Introdução

No presente trabalho serão retratados temas relacionados com a cadeira de Algebra, envolvendo Matrizes, com maior enfoque para a resolução de Sistemas usando o Método de Cramer, regra esta criada pelo Gabriel Cramer.

Nisto, foram desenvolvidos alguns exemplos e exerciocios resolvidos para maior copreensão desta regra.

1.0. Objectivos1.1. Objectivos gerais

A relaização deste trabalho tem como objectivos o alargamento dos conhecimentos acerca da cadeira em curso com principal destaque para o tema em causa (Regra de Cramer).

1.2. Obectivos Específicos

São objectivos específicos deste trabalho, o ganho profundo da regra de Cramer sobre tudo na resolução de Sistemas Lineares.

2.0. Regra de Cramer

A regra de Cramer diz que os valores das incógnitas de um sistema linear são dados por frações cujo denominador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas após a substituição de cada coluna pela coluna que representa os termos independentes do sistema.

2.1. Regra de Cramer para resolução de sistemas

Sabemos que sistema linear é um conjunto de n equações lineares com n incógnitas relacionadas entre si. A solução de um sistema linear pode ser obtida de várias maneiras.

Veremos uma das formas de resolução de um sistema utilizando a regra de Cramer.

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. 

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer.

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

X1 = D1D

X2 = D2D

X3 = D3D

.... Xn=DnD

Exemplo 1:

Dado o sistema linear para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4 D = 15. 

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax. 

 Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx. 

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6 Dx = 15 

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay. 

Agora calcularmos o seu determinante Dy. 

Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16 Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. 

A incógnita x = DxD

 = 1515

  = 1 

A incógnita y =  D yD

 = 3015

  = 2

A incógnita z =  DzD

 = 4515

  = 3

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

Todo sistema linear pode ser associado a uma matriz envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal.

Por exemplo, considere o seguinte sistema linear:

Sua representação matricial dos coeficientes das incógnitas é (matriz incompleta):

Já a representação matricial completa do sistema, levando em consideração somente os coeficientes numéricos, é:

Todo o sistema pode ser representado matricialmente da seguinte forma:

Diante da relação existente entre um sistema linear e uma matriz, Cramer desenvolveu um método de resolução de sistemas envolvendo as propriedades das matrizes e dos determinantes.

Exemplo 2:

Encontre a solução do sistema abaixo utilizando a regra de Cramer.

Solução: Primeiro, devemos escrever a matriz que representa os coeficientes das incógnitas e obter seu determinante.

Em seguida, devemos excluir a primeira coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas e substituí-la pelos termos independentes do sistema 12, 12 e – 16, e calcular o determinante.

Agora, fazemos o mesmo com a segunda coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas.

Calculando o determinante dessa matriz, obtemos:

Repetindo o mesmo procedimento para a terceira coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas, obtemos:

Fazendo o cálculo do determinante, teremos:

Segundo a regra de Cramer, temos que:

Assim, o conjunto solução do sistema é S = {(3, 4, 5)}.

Teoremas da Regra de Cramer

1º Caso: Quando D = 0 e Dx = 0; Dy = 0 e Dz = 0, então o sistema é possível e indeterminado, ou seja, o sistema é SPI (sistema possível e indeterminado). 

2º Caso: Quando D≠0 e todos os Dn≠0 (Dx, Dy e Dz) , então o sistema é possível e determinado SPD(Sistema Possivel e Determinado). 

3º Caso: Quando D = 0 e um qualquer Dn, ou dois dos Dn, ou todos os Dn for/forem diferente(s) de zero, então o sistema é IMPOSSÍVEL (SI) .

Exemplo 3:

Observe o seguinte sistema:x - y = 22x + ay =b

Resolvendo o determinante do sistema acima, concluímos que a= -2, e resolvendo o sistema, teremos que:b - 4 (diferente de zero) ------> Sistema impossível.b - 4 = 0 ------------------------->Sistema possível indeterminado.Resumindo temos:a (diferente de -2) --------> sistema possível determinado (Det. diferente de zero)a = -2 b = 4 ----------------> sistema possível indeterminado (Det.é igual a zero, e existe mais de um valor que satisfaz a equação)a = -2 e "b" é diferente de 4 ----------> sistema impossível.

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3

...................................................= ...

...................................................= ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

Onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:xi = D xi / D

Exemplo 4:

Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Conclusão

Com a realização deste trabalho foi possivel ter conhecimentos sobre a regra de Cramer na resolução de sistemas com n equações e n incógnitas.

Ficou claro também que a regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas que só pode ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas são iguais.

Bibliografia