Regra do 1/3 de Simpson

Análogo do que foi feito, aproximando f(x) por um P1(x) (Regra do Trapézio), pode-se também aproximar f(x) por um polinômio de grau 2, i.e. um P2(x).

a = x0 x1 b = x2

Subdividimos o intervalo (a,b) em dois subintervalos iguais e fazemos a=x0, b=x2 e o ponto médio entre (a,b) igual a x1.

Assim:

Utilizando a fórmula de Lagrange de Grau 2.

a = x0 x1 b = x2

Exemplo: Calcular pela regra do 1/3 de Simpson.

x 1 2,5 4f(x) 1 1/2,5 1/4

Erro de Truncamento da Regra do 1/3 de Simpson

O limitante Superior do erro da integração usando a regra do 1/3 de Simpson é calculado por:

Apesar de se basear na interpolação de um P2(x), a regra do 1/3 de Simpson integra sem erro um polinômio de grau 1, 2 e 3.

Regra do 1/3 de Simpson para m intervalos

Regra do 1/3 de Simpson para m intervalos

Logo:

Onde m = n° de subintervalos.

Obs.: A regra do 1/3 de Simpson só funciona com m par.

Limitante Superior do Erro de Truncamento

O limitante Superior do erro da integração usando a regra do 1/3 de Simpson é calculado por:

Exemplo: Calcular usando a regra do

1/3 de Simpson repetida com m = 4.

xi 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0f(xi) 9,00 22,75 47,00 84,75 139,00ci 1 4 2 4 1

Verificando

Exercícios:1) Calcule as integrais a seguir usando a regra do 1/3 de

Simpson com 4 e 6 intervalos.

 2) Dado a tabela:

Qual seria o modo mais adequado de calcular I2 usando esses dados? Faça o calculo.

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

f(x) 1 1,2408 1,5735 2,0333 2,6965 3,7183

a) b)

c) d)