Álgebra de Boole
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´ Algebra de Boole Alberto Sim˜ oes [email protected] 3 de Outubro de 2009 AlbertoSim˜oes ´ Algebra de Boole
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Apresentação BÁSICA sobre álgebra de Boole e algumas noções de lógica de primeira ordem.
Transcript of Álgebra de Boole
Algebra de Boole
Simplificadamente, uma algebra define:
um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades
George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:
verdadeiro (1)falso (0)
com tres operacoes basicas:
negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de Boole
Simplificadamente, uma algebra define:
um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades
George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:
verdadeiro (1)falso (0)
com tres operacoes basicas:
negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de Boole
Simplificadamente, uma algebra define:
um conjunto de valores;um conjunto de operacoes;e garante um conjunto de propriedades
George Boole definiu uma algebra baseada em valores logicos:sobre um conjunto de dois valores:
verdadeiro (1)falso (0)
com tres operacoes basicas:
negacao (nao)conjuncao (e)disjuncao (ou)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleNegacao
A negacao e habitualmente lida nao (not);
A sua representacao matematica e ¬;
x ¬x
0 11 0
¬0 = 1
¬1 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleNegacao
A negacao e habitualmente lida nao (not);
A sua representacao matematica e ¬;
x ¬x
0 11 0
¬0 = 1
¬1 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleNegacao
A negacao e habitualmente lida nao (not);
A sua representacao matematica e ¬;
x ¬x
0 11 0
¬0 = 1
¬1 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleConjuncao
A conjuncao e habitualmente lida e (and);
A sua representacao matematica e ∧;
∧ 0 1
0 0 01 0 1
1 ∧ 1 = 1
1 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
0 ∧ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleConjuncao
A conjuncao e habitualmente lida e (and);
A sua representacao matematica e ∧;
∧ 0 1
0 0 01 0 1
1 ∧ 1 = 1
1 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
0 ∧ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleConjuncao
A conjuncao e habitualmente lida e (and);
A sua representacao matematica e ∧;
∧ 0 1
0 0 01 0 1
1 ∧ 1 = 1
1 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
0 ∧ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleDisjuncao
A disjuncao e habitualmente lida ou (or);
A sua representacao matematica e ∨;
∨ 0 1
0 0 11 1 1
1 ∨ 1 = 1
1 ∨ 0 = 1
0 ∨ 1 = 1
0 ∨ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleDisjuncao
A disjuncao e habitualmente lida ou (or);
A sua representacao matematica e ∨;
∨ 0 1
0 0 11 1 1
1 ∨ 1 = 1
1 ∨ 0 = 1
0 ∨ 1 = 1
0 ∨ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleDisjuncao
A disjuncao e habitualmente lida ou (or);
A sua representacao matematica e ∨;
∨ 0 1
0 0 11 1 1
1 ∨ 1 = 1
1 ∨ 0 = 1
0 ∨ 1 = 1
0 ∨ 0 = 0
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleOperadores Derivados
Implicacao:a⇒ b = ¬(a ∧ ¬b)
Ou exclusivo:
a⊕ b = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)
Equivalencia:a ≡ b = ¬(a⊕ b)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleImplicacao
A implicacao e habitualmente lida implica (implies);
A sua representacao matematica e ⇒;
⇒ 0 1
0 1 11 0 1
1⇒ 1 = 1
1⇒ 0 = 0
0⇒ 1 = 1
0⇒ 0 = 1
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleImplicacao
A implicacao e habitualmente lida implica (implies);
A sua representacao matematica e ⇒;
⇒ 0 1
0 1 11 0 1
1⇒ 1 = 1
1⇒ 0 = 0
0⇒ 1 = 1
0⇒ 0 = 1
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Algebra de BooleImplicacao
A implicacao e habitualmente lida implica (implies);
A sua representacao matematica e ⇒;
⇒ 0 1
0 1 11 0 1
1⇒ 1 = 1
1⇒ 0 = 0
0⇒ 1 = 1
0⇒ 0 = 1
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleOu exclusivo
O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;
a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
Nao tem uma representacao matematica oficial;
Nestes slides, sera usado o ⊕;
⊕ 0 1
0 0 11 1 0
1⊕ 1 = 0
1⊕ 0 = 1
0⊕ 1 = 1
0⊕ 0 = 0
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Algebra de BooleOu exclusivo
O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;
a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
Nao tem uma representacao matematica oficial;
Nestes slides, sera usado o ⊕;
⊕ 0 1
0 0 11 1 0
1⊕ 1 = 0
1⊕ 0 = 1
0⊕ 1 = 1
0⊕ 0 = 0
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Algebra de BooleOu exclusivo
O ou exclusivo e habitualmente denotado por xor;
a⊕ b pode ser lido como a ou b, mas nunca os dois;
Nao tem uma representacao matematica oficial;
Nestes slides, sera usado o ⊕;
⊕ 0 1
0 0 11 1 0
1⊕ 1 = 0
1⊕ 0 = 1
0⊕ 1 = 1
0⊕ 0 = 0
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Algebra de BooleEquivalencia
A equivalencia e habitualmente lida equivale a;
A sua representacao matematica e ≡;
≡ 0 1
0 1 01 0 1
1 ≡ 1 = 1
1 ≡ 0 = 0
0 ≡ 1 = 0
0 ≡ 0 = 1
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Algebra de BooleEquivalencia
A equivalencia e habitualmente lida equivale a;
A sua representacao matematica e ≡;
≡ 0 1
0 1 01 0 1
1 ≡ 1 = 1
1 ≡ 0 = 0
0 ≡ 1 = 0
0 ≡ 0 = 1
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Algebra de BooleEquivalencia
A equivalencia e habitualmente lida equivale a;
A sua representacao matematica e ≡;
≡ 0 1
0 1 01 0 1
1 ≡ 1 = 1
1 ≡ 0 = 0
0 ≡ 1 = 0
0 ≡ 0 = 1
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleLeis basicas
Associatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Comutatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ b = b ∧ a
a ∨ b = b ∨ a
Distributividade:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleLeis basicas
Associatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Comutatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ b = b ∧ a
a ∨ b = b ∨ a
Distributividade:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleLeis basicas
Associatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Comutatividade da disjuncao e conjuncao:
a ∧ b = b ∧ a
a ∨ b = b ∨ a
Distributividade:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleLeis basicas
Dupla Negacao¬¬a = a
De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
Mais em http:
//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra
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Algebra de BooleLeis basicas
Dupla Negacao¬¬a = a
De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
Mais em http:
//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra
Alberto Simoes Algebra de Boole
Algebra de BooleLeis basicas
Dupla Negacao¬¬a = a
De Morgan¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b
Mais em http:
//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_Boolean_algebra
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