Probabilidade e Esperança Condicional

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Probabilidade e Esperança Condicional • Como definir apropriadamente F X (x | Y = y) e E(X | Y = y)? • Duas situações: Y discreto Y contínuo

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Probabilidade e Esperança Condicional. Como definir apropriadamente F X ( x | Y = y ) e E( X | Y = y )? Duas situações: Y discreto Y contínuo. Caso Discreto. Propriedades. P( X  B ) = S y P( X  B | Y = y ) P( Y = y ) - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Probabilidade e Esperança Condicional

Probabilidade e Esperança Condicional

• Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)?

• Duas situações:– Y discreto– Y contínuo

Page 2: Probabilidade e Esperança Condicional

Caso Discreto

)contínua()|(

)discreta()|()|(

XdxyYxxf

XyYxXxPyYXE

X

x

)(

),()|()|(

yYP

yYxXPyYxXPyYxFX

Page 3: Probabilidade e Esperança Condicional

Propriedades

• P(XB) = yP(XB | Y=y) P(Y=y)

• FX(x) = P(X ≤ x) =yP(X≤ x| Y=y) P(Y=y)

• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) =

t P(X≤ x| Y=t) P(Y=t)

• E(X) = y E(X|Y=y) P(Y=y)

(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Page 4: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro . Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?

Page 5: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro . O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média . Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

Page 6: Probabilidade e Esperança Condicional

Caso Contínuo

• FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

Page 7: Probabilidade e Esperança Condicional

Propriedades (caso contínuo)

• P(XB) = P(XB | Y=y) fY(y)dy

• FX(x) = P(X ≤ x) =P(X≤ x| Y=y) fY(y)dy

• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) =

y P(X≤ x| Y=t) fY(t)dt

• E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy

(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Page 8: Probabilidade e Esperança Condicional

Caso contínuo

]),[|(lim)|(0

yyyYxXPyYxFy

X

• Caso geral:

• Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

)(

),()|( ,

yf

yxfyYxf

Y

YXX

Page 9: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X?

1

1

Page 10: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite.

a) Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite?b) Qual é a probabilidade de que seja desligado depois

das 22 horas?c) Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da

novela e desligado depois?

Page 11: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?

Page 12: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplo

• Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

Page 13: Probabilidade e Esperança Condicional

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:

nn XXXS ...21

n

XXX

n

SX nn

...21

Page 14: Probabilidade e Esperança Condicional

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X

• Fácil calcular médias e variâncias

nn

XXnXnS

EXXEnnEXES

n

n

212

1

11

)(Var)(Var,)(Var)(Var

,

Page 15: Probabilidade e Esperança Condicional

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Quando n, Var(X) 0

• Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média .

• É possível tornar esta afirmativa precisa?

Page 16: Probabilidade e Esperança Condicional

Desigualdade de Markov

• Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:

a

m

a

EXaXP )(

Page 17: Probabilidade e Esperança Condicional

Desigualdade de Chebyshev

• Seja X uma variável aleatória tal que EX = e Var(X) = 2. Então, para todo > 0:

2

2

2Var

)|(|

XXP

Page 18: Probabilidade e Esperança Condicional

Lei Fraca dos Grandes Números(Chebyshev, 1867)

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e

Var X1 = 2. Então, para todo > 0,

0)|(|lim

logo;)|(|2

2

XPn

XP

n

Page 19: Probabilidade e Esperança Condicional

Lei Forte dos Grandes Números(Kolmogorov, 1925)

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = Então:

• Em consequência, para todo > 0:

1)lim(

XPn

0)|(|lim

XPn

Page 20: Probabilidade e Esperança Condicional

Observações

• Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1.

• Exemplos– Jogo de São Petersburgo

– X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))

Page 21: Probabilidade e Esperança Condicional

Teorema Central do Limite

• Estimativa para P(|X–|) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa.

• É possível refiná-la?• Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a

variância, de modo a ter média 0 e variância 1.• Resultado: a distribuição da versão padronizada

converge para uma distribuição fixa (a normal).

Page 22: Probabilidade e Esperança Condicional

Teorema Central do Limite

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e Var X1 = 2. A distribuição de

converge para a normal padrão:

dxzXn

P

xz2

2

e2

1)(

)(Xn

Page 23: Probabilidade e Esperança Condicional

Noções de Simulação

• Teorema Fundamental

Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.

Page 24: Probabilidade e Esperança Condicional

Exemplos

• Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial ?

• Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)?

• Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?

Page 25: Probabilidade e Esperança Condicional

Para gerar v.a. normais

• Algoritmo de Box-Muller

são normais e independentes

sin,cos

2

ln2

2

1

RYRX

U

UR

Page 26: Probabilidade e Esperança Condicional

Método de aceitação/rejeição

• Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x [a, b] .

Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M.V

Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

Page 27: Probabilidade e Esperança Condicional

Método de aceitação/rejeição

• Método de aceitação/rejeitação

U

MV

Page 28: Probabilidade e Esperança Condicional

Método de aceitação/rejeição

• Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x [a, b] .

Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V

Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

Page 29: Probabilidade e Esperança Condicional

Outros métodos

• Algoritmo de Metrópolis

• Importance Sampling

(MacKay, cap. 29)