Aula 13 propriedade condicional, regra do produto e regra de bayes
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Estatística Aplicada a Administração
A D M I N I S T R A Ç Ã O – E A A D M
P R O F. E N I O J O S É B O LO G N I N I
2 º S E M E S T R E / 2 0 1 4
A U L A 1 3 – P R O P R I E D A D E C O N D I C I O N A L , R E G R A D O P R O D U TO E R E G R A D EB AY E S
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP
Nesta propriedade é possível avaliar a ocorrência dos eventos, no casodo evento (A), que é condicional ao outro evento (B).
Note que a diferença esta no evento (A), pois é um evento anterior, ouseja, a ocorrência de é atrelada em A, e sendo calculada a probabilidadede (B) ocorrer.
Pergunta: “Como posso ler esta definição?”.
Dica: Probabilidade de B dado A ou Probabilidade de B condicional àocorrência de A.
𝑃 𝐴/𝐵
Veja no próximo slide o exemplo a seguir:
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
Exemplo 1:
Calcule a probabilidade de B ocorrer supondo que A tenha ocorrido.
Dica: “Preste atenção na leitura do slide anterior...”.
Fórmulas: 𝑃 𝐴/𝐵 e 𝑃 𝐴 =𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝑃 𝐵/𝐴 =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵/𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)=
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵𝑛(𝑆)𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)
=𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛(𝐴)
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
𝑃 𝐵/𝐴 =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
É uma maneira de se obter a definição do produto por propriedade condicional
como:
𝑃 𝐵/𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵) × 𝑃 𝐴/𝐵
𝑃 𝐴/𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃 𝐵/𝐴
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REGRA DO PRODUTO
Exemplo: São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas.
Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?
Solução:
Total de cartas do baralho: n(S) = 52 cartas
Total de cartas de ouros do baralho: n(A) = 13 cartas
P(A) = 13/52 (probabilidade de que a primeira carta retirada seja ouros)
Como não há reposição de cartas, a primeira carta retirada é de ouros e fica fora
do baralho.
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REGRA DO PRODUTO
Para o cálculo de P(B/A):
n(S) = 51 (O Baralho ficou com uma carta a menos após a primeira retirada);
n(B/A) = 12 ( O conjunto das cartas de ouros diminuiu uma carta após a
primeira retirada ).
P(B/A) = 12/51 (probabilidade de que a segunda carta retirada seja ouros)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵/𝐴 =13
52×12
51=
156
2652=
3
51
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REGRA DO PRODUTO
São dois eventos independentes quando realizado (ou não) um evento, que não
interfere na ocorrência (ou não) do evento seguinte:
Se dois eventos são independentes: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
Se “n” eventos são independentes: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝑐 ∩ ⋯ = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵 ×𝑃 𝐶 …
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EVENTOS INDEPENDENTES
EXEMPLO: Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa
encomendou uma pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara
Municipal. Segundo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a
licitação para coleta de lixo de bairro de Sérvia Amarela é de 60%. A pesquisa
revelou ainda que a probabilidade de a empresa ganhar a licitação para coleta de
lixo no bairro de Conceição é de 90%. Qual é a probabilidade de essa empresa
vencer as duas concorrências?
Solução: Como o fato de vencer uma licitação não interfere com o fato de
vencer ou não outra licitação, fica caracterizado que são eventos independentes.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵 = 0,60 × 0,90 = 0,54
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EVENTOS INDEPENDENTES
Consideramos n eventos mutuamente exclusivos, tais que a união será os
eventos que resultem igual ao espaço amostral, como:
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3…∪ 𝐴𝑛 = 𝑆
As probabilidades de cada um dos eventos n, serão consideradas em eventos B
de S, onde todas sejam conhecidas como condicionais em relação a cada um dos
n eventos 𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . Para cada probabilidade condicional 𝑃 𝐴𝑖/𝐵 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑃 𝐴𝑖/𝐵 =𝑃 𝐴𝑖 × 𝑃 𝐵/𝐴𝑖
𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐵1/𝐴 + 𝑃 𝐴2 × 𝑃 𝐵2/𝐴 + ⋯+ 𝑃 𝐴𝑛 × 𝑃 𝐵𝑛/𝐴
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REGRA DE BAYES
Um baralho foi separado em três montes, supondo as seguintes distribuições:
Escolhemos um monte ao acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo
sido retirada uma carta de copas, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do
terceiro monte?
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REGRA DE BAYES
Naipes 1º Monte (𝑨𝟏)
2º Monte (𝑨𝟐)
3º Monte (𝑨𝟑)
Ouros 4 4 5
Copas 6 3 4
Espadas 2 5 6
Paus 5 7 1
17 19 16
𝑃 𝐴1 = 1/3 𝑃 𝐴2 = 1/3 𝑃 𝐴3 = 1/3
Probabilidades condicionais (copas em cada um dos montes):
𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 = 6/17 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴2 = 3/19 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 = 4/16
𝑃 𝐴3/𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 =𝑃 𝐴3 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴3
𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 + 𝑃 𝐴2 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴2 + 𝑃 𝐴3 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴3
𝑃 𝐴3/𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 =
13 ×
416
13 ×
617 +
13 ×
319 +
13 ×
416
=323
983
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REGRA DE BAYES
A probabilidade de a carta tersido extraída do terceiro monteé de 323/983 = 0,3286
AULA 14 - DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS: PERMUTAÇÕES,
ARRANJOS E DISTRIBUIÇÃO DISCRETA BINOMIAL E POISSON
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Referências BibliográficasBÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.
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