Relatório de Fotónica 1 - fenix.tecnico.ulisboa.pt · O primeiro cabo submarino transatlântico...
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Relatório de Fotónica
1
A disciplina de Fotónica existe desde o ano lectivo de 2002/2003 (mais precisamente desde o
ano lectivo de 2001/2002, ano de transição curricular) onde pertencia ao 4.º ano da
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores do DEEC do IST (LEEC-
pB). A partir do ano lectivo de 2007/2008 este disciplina passou a integrar o MEEC do DEEC
do IST (segundo ciclo universitário no âmbito do Processo de Bolonha).
De certa forma esta disciplina representa uma evolução da antiga disciplina de FOOI
(Fibras Ópticas e Óptica Integrada) que terminou no ano lectivo de 2001/2002. A disciplina
de FOOI foi criada pelo Prof. Afonso Barbosa, tendo funcionado a partir do ano lectivo de
1992/1993. Desde o ano lectivo de 1996/1997 que o Autor deste Relatório passou a ser o
responsável por FOOI (e, posteriormente, por Fotónica).
O presente Relatório apresenta os objectivos, o programa, os conteúdos e os
métodos de ensino teórico e prático bem como o processo de avaliação da disciplina
de Fotónica. Esta disciplina faz parte do Mestrado em Engenharia Electrotécnica e
de Computadores (MEEC), no âmbito do segundo ciclo do ensino superior
universitário (Processo de Bolonha), ministrado pelo Departamento de Engenharia
Electrotécnica e de Computadores (DEEC) do Instituto Superior Técnico (IST).
Este Relatório destina-se a cumprir o disposto na alínea b) do artigo 5.º do Decreto-
Lei n.º 239/2007, de 19 de Junho, referente às provas de agregação tendo em vista a
atribuição do título académico de agregado.
2 Carlos R. Paiva
“Merely deducing one statement from another does not necessarily constitute
an explanation, as we see clearly in those cases where either statement can be
deduced from the other. Einstein inferred the existence of photons in 1905
from the successful theory of heat radiation that had been proposed five years
earlier by Max Planck; seventeen years later Satyendra Nath Bose showed that
Planck’s theory could be deduced from Einstein’s theory of photons.
Explanation, unlike deduction, carries a unique sense of direction. We have an
overwhelming sense that the photon theory of light is more fundamental than
any statement about heat radiation and is therefore the explanation of the
properties of heat radiation. And in the same way, although Newton derived
his famous laws of motion in part from the earlier laws of Kepler that describe
the motion of planets in the solar system, we say that Newton’s laws explain
Kepler’s, not the other way around.”
Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory: The Search for the
Fundamental Laws of Nature. London: Vintage, 1993 (p. 20)
Relatório de Fotónica
3
Capítulo Página
1. Introdução 5
2. Objectivos 19
3. Programa 39
4. Aulas práticas 81
5. Avaliação de conhecimentos 119
6. Trabalhos de avaliação 139
7. Bibliografia comentada 175
Acrónimos usados em Fotónica 197
4 Carlos R. Paiva
“(...) a heterodoxia não é fácil. Serviço divino a poucos cometido, paga-o a
moeda que os deuses amam: a amargura e a solidão.”
Eduardo Lourenço, Heterodoxia. Lisboa: Assírio & Alvim, 1987 (p. 3)
Relatório de Fotónica
5
No Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea da Academia das Ciências de Lisboa
(Lisboa: Verbo, 2001) podemos encontrar a seguinte definição de Electrónica: «ciência que
estuda o comportamento dos electrões sob a acção de campos eléctricos e magnéticos ou de
uma combinação dos referidos campos e das suas aplicações». Neste dicionário, porém, não
se encontra qualquer definição de Fotónica. Trata-se, obviamente, de um neologismo
derivado do inglês Photonics e que foi cunhado, precisamente, por analogia com Electronics.
Uma pesquisa na Wikipedia permite, porém, encontrar a seguinte definição:
Photonics is the science of generating, controlling, and detecting
photons, particularly in the visible and near infra-red spectrum, but also
extending to the ultraviolet (0.2 - 0.35 µm wavelength), long-wave
infrared (8 - 12 µm wavelength), and far-infrared/THz portion of the
spectrum (e.g., 2-4 THz corresponding to 75-150 µm wavelength)
where today quantum cascade lasers are being actively developed.
Photonics is an outgrowth of the first practical semiconductor light emitters invented in the
early 1960s at General Electric, MIT Lincoln Laboratory, IBM, and RCA and made practical
by Zhores Alferov and Dmitri Z. Garbuzov and collaborators working at the Ioffe Physico-
Technical Institute and almost simultaneously by Izuo Hayashi and Mort Panish working at
Bell Telephone Laboratories.
Podemos ser mais concisos e directos: a Fotónica é a ciência que estuda a geração,
transmissão, detecção e controlo dos fotões. Neste sentido engloba a Óptica e a
Optoelectrónica nas suas diferentes vertentes técnico-científicas. De certa forma a Fotónica é
uma nova designação para a Óptica a partir da segunda metade do séc. XX, i.e., depois do
6 Carlos R. Paiva
aparecimento dos lasers, dos lasers semicondutores, dos sistemas de comunicação óptica e da
óptica não-linear.
Assim, a Fotónica é a Óptica do séc. XXI e, portanto, engloba todas as suas sucessivas
generalizações teóricas: desde a Óptica Geométrica até à Óptica Quântica.
Geração, transmissão,
controlo e detecção
de fotões
Geração, transmissão,
controlo e detecção
de electrões
Óptica Geométrica
Óptica Ondulatória
Óptica Electromagnética
Óptica Quântica
Relatório de Fotónica
7
A tabela seguinte tenta fazer uma análise mais compreensiva das várias áreas científicas da
Fotónica.
Óptica geométrica
Óptica ondulatória
Feixes ópticos
Polarização
Conceitos fundamentais
Óptica electromagnética
Cristais fotónicos
Guias ópticos planares
Fibras ópticas Propagação de ondas electromagnéticas
Cavidades ópticas
Interacção entre fotões e átomos
Amplificadores laser Lasers
Lasers (não-semicondutores)
Óptica dos semicondutores
Fontes ópticas semicondutoras Optoelectrónica
Fototedectores
Electro-óptica
Magneto-óptica
Acusto-óptica
Óptica não-linear
Dispositivos fotónicos
Óptica ultra-rápida
Redes ópticas e comutação Sistemas de comunicação óptica
Sistemas de transmissão óptica
8 Carlos R. Paiva
A utilização da designação «Fotónica» processou-se através de vários acontecimentos.
Porém, a primeira edição do livro
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 1991
é, talvez, uma referência histórica ao mesmo tempo sintomática e sistematizadora. O
aparecimento da revista Optics & Photonics News (OPN) da OSA (ver lista de acrónimos no
fim deste relatório) é outro dado histórico relevante. Note-se que, tendo a OSA sido fundada
em 1916, o primeiro número da revista OPN data de 1989.
A invenção do laser é o marco histórico decisivo que está na origem de toda esta
evolução. Charles H. Townes, J. P. Gordon e H. J. Zeiger tinham construído o primeiro maser
– o análogo do laser para as microondas (Columbia University, 1953). Porém, deve-se a
Theodore H. Maiman a construção do primeiro laser (Hughes Research Laboratories, Malibu,
16 de Maio de 1960).
Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. Oxford: Oxford University Press,
2005.
Os sistemas de comunicação óptica, baseados nas fibras ópticas de baixas perdas,
constituem o outro passo tecnológico decisivo na evolução da Fotónica.
2a
2n1n
Fibra Óptica
Relatório de Fotónica
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As fibras ópticas dos anos 60 apresentavam perdas superiores a 1000 dB/km (os cabos
coaxiais exibiam cerca de 5-10 dB/km). Foi preciso um longo processo tecnológico para se
chegar até às fibras ópticas de baixas perdas (cerca de 0.2 dB/km perto do comprimento de
onda de 1.55 µm). Os primeiros sistemas de comunicação óptica disponíveis comercialmente
datam de 1980. O primeiro cabo submarino transatlântico com fibra óptica, o TAT-8,
começou a sua operação em 1988.
Jeff Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics. New York: Oxford University
Press, 1999.
Em 2006 a companhia japonesa NTT (Nippon Telegraph and Telephone Corporation)
anunciou que tinha conseguido fazer a demonstração de uma ligação com um débito binário
de 14 Tb/s (111 Gb/s com 140 canais WDM) para uma distância de 160 km sobre uma única
fibra óptica.
Na tabela seguinte indicam-se as «janelas» de transmissão utilizadas nos sistemas de
comunicação óptica.
Banda Comprimento de onda [nm]
O Original 1260 – 1360
E Extended 1360 – 1460
S Short 1460 – 1530
C Conventional 1530 – 1565
L Long 1565 – 1625
U Ultra-long 1625 – 1675
Note-se que, quando se definiu a Fotónica, não se falou em domínio óptico: quando se
fala em fotão está subentendido, quase sempre, que se está a operar no domínio óptico do
10 Carlos R. Paiva
espectro electromagnético. Este domínio não se limita, obviamente, às bandas ITU dos
sistemas de comunicação óptica.
De uma forma relativamente vaga é possível estabelecer o domínio óptico como a zona
espectral das frequências entre as microondas e os raios X, incluindo o espectro do visível
(380-750 nm) e estendendo-se até às zonas do ultravioleta (abaixo dos 380 nm) e do
infravermelho (acima dos 750 nm). O infravermelho estende-se desde 700 nm até 1 mm. O
ultravioleta, por sua vez, vai desde 400 nm até 10 nm. Os raios X, já fora do domínio óptico,
Consideremos um sistema de comunicação digital.
Admitamos que o débito binário B é cerca de 1% da
frequência 0f da portadora, i.e., tem-se 00.01B f= × .
Suponhamos que a informação se encontra organizada em
canais de audio a 0 64 kb/sB = . Comparemos, então, a
capacidade de informação em Fotónica com a que se verifica
em Microondas.
Em Microondas, para uma portadora 0 5 GHzf = , o
números total de canais será 0 800N B B= ≈ .
Em Fotónica, para uma portadora 0 1.55 µmc fλ = = ,
o número total de canais será 70 3 10N B B= ≈ × .
Relatório de Fotónica
11
abrangem a zona compreendia entre 10 nm e 0.01 nm. As microondas, também fora do
domínio óptico, incluem UHF (0.3-3 GHz), SHF (3-30 GHz) e EHF (30-300 GHz).
Na evolução histórica da Fotónica muitos outros acontecimentos poderiam ser aqui
referidos. Vamos, porém, mencionar apenas mais dois: (i) os solitões ópticos; (ii) as fibras
amplificadoras dopadas com érbio ou EDFAs.
Os solitões ópticos têm uma dupla importância em termos da Fotónica:
• Constituem um exemplo teórico importante da Óptica Não-Linear, ao ponto de
poderem ser considerados como uma área específica própria de investigação em
Fotónica.
• As aplicações dos solitões ópticos compreendem várias sub-áreas: solitões
espaciais; solitões temporais (nomeadamente em fibras ópticas); solitões escuros;
solitões vectoriais; solitões em cristais fotónicos; solitões em acopladores não-
lineares; solitões paramétricos; etc.
Cor Comprimento de Onda
violeta 380–450 nm
azul 450–495 nm
verde 495–570 nm
amarelo 570–590 nm
laranja 590–620 nm
vermelho 620–750 nm
Domínio Óptico Visível
12 Carlos R. Paiva
Banda Comprimento de onda
EUV 10 nm – 120 nm
FUV 120 nm – 200 nm
MUV 200 nm – 300 nm UV
NUV 300 nm – 400 nm
VS 400 nm – 750 nm
NIR 0.75 µm – 1.4 µm
SWIR 1.4 µm – 3 µm
MWIR 3 µm – 8 µm
LWIR 8 µm – 15 µm
IR
FIR 15 µm – 1 mm
Existem vários livros que abordam estes aspectos diversificados dos solitões ópticos. Entre
eles destacam-se os seguintes:
Linn F. Mollenauer and James P. Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals
and Applications. San Diego, CA: Academic Press, 2006
Yuri S. Kivshar and Govind P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to Photonic
Crystals. San Diego, CA: Academic Press, Elsevier, 2003
Nail N. Akhmediev and Adrian Ankiewicz, Solitons: Nonlinear Pulses and Beams.
London: Chapman & Hall, 1997
Eugenio Iannone, Francesco Matera, Antonio Mecozzi, and Marina Settembre,
Nonlinear Optical Communication Networks. New York: Wiley, 1998
Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Comunications. New York:
Oxford University Press, 1995
Relatório de Fotónica
13
Entretanto, dado que os solitões ocorrem em muias áreas científicas para além da óptica,
existem vários livros que abordam os solitões sob esta perspectiva mais geral. Citam-se, entre
eles:
P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge
University Press, 1989
Mark J. Ablowitz and Harvey Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform.
Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1981
G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley, 1999.
Uma revolução assinalável, do ponto de vista dos sistemas de comunicação óptica, foi
o aparecimento das fibras amplificadoras dopadas com (iões) de érbio ou EDFAs em 1989.
Esta revolução tem essencialmente a ver com a amplificação óptica – dispensando, deste
modo, a electrónica (que trabalha, necessariamente, em frequências não-ópticas, muito mais
baixas). Uma EDFA é, basicamente, uma fibra óptica que funciona como um amplificador
laser e que, por sua vez, utiliza lasers semicondutores para o seu bombeamento (em duas
bandas: 980 nm e 1480 nm). As EDFAs podem trabalhar quer na banda C (entre 1525 nm e
1565 nm, aproximadamente) quer na banda L (entre 1570 nm e 1610 nm, aproximadamente).
Existe uma vasta literatura sobre amplificação óptica e, mais especificamente, sobre EDFAs.
Refere-se, aqui, apenas um clássico sobre este assunto (outras versões mais recentes deste
livro apareceram entretanto):
Emmanuel Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers: Principles and Applications.
New York: Wiley, 1994
Não pertencendo a Fotónica (aqui entendida, stricto sensu, como a disciplina de que
trata este relatório) à área científica de sistemas, é natural que os sistemas de comunicação
óptica não façam parte do respectivo programa. Existem vários livros dedicados a este tópico
específico. Refere-se, apenas, aquele que – na minha opinião – é (ainda) o melhor livro
existente para esta área (dos SCO):
Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,
2002.
14 Carlos R. Paiva
O fotão é uma particula da mecânica quântica. Mais precisamente: da electrodinâmica
quântica ou QED (quantum electrodynamics). No âmbito da óptica quântica, o fotão é uma
partícula de massa (considerada) nula e que, portanto, tem (sempre) – em qualquer referencial
de inércia (imerso no vácuo) – a velocidade (por definição)
velocidade do fotão 299 792 458 m/sc→ = .
Partícula Onda
Radiação
Matéria
E ω
p k
MAXWELLEINSTEIN
de BROGLIE TEORIA ATÓMICA
Relatório de Fotónica
15
c p
20 mc=E
E
K
0E
θ
Dinâmica relativista de uma partícula
2 2 20
2 2 20
02
0 0
0 0
2 2
1cos 1
sin
sec
pp
g
gp
c pp k c k
p mv
c p cv
v k pd dvdk d p
d c p cv vd p v
ω
ω ω
γγ
θ βωγ
ωθ β
ωωθ γω
= +== = +
==
= = −=
= = = = =
= == = =
= = = =
E EE
E E
E
E
E
EE
E
E
E
0 0 Kγ= = +E E E
16 Carlos R. Paiva
No âmbito da mecânica relativista uma partícula material tem uma energia total, num
dado referencial de inércia, E . Essa energia relaciona-se com a sua energia própria (ou
intrínseca) 0E , medida no seu referencial próprio, através da relação 0γ=E E . A sua energia
cinética é, então, dada por ( )0 01K γ= − = −E E E , i.e.,
( )( )
( )
( )
2
2
2
22
1
2 4 6 2
4 62
2 4
1
1 11
1 1! 2
1 3 152 8 48
1 3 152 8 48
n
n
K mc
mc
mc nn
mc
v vmv m mc c
γ
β
βπ
β β β
∞
=
= −
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞= Γ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
∑
o que mostra como, quando 1β , se recupera efectivamente a expressão newtoniana
212
c K mv→∞ ⇒ = .
No dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie, existe a correspondência ω=E e
p k= , onde p é o momento linear da partícula de velocidade v . O feixe de ondas que está
associado à partícula tem uma velocidade de grupo gv v= . A frequência da portadora será
então
2 2 22
2 pp
B g
v c c c pf v k k kv v v
πω π
λ= = = = = = =
E .
No referencial próprio da partícula existe apenas uma oscilação harmónica de frequência 0ω
tal que
Relatório de Fotónica
17
2
0 0 00 0 2 22 mcf m
c cωω π= = = → = =
E E .
No caso do fotão, que tem uma massa 0m = , é 0 0=E e 0 0ω = , K=E , p gv v v c= = = ,
tendo-se portanto
0c p
mc kω
== →
=E
o que mostra que qualquer fotão possui um momento linear – como revela quer o efeito
fotoeléctrico quer o efeito Compton.
0 h fm pc c c
ω= → = = =
E .
“Récemment, j’ai entendu un collègue de l’Académie vanter les mérites de sa
discipline en faisant état du chiffre d’affaires réalisé en France par le secteur
industriel correspondant: argument, selon mon propre point de vue, tout
simplement monstrueux et m’amenant à souhaiter une ségrégation plus nette
entre la science proprement dite et ses applications technologiques.”
René Thom, Paraboles et Catastrophes. Paris: Flammarion, 1983 (p. 13)
18 Carlos R. Paiva
“Matter is composed of fermions, while the fundamental unit of light, the
photon, is the typical boson. A fermion can emit or absorb a boson, and, in the
process, it can either remain unchanged or transform itself into another
fermion. In this sense physicists speak of bosons acting on fermions. The
shuttling of bosons back and forth between fermions produces the forces we
observe.”
Anthony Zee, Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics.
Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007 (p. 270)
“Maxwell’s 1873 Treatise on Electricity and Magnetism is difficult to read,
because it is based on the idea that electric and magnetic fields represent
tensions in a physical medium, the ether, in which we no longer believe. In this
respect, Maxwell is pre-Maxwellian. (…) Maxwellianism – the theory of
electricity, magnetism, and light that is based on Maxwell’s work – reached its
mature form (which does not require reference to an ether) by 1900, and it is
this mature Maxwellianism that we teach our students. Later they take courses
on quantum mechanics in which they learn that light is composed of particles
called photons, and that Maxwell’s equations are only approximate; but this
does not prevent them from continuing to understand and use Maxwellian
electrodynamics where appropriate.”
Steven Weinberg, Facing Up: Science and Its Cultural Adversaries.
Cambridge, MA: Harvard University Press, 2001 (pp. 195-196)
Relatório de Fotónica
19
O objectivo essencial da disciplina de Fotónica é o de ensinar alguns conceitos
fundamentais.
Óptica geométrica: métodos variacionais.
Feixes ópticos.
Teoria elementar da dispersão. Introdução aos metamateriais com índice de
refracção negativo.
Cristais fotónicos.
Análise modal de guias dieléctricos planares.
Interacção entre fotões e átomos: amplificação e oscilação laser.
Lasers semicondutores.
Introdução à mecânica quântica.
Fibras ópticas: regimes linear e não-linear. Solitões em fibras ópticas.
Meios anisotrópicos. Efeito electro-óptico.
Óptica relativista. Meios em movimento.
É dada especial atenção à simulação numérica: equações das taxas em lasers
semicondutores; diagramas de dispersão; modelo de Kronig-Penney; propagação de
impulsos em fibras ópticas (regimes linear e não-linear).
Introduz-se a álgebra geométrica (de Clifford) no plano, no espaço e no espaço-
tempo de Minkowski. Consideram-se as duas aplicações seguintes: (i) meios
anisotrópicos; (ii) óptica relativista.
20 Carlos R. Paiva
A disciplina de Fotónica pretende ensinar alguns conceitos fundamentais desta área científica.
Alguns desses conceitos são apresentados da forma que é habitual. Outros, porém, são
apresentados de forma heterodoxa: quer os meios anisotrópicos quer a óptica relativista são
analisados segundo uma perspectiva pedagógica inovadora: utiliza-se, em ambos os casos, a
álgebra geométrica (de Clifford).
A programação (e.g., usando MATLAB) é um instrumento fundamental desta disciplina. Em
vários capítulos é necessário o recurso a um computador para a resolução numérica de
determinados problemas. Listam-se, de seguida, alguns tópicos que requerem programação.
Resolução numérica das equações das taxas (lasers semicondutores com modulação
directa da corrente de injecção)
Bandas de energia no modelo de Kronig-Penney (resolução da equação de Schrödinger
independente do tempo em mecânica quântica)
Resolução numérica das equações modais de guias ópticos (quer no caso dos guias
planares quer no caso das fibras ópticas) e representação gráfica (diagramas
operacionais e diagramas de dispersão)
Simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas (quer no regime
linear quer no regime não-linear).
Bibliografia sobre MATLAB G. Lindfield and J. Penny, Numerical Methods Using MATLAB. London: Ellis
Horwood, 1995
Ting-Chung Poon and Taegeun Kim, Engineering Optics with MATLAB®.
Singapore: World Scientific, 2006
Relatório de Fotónica
21
O objectivo de introduzir a álgebra geométrica é o de mostrar como esta estrutura matemática
permite tratar, de forma unificada, matérias (aparentemente) sem relação entre si. Com efeito,
a álgebra geométrica constitui-se como uma linguagem universal. Através desta nova
linguagem matemática é possível tratar (entre outros): mecânica newtoniana; processamento
de sinais; robótica; ciência dos computadores; electrodinâmica clássica; relatividade restrita;
mecânica quântica; geometrias não-euclidianas; relatividade geral; electrodinâmica quântica.
Bibliografia sobre álgebra geométrica Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2001
David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:
Cambridge University Press, 2003
Leo Dorst, Daniel Fontijne, and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer
Science. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007
William E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach. Boston:
Birkhäuser, 1999
Rafał Abłamowicz and Garret Sobczyk, Lectures on Clifford (Geometric) Algebras
and Applications. Boston: Birkhäuser, 2004
William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With Applications in
Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996
David Hestenes and Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A
Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1984.
22 Carlos R. Paiva
1e 2e 12e
1e 1 12e 2e
2e 12−e 1 1−e
12e 2−e 1e 1−
Tabela multiplicativa em 2C
12 1 2 1 2= = ∧e e e e e
( )
( )2
2
simetriaanti-simetria
1212
= ⋅ + ∧
→ ⋅ = ⋅→ ∧ = − ∧
⋅ = + ∈= ⋅ + ∧→
= ⋅ − ∧∧ = − ∈
ab a b a b
a b b aa b b a
a b ab baab a b a bba a b b a a b ab ba ∧
( )( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2 2 1
21 2 2
22
2 21 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 21 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2
1
base ortonormada de vectores do plano ,
1, 0
produto geométrico
0
x y C
x y x y x y x y
x y x y x y x y
→
= = ⋅ = ⋅ =
= + ∈ ⊂
→ = =
= + + = + + +
= + = + ⋅ + = +
∴ + = ⇒ = −
e e
e e e e e e
r e e
r rr r
rr e e e e e e e e
r e e e e e e
e e e e e e e e
e( ) ( )( ) ( )( )2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1= = − = − = −e e e e e e e e e e e
Relatório de Fotónica
23
1 2 12BASE : 1 ,
escalares vectores pseudoescalares
e e e
( )2
2
20 1 2
0
1
122
11 1 dim
1 2 1
22 2
escalar
2 vector
22 pseudoescalar
1 2 1 4C
Cu u u u C
u
u
u
α
β
→
→
→
→
= + + =
= ⊕ ⊕= + + ∈
= ∈
= ∈
= = ∈
∧
∧a
F e
24 Carlos R. Paiva
1 2 3 23 31 12 123BASE : 1 , , , ,
escalares vectores bivectores pseudoescalares
e e e e e e e
( )3
3
30 1 2 3
0
1
2
1233
11 1
dim1 2 1
1 3 3 1
2 33 3 3
escalar
3 vector
23 bivector
33 pseudoescalar
1 3 3 1 8C
Cu u u u u C
u
u
u
u
α
β
→
→
→
→
→
= + + + =
= ⊕ ⊕ ⊕= + + + ∈
= ∈
= ∈
= ∈
= = ∈
∧ ∧
∧∧
a
F
V e
Relatório de Fotónica
25
a
b
×c = a b
∧F = a b
3 : produto exterior e produto externoC
a
b
c∧ ∧V = a b c
33 : pseudoescalar (ou elemento de volume) em C
26 Carlos R. Paiva
0 1 2 3 10 20 30 12 13 23 012 013 023 123 01231 , , , , , , , , , , ,
escalares vectores bivectores trivectores pseudoescalares
=e e e e e e e e e e e e e e I e
( )3
2 3 44 4 4 4
1,3
1,30 1 2 3 4
0
1
2
3
4
dim 1 4 6 4 1 16
escalarvectorbivectortrivectorpse
11 1
1 2 11 3 3 1
1
udoes
4 6 4 1
calar
C
C
u u u u u u C
uuuuu
α
= + + + + =
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
= + + + + ∈
= →= →= →= →= →
→
aFTV
∧ ∧ ∧
202 2 21 2 3
1métrica de Lorentz
1=
→= = = −
ee e e
Relatório de Fotónica
27
Quando se passa do espaço tridimensional ordinário para o espaço-tempo
quadridimensional de Minkowski é necessário adoptar uma métrica diferente. No espaço
tridimensional ordinário está implícita uma métrica euclideana. No espaço quadridimensional
de Minkowski a métrica deixa de ser definidia positiva – é uma métrica de Lorentz. Uma
consequência imediata disto é o conhecido «paradoxo» dos gémeos (ou dos relógios). Na
realidade não se trata de um verdadeiro paradoxo: é, apenas, uma manifestação de uma nova
métrica não-euclidiana – a métrica de Lorentz. Naturalmente que este tipo de problema se
torna fundamental em relatividade geral onde o espaço deixa de ter uma métrica rígida
(espaço plano) para ter uma métrica flexível (espaço curvo).
É claro que se pode perguntar: mas qual é a relevância disto para a Engenharia
Electrotécnica? A resposta é a seguinte:
Em primeiro lugar, o comportamento electromagnético é regido – ao nível
macroscópico – pelas equações de Maxwell. As equações de Maxwell, no âmbito do
grupo de Lorentz, têm uma relação íntima com a teoria da relatividade restrita.
Perceber essa relação é perceber a própria essência das equações de Maxwell.
Por exemplo, quando se estudam os metamateriais necessários para tornar invísivel
uma determinada região do espaço (invisibility cloaking), a métrica é – tal como em
relatividade geral – uma métrica flexível correspondente à curvatura do espaço.
“Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on
space, telling it how to curve.”
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation. San
Francisco: Freeman, 1973 (p. 5)
28 Carlos R. Paiva
Ulf Leonhardt and Thomas G. Philbin, “General relativity in electrical engineering,”
New Journal of Physics, Vol. 8, p. 247, 2006, doi: 10.1088/1367-2630/8/10/247
Marco A. Ribeiro and Carlos R. Paiva, “An equivalence principle for electromagnetics
through Clifford’s geometric algebras,” Metamaterials, Vol. 2, pp. 77-91, March
2008, doi: 10.1016/j.metmat.2008.03.02
Existe alguma polémica na literatura sobre a relação entre as equações de Maxwell e a
teoria da relatividade restrita. Para certos autores, todo o edifício electromagnético pode ser
construído a partir da lei de Coulomb – considerada como axioma – bastando, depois,
acrescentar os postulados da teoria da relatividade. É o que se faz em:
Moses Fayngold, Special Relativity and How it Works. Weinheim: Wiley-VCH, 2008
(Chapter 6)
Para outros autores, porém, tal não é possível. Uma breve discussão deste ponto pode
encontrar-se em:
Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC
Press, 2001 (p. 42).
Porém, na minha opinião, não existe uma verdadeira contradição entre estas duas
perspectivas. Com efeito, na electrodinâmica clássica é possível isolar a sua estrutura não-
métrica – estrutura a que se pode chamar electrodinâmica pré-métrica. Nesta separação, é
possível escrever as duas equações de Maxwell num espaço-tempo quadridimensional nu
(i.e., desprovido de métrica) de acordo com uma aximomática baseada em princípios de
conservação. Assim, toda a questão relacionada com a métrica é relegada para a relação
constitutiva no espaço-tempo. Deste modo, a relação entre as equações de Maxwell e a
relatividade restrita é deslocada para uma zona secundária, na periferia da teoria, que nada
tem a ver com a essência estrutural das equações. Dada a sua importância, sublinhemos o
seguinte aspecto: é possível escrever as duas equações de Maxwell (homogénea e não-
homogénea) no espaço-tempo de forma independente de qualquer métrica, de modo que estas
duas equações são, simultaneamente, válidas quer em relatividade restrita quer em
Relatório de Fotónica
29
relatividade geral. Esta construção é possível através do formalismo matemático das formas
diferenciais tal como se explica em:
Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, Foundations of Classical Electrodynamics:
Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003
Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, “Spacetime metric from local and linear
electrodynamics: A new axiomatic scheme,” in: J. Ehlers and C. Lämmerzahl, Editors,
Special Relativity: Will it Survive the Next 101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006
(pp. 163-187).
“Our formalism can accommodate generalizations of classical
electrodynamics, including those violating Lorentz invariance, simply by
suitably modifying the fifth axiom while keeping the first four axioms as
indispensable.” (p. 5)
“In the conventional approach to electrodynamics, the Poincaré group is an
essential ingredient for cooking up the formalism of electrodynamics. In the
general covariant approach, with electric charge and magnetic flux
conservation as its basis, which we have followed, the metric is distilled from a
linear spacetime relation with reciprocity and symmetry as additives. The
metric, and thus the gravitational potential, is a derived concept. The metric
gets its meaning from electrodynamics; it is not a fundamental field.” (p. 303)
Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukhov, Foundations of Classical
Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003
30 Carlos R. Paiva
A escrita habitual das equações de Maxwell, no espaço tridimensional ordinário,
esconde a sua verdadeira estrutura. Com efeito, as quatro equações – escritas em termos dos
operadores tridimensionais rotacional e divergência – pressupõe uma dada estrutura métrica
para o espaço-tempo.
Podemos argumentar – com razão – que esta é a forma mais aconselhável para iniciar
o estudo do electromagnetismo (nomeadamente no primeiro ciclo do ensino superior). De
facto, o significado dos operadores diferenciais divergência, rotacional e gradiente permite,
através da utilização dos teoremas integrais (de Stokes e da divergência), uma interpretação
sólida da teoria.
Alfredo Barbosa Henriques e Jorge Crispim Romão, Electromagnetismo. Lisboa: IST
Press, 2006
Paul Charles Matthews, Vector Calculus. London: Springer-Verlag, 1998
Harry Moritz Schey, Div, Grad, Curl, and All That. New York: W. W. Norton, 4th
ed., 2005
Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford: Oxford
University Press, 2000.
equação de Maxwell-Faraday
lei de Gauss magnética 0
equação de Maxwell-Ampère
lei de Gauss
t
t
ρ
∂→ ∇× = −
∂
→ ∇ ⋅ =
∂→ ∇× = +
∂
→ ∇ ⋅ =
BE
B
DH J
D
Relatório de Fotónica
31
O estudioso do electromagnetismo encontra, na literatura, excelentes livros onde pode
aprofundar os seus conhecimentos.
0 2
0
equação de Maxwell-Faraday
lei de Gauss magnética 0
1equação de Maxwell-Ampère
lei de Gauss
t
t
t
c tµ
ρε
∂→ ∇× = −
∂
→ ∇ ⋅ =
∂→ ∇× = +
∂
→ ∇ ⋅ =
BE
B
EB J
E
p t p
p
t p m
m
t
ρ ρ ρ ρ= −∇ ⋅ → = +
∂=∂
→ = + +=∇×
P
PJJ J J J
J M
0
0
1
ε
µ
= +
= −
D E P
H B M
32 Carlos R. Paiva
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0
0 0
, exp00 exp
0 0
t i t
iω
ω
ωρ
ω ω
=ℜ −== = ⋅
× = × = −⋅ = ⋅ =
E r E rJ E r E k r
k E B k H Dk D k B
Ondas planas e monocromáticas em regiões sem fontes
“The Boffi equations are mathematically appealing since they now specify both
the curl and divergence of the two field quantities E and B . By the Helmholtz
theorem we know that a field vector is uniquely specified when both its curl
and divergence are given. But this assumes that the equivalent sources
produced by P and M are true source fields in the same sense as J .”
Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL:
CRC Press, 2001 (p. 46)
“So Maxwell had four field vectors – E , D , B , and H – the D and H were
hidden ways of not paying attention to what was going inside the material. You
will find the equations written this way in many places.”
Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman
Lectures on Physics – Vol. II: Mainly Electromagnetism and Matter.
Reading, MA: Addison-Wesley, 1964 (pp. 32-4 – 32-5)
Relatório de Fotónica
33
Bibliografia sobre electromagnetismo Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman
Lectures on Physics – Volume II: Mainly Electromagnetism and Matter. Reading,
MA: Addison-Wesley, 1964
Robert S. Elliot, Electromagnetics: History, Theory, and Applications. New York:
IEEE Press, 1993
Paul Lorrain, Dale Corson, e François Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas.
Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2000
J. A. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering.
Chichester: Wiley, 2008
David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics. Reading, MA: Addison-Wesley,
2nd ed., 1989
David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics. Upper Saddle River, NJ:
Prentice-Hall, 3rd ed., 1999
Attay Kovetz, Electromagnetic Theory. Oxford: Oxford University Press, 2000
Harald J. W. Müller-Kirsten, Electrodynamics: An Introduction Including Quantum
Effects. Singapore: World Scientific, 2004
John David Jackson, Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 3rd ed., 1999
Ismo V. Lindell, Methods for Electromagnetic Field Analysis. New York: IEEE
Press, 1992
Lev Davidovich Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. London:
Butterworth-Heinemann, 4th revised English edition, 1975
Hollis C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach.
New York: McGraw-Hill, 1985
Robert E. Collin, Field Theory of Guided Waves. New York: IEEE Press, 2nd ed.,
1991
Edward J. Rothwell and Michael J. Cloud, Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC
Press, 2001
Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing,
2005
Jean Van Bladel, Electromagnetic Fields. Hoboken, NJ: IEEE/Wiley, 2nd ed., 2007.
34 Carlos R. Paiva
Ainda hoje se pode (e deve) recomendar a leitura do tratado inaugural do próprio
Maxwell.
James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism – Vol. 1. New York:
Dover, (1891) 1954
James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism – Vol. 2. New York:
Dover, (1891) 1954.
A estrutura matemática e formal de uma teoria pode não ser irrelevante. Pode, mesmo
em alguns casos, constituir um instrumento fundamental para que a própria essência de uma
dada teoria possa aparecer, de forma transparente e inequívoca, assim revelando aspectos que
– de outro modo – permaneceriam obnubilados por formalismos arcaicos.
“Forms illuminate electromagnetism, and electromagnetism illuminates
forms.”
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation.
San Francisco: Freeman, 1973 (p. 105)
“I wish to create the impression in my readers that the true mathematical
structure of these entities will appear only now, as in a mountain landscape
when the fog lifts.”
Arnold Sommerfeld, Electrodynamics. New York: Academic Press, 1952 (p.
212)
Relatório de Fotónica
35
“The possibility that mathematical tools used today were invented to solve
problems in the past and might not be well suited for current problems is never
considered.”
David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the
Mathematical Language of Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71,
Issue 2, pp. 104-121, February 2003
“Mathematicians had few misconceptions, and Atyah and others developed
Clifford algebra as a powerful tool for geometry. Even in these developments,
however, the emphasis was usually on Clifford algebra as an extra tool on top
of the standard techniques for solving geometric problems. The algebra was
seldom used as a complete language for geometry. The picture first started to
change when Hestenes recovered Clifford’s original interpretation of the Pauli
matrices. This led Hestenes to question whether the appearance of a Clifford
algebra was telling us something about the underlying structure of quantum
theory. Hestenes then went out to promote the universal nature of the algebra,
which he publicised in a series of books and papers. Acceptance of this view is
growing and, while not everyone is in full agreement, it is now hard to find an
area of physics to which geometric algebra cannot or has not been applied
without some degree of success.”
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists.
Cambridge: Cambridge University Press, 2005 (pp. 123-124)
36 Carlos R. Paiva
As equações de Maxwell, na álgebra geométrica 1,3C do espaço-tempo
quadridimensional plano de Minkowski, dependem da métrica de Lorentz.
1,3Espaço-tempo de Minkowski: C
2
1,3 00 1 2 3 2 2 2
1 2 3
1, , ,
1=
→ →= = = −
ee e e e
e e e
0
0
0
0
intensidade do campo eléctrico
intensidade do campo magnético
excitação eléctrica
excitação magnética
1bivector de Faraday
1bivector de Maxwell
densidade de carga
E
B
D
H
c
c
→ =
→ =
→ =
→ =
→ = +
→ = +
E e
B e
D e
H e
F E I B
G D I H
01-corrente eléctrica Jc
ρ→ = +J e
1 2 31 2 3
0
operadores diferenciais1
x x x
c t
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂→
∂∂ = −∇
∂
e e e
e
equação homogénea de Maxwell 0equação não-homogénea de Maxwell
→ ∂∧ =→ ∂ =
FG J
Relatório de Fotónica
37
É possível escrever as duas equações de Maxwell (homogénea e não-homogénea) de
forma independente de qualquer métrica – electrodinâmica pré-métrica. A variedade X
quadridimensional é nua: nela não está definida qualquer métrica (ou conexão). Existe uma
foliação 1 3+ que separa a parte transversal (espaço) da parte longitudinal (tempo).
FORMAS DIFERENCIAIS
Electrodinâmica pré - métrica
intensidade do campo EM forma-2excitação do campo EM forma-2densidade de carga-corrente forma-3
FGJ
→ →→ →→ →
2
derivada exterior
forma forma 1
nilpotência 0
d
dp p
d
→
⎯⎯→ +
=
equação homogénea de Maxwell 0equação não-homogénea de Maxwell
d Fd G J
→ =→ =
0 é uma forma exactaé uma forma fechada
dd
ω ωω ϕ ω
= →= →
Teorema de StokesX X
dω ω∂
→ =∫ ∫
38 Carlos R. Paiva
Bibliografia sobre formas diferenciais Ismo V. Lindell, Differential Forms in Electromagnetics. Hoboken, NJ: IEEE/Wiley,
2004
Steven H. Weintraub, Differential Forms: A Complement to Vector Calculus. San
Diego, CA: Academic Press, 1997
Shigeyuki Morita, Geometry of Differential Forms. Providence, RI: American
Mathematical Society, 2001
David Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms. Boston: Birkhäuser,
2006
Manfredo P. do Carmo, Differential Forms and Applications. Berlin: Springer-
Verelag, 1994
Henri Cartan, Differential Forms. New York: Dover, (1971) 2006
Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. New
York: Dover (1963) 1989
S. S. Chern, W. H. Chen, and K. S. Lam, Lectures on Differential Geometry.
Sigapore: World Scientific, 1999
Paul W. Gross and P. Robert Koyiuga, Electromagnetic Theory and Computation: A
Topological Approach. New York: Cambridge University Press (Mathematical
Sciences Research Institute), 2004
Bernard Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1980
Chris J. Isham, Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore: World
Scientific, 2nd ed., 2003
Walter Thirring, Classical Mathematical Physics: Dynamical Systems and Field
Theories. New York: Springer-Verlag, 3rd ed., 1997
Peter Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics: Groups, Hilbert Space
and Differential Geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 2004
Georges de Rham, Variétés Différentiables: Formes, Courants, Formes
Harmoniques. Paris: Hermann, 3ème edition, 1973.
Relatório de Fotónica
39
Dimensionamento O programa de Fotónica encontra-se dimensionado para um semestre lectivo com um total de
14 semanas de aulas. Em cada semana de aulas existem 2 aulas teóricas (com a duração de 1
hora e 30 minutos cada) e 1 aula prática (também com a duração de 1 hora e 30 minutos
cada). O semestre lectivo corresponde, assim, a um total de 28 aulas teóricas e 14 aulas
práticas.
Aulas Teóricas Nas aulas teóricas apresenta-se a matéria com um ênfase particular na sua fundamentação
teórica:
• Todos os resultados mais importantes são deduzidos a partir de princípios
fundamentais.
• Cada tópico é enquadrado no seu âmbito mais geral.
• Os métodos matemáticos servem não só para permitir um maior aprofundamento
mas também para clarificar o que existe de essencialmente comum em abordagens
que, aparentemente, não têm ligação entre si.
“I am skeptical of claims that [courses with names like «Conceptual Physics»]
are successful in teaching physics concepts without mathematics.”
David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the
mathematical language of physics,” American Journal of Physics, Vol. 71,
Issue 2, pp. 104-121, February 2003
40 Carlos R. Paiva
Comentário Geral Tenta-se evitar um ensino puramente conceptual, sem fundamentação matemática. De facto,
esse tipo de ensino – que evita o formalismo matemático – pode ser mais «fácil», no sentido
em que não exige tanto dos alunos tornando-o, portanto, mais «acessível». Mas, por outro
lado, não fornece as ferramentas necessárias para o seu aprofundamento crítico, reduzido –
em geral – a uma predicação de generalidades infecundas pois não possui os instrumentos
mínimos para se desenvolver e reconstruir. Porém, também não se pode ir ao extremo do
formalismo «seco», desprovido de motivação e arredado dos exemplos concretos: um tal
exercício, puramente formal, é simplesmente cego e sem ambição – reduz-se, na prática, a
uma espécie de «crochet» matemático que não consegue vislumbrar a totalidade do edifício
científico, não conseguindo entender (e portanto, por maioria de razão, não conseguindo
transmitir) nem qual é o seu âmbito nem quais são os seus objectivos.
Aulas Práticas Nas aulas práticas a iniciativa passa do professor para o(a) aluno(a): cada aluno(a) tem de
sentir, por si, as dificuldades naturais da matéria e tentar superá-las. Só assim poderá ter uma
compreensão mais profunda de cada tópico. Porém, as aulas práticas não podem ser meros
exercícios autogestionários: cabe ao professor orientar e apresentar saídas quando um impasse
obnubila ou impede a continuidade fluida da resolução.
Ao organizar o programa de uma disciplina, o maior problema com que se depara o professor
responsável não é a escolha dos tópicos a incluir. O maior problema reside, de facto, numa
decisão fundamental e inexorável: decidir quais os tópicos a excluir, tendo em conta o tempo
disponível. Num ensino a este nível científico existe, em geral, uma quantidade enorme de
livros de texto (textbooks) potencialmente recomendáveis e onde os tópicos fundamentais a
incluir se encontram tratados (com maior ou menor profundidade). O papel do professor
responsável é o de destilar esse conhecimento através das suas idiossincrasias pessoais que
são o resultado do seu percurso próprio (quer como pedagogo quer como investigador) e de
uma mundividência específica irrepetível. Nesse sentido um programa é, também, algo de
Relatório de Fotónica
41
profundamente revelador: de forma consciente ou não, nele se reflecte a própria personalidade
científica (e não só) do organizador (ou, se se prefir, do programador).
Naturalmente que, ao desenhar um programa, se parte de um princípio básico: é
necessário ter uma consciência clara do que é suposto ser o conhecimento médio dos
destinatários – os alunos que vão frequentar a disciplina. Porém, tal coisa – esse
conhecimento médio – é, naturalmente, uma ficção útil: pode não corresponder exactamente a
um dado indívíduo concreto, mas é uma base estatística (mais ou menos vaga) que serve
como hipótese (indispensável) de trabalho. Qual é, então, o perfil expectável desse aluno
imaginário? Trata-se, em primeiro lugar, de alguém que frequentou (com sucesso) as
disciplinas básicas de física, de matemática, de electrónica e de electrotecnica teórica. E que,
em segundo lugar, frequentou (com sucesso) a disciplina de PROE (ver acrónimos no fim),
onde terá aprendido as noções fundamentais de propagação e radiação de ondas
electromagnéticas (em espaço livre, em meios ilimitados, nas interfaces planas entre dois
meios isotrópicos e em guias metálicos e dieléctricos simples).
Por outro lado, que tipo de conhecimento é o que deve constituir a disciplina de
Fotónica? Comecemos por referir a bibliografia básica que, na minha opinião, deve servir de
ponto de referência (ver caixa anexa, na página seguinte).
“Todas estas regras se elaboram e exercem na inspiração do terrível, mas o
terrível possui a sua doçura oblíqua, uma lírica sumptuosidade, uma
exaltação muito pura. As crianças amam as lagartixas com uma crueldade
cheia de paciência e pormenorizado arrebatamento.”
Herberto Helder, Photomaton & Vox. Lisboa: Assírio & Alvim, 3ª. ed., 1995
(pp. 20-21)
42 Carlos R. Paiva
Como é óbvio, é impossível a uma disciplina como Fotónica tratar de todos os
assuntos cobertos nesta bibliografia básica. Há que fazer escolhas, excluir tópicos. Há, até
mesmo, que incluir outros tópicos e outros tipos de abordagem considerados novos ou mesmo
heterodoxos – no sentido em que não fazem parte do que é suposto ser um primeiro curso de
Fotónica (do ponto de vista do que se poderá entender por opinião «média» ou
«mainstream»).
Para se ter uma primeira visão das escolhas implícitas no programa de Fotónica
apresenta-se a seguir uma tabela onde se descreve, de forma sintética, a constituição dos
vários capítulos.
B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of
Photonics (Hoboken, NJ: Wiley, 2nd ed., 2007)
A. Yariv and P. Yeh, Photonics: Optical Electronics in
Modern Communications (New York: Oxford University
Press, 6th ed., 2007)
I. R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction
to Classical and Quantum Optics (Oxford: Oxford
University Press, 2008)
P. Markoš and C. M. Soukoulis, Wave Propagation: From
Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials
(Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008)
Relatório de Fotónica
43
PROGRAMA DE FOTÓNICA
CAPÍTULO TÍTULO DO CAPÍTULO AULAS
TEÓRICAS
1 Introdução 1
2 Métodos variacionais 2
3 Teoria elementar da dispersão 2
4 Cristais fotónicos 2
5 Interacção entre fotões e átomos 2
6 Lasers semicondutores 2
7 Feixes ópticos 1
8 Introdução à mecânica quântica 3
9 Guias ópticos planares 1
10 Fibras ópticas 3
11 Solitões em fibras ópticas 1
12 Introdução à álgebra geométrica 2
13 Meios anisotrópicos 2
14 Efeito electro-óptico 1
15 Óptica relativista 3
Número total de aulas teóricas 28
Muitos dos capítulos dariam, quando individualmente considerados, para outros tantos
cursos só sobre cada um desses temas específicos. Porém, não é esse o objectivos desta
disciplina. Existem ainda tópicos que tiveram de ser excluídos, de forma a dar lugar a outros
que (até) não costumam integrar o programa típico de um primeiro curso de Fotónica. Por
exemplo: apesar de terem pertencido em anos anteriores ao programa de Fotónica, foram
excluídos assuntos (inegavelmente importantes) tais como a teoria da fotodetecção e as fibras
amplificadoras dopadas com érbio (as EDFAs). Em contrapartida, tópicos novos – tais como
os cristais fotónicos, a introdução à mecânica quântica e a óptica relativista – passaram a
44 Carlos R. Paiva
integrar o programa. Com efeito, o programa de uma disciplina deve ser encarado como uma
espécie de organismo vivo que se adapta às novas realidades do mundo da investigação
científica e tecnológica – sem, com isso, se tornar no palco volátil das vanguardas e dos
«modismos» do momento. Mas é claro que os novos temas referidos não podem ser
considerados vanguardistas: e.g., os cristais fotónicos – que não constavam da primeira edição
(1991) do livro de Saleh e Teich (da bibliografia básica) – integram agora o Capítulo 7 (pp.
243-288) da segunda edição deste livro (2007).
Pode argumentar-se, com razão, que o tal aluno imaginário (com um perfil expectável)
e que se inscreve em Fotónica já teve exposição suficiente (através das disciplinas da física)
em dois tópicos que, aparentemente, não deveriam integrar o programa: mecânica quântica e
relatividade restrita. Em relação a ambos os tópicos, respondo da seguinte forma: sendo
verdade que, nas disciplinas de física, os alunos já tiveram contacto com esses dois assuntos,
diz a minha experiência pedagógica que – quando frequentam Fotónica – são poucos (diria
mesmo: raros) os alunos que (ainda) têm ideias (minimamente) coerentes sobre mecânica
quântica e relatividade restrita. A mecânica quântica é – até mais do que a relatividade restrita
– um tópico que pouco cativa a imaginação desses alunos. A aparente justificação para este
estranho estado de coisas é a seguinte: e.g., o chamado «paradoxo» dos gémeos da
relatividade restrita tem, na construção e evolução intelectual desses alunos, um efeito mais
duradouro do que a «estranheza» do mundo quântico. Existe uma vaga recordação de uma
equação que (poucos, para ser optimista) sabem como apareceu (refiro-me, naturalmente, à
equação de Schrödinger). Existe, ainda, uma relação (muito) pouco clara com os efeitos não-
clássicos, e.g.: (i) a penetração «proibida», à luz da física clássica, de uma barreira de
potencial; (ii) a quantificação da energia de uma «partícula numa caixa».
Que a mecânica quântica tem, cada vez mais, um papel importante como teoria
fundamental para a Fotónica parece-me inquestionável. Basta citar os lasers para que qualquer
dúvida a esse respeito desapareça. A ideia segundo a qual o tratamento pedagogicamente mais
eficaz para o estudo dos lasers é a teoria semi-clássica, não convence. Sendo verdadeiro este
argumento, não deixa de ser verdade que uma parte do tratamento semi-clássico dos lasers (a
quantificação da energia em níveis discretos ou em bandas de energia no caso dos
semicondutores) continua a ser um mistério para a maioria dos alunos. Os alunos sabem da
existência dessa quantificação mas não entendem (i.e., não sabem explicar) a sua origem.
Isso, porém, não é aceitável: basta consultar o livro de Markoš e Soukoulis (da bibliografia
Relatório de Fotónica
45
básica) para entender a importância do modelo de Kronig-Penney para uma grande
quantidade de dispositivos fotónicos.
Mas e a relatividade restrita? O que justifica a sua presença no programa? Aqui a
resposta é mais difícil de dar de forma directa. Porém, a sua justificação não deixa de ser, do
meu ponto de vista, tão sólida como a que foi dada para a mecânica quântica. Não se trata,
neste caso, de justificar a importância de uma teoria pela sua relevância específica para a
explicação de um conjunto importante de dispositivos ou de efeitos. Trata-se, aqui, de algo
que – não sendo missão específica de Fotónica – é missão que o Autor deste relatório entende
como sua: explicar a própria natureza da teoria electromagnética.
Para a maioria dos alunos não existe uma relação clara entre teoria da relatividade
restrita e teoria electromagnética. Pretende-se, neste último capítulo de Fotónica, colmatar
essa lacuna. Mas isso é feito aproveitando o facto de se ter utilizado a álgebra geométrica do
espaço – a álgebra de Clifford 3C – no estudo dos meios anisotrópicos. Para se estudar a
óptica relativista começa-se por apresentar uma nova álgebra geométrica – a álgebra de
Clifford 1,3C . Cumpre-se, assim, uma outra tarefa cara ao Autor: dar ao electromagnetismo e
à teoria da relatividade restrita uma linguagem matemática que permita levar, até às últimas
consequências, a antevisão célebre de Minkowski sobre a união quadridimensional espaço-
tempo.
“Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into
mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an
independent reality.”
Hermann Minkowski, “Space and Time.” In: H. A. Lorentz, A. Einstein, H.
Weyl, and H. Minkowski, The Principle of Relativity. New York: Dover
(1923) 1952 (p. 75)
46 Carlos R. Paiva
Na álgebra geométrica a métrica não aparece de forma explícita: ela aparece como
uma característica implícita à própria estrutura (i.e., «built-in»). Com efeito, ao definir o
produto geométrico entre dois vectores (qualquer que seja a dimensão do espaço linear onde
residam os vectores a e b ) na forma
produto geométrico produto interno produto exterior
ou de Clifford ou escalar ou de Grassmann
definição universal → = ⋅ + ∧ab a b a b
cria-se uma produto invertível, que tanto se aplica a 2C , a 3C , ou a 1,3C . Com efeito, vem
“One sometimes participant in special relativity will have to be put to the
sword: « 4x ic t= ». This imaginary coordinate was invented to make the
geometry of spacetime look formally as little different as possible from the
geometry of Euclidean space: to make a Lorentz transformation look on paper
like a rotation; and to spare one the distinction that one otherwise is forced to
make between quantities with upper indices (such as the components pµ of the
energy-momentum vector) and quantities with lower indices (such as the
components pµ of the energy-momentum 1-form). However, it is no kindness
to be spared this latter distinctions. (…) In this chapter and hereafter, as
throughout the literature of general relativity, a real time coordinate is used, 0
convx t c t= = (superscript 0 rather than 4 to avoid any possibility of confusion
with the imaginary time coordinate).”
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation.
San Francisco: Freeman, 1973 (p. 51)
Relatório de Fotónica
47
112
11
2
uu
u
−−
−−
= ⎧ =→ = ⇒ ⎨
=⎩=
aa a ba abb b abb
.
Um acontecimento no espaço-tempo quadridimensional de Minkowski é descrito pelo
acontecimento r (vector do espaço quadrático 1,3 ) tal que
( ) 1,3 0,30 ,c t r r= + ∈ ∈r e .
O invariante 2r é imediatamente obtido.
( )( )
22 2
2 2 20 0 2 2 2 2 2 20 0
0 0 22 2
, , 1,
0,
c t rc t r
c t r c t rc t r
c t r
⎧ >⎪= + ⎪⇒ = = − = − <⎨= − ⎪
=⎪⎩
r e er r e e r r r
e r e
1,
= e e
Note-se que, como 0,3r ∈ , se tem sempre ( ) 22r r= − (para 0r ≠ ).
Faz-se, a seguir, uma apresentação dos sumários de cada um dos capítulos do programa de
Fotónica. Em cada capítulo indica-se uma bibliografia básica – i.e., aquela que os alunos
devem consultar. Além disso, também se apresenta um conjunto de sugestões de leituras
adicionais – para que os alunos eventualmente interessados possam aí continuar a sua
formação.
48 Carlos R. Paiva
Capítulo 2
Capítu
Óptica geométrica
Feixes ópticos
Óptica Electromagnéti
lo 7
Capítulo
Conceitosfundamentai
3
Caca
pítulo 13
s
→
→ →
→→
→
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎧⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎩⎩
Cristais fotónicos
Guias ópticos pl
Capítulo 4
Capítulo 9anares
Fibras ópt Capítu
Propag
lo 10icas
Cavid
açãode ondas
electromagnéticaCaades óptic pítulo 5as
s
→
→→
→
⎧⎪⎪⎪⎨
→
⎪⎪⎪⎩
Interacção entre fotões e átomos
Amplificadores laser
Lasers (não-semicondutore
Cap La
s
sers
)
ítulo 8 Capítulo 5
⎧ ⎫⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪⎨→ ⎬→⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎩
Lasers semicondutOptoelect ores Caróni píca tulo 6→ →
Capítulo Dispositi Electro-óptica
Óptica não-linear
14vosfotónico Capítulo s 11
⎧ →⎪→ ⎨→⎪⎩
Meios anisotrópicos
Capítulo 12
Capítulo
Óp
IntroduçãoÁlgebra
geométricaA
tica relativis
13
Capítulo 1plicações
5ta
⎧⎪⎪⎪→ ⎨
⎧⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎩
→
⎩
→→
→
Relatório de Fotónica
49
Nota importante Como se disse atrás, um programa é uma selecção criteriosa de tópicos numa organização
temporal delimitada. Dado que o semestre lectivo se organiza em 28 aulas teóricas e 14 aulas
práticas, existe um imperativo de organização temporal que tem de ser seguido
escrupulosamente – caso contrário o programa é, simplesmente, impraticável. Assim, não é de
admirar que os sumários de certos capítulos possam parecer inexequíveis para o número de
aulas teóricas correspondentes. Existe, porém, uma explicação para essas situações: nesses
casos os sumários, além de indicarem os tópicos efectivamente tratados em pormenor nas
correspondentes aulas teóricas, também servem um outro propósito. Esse propósito é o de
enunciar os tópicos que, apesar de receberem um tratamento meramente indicativo nas aulas
teóricas, são efectivamente desenvolvidos não nas aulas teóricas mas antes nas aulas práticas
ou nos trabalhos de avaliação. Basta consultar os enunciados dos trabalhos de avaliação e os
enunciados dos problemas das aulas práticas para poder inferir quais os casos específicos em
que tais situações têm lugar. De forma a tornar isso ainda mais claro, vejamos um exemplo
paradigmático – o caso do Capítulo 9, com apenas uma aula teórica correspondente. Trata-se,
aqui, de um capítulo em que a matéria que consta do sumário seria obviamente inexequível
se: (i) não existisse o trabalho de avaliação T4 sobre guias ópticos rectangulares (método do
índice de refracção efectivo); (ii) não existissem os problemas da aulas prática 8; (iii) não se
tratasse de um tópico que já foi tratado, pelo menos de forma introdutória, na disciplina de
Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas (que todos os alunos deverão ter
concluído antes de frequentar Fotónica).
Bibliografia complementar Em cada capítulo indica-se uma bibliografia complementar que seria completamente irrealista
esperar que fosse considerada literatura necessária para a compreensão da matéria do capítulo
em questão. Não é disso que se trata. Trata-se, tão somente, de uma indicação fornecida – a
título de sugestões de leitura adicional (further reading) – para os alunos eventualmente
interessados em prosseguir o seu estudo nessas áreas científicas (já fora, ou para além, do
âmbito de Fotónica). É também esse o papel do professor – o de orientar os alunos
interessados em prosseguir um estudo mais aprofundado das matérias que lhes tenham
suscitado maior curiosidade.
50 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica (Evolução da Óptica e da Fotónica) Ralph Baierlein, Newton to Einstein: The Trail of Light. Cambridge: Cambridge
University Press, 1992
Jeff Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics. New York: Oxford University
Press, 1999
Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. New York: Oxford University Press,
2005
Bibliografia complementar (Física) Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of
Theoretical Reasoning in Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed.,
2003
N. David Mermin, It’s About Time: Understanding Einstein’s Relativity. Princeton,
NJ: Princeton University Press, 2005
Bernard Schutz, Gravity From the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity
and General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2003
Introdução Apresentação da disciplina. Electrónica e Fotónica. Evolução histórica da Óptica até
à Fotónica. Alguns aspectos científicos e tecnológicos da Fotónica. Áreas científicas
da Fotónica. Conhecimentos necessários para a frequência da disciplina. Aulas
teóricas e aulas práticas. Programa da disciplina. A importância da programação:
simulação numérica; resolução numérica de equações; apresentação gráfica dos
resultados. Métodos de trabalho, resolução de problemas e regras da avaliação de
conhecimentos. Bibliografia.
Aulas teóricas: 1.
Relatório de Fotónica
51
Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction
to General Relativity. San Francisco, CA: Addison-Wesley, 2000
John Archibald Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime. New York:
Freeman, 1999
Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity. Cambridge: Cambridge
University Press, 1985
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.
New York: Alfred A. Knopf, 2005
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation. San
Francisco, CA: Freeman, 1973
Roland Omnès, Understanding Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1999
Max Born, Atomic Physics. New York: Dover, (1969) 1989
Robert Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,
Nuclei, and Particles. New York: Wiley, 2nd ed., 1985
Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics. Singapore: Thomson
Learning, 1976
A. B. Pippard, The Physics of Vibration. Cambridge: Cambridge University Press,
omnibus edition, 1989
Bibliografia complementar (Matemática) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. New York: Springer-Verlag, 2ndd., 1997
Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra. Lisboa: IST Press, 2004
Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag,
(1974) 1987
Paul R. Halmos, Linear Algebra Problem Book. Washington, DC: The Mathematical
Association of America, 1995
Paul R. Halmos, Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, (1960) 1974
Claude E. Shannon and Warren Weaver, The Mathematical Theory of
Communication. Illinois: University of Illinois Press, (1949) 1998
Tristam Needham, Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press, 1997
Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and
Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2003
52 Carlos R. Paiva
John Stillwell, Mathematics and Its History. New York: Springer-Verlag, 2nd ed.,
2002
Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from the BOOK. Berlin: Springer-
Verlag, 3rd ed., 2004
H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. Hoboken, NJ: Wiley, 2nd Ed., (1969)
1980
Robert Bix, Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves. New
York: Springer, 2nd ed., 2006
Sadri Hassani, Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations.
New York: Springer-Verlag, 2006
William E. Boyle and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. Hoboken, NJ. Wiley, 8thd., 2005
Paul Glendinning, Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of
Nonlinear Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1994
Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1983
J. Campos Ferreira, Introdução à Teoria das Distribuições. Lisboa: Fundação
Calouste Gulbenkian, 1993
Laurent Schwartz, Théorie des Distributions. Paris: Hermann, (1966) 1998
Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction. Cambridge:
Cambridge University Press, 2nd., 2004
Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics. Bristol: IOP Publishing, 2nd ed.,
2003
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products. San
Diego, CA: Academic Press, 6th ed., 2000
Bibliografia complementar (História, Filosofia, Ciência, Epistemologia) Abraham Pais, Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein.
Oxford: Oxford University Press, 2005
Abraham Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World. Oxford:
Oxford University Press, 1986
Anthony Zee, Fearful Symmetry: The Search for Beauty in Modern Physics.
Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007
Relatório de Fotónica
53
John Gribbin, History of Western Science, 1543-2001. London: The Folio Society,
2006
Godfrey Harold Hardy, A Mathematician’s Apology. Cambridge: Canto, Cambridge
University Press, (1940)-(1967) 1992
Charles Darwin, On the Origin of Species. London: The Folio Society, 2006
Richard Dawkins, The Blind Watchmaker. London: The Folio Society, 2007
Karl Raimund Popper, The Logic of Scientific Discovery. London: Routledge, 2002
Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: The University
of Chicago Press, 3rd ed., 1996
Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. London:
Penguin Books, (1979) 1999
Roberto Torretti, The Philosophy of Physics. Cambridge: Cambridge University
Press, 1999
Alan Sokal and Jean Bricmont, Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals’s
Abuse of Science. New York: Picador, 1998
The Sokal Hoax: The Sham That Shook the Academy, Edited by the editors of
Lingua Franca. Lincoln, NE: University of Nebraska Press, 2000
Richard Dawkins, The Oxford Book of Modern Science Writing. Oxford: Oxford
University Press, 2008
54 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Métodos Variacionais. DEEC – IST, 2007/2008
Don S. Lemons, Perfect Form: Variational Principles, Methods, and Applications in
Elementary Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997 (pp. 3-44)
Bibliografia complementar Samuel P. Morgan, “General solution of the Luneberg lens problem,” Journal of
Applied Physics, Vol. 29, No. 9, pp. 1358-1368, September 1958
Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics. Cambridge: Cambridge University
Press, 7th (expanded) edition, 1999
Keigo Iizuka, Engineering Optics. Berlin: Springer-Verlag, 2nd ed., 1987
Robert Weinstock, Calculus of Variations: With Applications to Physics and
Engineering. New York: Dover, (1952) 1974
I. M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations. Mineola, NY: Dover, (1963)
2000
Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. New York: Dover, 4th
ed., (1970) 1986
Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial
College Press, 2004
Métodos variacionais Princípio variacional de Fermat. Problemas elementares: reflexão num espelho; lei
de Snell. Carácter teleológico dos princípios variacionais. Equação de Euler-
Lagrange (uma variável) e casos particulares (primeiros integrais). Generalização a
várias variáveis. O problema da braquistócrona. Aplicações à óptica geométrica:
estruturas planares com índice de refracção variável; raios em fibras ópticas; lente de
Luneberg.
Relatório de Fotónica
55
Jürgen Jost and Xianqing Li-Jost, Calculus of Variations. Cambridge: Cambridge
University Press, 1998
56 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Teoria Elementar da Dispersão. DEEC – IST, 2007/2008
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Sec. 5.5: pp. 170-184)
Carlos R. Paiva, Metamateriais DNG. DEEC – IST, 2007/2008
Bibliografia complementar Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005
Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics. Cambridge: Cambridge University
Press, 7th (expanded) edition, 1999
Martin W. McCall, Akhlesh Lakhtakia, and Werner S. Weiglhofer, “The negative
index of refraction demystified,” European Journal of Physics, Vol. 23, pp. 353-359,
2002
Ari Sihvola, Electromagnetic Mixing Formulas and Applications. London: The
Institute of Electrical Engineers, 1999
Teoria elementar da dispersão Vectores reais (no domínio do tempo) e vectores complexos (no domínio da
frequência). Ondas planas monocromáticas em meios isotrópicos e sem perdas:
ondas uniformes e não-uniformes. Velocidade de fase e velocidade de grupo.
Equações de Maxwell no domínio do tempo e no domínio da frequência.
Causalidade e relações de Kramers-Kronig. Modelo de Lorentz: condutores e
dieléctricos. Equação de Sellmeier. Modelo de Drude e plasmões. Introdução aos
metamateriais DNG: meios com índice de refracção negativo.
Aulas teóricas: 2.
Relatório de Fotónica
57
Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to
Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2008
Nader Engheta and Richard W. Ziolkowski, Editors, Metamaterials: Physics and
Engineering Explorations. Hoboken, NJ: IEEE Press, Wiley, 2006
Ricardo Marqués, Ferran Martín, and Mario Sorolla, Metamaterials with Negative
Parameters. Hoboken, NJ: Wiley, 2008
Christophe Caloz and Tatsuo Itoh, Electromagnetic Metamaterials: Transmission
Line Theory and Microwave Applications. Hoboken, NJ: IEEE Press, Wiley, 2006
George V. Eleftheriades and Keith G. Balmain, Editors, Negative-Refraction
Metamaterials: Fundamental Principles and Applications. Hoboken, NJ: IEEE
Press, Wiley, 2005
Andery K. Sarychev and Vladimir M. Shalaev, Electrodynamics of Metamaterials.
Singapore: World Scientific, 2007
58 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 7: pp. 243-288)
Carlos R. Paiva, Cavidades Ópticas de Fabry-Perot. DEEC – IST, 2007/2008.
Bibliografia complementar Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 12: pp.
539-601)
Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to
Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2008
John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, and Robert D. Meade,
Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2nd ed., 2008
Léon Brillouin, Wave Propagation in Periodic Structures. Mineola, NY: Dover,
(1953) 2003
Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005
Cristais fotónicos Óptica matricial dos meios planares estratificados: matrizes de dispersão e de
transmissão; fórmulas de Airy. Cavidades ópticas de Fabry-Perot. Cristais fotónicos
1D: teorema de Floquet e ondas de Bloch; equação de dispersão; PBG (photonic
bandgaps). Análise de Fourier de meios periódicos. Breve introdução aos cristais
fotónicos 2D e 3D.
Aulas teóricas: 2.
Relatório de Fotónica
59
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of
Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003
Kazuaki Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer-Verlag,
2nd ed., 2005
Sergei Tretyakov, Analytical Modeling in Applied Electromagnetics. Norwood, MA:
Artech House, 2003
60 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Interacção entre Fotões e Átomos. DEEC – IST, 2007/2008
Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light. Oxford: Oxford University Press,
3rd ed., 2000 (Chapter 1: pp. 3-45)
Bibliografia complementar Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of
Theoretical Reasoning in Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed.,
2003 (Case Study V: The origins of the concept of quanta: pp. 281-395)
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapters 13-15: pp. 482-626)
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapters 5-6:
pp. 211-312)
Ian R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction to Classical and
Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008 (Chapters 12-14: pp. 325-
440)
Mark Fox, Quantum Optics: An Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2006
Interacção entre fotões e átomos Densidade de modos numa cavidade óptica. Quantificação dos níveis de energia de
uma cavidade óptica. Processos de interacção entre fotões e átomos: emissão
espontânea; absorção; emissão estimulada. A lei da radiação de Planck. Flutuações
estatísticas do número de fotões. Os coeficientes A e B de Einstein. Excitação óptica
de um sistema laser com dois níveis. Inversão da população e amplificação laser.
Oscilação laser.
Aulas teóricas: 2.
Relatório de Fotónica
61
Thomas S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912.
Chicago: The University of Chicago Press, (1978) 1987
Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986
Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988
Jeff Hecht, Beam: The Race to Make the Laser. New York: Oxford University Press,
2005
Max Born, Atomic Physics. New York: Dover, (1969) 1989
62 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Lasers Semicondutores. DEEC – IST, 2007/2008
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 15: pp.
673-713)
Bibliografia complementar Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapters 16-17: pp. 627-747)
Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,
2002 (Chapter 3: pp. 77-132)
Ian R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction to Classical and
Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008 (Chapter 14: pp. 383-440)
Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995
John Singleton, Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford: Oxford
University Press, 2001
Mark Fox, Optical Properties of Solids. Oxford: Oxford University Press, 2001
Lasers semicondutores Revisão de alguns conceitos da física dos semicondutores. A distribuição de Fermi-
Dirac. Ganho e absorção num meio semicondutor. Lasers de corrente de injecção.
Modulação directa da corrente de injecção: equações das taxas; regime estacionário;
desvio dinâmico de frequência (chirp). Responsividade espectral e função de
transferência. Modulação externa. Resolução numérica das equações das taxas.
Aulas teóricas: 2.
Relatório de Fotónica
63
John Edward Carroll, Rate Equations in Semiconductor Electronics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1985
Weng W. Chow and Stephan W. Koch, Semiconductor-Laser Fundamentals: Physics
of the Gain Materials. Berlin: Springer-Verlag, 1999
Hans P. Zappe, Introduction to Semiconductor Integrated Optics. Norwood, MA:
Artech House, 1995
Pallab Bhattacharya, Semiconductor Optoelectronic Devices. Upper Saddle River,
NJ: Prentice-Hall, 2nd ed., 1997
David Wood, Optoelectronic Semiconductor Devices. London: Prentice-Hall, 1994
S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. New York: Wiley, 2nd ed., 1981
Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. II: For Fiber and Integrated Optics.
New York: Wiley, 2002
64 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Feixes Ópticos. DEEC – IST, 2007/2008
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 3: pp. 74-101)
Bibliografia complementar Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 2: pp.
66-109)
Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp. 81-157)
Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986
Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988
Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media.
New York: Wiley, 2002
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of
Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003
Feixes ópticos Da equação de Helmholtz à equação paraxial das ondas. Feixes gaussianos em meios
homogéneos. Características dos feixes gaussianos. Relação entre os feixes ópticos e
o integral de difracção de Fresnel-Kirchhoff. Simulação numérica da propagação de
feixes ópticos em regime linear.
Aulas teóricas: 1.
Relatório de Fotónica
65
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Introdução à Mecânica Quântica. DEEC – IST, 2007/2008
Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 3rd ed., 2003
(Chapters 2-6: pp. 23-119)
Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to
Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2008 (Chapter 4: pp. 74-97)
Bibliografia complementar Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman
Lectures on Physics – Vol. III: Quantum Mechanics. Reading, MA: Addison-
Wesley, 1965
Introdução à mecânica quântica O dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie. A mecânica ondulatória de
Schrödinger. A interpretação estatística de Max Born da função de onda. Evolução
de um feixe de ondas em mecânica ondulatória. A equação de Schrödinger. As
relações de incerteza de Heisenberg. Densidade de corrente de probabilidade. A
equação de Schrödinger independente do tempo como uma equação de valores
próprios. O vector de estado substitui o conceito de função de onda. Uma visão
integrada da mecânica ondulatória (Schrödinger) e da mecânica das matrizes
(Heisenberg). Notação de Dirac. O postulado da expansão. Uma partícula numa
caixa: quantificação da energia. Problemas unidimensionais: barreira e poço de
potencial; distribuição delta de Dirac. O oscilador harmónico e os níveis de energia
de uma cavidade óptica. O modelo de Kronig-Penney e as bandas de energia num
cristal 1D. Espaços de Hilbert: observáveis, operadores e valores expectáveis.
Aulas teóricas: 3.
66 Carlos R. Paiva
Robert B. Griffiths, Consistent Quantum Theory. Cambridge: Cambridge University
Press, 2002
Thomas F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form. Mineola, NY:
Dover, (1986) 2005
Ramamurti Shankar, Principles of Quantum Mechanics. New York: Plenum Press,
Kluwer Academic, 2nd ed., 1994
Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1995
John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics. Sausalito, CA:
University Science Books, 2000
Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics. New York: Wiley, 3rd ed., 1998
Roland Omnès, The Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1994
Jun John Sakurai, Modern Quantum Mechanics. Reading, MA: Addsison-Wesley,
revised edition, 1994
Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics: A Modern Development. Singapore:
World Scientific, 1998
L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory).
Oxford: Butterworth-Heinemann, 3rd ed., (1977) 2004
Florian Scheck, Quantum Physics. Berlin: Springer-Verlag, 2007
Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Oxford
University Press, 4th ed., 1958
Chris J. Isham, Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural
Foundations. London: Imperial College Press, 1995
Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics. San Francisco, CA: Addison-
Wesley, 4th ed., 2003
John Stewart Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge:
Cambridge University Press, revised edition, 2004
N. David Mermin, Quantum Computer Science: An Introduction. Cambridge:
Cambridge University Press, 2007
Relatório de Fotónica
67
Bibliografia básica Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, Elsevier, 2nd ed., 2006 (Chapter 2: pp. 13-55)
Bibliografia complementar Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 3: pp.
110-155)
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 8: pp. 289-324)
Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995
(Chapter 7: pp. 242-282)
Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman
and Hall, 1983
M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981
Robert E. Collin, Field Theory of Guided Waves. New York: IEEE Press, 2nd ed.,
1991 (Chapter 11: pp. 697-748)
Guias ópticos planares Análise modal de guias dieléctricos (abertos): (i) espectro discreto (modos
superficiais); espectro contínuo (modos de radiação e evanescentes). Modos TE e
TM numa placa dieléctrica: estruturas simétrica e assimétrica. Equações modais:
variáveis normalizadas; diagramas operacionais; diagramas de dispersão. Modos
superficiais numa interface DPS-DNG. Plasmões. Guias dieléctricos rectangulares
(3D): modos híbridos; método da constante dieléctrica efectiva.
Aulas teóricas: 1.
68 Carlos R. Paiva
Dietrich Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, 2nd ed., 1991
Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing,
2005 (Chapter 3: pp. 295-494)
Relatório de Fotónica
69
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Fibras Ópticas. DEEC – IST, 2007/2008
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 3: pp.
110-155)
Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,
2002 (Chapter 2: pp. 23-76)
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 13: pp.
602-632)
Fibras ópticas Descrição de uma fibra óptica em termos de óptica geométrica. Reflexão interna
total. Representação espectral: (i) espectro discreto (modos superficiais); espectro
contínuo (modos de radiação ITE e ITM e modos evanescentes). Abertura numérica
e contraste dieléctrico. Fibras ópticas de perfil variável: dispersão intermodal. Fibras
ópticas de perfil em degrau: análise modal (modos híbridos HE e EH e aproximação
dos modos LP). Parâmetros normalizados e diagramas de dispersão. Regime
monomodal. Aproximação gaussiana. Dispersão da velocidade de grupo: dispersão
do guia (ou estrutural) e dispersão material. Dispersão de ordem superior. Débito
binário. Atenuação e EDFAs. Acoplamento codireccional: agregados lineares e
circulares de fibras. Propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais (regime
linear): equação de propagação; simulação numérica via FFT.
Aulas teóricas: 3.
70 Carlos R. Paiva
Bibliografia complementar Carlos R. Paiva, Fibras Amplificadoras Dopadas com Érbio. DEEC – IST,
2003/2004
Carlos R. Paiva, Teoria Elementar da Fotodetecção. DEEC – IST, 2005/2006.
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 9: pp. 325-364)
Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, Elsevier, 2nd ed., 2006 (Chapter 3: pp. 57-158)
Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995
(Chapter 8: pp. 283-334)
M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981
Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman
and Hall, 1983
Dietrich Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, 2nd ed., 1991
Gerd Keiser, Optical Fiber Communications. Singapore: McGraw-Hill, 3rd ed., 2000
Göran Einarsson, Principles of Lightwave Communications. Chichester: Wiley, 1996
John M. Senior, Optical Fiber Communications: Principles and Practice. London:
Prebtice-Hall, 2nd ed., 1992
Emmanuel Desurvire, Erbium-Doped Fiber Amplifiers: Principles and Applications.
New York: Wiley, 1994
Jeff Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics. New York: Oxford University
Press, 1999
Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989 (Chapters 8-9: pp. 514-661)
Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, and D. Ronald Fannin, Signals and Systems:
Continuous and Discrete. New York: Macmillan, 3rd ed., 1993 (Chapter 10: pp. 486-
547)
Relatório de Fotónica
71
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Solitões em Fibras Ópticas. DEEC – IST, 2007/2008
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Sec. 22.5: pp. 984-998)
Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th
ed., 2007 (Sec. 2.4: pp. 41-46)
Bibliografia complementar Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,
2002 (Chapter 9: pp. 404-477)
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Sec. 14.5: pp.
663-670)
Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, Elsevier, 2nd ed., 2006 (Chapter 5: pp. 209-259)
Solitões em fibras ópticas Efeito óptico de Kerr em fibras ópticas. Auto-modulação de fase. Comprimento de
dispersão e comprimento não-linear. Discussão qualitativa sobre a ocorrência de
solitões claros (zona de dispersão anómala) e escuros (zona de dispersão normal).
Equação de propagação de impulsos em fibras ópticas no regime não-linear.
Equação não-linear de Schrödinger. Solitão fundamental e solitões de ordem
superior. Sistemas de comunicação óptica com solitões. Simulação numérica da
propagação de solitões: SSFM (split-step Fourier method).
Aulas teóricas: 1.
72 Carlos R. Paiva
Dietrich Marcuse, Theory of Dielectric Optical Waveguides. San Diego, CA:
Academic Press, 2nd ed., 1991 (Chapter 9: pp. 335-365)
Linn F. Mollenauer and James P. Gordon, Solitons in Optical Fibers: Fundamentals
and Applications. San Diego, CA: Academic Press, 2006
E. G. Sauter, Nonlinear Optics. New York: Wiley, 1996
Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th
ed., 2007
Yuri S. Kivshar and Govind P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to Photonic
Crystals. San Diego, CA: Academic Press, Elsevier, 2003
Nail N. Akhmediev and Adrian Ankiewicz, Solitons: Nonlinear Pulses and Beams.
London: Chapman & Hall, 1997
Eugenio Iannone, Francesco Matera, Antonio Mecozzi, and Marina Settembre,
Nonlinear Optical Communication Networks. New York: Wiley, 1998
Akira Hasegawa and Yuji Kodama, Solitons in Optical Comunications. New York:
Oxford University Press, 1995
F. Abdullaev, S. Darmanyan, and P. Khabibullaev, Optical Solitons. Berlin: Springer-
Verlag, 1993.
P. G. Drazin and R. S. Johnson, Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge
University Press, 1989
Mark J. Ablowitz and Harvey Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform.
Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1981
Relatório de Fotónica
73
Bibliografia básica Carlos R. Paiva, Introdução à Álgebra Geométrica. DEEC – IST, 2007/2008
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2001 (Chapters 1-3: p. 1-49; Chapters 5-8: 67-117)
Bibliografia complementar David Orlin Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical
language of physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121,
February 2003
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:
Cambridge University Press, 2003 (Chapters 1-2: pp. 1-53)
David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapters 1-2: pp. 1-119)
Rafał Abłamowicz and Garret Sobczyk, Editors, Lectures on Clifford (Geometric)
Algebras and Applications. Boston: Birkhäuser, 2004 (Lecture 1: pp. 1-29)
Introdução à álgebra geométrica Espaços lineares (ou vectoriais). Álgebras. Produtos interno, externo, exterior e
geométrico (ou de Clifford) entre vectores. Produto tensorial. Álgebra geométrica
(de Clifford) no plano. Bivectores. Álgebra geométrica do espaço tridimensional.
Métrica. Lâminas e multivectores. Rotores. Reflexões e rotações. Quaterniões de
Hamilton. Funções lineares de vectores e de multivectores. Determinantes. Relações
entre a álgebra geométrica de Clifford e a álgebra exterior de Grassmann. A álgebra
vectorial ordinária (de Gibbs) como uma álgebra de Lie. Duais de Clifford e duais de
Hodge.
Aulas teóricas: 2.
74 Carlos R. Paiva
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2001
Leo Dorst, Daniel Fontijne, and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer
Science. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007
William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With Applications in
Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996 (Chapters 1-6: pp.
1-82)
David Hestenes and Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A
Unified Language for Mathematics and Physics. Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1984
David Hestenes, “Mathematical viruses,” pp. 3-16. In: A. Micali, R. Boudet, and J.
Helmstetter, Editors, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical
Physics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992
Relatório de Fotónica
75
Bibliografia básica Sérgio A. Matos, Marco A. Ribeiro, and Carlos R. Paiva, “Anisotropy without tensors:
a novel approach using geometric algebra,” Optics Express, Vol. 15, No. 23, pp.
15175-15186, November 2007
Hollis C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach.
New York: McGraw-Hill, 1985 (Chapters 5-6: pp. 181-262)
Bibliografia complementar Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:
Cambridge University Press, 2003 (Chapter 4: pp. 84-125)
David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapter 5: pp. 252-333)
Chris Doran, Anthony Lasenby, and Stephen Gull, “Linear Algebra,” Chapter 6, pp.
65-82. In: William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With
Applications in Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 6: pp. 197-242)
Meios anisotrópicos Funções lineares de multivectores na álgebra geométrica do espaço. A anisotropia
eléctrica de um cristal não-magnético em termos de um bivector. Cristais uniaxiais e
biaxiais. Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais e biaxiais:
ondas características e superfícies do vector constante de propagação. Polarização
das ondas características. Eixos dieléctricos principais e eixos ópticos. Interface
entre um meio uniaxial e um meio isotrópico. Lâminas retardadoras.
Aulas teóricas: 2.
76 Carlos R. Paiva
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 1: pp.
1-65)
J. A. Brandão Faria, Óptica: Fundamentos e Aplicações. Lisboa: Editorial Presença,
1994 (Capítulo 8: pp. 139-163)
J. F. Nye, Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and
Matrices. Oxford: Oxford University Press, (1957) 1985
Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics. Cambridge: Cambridge University
Press, 7th (expanded) edition, 1999
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of
Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003
Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media. Hoboken, NJ: Wiley, (1998) 2005
Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media.
New York: Wiley, 2002 (Chapter 4: pp. 263-301)
Relatório de Fotónica
77
Bibliografia básica Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Sections 9.0-
9.3: pp. 406-431)
Bibliografia complementar Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 20: Sections 20.1-20.2: pp. 836-856)
J. A. Brandão Faria, Óptica: Fundamentos e Aplicações. Lisboa: Editorial Presença,
1994 (Capítulo 9: pp. 165-187)
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of
Laser Radiation. Hoboken, NJ: Wiley, (1983) 2003 (Chapters 7-8: pp. 220-317)
Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995
(Chapter 12: pp. 508-537)
Keigo Iizuka, Engineering Optics. Berlin: Springer-Verlag, 2nd ed., 1987 (Chapter
14: pp. 378-407)
Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media.
New York: Wiley, 2002 (Chapter 5: pp. 302-361)
Efeito electro-óptico Efeito electro-óptico: linear (Pockels) e não-lienar (Kerr). Efeito electro-óptico de
Pockels: modulação de amplitude; modulação de fase; interferómetro de Mach-
Zehnder. Efeito electro-óptico em cristais líquidos.
Aulas teóricas: 1.
78 Carlos R. Paiva
Bibliografia básica Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:
Cambridge University Press, 2003 (Chapter 5: pp. 126-166)
Bibliografia complementar A. R. Lee and T. M. Kalotas, “Lorentz transformations from the first postulate,”
American Journal of Physics,” Vol. 43, No. 5, pp. 434-437, May 1975
Jean-Marc Lévy-Leblond, “One more derivation of the Lorentz transformation,”
American Journal of Physics, Vol. 44, No. 3, pp. 271-277, March 1976
N. David Mermin, “Relativity without light,” American Journal of Physics, Vol. 52,
No. 2, pp. 119-124, February 1984
David Hestenes, “Spacetime physics with geometric algebra,” American Journal of
Physics, Vol. 71, No. 7, pp. 691-714, July 2003
Óptica relativista Postulados de Einstein da relatividade restrita. Dilatação do tempo e contracção do
espaço. Diagramas de Lorentz e de Minkowski. Relatividade da simultaneidade.
«Paradoxo» dos gémeos. Transformação especial de Lorentz. Grupo de Lorentz.
Espaço-tempo de Minkowski e causalidade. Álgebra geométrica do espaço-tempo de
Minkowski. Rotores e «boosts». Vectores próprios e vectores relativos. Efeito
Doppler. Efeito Compton. Inércia da energia. Movimento hiperbólico e «paradoxo»
dos gémeos revisitado. As duas equações de Maxwell (homogénea e não-
homogénea) na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski. Óptica
relativista dos meios em movimento.
Aulas teóricas: 3.
Relatório de Fotónica
79
Carlos R. Paiva and Marco R. Ribeiro, “Doppler shift from a composition of boosts
with Thomas rotation: a spacetime algebra approach,” Journal of Electromagnetic
Waves and Applications, Vol. 20, No. 7, pp. 941-953, 2006
Carlos R. Paiva, Óptica Relativista. DEEC – IST, 2003/2004
Hollis C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach.
New York: McGraw-Hill, 1985 (Chapter 8: pp. 299-339)
David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999 (Chapter 9: pp. 574-660)
William E. Baylis, Editor, Clifford (Geometric) Algebras: With Applications in
Physics, Mathematics, and Engineering. Boston: Birkhäuser, 1996 (Chapters 1-6: pp.
1-82)
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2001
Wofgang Rindler, Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University
Press, 2nd ed., 1991
Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité Restreinte: Bases et Applications.
Paris: Dunod, 2005
A. P. French, Special Relativity. New York: W. W. Norton, 1968
Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Sacetime Physics: Introduction to
Special Relativity. New York: Freeman, 2nd ed., 1992
Moses Fayngold, Special Relativity and How it Works. Weinheim: Wiley-VCH, 2008
Patricia M. Schwarz and John H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to
Strings. Cambridge: Cambridge University Press, 2004
Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte: Cours et
Exercices Corrigés. Paris: Dunod, 2001
Michel Hulin, Nicole Hulin, et Lydie Mousselin, Relativité Restreinte: Cours,
Exercices et Problèmes Résolus. Paris: Dunod, 2ème éd., 1998
George F. R. Ellis and Ruth M. Williams, Flat and Curved Space-Times. Oxford:
Oxford University Press, 2nd ed., 2000
H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, and H. Weyl, The Principle of Relativity:
A Collection of Original Papers on the Special and General Theory of Relativity.
New York: Dover, (1923) 1952
80 Carlos R. Paiva
Gregory L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime: An Introduction to the
Mathematics of the Special Theory of Relativity. Mineola, NY: Dover, (1992) 2003
Jürgen Ehlers and Claus Lämmerzahl, Editors, Special Relativity: Will it Survive the
Next 101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006
John W. Schutz, Independent Axioms for Minkowski Space-Time. Essex: Addison-
Wesley Longman, 1997
“A theory which is not refutable by any conceivable event is nonscientific.
Irrefutability is not a virtue of a theory (as people often think) but a vice.”
Karl Raimund Popper, Conjectures and Refutations. London: Routledge,
(1963) 2002 (p. 48)
Relatório de Fotónica
81
Notas sobre as aulas práticas
1. Nas aulas práticas de uma disciplina resolvem-se problemas. Estes problemas são, em
geral, uma aplicação da teoria exposta nas aulas teóricas precedentes. Os problemas
podem, também, apontar para generalizações da própria teoria.
2. Só através da resolução de problemas é que cada aluno(a) pode ganhar algo mais do que
uma ideia superficial e vaga dos tópicos abordados, i.e., pode adquirir uma verdadeira
compreensão da matéria.
3. Além disso, o rigor, o espírito crítico, bem como a criatividade e curiosidade intelectuais –
que estão associados à actividade científica – só podem ser cultivados e desenvolvidos
“An expert is someone who has made all the mistakes.”
Hans Albrecht Bethe (1906-2005)
“Therefore we should strive to make mistakes as fast as possible.” John Archibald Wheeler (1911-2008)
82 Carlos R. Paiva
através da prática científica: não basta a predisposição inata (ou adquirida) de cada um(a)
para essa actividade. Uma mente «em forma» requere uma atenção cuidada e exercícios
continuados – tal como um corpo «em forma».
4. A primeira semana de aulas é, frequentemente, apenas ocupada pelas aulas teóricas. A
razão é óbvia: só depois da primeira semana de aulas é que existe matéria crítica
suficiente para justificar a resolução de problemas de aplicação. Mas podemos (e
devemos) discordar desta atitude: o programa de uma disciplina, como Fotónica, depende
de matérias científicas (que se presumem) adquiridas em vários domínios: na matemática;
na física; em domínios específicos do electromagnetismo – tais como a propagação e
radiação de ondas electromagnéticas; na utilização de plataformas computacionais (e.g., a
plataforma MATLAB) para a resolução (ou simulação) numérica e para a apresentação
gráfica dos resultados. Assim sendo, há linhas de continuidade que devem ser sublinhadas
e relembradas. Isso pode ser feito numa «Aula Prática Introdutória» que tenha lugar logo
na primeira semana de aulas. Obviamente que não é possível satisfazer todas essas linhas
de continuidade numa única aula prática. Mas, pelo menos, o papel simbólico dessa aula
(e da totalidade dos enunciados de problemas referentes a essa aula que, por limitação de
tempo, nunca seria possível resolver no período temporal de uma única aula) fica assim
cumprido. A mensagem de que a formação é contínua, que nunca deve parar, fica portanto
transmitida – não como regra vaga, intenção piedosa, mas como prática e exemplo que
devem (têm) de ser adoptados.
5. Pretende-se transmitir, ainda, uma outra mensagem: o conhecimento científico não se
organiza em compartimentos estanques, i.e., existe uma natural interdisciplinaridade
inerente a este tipo de conhecimento. Não é possível, e.g., dizer onde começa a engenharia
e acaba a física (ou vice-versa). Há zonas claras onde estes domínios não se intersectam,
mas também existem zonas onde é mais difícil (se não mesmo impossível) estabelecer
linhas de demarcação clara. Por exemplo: no estudo dos metamateriais em
electromagnetismo, existem tópicos mais fundamentais e outros mais aplicados – mas é
impossível dizer quais os tópicos que são propriedade exclusiva da física e quais os que o
são da engenharia.
6. Pretende-se finalmente sublinhar que, no caso da matemática, existe uma exigência
absoluta de rigor e de «pureza» – no sentido da abstracção formal e da completa
independência entre a verdade matemática e a realidade observada (ou experimentada). A
verdade matemática nada tem a ver com quaisquer necessidades práticas, utilitárias ou de
Relatório de Fotónica
83
concordância com a realidade. Apesar disso (e talvez mesmo por isso) a matemática é
imprescindível para uma verdadeira formulação científica e deve, portanto, contaminar
todas as matérias próprias da física e da engenharia. Com efeito, apesar da matemática
receber, muitas vezes, uma «realimentação» das ciências naturais (basta analisar a sua
evolução histórica), o seu quadro por excelência é o da total abstracção – aquilo a que se
costuma chamar «matemática pura». Quando a física e a engenharia recorrem à
matemática não devem, por isso, baixar a exigência de rigor que lhe é inerente – o que
corresponderia a destruir a própria necessidade de formalização matemática.
7. Entre os enunciados destinados a cada aula prática (que fazem parte de uma colecção que
pode ser consultada), apenas um número muito limitado pode ser efectivamente resolvido
na própria aula. Com isto, pretende-se: (i) tornar claro que a resolução de problemas não
pode ficar restringida às aulas práticas; (ii) passar a mensagem de que a resolução de
problemas é o principal elemento de aprendizagem científica. Ou seja, em conclusão:
partindo do pressuposto de que cada aluno(a) pretende uma compreensão efectiva e
produtiva da matéria, o conjunto de enunciados oferecidos (para o conjunto das aulas
práticas) tem de (e deve) ser explorado para além das aulas práticas.
A tabela seguinte lista a sequência das 14 aulas práticas de Fotónica (cada aula com a duração
de 1h 30 minutos). Não sendo o objectivo deste Relatório conter os enunciados dos problemas
das aulas práticas (que podem ser consultados noutro documento), apresenta-se a seguir uma
colecção restrita que apenas contém um único problema representativo de cada aula prática.
Não se trata, portanto, de uma colecção com a pretensão da completude. Pretende-se, tão
somente, revelar o estilo típico dos problemas das aulas práticas.
84 Carlos R. Paiva
AULAS PRÁTICAS
AULA TÍTULO
1 Aula prática introdutória
2 Métodos variacionais
3 Teoria elementar da dispersão
4 Lasers
5 Vectores complexos e polarização
6 Feixes ópticos
7 Mecânica quântica
8 Guias ópticos planares
9 Teoria modal das fibras ópticas
10 Propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais (regime linear)
11 Regime não-linear em fibras ópticas e solitões
12 Álgebra geométrica
13 Meios anisotrópicos
14 Óptica relativista
Na amostra que se segue cada problema é designado por Problema PN. O número N refere-
se à aula prática em que esse problema se integra (de acordo com a tabela anterior).
Relatório de Fotónica
85
Um operador linear 3 3: →ε tem três valores próprios reais e distintos 3 2 1ε ε ε> > .
Façamos, para conveniência de cálculo posterior,
23 3 3 1
2 2 23 1 2 1 2 1
2 21 1 3 2 3
2 21 2
2 2
ε α β γ ε ε βγ γ ε α ε ε β γ
ε α β γ ε ε β γ
= + − =+ = → = → − = −
= − − =.
Seja 1 2 3, ,= e e eB uma base ortonormada de 3 constituída pelos vectores próprios do
operador considerado, i.e., tais que
( )( )( )
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
eixo eixo eixo
XXX
εεε
→ =→ =→ =
e ee ee e
εεε
.
Mostre que, definindo (ver figura anexa)
1 1 1 3 3
2 1 1 3 3
γ γγ γ
= += − +
d e ed e e
em que ( )1 sin 2γ φ= e ( )3 cos 2γ φ= , é
possível escrever o operador linear
considerado em termos destes dois vectores
unitários como segue
( ) ( ) ( )3 31 2 2 1α β∈ = + ⋅ + ⋅ = ∈⎡ ⎤⎣ ⎦a a a a d d a d d bε .
Nomenclatura: Este problema mostra que um operador linear 3 3: →ε , com três valores
próprios distintos, se pode escrever em termos de dois vectores unitários 1d e 2d não
paralelos. Por essa razão diz-se que se trata de um operador biaxial.
⊗
2X
3X
1X
3γ
1γ 1γ−
1d 2d
φ
86 Carlos R. Paiva
Notas: Note que, de acordo com a figura, se tem
2 2 2 2 1 2 31 2 3 1
3 1
2cos cos sin2 2
ε ε εφ φφ γ γε ε− +
⋅ = = − = − =−
d d .
Assim, vem
( ) ( )3 2 2 1
3 1 3 1
1 11 cos , 1 cos2 2
ε ε ε εφ φε ε ε ε− −
+ = − =− −
.
Como se admite que 3 2 1ε ε ε> > , é 3 2 0ε ε− > , 2 1 0ε ε− > e 3 1 0ε ε− > . Além disso, como
1 cos 1 coscos , sin2 2 2 2φ φ φ φ+ −= =
infere-se ainda que
3 2 2 13 1
3 1 3 1
,ε ε ε εγ γε ε ε ε− −
= =− −
.
Sugestão: Notando que se pode fazer
( )1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3a a a a a aε ε ε= + + → = + +a e e e a e e eε
( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 3 2 3 3a aε ε ε ε ε∴ = + − + −a a e eε
há, agora, que escrever 1 1a e e 1 1a e exclusivamente em termos de a , 1d e 2d . Assim, tem-se
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 21 21 1 1 1 1 22
1 1 1
1 2 1 2 1 23 3 3 3 1 22
3 3 3
2 2 4
2 2 4
a a
a a
γ γ γ
γ γ γ
− ⋅ ⋅ −−= = = −
+ + ⋅ ⋅ += = = +
d d a a d dd de e d d
d d d d a a d de e d d
Relatório de Fotónica
87
( )sε
sθ
( ) ( )ε = ⋅s s sε
pelo que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 22βα= + ⋅ + + − ⋅ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦a a a d d d d a d d d dε
( ) ( ) ( )1 2 2 1α β∴ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a a d d a d dε .
Definição: Define-se o valor escalar do operador linear segundo uma direcção caracterizada
pelo vector unitário s , como sendo
( ) ( )ε = ⋅s s sε .
Um operador para o qual ( )ε s seja um campo
escalar dependente da direcção s diz-se um
operador anisotrópico.
Operador uniaxial: Um caso particular do tratado neste problema corresponde a ter-se 1 2ε ε= .
Façamos, neste caso, 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= . Mas então
1 2 1 2cos 1 0ε ε
φ φε ε
⊥
⊥
−⋅ = = = ⇒ = ⇒ = =
−d d d d c
( ) ( )( )ε ε ε⊥ ⊥∴ = + − ⋅a a c a cε .
Diz-se que se trata de um operador uniaxial uma vez que os dois eixos se reduziram a um
único eixo c . Note-se que este caso poderia deduzir-se simplesmente da seguinte forma
( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3a a aε ε ε ε ε ε ε ε⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥= − + = + − = + − ⋅a a c c a c a a c cε .
Operador isotrópico: Um caso particular do caso particular anterior corresponde a ter-se
iε ε ε⊥= = . Mas então ( ) iε=a aε . Diz-se que se trata de um operador isotrópico, uma vez
que todas as direcções do espaço 3 são equivalentes.
88 Carlos R. Paiva
Mostre que, numa atmosfera em que ( )n n r= (coordenadas polares), se verifica a lei de Snell
( ) ( )sinn r r φ κ=
onde κ é uma constante e φ é o ângulo indicado na figura anexa. Mostre, ainda, que esta lei
de Snell equivale a escrever a equação diferencial
( )( )
2
221
n r rdd r r
θθθ κθ
′′ = → =
′+
donde se infere que a trajectória satisfaz a equação
( )( )0
02 2 2
r
r
duru n u u
κθ θκ
= ± +−
∫ .
Note-se que, quando ( )n r r κ= , se tem uma reflexão total ou turning point.
d sr dθ
rθ
φ
X
Y
O
( )n n r= d r
φ
Relatório de Fotónica
89
Sugestão: Em coordenadas polares, tem-se ( )cosx r θ= e ( )siny r θ= . Assim, comece por
mostrar que se tem 2 2 2 2 2 2d s d x d y d r r dθ= + = + . Atendendo então à figura, verifique que
se tem
( )( )2
sin1
d rrd s r
θ θφθ
′= =
′+.
O princípio de Fermat impõe, então, a estacionaridade de
( ) ( ) ( ) ( )2
1
22, , , 1r
r
fI f r d r f r n r rθ θ θ κθ∂′ ′ ′= = + → =
′∂∫ .
90 Carlos R. Paiva
As relações constitutivas dos meios isotrópicos simples (i.e., sem acoplamento
magnetoeléctrico), são (com ,ε µ ∈ )
0
0
ε εµ µ
==
D EB H
e admitem a classificação genérica que se apresenta na figura anexa.
Considerando um modelo de Lorentz para a dispersão, vem
( )
( )
2
2 20
2
2 20
1modelo de Lorentz
1
pe
e e
pm
m m
i
i
ωε ω
ω ω ω
ωµ ω
ω ω ω
⎧= +⎪
− Γ −⎪→ ⎨⎪ = +⎪ − Γ −⎩
em que 0 ,e mω representam as frequências de ressonância enquanto que os coeficientes ,e mΓ
representam as frequências de colisão (i.e., as perdas) e ,pe mω as frequências de plasma. Neste
modelo é possível encontrar um intervalo de frequências 1 , 2 ,,e m e mω ω⎡ ⎤⎣ ⎦ em que cada um dos
parâmetros ( )ε ω e ( )µ ω apresenta uma parte real negativa.
( )ε ε′ = ℜ
( )µ µ′ = ℜ
0,mei
0plasma
s E G
s
o Nε µ′ ′< > 0,
me0
dieléctricos
ios DPSε µ′ ′> >
0, 0metamateria
meios DNG
isε µ′ ′< < 0, 0
meio
meios M
s girot
NG
rópicosε µ′ ′> <
Relatório de Fotónica
91
(a) Mostre que, de acordo com o modelo de Lorentz, se tem
( ) ( )2 21 , 11 11 1
e m
e m
e m
p p
i iq q
ε λ µ λλ λλ λ
= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(b) Represente graficamente as partes reais e imaginárias de ( )ε λ , ( )µ λ e do índice de
refracção ( )n λ para os seguintes valores numéricos: 1ep = , 0.8mp = , 100e mq q= = ,
0.3 mmeλ = e 0.32 mmmλ = . Mostre, através deste exemplo, que um meio com um
índice de refracção negativo ou NIR (negative index of refraction) não é a mesma coisa
que um meio DNG.
Relatório de Fotónica
93
Nota: No caso geral em que há perdas, tem-se iε ε ε′ ′′= + e iµ µ µ′ ′′= + . O índice de
refracção será, consequentemente, também complexo e dado por
( )( )n n n n i n n i nε µ ε ε µ µ′ ′′ ′ ′′= = + + ,
( )
12
12 4
2
sgn1 1
21
nεε εε
ε εε
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦
,
( )
12
12 4
2
sgn1 1
21
nεε εε
ε εε
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′′′⎛ ⎞ ⎢ ⎥′′ = + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦
,
( )
12
12 4
2
sgn1 1
21
nµ
µ µµµ µ
µ
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′ = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦
,
( )
12
12 4
2
sgn1 1
21
nµ
µ µµµ µ
µ
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥′′⎛ ⎞′′ = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥ ′′⎢ ⎛ ⎞ ⎥⎣ ⎦ + ⎜ ⎟⎢ ⎥′⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Assim, num meio DNG em que 0ε µ′′ ′′= = e ( ) ( )sgn sgn 1ε µ′ ′= = − , obtém-se
( )( ) 1 2 1 2meio DNG 0n n n i n i nε µ ε µ ε µ′′ ′′ ′ ′→ = = = − <
i.e., um meio que tem, simultaneamente, um índice de refracção negativo.
94 Carlos R. Paiva
De acordo com a lei da radiação de Planck, a densidade espectral de energia numa cavidade
em equilíbrio termodinâmico à temperatura absoluta T é dada por
( ) ( ) ( )3
2 3
exp 1
ss
B
uc
k T
ωωω ωπ ω
= → =⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
(a) Sabendo que o máximo da radiação cósmica de fundo (cosmic background radiation)
ocorre para a frequência 160.5 GHzpf = , estime a temperatura média equivalente
dessa radiação isotrópica.
Sugestão: Comece por mostrar que
( )3
13 3
1 2 3
18B
xB
h fxk T xu f C
ek TCh cπ
=
→ =−
=
e que ( )max pu u f= corresponde a encontrar a solução de ( )3 1 xe x−− = , i.e.,
2.8214x = .
Relatório de Fotónica
95
(b) Deduza lei de Wien
pB
hcTy k
λ =
onde pλ é o comprimento de onda para o qual se observa um máximo da densidade
espectral de energia e 4.9651y = é uma constante adimensional que é a solução da
equação ( )5 1 ye y−− = . Note que, quando se exprime o comprimento de onda pλ em
milímetros e a temperatura absoluta em graus Kelvin, se tem
2.8978p Tλ = .
Sugestão: Comece por mostrar que
( )5
25 5
2 4 4
18B
yB
hcyk T yu C
ek TCh c
λλ
π
=
→ =−
=.
96 Carlos R. Paiva
(c) Demonstre a lei de Stefan-Boltzmann de acordo com a qual a densidade volúmica de
energia é dada por
( )2 4
16 3 4 43 3 7.5658 10 Jm K
15Bka U T aTc
π − − −= = × → = .
Sugestão: 3 4
0 1 15x
x d xe
π∞
=−∫ .
Relatório de Fotónica
97
Dado um vector complexo a define-se o correspondente vector real da polarização respectiva
( )p a :
( ) i∗
∗
×=
⋅a ap aa a
.
Mostre que o vector ( )p a é perpendicular ao plano da elipse correspondente a a e que o seu
sentido é o da normal direita.
Definindo ( ) ( )p =a p a como sendo o comprimento do vector da polarização, mostre ainda
que se tem ( )0 1p≤ ≤a e que a elipticidade ( )e a da elipse (i.e., o quociente entre o eixo
menor e o eixo maior) é dada por
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2
2
1 1 21
p ee p
p e− −
= → =+
a aa a
a a.
Note-se que, para o caso da PL, ( ) 0p =a ; para o caso da PC, ( ) 1p =a .
( )p a
aa
( )p a
98 Carlos R. Paiva
polarização condição elipticidade
PL ( ) 0p =a ( ) 0e =a
PC ( ) 1p =a ( ) 1e =a
Em geral define-se o vector da elipticidade
( ) ( ) ( )i e∗
∗
×= → =
⋅ + ⋅a ae a a e a
a a a a
que é paralelo ao vector da polarização ( )p a .
Relatório de Fotónica
99
Um feixe gaussiano pode ser um modo de oscilação de uma cavidade óptica constituída por
dois espelhos esféricos. Com efeito, consideremos dois espelhos esféricos côncavos, cujos
raios de curvatura são 1 0R < e 2 0R < , a uma distância d tal como se indica na figura anexa.
Para que um feixe gaussiano seja um modo de oscilação desta cavidade óptica, é necessário
que se verifique, com 2 1z z d= + ,
20
1 11
20
2 22
zR zz
zR zz
= +
− = +.
Mostre que isso é possível desde que
( )
( )( )( )( )
21
2 1
2 1
1 2 2 120 2
2 1
02
0
02
d R dz
R R d
z z d
d R d R d R R dz
R R d
+= − <
+ +
= + >
+ + + += − >
+ +
e ainda que a última condição, a de ter 20 0z > , implica que
1R 2R
d
1z 0 2z z
Relatório de Fotónica
101
Pretende-se, neste problema, analisar quanticamente o oscilador harmónico unidimensional.
Comecemos por considerar a equação de Schrödinger independente do tempo
( ) ( )2
2 2
2 0d u m V x u xd x
+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦E
que é, como é sabido, equivalente à equação de valores próprios do operador hamiltoniano
( )2ˆˆ ˆ,
2p dH V x p im d x
= + = − .
Consideremos, então, o potencial harmónico
( ) 2 2 21 12 2
k V x k x m xm
ω ω= → = = .
(a) Introduzindo as variáveis adimensionais
2
m x
εω
ωξ
=
=
E
mostre que a equação de Schrödinger se reescreve na forma
( ) ( )2
22 0d u u
dε ξ ξ
ξ+ − = .
(b) Notando que a última equação diferencial é a equação de valores próprios
( ) ( )2
22
ˆ ˆdL Lu ud
ξ ξ ε ξξ
= − + → =
mostre que, ao valor próprio 1ε = , corresponde a função própria gaussiana
20 0
11 exp2
uε ξ⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
(c) Mostre que se tem
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2
d d u d d duud d d d d
d du u ud d
ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ±⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∓ ∓
∓ ∓
para qualquer função própria de L .
102 Carlos R. Paiva
(d) Usando as duas relações obtidas na alínea anterior, mostre que
( ) ( ) ( )2
22 2 0d d du u
d d dξ ξ ε ξ ξ ξ
ξ ξ ξ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎡ ⎤+ ± − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∓ ∓
o que significa que, aos valores próprios ( )2ε ± , correspondem as funções próprias
( )2 d ud
ε ξ ξξ
⎛ ⎞± → ⎜ ⎟
⎝ ⎠∓ .
(e) O resultado obtido na alínea anterior permite obter todas as funções próprias a partir da
gaussiana ( )0u ξ . Verifique, com efeito, que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21 0 1 1
2 22 1 2 2
3 22 2 3 3
13 2 exp2
15 4 2 exp2
17 8 12 exp2
d u u ud
d u u ud
d u u ud
ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ
ε ξ ξ ξ ξ ξ ξξ
ε ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → − = → = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
tendo-se, em geral,
1 10,1, 2, 22 2n nn n nε ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠E…
a que corresponde a função própria
( ) ( ) 21H exp2n n nu cξ ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
onde ( )Hn ξ é o ésimon − polinómio de Hermite tal que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20H 1, H 1 exp expn
n n
dd
ξ ξ ξ ξξ
⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦ .
Os primeiros cinco polinómios de Hermite são
( )( )( )( )( )
0
12
23
34 2
4
H 1H 2
polinómios de Hermite H 4 2H 8 12H 16 48 12
ξξ ξξ ξξ ξ ξξ ξ ξ
==
→ = −= −= − +
.
Verifica-se, deste modo, que o operador ( )d d ξ ξ− é um operador de «criação» na
medida em que permite obter uma função própria de L de ordem 1n + a partir da
Relatório de Fotónica
103
função própria de ordem n . Analogamente, o operador ( )d d ξ ξ+ é um operador de
«aniquilação» na medida em que permite obter uma função própria de L de ordem
1n − a partir da função própria de ordem n . Sublinhe-se ainda que, ao modo
fundamental (i.e., o modo de ordem 0n = ), não corresponde uma energia nula mas sim
uma energia
01energia do nível 02
n ω= → =E .
(f) As constantes de normalização nc devem ser tais que se verifiquem as relações de
ortonormalidade
( ) ( )1,0,j k j k
j ku x u x d x
j kδ
∞∗
−∞
=⎧= = ⎨ ≠⎩
∫ .
Nestas condições mostre que
( ) ( )1 4
1 22 22 ! exp H2
nn n
m m mu x n x xω ω ωπ
−− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
104 Carlos R. Paiva
Nota: Em teoria quântica do campo electromagnético, cada modo de oscilação é associado a
um modo do oscilador harmónico quântico. A radiação e absorção de radiação é então
interpretada como a criação ou a aniquilação (respectivamente) de um fotão, i.e., de um
quantum de radiação electromagnética de energia ω .
Os primeiros cinco níveis de energia de um oscilador harmónico quântico.
0
1
2
3
4
12
ω
92
ω
72
ω
52
ω
32
ω
0
nEn
criação de um fotão
aniquilação de um fotão
Relatório de Fotónica
105
Considere a placa dieléctrica assimétrica de espessura t representada na figura junta. O índice
de refracção do núcleo é 2n , o índice de refracção da bainha é 3n e o índice de refracção do
superestrato é 1n . Tem-se 2 1n n> e 2 3n n> .
(a) Para ondas electromagnéticas com a forma ( )exp i z tβ ω−⎡ ⎤⎣ ⎦ mostre que as únicas
componentes não nulas dos modos superficiais TE são ( ), ,y x zE H H , tendo-se
( )2
022
0
01
x yy
yy
z
H EE
x EEx
H ix
βω µ
κ
ω µ
= −∂
+ = →∂∂
= −∂
enquanto que, para os modos TM, as únicas componentes não nulas são ( ), ,y x zH E E
com
( )( )
( )
2202
2
20
01
x yy
yy
z
E En xH
x HEx
E in x x
βωε
κ
ωε
=∂
+ = →∂∂
=∂
( ) ( ) ( )1
2 2 2 20 2
3
, 0, 0,
n xx n x k n x n t x
n x tκ β
>⎧⎪= − → = − < <⎨⎪ < −⎩
.
3n
1n
2n z
x
t
0x =
x t= −
106 Carlos R. Paiva
(b) Fazendo 2 2 2 22 0h n k β= − , 2 2 2 2
1 1 0n kα β= − e 2 2 2 23 3 0n kα β= − , mostre que as equações
modais dos modos superficiais são:
( ) ( )
( ) ( )
1 32
1 3
2 2 2 22 3 1 1 2 3
2 2 2 41 3 2 1 3
modos TE tan
modos TM tan
hht
h
h n n n nht
n n h n
α αα α
α α
α α
+→ =
−
+→ =
−
.
(c) Mostre que nenhum modo superficial se propaga desde que
1 22 2
2 2 1 3 10 2 3 2 2
2 3
0 tan n nv k t n n vn n
− ⎛ ⎞−= − → < < ⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
(d) Qual é a condição que deve observar a frequência normalizada v de forma que o regime
seja monomodal?
(e) Mostre que, sendo cλ o comprimento de onda de corte de um dado modo superficial, se
tem
1 22 21 3 1
m 2 22 22 32 3
1 22 221 3 12
m 2 2 22 21 2 32 3
1modos TE tan2
1modos TM tan2
c
c
n nt mn nn n
n nnt mn n nn n
πλ π
πλ π
−
−
⎧ ⎫⎛ ⎞−⎪ ⎪→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥→ = +⎨ ⎬⎜ ⎟−⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
.
(f) Para 1 1n = , 2 2n = e 3 1.7n = represente graficamente o índice de refracção modal
0n kβ= em função de t λ para os modos superficiais que se podem propagar.
Considere o intervalo 0 2.5t λ< < .
Relatório de Fotónica
107
Considere um agregado linear de três fibras ópticas idênticas. Seja C o coeficiente de
acoplamento entre duas fibras quaisquer adjacentes e despreze o acoplamento entre as fibras 1
e 3. Designe por β a constante de propagação longitudinal em cada fibra.
(a) Mostre que as constantes de propagação dos três supermodos são 1 2 Cβ β= + ,
2β β= e 3 2 Cβ β= − .
(b) Mostre que os três valores próprios associados às constantes determinadas na alínea
anterior, são
1 2 3
1 12 21
1 1 11 , 0 , 12 2 21 1 1
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
u u u .
(c) Sendo ( ),nB z ω as envolventes dos modos elementares associados a cada guia
individual (com 1 3n≤ ≤ ) e ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , ,T
z B z B z B zω ω ω ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦B , mostre que a
matriz de transferência ( ),z ωT , tal que ( ) ( ) ( ), , 0,z zω ω ω= ⋅B T B , é dada por
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos 2 1 2 sin 2 cos 2 11 exp 2 sin 2 2cos 2 2 sin 22
cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1
C z i C z C z
i z i C z C z i C z
C z i C z C z
β
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
T .
a a a
y
x
1 2 3
108 Carlos R. Paiva
(d) Para ( ) ( )2 30, 0, 0B Bω ω= = , defina (com 1 3n≤ ≤ ) os coeficientes de transmissão
( ) ( ) ( )2
1, , / 0,n nt z B z Bω ω ω= . Represente graficamente (assinalando os pontos
notáveis), 1t , 2t e 3t para 0 Bz L≤ ≤ , com ( )0/ 2BL Cπ ω= em que 0ω é a frequência
nominal. Mostre que ( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0, , , 1t z t z t zω ω ω+ + ≡ .
Relatório de Fotónica
109
Considere, à entrada 0z = de uma fibra óptica monomodal operada em regime linear, o
impulso gaussiano
( )2
00
10, exp2iC tA t A
τ
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
em que 0A é a amplitude do impulso e cC β= − o parâmetro do chirp ( cβ é o factor de
Henry). Admita que 3 0β = .
(a) Sendo ( ) ( )1 0, /z t t zτ β τ= − e 20 2/DL τ β= , mostre que
( ) ( )( )( )
222 0
2
,, exp
z tAA z tz z
τη η
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦, com ( ) ( )
2 2
21 sgnD D
z zz CL L
η β⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
.
(b) Represente graficamente ( )zη em função da variável normalizada / Dz Lζ = para
0 2ζ≤ ≤ . Admita que ( )2sgn 1β = − e ainda que 0, 2C = ± .
(c) Para 2 0Cβ < mostre que a largura mínima do impulso é 0min 21 C
ττ =+
. Calcule o
ponto minz z= onde ocorre essa largura mínima.
(d) Definindo o valor máximo do ritmo binário como sendo 0 01/ 2B τ= , mostre que
110 Carlos R. Paiva
( ) ( )
( )2 2
220 2
2
sgn 1 1
4 1
C CB L
C
β η
β
− + + −=
+
para z L= . Represente graficamente 20B L em função de C no intervalo 6 6C− ≤ ≤ .
Admita que 1.25η = e 22 20ps /kmβ = − .
Sugestão: Note que
( )2
2exp exp4ba x b x dx
a aπ∞
−∞
⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .
Relatório de Fotónica
111
A equação de propagação de impulsos numa fibra óptica operada em regime não-linear é
governada, se se desprezarem as perdas, pela equação
2
21 2 2
12
A A Ai i A Az t t
β β γ∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂.
(a) Mostre que, fazendo a mudança de variáveis z z= e 1t t zβ∗ = − , a equação anterior se
transforma em
2
22 2
12
A Ai i A Az t
β γ∗
∂ ∂+ =
∂ ∂.
(b) Em regime CW (continuous wave) a amplitude ( ),A z t∗ reduz-se a uma variável
( )A A z= que obedece simplesmente à equação
2A i A A
zγ∂
=∂
.
Mostre que, neste caso, se obtém uma solução ( ) ( )0 NLexpA z P i zφ= ⎡ ⎤⎣ ⎦ em que
( )NL 0z P zφ γ= .
(c) Porém, a solução obtida na alínea anterior não é uma solução estável. Considere, com
efeito, uma pequena perturbação dessa solução ( ),p z t∗ tal que
( ) ( ) ( )0 NL, , expA z t P p z t i zφ∗ ∗⎡ ⎤= + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ onde se admite que 0p P<< . Nestas
condições, mostre que
2
22
NL
22
p pi i pz t L
β
∗
∂ ∂+ = ℜ
∂ ∂
em que, como é habitual, se introduziu o comprimento não-linear NL 01L Pγ= .
(d) Admitindo que a perturbação introduzida na alínea anterior tem a forma
( ) ( ) ( )1 2, exp expp z t p i Kz t p i Kz t∗ ∗ ∗= −Ω + − −Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , com 1 2,p p ∈ e onde Ω
representa a frequência da perturbação enquanto que K representa a correspondente
constante de propagação, mostre então que se tem
( ) ( )2 2 22 2
2 NL
1 4sgn ,2 c cK
Lβ β
βΩ = ± Ω Ω + Ω Ω = .
112 Carlos R. Paiva
(e) Na zona de dispersão normal, em que ( )2sgn 1β = , a constante de propagação ( )K K= Ω
é, de facto, um número real e, consequentemente, a perturbação não introduz qualquer
instabilidade, i.e., a solução CW obtida na alínea (b) é estável. Porém, na zona de
dispersão anómala, em que ( )2sgn 1β = − , a constante de propagação ( )K K= Ω só é real
para desvios de frequência (em relação à portadora 0ω ) tais que 2 2cΩ ≥ Ω . De facto,
quando 2 2cΩ < Ω , tem-se K i= Λ em que 2gΛ = ± onde g representa um ganho
diferencial (de potência) dado pela expressão ( ) 2 22 cg βΩ = Ω Ω −Ω . Considerando
22 20ps kmβ = − e 1 12 W kmγ − −= , represente graficamente [ ]1km THzg vs−⎡ ⎤ − −Ω⎣ ⎦ para
os seguintes valores da potência de pico: (i) 0 1WP = ; (ii) 0 2 WP = ; (iii) 0 4 WP = .
Mostre que o máximo do ganho diferencial é dado por max 02g Pγ= ocorrendo para
2cΩ = ±Ω .
Relatório de Fotónica
113
Mostre que a operação
ˆ, exp2
R R R θ⎛ ⎞′ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠
a a a B
corresponde a uma rotação do vector 3C∈a de um ângulo θ no plano do bivector unitário
B (i.e., com 2ˆ 1= −B ) e tal que
2 2ˆ , 1,sin
2θ∧
= = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
m nB m n
no sentido ditado pela orientação deste bivector (i.e., de m para n ).
B
a ′a
θa ′a
123= −u Be
114 Carlos R. Paiva
Sugestão: Note que 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ− = = −B B B B , donde
( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,− −⊥= = − = ∧ = − ∧a a B B a B B a a B B a B B .
Prove, então, que
ˆ ˆ
ˆ ˆR R
R R⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⎧ = ⇒ =⎪⎨
= − ⇒ =⎪⎩
a B Ba a a
a B Ba a a.
Daqui se infere que
2, , R⊥ ⊥ ⊥′ ′ ′ ′ ′= + = =a a a a a a a a
onde, efectivamente,
( )2 ˆexpR θ= −B .
Relatório de Fotónica
115
Mostre que, num cristal não-magnético, a equação das ondas planas e monocromáticas se
pode escrever na forma simples
( )2ˆ 0, n ⊥ ⊥∧ = = −k E E E Eη
onde 0ˆn k=k k , ( )ˆ ˆ= ⋅E E k k e ⊥ = −E E E . Mostre ainda que todas as ondas são TM,
tendo-se
( )
( )
0123
123
ˆ
1 ˆ
cn
n
µ⊥ = ∧
= ∧
E k H e
H k D e.
Sugestão: Comece por mostrar que as equações de Maxwell, para ondas electromagnéticas da
forma
( ) ( )0 0exp expk i t i k c tω= → ⋅ − = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦k n k r n r ,
se podem escrever como segue
123
123
00
cc
∧ = ⋅ =∧ = − ⋅ =
n E Be n Dn H De n H
.
A equação 0⋅ =n H mostra que todas as ondas são TM. Logo, como
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
123 123 0 123
n nµ
⊥∧ = − ⋅ == ∧ = ∧
n n E E n E n En Be n B e n H e
infere-se que
116 Carlos R. Paiva
( ) ( )2 2n n⊥ ⊥= ⇒ =E E E Eε η
( )2n⊥ ⊥ ⊥∴ = − = −E E E E Eη .
A equação de ondas ˆ 0∧ =k E resulta, então, de forma imediata a partir da definição de E .
Note-se, ainda, que
( ) ( ) ( )20 123 0 123n c cµ µ⊥ ⎡ ⎤∧ = = = ∧⎣ ⎦n n E E n He n H e
( )0123
ˆcnµ
⊥∴ = ∧E k H e .
Analogamente, vem
( ) ( )( ) ( )
2 2
123 123
n n∧ = − ⋅ == ∧
n n H H n H n Hn De n D e
( ) 1231 ˆn
∴ = ∧H k D e .
Relatório de Fotónica
117
Uma nave espacial parte da Terra no ano 2100. Um de dois gémeos nascidos em 2080
permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial. De forma a que os
viajantes se sintam como no planeta Terra, a nave movimenta-se sempre com uma aceleração
própria g (com 29.8 m/sg = ). A viagem decorre do seguinte modo: na primeira fase acelera
ao longo de uma linha recta durante 0 2 anosτ = (medidos no seu tempo próprio); numa
segunda fase desacelera durante mais 0τ ; numa terceira fase, depois de inverter a marcha,
acelera durante 0τ ; numa quarta e última fase desacelera durante 0τ até que, por fim, aterra.
O gémeo astronauta tem, portanto, 28 anos de idade aquando do seu regresso à Terra.
(a) Qual é a idade do gémeo que ficou na Terra?
(b) Até que distância viajou a nave espacial?
(c) Trace as linhas de universo dos dois gémeos no plano ( ),t x do gémeo que fica em Terra.
Escolha, para calibrar o eixo t , a varável adimensional 0t τ ; para unidade de espaço
escolha o ano-luz. Considere os dois casos seguintes: (i) 0 1anoτ = ; (ii) 0 1.5 anosτ = ; (iii)
0 2 anosτ = .
gémeo
astronauta
gémeo
terrestre
0 1τ = 0 1.1868t = 1 0.9189x = 24 anos 24.75 anos
0 1.5τ = 0 2.1735t = 1 1.9848x = 26 anos 28.69 anos
0 2τ = 0 3.7505t = 1 3.6310x = 28 anos 35.00 anos
Relatório de Fotónica
119
A avaliação de conhecimentos não se destina, apenas, a classificar os alunos. Destina-se,
também, a promover a aquisição de conhecimentos. Para esse efeito existe uma componente
de avaliação contínua com objectivos que, a seguir, se explicitam.
• Manter uma ligação dos alunos à disciplina através de um acompanhamento (o mais
possível) sem interrupções (seja das aulas teóricas, seja das aulas práticas) através de um
conjunto de trabalhos distribuídos ao longo do semestre.
• Criar hábitos de simulação numérica para a resolução dos problemas que não têm uma
solução analítica fechada, nomeadamente: (i) na resolução de equações diferenciais
ordinárias – e.g., as equações das taxas na modulação directa da corrente de injecção dos
lasers semicondutores; (ii) na propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais
(seja em regime linear, seja em regime não linear) onde se faz uso intensivo da FFT.
• Habituar os alunos a obter soluções numéricas das equações modais de guias dieléctricos,
nomeadamente: (i) nos guias planares 2D e 3D; (ii) no caso das fibras ópticas (seja no
caso geral ou na aproximação dos modos LP). Pretende-se, também, que os alunos se
habituem a representar graficamente essas soluções numéricas na forma de diagramas de
dispersão normalizados (e.g., através de diagramas b vs v− − ).
• Suscitar uma melhor compreensão dos assuntos tratados através da resolução de
problemas concretos. Uma compreensão superficial da matéria não é suficiente: só através
da resolução de problemas concretos é possível garantir uma «intimidade» necessária com
a matéria leccionada. A resolução de problemas deve ser feita através de três processos
distintos: (i) nas aulas práticas; (ii) através da resolução dos trabalhos de avaliação
contínua; (iii) através da resolução individual de problemas que, apesar de fazeram parte
da colecção de problemas das aulas práticas, não podem – devido à limitação de tempo –
ser resolvidos nessas aulas.
120 Carlos R. Paiva
A nota final fN da disciplina, com 0 20fN≤ ≤ e fN ∈ , é obtida de acordo com a regra
que se a seguir se indica. Como é habitual, o(a) aluno(a) será considerado(a): (i) aprovado(a)
com uma nota fN , quando 10fN ≥ ; reprovado(a) quando 10fN < . A nota fN será
atribuída de acordo com a seguinte expressão
( ), 16
int 0.3 0.7, 16
p pp f
o p
N NN T E N
N N≤⎧
= + → = ⎨ >⎩
em que nota provisóriapN = e nota da oraloN = . Designa-se por T , com 0 20T≤ ≤ e
T ∈ (com duas casas decimais), a média das classificações obtidas nos trabalhos de
avaliação contínua e E , com 0 20E≤ ≤ e E∈ (com duas casas decimais), a melhor nota
obtida nas duas datas de exame final. Os alunos cuja nota pN seja igual ou superior a 17
valores têm, obrigatoriamente, de fazer uma oral – caso contrário a sua nota final será
16fN = . A nota da oral deverá ser, sempre, 16oN ≥ (não se considera a hipótese de ser
possível obter 16oN < ).
Notas mínimas: Para obter aproveitamento na disciplina é necessário que, simultaneamente,
se tenha obtido 10T ≥ e 10E ≥ .
Apresentam-se a seguir, a título de exemplo, os enunciados (bem como as respectivas
resoluções) das duas datas de exame do ano lectivo de 2007/2008.
Relatório de Fotónica
121
Docente responsável: Prof. Carlos R. Paiva
Duração: 3 horas • Exame de 19 de Junho de 2008
Ano Lectivo: 2007/2008 • 1.ª DATA
The possibility that mathematical tools used today were invented to solve problems in the past and might not be well suited for current problems is never considered. Wtä|w [xáàxÇxá
1. Determine o contraste dieléctrico ∆ de uma fibra óptica com 1 1.45n = e 4 µma = de forma que esta seja monomodal para 1.2 µmλ > .
Resolução: O regime é monomodal para cλ λ> (neste caso 1.2 µmcλ = ), ou seja, para 2.4048cv v< = . Como
1 2c cv n k a= ∆ , em que 2c ck π λ= , vem então 2
3
1
1 3.135 102 2
c cvn aλ
π−⎛ ⎞
∆ = = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
.
2. Um sistema de comunicação óptica com solitões, operado em 1.55 µmλ = e em que
( )2 ps / km nmD = ⋅ , tem um débito binário 10 Gb/sB = . A área efectiva do núcleo é 2
eff 50 µmA = . Determine, para 20 22 2.6 10 m / Wn −= × , a potência de pico dos solitões
(fundamentais) com uma largura (FWHM) 30 pssτ = . Qual é a potência média do correspondente sistema RZ com solitões? Qual é o valor do coeficiente 0q ?
Resolução: Como ( )02 ln 1 2sτ τ= + , obtém-se 0 17.02 psτ = . Por outro lado, tem-se
1 12 0 2
eff eff
2 2.1079 W kmn k nA A
πγλ
− −= = = .
Logo, a potência de pico 0P será dada por 2
222 0 2
0
2.5491 ps / km 4.18 mW2
D Pc
βλβπ γ τ
= − = − ⇒ = = .
Para um sinal RZ a potência média será
0 0 0 02 0.71 mW2 2
s ss s
B
BP P P BT
τ τ= ⇒ = = = =E E
E .
Note-se que, como 10 02B q τ− = , é ( )0 0 2 2.94sq P P= = .
122 Carlos R. Paiva
3. Um feixe gaussiano cujo comprimento de onda é 1 µmλ = tem, num certo ponto 1z , 1 1 mR = e
1 1 mmw = . Determine ( )2 2R R z= e ( )2 2w w z= para 2 1z z d= + com 10 cmd = . Resolução: Num feixe gaussiano tem-se
( )
( )
22 2
02 0
0 00
20
1
21
zw z wzk wz
zR z zz
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= →
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
pelo que
( ) ( ) 2 22 0 11 1
2 20 0 0 1 1
43.1416
2z R z k wz ww zk w z R R
πλ
= ⇒ = = = .
Mas então, vem 1 1
0 2 2211
102 1
1 11 2 2
0 12
1 1
0.3033 mm
11
0.9080 m
1 1
w wwwzRz
z z dR Rzz Rz w
πλ
λπ
= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
++ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= + →= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
22 0 2
0
220
2 22
1 1.1005 mm
1 1.0909 m
zw ww
wR zz
λπ
πλ
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∴
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
4. Considere uma interface plana, em 0x = , entre dois meios: um meio caracterizado por ( )1 1,ε µ na
região 0x > ; um meio caracterizado por ( )2 2,ε µ na região 0x < . Admita que 1 0ε > e 1 0µ > (i.e., o meio 1 é DPS). Mostre que é possível a propagação de modos superficiais TE desde que
2 0µ < (i.e., desde que o meio 2 seja MNG ou DNG) e deduza a correspondente equação modal. Resolução:
2 2 21 1 1 02 2 22 2 2 0
kk
α β ε µα β ε µ
⎧ = −⎪⎨
= −⎪⎩
1 2modos superficiais 0, 0α α→ > >
( )modos TE , ,y x zE H H→
( ) ( )( )
1
2
exp , 0exp , 0y
x xE x
x xα
α⎧ − >⎪= ⎨ <⎪⎩
( ) ( )( ) ( )
0 0condições fronteira 0
0 0
y y
z z
E x E xx
H x H x
+ −
+ −
⎧ = = =⎪→ = → ⎨= = =⎪⎩
Relatório de Fotónica
123
( )
( )
0
0
1
x y
yx
H Ex
EH i
x x
βωµ µ
ωµ µ
⎧= −⎪
⎪⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂⎩
2 1 1 2equação modal (TM) 0µ α µ α→ + =
1 11 2 2
2 2
00 0 meio DNG ou MNG
0µ µα α µα µ
>∴ → = − > ⇒ < ⇒
>
5. Prove o seguinte: um raio óptico tem uma trajectória ( ) 2x z a z= num meio cujo índice de
refracção tem um perfil ( ) 0 1 4n x n a x= + . Resolução: Tem-se
( )( )
( )
0
0 2
1
x z
x z
duz zn u
D
− = ±⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ .
Logo, fazendo 0D n= , 0 0z = e ( )0 0x = , vem sucessivamente ( )
( ) 2
00
1 14 42 24
x zxduz au a x x z a z
a aau⎡ ⎤= = = ⇒ =⎣ ⎦∫ .
6. Explique fisicamente o aparecimento de chirp (ou trinado) num sinal óptico emitido por um laser
semicondutor cuja corrente de injecção é modulada directamente. Que tipo de problemas é que este efeito pode levantar num sistema de comunicação óptica? Que solução alternativa existe e quais as desvantagens dessa solução alternativa?
Resolução: A existência de uma corrente de injecção ( )I t variável no tempo provoca uma alteração temporal da concentração de electrões no material semicondutor. Assim, o respectivo índice de refracção varia também ao longo do tempo. Logo, a fase do sinal óptico que percorre o material sofre uma consequente variação temporal cuja derivada temporal dá origem a uma frequência instantânea, variável no tempo, que vai caracterizar este sinal óptico. Esta é a origem do chirp: o aparecimento de um desvio dinâmico de frequência. O chirp provoca um alargamento do espectro dos impulsos. Daí que estes sofram um maior efeito da dispersão da velocidade de grupo. Uma solução alternativa consiste na utilização de modulação externa. Este processo tem a desvantagem de desperdiçar a energia emitida quando estiver no estado off.
124 Carlos R. Paiva
7. Na álgebra geométrica 3C (i.e., correspondente ao espaço euclideano 3 ), com uma base ortonormada 1 2 3, ,e e e , considere os seguintes vectores: 1 2 33 4 7= + +a e e e , 1 2 37= + +b e e e ,
2 37= +c e e . Determine: (i) ×b c , = ∧B b c , 1−B , a B e ∧a B ; (ii) as componentes a (projecção) e ⊥a (rejeição) do vector a em relação ao plano = ∧B b c ; (iii) ( )exp ∧a B .
Resolução:
1 2 3
2 31 7 1 70 7 1
× = = − +e e e
b c e e
2 3 3 1 1 2
31 121 7 1 70 7 1
∧ ∧ ∧= ∧ = = − +
e e e e e eB b c e e
( ) ( )123 2 3 123 31 127 7= ∧ = × = − + = − +B b c b c e e e e e e
( )2 112 31 12 312
1 1 150 , 7 0.14 0.025050 5 2
−= − → = = = = − − = − +BB B B e e e eB
( ) ( ) ( ) 1 2 3
3 28 7 3838 35 35 21 3
28 7 35⋅ = + + =
→ = ∧ = ⋅ − ⋅ = − = − + +⋅ = + =
a ba B a b c a b c a c b c b e e e
a c
( ) 123 123
3 4 71 7 1 450 7 1
∧ = ∧ ∧ = =a B a b c e e
( ) ( )1 1 1− − −
⊥
= + ∧aBB a B B a B B
aa
( )( )123 12 31 2 345 0.14 0.02 0.9 6.3⊥ = − + = − +a e e e e e
( )( )1 2 3 12 31
2 3 1 123 123 1
1 2 3
35 21 3 0.14 0.024.9 0.7 2.94 0.42 0.42 0.063 4.9 0.7
= − + + − += + + + − += + +
a e e e e ee e e e e e
e e e
( ) ( ) ( ) ( )123 123 123exp exp 45 cos 45 sin 45 0.5253 0.8509∧ = = + ≈ +a B e e e
8. Um cristal não-magnético biaxial é caracterizado por uma função dieléctrica
( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 2 1 2 2 11 2ε ε ε= + − ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤⎣ ⎦E E E d d E d dε em que 1 1.25ε = , 2 2ε = e 3 2.5ε = . No
referencial dos eixos dieléctricos principais 1 2 3, ,e e e , determine: (i) os dois eixos 1d e 2d ; (ii) os dois eixos ópticos 1c e 2c do cristal biaxial; (iii) o valor da constante dieléctrica (relativa) ao longo da direcção ( )1 2 2= +s e e .
Resolução:
2 11
3 1 1 1 1 3 3
2 1 1 3 33 23
3 1
sin 0.77462
cos 0.63252
ε ε φγε ε γ γ
γ γε ε φγε ε
− ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− = +⎝ ⎠→
= − +− ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
d e ed e e
Relatório de Fotónica
125
31 1
2 1 1 1 3 3
2 1 1 3 313 3
2
sin 0.86602
cos 0.5002
ε δτ γε τ τ
τ τε δτ γε
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ = +⎝ ⎠→
= − +⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
c e ec e e
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 1 2 2 112
ε ε ε= + − ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤⎣ ⎦s s s d d s d dε
( ) ( )( )( )2 3 2 1 2 1.85ε ε ε ε∴ = ⋅ = + − ⋅ ⋅ =s s s s d s dε .
9. Neste problema pretende-se averiguar o que aconteceria se, em vez da teoria da relatividade
restrita, o espaço-tempo quadridimensional (plano) 4 fosse descrito por uma métrica euclidiana. Mais precisamente: imagine que, para 4, ∈x y , com ( )0 1 2 3 0, , ,x x x x x x= = +x e
( )0 1 2 3 0, , ,y y y y y y= = +y , se define 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0x y x y x y x y x y x y⋅ = + + + = + ⋅x y . Numa base
0 1 2 3, , ,= e e e eB ortonormada de 4 um acontecimento r tem, em particular, a forma
( ) 0ct r= +r e com 0x ct= . Note que, deste modo, ( )2 2r r= + ao contrário de 1,3C (espaço de
Minkowski) onde ( )2 2r r= − .
(a) Mostre que, em 4C , o teorema de Pitágoras tem a forma: ( ) 2 22 2 2+ = + = +x y x y x y para 0⋅ =x y quando 4, ∈x y . Como se escreve este teorema em 1,3C e que efeito físico conhecido se encontra associado?
(b) Mostre que a velocidade própria de uma partícula em 4C é dada por ( ) 0u cγ= + =u v f em
que 0c=v e , u cβ = , u u= e 21 1γ β= + . Mais concretamente: 0c=u f , no referencial próprio da partícula; ( )uγ= +u v , no referencial inercial 0c=v e .
(c) Prove que o resultado obtido na alínea anterior se pode escrever na forma ( )0exp θ=u U v ,
em que 0 0 0u=U e com cosγ θ= e sinγ β θ= . Analogamente, podemos escrever ( )( )0 0 0expcv cuθ= U . Indique, através de um diagrama vectorial, qual a relação entre 0cu ,
0cv , v e u onde 0 0 0u=U e e 0u u v= . Usando esse diagrama vectorial mostre que, nesta «relatividade euclidiana» (i.e., correspondente a 4C ), o conceito de simultaneidade é relativo – tal como na relatividade restrita (correspondente a 1,3C ).
(d) Mostre que a composição de velocidades corresponde a ( ) ( )1 2 1 21β β β β β= + − .
Represente graficamente, de forma qualitativa, β em função de 1β para 2 1 2β = . Comente fisicamente o resultado obtido e compare-o com a teoria da relatividade restrita em que
( ) ( )1 2 1 21β β β β β= + + . Que conclusão final retira desta análise?
Nota importante: Está-se a considerar que ( )1 1 0exp θ=u U v , ( )2 2 0 1exp θ=u V u e ainda que
0 0=U V , com 0 0 0u=U e e 0 0 0v=V f . Sugestão: Tenha em consideração que ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2tan tan tan 1 tan tanθ θ θ θ θ θ+ = + − .
126 Carlos R. Paiva
Resolução:
(a) Em geral, tem-se ( ) ( )2 2 2 2 2 2+ = + + + = + + ⋅x y x y x y y x x y x y . Quando 0⋅ =x y , vem
simplesmente ( )2 2 2+ = +x y x y quer em 4C quer em 1,3C . Porém, só em 4C é que se
tem 22 =x x e 22 =y y , pelo que ( ) 2 22 2 2+ = + = +x y x y x y . No entanto, em 1,3C ,
não é verdade que 22 =x x e 22 =y y (no caso geral). Com efeito, em 1,3C , sendo
0 0x x= +x e e 0 0y y= +y e , tem-se
( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02x x x x x x x x x x x x x x x x= + + = + ⋅ + + = + + ⋅ = −x e e e e e
e, analogamente, 22 20y y= −y . Assim, no espaço de Minkowski, tem-se
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 20 0 0 0x y x y x y+ = + = + − + ≤ +x y x y
para 0⋅ =x y (i.e., a correspondente formulação do teorema de Pitágoras). Um efeito físico associado a esta desigualdade é o conhecido «paradoxo» dos gémeos.
(b) Comecemos por considerar a trajectória ( ) ( ) ( ) ( )0 0t c t r t cτ= + =r e f de uma partícula no
espaço-tempo. Derivando em ordem ao tempo próprio τ , obtém-se
( )( )0 0 0d dt d t d rc t c u cd d d dt
γτ τ τ
= = + = + =ru e e f
onde u d r dt= e ( )t d t dγ τ= . Logo, como 2 2 2c= =u v , em que 0c=v e , infere-se que
( )2 2 2 2c u cγ + = já que, em 4C , é ( )2 2u u= com u u= . Logo, fazendo u cβ = , obtém-
se 21 1γ β= + e ( ) 0u cγ= + =u v f .
(c) Introduzindo cosγ θ= e sinγ β θ= é tanβ θ= e, portanto, ( ) ( )0u cuγ γ β= + = +u v v
em que u cβ= e 0u uu= com ( )20 1u = . Mas então
( ) ( ) ( )0 0 0 0cos sin cos sin expcu uθ θ θ θ θ= + = + =u v e v U v onde 0 0 0u=U e já que se tem
( )( ) ( )( ) ( )22 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1u u u u u= = − = − = −U e e e e e .
Portanto ( )0cos sin cuθ θ= +u v e, analogamente,
( )( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 0 0exp cos sin cos sincv cu cu cuθ θ θ θ θ= = + = −U U v dado que se tem
( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0u u u u u u= = − = − = −U e e e e .
Obtém-se, deste modo, o diagrama da figura anexa . Trata-se, portanto, de uma rotação de um ângulo θ que transforma 0c=v e e 0cu em 0c=u f e 0cv , respectivamente. A segunda figura mostra como dois acontecimentos A e B que são simultâneos em ( ),S ct x→ não o são em ( ),S c t x→ : em S o acontecimento A é anterior ao acontecimento B .
Relatório de Fotónica
127
(d) Consideremos o esquema anexo. Tem-se ( )1 1 0exp θ=u U v e ( )2 2 0 1exp θ=u V u em que
0 0 0u=U e e 0 0 0v=V f . A partícula 1 tem velocidade própria 1u e a partícula 2 tem velocidade própria 2u . Porém, a velocidade própria 2u em termos do observador 0c=v e é dada por ( )2 0exp θ=u U v . Isto só é possível desde que 0 0=U V para que
( ) ( ) ( )2 2 0 1 0 1 2 0exp exp expθ θ θ θ= = ⎡ + ⎤⎣ ⎦u V U v U v .
Mas então 1 2θ θ θ= + e daí que ( )1 2tan tanβ θ θ θ= = + .
Como
( ) 1 21 2
1 2
tan tantan1 tan tan
θ θθ θθ θ+
+ =−
infere-se, ainda, que 1 2
1 21β βββ β+
=−
.
0cu
v
0c v
u
θ
θ
ct c t
x
0ct
Ac t
Bc t
A B
θ
128 Carlos R. Paiva
A figura que representa a variação de β com 1β para 2 1 2β = revela coisas estranhas: (1) não existe qualquer limite para a velocidade de uma partícula já que β →∞ quando
1 21β β→ ; (2) duas velocidades positivas 1 0β > e 2 0β > dão origem a uma velocidade negativa 0β < para 1 21β β> . Na teoria da relatividade isso não acontece: existe um limite máximo 1β = que só é atingido para partículas sem massa. Isto revela que o modelo matemático da «relatividade euclidiana» é inconsistente do ponto de vista físico: só o espaço de Minkowski, associado à álgebra 1,3C , permite obter resultados fisicamente razoáveis.
0c=v e
1 0c=u f 2 0c=u g
1 1 0
1 1 0
cu cu
ββ
==
U U 0
0
cu cu
ββ
==
U U
2 2 0
2 2 0
cu c v
ββ
==
U V
0 0 0
0 0 0
uv
==
U eV f
Relatório de Fotónica
129
Docente responsável: Prof. Carlos R. Paiva
Duração: 3 horas • Exame de 7 de Julho de 2008
Ano Lectivo: 2007/2008 • 2.ª DATA
A theory that is not refutable by any conceivable event is non-scientific. Irrefutability is not a virtue of a theory (as people often think) but a vice. ^tÜÄ et|ÅâÇw cÉÑÑxÜ
1. Um sistema de comunicação óptica, operado em 1.55µm , tem um débito binário de 5 Gb/s e
utiliza impulsos gaussianos com uma largura (FWHM) de 100 ps e um coeficiente de chirp 6C = − . Compare, para 2
2 20 ps / kmβ = − , o máximo comprimento da ligação com e sem chirp. Despreze 3β e V . Considere um coeficiente de alargamento dos impulsos de 20%.
Resolução: Para impulsos gaussianos com chirp tem-se FWHM 02 2 ln 2τ σ= e ainda
2 2 2
2 22 2
0 0 0
12 2
L LC β βσσ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Daqui tira-se que
( ) ( )( )
2 222
2 20 0 0 2
sgn 1 112 2 1
C CB B L
C
β η
γ σ γ β
− + + −= → =
+.
Para FWHM 100 psτ = vem 0 42.47 psσ = . Como 5 Gb/sB = , infere-se que 0 2.35γ = . Logo, considerando 1.20η = , obtém-se 6 kmL = com chirp ( )6C = − . Na ausência de chirp ( )0C = , vem um comprimento de ligação 120 kmL = .
2. Prove o seguinte: um raio óptico percorre uma trajectória parabólica num meio cujo índice de
refracção tem, em coordenadas polares, um perfil ( ) 1n r r= .
Sugestão: ( ) ( ) ( )1 2 2cos 2d d r r r r rκ κ κ− ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ .
Resolução: Em coordenadas polares é
( )2 2 2
d rrr n r
κθκ
=−
∫ .
Logo,
( ) ( )2 2
2
1 d rn r n r r rr r r
κθκ
= → = → =−
∫ .
Mas então, de acordo com a sugestão, vem
( ) ( )2
1 20 0
2cos 2 cosrr r rr
κθ θ κ θ θ− ⎛ ⎞−= + → = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Para provar que esta equação representa uma parábola basta fazer
130 Carlos R. Paiva
( )( )
0 2 2 2
0
sincos
x rx y r
y rθ θθ θ
= −→ + =
= −
pelo que
( )22 2 2 2 2 22 2y x y y x yκ κ= + + → − = +
4 24 yκ∴ + 2 2 24 y x yκ− = +2
2
2xy κκ
⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Note-se que esta equação é, de facto, a equação de uma parábola, tendo-se 2
2
2 2 2x x xy κ κ κκ κ κ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
o que mostra que 0y = para 22x κ= ± . A figura anexa mostra o gráfico de y vs x− − para 1κ = .
3. É possível a propagação de ondas planas e monocromáticas num meio isotrópico do tipo ENG (i.e., com 0ε < e 0µ > )? Justifique a sua resposta.
Resolução: Para ondas planas e monocromáticas da forma ( )exp i tω⎡ ⋅ − ⎤⎣ ⎦k r as equações de Maxwell escrevem-se
00
ωω
× =× = −⋅ =⋅ =
k E Bk H Dk Dk B
para regiões sem fontes. Num meio em que 0ε ε=D E e 0µ µ=B H , tem-se ainda
Relatório de Fotónica
131
0
0
00
ωµ µωε ε
× =× = −⋅ =⋅ =
k E Hk H Ek Ek H
de modo que a única forma de satisfazer a condição 0µ > é ter a seguinte configuração geométrica:
0µ > → Ou seja: para 0µ > o triedro [ ]EHk é direito (ou dextrorso). Porém, a única forma de satisfazer a condição 0ε < , é ter a configuração alternativa em que o triedro [ ]EHk é esquerdo (ou sinistrorso).
0ε < → Mas então, como as duas configurações são contraditórias, é impossível ter – com 0ε < e 0µ > simultaneamente – propagação (i.e, com k = k real) num meio ENG.
4. Prove as seguintes afirmações: (i) uma partícula de massa nula (e.g., um fotão) desloca-se,
necessariamente, à velocidade da luz c ; (ii) no dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie a velocidade de fase pv e a velocidade de grupo gv do feixe de ondas associado a uma partícula são
tais que 2p gv v c= ; (iii) a velocidade da partícula v coincide com gv . Sugestão: a energia de uma
partícula é dada por E tal que 2 2 2 20 c p= +E E onde 2
0 mc=E . Resolução: Comecemos por notar que a velocidade v de uma partícula é dada pela equação
E
H
k
k
H
E
132 Carlos R. Paiva
dvd p
=E .
Assim, derivando ambos os membros de 2 2 2 20 c p= +E E em ordem ao momento, obtém-se
2 22 2d d pc p v cd p d p
= → = =E E
EE
.
Mas, para partículas de massa nula, tem-se 20 0mc= =E e, portanto, c p=E . Logo, substituindo na
equação anterior, vem efectivamente 2 pv c c= =E
.
No âmbito do dualismo onda-corpúsculo de Louis de Broglie, é ω=E e p k= . Isto transforma a equação 2 2 2 2
0 c p= +E E em 2 2 2 20 c kω ω= + . Logo, derivando ambos os membros desta última
equação em ordem a k , obtém-se 2
2 22 2 gp
d d k cc k v cd k d k vω ωω
ω= → = = =
uma vez que pv kω= . Logo, 2p gv v c= . Note-se, ainda, que
22 2
gp
p k cv c c v vvω
= = = → =E
.
5. Na zona de dispersão normal só se podem propagar solitões escuros. Explique fisicamente porquê. Resolução: O exemplo típico da forma de um solitão escuro é dado pela função ( ), tanhu ζ τ τ= de forma que
( ) 2in tanhP τ τ∝ tal como se representa na figura anexa.
Na zona de dispersão normal tem-se 2 0β > . Assim
2 2
1 1 0 0g g
g g
dv dvdd v v d d
βω ω ω⎛ ⎞
= = − > → <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Relatório de Fotónica
133
a velocidade de grupo é uma função decrescente da frequência na vizinhança da portadora: as frequências mais baixas deslocam-se com maior velocidade do que as frequências mais altas; observa-se, portanto, um desocamento para o vermelho (resp., azul) na frente (resp., cauda) do impulso. No solitão escuro, ao contrário do solitão claro, tem-se
infrente do impulso 0d Pdt
→ <
na frente do impulso e incauda do impulso 0d P
dt→ >
na respectiva cauda. Logo, como a fase não-linear é dada por eff inNL L Pφ γ= , o correspondente chirp de auto-modulação de fase será
( ) NL ineff 0d d Pt L
dt d tφ
δω γ= − = − >
na frente do impulso, i.e., um desvio para o azul. Assim, dada a acção antagónica dos dois efeitos – a DVG (dispersão da velocidade de grupo) e a AMF (auto-modulação de fase) – é possível que eles se equilibrem mutuamente possibilitando a propagação deste tipo de solitões.
6. Uma partícula (não-relativista) de massa m move-se sob a acção de uma energia potencial
( ) ( )V x a xδ= − e encontra-se num estado quântico confinado. Determine a posição 0x de tal forma que a probabilidade de encontrar a partícula na região 0x x< seja 1 2 .
Resolução: A equação de Schrödinger independente do tempo escreve-se
( ) ( ) ( )2 2
22d a x u x u x
m d xδ
⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦
E .
Para estados quânticos confinados, é 0<E e, introduzindo 1 2 0mα = − >E ,
ter-se-à, para 0x ≠ ,
( ) ( )( )
exp , 0exp , 0
A x xu x
A x xαα
⎧ <⎪= ⎨ − >⎪⎩.
Deverá, ainda, ter-se a seguinte descontinuidade:
( )20 0
2 0x x
d u d u ma ud x d x+ −= =
− = − .
Logo, substituindo nesta última expressão a função ( )u x , vem
( ) ( )2 2
20 2 0ma mau A A uα α= → − = − → =
( ) 2expma x
u x A⎛ ⎞
∴ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
A normalização permite determinar a constante A :
( ) ( )2 2
0
1 2 exp 2 1u x dx A x d x Aα α∞ ∞
−∞
= → − = → =∫ ∫ .
Mas então, vem sucessivamente
( ) ( )0 0
0
2 2
0
1 12 exp 22 2
x x
x
u x dx A x d xα−
= → − =∫ ∫
134 Carlos R. Paiva
( ) ( )2
0 01 11 exp 2 1 exp 22 2
A x xα αα
⎡ − − ⎤ = → − − =⎣ ⎦
2
01 ln 2 ln 2
2 2x
maα∴ = = .
7. Considere, em 3 , a base ortonormada direita 1 2 3, ,= e e eB . Dados os vectores
1 2 32= + −a e e e , 1 2 32= − +b e e e , 1 2 32= + −c e e e e 1 2 3= + +r e e e , determine os coeficientes α , β e γ tais que α β γ= + +r a b c . Sugestão: utilize a versão em 3C da regra de Cramer.
Resolução: Vem sucessivamente
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
β γ γα γ αα β β
∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧∧ = ∧ + ∧ → ∧ ∧ = ∧ ∧∧ = ∧ + ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧
r a b a c a r a b c a br b a b c b r b c a b cr c a c b c r c a b c a
123 123
1 2 12 1 1 81 1 2
−∧ ∧ = − =
−a b c e e
123 123
1 1 192 1 1 98
1 1 2α ∧ ∧
∧ ∧ = − = → = =∧ ∧
−
r b cr b c e ea b c
123 123
1 1 131 1 2 38
1 2 1β ∧ ∧
∧ ∧ = − = → = =∧ ∧
−
r c ar c a e ea b c
123 123
1 1 171 2 1 78
2 1 1γ ∧ ∧
∧ ∧ = − = − → = = −∧ ∧
−
r a br a b e ea b c
8. Em regime linear a envolvente ( ),A z t de um impulso, que se propaga num sistema de
comunicação óptica com amplificação distribuída, obedece à equação
( )2 3
1 2 32 3
1 1 1i2 6 2
A A A A g Az t t t
β β β α∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −
∂ ∂ ∂ ∂.
(a) O coeficiente de atenuação α é uma constante. O coeficiente de ganho g , porém, não pode
ser considerado como uma constante. Explique qual é a natureza matemática de g nesta
equação e justifique fisicamente a sua resposta.
(b) Seja ( )Ω,~~ zAg a transformada de Fourier de ( )tzAg , . Admita, então, que o perfil
espectral do ganho diferencial é dado por ( ) 2 30 1 2 32 6g g g g gΩ = + Ω + Ω + Ω . Mostre
que ( ) ( ) ( ), 0, expA z A zΩ = Ω ⎡∆ Ω ⎤⎣ ⎦ e determine ( )∆ Ω .
(c) Determine a equação da envolvente ( ),A z t explicitamente em função de 0g , 1g , 2g e 3g .
Relatório de Fotónica
135
(d) No caso particular do perfil parabólico, em que ( ) ( )2 20 01g gΩ = −Ω Ω , mostre que a
equação diferencial da alínea anterior se transforma em
2
2
1i 02
A Aζ τ∂ ∂
− =∂ ∂
desde que 2 3 0β β= = e 0gα = , com Dz Lζ = e ( )1 0t zτ β τ= − . Qual é, neste caso, a
expressão do comprimento de dispersão DL ?
Resolução
(a) Ao contrário de α , o coeficiente de ganho g tem um perfil espectral que não pode ser
plano. Ou seja: deve ser em geral ( )g g= Ω , com 0ω ωΩ = − (onde 0ω representa a
frequência da portadora). Nestas circunstâncias, a transformada inversa de g é
necessariamente um operador diferencial e não uma constante: ( )22, ,g g t t= ∂ ∂ ∂ ∂ … .
Com efeito, atendendo à variação temporal ( )exp i t− Ω , tem-se it∂ ∂ − Ω ,
2 2 2t∂ ∂ − Ω , 33 3it∂ ∂ Ω , etc.
(b) De ( )2 3
1 2 32 3
1 1 1i2 6 2
A A A A g Az t t t
β β β α∂ ∂ ∂ ∂+ + − = −
∂ ∂ ∂ ∂, infere-se que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 31 2 3
1 1i , i , i ,2 6
1 1, , .2 2
A A z A z A zz
g A z A z
β β β
α
∂− Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω
∂
= Ω Ω − Ω
Mas então
( ) ( ) ( )
( )
2 31 2 3
2 30 1 2 3
1 1i , i , i ,2 6
1 1 1 , .2 2 6
A A z A z A zz
g g g g A z
β β β
α
∂− Ω Ω − Ω Ω − Ω Ω
∂
⎛ ⎞= + Ω + Ω + Ω − Ω⎜ ⎟⎝ ⎠
Portanto, vem ( ) ( ),A A zz
∂= ∆ Ω Ω
∂ em que
( ) 2 30 1 2 3
1 1 1i i i2 2 6
a a a a∆ Ω = + Ω + Ω + Ω ,
desde que
136 Carlos R. Paiva
0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1i21i21i2
a g
a g
a g
a g
α
β
β
β
= −⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎨
= −⎪⎪⎪ = −⎪⎩
.
(c) De ( ) ( ),A A zz
∂= ∆ Ω Ω
∂
vem então
( ) ( )
( ) ( ) ( )
21 1 2 2
33 3 0
1 1 1i i , i i ,2 2 2
1 1 1i i , , .6 2 2
A g A z g A zz
g A z g A z
β β
β α
∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − Ω Ω − − Ω Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞− − Ω Ω = − Ω⎜ ⎟⎝ ⎠
Fazendo uma transformada inversa, obtém-se
( ) ( )
2 3
1 1 2 2 3 32 3
0
1 1 1 1 1i i i i2 2 2 6 2
1 , .2
A A A Ag g gz t t t
g A z t
β β β
α
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
(d) Consideremos, agora, o perfil parabólico, ( ) ( )2 20 01g gΩ = −Ω Ω . Neste caso particular,
vem 1 3 0g g= = e 22 0 02g g= − Ω . Além disso, se se fizer 2 3 0β β= = e 0gα = , resulta
20
1 2 20
i 02gA A A
z t tβ∂ ∂ ∂
+ − =∂ ∂ Ω ∂
.
Introduzindo, agora, as mudanças de variável Dz Lζ = e ( )1 0t zτ β τ= − , vem
1
0
2 2
2 2 20 0
1
1 1D
A A d A A Az z d z z L z
A A A A At t t
βζ ττ τ τ
ττ τ τ τ τ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ = + = −⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪⎨∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ = = → =⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩
donde se infere que 2
02 2 20 0
1i 02
Dg LA Aζ τ τ
∂ ∂− =
∂ Ω ∂.
Logo, definindo um comprimento de dispersão
2 20 0
0DL
gτ Ω
= ,
obtém-se efectivamente a equação canónica
Relatório de Fotónica
137
2
2
1i 02
A Aζ τ
∂ ∂− =
∂ ∂.
O efeito dispersivo diminui com o aumento do parâmetro 0Ω . No caso limite 0Ω →∞ o
perfil espectral seria plano e DL →∞ não existindo, portanto, qualquer efeito dispersivo.
9. Em meios com birrefringência circular (i.e., meios cujas duas ondas características têm
polarizações circulares ortogonais) ocorre uma rotação de polarização. As amplitudes complexas
das duas ondas características são ( )ˆR i= + ×E a k a para a PCD e ( )ˆ
L i= − ×E a k a para a PCE
( )ˆ 0⋅ =a k . Para ˆζ = ⋅r k é ( )ˆR R Rk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k e ( )ˆ
L L Lk k ζ⋅ = ⋅ =k r r k , donde
( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 exp expR R L Lt i k t i k tζ ζ ω ζ ω= ℜ ⎡ − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E .
Admitindo que ( ) ( )0, cost tω=E a (i.e., polarização linear segundo a em 0ζ = ), mostre que
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ˆ, cos sin cos2
R L
R L
k kt t
k kφ ζ ζ
ζ ψ ψ φ ωψ ζ ζ
= + ⎡ ⎤→ = − × −⎣ ⎦= −E a k a .
Prove que este resultado corresponde a uma rotação de polarização de um ângulo θ . Indique
graficamente esta rotação de polarização e determine esse ângulo θ .
Resolução
Comecemos por escrever, tal como se indica no enunciado,
( ) ( ) ( ) 1, exp exp2 R R L Lt i k t i k tζ ζ ω ζ ω= ℜ ⎡ − ⎤ + ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦E E E .
Como
( ) ( )
( ) ( )
1212
R LR
LR L
k k kkk k
φ ζ ζ ζ φ ψζ φ ψψ ζ ζ
= + = +→
= −= −
podemos escrever
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, exp exp exp exp exp exp2 R Lt i i i t i i i tζ φ ψ ω φ ψ ω= ℜ − + − −E E E
e, substituindo ( )ˆR i= + ×E a k a e ( )ˆ
L i= − ×E a k a , vem sucessivamente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ ˆ, exp exp exp exp exp exp2
t i i i i t i i i i tζ φ ψ ω φ ψ ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ℜ + × − + − × − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦E a k a a k a
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )exp exp 2 cos
ˆ ˆexp exp 2 sin
i i
i i i
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
⎡ + − ⎤ =⎣ ⎦
× ⎡ − − ⎤ = − ×⎣ ⎦
a a
k a k a
138 Carlos R. Paiva
de modo que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ, cos sin cost tζ ψ ψ φ ω⎡ ⎤= − × −⎣ ⎦E a k a .
O ângulo θ da figura anexa é tal que
( ) ( ) ( )1tan tan tan2 R Lk kθ ψ ζ⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦
.
⊗
ˆ ×k a
a
( ),tζE
θ k
Relatório de Fotónica
139
Além do exame final a avaliação de conhecimentos compreende, ainda, uma componente de
avaliação contínua constituída por trabalhos ou pequenos projectos. Os trabalhos incidem,
com algumas excepções, sobre problemas de simulação numérica; recomenda-se a utilização
da plataforma MATLAB para a sua resolução. A respectiva classificação corresponde a 30%
da nota final. Cada aluno(a) pode integrar um grupo constituído por um máximo de 2 alunos.
A possibilidade de um(a) aluno(a) fazer sozinho(a) o trabalho de avalização está prevista, até
porque o número total de alunos não é necessariamente um número par. A nota final desta
componente de avaliação contínua corresponde à média dos dez trabalhos. Cada enunciado é
entregue assim que a correspondente aula teórica tenha sido dada. Os grupos dispõem de um
máximo de duas semanas para a resolução de cada trabalho. Apresentam-se, de seguida, os
oito trabalhos de avaliação do ano lectivo de 2007/2008.
TRABALHOS
T1 Lente de Luneberg
T2 Laser semicondutor: modulação directa da corrente de injecção
T3 Mecânica quântica: modelo de Kronig-Penney
T4 Guias ópticos rectangulares: método do índice de refracção efectivo
T5 Fibras ópticas: resolução numérica das equações modais
T6 Fibras ópticas (regime linear): modelo analítico para o alargamento dos impulsos
T7 Fibras ópticas (regime linear): simulação numérica da propagação de impulsos
T8 Simulação numérica da propagação de solitões em fibras ópticas
140 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se analisar a lente de Luneberg.
Considere uma esfera de Luneberg, imersa no ar, cujo índice de refracção é dado pela
expressão
( ) 22n r r= − .
Admita, sem perda de generalidade, que o raio da esfera é unitário, i.e., a esfera ocupa – em
coordenadas polares ( ),r θ – a região 0 1r≤ ≤ . Pretende-se que mostre a propriedade de
focagem desta lente que se ilustra na figura anexa.
Sugestão: Note que, num meio em que ( )n n r= , se verifica a lei de Snell
( ) ( )sinn r r φ κ= .
Comece por mostrar, então, que os dois ângulos assinalados na figura são efectivamente
iguais a α , com
( ) ( )sin sina aκ π α α= − = .
P
X
Y
a
α
α
Relatório de Fotónica
141
De seguida, este trabalho comporta duas partes: (i) numa primeira parte pretende-se dque
deduza analiticamente a trajectória dos raios; (ii) numa segunda parte o objectivo é que
desenvolva um programa MATLAB para traçar os raios (tal como se ilustra na figura em
cima).
Comece por considerar um raio que parte do ponto, em coordenadas polares, ( )1,π e
que faz um ângulo α com o eixo X positivo quando se encontra no ponto de saída da lente,
i.e., em ( )1,α . Fazendo
( )
( ) ( )sin
r r n rκ α=
=
mostre que o «turning point» deste raio se observa para o valor mínimo de ( )r θ , que
designaremos por r rα= , com (para 0α > )
( )2 2 0 1 cos 2 sin2
rαακ α ⎛ ⎞− = → = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Note que se tem (designa-se por αθ o ângulo θ para o qual r rα= )
142 Carlos R. Paiva
2 2
1
2 2 2 21
r
r r
r
d rr
d r d rr r
α
α
α
α
κπ θ θ θ πκ
κ κθ θ θ πκ κ
≥ ≥ → − =−
≥ → − = −− −
∫
∫ ∫.
Tenha em consideração que, no interior da lente (i.e., para θ α≥ ),
( )( )2 2
1
2 2 2 2 2
1 sgn tan2 2
r bb
ar a
d r rr r r
κ κκκ κ κ
=
−
=
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= ⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎜ ⎟− −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
enquanto que, no exterior da lente (i.e., para θ α< ),
( )2 2
1
2 2sgn tan
r bb
ar a
rd rr
κκ κκκ
=
−
=
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟=
⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ .
Mostre que se tem
( )122α αθ α π θ π α− = → = + .
Na figura anexa (da página seguinte) mostra-se a variação, dentro da lente, de ( )r r θ= para
alguns valores de α . Mostre que, neste caso, se tem
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2
1 cos cos 20 sin
sin 2 sin cos 2r
α θ αθ α θ α
θ α α θ α+ −
≥ > → =− + −
.
Sugestão: ( ) ( ) ( )( ) ( )
tan tantan
1 tan tanx y
x yx y+
+ =−
.
Relatório de Fotónica
143
Bibliografia Samuel P. Gordon, “General solution of the Luneberg lens problem,” Journal of
Applied Physics, Vol. 29, No. 9, pp. 1358-1368, September 1958
144 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a modulação directa da
corrente de injecção de um laser semicondutor.
Um laser semicondutor é operado em 1.55 mλ µ= . A corrente de injecção ( )I t é modulada
directamente, tendo-se
( ) ( )0 p pI t I I g t= + .
Admita que o “ganho” (ou, mais correctamente, a taxa elementar líquida de recombinação
estimulada) G observa a seguinte relação:
( )1
N tG N NG
Sε−
=+
.
Considere os seguintes valores numéricos para a caracterização do dispositivo: 4 110NG s−= ,
810tN = , 2spn = , 710ε −= , 3pspτ = , 2nscτ = . Admita um factor de confinamento óptico
0.8Γ = . Interprete fisicamente os resultados obtidos.
(a) Para 0 1.1 thI I= e p thI I= represente graficamente vsS t− − quando 0.2nsT = e
0.5nsT = . Considere
( ) ( ) ( )/ 2rectpt Tg t H t H t T
T−⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
em que ( )H t é a função de Heaviside.†
(b) Repita a alínea anterior mas agora para 0 0.8 thI I= e 3p thI I= .
† Define-se a função de Heaviside tal que ( ) 1=tH para 0≥t e ( ) 0=tH para 0<t .
Relatório de Fotónica
145
Adenda Apresenta-se, a seguir, um caso concreto de um sistema de duas equações diferenciais
ordinárias que pertence à mesma classe das equações das taxas. Considere-se, com efeito, que
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 111 2
1 2
2 222 1
1 2
11
11
B p zd p A p zd z p z p z
B p zd p A p zd z p z p z
⎧= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ + +⎪
⎨⎪ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪ + +⎩
onde 1 1 2 2, , ,A B A B ∈ e 1 2, :p p → são funções conhecidas. Note-se que, neste
problema, a coordenada espacial z desempenha o papel do tempo t nas equações das taxas.
Para a resolução deste novo sistema é necessário conhecer as condições iniciais
( )( )
1 0
2 0
00
0p a
zp b
=⎧⎪= → ⎨ =⎪⎩.
Apresenta-se, então, um programa MATLAB que permite resolver este novo problema.
1
02
01
2
1101constantes12escolhidas
1
AaAbB
B
= −==
→==
=
[ ]intervalo de pesquisa 0,10z→ ∈
Programa MATLAB: «diferen.m».
Nota: O programa «diferen» chama, durante a sua execução, a subrotina «derv» através do
programa «ode45».
146 Carlos R. Paiva
Programa «diferen.m»
% DIFEREN Resolução do seguinte sistema de equações diferenciais
%
% d B1 * p1(z)
% ---- p1(z) = ----------------------- * [A1 * p2(z) - 1]
% d z 1 + p1(z) + p2(z)
%
% d B2 * p2(z)
% ---- p2(z) = -------------------- * [A2 * p1(z) - 1]
% d z 1 + p1(z) + p2(z)
%
clear all % Limpa todas as variáveis da memória
close all % Fecha todas as janelas de figuras
A1 = -1; A2 = 1; B1 = 2; B2 = 1; % Constantes do sistema de equações
z=linspace(0,10,1000); % Vector distância onde z = 0 até z = 10 com 1000 pontos
pini=[10 1]; % Valores iniciais das variaveis p1(z) = 10 e p2(z) = 1 no ponto z = 0
OPTIONS=odeset('AbsTol',1e-9,'RelTol',1e-6); % Alteração do valor da tolerância do
% método de RUNGE-KUTTA
% (função ODE45.m)
% Método de RUNGE-KUTTA. 'derv' é a função onde está descrito o sistema diferencial
[z,p]=ode45('derv',z,pini,OPTIONS,A1,A2,B1,B2);
plot(z,p(:,1),'b-',z,p(:,2),'r-'); % Gráfico de p1(z) e p2(z)
title('p1(z) - Azul p2(z) - Vermelho');
xlabel('Distância');
ylabel('Amplitude');
Relatório de Fotónica
147
Função «derv.m»
% DERV Função executada por ode45.m com a descrição do sistema de equações diferenciais
% z - posição onde calcular o valor das derivadas de p1(z) e p2(z)
% p - vector com os valorer p1(z) e p2(z) na posição z
% flag - flags usadas pela função ode45.m
% A1, A2, B1, B2 - constantes do sistema diferencial
%
function dp=derv(z,p,flag,A1,A2,B1,B2)
dp(1)=B1*p(1)/(1+p(1)+p(2))*(A1*p(2)-1); % Equação dp1(z)/dz
dp(2)=B2*p(2)/(1+p(1)+p(2))*(A2*p(1)-1); % Equação dp2(z)/dz
dp=dp'; % Passagem do vector das derivadas de linha para coluna
Figura T2A – Resultado obtido através do programa DIFEREN.
William E. Boyce and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems (Hoboken, New Jersey: Wiley, 8th ed., 2005).
148 Carlos R. Paiva
Apresentam-se, de seguida, alguns gráficos correspondentes à simulação numérica das
equações das taxas num laser semicondutor com modulação directa da corrente de injecção.
150 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se analisar a constituição de bandas de energia em cristais.
Considera-se, como modelo simplificado, a equação unidimensional de Schrödinger
independente do tempo com um potencial periódico (modelo de Kronig-Penney). Faz-se uso
do teorema de Bloch (também conhecido por teorema de Floquet – particularmente na teoria
das equações diferenciais).
Considere a equação de Schrödinger independente do tempo (trata-se de uma equação de
valores próprios)
( ) ( ) ( )2 2
2ˆ ˆ,
2dH u x u x H V x
m d x= = − +E .
Introduzindo as mudanças de variável
( ) ( )2 2
,2 2
V x U xm m
ε= =E ,
obtém-se a equação diferencial de Sturm-Liouville
( ) 0u U x uε′′ + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
em que 2 2:u d u d x′′ = . Designemos por ( )xΨ o valor inicial da função de onda ( ),x tΨ , i.e.,
façamos ( ) ( ): ,0x xΨ = Ψ por definição. Para uma partícula livre, em que ( ) 0V x ≡ , tem-se
então
( )2 2 2
22 2 0
2d ui k u x
t m x d x∂Ψ ∂ Ψ
= − ⇒ + =∂ ∂
onde 2 2 22 2p m k m= =E , pelo que 2 22k m= E . Notemos então que, quando a energia
potencial é periódica, de período x a= – i.e., quando se tem ( ) ( )V x a V x+ = – , o teorema
de Bloch (também conhecido por teorema de Floquet) indica que as soluções da equação
diferencial de Sturm-Liouville são também periódicas, com ( ) ( )u x a u x+ = , tendo-se então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp expx i q x u x x a i q a xΨ = ⇒ Ψ + = Ψ .
Considere, então, o modelo simplificado de Kronig-Penney em que
Relatório de Fotónica
151
( ) ( )n
U x x n aaλ δ
∞
=−∞
= −∑ .
Para valores de x suficientemente afastados dos pontos x n a= , a solução ( )xΨ deverá
comportar-se como uma combinação linear de ( )sin k x e de ( )cos k x . Admita, então, que se
pode escrever
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 1 1
sin cos
sin 1 cos 1
n n n
n n n
x R x A k x na B k x na
x R x A k x n a B k x n a+ + +
∈ Ψ = − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∈ Ψ = − + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
onde se consideraram as regiões
( )( )1
11
n
n
R n a x n aR n a x n a+
− ≤ ≤≤ ≤ +
.
Admita, ainda, que as condições fronteira do meio em questão (o “cristal”) são periódicas,
com ( ) ( )n N nR R+Ψ = Ψ . Mostre que, nestas condições, se tem
( ) ( ) ( )sin: cos cos
2ka q a
ξλξ ξξ
= = + .
Discuta o resultado obtido. Represente graficamente a função ( ) vsf ξ ξ− − , em que
152 Carlos R. Paiva
( ) ( ) ( )sin: cos
2f
ξλξ ξξ
= + ,
para o caso 3λ π= e discuta grafica e numericamente as bandas proibidas e permitidas.
Mostre que a energia ( )k=E E é periódica de período 2 aπ , tendo-se
( )22 2 2 2
22 2km ma
π ξξπ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
E .
Definindo, então, a variável : q aζ = , é possível definir a função ( )ζ=E E . Represente
graficamente, para 0 4ζ π≤ ≤ , esta nova função também para o mesmo caso já anteriormente
considerado (i.e., 3λ π= ). Para o eixo das ordenadas considere 0E E e para o eixo das
abcissas ζ π :
( ) ( ) 2
2 20
0 22
q a
ma
ζ ζ ξ ζππ
= ⎡ ⎤→ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦=
E
EE
.
Compare o gráfico obtido com o de
( ) 2
0
ζ ζπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
E
E.
A cada intervalo definido de acordo com
( ) ( )zona de Brillouin 2 1 2 1n k na aπ π
→ − < ≤ +
dá-se o nome de zona de Brillouin. A primeira zona de Brillouin corresponde a 0n = com
π ξ π− < ≤ .
Bibliografia Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to
Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2008
154 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se determinar o índice de refracção modal n de um laser
semicondutor através do método do índice de refracção efectivo.
Um laser semicondutor, operado em 1.3µmλ = , é constituído por um varão dieléctrico de
secção rectangular de comprimento L com um índice de refracção 1 3.5n = imerso numa
bainha (considerada ilimitada) cujo índice de refracção é 2 3.2n = .
2 3.2n =
1 3.5n = Y
X
2w
2d
d L
w
Relatório de Fotónica
155
Admita que o varão dieléctrico tem uma espessura d ao longo de x e uma largura w ao
longo de y . De acordo com o método da constante dieléctrica efectiva (ou, mais
precisamente neste caso, do índice de refracção efectivo), a constante de propagação
longitudinal deste guia é 0n kβ = e corresponde à placa dieléctrica (uniforme segundo x e
z ) em que se considera propagação da forma ( )0exp i n k z , com (segunda fase)
eff
2
, 2( )
, 2n y w
n yn y w
⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩.
Por sua vez, o factor de propagação ( )eff 0exp i n k z corresponde a uma placa dieléctrica
(uniforme segundo y e segundo z ) em que (primeira fase)
1
2
, 2( )
, 2n x d
n xn x d⎧ ≤⎪= ⎨ >⎪⎩
.
Considere o modo híbrido fundamental em que se tem (aproximadamente) 0x yE H= = , i.e.,
quando se propagam modos TE (com componentes , ,y x zE H H ) na determinação de effn
(primeira fase) e modos TM (com componentes , ,x y zH E E ) na determinação de n (segunda
fase).
2 3.2n =
1 3.5n = Y
X
2d
Estrutura bidimensional da primeira fase
156 Carlos R. Paiva
(a) Represente graficamente effn em função de D e n em função de W . Considere, para a
segunda fase, que 0 2k d dπ λ= com 0.1 md µ= e 1.3 mλ µ= (para a determinação
de effn na primeira fase). Note que
2 20 1 2D k d n n= − e 2 2
0 eff 2W k w n n= − .
(b) Represente também graficamente TΓ em função de D e LΓ em função de W .
Considere os valores da alínea anterior para a segunda fase. Definem-se
( )2 2 2 2eff 2 1 2Tn n n n= +Γ − , ( )2 2 2 2
2 eff 2Ln n n n= +Γ − .
(c) Para 1.3 mλ µ= , 0.1 md µ= e 1 mw µ= , calcule effn e n . Determine o factor de
confinamento óptico T LΓ = Γ Γ . Compare os resultados obtidos com as aproximações
2
22TD
DΓ =
+,
2
22LW
WΓ =
+.
2 3.2n =
effn
Y
X
2w
2 3.2n =
Estrutura bidimensional da segunda fase
Relatório de Fotónica
157
Figura T4A – Resultados da primeira fase do Trabalho T4.
Figura T4B – Resultados da segunda fase do Trabalho T4.
158 Carlos R. Paiva
Parte I
Objectivo: Na primeira parte deste trabalho pretende-se analisar a influência do contraste
dieléctrico sobre o diagrama de dispersão do modo fundamental 11HE de uma fibra óptica.
Considere uma fibra óptica cujo contraste dieléctrico é
2 21 2
212
n nn−
∆ = .
Represente o diagrama de dispersão do modo fundamental 11HE na forma vsb v− − para os
seguintes valores do contraste dieléctrico: (i) 0∆ = ; (ii) 0.2∆ = ; (iii) 0.4∆ = . A equação
modal para os modos HEmn pode ser escrita, para 1m = , na forma
( )( ) ( ) ( )
( )0 0
11 2 21 1
J K1 1modo HE 1J K
u wR
u u w w w u⎡ ⎤ ⎛ ⎞→ = −∆ + + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
em que
( )( )
2 4202
2 21
K11 2K
wu vRv u w w w w
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ∆ −∆ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦.
Note-se, porém, que
( )( )
( )
0
1
0
J 0 1
J 0 0
lim K , 0,1, 2,nww n
→
=
=
= ∞ = …
o que obriga a ter especial cuidado na pesquisa de soluções quando 0v → . Note-se por fim
que, quando se faz 0∆→ , a equação modal do modo 11HE se reduz à equação modal do
modo 01LP :
( ) ( ) ( ) ( )010 1 1 0
modo LPJ K J K
0w u w u u w→ =
∆→.
Relatório de Fotónica
159
Figura T5A – Resultados da primeira parte do Trabalho T5.
Parte II
Objectivo: Na segunda parte deste trabalho pretende-se resolver numericamente a equação
modal dos modos LP de uma fibra óptica na aproximação de pequeno contraste dieléctrico
(weakly-guiding approximation).
Represente graficamente as curvas de dispersão vsb v− − dos primeiros seis modos LP de
uma fibra óptica. Note que a equação modal para o modo LPpn pode ser escrita na forma
( ) ( ) ( ) ( )1 1J K J K 0p p p pu u w w u w− −+ =
sendo o respectivo corte cv tal que ( )1J 0p cv− = .
160 Carlos R. Paiva
Figura T5B – Resultados da segunda parte do Trabalho T5.
Bibliografia Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (pp. 110-155, pp.
797-811)
Bahaa E. A. Saleh and Marvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, New
Jersey: Wiley, 2nd ed., 2007 (pp. 289-364)
Relatório de Fotónica
161
Objectivo: Neste trabalho pretende-se estudar analiticamente o alargamento dos impulsos que
se propagam, em regime linear, numa fibra óptica monomodal.
Pretende-se analisar o efeito da DVG (dispersão da velocidade de grupo) e da dispersão de
ordem superior na propagação de impulsos em fibras ópticas monomodais operadas em
regime linear. Comece então por demonstrar que, em regime linear, a forma do espectro dos
impulsos se mantém invariante ao longo da propagação na fibra – independentemente da
respectiva forma no domínio temporal. O campo eléctrico ao longo da fibra é, no domínio da
frequência, dado por
( ) ( ) ( )ˆ, , ,F x y B zω ω=E r x ,
( ) ( ) ( ), 0, expB z B i zω ω β= .
Para calcular o campo no domínio temporal, há que calcular
( ) ( ) ( )1, , exp2
B z t B z i t dω ω ωπ
∞
−∞
= −∫ .
Sendo 0ω a frequência da portadora, define-se
( ) ( ) ( )0 0, , expB z t A z t i z tβ ω= −⎡ ⎤⎣ ⎦
em que ( ),A z t é a envolvente do sinal e onde
( ) ( )0
00
,!
mmm
m mm
dm d ω ω
β ββ ω β ω βω
∞
= =
= +Ω = Ω =∑ .
Quando se desprezam os termos do desenvolvimento em série com 4m ≥ , a equação
diferencial da envolvente é 2 3
1 2 2 3
1 1 02 6
A A A Aiz t t t
β β∂ ∂ ∂ ∂+ + − =
∂ ∂ ∂ ∂.
Reescreva esta equação diferencial em relação às variáveis normalizadas (adimensionais)
20
12
0
DD
zL
Lt z
ζτ
ββ ττ
⎧ =⎪⎪= ⎨ −⎪ =⎪⎩
.
Introduzindo os momentos
162 Carlos R. Paiva
( )
( )
2
2
,
,
m
m
t A z t dtt
A z t dt
∞
−∞∞
−∞
=∫
∫
define-se, então, a largura efectiva (r.m.s.) σ do impulso tal que
22 2t tσ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ .
Demonstre que (os índices Ω significam uma derivação parcial em relação à frequência)
( ) ( )
( )22
1 , ,2
1 ,2
t i A z A z d
t A z d
π
π
∞∗
Ω−∞
∞
Ω−∞
= − Ω Ω Ω
= Ω Ω
∫
∫
e considere, doravante, que
( ) ( )22 1, , 1
2A z t dt A z d
π
∞ ∞
−∞ −∞
= Ω Ω =∫ ∫ .
Define-se, ainda,
( ) ( ) ( )0, 0, expA z A i zβ βΩ = Ω −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( )0, expA S iθΩ = Ω Ω⎡ ⎤⎣ ⎦
onde ( )θ θ= Ω introduz o efeito do chirp inicial do impulso. Considere o atraso de grupo
( ) ( )0
,L
g
zd z
β ωτ ω
ω∂
=∂∫
onde a constante de propagação longitudinal pode variar com z no caso das fibras não
uniformes. Note-se que, no caso de se considerar que β não varia ao longo da propagação, se
recupera a expressão mais conhecida
1gg
d LL Ld vβτ βω
= = = .
Seja, ainda,
( ) ( ) 212
f f S dπ
∞
−∞
= Ω Ω Ω∫
e d dθ θΩ = Ω . Prove que, nestas circunstâncias,
22 2 20 2g g g gσ σ τ τ τ θ τ θΩ Ω
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦.
Relatório de Fotónica
163
Admita, seguidamente, que se tem
( ) 21 2 3
12g Lτ β β β⎛ ⎞Ω = + Ω+ Ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
e mostre que, nestas condições,
( ) ( )2 2 2 2 2
10 0 02 2 2
8 exp , tan1 1 1
CS CC C C
π σ σ σθ −⎡ ⎤Ω ΩΩ = − Ω = −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
para o caso em que
( )2
00
1, exp4iC tA z t A
σ
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Demonstre que
( )22 22 22 32 2
2 2 2 30 0 0 0
1 12 2 4 2
LL LC C ββ βσσ σ σ σ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
onde L é o comprimento da fibra. Represente graficamente 0σ σ em função de DL Lζ = ,
com 2 20 0
2 2
2DL τ σ
β β= =
para ( )2sgn 1β = − e considerando 0, 2C = ± no caso particular em que é possível considerar
3 0β = . Em que circunstâncias é que se deve considerar a contribuição de 3β ?
164 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a propagação de impulsos, em
regime linear, numa fibra óptica monomodal.
Recorrendo à simulação numérica (via FFT) analise a propagação, em regime linear, dos
seguintes impulsos ao longo da fibra óptica monomodal:
(a) ( )0 0
/ 2 / 20, 1 exp 1 exp2 2T t T T t TA t H t H t
τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦,
com 0T 5τ= e em que ( )H t é a função de Heaviside;
(b) ( )2
0
10, exp2
miC tA t
τ
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
,
com 3m = e 0, 2C = ± .
Adopte 1250kmL = para (a) e 250kmL = para (b). Seja /L DL Lζ = . Faça 0 50psτ = . Para
22 20ps /kmβ = − e 3 0β = , represente graficamente ( ),A ζ τ para 0 Lζ ζ≤ ≤ . Despreze as
perdas. Comente todos os resultados obtidos.
Adenda Para a simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear
(Trabalho T8) há que recorrer à FFT (fast Fourier transform). Consideremos apenas o caso
das fibras monomodais operadas em regime linear. Despreza-se, aqui, a influência da
dispersão de ordem superior (i.e., considera-se que é razoável fazer 3 0β = ). Assim, só o
efeito da DVG (dispersão da velocidade de grupo) é tido em consideração. As perdas são
desprezadas de forma a poder analisar, isoladamente, o efeito da DVG sobre a propagação os
impulsos. Nestas circunstâncias e em termos das variáveis normalizadas ζ e τ
Relatório de Fotónica
165
220
1
0
D
z zL
t z
βζ
τ
βττ
= =
−=
a equação de propagação dos impulsos é dada pela equação diferencial
( )2
2 2
1 sgn 02
u ui βζ τ∂ ∂
− =∂ ∂
.
Consideremos o caso específico da zona de dispersão anómala em que
( )2
zona de dispersãosgn 1
anómalaβ→ = −
de forma que a equação de propagação dos impulsos se reduz a
2
2
12
u uiζ τ∂ ∂
= −∂ ∂
.
Esta equação é facilmente resolvida no domínio da frequência (normalizada) ξ
( ) ( ) ( ), , ,u u uζ τ ζ ξ ζ τ= ⎡ ⎤⎣ ⎦F
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , exp
1, , exp2
u u i d
u u i d
ζ ξ ζ τ ξ τ τ
ζ ξ ζ τ ξ τ ξπ
∞
−∞
∞
−∞
=
= −
∫
∫
uma vez que
( )21 ,2
u i uξ ζ ξζ∂
=∂
( ) ( ) 21, 0, exp2
u u iζ ξ ξ ξ ζ⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Para determinar a forma do sinal, após uma determinada distância de propagação ao longo da
fibra óptica, há que voltar para o domínio do tempo – aplicando agora uma IFFT (a inversa de
uma FFT). No programa que a seguir se apresenta, intitulado «propag», apresenta-se o efeito
da DVG sobre um impulso com uma forma inicial
( ) ( ) ( )0 0, sechu uτ τ τ= = .
Sublinhe-se a necessidade de alterar a ordem interna do vector das frequências devido à forma
como a FFT apresenta a função no domínio da frequência. Este mesmo efeito poderia ser
alcançado através da instrução «fftshift» que, em vez de alterar a ordem interna do vector das
166 Carlos R. Paiva
frequências, altera a própria disposição da transformada (colocando o valor correspondente à
frequência nula no centro). Em qualquer caso é necessário garantir que a multiplicação pela
função de transferência da fibra óptica se processa, no domínio da frequência, de forma
correcta.
Bibliografia Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (pp. 317-322)
% PROPAG Propagação de impulsos regida pela equação diferencial
%
% d i d ^ 2
% ---- a(z, t) = --- ---------- a(z,t)
% d z 2 d t ^ 2
%
clear all; % Limpa todas as variáveis da memória
ztotal=5; % Distância total considerada
Nz=500; % Número de passos na distância
z=linspace(0,ztotal,Nz); % Vector distância com 'Nz' posições
t0=20; % Limite da janela temporal
Nt=1024; % Número de amostras temporais
t=linspace(-t0,t0,Nt); % Vector temporal com 'Nt' pontos (Janela temporal)
Ts=t(2)-t(1); % Separação entre amostras
Ws=2*pi/Ts; % Largura total da janela espectral
W=Ws*[0:1:Nt/2-1 -Nt/2:1:-1]/Nt; % Vector de frequências [rad/s]
a=sech(t); % Impulso inicial: a(0,t)=sech(t)
A=fft(a); % Impulso no domínio espectral: A(0,w)
for i=2:Nz % Ciclo para cada posição de z
Az=A.*exp(-1i/2*W.^2*z(i)); % Impulso no domínio espectral: A(z,w)
a(i,:)=ifft(Az); % Impulso no domínio temporal: a(z,t)
Relatório de Fotónica
167
end
figure(1); % Gráfico 2D do impulso inicial/final
plot(t,a(1,:),'b',t,abs(a(end,:)),'r');
title('entrada - azul saída - vermelho');
xlabel('Tempo');
ylabel('Amplitude');
axis([-t0 t0 0 1]);
[X,Y]=meshgrid(t,z); % Cria uma grelha rectangular de dimensões (Nt,Nz) usada por 'mesh'
figure(2);
mesh(X,Y,abs(a)); % Gráfico da evolução do impulso
xlabel('Tempo');
ylabel('Distância');
zlabel('Amplitude');
figure(3);
mesh(X,Y,abs(a));
xlabel('Tempo');
ylabel('Distância');
zlabel('Amplitude');
view(30,45); % view (azimute, elevação);
168 Carlos R. Paiva
Figura T7A – Primeira figura obtida através do programa PROPAG.
Figura T7B – Segunda figura obtida através do programa PROPAG.
170 Carlos R. Paiva
Objectivo: Neste trabalho pretende-se simular numericamente a propagação de impulsos
numa fibra óptica monomodal operada em regime não linear.
Pretende-se analisar a propagação de impulsos (nomeadamente de solitões) em fibras ópticas,
operadas em regime não-linear, através do SSFM (split-step Fourier method).
1. Analise a evolução, para 0 / 2ζ π≤ ≤ , dos seguintes impulsos incidentes:
(a) ( ) ( )0 sechu τ τ= ;
(b) ( ) ( )0 2sechu τ τ= ;
(c) ( ) ( )0 3sechu τ τ= .
2. Analise, para 0 5ζ≤ ≤ , a evolução de
( )2
0 exp2
u ττ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Comente sobre o limite (forma e amplitude) quando ζ →∞ .
3. Estude a interacção entre solitões do mesmo canal. Suponha que o impulso incidente tem
a forma ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0sech sech expu q r r q iτ τ τ θ= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ . Considere 0 90ζ≤ ≤ e
0 3.5q = nos seguintes casos:
(a) 0θ = , 1r = ;
(b) / 2θ π= , 1r = ;
(c) 0θ = , 1.1r = .
Compare a distância ( )q q ζ= entre solitões, com ( ) 00q q= , para os diferentes casos.
Represente graficamente a função ( )q q ζ= para os casos em análise.
Relatório de Fotónica
171
Adenda Para estudar a propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não linear usa-se o
SSFM (split-step Fourier method). Em termos das variáveis normalizadas ζ e τ , tem-se
então
( ) ( )2
22 2
equação de propagação de impulsos 1 sgnregime não linear 2 2
u ui u u i uβζ τ∂ ∂ Γ
→ − + = −∂ ∂
que se reduz à chamada equação NLS (não linear de Schrödinger) quando ( )2sgn 1β = −
(zona de dispersão anómala) e 0Γ = (sem perdas). Note-se que os efeitos não lineares e
dispersivos de ordem superior são, aqui, desprezados. O SSFM baseia-se na separação entre
os efeitos não lineares (operador N ) e os efeitos dispersivos (operadores Dτ ou Dξ ):
( ) ( )( )
( )
2
2 22
22
1 sgn2 1, sgn
22
D iu D N u D i
N i u
τ
τ ξ
βτ
ζ τ β ξζ
⎧ ∂=⎪ ∂∂ ⎪= + → → = −⎨∂ Γ⎪ = − +⎪⎩
( ) ( ) ( ), , ,u u uζ τ ζ ξ ζ τ= ⎡ ⎤⎣ ⎦F .
Assim, nesta versão do SSFM, considera-se o processo iterativo de passo h que permite ir do
impulso ( ) ( )0 0,u uτ τ= até à saída ( ),Lu ζ τ , com L DL Lζ = .
( ) ( ) ( )SSFM : , , ,u u h wζ τ ζ τ ζ τ→ + =
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
, exp ,
, FFT ,
, exp ,
, IFFT ,
v h N u
V v
W h D V
w W
ξ
ζ τ ζ τ
ζ ξ ζ τ
ζ ξ ζ ξ
ζ τ ζ ξ
=
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
=
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
172 Carlos R. Paiva
% SOL_N programa para representar a evolução de um SOLITÃO de ordem N
% Método: SSFM (Split-Step Fourier Method)
%
clear all;
close all;
N=3; % Ordem N do solitão sob consideração
Ntau=2^11; % Número de pontos da janela temporal
tmax=5; % Limites máximo e mínimo da janela temporal
tau=linspace(-tmax,tmax,Ntau); % Definiçao da janela temporal (em 'tau')
zetaMax=pi/2; % Definiçãoo da distância normalizada 'zeta'
h=0.005; % Passo incremental do SSFM
Nstop=round(zetaMax/h); % Número de iterações do SSFM
zeta=linspace(0,zetaMax,Nstop); % Definição da janela espacial (em 'zeta')
Ts=tau(2)-tau(1); % Discretização temporal
Ws=2*pi/Ts; % Discretização na frequência
xi=Ws*[0:1:Ntau/2-1 -Ntau/2:1:-1]/Ntau; % Vector das frequências normalizadas
u=N*sech(tau); % Definição do impulso inicial
beta2=-1; % Sinal de beta 2 (DVG)
gama=0; % Perdas normalizadas
impulso(1,:)=abs(u); % Módulo do impulso
D=i/2*sign(beta2)*xi.^2; % operador D de dispersão (DVG)
for k=2:Nstop
N=-gama/2+i*abs(u).^2;
v=(u).*exp(h*N);
V=fft(v);
U=V.*exp(h*D);
u=ifft(U);
impulso(k,:)=abs(u);
end
[XN,YN]=meshgrid(tau,zeta);
Relatório de Fotónica
173
mesh(XN,YN,impulso);
axis([-tmax tmax 0 zetaMax 0 max(max(impulso))]);
xlabel('\tau = (t - \beta_1 z) / \tau_0');
ylabel('\zeta = z / L_D');
zlabel('|u| (\zeta, \tau)');
title('Solitão de ordem N = 3')
Figura T8 – Resultado obtido através do programa SOL_N.
Bibliografia Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press, 4th ed.,
2007 (pp. 41-45)
174 Carlos R. Paiva
PARA ser grande, sê inteiro: nada
Teu exagera ou exclui.
Sê todo em cada coisa. Põe quanto és
No mínimo que fazes.
Assim em cada lago a lua toda
Brilha, porque alta vive.
FFEERRNNAANNDDOO PPEESSSSOOAA ((11888888--11993355))
Richard Zenith, Editor, Obra Essencial de Fernando
Pessoa, Vol. 4: Poesia dos Outros Eus. Lisboa:
Círculo de Leitores, 2007 (p. 208)
Relatório de Fotónica
175
• Os livros aqui indicados não constituem uma bibliografia básica para Fotónica. Uma lista
de livros que podem constituir uma tal bibliografia básica já foi anteriormente indicada
(página 42 deste Relatório).
• A ter de indicar um único livro aos alunos de Fotónica a minha escolha seria o primeiro
da lista (a seguir) referenciada como «Fotónica: Geral» (i.e., o livro de Saleh e Teich,
Fundamentals of Photonics, 2nd ed.) – sobretudo pelas suas qualidades pedagógicas.
• A lista que aqui se apresenta é, essencialmente, uma bibliografia comentada (com
comentários muito concisos) referente a temas abordados na disciplina de Fotónica de
forma (necessariamente) menos aprofundada.
• Note-se que não se trata, em rigor, de um conjunto de sugestões de leitura adicional:
alguns livros têm, efectivamente, esse papel; outros, pelo contrário, são livros que não se
recomendam (na minha opinião, como é óbvio).
• Mas, qual é a razão, afinal, para a inclusão de livros não recomendáveis? A resposta tem,
essencialmente, a ver com o seguinte: é também através dos exemplos negativos (ou, se
se preferir, de contra-sugestões) que os critérios pedagógico-científicos ganham uma
maior nitidez. Ou seja: além de revelarem, objectivamente, uma apreciação científica e
pedagógica, os comentários revelam também, necessariamente e de forma mais clara, o
próprio perfil científico e pedagógico de quem tece os comentários.
• Utiliza-se uma classificação que vai de mínimo ( )• a máximo ( ) . Os livros
com as classificações ( )• , ( ) e ( ) devem ser evitados (ver código das
classificações).
• A teoria da relatividade geral, apesar de não ser um tópico desta disciplina, também aqui
aparece. Com efeito, não creio ser possível – pelo menos a alguém que conheça a
relatividade restrita – não desejar, também, ter um conhecimento (nem que seja
elementar) da teoria da relatividade geral – mesmo se, para esse efeito, tiver de aprender
(também) alguma geometria diferencial.
176 Carlos R. Paiva
Código das classificações
péssimomedíocresofrívelbommuito bomexcelente
•
FOTÓNICA: GERAL Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007.
( ) Comentário: É, provavelmente, o melhor texto de fotónica do ponto de vista
pedagógico e da sua organização. Mas tem muitas partes que carecem de uma análise
mais aprofundada do ponto de vista científico (e.g., a anisotropia, os guias ópticos, a
teoria do acoplamento modal). Recomenda-se, em particular, a amplificação e
oscilação laser. Nota: a segunda edição é muito melhor do que a primeira (novos
assuntos e explosições mais claras; o uso da cor também beneficia bastante a profusão
de figuras claras e elucidativas).
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007.
( ) Comentário: Não é um livro elegante do ponto de vista pedagógico ou em
termos da sua organização e consistência. Parece, essencialmente, uma colecção de
textos dispersos. Trata-se, não obstante, de um dos dois livros de melhor nível científico
no universo da fotónica geral (o outro é o livro anteriormente citado). É, portanto, uma
referência essencial apesar do seu estilo pouco empolgante.
Ian R. Kenyon, The Light Fantastic: A Modern Introduction to Classical and
Quantum Optics. Oxford: Oxford University Press, 2008.
( ) Comentário: Trata-se de um texto recente que se distingue, pela positiva, dos
outros livros gerais sobre Fotónica pela ênfase dada aos aspectos da óptica quântica.
No entanto, é frequentemente superficial e muito sucinto. Certos tópicos têm um
Relatório de Fotónica
177
tratamento pouco mais do que qualitativo. A sua ambição é a origem deste pecado: a
superficialidade com que certos assuntos são tratados.
Peter Markoš and Costas M. Soukoulis, Wave Propagation: From Electrons to
Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2008.
( ) Comentário: Não é um livro que aborda todos os tópicos do programa de
Fotónica. É, no entanto, um livro muito bom no que se refere ao estudo paralelo de
alguns problemas de mecânica quântica e de propagação de ondas electromagnéticas
em meios periódicos. É dada especial atenção ao modelo de Kronig-Penney em
mecânica quântica para analisar o aparecimento de bandas de energia em cristais. É
dada relevância, também, ao estudo dos cristais fotónicos e aos metamateriais DNG
(duplamente negativos) com índice de refracção negativo. O nível do tratamento é
totalmente adequado aos alunos de Fotónica.
Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall, 1984.
( ) Comentário: Tratando-se de um texto datado em muitos aspectos é, contudo,
particularmente bem sucedido no estudo dos feixes ópticos e na teoria do acoplamento
modal. O seu autor tem sempre algo de interessante a acrescentar.
Keigo Iizuka, Elements of Photonics – Vol. I: In Free Space and Special Media; Vol.
II: For Fiber and Integrated Optics. New York: Wiley, 2002.
( ) Comentário: Não se recomenda em virtude de um tratamento frequentemente
qualitativo mas que não cumpre o seu papel formativo ao nível científico. É mais
vocacionado para «turistas acidentais» e caçadores de generalidades. Tem alguns
exemplos interessantes mas falta-lhe, essencialmente, a estrutura clara e sistemática
que se pode encontrar no livro de Saleh e Teich.
F. Graham Smith and Terry A. King, Optics and Photonics – An Introduction.
Chichester: Wiley, 2000.
( ) Comentário: Este livro encontra-se aqui para demonstrar o que, na minha opinião,
é o contrário do que deve ser um livro recomendável para os alunos de Fotónica.
Talvez seja recomendável (apenas) para pessoas com um interesse colateral nesta área
e que pretendam ficar com ideias muito superficiais e gerais. Porém, mesmo ao nível da
178 Carlos R. Paiva
divulgação, há livros melhores. Se a fotónica fosse o que transpira deste livro eu
detestaria estar ligado a esta área do conhecimento.
MÉTODOS VARIACIONAIS Don S. Lemons, Perfect Form – Variational Principles, Methods, and Applications in
Elementary Physics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.
( ) Comentário: Trata-se de um livro de nível elementar do ponto de vista
matemático e que pretende ser uma introdução motivadora para alunos de física e de
engenharia (entre o primeiro e o segundo ciclos universitários). Sem ser um livro
notável recomenda-se pela sua concisão e abordagem simplificada. Não é, contudo, o
livro indicado para um estudo aprofundado.
Cornelius Lanczos, The Variational Priciples of Mechanics. New York: Dover, 4th
ed., 1986.
( ) Comentário: Sendo um livro pouco formal do ponto de vista matemático é,
no entanto, muito eloquente – do ponto de vista pedagógico – para clarificar, apesar da
sua antiguidade, o papel dos métodos variacionais em física.
M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations. New York: Dover, 2000.
( ) Comentário: Apesar do seu rigor é um livro pouco recomendável do ponto de
vista da sua motivação para alunos de física e engenharia devido ao seu estilo
excessivamente formal e «seco». Não consegue motivar.
Robert Weinstock, Calculus of Variations with Applications to Physics and
Engineering. New York: Dover, 1974.
( ) Comentário: Não sendo o rigor matemático o seu principal objectivo constitui,
ainda hoje, uma leitura recomendável para alunos de física e de engenharia.
Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial
College Press, 2004.
( ) Comentário: A palavra «introdução» no título deste livro poderá fazer sorrir
os investigadores em física e em engenharia – mas talvez não os matemáticos. Aqui se
demonstra que o rigor nesta área pode ser muito diferente do que se poderia suspeitar
pela leitura do livro (anteriormente citado) de Don S. Lemons.
Relatório de Fotónica
179
LASERS E ÓPTICA QUÂNTICA Leonard Mandel and Emil Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1995.
( ) Comentário: Talvez o livro mais completo sobre coerência óptica e óptica
quântica. Uma referência obrigatória. Não é o livro adequado para se começar a
estudar óptica quântica.
Mark Fox, Quantum Optics – An Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2006.
( ) Comentário: Um livro acessível para os alunos de Fotónica. Com o nível
razoável que é próprio desta série (Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser
Physics).
Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light. Oxford: Oxford University Press, 3rd
ed., 2000.
( ) Comentário: Os seus capítulos iniciais são muito úteis sem exigirem elevada
sofisticação teórica. Este aspecto é muito importante dada a complexidade formal dos
temas tratados.
Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986.
( ) Comentário: Um livro muito completo e uma das melhores referências em
amplificação e oscilação laser mesmo atendendo à sua idade. É, contudo, demasiado
extenso para alunos que necessitem de uma abordagem mais rápida.
Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988.
( ) Comentário: Menos extenso que o livro anterior mas, mesmo assim, ainda
pouco conciso para uma primeira abordagem.
Christopher C. Gerry and Peter L. Knight, Introductory Quantum Optics. Cambridge:
Cambridge University Press, 2005.
( ) Comentário: Um livro muito bom mas claramente acima do nível exigível
aos alunos de Fotónica. Mais apropriado para uma especialização em óptica quântica.
180 Carlos R. Paiva
Vlatko Vedral, Modern Foundations of Quantum Optics. London: Imperial College
Press, 2005.
( ) Comentário: Trata-se de um livro acessível e pouco extenso. Pessoalmente
prefiro, ao mesmo nível, o livro de Rodney Loudon de que este é, por vezes, uma cópia
de menor qualidade. Não se percebe qual é a «diferença» que o Autor traz de novo.
OPTOELECTRÓNICA, FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO E CRISTAIS FOTÓNICOS Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics. Toronto: Nelson Thomson
Learning, 1976.
( ) Comentário: Apesar da idade (e de não existir uma nova edição) este livro é
um clássico que ainda não encontrou sucessor à sua altura. Não existe melhor nesta
área – a física do estado sólido. Também, devido à sua idade, há progressos que
(obviamente) não podem ser encontrados neste livro.
John Singleton, Band Theory and Electronic Properties of Solids. Oxford: Oxford
University Press, 2001.
( ) Comentário: Um livro acessível para os alunos de Fotónica. Com o nível
razoável que é próprio desta série (Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser
Physics).
Mark Fox, Optical Properties of Solids. Oxford: Oxford University Press, 2001.
( ) Comentário: Um livro acessível para os alunos de Fotónica. Com o nível
razoável que é próprio desta série (Oxford Master Series in Atomic, Optical, and Laser
Physics).
Shun Lien Chuang, Physics of Optoelectronic Devices. New York: Wiley, 1995.
( ) Comentário: Um livro ambicioso. Pretende cobrir os aspectos essenciais da
optoelectrónica e, simultaneamente, incluir tópicos da teoria electromagnética e da
propagação guiada, sem descurar os fundamentos de mecânica quântica. Na minha
opinião trata-se de uma intenção louvável. Mas fica aquém da sua ambição.
John Edward Carroll, Rate Equations in Semiconductor Electronics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1985.
( ) Comentário: Parte de uma ideia original. Pretende abordar os aspectos
dinâmicos (e.g., os vários tipos de equações de taxas) a partir de exemplos elementares
Relatório de Fotónica
181
da vida corrente. É um complemento interessante em relação a abordagens mais
clássicas.
Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 8th ed., 2005.
( ) Comentário: Demonstração clara de como um bom investigador pode produzir
um livro sofrível do ponto de vista pedagógico. As explicações são raramente claras e
existe uma tendência criticável para apresentar «receitas». Muito inferior ao que seria
de esperar vindo de quem vem. Por essa razão merece duas estrelas em vez de três.
Weng W. Chow and Stephen W. Koch, Semiconductor-Laser Fundamentals: Physics
of the Gain Materials. Berlin: Springer-Verlag, 1999.
( ) Comentário: Demasiado conciso e denso (aquilo que, na língua inglesa, é
denominado por «terse style») para ser útil aos alunos de Fotónica. O nível científico
é, inegavelmente, bom.
Kazuaki Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin: Springer-Verlag, 2nd
ed., 2005.
( ) Comentário: Não tem gráficos a cores nem belas fotografias e, por isso, não
se recomenda como leitura para a sala de espera de um dentista. É, contudo, o mais
respeitável livro (cientificamente falando) sobre cristais fotónicos.
John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, and Robert D. Meade,
Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 2nd ed., 2008.
( ) Comentário: Muito bem apresentado graficamente: tem muitos gráficos, a
cores, que são bastante sugestivos («lavishly illustrated»). Consequentemente, é uma
obra atraente e de leitura fácil. Pode ser usado como objecto de decoração da «coffee
table». Porém, é (muito) duvidoso que alguém consiga aprender algo para além dos
conceitos mais básicos através deste livro. Recomenda-se, apenas, para bibliotecas ou
para alunos com maiores disponibilidades financeiras.
182 Carlos R. Paiva
MECÂNICA QUÂNTICA Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics. Hoboken, NJ: Wiley, 3rd ed., 2003.
( ) Comentário: Não adopta uma perspectiva especialmente clara do ponto de
vista físico. Reconheça-se, porém, que isso é muito difícil num texto introdutório de
mecânica quântica. Por isso, dada a sua concisão, não deixa de ser particularmente
útil para uma primeira abordagem. Talvez mesmo o livro mais recomendável para os
alunos de Fotónica.
Robert Eisberg and Robert Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,
Nuclei, and Particles. New York: Wiley, 2nd ed., 1985.
( ) Comentário: É um livro antiquado e não se recomenda, em especial, para
estudar mecânica quântica. Mas tem um valor inegável: é particularmente claro e
pormenorizado no que se refere a uma introdução à «moderna» mecânica quântica
através da chamada «velha» mecânica quântica. O seu nível é bastante elementar. As
questões de interpretação são muito superficiais e, frequentemente, encontram-se
ultrapassadas à luz da nova reinterpretação da escola de Copenhaga (ver, e.g., Omnès,
Griffiths ou Peres): «Quantum mechanics, however, regards the interactions of object
and observer as the ultimate reality.» (p. 80).
Ramamurti Shankar, Principles of Quantum Mechanics. New York: Plenum Press, 2nd
ed., 1994.
( ) Comentário: Seria, talvez, o livro mais indicado para uma disciplina
semestral (ou, de preferência, anual) dedicada exclusivamente a um estudo
introdutório, mas sólido, da mecânica quântica. Mas, por essa mesma razão, não é o
livro apropriado para acompanhar este capítulo de Fotónica.
Robert B. Griffiths, Consistent Quantum Theory. Cambridge: Cambridge University
Press, 2002.
( ) Comentário: Não é um livro para aprender a trabalhar com a mecânica
quântica. É, provavelemente, o livro mais acessível e actualizado para entender a
mecânica quântica em termos físicos. Recomenda-se como texto complementar para
aqueles que pretendam entender algumas questões mais controversas relacionadas com
a interpretação física da mecânica quântica. Não exige particular «sofisticação»
matemática. Recomenda-se, portanto, vivamente.
Relatório de Fotónica
183
Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Franck Laloë, Mécanique Quantique (I, II).
Paris: Hermann, 1973, nouveau tirage I – 1998, nouveau tirage II – 2000.
( ) Comentário: Essencial como referência enciclopédica nos mais variados
aspectos da mecânica quântica. Contudo, dada a sua antiguidade, não é o livro
indicado para uma visão mais aprofundada das questões relacionadas com a
interpretação da teoria.
Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics. New York: Wiley, 3rd ed., 1998.
( ) Comentário: Menos extenso que a enciclopédia anterior mas, ainda assim,
uma referência também importante. Pedagogicamente pouco brilhante e pouco
esclarecedor em matéria de interpretação física.
Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics – A Modern Development. Singapore:
World Scientific, 1998.
( ) Comentário: Aborda algumas quetões de interpretação. Requere alguma
«sofisticação» formal. Não é o livro ideal para iniciar o estudo da mecânica quântica.
Esclarece, contudo, alguns pontos essenciais que são, habitualmente, mal interpretados
na literatura corrente.
Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics. San Francisco, CA: Addison-
Wesley / Pearson, 4th ed., 2003.
( ) Comentário: De grandes ambições atendendo à sua dimensão (não obstante o
título). Porém, não chega aos pés dos dois livros anteriores. De nível elementar é muito
menos conciso que o livro de Stephen Gasiorowicz apesar de ter o mesmo nível de
facilidade.
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics. Reading, MA: Addison-Wesley, revised
edition, 1994.
( ) Comentário: Não é o livro ideal para as questões de interpretação mas é,
muito provavelmente, o livro ideal para o ensino pós-graduado da mecânica quântica
para aqueles que pretendem trabalhar nesta área. Não é esse, porém, o objectivo de
Fotónica.
184 Carlos R. Paiva
Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht, The Netherlands:
Kluwer Academic Publishers, 1995.
( ) Comentário: Sem cair no extremo da abstracção, este é um livro
clarificador: clarifica o formalismo e clarifica a interpretação. As relações de incerteza
de Heisenberg não são consideradas pedras basilares da teoria quântica. O teorema de
Bell e o teorema de Kochen-Specker ocupam uma parte central desta abordagem.
Roland Omnès, Understanding Quantum Mechanics. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1999.
( ) Comentário: Não recorre à tecnicidade do livro precedente de Omnès (The
Interpretation of Quantum Mechanics, 1994). Mas, para um nível elementar, consegue
passar com suficiente clareza a sua mensagem sobre a interpretação da mecânica
quântica à luz da investigação mais recente.
Chris J. Isham, Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural
Foundations. London: Imperial College Press, 1995.
( ) Comentário: Trata-se de um livro sintético, relativamente acessível, onde se
clarifica a estrutura matemática da mecânica quântica. Algumas questões de
interpretação são, também, analisadas de forma clara e breve sem ficarem obnubiladas
por um recurso excessivo ao formalismo matemático. Porém, demasiado esquemático.
FIBRAS ÓPTICAS (REGIMES LINEAR E NÃO LINEAR) Allan W. Snyder and John D. Love, Optical Waveguide Theory. London: Chapman and
Hall, 1983.
( ) Comentário: Livro antigo mas, nesta área, dificilmente superável em termos
científicos. Tem uma organização original ao relegar para apêndice todos (ou quase
todos) os cálculos.
M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley, 1981.
( ) Comentário: Menos ambicioso e sistemático do que o livro anterior é, ainda
assim, muito superior a muitos outros livros mais recentes.
Relatório de Fotónica
185
Katsunari Okamoto, Fundamentals of Optical Waveguides. San Diego, CA: Academic
Press / Elsevier, 2nd ed., 2006.
( ) Comentário: Um livro a destacar na literatura mais recente. Pedagogicamente
consistente e cientificamente fundamentado. Uma excepção (positiva) no âmbito dos
livros «qualitativos» e «conceptuais» que têm vindo a proliferar nesta área e a
constituir uma tendência (negativa).
Govind P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems. New York: Wiley, 3rd ed.,
2002.
( ) Comentário: Trata-se de uma referência fundamental. Porém, não é um livro
para se aprender – é um livro para se consultar.
Govind P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics. San Diego, CA: Academic Press /
Elsevier, 4th ed., 2007.
( ) Comentário: Tal como todos os livros deste autor é uma boa referência
enquanto livro de «receitas de culinária». Não se recomenda como livro onde se possa
estudar um determinado assunto «from scratch». Bibliografia do género «tudo o que
vem à rede é peixe».
ÁLGEBRA GEOMÉTRICA David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999.
( ) Comentário: Brilhante como só David Hestenes consegue ser. Talvez o seu
livro mais acessível para o nível dos alunos de Fotónica. Mesmo assim, dada a sua
extensão, demasiado ambicioso para uma disciplina como Fotónica. A utilização de
paravectores em mecânica relativista – para descrever um acontecimento no espaço de
Minkowski (último capítulo) – não é, porém, do meu agrado.
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2001.
( ) Comentário: Menos eloquente e incisivo do que Hestenes. No entanto os
primeiros capítulos deste livro são, talvez, os mais adequados a uma introdução à
álgebra geométrica. Frequentemente brilhante. A morte prematura deste matemático
foi uma perda importante para a literatura especializada.
186 Carlos R. Paiva
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists. Cambridge:
Cambridge University Press, 2003.
( ) Comentário: Na linha de Hestenes mas mais redondo e menos eloquente do
que o mestre. Brilhante quando comparado com outros (mas não com Hestenes). Os
primeiros capítulos são bastante acessíveis. Pode ser usado como livro introdutório
apesar de, a seguir a uma primeira parte mais introdutória, incluir temas como a
geometria diferencial, a mecânica quântica relativista e a gravitação relativista
(embora, neste último caso, adoptando uma perspectiva bastante original).
Leo Dorst, Daniel Fontijne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer
Science – An Object-oriented Approach to Geometry. San Francisco, CA: Morgan
Kaufmann / Elsevier, 2007.
( ) Comentário: Sem ser tão interessante como o livro anterior é, contudo, uma
livro útil e (também) na boa linha de Hestenes. É o primeiro livro de álgebra
geométrica destinado essencialmente a alunos de engenharia. Porém, não aborda o
electromagnetismo (teórico ou aplicado).
William E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach. Boston:
Birkhäuser, 1999.
( ) Comentário: Um livro ambicioso mas na linha errada. Envereda por um desvio
covariante equivocado. A abordagem invariante de Hestenes é uma marca da
superioridade da álgebra geométrica do espaço-tempo. É bom lembrar que a álgebra
geométrica deve olhar para os números complexos enquanto elementos de uma sub-
álgebra e não enquanto elementos de um corpo. O corpo por excelência da álgebra
geométrica é o corpo dos reais. Trazer o corpo dos complexos à luta é, apesar das boas
intenções, falhar completamente o alvo.
Patrick R. Girard, Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics. Basel:
Birkhäuser, 2004.
( ) Comentário: É lamentável que alguém trabalhe em álgebras de Clifford e não
compreenda que tem entre mãos muito mais do que julga ingenuamente ter. Não é
admissível, hoje em dia, passar ao lado da perspectiva geométrica que torna estas
álgebras muito mais do que meras álgebras matriciais (associativas). Ao descurar os
aspectos geométricos todo o brilhante edifício da álgebra geométrica fica
irremediavelmente comprometido.
Relatório de Fotónica
187
Venzo de Sabbata and Bidyut Kumar Datta, Geometric Algebra and Applications to
Physics. New York: CRC Press / Taylor and Francis, 2007.
( )• Comentário: Deveria evitar-se a edição de livros carregados de erros, imprecisões
e precipitações. Se a ideia era aumentar o «curriculum» dos autores, o tiro foi na
direcção errada dado que se trata de um tiro nos pés. A edição está ao nível da escrita:
o meu exemplar apresenta as páginas 81-88 duas vezes. Simplesmente lamentável.
TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University Press,
2nd ed., 1991.
( ) Comentário: Este livro é o meu favorito enquanto primeiro contacto com a
teoria da relatividade restrita. Embora eu prefira a abordagem matemática que a
álgebra geométrica permite, não há dúvida que – para quem quiser uma abordagem
mais tradicional – este é o livro que eu recomendaria. Tem uma excelente colecção de
problemas.
Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte. Paris: Dunod,
2001.
( ) Comentário: Sem chegar ao nível do livro anterior tem uma particularidade
que me compele à sua inclusão nesta lista: seguindo o exemplo de Jean-Marc Lévy-
Leblond (American Journal of Physics, vol. 44, pp. 271-277, 1976), mostra como é
possível deduzir a transformação de Lorentz sem o segundo postulado de Einstein para
a invariância da velocidade da luz no vácuo.
Nicholas Michael John Woodhouse, Special Relativity. London: Springer-Verlag, 2003.
( ) Comentário: Não tem a profundidade física do livro de Rindler mas tem uma
inclinação matemática que não deixa de ser cativante pela sua elegância e
simplicidade formal. Porém, não tenta desenvolver a intuição física que, do meu ponto
de vista, é muito importante para uma sólida formação nesta área.
188 Carlos R. Paiva
Patricia M. Schwarz and John H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to
Strings. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
( ) Comentário: Escrito por um dos teóricos das supercordas (J. H. Schwarz) este
é um livro ambicioso que tenta ir um pouco mais além. Não deixa de ser interessante a
utilização das formas diferenciais no contexto da relatividade restrita (embora eu
prefira, mesmo assim, a álgebra geométrica). Não é, apesar de tudo, um livro tão
sólido como o livro de Rindler para um primeiro contacto com esta teoria apesar da
sua inegável clareza física.
Gregory L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime: An Introduction to the
Mathematics of the Special Theory of Relativity. Mineola, NY: Dover, 2003.
( ) Comentário: Este livro não se centra sobre os aspectos físicos mas sobre a
estrutura matemática da teoria. É um livro muito elegante do ponto de vista matemático
que mostra, à semelhança de E. C. Zeeman (Journal of Mathematical Physics, vol. 5,
pp. 490-493, 1964), como o grupo de Lorentz deriva do princípio da causalidade. Não
o recomendaria como primeira escolha pois parte do princípio que o leitor domina
alguns aspectos básicos de topologia – o que não é usual para o aluno comum de física
e de engenharia.
Jürgen Ehlers and Claus Lämmerzahl, Eds., Special Relativity: Will it Survive the Next
101 Years? Berlin: Springer-Verlag, 2006.
( ) Comentário: Trata-se de uma imensa colecção de textos que aborda quatro
grupos de temas: (i) aspectos históricos e filosóficos; (ii) o formalismo e as fundações
da teoria; (iii) a possível violação da invariância de Lorentz; (iv) aspectos
experimentais. Trata-se de um livro tecnicamente especializado que parte do princípio
que o leitor domina razoavelmente a teoria da relatividade restrita. Não o considero
um livro essencial mas é um livro importante ao tentar mostrar que, mesmo a teoria
mais solidamente estabelecida, deve dar particular atenção aos problemas que –
adoptando a terminologia de Karl Popper – se relacionam com a sua «falseabilidade».
N. David Mermin, It’s About Time – Understanding Einstein’s Relativity. Princeton,
NJ: Princeton University Press, 2005.
( ) Comentário: Como regra detesto os livros de popularização científica que
partem de um único princípio: é preciso tratar o público, em geral, ao nível que ele
merece, i.e., ao nível mínimo da exigência intelectual e, nesse sentido, evitar a
Relatório de Fotónica
189
introdução de quaisquer equações matemáticas. Este livro é, contudo, uma brilhante
excepção a essa regra: evitando (mas não excluindo liminarmente) a utilização de
equações matemáticas, aqui está um texto que pode (e deve) ser lido mesmo por leitores
matematicamente «sofisticados». Finalmente um livro de divulgação para um público
minimamente educado do ponto de vista matemático (ao nível de um aluno que esteja
preparado para entrar numa universidade) e que merece ser lido por todos os tipos de
leitores.
Hermann Bondi, Relativity and Common Sense: A New Approach to Einstein. New
York: Dover, 1980.
( ) Comentário: Este é, sem qualquer dúvida, o livro mais elementar desta lista
bibliográfica sobre relatividade restrita. Não o recomendo apesar de nele se fazer a
apresentação do célebre «método gráfico do radar» inventado pelo próprio Bondi.
Com efeito, dentro dos livros de divulgação, encontra-se muito aquém do livro de
Mermin (ver comentário prévio). Não devemos esquecer que a teoria da relatividade
restrita é um alvo fácil dos «artistas» da popularização. Sem pretender dizer que Bondi
é um desses «artistas» deve reconhecer-se que devemos utilizar como padrão de
«medida» a excelência e, do meu ponto de vista, não é este o caso.
TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity. San
Francisco, CA: Addison-Wesley, 2003.
( ) Comentário: Este livro é o meu favorito enquanto primeiro contacto com a
teoria da relatividade geral. Aqui a ênfase é na física. Pouco exigente do ponto de vista
matemático, introduz o formalismo apenas quando estritamente necessário. Considero
este livro perfeitamente acessível para os alunos de Fotónica.
Ta-Pei Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction. Oxford:
Oxford University Press, 2005.
( ) Comentário: Embora de nível introdutório, tal como o livro de Hartle, não se
pode comparar com este em termos de qualidade ou brilhantismo. Mas cumpre, de
forma eficaz, competente e bastante sucinta, o papel de estudo introdutório.
Recomenda-se para uma introdução mais rápida e superficial do que o livro de Hartle.
190 Carlos R. Paiva
Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San
Francisco, CA: Addison-Wesley, 2004.
( ) Comentário: Com um nível matemático mais exigente do que o livro
anterior, não deixa de estar escrito com meridiana clareza. Recomenda-se para leitores
com maior maturidade matemática.
Michael P. Hobson, George Efstathiou, and Anthony N. Lasenby, General Relativity:
An Introduction for Physicists. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.
( ) Comentário: Situaria o grau de dificuldade deste livro entre o livro de
Hartle e o de Carroll. Tal como no livro de Hartle dá-se muita importância às
discussões que permitem reforçar a compreensão intuitiva do formalismo.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler, Gravitation. San
Francisco, CA: Freeman, 1973.
( ) Comentário: Trata-se do livro mais importante que alguma vez foi escrito
sobre a relatividade geral. Tem a marca do estilo inconfundível de Wheeler. É uma
autêntica «lista telefónica» de 1279 páginas que, apesar da idade, envelheceu bem. As
atitudes em relação a este livro são, geralmente, extremadas: há os que o adoram e há
os que o detestam. Apesar de me situar no primeiro grupo, deve reconhecer-se que
existem melhores livros para se estudar. Mas nenhum estudante sério de relatividade
geral pode passar ao lado sem nunca o consultar. Tem a particularidade de ter sido um
pioneiro na defesa das formas diferenciais para a formulação geométrica da física.
Robert M. Wald, General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 1984.
( ) Comentário: Este livro consitui com o anterior (MTW) e com o seguinte
(HE) a trindade clássica dos livros historicamente mais relevantes sobre relatividade
geral. Muito mais compacto do que MTW e mais acessível do que HE sem, contudo,
fazer concessões ao rigor.
S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time.
Cambridge: Cambridge University Press, 1973.
( ) Comentário: Este livro (HE) é provavelmente o mais difícil dos três últimos
livros incluídos nesta lista. Mas é, também, o que mais incide sobre os aspectos globais
da geometrica da relatividade geral.
Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity. Cambridge: Cambridge
University Press, 1985.
Relatório de Fotónica
191
( ) Comentário: Em relatividade geral existe uma grande quantidade de textos
mais ou menos introdutórios de muito boa qualidade. Este é mais um deles.
Particularmente bom na discussão da radiação gravitacional. A primeira parte sobre
relatividade restrita (Chapters 1-4) está muito bem escrita.
ELECTROMAGNETISMO David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics. Reading, MA: Addison-Wesley,
2nd ed., 1989.
( ) Comentário: Trata-se de um livro de carácter introdutório. Especialmente
vocacionado para os aspectos fundamentais da propagação e radiação de ondas
electromagnéticas. Parece-me um livro particularmente recomendável para os alunos
da disciplina de «Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas» que precede
curricularmente Fotónica. Não é brilhante mas cumpre, com competência, este papel.
Paul Lorrain, Dave Corson e François Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas.
Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2000.
( ) Comentário: Incluo aqui este livro pelas seguintes razões: (i) é uma
excelente tradução da versão original; (ii) constitui uma introdução muito boa ao
electromagnestismo; (iii) dedica, de forma muito clara, largo espaço à relação entre o
electromagnetismo e a relatividade restrita; (iv) inclui uma generosa quantidade de
exemplos; (v) tem um preço muito acessível para os estudantes.
John David Jackson, Classical Electrodynamics. New York: Wiley, 3rd ed., 1999.
( ) Comentário: Este livro, muito odiado mas também muito venerado, é talvez a
mais importante referência sobre electrodinâmica clássica publicada até hoje. Tem
uma excelente colecção de problemas que são, alguns deles, muito estimulantes. Trata-
se, claramente, de um livro de nível avançado (i.e., destinado a alunos dos segundo e
terceiro ciclos universitários). As minhas principais reservas são mais de natureza
«ideológica»: prefiro uma abordagem mais geométrica baseada em formalismos
matemáticos tais como a álgebra geométrica ou as formas diferenciais.
192 Carlos R. Paiva
Jin Au Kong, Electromagnetic Wave Theory. Cambridge, MA: EMW Publishing, 2005.
( ) Comentário: É um bom livro para o estudo da propagação de ondas
electromagnéticas. Adopta uma formulação matemática ultrapassada, mas é sólido do
ponto de vista teórico e contém uma grande quantidade de exemplos. É particularmente
forte no estudo dos meios em movimento (Kong foi quem cunhou o termo
«bianisotrópico» na sua tese de doutoramento de 1968).
Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukov, Foundations of Classical Electrodynamics:
Charge, Flux, and Metric. Boston: Birkhäuser, 2003.
( ) Comentário: Este é o meu livro preferido no que se refere à
fundamentação matemática da electrodinâmica clássica. Trata-se de um livro
especializado, acessível apenas para os que dominam a moderna geometria diferencial
formulada de forma independente de qualquer sistema de coordenadas. O tratamento
axiomático adoptado, embora discutível, permite uma formulação independente da
métrica (formas diferenciais). A métrica só aparece no fim quando se torna necessária
a ligação entre as duas equações de Maxwell (a equação homogénea, resultante da
conservação do fluxo magnético e a equação não homogénea, resultante da
conservação da carga-corrente) no espaço-tempo quadridimensional (plano, curvo,
com ou sem torsão). Independentemente dos méritos relativos entre a álgebra
geométrica e as formas diferenciais, a clareza matemática desta abordagem é
fundamental para entender as raízes teóricas do edifício erguido por Maxwell bem
como a relação deste edifício com o grupo de Lorentz.
Hollin C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves – A Coordinate-Free Approach.
New York: McGraw-Hill, 1983.
( ) Comentário: É o meu livro preferido no que respeita à utilização do
chamado cálculo diádico para o estudos da propagação de ondas electromagnéticas
em cristais uniaxiais e biaxiais, magnetoplasmas e ferrites e em meios em movimento.
L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Oxford: Butterworth-
Heinemann, 4th ed., 1975.
( ) Comentário: Brilhante, conciso e elegante (mesmo atendendo à sua
utilização datada do cálculo tensorial) como só Landau consegue ser. É talvez o livro
mais luminoso do seu curso de Física Teórica. Neste livro parece que nenhuma palavra
Relatório de Fotónica
193
está a mais embora o leitor, por vezes, gostasse de mais palavras explicativas. Porém,
após uma segunda leitura, verifica-se que está lá tudo.
FÍSICA & MATEMÁTICA: GERAL Malcolm Longair, Theoretical Concepts in Physics: An Alternative View of
Theoretical Reasoning in Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed.,
2003.
( ) Comentário: Este é um livro original. Eensina a física através de alguns
casos paradigmáticos ilustrados com a respectiva evolução histórica. A ideia é mostrar
como algumas ideias físicas fizeram o seu caminho até aos nossos dias. Pretende
revelar como alguns conceitos físicos mais relevantes nasceram e se transformaram.
Não serve como texto introdutório nem pretende ser mais um manual. Trata-se de um
livro recomendável como leitura suplementar com o objectivo de ilustrar diferentes
processos intelectuais por detrás das ideias físicas. Recomenda-se, particularmente,
pelo seu «Case Study V: The origins of the concept of quanta».
Michael Spivak, Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 3rd ed., 1994
( ) Comentário: Salvo o devido respeito pela opinião dos matemáticos, este é
o melhor livro do mercado sobre a introdução ao cálculo diferencial e integral (i.e., ao
nível do primeiro ciclo do ensino iniversitário).
Tristan Needham, Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press, 1997
( ) Comentário: É um livro heterodoxo sobre análise complexa. É, na minha
opinião pessoal, um livro brilhante. Não pratica o rigor como o alfa e o ómega da
matemática. Pratica, no entanto, a antítese da máxima «Mathematics must not be
visualised!». Limito-me a citar Sir Roger Penrose: «By his innovative and exclusive use
of the geometrical perspective, Tristan Needham uncovers many surprising and largely
unappreciated aspects of the beauty of complex analysis.»
Paul R. Halmos, Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1974.
( ) Comentário: Um livro indispensável para se ter uma visão clara do
pensamento matemático «moderno» através de uma parte essencial das suas fundações
– a teoria dos conjuntos (mas sem a excessiva formalização apenas necessária aos
especialistas desta área).
194 Carlos R. Paiva
Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces. New York: Springer-Verlag,
1974. ( ) Comentário: Um dos melhores livros escritos sobre álgebra linear
para os espaços vectoriais de dimensão finita. Claro, rigoroso e sintético. Deve ser
estudado em conjunto com o livro que se segue (do mesmo autor).
Paul R. Halmos, Linear Algebra Problem Book. Washington, DC: The Mathematical
Association of America, 1995.
( ) Comentário: Apesar de se tratar de um livro de problemas com as
respectivas soluções, este é um livro ideal para o estudo da álgebra linear. Quando se
compra um livro de matemática, deve-se escolher um autor que seja um «matemático
puro». Os livros de «matemática para engenheiros» (seja o que isso for) são, em geral,
coisas desprezíveis: livros onde não se aprende nem matemática nem engenharia. Este
é um livro indispensável para quem quiser estudar, de forma séria, álgebra linear.
Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra. Wellesley,
MA: A. K. Peters, 1997.
( ) Comentário: Um livro por dois mestres da matemática do séc. XX. Elegante,
rigoroso e acessível para os alunos de Fotónica. Uma referência fundamental da
álgebra.
Harold Scott MacDonald Coxeter, Introduction to Geometry. New York: Wiley, 2nd
ed., 1969 (Wiley Classics Library).
( ) Comentário: Um dos maiores geómetras do século XX propõe um regresso
às bases da geometria sem desvios formais desnecessários. O rigor não deve ser
confundido com o «formalismo» (tal como entendido, de forma excessiva, pela escola
«Bourbaki»).
Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and
Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2003.
( ) Comentário: O conhecimento dos alunos em análise complexa é, em geral,
deficiente. Este é um livro excelente que pode colmatar essa formação deficiente.
Relatório de Fotónica
195
Manfredo Perdigão do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Upper
Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1976.
( ) Comentário: Talvez o melhor livro alguma vez escrito sobre geometria
diferencial de curvas e superfícies. Um clássico que não foi ultrapassado pela voragem
do tempo.
John Stillwell, Mathematics and its History. New York: Springer-Verlag, 2nd ed.,
2002.
( ) Comentário: John Stillwell é um matemático da contra-reforma. Os excessos
formalistas da escola «Bourbaki» têm de ser postos de lado. O rigor é o corpo da
matemátrica – não a sua alma. A história da matemática não é, apenas, colecção de
factos históricos: trata-se, antes do mais, de suscitar a curiosidade, de tentar perceber
os «golpes de génio» no seu contexto histórico mas mostrando, também, que o rigor é a
meta muitas vezes alcançada por «linhas tortas», por sucessivas aproximações. Este
livro é o contrário daquilo a que se costuma chamar de «terse style» na sua conotação
mais anti-pedagógica e desmotivante.
Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer, 2000.
( ) Comentário: Aqui o leitor pode encontrar, à luz dos conhecimentos actuais,
uma análise rigorosa da geometria euclidiana. Trata-se, por isso, de uma das melhores
introduções às geometrias (ditas) não-euclidianas.
Martin Aigner and Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK. Berlin: Springer-
Verlag, 3rd ed., 2004.
( ) Comentário: Trata-se de uma pequena jóia. Um vislumbre da beleza a que
pode aspirar a matemática pura. A elegância do raciocínio abstracto. Uma
homenagem, também, a Paul Erdős (1913-1996).
Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe.
New York: Alfred A. Knopf, 2005.
( ) Comentário: Exemplo perfeito do que um livro de divulgação científica deve
ser: enciclopédico, compreensivo e, apesar da complexidade de alguns assuntos,
bastante claro. Tratando-se de divulgação, não insulta a inteligência dos leitores.
Quando toma posições heterodoxas o Autor tem o cuidado de alertar o leitor de que se
trata de uma posição idiossincrática não partilhada pela maioria dos especialistas.
196 Carlos R. Paiva
“Religion, n. A daughter of Hope and Fear,
explaining to Ignorance the nature of the
Unknowable.”
Ambrose Bierce, The Devil’s Dictionary.
London: The Folio Society, 2003 (p. 266)
“With or without religion, good people can behave well and bad people can do
evil; but for good people to do evil – that takes religion.”
Steven Weinberg, Facing Up: Science and Its Cultural Adversaries.
Cambridge, MA: Harvard University Press, 2001 (p. 242)
“As long as we accept the principle that religious faith must be respected
simply because it is religious faith, it is hard to withhold respect from the faith
of Osama bin Laden and the suicide bombers. The alternative, one so
transparent that it should need no urging, is to abandon the principle of
automatic respect for religious faith.”
Richard Dawkins, The God Delusion. London: Bantam Press, 2006 (p. 306)
Relatório de Fotónica
197
ac alternating current
AM amplitude modulation
AMF auto-modulação de fase
AON all-optical network
APD avalanche photodiode
ASE amplified spontaneous emission
ATM asynchronous transfer mode
AWG arrayed-waveguide grating
BER bit-error rate
BPM beam propagation method
CATV common-antenna (cable) television
CP circularly polarized
CW continuous wave
dB decibel units
DBR distributed Bragg reflector
dc direct current
DCF dispersion-compensating fiber
DDF dispersion-decreasing fiber
DEEC Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
DFB distributed feedback
DM dispersion management
DNG (meios) duplamente negativos
DSF dispersion-shifted fiber
DVG dispersão da velocidade de grupo
EBG electromagnetic band gap
EDFA erbium-doped fiber amplifier
EHF extremely-high frequency (30 GHz – 300 GHz)
ELF extremely-low frequency (3 Hz – 30 Hz)
ENG (meios) com epsilon negativo ( )0ε <
EP elliptically polarized
198 Carlos R. Paiva
EUV extreme-ultraviolet (10 nm – 120 nm)
FEC Fundamentos de Electrodinâmica Clássica
FBG fiber Bragg grating
FDM frequency-division multiplexing
FDDI fiber distributed data interface
FFT fast Fourier transform
FIR far-infrared (15 µm – 1 mm)
FM frequency modulation
FOOI Fibras Ópticas e Óptica Integrada
Fot Fotónica
FP Fabry-Perot
FTTC fiber-to-the-curb
FTTH fiber-to-the-home
FUV far-ultraviolet (120 nm – 200 nm)
FWHM full-width at half-maximum
FWM four-wave mixing
GVD group-velocity dispersion
HDTV high-definition television
HF high-frequency (3 MHz – 30 MHz)
IC integrated circuit
IM/DD intensity modulation with direct detection
IP Internet protocol
IR infrared (750 nm – 1 mm)
ISDN integrated services digital network
ISI intersymbol interference
IST Instituto Superior Técnico
ITU International Telecommunication Union
LAN local-area network
LASER light amplification by the stimulated emission of radiation
LCP left-hand circular polarization
LED light-emitting diode
LEE Licenciatura em Engenharia Electrónica
LEEC-pB Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (pré-Bolonha)
Relatório de Fotónica
199
LF low frequency (30 kHz – 300 kHz)
LP linearly polarized
LWIR long-wavelenth infrared (8 µm – 15 µm)
MAN metropolitan-area network
MASER microwave (molecular) amplification by the stimulated emission of radiation
MEEC Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
MF medium frequency (300 kHz – 3 MHz)
Microo Microondas
MNG (meios) com mu negativo ( )0µ <
MPEG motion-picture entertainment group
MZ Mach-Zehnder
MQW multiquantum well
MUV mid-ultraviolet (200 nm – 300 nm)
MWIR mid-wavelength infrared (3 µm – 8 µm)
NA numerical aperture
NEP noise equivalent power
NIR negative index of refraction
NIR near-infrared (0.75 µm – 1.4 µm)
NLS nonlinear Schrödinger
NRZ nonreturn-to-zero
NUV near-ultraviolet (300 nm – 400 nm)
OC optical carrier
OOK on-off keying
OPC optical phase conjugation
OTDM optical time-division multiplexing
PCD polarização circular direita
PCE polarização circular esquerda
PCF photonic crystal fiber
PCM pulse-code modulation
PDEEC Programa de Doutoramento em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
PDF probability density function
PIC photonic integrated circuit
PMD polarization-mode dispersion
200 Carlos R. Paiva
POTS plain old telephone service
PROE Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas
RCP right-hand circular polarization
RF radio frequency
RMS root-mean-square
RZ return-to-zero
SBS stimulated Brillouin scattering
SCO sistema de comunicação óptica
SDH synchronous digital hierarchy
SHF super-high frequency (3 GHz – 30 GHz)
SI Système International
SLF super-low frequency (30 Hz – 300 Hz)
SNG (meios) simplesmente negativos
SNR signal-to-noise ratio
SOA semiconductor optical amplifier
SONET synchronous optical network
SPM self-phase modulation
SRS stimulated Raman scattering
SSFM split-step Fourier method
SWIR short-wavelength infrared (1.4 µm – 3 µm)
TDM time-division multiplexing
TE transverse electric
TEM transverse electric and magnetic
TM transverse magnetic
TW traveling wave
UHF ultra-high frequency (300 MHz – 3 GHz)
ULF ultra-low frequency (300 Hz – 3 kHz)
URL uniform (or universal) resource locator
UTL Universidade Técnica de Lisboa
UV ultraviolet (10 nm – 400 nm)
VLF very-low frequency (3 kHz – 30 kHz)
VHF very-high frequency (30 MHz – 300 MHz)
VoIP voice-over-Internet protocol
Relatório de Fotónica
201
VS visible spectrum (380 nm – 750 nm)
WAN wide-area network
WDM wavelength-division multiplexing
WWB World Wide Web
XPM cross-phase modulation
YAG yttrium aluminium garnet
YIG yttrium iron garnet
ZDWL zero-dispersion wavelength
Nota: Esta lista não inclui apenas os acrónimos utilizados neste Relatório. Trata-se de uma
lista mais abrangente: inclui, também, acrónimos utilizados ao longo da disciplina. É, por
isso, não só uma lista para este Relatório, em particular, mas também para os alunos de
Fotónica, em geral.