícula já que β →∞ quando

1 21β β→ ; (2) duas velocidades positivas 1 0β > e 2 0β > dão origem a uma velocidade negativa 0β < para 1 21β β> . Na teoria da relatividade isso não acontece: existe um limite máximo 1β = que só é atingido para partículas sem massa. Isto revela que o modelo matemático da «relatividade euclidiana» é inconsistente do ponto de vista físico: só o espaço de Minkowski, associado à álgebra 1,3C , permite obter resultados fisicamente razoáveis.

0c=v e

1 0c=u f 2 0c=u g

1 1 0

1 1 0

cu cu

ββ

==

U U 0

0

cu cu

ββ

==

U U

2 2 0

2 2 0

cu c v

ββ

==

U V

0 0 0

0 0 0

uv

==

U eV f


129

Docente responsável: Prof. Carlos R. Paiva

Duração: 3 horas • Exame de 7 de Julho de 2008

Ano Lectivo: 2007/2008 • 2.ª DATA

A theory that is not refutable by any conceivable event is non-scientific. Irrefutability is not a virtue of a theory (as people often think) but a vice. ^tÜÄ et|ÅâÇw cÉÑÑxÜ

1. Um sistema de comunicação óptica, operado em 1.55µm , tem um débito binário de 5 Gb/s e

utiliza impulsos gaussianos com uma largura (FWHM) de 100 ps e um coeficiente de chirp 6C = − . Compare, para 2

2 20 ps / kmβ = − , o máximo comprimento da ligação com e sem chirp. Despreze 3β e V . Considere um coeficiente de alargamento dos impulsos de 20%.

Resolução: Para impulsos gaussianos com chirp tem-se FWHM 02 2 ln 2τ σ= e ainda

2 2 2

2 22 2

0 0 0

12 2

L LC β βσσ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Daqui tira-se que

( ) ( )( )

2 222

2 20 0 0 2

sgn 1 112 2 1

C CB B L

C

β η

γ σ γ β

− + + −= → =

+.

Para FWHM 100 psτ = vem 0 42.47 psσ = . Como 5 Gb/sB = , infere-se que 0 2.35γ = . Logo, considerando 1.20η = , obtém-se 6 kmL = com chirp ( )6C = − . Na ausência de chirp ( )0C = , vem um comprimento de ligação 120 kmL = .

2. Prove o seguinte: um raio óptico percorre uma trajectória parabólica num meio cujo índice de

refracção tem, em coordenadas polares, um perfil ( ) 1n r r= .

Sugestão: ( ) ( ) ( )1 2 2cos 2d d r r r r rκ κ κ− ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ .

Resolução: Em coordenadas polares é

( )2 2 2

d rrr n r

κθκ

=−

∫ .

Logo,

( ) ( )2 2

2

1 d rn r n r r rr r r

κθκ

= → = → =−

∫ .

Mas então, de acordo com a sugestão, vem

( ) ( )2

1 20 0

2cos 2 cosrr r rr

κθ θ κ θ θ− ⎛ ⎞−= + → = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Para provar que esta equação representa uma parábola basta fazer

130 Carlos R. Paiva

( )( )

0 2 2 2

0

sincos

x rx y r

y rθ θθ θ

= −→ + =

= −

pelo que

( )22 2 2 2 2 22 2y x y y x yκ κ= + + → − = +

4 24 yκ∴ + 2 2 24 y x yκ− = +2

2

2xy κκ

⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Note-se que esta equação é, de facto, a equação de uma parábola, tendo-se 2

2

2 2 2x x xy κ κ κκ κ κ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

o que mostra que 0y = para 22x κ= ± . A figura anexa mostra o gráfico de y vs x− − para 1κ = .

3. É possível a propagação de ondas planas e monocromáticas num meio isotrópico do tipo ENG (i.e., com 0ε < e 0µ > )? Justifique a sua resposta.

Resolução: Para ondas planas e monocromáticas da forma ( )exp i tω⎡ ⋅ − ⎤⎣ ⎦k r as equações de Maxwell escrevem-se

00

ωω

× =× = −⋅ =⋅ =

k E Bk H Dk Dk B

para regiões sem fontes. Num meio em que 0ε ε=D E e 0µ µ=B H , tem-se ainda


131

0

0

00

ωµ µωε ε

× =× = −⋅ =⋅ =

k E Hk H Ek Ek H

de modo que a única forma de satisfazer a condição 0µ > é ter a seguinte configuração geométrica:

0µ > → Ou seja: para 0µ > o triedro [ ]EHk é direito (ou dextrorso). Porém, a única forma de satisfazer a condição 0ε < , é ter a configuração alternativa em que o triedro [ ]EHk é esquerdo (ou sinistrorso).

0ε < → Mas então, como as duas configurações são contraditórias, é impossível ter – com 0ε < e 0µ > simultaneamente – propagação (i.e, com k = k real) num meio ENG.

4. Prove as seguintes afirmações: (i) uma partícula de massa nula (e.g., um fotão) desloca-se,

necessariamente, à velocidade da luz c ; (ii) no dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie a velocidade de fase pv e a velocidade de grupo gv do feixe de ondas associado a uma partícula são

tais que 2p gv v c= ; (iii) a velocidade da partícula v coincide com gv . Sugestão: a energia de uma

partícula é dada por E tal que 2 2 2 20 c p= +E E onde 2

0 mc=E . Resolução: Comecemos por notar que a velocidade v de uma partícula é dada pela equação

E

H

k

k

H

E

132 Carlos R. Paiva

dvd p

=E .

Assim, derivando ambos os membros de 2 2 2 20 c p= +E E em ordem ao momento, obtém-se

2 22 2d d pc p v cd p d p

= → = =E E

EE

.

Mas, para partículas de massa nula, tem-se 20 0mc= =E e, portanto, c p=E . Logo, substituindo na

equação anterior, vem efectivamente 2 pv c c= =E

.

No âmbito do dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie, é ω=E e p k= . Isto transforma a equação 2 2 2 2

0 c p= +E E em 2 2 2 20 c kω ω= + . Logo, derivando ambos os membros desta última

equação em ordem a k , obtém-se 2

2 22 2 gp

d d k cc k v cd k d k vω ωω

ω= → = = =

uma vez que pv kω= . Logo, 2p gv v c= . Note-se, ainda, que

22 2

gp

p k cv c c v vvω

= = = → =E

.

5. Na zona de dispersão normal só se podem propagar solitões escuros. Explique fisicamente porquê. Resolução: O exemplo típico da forma de um solitão escuro é dado pela função ( ), tanhu ζ τ τ= de forma que

( ) 2in tanhP τ τ∝ tal como se representa na figura anexa.

Na zona de dispersão normal tem-se 2 0β > . Assim

2 2

1 1 0 0g g

g g

dv dvdd v v d d

βω ω ω⎛ ⎞

= = − > → <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


133

a velocidade de grupo é uma função decrescente da frequência na vizinhança da portadora: as frequências mais baixas deslocam-se com maior velocidade do que as frequências mais altas; observa-se, portanto, um desocamento para o vermelho (resp., azul) na frente (resp., cauda) do impulso. No solitão escuro, ao contrário do solitão claro, tem-se

infrente do impulso 0d Pdt

→ <

na frente do impulso e incauda do impulso 0d P

dt→ >

na respectiva cauda. Logo, como a fase não-linear é dada por eff inNL L Pφ γ= , o correspondente chirp de auto-modulação de fase será

( ) NL ineff 0d d Pt L

dt d tφ

δω γ= − = − >

na frente do impulso, i.e., um desvio para o azul. Assim, dada a acção antagónica dos dois efeitos – a DVG (dispersão da velocidade de grupo) e a AMF (auto-modulação de fase) – é possível que eles se equilibrem mutuamente possibilitando a propagação deste tipo de solitões.

6. Uma partícula (não-relativista) de massa m move-se sob a acção de uma energia potencial

( ) ( )V x a xδ= − e encontra-se num estado quântico confinado. Determine a posição 0x de tal forma que a probabilidade de encontrar a partícula na região 0x x< seja 1 2 .

Resolução: A equação de Schrödinger independente do tempo escreve-se

( ) ( ) ( )2 2

22d a x u x u x

m d xδ

⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

E .

Para estados quânticos confinados, é 0<E e, introduzindo 1 2 0mα = − >E ,

ter-se-à, para 0x ≠ ,

( ) ( )( )

exp , 0exp , 0

A x xu x

A x xαα

⎧ <⎪= ⎨ − >⎪⎩.

Deverá, ainda, ter-se a seguinte descontinuidade:

( )20 0

2 0x x

d u d u ma ud x d x+ −= =

− = − .

Logo, substituindo nesta última expressão a função ( )u x , vem

( ) ( )2 2

20 2 0ma mau A A uα α= → − = − → =

( ) 2expma x

u x A⎛ ⎞

∴ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A normalização permite determinar a constante A :

( ) ( )2 2

0

1 2 exp 2 1u x dx A x d x Aα α∞ ∞

−∞

= → − = → =∫ ∫ .

Mas então, vem sucessivamente

( ) ( )0 0

0

2 2

0

1 12 exp 22 2

x x

x

u x dx A x d xα−

= → − =∫ ∫

134 Carlos R. Paiva

( ) ( )2

0 01 11 exp 2 1 exp 22 2

A x xα αα

⎡ − − ⎤ = → − − =⎣ ⎦

2

01 ln 2 ln 2

2 2x

maα∴ = = .

7. Considere, em 3 , a base ortonormada direita 1 2 3, ,= e e eB . Dados os vectores

1 2 32= + −a e e e , 1 2 32= − +b e e e , 1 2 32= + −c e e e e 1 2 3= + +r e e e , determine os coeficientes α , β e γ tais que α β γ= + +r a b c . Sugestão: utilize a versão em 3C da regra de Cramer.

Resolução: Vem sucessivamente

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

β γ γα γ αα β β

∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧∧ = ∧ + ∧ → ∧ ∧ = ∧ ∧∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧

r a b a c a r a b c a br b a b c b r b c a b cr c a c b c r c a b c a

123 123

1 2 12 1 1 81 1 2

−∧ ∧ = − =

−a b c e e

123 123

1 1 192 1 1 98

1 1 2α ∧ ∧

∧ ∧ = − = → = =∧ ∧

−

r b cr b c e ea b c

123 123

1 1 131 1 2 38

1 2 1β ∧ ∧

∧ ∧ = − = → = =∧ ∧

−

r c ar c a e ea b c

123 123

1 1 171 2 1 78

2 1 1γ ∧ ∧

∧ ∧ = − = − → = = −∧ ∧

−

r a br a b e ea b c

8. Em regime linear a envolvente ( ),A z t de um impulso, que se propaga num sistema de

comunicação óptica com amplificação distribuída, obedece à equação

( )2 3

1 2 32 3

1 1 1i2 6 2

A A A A g Az t t t

β β β α∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −

∂ ∂ ∂ ∂.

(a) O coeficiente de atenuação α é uma constante. O coeficiente de ganho g , porém, não pode

ser considerado como uma constante. Explique qual é a natureza matemática de g nesta

equação e justifique fisicamente a sua resposta.

(b) Seja ( )Ω,~~ zAg a transformada de Fourier de ( )tzAg , . Admita, então, que o perfil

espectral do ganho diferencial é dado por ( ) 2 30 1 2 32 6g g g g gΩ = + Ω + Ω + Ω . Mostre

que ( ) ( ) ( ), 0, expA z A zΩ = Ω ⎡∆ Ω ⎤⎣ ⎦ e determine ( )∆ Ω .

(c) Determine a equação da envolvente ( ),A z t explicitamente em função de 0g , 1g , 2g e 3g .


135

(d) No caso particular do perfil parabólico, em que ( ) ( )2 20 01g gΩ = −Ω Ω , mostre que a

equação diferencial da alínea anterior se transforma em

2

2

1i 02

A Aζ τ∂ ∂

− =∂ ∂

desde que 2 3 0β β= = e 0gα = , com Dz Lζ = e ( )1 0t zτ β τ= − . Qual é, neste caso, a

expressão do comprimento de dispersão DL ?

Resolução

(a) Ao contrário de α , o coeficiente de ganho g tem um perfil espectral que não pode ser

plano. Ou seja: deve ser em geral ( )g g= Ω , com 0ω ωΩ = − (onde 0ω representa a

frequência da portadora). Nestas circunstâncias, a transformada inversa de g é

necessariamente um operador diferencial e não uma constante: ( )22, ,g g t t= ∂ ∂ ∂ ∂ … .

Com efeito, atendendo à variação temporal ( )exp i t− Ω , tem-se it∂ ∂ − Ω ,

2 2 2t∂ ∂ − Ω , 33 3it∂ ∂ Ω , etc.

(b) De ( )2 3

1 2 32 3

1 1 1i2 6 2

A A A A g Az t t t

β β β α∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −

∂ ∂ ∂ ∂, infere-se que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 2 3

1 1i , i , i ,2 6

1 1, , .2 2

A A z A z A zz

g A z A z

β β β

α

∂− Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω

∂

= Ω Ω − Ω

Mas então

( ) ( ) ( )

( )

2 31 2 3

2 30 1 2 3

1 1i , i , i ,2 6

1 1 1 , .2 2 6

A A z A z A zz

g g g g A z

β β β

α

∂− Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω

∂

⎛ ⎞= + Ω + Ω + Ω − Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

Portanto, vem ( ) ( ),A A zz

∂= ∆ Ω Ω

∂ em que

( ) 2 30 1 2 3

1 1 1i i i2 2 6

a a a a∆ Ω = + Ω + Ω + Ω ,

desde que

136 Carlos R. Paiva

0 0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1i21i21i2

a g

a g

a g

a g

α

β

β

β

= −⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎨

= −⎪⎪⎪ = −⎪⎩

.

(c) De ( ) ( ),A A zz

∂= ∆ Ω Ω

∂

vem então

( ) ( )

( ) ( ) ( )

21 1 2 2

33 3 0

1 1 1i i , i i ,2 2 2

1 1 1i i , , .6 2 2

A g A z g A zz

g A z g A z

β β

β α

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − Ω Ω − − Ω Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − Ω Ω = − Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

Fazendo uma transformada inversa, obtém-se

( ) ( )

2 3

1 1 2 2 3 32 3

0

1 1 1 1 1i i i i2 2 2 6 2

1 , .2

A A A Ag g gz t t t

g A z t

β β β

α

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

(d) Consideremos, agora, o perfil parabólico, ( ) ( )2 20 01g gΩ = −Ω Ω . Neste caso particular,

vem 1 3 0g g= = e 22 0 02g g= − Ω . Além disso, se se fizer 2 3 0β β= = e 0gα = , resulta

20

1 2 20

i 02gA A A

z t tβ∂ ∂ ∂

+ − =∂ ∂ Ω ∂

.

Introduzindo, agora, as mudanças de variável Dz Lζ = e ( )1 0t zτ β τ= − , vem

1

0

2 2

2 2 20 0

1

1 1D

A A d A A Az z d z z L z

A A A A At t t

βζ ττ τ τ

ττ τ τ τ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ = + = −⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪⎨∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ = = → =⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩

donde se infere que 2

02 2 20 0

1i 02

Dg LA Aζ τ τ

∂ ∂− =

∂ Ω ∂.

Logo, definindo um comprimento de dispersão

2 20 0

0DL

gτ Ω

= ,

obtém-se efectivamente a equação canónica


137

2

2

1i 02

A Aζ τ

∂ ∂− =

∂ ∂.

O efeito dispersivo diminui com o aumento do parâmetro 0Ω . No caso limite 0Ω →∞ o

perfil espectral seria plano e DL →∞ não existindo, portanto, qualquer efeito dispersivo.

9. Em meios com birrefringência circular (i.e., meios cujas duas ondas características têm

polarizações circulares ortogonais) ocorre uma rotação de polarização. As amplitudes complexas

das duas ondas características são ( )ˆR i= + ×E a k a para a PCD e ( )ˆ

L i= − ×E a k a para a PCE

( )ˆ 0⋅ =a k . Para ˆζ = ⋅r k é ( )ˆR R Rk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k e ( )ˆ

L L Lk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k , donde

( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 exp expR R L Lt i k t i k tζ ζ ω ζ ω= ℜ ⎡ − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E .

Admitindo que ( ) ( )0, cost tω=E a (i.e., polarização linear segundo a em 0ζ = ), mostre que

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ˆ, cos sin cos2

R L

R L

k kt t

k kφ ζ ζ

ζ ψ ψ φ ωψ ζ ζ

= + ⎡ ⎤→ = − × −⎣ ⎦= −E a k a .

Prove que este resultado corresponde a uma rotação de polarização de um ângulo θ . Indique

graficamente esta rotação de polarização e determine esse ângulo θ .

Resolução

Comecemos por escrever, tal como se indica no enunciado,

( ) ( ) ( ) 1, exp exp2 R R L Lt i k t i k tζ ζ ω ζ ω= ℜ ⎡ − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E .

Como

( ) ( )

( ) ( )

1212

R LR

LR L

k k kkk k

φ ζ ζ ζ φ ψζ φ ψψ ζ ζ

= + = +→

= −= −

podemos escrever

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, exp exp exp exp exp exp2 R Lt i i i t i i i tζ φ ψ ω φ ψ ω= ℜ − + − −E E E

e, substituindo ( )ˆR i= + ×E a k a e ( )ˆ

L i= − ×E a k a , vem sucessivamente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ ˆ, exp exp exp exp exp exp2

t i i i i t i i i i tζ φ ψ ω φ ψ ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ℜ + × − + − × − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦E a k a a k a

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )exp exp 2 cos

ˆ ˆexp exp 2 sin

i i

i i i

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

⎡ + − ⎤ =⎣ ⎦

× ⎡ − − ⎤ = − ×⎣ ⎦

a a

k a k a

138 Carlos R. Paiva

de modo que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ, cos sin cost tζ ψ ψ φ ω⎡ ⎤= − × −⎣ ⎦E a k a .

O ângulo θ da figura anexa é tal que

( ) ( ) ( )1tan tan tan2 R Lk kθ ψ ζ⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

⊗

ˆ ×k a

a

( ),tζE

θ k


139

Além do exame final a avaliação de conhecimentos compreende, ainda, uma componente de

avaliação contínua constituída por trabalhos ou pequenos projectos. Os trabalhos incidem,

com algumas excepções, sobre problemas de simulação numérica; recomenda-se a utilização

da plataforma MATLAB para a sua resolução. A respectiva classificação corresponde a 30%

da nota final. Cada aluno(a) pode integrar um grupo constituído por um máximo de 2 alunos.

A possibilidade de um(a) aluno(a) fazer sozinho(a) o trabalho de avalização está prevista, até

porque o número total de alunos não é necessariamente um número par. A nota final desta

componente de avaliação contínua corresponde à média dos dez trabalhos. Cada enunciado é

entregue assim que a correspondente aula teórica tenha sido dada. Os grupos dispõem de um

máximo de duas semanas para a resolução de cada trabalho. Apresentam-se, de seguida, os

oito trabalhos de avaliação do ano lectivo de 2007/2008.

TRABALHOS

T1 Lente de Luneberg

T2 Laser semicondutor: modulação directa da corrente de injecção

T3 Mecânica quântica: modelo de Kronig-Penney

T4 Guias ópticos rectangulares: método do índice de refracção efectivo

T5 Fibras ópticas: resolução numérica das equações modais

T6 Fibras ópticas (regime linear): modelo analítico para o alargamento dos impulsos

T7 Fibras ópticas (regime linear): simulação numérica da propagação de impulsos

T8 Simulação numérica da propagação de solitões em fibras ópticas

140 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se analisar a lente de Luneberg.

Considere uma esfera de Luneberg, imersa no ar, cujo índice de refracção é dado pela

expressão

( ) 22n r r= − .

Admita, sem perda de generalidade, que o raio da esfera é unitário, i.e., a esfera ocupa – em

coordenadas polares ( ),r θ – a região 0 1r≤ ≤ . Pretende-se que mostre a propriedade de

focagem desta lente que se ilustra na figura anexa.

Sugestão: Note que, num meio em que ( )n n r= , se verifica a lei de Snell

( ) ( )sinn r r φ κ= .

Comece por mostrar, então, que os dois ângulos assinalados na figura são efectivamente

iguais a α , com

( ) ( )sin sina aκ π α α= − = .

P

X

Y

a

α

α


141

De seguida, este trabalho comporta duas partes: (i) numa primeira parte pretende-se dque

deduza analiticamente a trajectória dos raios; (ii) numa segunda parte o objectivo é que

desenvolva um programa MATLAB para traçar os raios (tal como se ilustra na figura em

cima).

Comece por considerar um raio que parte do ponto, em coordenadas polares, ( )1,π e

que faz um ângulo α com o eixo X positivo quando se encontra no ponto de saída da lente,

i.e., em ( )1,α . Fazendo

( )

( ) ( )sin

r r n rκ α=

=

mostre que o «turning point» deste raio se observa para o valor mínimo de ( )r θ , que

designaremos por r rα= , com (para 0α > )

( )2 2 0 1 cos 2 sin2

rαακ α ⎛ ⎞− = → = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Note que se tem (designa-se por αθ o ângulo θ para o qual r rα= )

142 Carlos R. Paiva

2 2

1

2 2 2 21

r

r r

r

d rr

d r d rr r

α

α

α

α

κπ θ θ θ πκ

κ κθ θ θ πκ κ

≥ ≥ → − =−

≥ → − = −− −

∫

∫ ∫.

Tenha em consideração que, no interior da lente (i.e., para θ α≥ ),

( )( )2 2

1

2 2 2 2 2

1 sgn tan2 2

r bb

ar a

d r rr r r

κ κκκ κ κ

=

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎜ ⎟− −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

enquanto que, no exterior da lente (i.e., para θ α< ),

( )2 2

1

2 2sgn tan

r bb

ar a

rd rr

κκ κκκ

=

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ .

Mostre que se tem

( )122α αθ α π θ π α− = → = + .

Na figura anexa (da página seguinte) mostra-se a variação, dentro da lente, de ( )r r θ= para

alguns valores de α . Mostre que, neste caso, se tem

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

1 cos cos 20 sin

sin 2 sin cos 2r

α θ αθ α θ α

θ α α θ α+ −

≥ > → =− + −

.

Sugestão: ( ) ( ) ( )( ) ( )

tan tantan

1 tan tanx y

x yx y+

+ =−

.


143

Bibliografia Samuel P. Gordon, “General solution of the Luneberg lens problem,” Journal of

Applied Physics, Vol. 29, No. 9, pp. 1358-1368, September 1958

144 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a modulação directa da

corrente de injecção de um laser semicondutor.

Um laser semicondutor é operado em 1.55 mλ µ= . A corrente de injecção ( )I t é modulada

directamente, tendo-se

( ) ( )0 p pI t I I g t= + .

Admita que o “ganho” (ou, mais correctamente, a taxa elementar líquida de recombinação

estimulada) G observa a seguinte relação:

( )1

N tG N NG

Sε−

=+

.

Considere os seguintes valores numéricos para a caracterização do dispositivo: 4 110NG s−= ,

810tN = , 2spn = , 710ε −= , 3pspτ = , 2nscτ = . Admita um factor de confinamento óptico

0.8Γ = . Interprete fisicamente os resultados obtidos.

(a) Para 0 1.1 thI I= e p thI I= represente graficamente vsS t− − quando 0.2nsT = e

0.5nsT = . Considere

( ) ( ) ( )/ 2rectpt Tg t H t H t T

T−⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

em que ( )H t é a função de Heaviside.†

(b) Repita a alínea anterior mas agora para 0 0.8 thI I= e 3p thI I= .

† Define-se a função de Heaviside tal que ( ) 1=tH para 0≥t e ( ) 0=tH para 0<t .


145

Adenda Apresenta-se, a seguir, um caso concreto de um sistema de duas equações diferenciais

ordinárias que pertence à mesma classe das equações das taxas. Considere-se, com efeito, que

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 111 2

1 2

2 222 1

1 2

11

11

B p zd p A p zd z p z p z

B p zd p A p zd z p z p z

⎧= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ + +⎪

⎨⎪ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ + +⎩

onde 1 1 2 2, , ,A B A B ∈ e 1 2, :p p → são funções conhecidas. Note-se que, neste

problema, a coordenada espacial z desempenha o papel do tempo t nas equações das taxas.

Para a resolução deste novo sistema é necessário conhecer as condições iniciais

( )( )

1 0

2 0

00

0p a

zp b

=⎧⎪= → ⎨ =⎪⎩.

Apresenta-se, então, um programa MATLAB que permite resolver este novo problema.

1

02

01

2

1101constantes12escolhidas

1

AaAbB

B

= −==

→==

=

[ ]intervalo de pesquisa 0,10z→ ∈

Programa MATLAB: «diferen.m».

Nota: O programa «diferen» chama, durante a sua execução, a subrotina «derv» através do

programa «ode45».

146 Carlos R. Paiva

Programa «diferen.m»

% DIFEREN Resolução do seguinte sistema de equações diferenciais

%

% d B1 * p1(z)

% ---- p1(z) = ----------------------- * [A1 * p2(z) - 1]

% d z 1 + p1(z) + p2(z)

%

% d B2 * p2(z)

% ---- p2(z) = -------------------- * [A2 * p1(z) - 1]

% d z 1 + p1(z) + p2(z)

%

clear all % Limpa todas as variáveis da memória

close all % Fecha todas as janelas de figuras

A1 = -1; A2 = 1; B1 = 2; B2 = 1; % Constantes do sistema de equações

z=linspace(0,10,1000); % Vector distância onde z = 0 até z = 10 com 1000 pontos

pini=[10 1]; % Valores iniciais das variaveis p1(z) = 10 e p2(z) = 1 no ponto z = 0

OPTIONS=odeset('AbsTol',1e-9,'RelTol',1e-6); % Alteração do valor da tolerância do

% método de RUNGE-KUTTA

% (função ODE45.m)

% Método de RUNGE-KUTTA. 'derv' é a função onde está descrito o sistema diferencial

[z,p]=ode45('derv',z,pini,OPTIONS,A1,A2,B1,B2);

plot(z,p(:,1),'b-',z,p(:,2),'r-'); % Gráfico de p1(z) e p2(z)

title('p1(z) - Azul p2(z) - Vermelho');

xlabel('Distância');

ylabel('Amplitude');


147

Função «derv.m»

% DERV Função executada por ode45.m com a descrição do sistema de equações diferenciais

% z - posição onde calcular o valor das derivadas de p1(z) e p2(z)

% p - vector com os valorer p1(z) e p2(z) na posição z

% flag - flags usadas pela função ode45.m

% A1, A2, B1, B2 - constantes do sistema diferencial

%

function dp=derv(z,p,flag,A1,A2,B1,B2)

dp(1)=B1*p(1)/(1+p(1)+p(2))*(A1*p(2)-1); % Equação dp1(z)/dz

dp(2)=B2*p(2)/(1+p(1)+p(2))*(A2*p(1)-1); % Equação dp2(z)/dz

dp=dp'; % Passagem do vector das derivadas de linha para coluna

Figura T2A – Resultado obtido através do programa DIFEREN.

William E. Boyce and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problems (Hoboken, New Jersey: Wiley, 8th ed., 2005).

148 Carlos R. Paiva

Apresentam-se, de seguida, alguns gráficos correspondentes à simulação numérica das

equações das taxas num laser semicondutor com modulação directa da corrente de injecção.


149

Figura T2B – Alguns resultados do Trabalho T2 – alínea (b).

150 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se analisar a constituição de bandas de energia em cristais.

Considera-se, como modelo simplificado, a equação unidimensional de Schrödinger

independente do tempo com um potencial periódico (modelo de Kronig-Penney). Faz-se uso

do teorema de Bloch (também conhecido por teorema de Floquet – particularmente na teoria

das equações diferenciais).

Considere a equação de Schrödinger independente do tempo (trata-se de uma equação de

valores próprios)

( ) ( ) ( )2 2

2ˆ ˆ,

2dH u x u x H V x

m d x= = − +E .

Introduzindo as mudanças de variável

( ) ( )2 2

,2 2

V x U xm m

ε= =E ,

obtém-se a equação diferencial de Sturm-Liouville

( ) 0u U x uε′′ + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

em que 2 2:u d u d x′′ = . Designemos por ( )xΨ o valor inicial da função de onda ( ),x tΨ , i.e.,

façamos ( ) ( ): ,0x xΨ = Ψ por definição. Para uma partícula livre, em que ( ) 0V x ≡ , tem-se

então

( )2 2 2

22 2 0

2d ui k u x

t m x d x∂Ψ ∂ Ψ

= − ⇒ + =∂ ∂

onde 2 2 22 2p m k m= =E , pelo que 2 22k m= E . Notemos então que, quando a energia

potencial é periódica, de período x a= – i.e., quando se tem ( ) ( )V x a V x+ = – , o teorema

de Bloch (também conhecido por teorema de Floquet) indica que as soluções da equação

diferencial de Sturm-Liouville são também periódicas, com ( ) ( )u x a u x+ = , tendo-se então

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp expx i q x u x x a i q a xΨ = ⇒ Ψ + = Ψ .

Considere, então, o modelo simplificado de Kronig-Penney em que


151

( ) ( )n

U x x n aaλ δ

∞

=−∞

= −∑ .

Para valores de x suficientemente afastados dos pontos x n a= , a solução ( )xΨ deverá

comportar-se como uma combinação linear de ( )sin k x e de ( )cos k x . Admita, então, que se

pode escrever

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1 1 1

sin cos

sin 1 cos 1

n n n

n n n

x R x A k x na B k x na

x R x A k x n a B k x n a+ + +

∈ Ψ = − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∈ Ψ = − + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

onde se consideraram as regiões

( )( )1

11

n

n

R n a x n aR n a x n a+

− ≤ ≤≤ ≤ +

.

Admita, ainda, que as condições fronteira do meio em questão (o “cristal”) são periódicas,

com ( ) ( )n N nR R+Ψ = Ψ . Mostre que, nestas condições, se tem

( ) ( ) ( )sin: cos cos

2ka q a

ξλξ ξξ

= = + .

Discuta o resultado obtido. Represente graficamente a função ( ) vsf ξ ξ− − , em que

152 Carlos R. Paiva

( ) ( ) ( )sin: cos

2f

ξλξ ξξ

= + ,

para o caso 3λ π= e discuta grafica e numericamente as bandas proibidas e permitidas.

Mostre que a energia ( )k=E E é periódica de período 2 aπ , tendo-se

( )22 2 2 2

22 2km ma

π ξξπ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

E .

Definindo, então, a variável : q aζ = , é possível definir a função ( )ζ=E E . Represente

graficamente, para 0 4ζ π≤ ≤ , esta nova função também para o mesmo caso já anteriormente

considerado (i.e., 3λ π= ). Para o eixo das ordenadas considere 0E E e para o eixo das

abcissas ζ π :

( ) ( ) 2

2 20

0 22

q a

ma

ζ ζ ξ ζππ

= ⎡ ⎤→ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦=

E

EE

.

Compare o gráfico obtido com o de

( ) 2

0

ζ ζπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

E

E.

A cada intervalo definido de acordo com

( ) ( )zona de Brillouin 2 1 2 1n k na aπ π

→ − < ≤ +

dá-se o nome de zona de Brillouin. A primeira zona de Brillouin corresponde a 0n = com

π ξ π− < ≤ .

Bibliografia Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to


Press, 2008


153

Figura T3 – Resultados da segunda parte do Trabalho T3.

154 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se determinar o índice de refracção modal n de um laser

semicondutor através do método do índice de refracção efectivo.

Um laser semicondutor, operado em 1.3µmλ = , é constituído por um varão dieléctrico de

secção rectangular de comprimento L com um índice de refracção 1 3.5n = imerso numa

bainha (considerada ilimitada) cujo índice de refracção é 2 3.2n = .

2 3.2n =

1 3.5n = Y

X

2w

2d

d L

w


155

Admita que o varão dieléctrico tem uma espessura d ao longo de x e uma largura w ao

longo de y . De acordo com o método da constante dieléctrica efectiva (ou, mais

precisamente neste caso, do índice de refracção efectivo), a constante de propagação

longitudinal deste guia é 0n kβ = e corresponde à placa dieléctrica (uniforme segundo x e

z ) em que se considera propagação da forma ( )0exp i n k z , com (segunda fase)

eff

2

, 2( )

, 2n y w

n yn y w

⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩.

Por sua vez, o factor de propagação ( )eff 0exp i n k z corresponde a uma placa dieléctrica

(uniforme segundo y e segundo z ) em que (primeira fase)

1

2

, 2( )

, 2n x d

n xn x d⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩

.

Considere o modo híbrido fundamental em que se tem (aproximadamente) 0x yE H= = , i.e.,

quando se propagam modos TE (com componentes , ,y x zE H H ) na determinação de effn

(primeira fase) e modos TM (com componentes , ,x y zH E E ) na determinação de n (segunda

fase).

2 3.2n =

1 3.5n = Y

X

2d

Estrutura bidimensional da primeira fase

156 Carlos R. Paiva

(a) Represente graficamente effn em função de D e n em função de W . Considere, para a

segunda fase, que 0 2k d dπ λ= com 0.1 md µ= e 1.3 mλ µ= (para a determinação

de effn na primeira fase). Note que

2 20 1 2D k d n n= − e 2 2

0 eff 2W k w n n= − .

(b) Represente também graficamente TΓ em função de D e LΓ em função de W .

Considere os valores da alínea anterior para a segunda fase. Definem-se

( )2 2 2 2eff 2 1 2Tn n n n= +Γ − , ( )2 2 2 2

2 eff 2Ln n n n= +Γ − .

(c) Para 1.3 mλ µ= , 0.1 md µ= e 1 mw µ= , calcule effn e n . Determine o factor de

confinamento óptico T LΓ = Γ Γ . Compare os resultados obtidos com as aproximações

2

22TD

DΓ =

+,

2

22LW

WΓ =

+.

2 3.2n =

effn

Y

X

2w

2 3.2n =

Estrutura bidimensional da segunda fase


157

Figura T4A – Resultados da primeira fase do Trabalho T4.

Figura T4B – Resultados da segunda fase do Trabalho T4.

158 Carlos R. Paiva

Parte I

Objectivo: Na primeira parte deste trabalho pretende-se analisar a influência do contraste

dieléctrico sobre o diagrama de dispersão do modo fundamental 11HE de uma fibra óptica.

Considere uma fibra óptica cujo contraste dieléctrico é

2 21 2

212

n nn−

∆ = .

Represente o diagrama de dispersão do modo fundamental 11HE na forma vsb v− − para os

seguintes valores do contraste dieléctrico: (i) 0∆ = ; (ii) 0.2∆ = ; (iii) 0.4∆ = . A equação

modal para os modos HEmn pode ser escrita, para 1m = , na forma

( )( ) ( ) ( )

( )0 0

11 2 21 1

J K1 1modo HE 1J K

u wR

u u w w w u⎡ ⎤ ⎛ ⎞→ = −∆ + + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

em que

( )( )

2 4202

2 21

K11 2K

wu vRv u w w w w

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∆ −∆ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦.

Note-se, porém, que

( )( )

( )

0

1

0

J 0 1

J 0 0

lim K , 0,1, 2,nww n

→

=

=

= ∞ = …

o que obriga a ter especial cuidado na pesquisa de soluções quando 0v → . Note-se por fim

que, quando se faz 0∆→ , a equação modal do modo 11HE se reduz à equação modal do

modo 01LP :

( ) ( ) ( ) ( )010 1 1 0

modo LPJ K J K

0w u w u u w→ =

∆→.


159

Figura T5A – Resultados da primeira parte do Trabalho T5.

Parte II

Objectivo: Na segunda parte deste trabalho pretende-se resolver numericamente a equação

modal dos modos LP de uma fibra óptica na aproximação de pequeno contraste dieléctrico

(weakly-guiding approximation).

Represente graficamente as curvas de dispersão vsb v− − dos primeiros seis modos LP de

uma fibra óptica. Note que a equação modal para o modo LPpn pode ser escrita na forma

( ) ( ) ( ) ( )1 1J K J K 0p p p pu u w w u w− −+ =

sendo o respectivo corte cv tal que ( )1J 0p cv− = .

160 Carlos R. Paiva

Figura T5B – Resultados da segunda parte do Trabalho T5.

Bibliografia Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (pp. 110-155, pp.

797-811)

Bahaa E. A. Saleh and Marvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, New

Jersey: Wiley, 2nd ed., 2007 (pp. 289-364)


161

Objectivo: Neste trabalho pretende-se estudar analiticamente o alargamento dos impulsos que

se propagam, em regime linear, numa fibra óptica monomodal.

Pretende-se analisar o efeito da DVG (dispersão da velocidade de grupo) e da dispersão de

ordem superior na propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais operadas em

regime linear. Comece então por demonstrar que, em regime linear, a forma do espectro dos

impulsos se mantém invariante ao longo da propagação na fibra – independentemente da

respectiva forma no domínio temporal. O campo eléctrico ao longo da fibra é, no domínio da

frequência, dado por

( ) ( ) ( )ˆ, , ,F x y B zω ω=E r x ,

( ) ( ) ( ), 0, expB z B i zω ω β= .

Para calcular o campo no domínio temporal, há que calcular

( ) ( ) ( )1, , exp2

B z t B z i t dω ω ωπ

∞

−∞

= −∫ .

Sendo 0ω a frequência da portadora, define-se

( ) ( ) ( )0 0, , expB z t A z t i z tβ ω= −⎡ ⎤⎣ ⎦

em que ( ),A z t é a envolvente do sinal e onde

( ) ( )0

00

,!

mmm

m mm

dm d ω ω

β ββ ω β ω βω

∞

= =

= +Ω = Ω =∑ .

Quando se desprezam os termos do desenvolvimento em série com 4m ≥ , a equação

diferencial da envolvente é 2 3

1 2 2 3

1 1 02 6

A A A Aiz t t t

β β∂ ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂.

Reescreva esta equação diferencial em relação às variáveis normalizadas (adimensionais)

20

12

0

DD

zL

Lt z

ζτ

ββ ττ

⎧ =⎪⎪= ⎨ −⎪ =⎪⎩

.

Introduzindo os momentos

162 Carlos R. Paiva

( )

( )

2

2

,

,

m

m

t A z t dtt

A z t dt

∞

−∞∞

−∞

=∫

∫

define-se, então, a largura efectiva (r.m.s.) σ do impulso tal que

22 2t tσ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ .

Demonstre que (os índices Ω significam uma derivação parcial em relação à frequência)

( ) ( )

( )22

1 , ,2

1 ,2

t i A z A z d

t A z d

π

π

∞∗

Ω−∞

∞

Ω−∞

= − Ω Ω Ω

= Ω Ω

∫

∫

e considere, doravante, que

( ) ( )22 1, , 1

2A z t dt A z d

π

∞ ∞

−∞ −∞

= Ω Ω =∫ ∫ .

Define-se, ainda,

( ) ( ) ( )0, 0, expA z A i zβ βΩ = Ω −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )0, expA S iθΩ = Ω Ω⎡ ⎤⎣ ⎦

onde ( )θ θ= Ω introduz o efeito do chirp inicial do impulso. Considere o atraso de grupo

( ) ( )0

,L

g

zd z

β ωτ ω

ω∂

=∂∫

onde a constante de propagação longitudinal pode variar com z no caso das fibras não

uniformes. Note-se que, no caso de se considerar que β não varia ao longo da propagação, se

recupera a expressão mais conhecida

1gg

d LL Ld vβτ βω

= = = .

Seja, ainda,

( ) ( ) 212

f f S dπ

∞

−∞

= Ω Ω Ω∫

e d dθ θΩ = Ω . Prove que, nestas circunstâncias,

22 2 20 2g g g gσ σ τ τ τ θ τ θΩ Ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦.


163

Admita, seguidamente, que se tem

( ) 21 2 3

12g Lτ β β β⎛ ⎞Ω = + Ω+ Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠

e mostre que, nestas condições,

( ) ( )2 2 2 2 2

10 0 02 2 2

8 exp , tan1 1 1

CS CC C C

π σ σ σθ −⎡ ⎤Ω ΩΩ = − Ω = −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

para o caso em que

( )2

00

1, exp4iC tA z t A

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Demonstre que

( )22 22 22 32 2

2 2 2 30 0 0 0

1 12 2 4 2

LL LC C ββ βσσ σ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

onde L é o comprimento da fibra. Represente graficamente 0σ σ em função de DL Lζ = ,

com 2 20 0

2 2

2DL τ σ

β β= =

para ( )2sgn 1β = − e considerando 0, 2C = ± no caso particular em que é possível considerar

3 0β = . Em que circunstâncias é que se deve considerar a contribuição de 3β ?

164 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a propagação de impulsos, em

regime linear, numa fibra óptica monomodal.

Recorrendo à simulação numérica (via FFT) analise a propagação, em regime linear, dos

seguintes impulsos ao longo da fibra óptica monomodal:

(a) ( )0 0

/ 2 / 20, 1 exp 1 exp2 2T t T T t TA t H t H t

τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

com 0T 5τ= e em que ( )H t é a função de Heaviside;

(b) ( )2

0

10, exp2

miC tA t

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

com 3m = e 0, 2C = ± .

Adopte 1250kmL = para (a) e 250kmL = para (b). Seja /L DL Lζ = . Faça 0 50psτ = . Para

22 20ps /kmβ = − e 3 0β = , represente graficamente ( ),A ζ τ para 0 Lζ ζ≤ ≤ . Despreze as

perdas. Comente todos os resultados obtidos.

Adenda Para a simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear

(Trabalho T8) há que recorrer à FFT (fast Fourier transform). Consideremos apenas o caso

das fibras monomodais operadas em regime linear. Despreza-se, aqui, a influência da

dispersão de ordem superior (i.e., considera-se que é razoável fazer 3 0β = ). Assim, só o

efeito da DVG (dispersão da velocidade de grupo) é tido em consideração. As perdas são

desprezadas de forma a poder analisar, isoladamente, o efeito da DVG sobre a propagação os

impulsos. Nestas circunstâncias e em termos das variáveis normalizadas ζ e τ


165

220

1

0

D

z zL

t z

βζ

τ

βττ

= =

−=

a equação de propagação dos impulsos é dada pela equação diferencial

( )2

2 2

1 sgn 02

u ui βζ τ∂ ∂

− =∂ ∂

.

Consideremos o caso específico da zona de dispersão anómala em que

( )2

zona de dispersãosgn 1

anómalaβ→ = −

de forma que a equação de propagação dos impulsos se reduz a

2

2

12

u uiζ τ∂ ∂

= −∂ ∂

.

Esta equação é facilmente resolvida no domínio da frequência (normalizada) ξ

( ) ( ) ( ), , ,u u uζ τ ζ ξ ζ τ= ⎡ ⎤⎣ ⎦F

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , exp

1, , exp2

u u i d

u u i d

ζ ξ ζ τ ξ τ τ

ζ ξ ζ τ ξ τ ξπ

∞

−∞

∞

−∞

=

= −

∫

∫

uma vez que

( )21 ,2

u i uξ ζ ξζ∂

=∂

( ) ( ) 21, 0, exp2

u u iζ ξ ξ ξ ζ⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Para determinar a forma do sinal, após uma determinada distância de propagação ao longo da

fibra óptica, há que voltar para o domínio do tempo – aplicando agora uma IFFT (a inversa de

uma FFT). No programa que a seguir se apresenta, intitulado «propag», apresenta-se o efeito

da DVG sobre um impulso com uma forma inicial

( ) ( ) ( )0 0, sechu uτ τ τ= = .

Sublinhe-se a necessidade de alterar a ordem interna do vector das frequências devido à forma

como a FFT apresenta a função no domínio da frequência. Este mesmo efeito poderia ser

alcançado através da instrução «fftshift» que, em vez de alterar a ordem interna do vector das

166 Carlos R. Paiva

frequências, altera a própria disposição da transformada (colocando o valor correspondente à

frequência nula no centro). Em qualquer caso é necessário garantir que a multiplicação pela

função de transferência da fibra óptica se processa, no domínio da frequência, de forma

correcta.

Bibliografia Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern

Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (pp. 317-322)

% PROPAG Propagação de impulsos regida pela equação diferencial

%

% d i d ^ 2

% ---- a(z, t) = --- ---------- a(z,t)

% d z 2 d t ^ 2

%

clear all; % Limpa todas as variáveis da memória

ztotal=5; % Distância total considerada

Nz=500; % Número de passos na distância

z=linspace(0,ztotal,Nz); % Vector distância com 'Nz' posições

t0=20; % Limite da janela temporal

Nt=1024; % Número de amostras temporais

t=linspace(-t0,t0,Nt); % Vector temporal com 'Nt' pontos (Janela temporal)

Ts=t(2)-t(1); % Separação entre amostras

Ws=2*pi/Ts; % Largura total da janela espectral

W=Ws*[0:1:Nt/2-1 -Nt/2:1:-1]/Nt; % Vector de frequências [rad/s]

a=sech(t); % Impulso inicial: a(0,t)=sech(t)

A=fft(a); % Impulso no domínio espectral: A(0,w)

for i=2:Nz % Ciclo para cada posição de z

Az=A.*exp(-1i/2*W.^2*z(i)); % Impulso no domínio espectral: A(z,w)

a(i,:)=ifft(Az); % Impulso no domínio temporal: a(z,t)


167

end

figure(1); % Gráfico 2D do impulso inicial/final

plot(t,a(1,:),'b',t,abs(a(end,:)),'r');

title('entrada - azul saída - vermelho');

xlabel('Tempo');

ylabel('Amplitude');

axis([-t0 t0 0 1]);

[X,Y]=meshgrid(t,z); % Cria uma grelha rectangular de dimensões (Nt,Nz) usada por 'mesh'

figure(2);

mesh(X,Y,abs(a)); % Gráfico da evolução do impulso

xlabel('Tempo');

ylabel('Distância');

zlabel('Amplitude');

figure(3);

mesh(X,Y,abs(a));

xlabel('Tempo');

ylabel('Distância');

zlabel('Amplitude');

view(30,45); % view (azimute, elevação);

168 Carlos R. Paiva

Figura T7A – Primeira figura obtida através do programa PROPAG.

Figura T7B – Segunda figura obtida através do programa PROPAG.


169

Figura T7C – Terceira figura obtida através do programa PROPAG.

170 Carlos R. Paiva

Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a propagação de impulsos

numa fibra óptica monomodal operada em regime não linear.

Pretende-se analisar a propagação de impulsos (nomeadamente de solitões) em fibras ópticas,

operadas em regime não-linear, através do SSFM (split-step Fourier method).

1. Analise a evolução, para 0 / 2ζ π≤ ≤ , dos seguintes impulsos incidentes:

(a) ( ) ( )0 sechu τ τ= ;

(b) ( ) ( )0 2sechu τ τ= ;

(c) ( ) ( )0 3sechu τ τ= .

2. Analise, para 0 5ζ≤ ≤ , a evolução de

( )2

0 exp2

u ττ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Comente sobre o limite (forma e amplitude) quando ζ →∞ .

3. Estude a interacção entre solitões do mesmo canal. Suponha que o impulso incidente tem

a forma ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0sech sech expu q r r q iτ τ τ θ= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ . Considere 0 90ζ≤ ≤ e

0 3.5q = nos seguintes casos:

(a) 0θ = , 1r = ;

(b) / 2θ π= , 1r = ;

(c) 0θ = , 1.1r = .

Compare a distância ( )q q ζ= entre solitões, com ( ) 00q q= , para os diferentes casos.

Represente graficamente a função ( )q q ζ= para os casos em análise.


171

Adenda Para estudar a propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não linear usa-se o

SSFM (split-step Fourier method). Em termos das variáveis normalizadas ζ e τ , tem-se

então

( ) ( )2

22 2

equação de propagação de impulsos 1 sgnregime não linear 2 2

u ui u u i uβζ τ∂ ∂ Γ

→ − + = −∂ ∂

que se reduz à chamada equação NLS (não linear de Schrödinger) quando ( )2sgn 1β = −

(zona de dispersão anómala) e 0Γ = (sem perdas). Note-se que os efeitos não lineares e

dispersivos de ordem superior são, aqui, desprezados. O SSFM baseia-se na separação entre

os efeitos não lineares (operador N ) e os efeitos dispersivos (operadores Dτ ou Dξ ):

( ) ( )( )

( )

2

2 22

22

1 sgn2 1, sgn

22

D iu D N u D i

N i u

τ

τ ξ

βτ

ζ τ β ξζ

⎧ ∂=⎪ ∂∂ ⎪= + → → = −⎨∂ Γ⎪ = − +⎪⎩

( ) ( ) ( ), , ,u u uζ τ ζ ξ ζ τ= ⎡ ⎤⎣ ⎦F .

Assim, nesta versão do SSFM, considera-se o processo iterativo de passo h que permite ir do

impulso ( ) ( )0 0,u uτ τ= até à saída ( ),Lu ζ τ , com L DL Lζ = .

( ) ( ) ( )SSFM : , , ,u u h wζ τ ζ τ ζ τ→ + =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

, exp ,

, FFT ,

, exp ,

, IFFT ,

v h N u

V v

W h D V

w W

ξ

ζ τ ζ τ

ζ ξ ζ τ

ζ ξ ζ ξ

ζ τ ζ ξ

=

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

=

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

172 Carlos R. Paiva

% SOL_N programa para representar a evolução de um SOLITÃO de ordem N

% Método: SSFM (Split-Step Fourier Method)

%

clear all;

close all;

N=3; % Ordem N do solitão sob consideração

Ntau=2^11; % Número de pontos da janela temporal

tmax=5; % Limites máximo e mínimo da janela temporal

tau=linspace(-tmax,tmax,Ntau); % Definiçao da janela temporal (em 'tau')

zetaMax=pi/2; % Definiçãoo da distância normalizada 'zeta'

h=0.005; % Passo incremental do SSFM

Nstop=round(zetaMax/h); % Número de iterações do SSFM

zeta=linspace(0,zetaMax,Nstop); % Definição da janela espacial (em 'zeta')

Ts=tau(2)-tau(1); % Discretização temporal

Ws=2*pi/Ts; % Discretização na frequência

xi=Ws*[0:1:Ntau/2-1 -Ntau/2:1:-1]/Ntau; % Vector das frequências normalizadas

u=N*sech(tau); % Definição do impulso inicial

beta2=-1; % Sinal de beta 2 (DVG)

gama=0; % Perdas normalizadas

impulso(1,:)=abs(u); % Módulo do impulso

D=i/2*sign(beta2)*xi.^2; % operador D de dispersão (DVG)

for k=2:Nstop

N=-gama/2+i*abs(u).^2;

v=(u).*exp(h*N);

V=fft(v);

U=V.*exp(h*D);

u=ifft(U);

impulso(k,:)=abs(u);

end

[XN,YN]=meshgrid(tau,zeta);


173

mesh(XN,YN,impulso);

axis([-tmax tmax 0 zetaMax 0 max(max(impulso))]);

xlabel('\tau = (t - \beta_1 z) / \tau_0');

ylabel('\zeta = z / L_D');

zlabel('|u| (\zeta, \tau)');

title('Solitão de ordem N = 3')

Figura T8 – Resultado obtido através do programa SOL_N.

Bibliografia Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th ed.,

2007 (pp. 41-45)

174 Carlos R. Paiva

PARA ser grande, sê inteiro: nada

Teu exagera ou exclui.

Sê todo em cada coisa. Põe quanto és

No mínimo que fazes.

Assim em cada lago a lua toda

Brilha, porque alta vive.

FFEERRNNAANNDDOO PPEESSSSOOAA ((11888888--11993355))

Richard Zenith, Editor, Obra Essencial de Fernando

Pessoa, Vol. 4: Poesia dos Outros Eus. Lisboa:

Círculo de Leitores, 2007 (p. 208)


175

• Os livros aqui indicados não constituem uma bibliografia básica para Fotónica. Uma lista

de livros que podem constituir uma tal bibliografia básica já foi anteriormente indicada

(página 42 deste Relatório).

• A ter de indicar um único livro aos alunos de Fotónica a minha escolha seria o primeiro

da lista (a seguir) referenciada como «Fotónica: Geral» (i.e., o livro de Saleh e Teich,

Fundamentals of Photonics, 2nd ed.) – sobretudo pelas suas qualidades pedagógicas.

• A lista que aqui se apresenta é, essencialmente, uma bibliografia comentada (com

comentários muito concisos) referente a temas abordados na disciplina de Fotónica de

forma (necessariamente) menos aprofundada.

• Note-se que não se trata, em rigor, de um conjunto de sugestões de leitura adicional:

alguns livros têm, efectivamente, esse papel; outros, pelo contrário, são livros que não se

recomendam (na minha opinião, como é óbvio).

• Mas, qual é a razão, afinal, para a inclusão de livros não recomendáveis? A resposta tem,

essencialmente, a ver com o seguinte: é também através dos exemplos negativos (ou, se

se preferir, de contra-sugestões) que os critérios pedagógico-científicos ganham uma

maior nitidez. Ou seja: além de revelarem, objectivamente, uma apreciação científica e

pedagógica, os comentários revelam também, necessariamente e de forma mais clara, o

próprio perfil científico e pedagógico de quem tece os comentários.

• Utiliza-se uma classificação que vai de mínimo ( )• a máximo ( ) . Os livros

com as classificações ( )• , ( ) e ( ) devem ser evitados (ver código das

classificações).

• A teoria da relatividade geral, apesar de não ser um tópico desta disciplina, também aqui

aparece. Com efeito, não creio ser possível – pelo menos a alguém que conheça a

relatividade restrita – não desejar, também, ter um conhecimento (nem que seja

elementar) da teoria da relatividade geral – mesmo se, para esse efeito, tiver de aprender

(também) alguma geometria diferencial.

176 Carlos R. Paiva

Código das classificações

péssimomedíocresofrívelbommuito bomexcelente

•

FOTÓNICA: GERAL Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:

Wiley, 2nd ed., 2007.

( ) Comentário: É, provavelmente, o melhor texto de fotónica do ponto de vista

pedagógico e da sua organização. Mas tem muitas partes que carecem de uma análise

mais aprofundada do ponto de vista científico (e.g., a anisotropia, os guias ópticos, a

teoria do acoplamento modal). Recomenda-se, em particular, a amplificação e

oscilação laser. Nota: a segunda edição é muito melhor do que a primeira (novos

assuntos e explosições mais claras; o uso da cor também beneficia bastante a profusão

de figuras claras e elucidativas).


Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007.

( ) Comentário: Não é um livro elegante do ponto de vista pedagógico ou em

termos da sua organização e consistência. Parece, essencialmente, uma colecção de

textos dispersos. Trata-se, não obstante, de um dos dois livros de melhor nível científico

no universo da fotónica geral (o outro é o livro anteriormente citado). É, portanto, uma

referência essencial apesar do seu estilo pouco empolgante.


Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008.

( ) Comentário: Trata-se de um texto recente que se distingue, pela positiva, dos

outros livros gerais sobre Fotónica pela ênfase dada aos aspectos da óptica quântica.

No entanto, é frequentemente superficial e muito sucinto. Certos tópicos têm um


177

tratamento pouco mais do que qualitativo. A sua ambição é a origem deste pecado: a

superficialidade com que certos assuntos são tratados.



Press, 2008.

( ) Comentário: Não é um livro que aborda todos os tópicos do programa de

Fotónica. É, no entanto, um livro muito bom no que se refere ao estudo paralelo de

alguns problemas de mecânica quântica e de propagação de ondas electromagnéticas

em meios periódicos. É dada especial atenção ao modelo de Kronig-Penney em

mecânica quântica para analisar o aparecimento de bandas de energia em cristais. É

dada relevância, também, ao estudo dos cristais fotónicos e aos metamateriais DNG

(duplamente negativos) com índice de refracção negativo. O nível do tratamento é

totalmente adequado aos alunos de Fotónica.

Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ:

Prentice-Hall, 1984.

( ) Comentário: Tratando-se de um texto datado em muitos aspectos é, contudo,

particularmente bem sucedido no estudo dos feixes ópticos e na teoria do acoplamento

modal. O seu autor tem sempre algo de interessante a acrescentar.

Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media; Vol.

II: For Fiber and Integrated Optics. New York: Wiley, 2002.

( ) Comentário: Não se recomenda em virtude de um tratamento frequentemente

qualitativo mas que não cumpre o seu papel formativo ao nível científico. É mais

vocacionado para «turistas acidentais» e caçadores de generalidades. Tem alguns

exemplos interessantes mas falta-lhe, essencialmente, a estrutura clara e sistemática

que se pode encontrar no livro de Saleh e Teich.

F. Graham Smith and Terry A. King, Optics and Photonics – An Introduction.

Chichester: Wiley, 2000.

( ) Comentário: Este livro encontra-se aqui para demonstrar o que, na minha opinião,

é o contrário do que deve ser um livro recomendável para os alunos de Fotónica.

Talvez seja recomendável (apenas) para pessoas com um interesse colateral nesta área

e que pretendam ficar com ideias muito superficiais e gerais. Porém, mesmo ao nível da

178 Carlos R. Paiva

divulgação, há livros melhores. Se a fotónica fosse o que transpira deste livro eu

detestaria estar ligado a esta área do conhecimento.

MÉTODOS VARIACIONAIS Don S. Lemons, Perfect Form – Variational Principles, Methods, and Applications in

Elementary Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.

( ) Comentário: Trata-se de um livro de nível elementar do ponto de vista

matemático e que pretende ser uma introdução motivadora para alunos de física e de

engenharia (entre o primeiro e o segundo ciclos universitários). Sem ser um livro

notável recomenda-se pela sua concisão e abordagem simplificada. Não é, contudo, o

livro indicado para um estudo aprofundado.

Cornelius Lanczos, The Variational Priciples of Mechanics. New York: Dover, 4th

ed., 1986.

( ) Comentário: Sendo um livro pouco formal do ponto de vista matemático é,

no entanto, muito eloquente – do ponto de vista pedagógico – para clarificar, apesar da

sua antiguidade, o papel dos métodos variacionais em física.

M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations. New York: Dover, 2000.

( ) Comentário: Apesar do seu rigor é um livro pouco recomendável do ponto de

vista da sua motivação para alunos de física e engenharia devido ao seu estilo

excessivamente formal e «seco». Não consegue motivar.

Robert Weinstock, Calculus of Variations with Applications to Physics and

Engineering. New York: Dover, 1974.

( ) Comentário: Não sendo o rigor matemático o seu principal objectivo constitui,

ainda hoje, uma leitura recomendável para alunos de física e de engenharia.

Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial

College Press, 2004.

( ) Comentário: A palavra «introdução» no título deste livro poderá fazer sorrir

os investigadores em física e em engenharia – mas talvez não os matemáticos. Aqui se

demonstra que o rigor nesta área pode ser muito diferente do que se poderia suspeitar

pela leitura do livro (anteriormente citado) de Don S. Lemons.


179

LASERS E ÓPTICA QUÂNTICA Leonard Mandel and Emil Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge:

Cambridge University Press, 1995.

( ) Comentário: Talvez o livro mais completo sobre coerência óptica e óptica

quântica. Uma referência obrigatória. Não é o livro adequado para se começar a

estudar óptica quântica.

Mark Fox, Quantum Optics – An Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2006.

( ) Comentário: Um livro acessível para os alunos de Fotónica. Com o nível

razoável que é próprio desta série (Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser

Physics).

Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light. Oxford: Oxford University Press, 3rd

ed., 2000.

( ) Comentário: Os seus capítulos iniciais são muito úteis sem exigirem elevada

sofisticação teórica. Este aspecto é muito importante dada a complexidade formal dos

temas tratados.

Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986.

( ) Comentário: Um livro muito completo e uma das melhores referências em

amplificação e oscilação laser mesmo atendendo à sua idade. É, contudo, demasiado

extenso para alunos que necessitem de uma abordagem mais rápida.

Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988.

( ) Comentário: Menos extenso que o livro anterior mas, mesmo assim, ainda

pouco conciso para uma primeira abordagem.

Christopher C. Gerry and Peter L. Knight, Introductory Quantum Optics. Cambridge:


( ) Comentário: Um livro muito bom mas claramente acima do nível exigível

aos alunos de Fotónica. Mais apropriado para uma especialização em óptica quântica.

180 Carlos R. Paiva

Vlatko Vedral, Modern Foundations of Quantum Optics. London: Imperial College

Press, 2005.

( ) Comentário: Trata-se de um livro acessível e pouco extenso. Pessoalmente

prefiro, ao mesmo nível, o livro de Rodney Loudon de que este é, por vezes, uma cópia

de menor qualidade. Não se percebe qual é a «diferença» que o Autor traz de novo.

OPTOELECTRÓNICA, FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO E CRISTAIS FOTÓNICOS Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics. Toronto: Nelson Thomson

Learning, 1976.

( ) Comentário: Apesar da idade (e de não existir uma nova edição) este livro é

um clássico que ainda não encontrou sucessor à sua altura. Não existe melhor nesta

área – a física do estado sólido. Também, devido à sua idade, há progressos que

(obviamente) não podem ser encontrados neste livro.

John Singleton, Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford: Oxford




Physics).

Mark Fox, Optical Properties of Solids. Oxford: Oxford University Press, 2001.



Physics).

Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995.

( ) Comentário: Um livro ambicioso. Pretende cobrir os aspectos essenciais da

optoelectrónica e, simultaneamente, incluir tópicos da teoria electromagnética e da

propagação guiada, sem descurar os fundamentos de mecânica quântica. Na minha

opinião trata-se de uma intenção louvável. Mas fica aquém da sua ambição.

John Edward Carroll, Rate Equations in Semiconductor Electronics. Cambridge:


( ) Comentário: Parte de uma ideia original. Pretende abordar os aspectos

dinâmicos (e.g., os vários tipos de equações de taxas) a partir de exemplos elementares


181

da vida corrente. É um complemento interessante em relação a abordagens mais

clássicas.

Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 8th ed., 2005.

( ) Comentário: Demonstração clara de como um bom investigador pode produzir

um livro sofrível do ponto de vista pedagógico. As explicações são raramente claras e

existe uma tendência criticável para apresentar «receitas». Muito inferior ao que seria

de esperar vindo de quem vem. Por essa razão merece duas estrelas em vez de três.

Weng W. Chow and Stephen W. Koch, Semiconductor-Laser Fundamentals: Physics

of the Gain Materials. Berlin: Springer-Verlag, 1999.

( ) Comentário: Demasiado conciso e denso (aquilo que, na língua inglesa, é

denominado por «terse style») para ser útil aos alunos de Fotónica. O nível científico

é, inegavelmente, bom.

Kazuaki Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer-Verlag, 2nd

ed., 2005.

( ) Comentário: Não tem gráficos a cores nem belas fotografias e, por isso, não

se recomenda como leitura para a sala de espera de um dentista. É, contudo, o mais

respeitável livro (cientificamente falando) sobre cristais fotónicos.

John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, and Robert D. Meade,

Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University

Press, 2nd ed., 2008.

( ) Comentário: Muito bem apresentado graficamente: tem muitos gráficos, a

cores, que são bastante sugestivos («lavishly illustrated»). Consequentemente, é uma

obra atraente e de leitura fácil. Pode ser usado como objecto de decoração da «coffee

table». Porém, é (muito) duvidoso que alguém consiga aprender algo para além dos

conceitos mais básicos através deste livro. Recomenda-se, apenas, para bibliotecas ou

para alunos com maiores disponibilidades financeiras.

182 Carlos R. Paiva

MECÂNICA QUÂNTICA Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 3rd ed., 2003.

( ) Comentário: Não adopta uma perspectiva especialmente clara do ponto de

vista físico. Reconheça-se, porém, que isso é muito difícil num texto introdutório de

mecânica quântica. Por isso, dada a sua concisão, não deixa de ser particularmente

útil para uma primeira abordagem. Talvez mesmo o livro mais recomendável para os

alunos de Fotónica.

Robert Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,

Nuclei, and Particles. New York: Wiley, 2nd ed., 1985.

( ) Comentário: É um livro antiquado e não se recomenda, em especial, para

estudar mecânica quântica. Mas tem um valor inegável: é particularmente claro e

pormenorizado no que se refere a uma introdução à «moderna» mecânica quântica

através da chamada «velha» mecânica quântica. O seu nível é bastante elementar. As

questões de interpretação são muito superficiais e, frequentemente, encontram-se

ultrapassadas à luz da nova reinterpretação da escola de Copenhaga (ver, e.g., Omnès,

Griffiths ou Peres): «Quantum mechanics, however, regards the interactions of object

and observer as the ultimate reality.» (p. 80).

Ramamurti Shankar, Principles of Quantum Mechanics. New York: Plenum Press, 2nd

ed., 1994.

( ) Comentário: Seria, talvez, o livro mais indicado para uma disciplina

semestral (ou, de preferência, anual) dedicada exclusivamente a um estudo

introdutório, mas sólido, da mecânica quântica. Mas, por essa mesma razão, não é o

livro apropriado para acompanhar este capítulo de Fotónica.

Robert B. Griffiths, Consistent Quantum Theory. Cambridge: Cambridge University

Press, 2002.

( ) Comentário: Não é um livro para aprender a trabalhar com a mecânica

quântica. É, provavelemente, o livro mais acessível e actualizado para entender a

mecânica quântica em termos físicos. Recomenda-se como texto complementar para

aqueles que pretendam entender algumas questões mais controversas relacionadas com

a interpretação física da mecânica quântica. Não exige particular «sofisticação»

matemática. Recomenda-se, portanto, vivamente.


183

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë, Mécanique Quantique (I, II).

Paris: Hermann, 1973, nouveau tirage I – 1998, nouveau tirage II – 2000.

( ) Comentário: Essencial como referência enciclopédica nos mais variados

aspectos da mecânica quântica. Contudo, dada a sua antiguidade, não é o livro

indicado para uma visão mais aprofundada das questões relacionadas com a

interpretação da teoria.

Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics. New York: Wiley, 3rd ed., 1998.

( ) Comentário: Menos extenso que a enciclopédia anterior mas, ainda assim,

uma referência também importante. Pedagogicamente pouco brilhante e pouco

esclarecedor em matéria de interpretação física.

Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics – A Modern Development. Singapore:

World Scientific, 1998.

( ) Comentário: Aborda algumas quetões de interpretação. Requere alguma

«sofisticação» formal. Não é o livro ideal para iniciar o estudo da mecânica quântica.

Esclarece, contudo, alguns pontos essenciais que são, habitualmente, mal interpretados

na literatura corrente.

Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics. San Francisco, CA: Addison-

Wesley / Pearson, 4th ed., 2003.

( ) Comentário: De grandes ambições atendendo à sua dimensão (não obstante o

título). Porém, não chega aos pés dos dois livros anteriores. De nível elementar é muito

menos conciso que o livro de Stephen Gasiorowicz apesar de ter o mesmo nível de

facilidade.

J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics. Reading, MA: Addison-Wesley, revised

edition, 1994.

( ) Comentário: Não é o livro ideal para as questões de interpretação mas é,

muito provavelmente, o livro ideal para o ensino pós-graduado da mecânica quântica

para aqueles que pretendem trabalhar nesta área. Não é esse, porém, o objectivo de

Fotónica.

184 Carlos R. Paiva

Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht, The Netherlands:

Kluwer Academic Publishers, 1995.

( ) Comentário: Sem cair no extremo da abstracção, este é um livro

clarificador: clarifica o formalismo e clarifica a interpretação. As relações de incerteza

de Heisenberg não são consideradas pedras basilares da teoria quântica. O teorema de

Bell e o teorema de Kochen-Specker ocupam uma parte central desta abordagem.

Roland Omnès, Understanding Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton


( ) Comentário: Não recorre à tecnicidade do livro precedente de Omnès (The

Interpretation of Quantum Mechanics, 1994). Mas, para um nível elementar, consegue

passar com suficiente clareza a sua mensagem sobre a interpretação da mecânica

quântica à luz da investigação mais recente.

Chris J. Isham, Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural

Foundations. London: Imperial College Press, 1995.

( ) Comentário: Trata-se de um livro sintético, relativamente acessível, onde se

clarifica a estrutura matemática da mecânica quântica. Algumas questões de

interpretação são, também, analisadas de forma clara e breve sem ficarem obnubiladas

por um recurso excessivo ao formalismo matemático. Porém, demasiado esquemático.

FIBRAS ÓPTICAS (REGIMES LINEAR E NÃO LINEAR) Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman and

Hall, 1983.

( ) Comentário: Livro antigo mas, nesta área, dificilmente superável em termos

científicos. Tem uma organização original ao relegar para apêndice todos (ou quase

todos) os cálculos.

M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981.

( ) Comentário: Menos ambicioso e sistemático do que o livro anterior é, ainda

assim, muito superior a muitos outros livros mais recentes.


185

Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA: Academic

Press / Elsevier, 2nd ed., 2006.

( ) Comentário: Um livro a destacar na literatura mais recente. Pedagogicamente

consistente e cientificamente fundamentado. Uma excepção (positiva) no âmbito dos

livros «qualitativos» e «conceptuais» que têm vindo a proliferar nesta área e a

constituir uma tendência (negativa).


2002.

( ) Comentário: Trata-se de uma referência fundamental. Porém, não é um livro

para se aprender – é um livro para se consultar.

Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press /

Elsevier, 4th ed., 2007.

( ) Comentário: Tal como todos os livros deste autor é uma boa referência

enquanto livro de «receitas de culinária». Não se recomenda como livro onde se possa

estudar um determinado assunto «from scratch». Bibliografia do género «tudo o que

vem à rede é peixe».

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer

Academic Publishers, 2nd ed., 1999.

( ) Comentário: Brilhante como só David Hestenes consegue ser. Talvez o seu

livro mais acessível para o nível dos alunos de Fotónica. Mesmo assim, dada a sua

extensão, demasiado ambicioso para uma disciplina como Fotónica. A utilização de

paravectores em mecânica relativista – para descrever um acontecimento no espaço de

Minkowski (último capítulo) – não é, porém, do meu agrado.


Press, 2nd ed., 2001.

( ) Comentário: Menos eloquente e incisivo do que Hestenes. No entanto os

primeiros capítulos deste livro são, talvez, os mais adequados a uma introdução à

álgebra geométrica. Frequentemente brilhante. A morte prematura deste matemático

foi uma perda importante para a literatura especializada.

186 Carlos R. Paiva



( ) Comentário: Na linha de Hestenes mas mais redondo e menos eloquente do

que o mestre. Brilhante quando comparado com outros (mas não com Hestenes). Os

primeiros capítulos são bastante acessíveis. Pode ser usado como livro introdutório

apesar de, a seguir a uma primeira parte mais introdutória, incluir temas como a

geometria diferencial, a mecânica quântica relativista e a gravitação relativista

(embora, neste último caso, adoptando uma perspectiva bastante original).

Leo Dorst, Daniel Fontijne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer

Science – An Object-oriented Approach to Geometry. San Francisco, CA: Morgan

Kaufmann / Elsevier, 2007.

( ) Comentário: Sem ser tão interessante como o livro anterior é, contudo, uma

livro útil e (também) na boa linha de Hestenes. É o primeiro livro de álgebra

geométrica destinado essencialmente a alunos de engenharia. Porém, não aborda o

electromagnetismo (teórico ou aplicado).

William E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach. Boston:

Birkhäuser, 1999.

( ) Comentário: Um livro ambicioso mas na linha errada. Envereda por um desvio

covariante equivocado. A abordagem invariante de Hestenes é uma marca da

superioridade da álgebra geométrica do espaço-tempo. É bom lembrar que a álgebra

geométrica deve olhar para os números complexos enquanto elementos de uma sub-

álgebra e não enquanto elementos de um corpo. O corpo por excelência da álgebra

geométrica é o corpo dos reais. Trazer o corpo dos complexos à luta é, apesar das boas

intenções, falhar completamente o alvo.

Patrick R. Girard, Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics. Basel:

Birkhäuser, 2004.

( ) Comentário: É lamentável que alguém trabalhe em álgebras de Clifford e não

compreenda que tem entre mãos muito mais do que julga ingenuamente ter. Não é

admissível, hoje em dia, passar ao lado da perspectiva geométrica que torna estas

álgebras muito mais do que meras álgebras matriciais (associativas). Ao descurar os

aspectos geométricos todo o brilhante edifício da álgebra geométrica fica

irremediavelmente comprometido.


187

Venzo de Sabbata and Bidyut Kumar Datta, Geometric Algebra and Applications to

Physics. New York: CRC Press / Taylor and Francis, 2007.

( )• Comentário: Deveria evitar-se a edição de livros carregados de erros, imprecisões

e precipitações. Se a ideia era aumentar o «curriculum» dos autores, o tiro foi na

direcção errada dado que se trata de um tiro nos pés. A edição está ao nível da escrita:

o meu exemplar apresenta as páginas 81-88 duas vezes. Simplesmente lamentável.

TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University Press,

2nd ed., 1991.

( ) Comentário: Este livro é o meu favorito enquanto primeiro contacto com a

teoria da relatividade restrita. Embora eu prefira a abordagem matemática que a

álgebra geométrica permite, não há dúvida que – para quem quiser uma abordagem

mais tradicional – este é o livro que eu recomendaria. Tem uma excelente colecção de

problemas.

Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte. Paris: Dunod,

2001.

( ) Comentário: Sem chegar ao nível do livro anterior tem uma particularidade

que me compele à sua inclusão nesta lista: seguindo o exemplo de Jean-Marc Lévy-

Leblond (American Journal of Physics, vol. 44, pp. 271-277, 1976), mostra como é

possível deduzir a transformação de Lorentz sem o segundo postulado de Einstein para

a invariância da velocidade da luz no vácuo.

Nicholas Michael John Woodhouse, Special Relativity. London: Springer-Verlag, 2003.

( ) Comentário: Não tem a profundidade física do livro de Rindler mas tem uma

inclinação matemática que não deixa de ser cativante pela sua elegância e

simplicidade formal. Porém, não tenta desenvolver a intuição física que, do meu ponto

de vista, é muito importante para uma sólida formação nesta área.

188 Carlos R. Paiva

Patricia M. Schwarz and John H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to

Strings. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

( ) Comentário: Escrito por um dos teóricos das supercordas (J. H. Schwarz) este

é um livro ambicioso que tenta ir um pouco mais além. Não deixa de ser interessante a

utilização das formas diferenciais no contexto da relatividade restrita (embora eu

prefira, mesmo assim, a álgebra geométrica). Não é, apesar de tudo, um livro tão

sólido como o livro de Rindler para um primeiro contacto com esta teoria apesar da

sua inegável clareza física.

Gregory L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime: An Introduction to the

Mathematics of the Special Theory of Relativity. Mineola, NY: Dover, 2003.

( ) Comentário: Este livro não se centra sobre os aspectos físicos mas sobre a

estrutura matemática da teoria. É um livro muito elegante do ponto de vista matemático

que mostra, à semelhança de E. C. Zeeman (Journal of Mathematical Physics, vol. 5,

pp. 490-493, 1964), como o grupo de Lorentz deriva do princípio da causalidade. Não

o recomendaria como primeira escolha pois parte do princípio que o leitor domina

alguns aspectos básicos de topologia – o que não é usual para o aluno comum de física

e de engenharia.

Jürgen Ehlers and Claus Lämmerzahl, Eds., Special Relativity: Will it Survive the Next

101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006.

( ) Comentário: Trata-se de uma imensa colecção de textos que aborda quatro

grupos de temas: (i) aspectos históricos e filosóficos; (ii) o formalismo e as fundações

da teoria; (iii) a possível violação da invariância de Lorentz; (iv) aspectos

experimentais. Trata-se de um livro tecnicamente especializado que parte do princípio

que o leitor domina razoavelmente a teoria da relatividade restrita. Não o considero

um livro essencial mas é um livro importante ao tentar mostrar que, mesmo a teoria

mais solidamente estabelecida, deve dar particular atenção aos problemas que –

adoptando a terminologia de Karl Popper – se relacionam com a sua «falseabilidade».

N. David Mermin, It’s About Time – Understanding Einstein’s Relativity. Princeton,

NJ: Princeton University Press, 2005.

( ) Comentário: Como regra detesto os livros de popularização científica que

partem de um único princípio: é preciso tratar o público, em geral, ao nível que ele

merece, i.e., ao nível mínimo da exigência intelectual e, nesse sentido, evitar a


189

introdução de quaisquer equações matemáticas. Este livro é, contudo, uma brilhante

excepção a essa regra: evitando (mas não excluindo liminarmente) a utilização de

equações matemáticas, aqui está um texto que pode (e deve) ser lido mesmo por leitores

matematicamente «sofisticados». Finalmente um livro de divulgação para um público

minimamente educado do ponto de vista matemático (ao nível de um aluno que esteja

preparado para entrar numa universidade) e que merece ser lido por todos os tipos de

leitores.

Hermann Bondi, Relativity and Common Sense: A New Approach to Einstein. New

York: Dover, 1980.

( ) Comentário: Este é, sem qualquer dúvida, o livro mais elementar desta lista

bibliográfica sobre relatividade restrita. Não o recomendo apesar de nele se fazer a

apresentação do célebre «método gráfico do radar» inventado pelo próprio Bondi.

Com efeito, dentro dos livros de divulgação, encontra-se muito aquém do livro de

Mermin (ver comentário prévio). Não devemos esquecer que a teoria da relatividade

restrita é um alvo fácil dos «artistas» da popularização. Sem pretender dizer que Bondi

é um desses «artistas» deve reconhecer-se que devemos utilizar como padrão de

«medida» a excelência e, do meu ponto de vista, não é este o caso.

TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity. San

Francisco, CA: Addison-Wesley, 2003.

( ) Comentário: Este livro é o meu favorito enquanto primeiro contacto com a

teoria da relatividade geral. Aqui a ênfase é na física. Pouco exigente do ponto de vista

matemático, introduz o formalismo apenas quando estritamente necessário. Considero

este livro perfeitamente acessível para os alunos de Fotónica.

Ta-Pei Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction. Oxford:

Oxford University Press, 2005.

( ) Comentário: Embora de nível introdutório, tal como o livro de Hartle, não se

pode comparar com este em termos de qualidade ou brilhantismo. Mas cumpre, de

forma eficaz, competente e bastante sucinta, o papel de estudo introdutório.

Recomenda-se para uma introdução mais rápida e superficial do que o livro de Hartle.

190 Carlos R. Paiva

Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San

Francisco, CA: Addison-Wesley, 2004.

( ) Comentário: Com um nível matemático mais exigente do que o livro

anterior, não deixa de estar escrito com meridiana clareza. Recomenda-se para leitores

com maior maturidade matemática.

Michael P. Hobson, George Efstathiou, and Anthony N. Lasenby, General Relativity:

An Introduction for Physicists. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

( ) Comentário: Situaria o grau de dificuldade deste livro entre o livro de

Hartle e o de Carroll. Tal como no livro de Hartle dá-se muita importância às

discussões que permitem reforçar a compreensão intuitiva do formalismo.

Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation. San

Francisco, CA: Freeman, 1973.

( ) Comentário: Trata-se do livro mais importante que alguma vez foi escrito

sobre a relatividade geral. Tem a marca do estilo inconfundível de Wheeler. É uma

autêntica «lista telefónica» de 1279 páginas que, apesar da idade, envelheceu bem. As

atitudes em relação a este livro são, geralmente, extremadas: há os que o adoram e há

os que o detestam. Apesar de me situar no primeiro grupo, deve reconhecer-se que

existem melhores livros para se estudar. Mas nenhum estudante sério de relatividade

geral pode passar ao lado sem nunca o consultar. Tem a particularidade de ter sido um

pioneiro na defesa das formas diferenciais para a formulação geométrica da física.

Robert M. Wald, General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 1984.

( ) Comentário: Este livro consitui com o anterior (MTW) e com o seguinte

(HE) a trindade clássica dos livros historicamente mais relevantes sobre relatividade

geral. Muito mais compacto do que MTW e mais acessível do que HE sem, contudo,

fazer concessões ao rigor.

S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time.

Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

( ) Comentário: Este livro (HE) é provavelmente o mais difícil dos três últimos

livros incluídos nesta lista. Mas é, também, o que mais incide sobre os aspectos globais

da geometrica da relatividade geral.

Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity. Cambridge: Cambridge



191

( ) Comentário: Em relatividade geral existe uma grande quantidade de textos

mais ou menos introdutórios de muito boa qualidade. Este é mais um deles.

Particularmente bom na discussão da radiação gravitacional. A primeira parte sobre

relatividade restrita (Chapters 1-4) está muito bem escrita.

ELECTROMAGNETISMO David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics. Reading, MA: Addison-Wesley,

2nd ed., 1989.

( ) Comentário: Trata-se de um livro de carácter introdutório. Especialmente

vocacionado para os aspectos fundamentais da propagação e radiação de ondas

electromagnéticas. Parece-me um livro particularmente recomendável para os alunos

da disciplina de «Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas» que precede

curricularmente Fotónica. Não é brilhante mas cumpre, com competência, este papel.

Paul Lorrain, Dave Corson e François Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas.

Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2000.

( ) Comentário: Incluo aqui este livro pelas seguintes razões: (i) é uma

excelente tradução da versão original; (ii) constitui uma introdução muito boa ao

electromagnestismo; (iii) dedica, de forma muito clara, largo espaço à relação entre o

electromagnetismo e a relatividade restrita; (iv) inclui uma generosa quantidade de

exemplos; (v) tem um preço muito acessível para os estudantes.

John David Jackson, Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 3rd ed., 1999.

( ) Comentário: Este livro, muito odiado mas também muito venerado, é talvez a

mais importante referência sobre electrodinâmica clássica publicada até hoje. Tem

uma excelente colecção de problemas que são, alguns deles, muito estimulantes. Trata-

se, claramente, de um livro de nível avançado (i.e., destinado a alunos dos segundo e

terceiro ciclos universitários). As minhas principais reservas são mais de natureza

«ideológica»: prefiro uma abordagem mais geométrica baseada em formalismos

matemáticos tais como a álgebra geométrica ou as formas diferenciais.

192 Carlos R. Paiva

Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing, 2005.

( ) Comentário: É um bom livro para o estudo da propagação de ondas

electromagnéticas. Adopta uma formulação matemática ultrapassada, mas é sólido do

ponto de vista teórico e contém uma grande quantidade de exemplos. É particularmente

forte no estudo dos meios em movimento (Kong foi quem cunhou o termo

«bianisotrópico» na sua tese de doutoramento de 1968).

Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukov, Foundations of Classical Electrodynamics:

Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003.

( ) Comentário: Este é o meu livro preferido no que se refere à

fundamentação matemática da electrodinâmica clássica. Trata-se de um livro

especializado, acessível apenas para os que dominam a moderna geometria diferencial

formulada de forma independente de qualquer sistema de coordenadas. O tratamento

axiomático adoptado, embora discutível, permite uma formulação independente da

métrica (formas diferenciais). A métrica só aparece no fim quando se torna necessária

a ligação entre as duas equações de Maxwell (a equação homogénea, resultante da

conservação do fluxo magnético e a equação não homogénea, resultante da

conservação da carga-corrente) no espaço-tempo quadridimensional (plano, curvo,

com ou sem torsão). Independentemente dos méritos relativos entre a álgebra

geométrica e as formas diferenciais, a clareza matemática desta abordagem é

fundamental para entender as raízes teóricas do edifício erguido por Maxwell bem

como a relação deste edifício com o grupo de Lorentz.

Hollin C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves – A Coordinate-Free Approach.

New York: McGraw-Hill, 1983.

( ) Comentário: É o meu livro preferido no que respeita à utilização do

chamado cálculo diádico para o estudos da propagação de ondas electromagnéticas

em cristais uniaxiais e biaxiais, magnetoplasmas e ferrites e em meios em movimento.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Oxford: Butterworth-

Heinemann, 4th ed., 1975.

( ) Comentário: Brilhante, conciso e elegante (mesmo atendendo à sua

utilização datada do cálculo tensorial) como só Landau consegue ser. É talvez o livro

mais luminoso do seu curso de Física Teórica. Neste livro parece que nenhuma palavra


193

está a mais embora o leitor, por vezes, gostasse de mais palavras explicativas. Porém,

após uma segunda leitura, verifica-se que está lá tudo.

FÍSICA & MATEMÁTICA: GERAL Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of


2003.

( ) Comentário: Este é um livro original. Eensina a física através de alguns

casos paradigmáticos ilustrados com a respectiva evolução histórica. A ideia é mostrar

como algumas ideias físicas fizeram o seu caminho até aos nossos dias. Pretende

revelar como alguns conceitos físicos mais relevantes nasceram e se transformaram.

Não serve como texto introdutório nem pretende ser mais um manual. Trata-se de um

livro recomendável como leitura suplementar com o objectivo de ilustrar diferentes

processos intelectuais por detrás das ideias físicas. Recomenda-se, particularmente,

pelo seu «Case Study V: The origins of the concept of quanta».

Michael Spivak, Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 3rd ed., 1994

( ) Comentário: Salvo o devido respeito pela opinião dos matemáticos, este é

o melhor livro do mercado sobre a introdução ao cálculo diferencial e integral (i.e., ao

nível do primeiro ciclo do ensino iniversitário).

Tristan Needham, Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press, 1997

( ) Comentário: É um livro heterodoxo sobre análise complexa. É, na minha

opinião pessoal, um livro brilhante. Não pratica o rigor como o alfa e o ómega da

matemática. Pratica, no entanto, a antítese da máxima «Mathematics must not be

visualised!». Limito-me a citar Sir Roger Penrose: «By his innovative and exclusive use

of the geometrical perspective, Tristan Needham uncovers many surprising and largely

unappreciated aspects of the beauty of complex analysis.»

Paul R. Halmos, Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1974.

( ) Comentário: Um livro indispensável para se ter uma visão clara do

pensamento matemático «moderno» através de uma parte essencial das suas fundações

– a teoria dos conjuntos (mas sem a excessiva formalização apenas necessária aos

especialistas desta área).

194 Carlos R. Paiva

Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag,

1974. ( ) Comentário: Um dos melhores livros escritos sobre álgebra linear

para os espaços vectoriais de dimensão finita. Claro, rigoroso e sintético. Deve ser

estudado em conjunto com o livro que se segue (do mesmo autor).

Paul R. Halmos, Linear Algebra Problem Book. Washington, DC: The Mathematical

Association of America, 1995.

( ) Comentário: Apesar de se tratar de um livro de problemas com as

respectivas soluções, este é um livro ideal para o estudo da álgebra linear. Quando se

compra um livro de matemática, deve-se escolher um autor que seja um «matemático

puro». Os livros de «matemática para engenheiros» (seja o que isso for) são, em geral,

coisas desprezíveis: livros onde não se aprende nem matemática nem engenharia. Este

é um livro indispensável para quem quiser estudar, de forma séria, álgebra linear.

Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra. Wellesley,

MA: A. K. Peters, 1997.

( ) Comentário: Um livro por dois mestres da matemática do séc. XX. Elegante,

rigoroso e acessível para os alunos de Fotónica. Uma referência fundamental da

álgebra.

Harold Scott MacDonald Coxeter, Introduction to Geometry. New York: Wiley, 2nd

ed., 1969 (Wiley Classics Library).

( ) Comentário: Um dos maiores geómetras do século XX propõe um regresso

às bases da geometria sem desvios formais desnecessários. O rigor não deve ser

confundido com o «formalismo» (tal como entendido, de forma excessiva, pela escola

«Bourbaki»).

Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and

Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2003.

( ) Comentário: O conhecimento dos alunos em análise complexa é, em geral,

deficiente. Este é um livro excelente que pode colmatar essa formação deficiente.


195

Manfredo Perdigão do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Upper

Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1976.

( ) Comentário: Talvez o melhor livro alguma vez escrito sobre geometria

diferencial de curvas e superfícies. Um clássico que não foi ultrapassado pela voragem

do tempo.

John Stillwell, Mathematics and its History. New York: Springer-Verlag, 2nd ed.,

2002.

( ) Comentário: John Stillwell é um matemático da contra-reforma. Os excessos

formalistas da escola «Bourbaki» têm de ser postos de lado. O rigor é o corpo da

matemátrica – não a sua alma. A história da matemática não é, apenas, colecção de

factos históricos: trata-se, antes do mais, de suscitar a curiosidade, de tentar perceber

os «golpes de génio» no seu contexto histórico mas mostrando, também, que o rigor é a

meta muitas vezes alcançada por «linhas tortas», por sucessivas aproximações. Este

livro é o contrário daquilo a que se costuma chamar de «terse style» na sua conotação

mais anti-pedagógica e desmotivante.

Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer, 2000.

( ) Comentário: Aqui o leitor pode encontrar, à luz dos conhecimentos actuais,

uma análise rigorosa da geometria euclidiana. Trata-se, por isso, de uma das melhores

introduções às geometrias (ditas) não-euclidianas.

Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK. Berlin: Springer-

Verlag, 3rd ed., 2004.

( ) Comentário: Trata-se de uma pequena jóia. Um vislumbre da beleza a que

pode aspirar a matemática pura. A elegância do raciocínio abstracto. Uma

homenagem, também, a Paul Erdős (1913-1996).

Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.

New York: Alfred A. Knopf, 2005.

( ) Comentário: Exemplo perfeito do que um livro de divulgação científica deve

ser: enciclopédico, compreensivo e, apesar da complexidade de alguns assuntos,

bastante claro. Tratando-se de divulgação, não insulta a inteligência dos leitores.

Quando toma posições heterodoxas o Autor tem o cuidado de alertar o leitor de que se

trata de uma posição idiossincrática não partilhada pela maioria dos especialistas.

196 Carlos R. Paiva

“Religion, n. A daughter of Hope and Fear,

explaining to Ignorance the nature of the

Unknowable.”

Ambrose Bierce, The Devil’s Dictionary.

London: The Folio Society, 2003 (p. 266)

“With or without religion, good people can behave well and bad people can do

evil; but for good people to do evil – that takes religion.”

Steven Weinberg, Facing Up: Science and Its Cultural Adversaries.

Cambridge, MA: Harvard University Press, 2001 (p. 242)

“As long as we accept the principle that religious faith must be respected

simply because it is religious faith, it is hard to withhold respect from the faith

of Osama bin Laden and the suicide bombers. The alternative, one so

transparent that it should need no urging, is to abandon the principle of

automatic respect for religious faith.”

Richard Dawkins, The God Delusion. London: Bantam Press, 2006 (p. 306)


197

ac alternating current

AM amplitude modulation

AMF auto-modulação de fase

AON all-optical network

APD avalanche photodiode

ASE amplified spontaneous emission

ATM asynchronous transfer mode

AWG arrayed-waveguide grating

BER bit-error rate

BPM beam propagation method

CATV common-antenna (cable) television

CP circularly polarized

CW continuous wave

dB decibel units

DBR distributed Bragg reflector

dc direct current

DCF dispersion-compensating fiber

DDF dispersion-decreasing fiber

DEEC Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

DFB distributed feedback

DM dispersion management

DNG (meios) duplamente negativos

DSF dispersion-shifted fiber

DVG dispersão da velocidade de grupo

EBG electromagnetic band gap

EDFA erbium-doped fiber amplifier

EHF extremely-high frequency (30 GHz – 300 GHz)

ELF extremely-low frequency (3 Hz – 30 Hz)

ENG (meios) com epsilon negativo ( )0ε <

EP elliptically polarized

198 Carlos R. Paiva

EUV extreme-ultraviolet (10 nm – 120 nm)

FEC Fundamentos de Electrodinâmica Clássica

FBG fiber Bragg grating

FDM frequency-division multiplexing

FDDI fiber distributed data interface

FFT fast Fourier transform

FIR far-infrared (15 µm – 1 mm)

FM frequency modulation

FOOI Fibras Ópticas e Óptica Integrada

Fot Fotónica

FP Fabry-Perot

FTTC fiber-to-the-curb

FTTH fiber-to-the-home

FUV far-ultraviolet (120 nm – 200 nm)

FWHM full-width at half-maximum

FWM four-wave mixing

GVD group-velocity dispersion

HDTV high-definition television

HF high-frequency (3 MHz – 30 MHz)

IC integrated circuit

IM/DD intensity modulation with direct detection

IP Internet protocol

IR infrared (750 nm – 1 mm)

ISDN integrated services digital network

ISI intersymbol interference

IST Instituto Superior Técnico

ITU International Telecommunication Union

LAN local-area network

LASER light amplification by the stimulated emission of radiation

LCP left-hand circular polarization

LED light-emitting diode

LEE Licenciatura em Engenharia Electrónica

LEEC-pB Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (pré-Bolonha)


199

LF low frequency (30 kHz – 300 kHz)

LP linearly polarized

LWIR long-wavelenth infrared (8 µm – 15 µm)

MAN metropolitan-area network

MASER microwave (molecular) amplification by the stimulated emission of radiation

MEEC Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

MF medium frequency (300 kHz – 3 MHz)

Microo Microondas

MNG (meios) com mu negativo ( )0µ <

MPEG motion-picture entertainment group

MZ Mach-Zehnder

MQW multiquantum well

MUV mid-ultraviolet (200 nm – 300 nm)

MWIR mid-wavelength infrared (3 µm – 8 µm)

NA numerical aperture

NEP noise equivalent power

NIR negative index of refraction

NIR near-infrared (0.75 µm – 1.4 µm)

NLS nonlinear Schrödinger

NRZ nonreturn-to-zero

NUV near-ultraviolet (300 nm – 400 nm)

OC optical carrier

OOK on-off keying

OPC optical phase conjugation

OTDM optical time-division multiplexing

PCD polarização circular direita

PCE polarização circular esquerda

PCF photonic crystal fiber

PCM pulse-code modulation

PDEEC Programa de Doutoramento em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

PDF probability density function

PIC photonic integrated circuit

PMD polarization-mode dispersion

200 Carlos R. Paiva

POTS plain old telephone service

PROE Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas

RCP right-hand circular polarization

RF radio frequency

RMS root-mean-square

RZ return-to-zero

SBS stimulated Brillouin scattering

SCO sistema de comunicação óptica

SDH synchronous digital hierarchy

SHF super-high frequency (3 GHz – 30 GHz)

SI Système International

SLF super-low frequency (30 Hz – 300 Hz)

SNG (meios) simplesmente negativos

SNR signal-to-noise ratio

SOA semiconductor optical amplifier

SONET synchronous optical network

SPM self-phase modulation

SRS stimulated Raman scattering

SSFM split-step Fourier method

SWIR short-wavelength infrared (1.4 µm – 3 µm)

TDM time-division multiplexing

TE transverse electric

TEM transverse electric and magnetic

TM transverse magnetic

TW traveling wave

UHF ultra-high frequency (300 MHz – 3 GHz)

ULF ultra-low frequency (300 Hz – 3 kHz)

URL uniform (or universal) resource locator

UTL Universidade Técnica de Lisboa

UV ultraviolet (10 nm – 400 nm)

VLF very-low frequency (3 kHz – 30 kHz)

VHF very-high frequency (30 MHz – 300 MHz)

VoIP voice-over-Internet protocol


201

VS visible spectrum (380 nm – 750 nm)

WAN wide-area network

WDM wavelength-division multiplexing

WWB World Wide Web

XPM cross-phase modulation

YAG yttrium aluminium garnet

YIG yttrium iron garnet

ZDWL zero-dispersion wavelength

Nota: Esta lista não inclui apenas os acrónimos utilizados neste Relatório. Trata-se de uma

lista mais abrangente: inclui, também, acrónimos utilizados ao longo da disciplina. É, por

isso, não só uma lista para este Relatório, em particular, mas também para os alunos de

Fotónica, em geral.

Relatório de Fotónica 1 - fenix.tecnico.ulisboa.ptP20... · O primeiro cabo submarino...

Documents

Transcript of Relatório de Fotónica 1 - fenix.tecnico.ulisboa.ptP20... · O primeiro cabo submarino...