Material de Apoio · Regra de Cramer e Escalonamento Resumo ... No cálculo do determinante das...
Transcript of Material de Apoio · Regra de Cramer e Escalonamento Resumo ... No cálculo do determinante das...
1
Matemática
Regra de Cramer e Escalonamento
Resumo
Regra de Cramer
Consideramos o sistema: ax by e
cx dy f
+ =
+ =
Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que esse sistema pode ser escrito pela forma matricial:
a b x e
c d y f
=
Esse sistema é possível determinado quando o determinante a b
Dc d
= for diferente de zero.
As soluções desse sistema através da Regra de Cramer são dadas por:
xDx
D=
yDy
D=
Onde,
x
e bD
f d= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “x” pela coluna de resultados.
y
a eD
c f= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “y” pela coluna de resultados.
Exemplo: Resolva o sistema:
1 2 2
1 1 1 8
2 1 3
D
− −
= − = −
2
Matemática
1 2 2
2 1 1 8
1 1 3
xD
− − −
= − − = −
1 1 2
1 2 1 16
2 1 3
yD
− −
= − = −
1 2 1
1 1 2 8
2 1 1
zD
− −
= − − =
81
8
162
8
81
8
x
y
z
−= =
−
−= =
−
= = −−
Escalonamento
Escalonamento é um método de classificar, resolver e discutir sistemas lineares. Seja S um sistema
genérico, ele é dito escalonado, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo
aumenta de equação para equação.
Exemplo:
3x y z 2
2y - 3z -1
z 5
− + =
= = −
Relembrando, esse sistema pode ser escrito como:
3 1 1 x 2
0 2 3 y 1
0 0 1 z 5
−
− = − −
A matriz 3x3 é chamada matriz dos coeficientes. E a matriz coluna após o sinal de matriz dos termos
independentes.
3
Matemática
A matriz aumentada do sistema é formada pelos coeficientes e termos independentes:
3 1 1 2
0 2 3 1
0 0 1 5
−
− − −
Note que cada uma das 3 primeiras colunas representa uma das incógnitas e a ultima representa os termos
independentes (T.I.)
yx z T.I.
3 1 1 2
0 2 3 1
0 0 1 5
−
− − −
Sistema equivalente:
Se dois sistemas são ditos equivalentes, então admitem a mesma solução:
Seja 1
x y 5S
x y 1
+ ==
− =e 2
2x 2y 10S
2x 2y 2
+ ==
− =. Eles são equivalentes, pois admitem o mesmo conjunto
solução (2,3). Notação 1 2S ~ S
Resolução de escalonamento por eliminação de Gauss-Jordan:
O método de eliminação de Gauss-Jordan é um dos métodos mais eficazes para escalonar. Para entende-lo
melhor, é necessário saber as operações elementares:
Operações elementares: são operações que podem ser realizadas e sistemas lineares a fim de transformá-
lo em um sistema mais simples. As três operações são: trocar a posição de duas linhas do sistema,
multiplicar uma linha por um escalar (número) e somar duas linhas.
Obs: Combinando a 2ª operação elementar com a 3ª implica em multiplicar uma linha por um escalar e
somar com outra
Roteiro para eliminação de Gauss-Jordan
1° Tome a matriz ampliada do sistema
2° Aplique alguma transformação elementar e torne o primeiro elemento da primeira linha igual a 1
3° Aplique transformações lineares para anular os termos abaixo dele
4° Continue o processo no segundo elemento da segunda linha
Observação: O objetivo de escalonar é obter uma matriz com a diagonal formada por 1 e os outros
elementos igual a 0
4
Matemática
Exemplo:
1 0 0 5
0 1 0 1
0 0 1 1
−
Como cada uma das 3 primeiras colunas representam uma incógnita e a ultima os termos independentes
concluímos que
X=5
Y=1
Z=-1
Exemplo
2x 2y z 1
x y z 3
3x z 4
− + =
+ + = + =
Note que o sistema não está escalonado.
Representaremos L1 como a linha 1, L2 como a linha 2 e L3 como a linha 3
Tomando a matriz aumentada:
2 2 1 1
1 1 1 3
3 0 1 4
−
L1 L2
A primeira operação será trocar a segunda linha com a primeira (as operações podem ser feita em outras
ordens)
2 2 1 1
1 1 1 3
3 0 1 4
−
~
1 1 1 3
2 2 1 1
3 0 1 4
−
L2 L2 2L1
L3 L3 3L1
= −
= −
Agora vamos anular os elementos abaixo do 1° elemento da matriz (lembrando as operações elementares
são aplicadas em todos os elementos da linha).
1 1 1 3
2 2 1 1
3 0 1 4
−
~
1 1 1 3
0 4 1 5
0 3 2 5
− − − − − −
1L2 L2
4= −
5
Matemática
Nessa operação tornaremos o -4 em 1 e repetiremos o processo
1 1 1 3
0 4 1 5
0 3 2 5
− − − − − −
~
1 1 1 3
1 50 1
4 4
0 3 2 5
− − −
L1 L1 L2
L3 L3 3L2
= −
= +
1 1 1 3
1 50 1
4 4
0 3 2 5
− − −
~
3 71 0
4 4
1 50 1
4 4
5 50 0
4 4
− −
4L3 L3
5= −
3 71 0
4 4
1 50 1
4 4
5 50 0
4 4
− −
~
3 71 0
4 4
1 50 1
4 4
0 0 1 1
~...~
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
. Logo:
x 1
y 1
z 1
=
=
=
O escalonamento poderia ter sido feito aplicando as operações elementares no sistema sem necessitar da
matriz aumentada.
6
Matemática
Exercícios
1. Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram
apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com
apenas`2
3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que
Pedro ganhou na disputa foi
a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
2. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações
lineares:
2 3 3 18
3 2 5 23
5 4 2 27
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + = + + =
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
3. Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma
velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
• Carlos e Andreia pesam 123 kg;
• Andreia e Bidu pesam 66 kg.
O peso de cada uma deles é:
a) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
b) Andreia pesa 50 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
c) Andreia pesa 51 kg, Bidu 12 kg e Carlos 72 kg.
d) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 70 kg.
7
Matemática
4. Para que o sistema linear 2 5
2
x y
ax y b
+ =
+ = seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:
a) -1
b) 4
c) 9
d) 14
e) 19
5. Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes
numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações
possui a seguinte representação matricial:
O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes
numéricos das incógnitas.
Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no
cálculo das incógnitas do sistema.
Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações
utilizando a Regra de Cramer.
a) (1, 2, -1)
b) (1, 2, 1)
c) (1, -2, 1)
d) (-1, 2, 1)
e) (-1, 2, -1)
8
Matemática
6. Escalonando o sistema abaixo, o conjunto solução obtido é:
x 2y z 9
2x y z 3
3x y 2z 4
+ + =
+ − = − − = −
a) (1,2,3) b) (1,3,2) c) (2,3,1) d) (2,1,3)
7. Qual a soma dos elementos do conjunto solução?
x y 3
x z 4
y z 3
+ =
+ = + = −
a)3 b)2 c)-8 d)6
8. Qual o valor de x no sistema abaixo?
x y z t 6
y z t 1
3z 2t 2
9t 36
+ + + =
− − =
+ = =
a) 1 b) -1 c) 3 d) -2
9. Se a solução do sistema:
x y z 2w 1
x y 2z w 4
x 2y z w 2
2x y z w 3
+ + + =
+ + + =
+ + + = + + + =
é (x,y,z,w) então o valor de y wx z+ é:
a) -2
b) 2
3
c) 1
2
d) 2
e) 3
2
9
Matemática
10. Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w:
x y 1,
y z 2,
w z 3.
− =
+ = − =
Logo, a soma x + y + z + w é igual a
a) 2.−
b) 0.
c) 6.
d) 8.
10
Matemática
Gabarito
1. A
Equacionando e resolvendo o sistema:
20
24 20
3
p a
p a
+ =
+ =
Por Cramer:
1 12 2 12 10
423 3 3 34
3
D = = − = − = −
20 140 40 60 20
2023 3 3 320
3
2
p
p
D
D
D
= = − = − = −
=
Se Pedro possuía 2 cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então este
ficou com 8 cartões ao final (4.2 = 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa.
2. B
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
y = Dy / D
y = 62/31
y = 2
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.
11
Matemática
3. A
Seja Andreia = A, Bidu = B e Carlos = C. Temos:
87
123
66
b c
a c
a b
+ =
+ = + =
`
Por Cramer, temos:
b = Db / D
b = 30 / 2
b = 15
b + c = 87
15 + c = 87
c = 87 – 15
c = 72
a + b = 66
a = 66 – 15
a = 51
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
4. D
Devemos ter Dx = Dy = D = 0
2 14 0 4
2
5 110 0 10
2
14
a aa
b bb
a b
= − = =
= − = =
+ =
12
Matemática
5. A
No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.
x = Dx / D
x = –8/–8
x = 1
y = Dy/D
y = –16/–8
y = 2
z = Dz/D
z = 8/–8 = –1
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.
13
Matemática
6. B
A matriz aumentada do sistema é:
1 2 1 9
2 1 1 3
3 1 2 4
− − − −
.Efetuando as operações elementares, chega-se em
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 2
. Logo x=1, y=3 e z=2.
7. B
A matriz aumentada do sistema é:
1 1 0 3
1 0 1 4
0 1 1 3
−
.Efetuando as operações elementares, chega-se em
1 0 0 5
0 1 0 2
0 0 1 1
− −
. Logo x=5, y=-2 e z=-1.
8. A
A matriz aumentada do sistema é:
1 1 1 1 6
0 1 1 1 1
0 0 3 2 2
0 0 0 9 36
− −
.Efetuando as operações elementares, chega-se
em
1 0 0 0 1
0 1 0 0 3
0 0 1 0 2
0 0 0 1 4
−
. Logo x=1.
9. E
A matriz aumentada do sistema é:
1 1 1 2 1
1 1 2 1 4
1 2 1 1 2
2 1 1 1 3
.Efetuando as operações elementares, chega-se em
1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
−
. Portanto, x=1, y=0, z=2 e w=-1 Assimy wx z+ =
0 1 1 31 2 1
2 2
−+ = + =
14
Matemática
10. D
Somando todas as equações do sistema, vem x+w=6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x
+ y + z + w = 6 + 2 = 8.