Reforço de Engenharia

Física 1 1

Movimento Unidimensional

RESUMO

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•

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•

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• 𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑆

∆𝑡=

𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝑑𝑆 = 𝑣𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑆 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 → 𝑆 = 𝑣𝑡

∫ 𝑑𝑆𝑆

𝑆0

= ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡

𝑡0

→ 𝑆 = 𝑆0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0), 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑆0 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 (𝑡 − 𝑡0)𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜.

•

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•

•

•

•

•

• 𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑡 → 𝑣 = 𝑎𝑡

∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑎𝑡𝑑𝑡 → 𝑠(𝑡) = 𝑎 (𝑡2

2)

∫ 𝑑𝑣𝑣

𝑣0

= ∫ 𝑎𝑑𝑡𝑡

𝑡0

→ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)

∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡

𝑡0

= ∫ [𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)]𝑑𝑡𝑡

𝑡0

→ 𝑆(𝑡) = 𝑆0 + 𝑣0(𝑡 − 𝑡0) +1

2𝑎(𝑡 − 𝑡0)²

•

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EXERCÍCIOS DE AULA

1. Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, a uma

distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11:15 h da manhã. Você planeja dirigir a 100 km/h

e parte às 8:00h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante

os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40

km/h por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter o resto da viagem par achegar a

tempo para a entrevista?

2. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetro por x = 9,75 + 1,50t3,

onde t está em segundos. Calcule:

a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s e t = 3,00 s;

b) a velocidade escalar instantânea em t = 2,00s;

c) a velocidade escalar instantânea em t = 3,00s;

d) a velocidade escalar instantânea em t = 2,50s;

e) a velocidade escalar instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições

em t = 2,00 s e t = 3,00 s.

3. Em certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x;

2,4 s depois, a velocidade era 30 m/s no sentido oposto. Qual foi a aceleração média da partícula

durante esse intervalo de tempo?

4. Um avião a jato de grande porte precisa atingir uma velocidade de 500 km/h para decolar, e tem uma

aceleração de 4 m/s2. Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na pista até a

decolagem?

5. Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10 s em linha reta, com aceleração

crescente segundo a lei

a = bt

onde t é o tempo e b = 0,5 m/s3. Trace os gráficos da velocidade v e da posição x da partícula em

função do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t)?

6. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, no instante t = 0s. Em t = 1,5 s ela

ultrapassa o alto de uma torre: 1,0 s depois, atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre?

7. Um vaso com plantas cai do alto de um edifício e passa pelo 3o andar, situado a 20m acima do chão,

0,5 s antes de espatifar no chão. Qual a altura do edifício?

EXERCÍCIOS DE CASA

1. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo

sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h.

a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move

no sentido positivo de x).

b) Qual é a velocidade escalar média?

c) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico.

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2. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma

velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta.

3. A Fig. 1 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direção ao outro. A Fig. 2 é

um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x0 verde = 270 m e x0 vermelho = 35,0 m

no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte

do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro vermelho?

4. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00t² + 3,00t +

2,00, onde x está em metros e t em segundos. A aceleração da partícula 2 é dada por a = - 8,00t, onde

a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20

m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

5. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra

atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício,

a pedra chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades SI:

a) com que velocidade a pedra foi lançada?

b) qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço?

c) qual a altura do edifício?

6. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que altura as

bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar?

7. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que distância do

solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo?

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8. Um jogador de basquete

passa o jogador

a) nos 15 cm mais altos do pulo; e

b) nos 15 cm mais baixos?

Obs.: Isso explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.

9. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o que equivale ao nosso Instituto Nacional de Pesos e

Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de vidro em um

tubo sem ar e deixando-a a retornar. A figura abaixo é o gráfico da altura da bola em função do tempo.

Seja ∆tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo nível inferior, ∆tU o

intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e H a distância entre os dois

níveis. Prove que

𝑔 =8𝐻

∆𝑡𝐿2 − ∆𝑡𝑈

2

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GABARITO

Exercícios de aula

1. Como esse é um dos nossos exercícios iniciais, faço questão de reforçar que é muito válido desenhar o

que foi escrito no enunciado. Sempre ajuda meu/minha amigo/amiga. Então vamos lá:

Teríamos um esboço parecido com o que se segue retratando a situação problema:

Aplicando a expressão da velocidade média, temos que:

𝑣 =∆𝑥

∆𝑡=

160𝑘𝑚

1ℎ15𝑚𝑖𝑛=

160𝑘𝑚

1ℎ +14

ℎ=

160𝑘𝑚

5ℎ4

= 128𝑘𝑚

ℎ

2.

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3. Fazendo um esboço do que a questão descreve:

A aceleração média será:

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡=

−30 − 18

2,4 − 0,0= −20

𝑚

𝑠2

4. Trata-se de movimento uniformemente variado (MUV)

Podemos fazer então:

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 → 𝑡 =𝑣 − 𝑣0

𝑎=

5003,6⁄ − 0

4≅ 34,72 𝑠

E para encontrar a posição x, fazemos:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2 → ∆𝑥 = 0 +

1

2. 4. (34,72)2 = 2,41 𝑚

Obs.: Em posse do valor das velocidades iniciais e finais e do intervalo de tempo em que essa variação

de velocidade ocorre, poderíamos ter esboçado um gráfico da velocidade em função do intervalo de

tempo e ter encontrado a variação da posição ∆x pela área sob a curva desse gráfico, no que segue:

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5. Lembrando que 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 e 𝑎 = 𝑑𝑣/𝑑𝑡 e dado que a(t) = bt, de acordo com o enunciado, temos que:

∫ 𝑎(𝑡′)𝑡

𝑡0

𝑑𝑡′ = ∫ 𝑑𝑣′𝑣

𝑣0

→ ∫ 𝑏𝑡′𝑑𝑡′𝑡

𝑡0

= 𝑣 − 𝑣0 →𝑏′𝑡2

2|𝑡0

𝑡 = 𝑣 − 𝑣0

𝑏𝑡2

2= 𝑣(𝑡) → 𝑣(10) =

0,5(10)2

225

𝑚

𝑠

O esboço desse gráfico ficaria assim:

Para encontrarmos a posição x no instante t = 10 s, fazemos:

∫ 𝑑𝑥′𝑥

𝑥0

= ∫ 𝑣𝑑𝑡′ → 𝑥 =𝑏

2.𝑡3

3→ 𝑥(10) =

1

2.1

2.103

3≅ 83,3 𝑚

O esboço desse gráfico ficaria assim:

6. Temos o seguinte esboço:

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𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 → 0 = 𝑣0 − 9,8(2,5) → 𝑣0 = 24,5𝑚

𝑠

E para encontrarmos a altura h, fazemos:

ℎ = ℎ0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2 → ℎ = 0 + 24,5(1,5) −

9,8(1,5)2

2→ ℎ = 25,72 𝑚

7. Temos o seguinte esboço:

Onde a área nos fornece a variação da altura ∆h. Então:

∆ℎ =(𝑣𝐵 + 𝑣𝐴)0,5

2

Mas 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + 𝑔𝑡. Dessa forma:

∆ℎ =(𝑣𝐴 +

𝑔2

+ 𝑣𝐴) 1

2→ 40 =

2𝑣𝐴

2+

9,8

4→ 𝑣𝐴 = 37,55

𝑚

𝑠

Portanto:

𝑣𝐴 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 → 37,55 = 0 + 9,8𝑡 → 𝑡 = 3,83 𝑠

E o tempo total:

𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3,83 + 0,5 = 4,33 𝑠

E para finalmente encontrarmos a altura h do edifício, fazemos:

ℎ =𝑔𝑡2

2→ ℎ =

9,8(4,33)2

2≅ 92 𝑚

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Exercícios de casa

1.

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2.

Gostaria que você percebesse que quando os caminhos de percurso são iguais, podemos lançar mão da

𝑣𝑚 =2𝑣1. 𝑣2

𝑣1 + 𝑣2

E isso vale para n percursos iguais, mas obviamente que você não ficará gastando sinapses à toa. Vale,

contudo, por questão de prática, você, meu caro e minha cara leitora, provar que para um caminho com três

𝑣𝑚 =3𝑣1. 𝑣2. 𝑣3

𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3

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3.

4.

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5.

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6.

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7.

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8.

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9.

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