Integracao Numerica Simpson Boole

Integração (Quadratura) Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes: utilizadas tipicamente quando os pontos estão igualmente espaçados.

Aproximação por Retângulos;

A Regra dos Trapézios;

Os Métodos de Simpson (1/3; 3/8);

O Método de Boole (polinômio do 4o grau);

O Método de Romberg.

∫ =b

aIdxxf )(

A Quadratura Gaussiana

A Quadratura de Gauss-Legendre unidimensional;

A Quadratura de Gauss-Legendre bi e tri-dimensional;

A Quadratura de Gauss-Chebyshev;

A Quadratura de Gauss-Laguerre;

A Quadratura de Gauss-Hermite.

1

( ) ( )nb

i iai

f x dx A f x I=

≅ =∑∫

Abscissas nodais

pesos

Integração (Quadratura) Numérica

NEWTON-COTES Ordem 0: RETÂNGULOS

( )( 0,5)i

b ax a i

n

−∆ = = + − ∆

a b∆xi

f(xi)

( )( )1 1

( ) . ( ) 0,5b n n

ii ia

f x dx f x f a i= =

= ∆ = ∆ + − ∆∑ ∑∫

x

f(x)

a = limite inferiorb = limite superiorn = número de retângulos

Soma = 0Delta = (b - a)/ndo i = 1, n

x = a + (i - 0,5)*DeltaSoma = Soma + f(x)

end doprint “Integral = ”; Soma*Delta

Function f(x)f = a + b * x + c * sen(x) + ....return

End Function

NEWTON-COTES Ordem 1: TRAPÉZIOS

( )( 1)i

b ax a i

n

−∆ = = + − ∆

a b∆xi

f(xi)

( )1 11

1 1 2

( ) ( )( )( ) ( )

2 2 2 2

b n n nii n

i ii i ia

f xf x f xf xf x dx A f x+ +

= = =

= = ∆ + = ∆ + +

∑ ∑ ∑∫

xi+1

f(xi+1)

i

1 1( ) ( )

2i

i

f x f xA ++ = ∆

x

f(x)

a = limite inferiorb = limite superiorn = número de trapézios

Delta = (b - a)/nSoma = f(a) * 0,5do i = 1, n-1

x = a + i * DeltaSoma = Soma + f(x)

end doSoma = Soma + f(b) * 0,5print “Integral = ”; Soma * Delta

Function f(x)f = a + b * x + c *sen(x) + ....return

End Function

No caso dos dados não serem igualmente espaçados:

n = número de pontosx(n) = vetor de coordenadas xy(n) = vetor de coordenadas y

Soma = 0.0do i = 1, n-1

Delta = x(i+1) - x(i)Soma = Soma + (y(i) + y(i+1))/2 * Delta

end doprint “Integral = ”; Soma

NEWTON-COTES Ordem 2: REGRA 1/3 DE SIMPSON

( )( 1) 2 1

2 i

b ax a i n m

m

−∆ = = + − ∆ = +

a b

∆

xi

f(xi)

1 2

11 2,4,6 3,5,7

( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )3

b m n n

j i i nj i ia

f x dx A f x f x f x f x− −

= = =

∆= = + + +

∑ ∑ ∑∫

xi+1

f(xi+1)f(xi+2)

j

xi+2

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

1 2 2 11 2

1 2 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ij i i i

i i i i i i i i i i i i

x x x x x x x x x x x xf x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x+ + + +

+ ++ + + + + + +

− − − − − −= + + − − − − − −

( )1 1 2( ) 4 ( ) ( )3j i iA f x f x f x+ +∆= + +

m= número de parábolasn = número de pontos

a = limite inferiorb = limite superiorm = número de parábolas

n = 2*m+1Delta = (b - a)/2/mS1 = 0 : S2 = 0S = f(a) + f(b)do i = 2, n-1, 2

x = a +(i - 1) * DeltaS1 = S1 + f(x)

end dodo i = 3, n-2, 2

x = a + (i - 1) * DeltaS2 = S2 + f(x)

end doprint “Integral = ”; (S + 4 * S1 + 2 * S2)/3 * Delta

Function f(x)f = a + b * x + c *sem(x) + ....return

End Function

NEWTON-COTES Ordem 3: REGRA 3/8 DE SIMPSON

( )( 1) 3 1

3 i

b ax a i n m

m

−∆ = = + − ∆ = +

a b∆

xi

f(xi)

2 1 3

11 2,5,8 3,6,9 4,7,10

3( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( )

8

b m n n n

j i i i nj i i ia

f x dx A f x f x f x f x f x− − −

= = = =

∆= = + + + +

∑ ∑ ∑ ∑∫

xi+1

f(xi+1) f(xi+2)

j

xi+2

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

1 2 3 2 31

1 2 3 1 1 2 1 3

1 3 1 22 3

2 2 1 2 3 3 3 1 3 2

( ) ( )

( )

( ) ( )

i i i i i ii i


j

i i i i i ii i


x x x x x x x x x x x xf x f x

x x x x x x x x x x x xf x

x x x x x x x x x x x xf x f x

x x x x x x x x x x x x

+ + + + ++

+ + + + + + + +

+ + + ++ +

+ + + + + + + + + +

− − − − − −+ + − − − − − −

=− − − − − −

+− − − − − −

( )1 1 2 3

3( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )

8j i i iA f x f x f x f x+ + +∆= + + +

m= número de cúbicasn = número de pontosxi+3

f(xi+3)

a = limite inferiorb = limite superiorm = número de cúbicas

n = 3*m+1Delta = (b-a)/3/mS1 = 0 : S2 = 0 S = f(a) + f(b)do i = 2, n-2, 3

x = a +(i - 1) * DeltaS1 = S1 + f(x) + f(x + Delta)

end dodo i = 4, n-3, 3

x = a + (i - 1) * DeltaS2 = S2 + f(x)

end doprint “Integral = ”; 3/8 * (S + 3*S1 + 2*S2) * Delta

Function f(x)f = a + b * x + c * sem(x) + ....return

End Function

NEWTON-COTES Ordem 4: REGRA DE BOOLE

( )( 1) 4 1

4 i

b ax a i n m

m

−∆ = = + − ∆ = +

1

3 2 1 4

12,6,10 3,7,11 4,8,12 5,9,13

( )

47 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 14 ( ) 7 ( )

90

b m

jja

n n n n

i i i i ni i i i

f x dx A

f x f x f x f x f x f x

=

− − − −

= = = =

= =

∆ + + + + +

∑∫

∑ ∑ ∑ ∑

( )1 1 2 3 4

47 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )

90j i i i iA f x f x f x f x f x+ + + +∆= + + + +

m= número de pol. 4o graun = número de pontos

INTEGRAÇÃO DE ROMBERG

Este método combina a regra do trapézio:

com a extrapolação de Richardson:

∑−

=−−−

−++=22

1111 2

)12(

22

1k

ikkkk h

iaf

hII k = 2, 3, ...

12

2 12

−−=

p

p ggG

Recordando, a regra do trapézio para um único trapézio é:

f(x)

x

hbfaf

I2

)()(1

+=

a b

f(a)

f(b)

para dois trapézios:

f(x)

x

22

)2/()(

22

)2/()(2

hhafbfhhafafI

+++++=

a b

f(a)

f(b)

2)2/(

2

)()(

2

1 hhafh

bfaf +++=

)2/(22

11 haf

hI ++=

h = b – a

para quatro:

∑−

=−−−

−++=22

1111 2

)12(

22

1k

ikkkk h

iaf

hII

42

)4/3()(

42

)4/3()4/2(

42

)4/2()4/(

42

)4/()(4

hhafbfhhafhafhhafhafhhafafI

+++++++++++++=

[ ]4

)4/3()4/(2

12

hhafhafI ++++=

f(x)

xa b

f(a)

f(b)4

)4/3(4

)4/()2/(22

1

2

)()(

2

1

2

1 hhaf

hhafhaf

hh

bfaf +++++++=

Para 2k-1 trapézios:

k = 2, 3, ...

Assim, a i-ésima aproximação da integral pela Regra do Trapézio:

I i = Ri,1 onde a largura dos trapézios é: h = (b - a)/2k-1

Portanto, a primeira aproximação: R1,1 = I1 (um trapézio);

a segunda aproximação: R2,1 = I2 (dois trapézios);

Se a ordem do erro cometido for h2, então uma primeira aplicação da extrapolação de Richardson fica:

12

2 12

−−=

p

p ggG 1,11,22

1,11,22

2,2 3

1

3

4

12

2RR

RRR −=

−−

=

a terceira aproximação: R3,1 = I3 (quatro trapézios);

e uma nova extrapolação de Richardson:

1,21,32,3 3

1

3

4RRR −=

As duas extrapolações feitas possuem um erro da ordem h4 que, por sua vez, pode ser eliminado com uma nova extrapolação:

2,22,342,22,3

4

3,3 15

1

15

16

12

2RR

RRR −=

−−

=

Esquematicamente, os resultados podem ser arranjados assim:

R1,1

R2,1

R3,1

R4,1

R2,2

R3,2

R4,2

R3,3

R4,3 R4,4

... ... ... ... ...

onde:

14

41

1,11,1

, −−

= −−−−

−

j

jijij

ji

RRR

i > 1 j = 2, ... , i

Exemplo: utilizar a integração de Romberg para avaliar:

Solução:

Aplicações da Regra do Trapézio:

∫π

0)( dxxsen

R1,1 = I1 = [f(a) + f(b)] h/2 = [f(0) + f(π)] (π - 0)/2 = 0

R2,1 = I2 = 1/2 I1 + f(a+h/2)] h/2 = (1/2)(0) + f(0+ π /2) π /2 = π /2

R3,1 = I3 = 1/2 I2 + [f(a+h/4) + f(a+3h/4)] h/4 =

= (1/2)(π /2) + [f(π /4) + f(3π /4)] π /4 = (1+ 2 )π /4

Exemplo: utilizar a integração de Romberg para avaliar:

Solução:

Aplicações da Extrapolação de Richardson:

∫π

0)( dxxsen

R2,2 = 4/3 R2,1 – 1/3 R1,1 = 4/3 π /2 – (1/3)(0) = 2π /3 = 2,0944 (erro = 4,72 %)

R3,2 = 4/3 R3,1 – 1/3 R2,1 = 4/3 (1+ 2 )π /4 – (1/3)(π /2) = (1+2 2)π /6

R3,3 = 16/15 R3,2 – 1/15 R2,2 = 16/15 (1+ 2 2 )π /6 – (1/15)(2π /3) = (6+16 2)π /45

= 1,9986 (erro = 0,07 %)

Obs.: Uma próxima iteração conduziria à solução exata!

QUADRATURA GAUSSIANA

f(x)

xa b

f(a)

f(b)

Regra do Trapézio

f(x)

xa b

f(a)

f(b)

Quadratura Gaussiana

Abscissas a serem encontradas

A Quadratura Gaussiana resulta exata se f (x) é um polinômio de grau 2n-1 ou menor:

Uma maneira de se determinar os pesos Ai e as abscissas xi seria substituir polinômios P0(x) = 1; P1(x) = x ; ... ; P2n+1(x) = x2n-1 na expressão acima e resolver o sistema de equações resultante.

1

( ) ( ) ( )nb

m i m iai

w x P x dx A P x=

=∑∫ m ≤ 2n-1

Quadratura de Gauss – Legendre:

Esta classe de quadratura determina o seguinte:

que, com dois pesos Ai e duas abscissas ξi consegue integrar exatamente polinômios de até grau 3.

1

11

( ) ( )n

i ii

f d A fξ ξ ξ+

−=

=∑∫

Ainda, para executá-la, precisa-se fazer o seguinte mapeamento:

f(x) f(ξ)

x = (b+a)/2 + (b-a)/2 ξ

dx = (b-a)/2 dξ

ou seja:

∫b

adxxf )( ∫ ∑

+

−=

−≅−1

10

)(22

)(n

iii fA

abd

abf ξξξ

Exercício 1: Determinar os pesos e abscissas para n = 2.

A1 f(ξ1) + A2 f(ξ2) = A1 + A2 = 2

A1 f(ξ1) + A2 f(ξ2) = A1 ξ1 + A2 ξ2 = 0

A1 f(ξ1) + A2 f(ξ2) = A1 ξ12 + A2 ξ2

2 = 2/3

A1 f(ξ1) + A2 f(ξ2) = A1 ξ13 + A2 ξ2

3 = 0

∫+

−=

1

121 ξd

∫+

−=

1

10ξxd

∫+

−=

1

1

2 3/2ξdx

∫+

−=

1

1

3 0ξdx

Solução:

Solução:

Resolvendo-se o sistema de 4 equações e 4 incógnitas, obtém-se:

A0 = 1 ξ0 = -1 / 3 = -0,5773503...

A1 = 1 ξ1 = +1/ 3 = +0,5773503...

Exercício 2: Com os pesos e abscissas recém determinadas, calcular a integral de f (x) = 0,2 + 25x - 200 x2 + 675 x3 - 900 x4 + 400 x5

entre os extremos 0 e 0,8 (o valor exato seria 1,640533).

Solução:

x = (b+a)/2 + (b-a)/2 ξ = (0,8+0)/2 + (0,8-0)/2 ξ = 0,4 + 0,4 ξ dx = (b-a)/2 dξ = (0,8 - 0)/2 dξ = 0,4 dξ

∫ =+−+−+8,0

0

5432 )400900675200252,0( dxxxxxx

∫+

−=+++−+++−++=

1

1

5432 4,0])4,04,0(400)4,04,0(900)4,04,0(675)4,04,0(200)4,04,0(252,0[ ξξξξξξ d2

1

0,4 ( ) 0,4[(1) ( 1/ 3) (1) (1/ 3)] 0,4[1,291851 3,264593] 1,822578i ii

A f f fξ=

= = − + = + =∑(erro = -11 %)

n ξi Ai

1 0,000 000 000 2,000 000 0

2 +0,577 350 269 1,000 000 0

-0,577 350 269 1,000 000 0

3 0,000 000 000 0,888 888 9

+0,774 596 669 0,555 555 6

-0,774 596 669 0,555 555 6

4 +0,339 981 044 0,652 145 2

-0,339 981 044 0,652 145 2

+0,861 136 312 0,347 854 8

-0,861 136 312 0,347 854 8

Pesos e abscissas para outros esquemas de integração.

Exercício 3: Com os pesos e abscissas para n = 3, calcular novamente a integral de f (x) = 0,2 + 25x - 200 x2 + 675 x3 - 900 x4 + 400 x5

entre os extremos 0 e 0,8 (o valor exato seria 1,640533).

Solução:

x = (b+a)/2 + (b-a)/2 ξ = (0,8+0)/2 + (0,8-0)/2 ξ = 0,4 + 0,4 ξ dx = (b-a)/2 dξ = (0,8 - 0)/2 dξ = 0,4 dξ

∫ =+−+−+8,0

0

5432 )400900675200252,0( dxxxxxx

∫+

−=+++−+++−++=

1

1

5432 4,0])4,04,0(400)4,04,0(900)4,04,0(675)4,04,0(200)4,04,0(252,0[ ξξξξξξ d2

1

0,4 ( ) 0,4[(0,555556) ( 0,7745967) (0,8888889) (0) (0,5555556) (0,7745967)] 1,640533i ii

A f f f fξ=

= = − + + =∑(erro = 0 %)

Quadratura Gaussiana em 2 dimensões

Considere a integral: ( )6 9 2 2

2 34 2 6 2 4 3

4 2 6 3

2 3

I x y xy x y dydx

x y

dx d dy d

ξ ηξ η

= + + + − +

= + = += =

∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2

1 14 4 2 2 6 3 6 4 2 6 3 2 4 2 4 6 3 3 .6I d dξ η ξ η ξ η ξ η

+ +

− −= − + + + + + + + − + +∫ ∫

Chamando de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( , ) 6 4 4 2 2 6 3 6 4 2 6 3 2 4 2 4 6 3 3f ξ η ξ η ξ η ξ η= − + + + + + + + − + +

1 1

1 1( , )I f d dξ η ξ η

+ +

− −= ∫ ∫

A integração pode ser feita de forma numérica utilizando-se, por exemplo, 3 pontos de Gauss em cada dimensão, resultando em:

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1

1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2

1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

I A A f A A f A A f

A A f A A f A A f

A A f A A f A A f

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ ηξ η ξ η ξ ηξ η ξ η ξ η

= + +

+ + +

+ + +

0,555.0,555. ( 0,775; 0,775) 0,889.0,555. (0;0,775) 0,555.0,555. ( 0,775; 0,775)

0,555.0,889. ( 0,775;0) 0,889.0,889. (0;0) 0,555.0,889. (0,775;0)

0,555.0,555. ( 0,775; 0,775) 0,889.0,555. (0; 0,7

I f f f

f f f

f f

= − − + − + + −+ − + + ++ − + + + 75) 0,555.0,555. ( 0,775; 0,775)f+ + +

1 1 1

1 1 2 2 3 31 1 1( , ) ( , ) ( , )I A f d A f d A f dη η ηξ η ξ ξ η ξ ξ η ξ

+ + +

− − −= + +∫ ∫ ∫

Para o exemplo anterior:1

1 1

1

n

n

n n

yy

x x

yy

x x

∂∂ ∂ ∂

= ∂∂ ∂ ∂

J

L

M O M

L

O determinante da Matriz Jacobiana (ou determinante Jacobiano det J) dá importantes informações sobre o comportamento da transformação

Y = y1...yn:

•A transformação Y pode ser invertida nas proximidades de um ponto p se o determinante neste ponto é não nulo.

•O valor absoluto do determinante em p dá o fator pelo qual a transformação Y expande ou contrai o volume nas proximidades de p.

Considerando a Matriz Jacobiana:

2 0det 6

0 3

x y

x y

ξ ξ

η η

∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

J J

4 2 6 3x yξ η= + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2

1 14 4 2 2 6 3 6 4 2 6 3 2 4 2 4 6 3 3 . 6I d dξ η ξ η ξ η ξ η

+ +

− −= − + + + + + + + − + +∫ ∫

Considerando a Transformação:

3 1det 5

2 1

x y

x y

ξ ξ

η η

∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ − ∂ ∂

J J

3 2x yξ η ξ η= − = +

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1det 5 5 5.4 20

AI dxdy J d d d d d dξ η ξ η ξ η

+ + + + + +

− − − − − −= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 2

1 1 5 0

1 1 5 0

1 1 1 2

x y

x y

x y

x y

ξ ηξ ηξ ηξ η

= − = − = − = −= + = − = + == − = + = − == + = + = + =

A=20 x

y

Em Elementos Finitos:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

11 4

212 2

13 4

214 2

15 4

216 2

17 4

218 2

, 1 1 1

, 1 1

, 1 1 1

, 1 1

, 1 1 1

, 1 1

, 1 1 1

, 1 1

N

N

N

N

N

N

N

N

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

= − − − + +

= − −

= + − − −

= + −

= + + + −

= − +

= − + − + −

= − −

( )

( )

8

1

8

1

( , ) , .

( , ) , .

,

k k

k k

k k

x N x

y N y

x y coordenadas dos nós

ξ η ξ η

ξ η ξ η

=

=

=

∑

∑

Similar a Polinômios de Lagrange:( ) ( )( )

1

1

, 1 1; 1 1

, 0

N em nó

N em todos demais nós

ξ η ξ ηξ η

= = − = −

=

Quando a geometria e as demais grandezas são aproximadas pelas mesmas funções de interpolação a partir de valores nodais � Elementos Isoparamétricos.

81

1

1

det

k kk k

k k kk k

N Nx y y yx y

x x

x y N N x xx y

y y

ξ ηξ ξ ξ ξ η ξ

ξ ηη η η ξη η

−

=

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = = = =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∑J JJ

. . . .f f f f f f

x x x y y y

ξ η ξ ηξ η ξ η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

As derivadas cartesianas são obtidas pela regra da cadeia:

E um elemento de área pode ser calculado como:

. det .dx dy d dξ η= J

Assim, a integração de uma função qualquer no domínio do elemento é dada por:

( ) ( )

( ) ( )

81 1

1 11

8

1 1 1

( , ) , ( , ) . det , .

( , ) . . , ( , ) .det ,

k k kAk

n n

i j k j i k k j iAi j k

f x y dA N f x y d d

f x y dA A A N f x y

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

− −=

= = =

=

=

∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫

J

J

Outras Quadraturas Gaussianas:

Quadratura de Gauss-Chebyshev:

Quadratura de Gauss-Laguerre:

Quadratura de Gauss-Hermite:

∑∫=

+

− +≅

−

n

iif

ndx

x

xf

0

1

1 2)(

11

)( ξπ

∑∫=

∞ − ≅n

iii

x xfAdxxfe0

0)()(

∑∫=

∞+

∞−

− ≅n

iii

x xfAdxxfe0

)()(2

22

)12(cos

++=

n

ii

πξ

Integracao Numerica Simpson Boole

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