1

RAZA O E PROPORÇA O

1. RAZÃO Razão de dois números a e b, b 0, nessa ordem, é o quociente

.

Exemplo1: Qual a razão de: 15km e 45 000m?

Devemos ter:

Exemplo2: Calcular a razão:

=

2. PROPORÇÃO Proporção é a igualdade de duas razões

com b

Propriedade fundamental:

⟹ a.d= b.c

Propriedades das proporções:

Dada a proporção

P1)

P2)

=

P3)

ou

P4) Dada uma série de razões iguais:

Exemplo1: Calcular o valor de x na proporção:

Resolução: 8.x = 6.4 ⟹

⟹ x=3

Exemplo2: Calcular o valor de x na proporção:

=

2

Resolução:

⟹

Exemplo3: Calcular o valor de x na proporção:

Resolução: ⟹ 2 = 64⟹ .

Exemplo4: Calcular o valor de x na expressão:

Exemplo5: A razão de dois números é

Achá-los sabendo que a soma deles é 15.

Resolução: Sejam x e y os números procurados. Então temos:

e x + y = 15

Aplicando a P1, vem:

⟹

⟹ 5y ⟹

e

⟹

⟹x=6.

Resposta: os números são 6 e 9.

Exemplo6: A diferença de dois números positivos é 21 e a razão é

. Achar esses números.

Resolução: Sejam x e y os números procurados. Então temos:

e y – x = 21 (y > x)

Aplicando a P2:

⟹

⟹

= 28

e como

⟹ 4x = 1y ⟹ 4x = 28 ⟹ x = 7

Resposta: Os números são 7 e 28.

Exemplo7: A soma de três números é 180. Achar esses números sabendo que eles são

proporcionais aos números 4, 5 e 6.

Resolução: Sejam x, y e z os números procurados. Então temos:

x + y + z = 180 e

Aplicando a Propriedade 4, vem:

. Daí,

Resposta: Os números são 48, 60 e 72.

EXERCÍCIOS:

1. Qual a razão de: a) 12km e 24 000m? b) 0,7kg e 210dag?

2. Calcular a razão de a)

b)

3. Calcular o valor de x em cada proporção: a)

b)

3

4. Calcular o valor de x em cada proporção:

b)

5. Calcular o valor de x em cada proporção: a)

b)

6. Calcular o valor de x em cada expressão: a)

b)

7. Resolver os problemas: a) A razão de dois números é

. Achar esses números sabendo

que a soma deles é 16. b) A razão das idades de duas pessoas é

. Achar essas

idades sabendo que a soma delas é 35 anos.

8. Resolver os problemas: a) A diferença de dois números é 12 e a razão é

. Quais são

esses números? b) A diferença das idades de duas pessoas é 20 anos e a razão é

. Quais

são as idades?

9. Resolva os problemas: a) A soma de três números é 90. Achar esses números sabendo

que eles são proporcionais aos números 3, 5 e 7. b) A soma das medidas dos lados de

um triângulo é 48cm. Achar os lados desse triângulo sabendo que as medidas dos lados são

proporcionais a 3, 4 e 5.

RESPOSTAS: 1. a)

b)

2. a)

3. a) 2 b) 3 4. a)

5. a)

6. a)

7. a) 4 e 12 b) 14 anos e 21 anos 8. a) 8 e 20

b) 16 anos e 36 anos 9. a) 18, 30 e 42 b) 12cm, 16cm e 20cm.

3. GRANDEZAS PROPORCIONAIS A notação A = (a1, a2, a3, ) significa: a1, a2, a3,...são valores assumidos pela grandeza A.

Ao escrever num dado problema que A = (a1 ,a2, a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) o que se quer

dizer é que quando a grandeza A assumir o valor a1, a grandeza B assumirá o valor b1.

Quer-se dizer, portanto, que a1 e b1 são valores correspondentes das grandezas A e B. Da

mesma forma, a2 e b2 são valores correspondentes e assim sucessivamente.

3.1. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as

razões entre os valores de A e os correspondentes valores de B são iguais. Se A = (a1, a2,

a3,...) e B = (b1, b2, b3,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

e o número k é a constante de proporcionalidade.

4

Exemplo1. De várias porções de uma mesma substância foram determinadas as massas e

os volumes com os seguintes resultados:

Massa (g) : 16 32 48 64

Volumes (cm3): 2 4 6 8

Veja-se que a razão da massa e do volume é constante e igual a 8g/cm3.

8g/cm3

.

Exemplo2. Um trem corre a uma velocidade constante de 80km/h. Medindo-se várias

distâncias e os respectivos tempos, obtemos:

Distância (km) 80 160 240 ..........

Tempo (horas) 1 2 3 ..........

A razão entre a distância e o tempo:

80 km/h mostra que as

grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplo3. Sabendo-se que (2, 3, x) e (6, y, 15) são sucessões diretamente proporcionais,

determine x e y.

Resolução:

Se (2, 3, x) e (6, y, 15) são grandezas diretamente proporcionais, então:

De

, temos: 2y = 18 ⟹ y = 9

De

, temos: 6x = 30 ⟹ x = 5

3.1.1 PROPORCIONALIDADE E FUNÇÃO LINEAR Diz-se que as grandezas x e y são diretamente proporcionais se assim estiverem

relacionadas:

y = kx ou

k, a ˃ 0

onde k é uma constante de proporcionalidade. O gráfico que representa a relação y = kx

é uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal.

y y = kx

α

x

NOTAS:

1. A relação y = kx é uma função linear.

2. A constante k é a tangente trigonométrica da inclinação α (k = tg α) da reta em

relação ao eixo dos x.

5

3. No exemplo 1 acima podemos representar os dados num sistema de eixos

cartesianos com V nas abscissas e m nas ordenadas, e obtemos uma reta unindo

esses pontos e passando pela origem veja que k = 8). O mesmo nos outros exemplos.

4. Se sei que uma grandeza S é diretamente proporcional a uma grandeza V, posso

escreve: S = k.V, onde a é a constante de proporcionalidade

3.2 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os

produtos entre os valores de A e os correspondentes valores de B são iguais.

Se A = (a1, a2,a3, ...) e B = (b1, b2, b3,...) inversamente proporcionais, então:

a1b1 = a2b2 = a3b3 = ...= k e o número k é a constante de proporcionalidade.

Exemplo1. Sobre uma mola são colocados corpos de pesos diferentes e verifica-se que o

comprimento da mola, em função do peso colocado sobre ela, é dado abaixo:

Corpo 1 2 3 4

-----------------------------------------------------------------

Peso (kgf) 5 10 15 20

Comprimento da mola (cm) 48 24 16 12

-----------------------------------------------------------------

Note-se que o peso do corpo multiplicado pelo comprimento da mola, é constante:

5 x 48 = 10 x 24 = 15 x 16 = 20 x 12 = 240 kgf x cm e concluímos que as medidas são

inversamente proporcionais.

Exemplo2. Um trem percorre uma distância de 240 km a várias velocidades diferentes,

com seus respectivos tempos, como mostram os dados:

Velocidade (km/h) 40 80 120

Tempo (horas) 6 3 2

Note-se que, multiplicando-se as velocidades pelos tempos respectivos, obtém-se:

40 x 6 = 80 x 3 = 120 x 2 = 240 km, mostrando que a velocidade e o tempo são grandezas

inversamente proporcionais.

Exemplo3. Sabendo-se que (x, 3, 4) e (2, y, 6) são grandezas inversamente proporcionais

determine x e y.

Resolução

Se (x, 3, 4) e (2, y, 6) são grandezas inversamente proporcionais, então: 2x = 3y = 4 x 6.

2x = 24 e, portanto, x = 12 e 3y = 24 e, portanto, y = 8.

Observações.

a) Se a grandeza A(a1, a2,a3,...) for inversamente proporcional à grandeza B(b1, b2, b3,...),

então A será diretamente proporcional à grandeza (1/b1, 1/b2, 1/b3,...), ou seja:

a1b1 = a2b2 = a3b3 ⟺

6

b) Existem grandezas que não são nem diretamente proporcionais e nem inversamente

proporcionais como, por exemplo, na relação do lado do quadrado e sua área:

Lado (cm): 2 4 6

Área (cm2): 4 16 36

c) Ao dizer que A e B são grandezas proporcionais subentende-se que são grandezas

diretamente proporcionais.

3.2.1 PROPORCIONALIDADE E FUNÇÃO LINEAR Diz-se que as grandezas x e y são inversamente proporcionais se assim estiverem

relacionadas: x . y = k ou y =

(k ˃ 0)

Onde k é uma constante positiva chamada constante de proporcionalidade inversa. O

gráfico que representa a relação y =

é um ramo de hipérbole equilátera.

y

k

y =

k/4

x

1 4

Note que se representássemos os exemplos acima no eixo de sistemas cartesianos, o que

obteríamos seriam hipérboles.

Então, quando digo que uma grandeza P é inversamente proporcional a uma grandeza d,

represento da seguinte forma: P =

onde k é a constante de proporcionalidade.

Há grandezas que são diretamente e/ou inversamente proporcionais a várias outras. Veja a

lei da gravitação universal de Newton:

“Dois corpos, de massa m1 e m2 respectivamente, situados a uma distância d um do outro,

se atraem segundo uma força F cuja intensidade é diretamente proporcional a essas massas

e inversamente proporcional ao quadrado (d2) da distância entre eles.”

Como escrevo essa sentença: F = c .

em que c depende do sistema de unidades

escolhido.

Outro exemplo: a pressão exercida por uma determinada massa de gás é diretamente

proporcional à temperatura absoluta e inversamente proporcional ao volume ocupado pelo

gás. P = k

7

4. DIVISÃO PROPORCIONAL

4.1. DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, e c significa

determinar os números x, y e z de tal modo que:

(I) As sequências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais.

(II) x + y + z = N

Usando a definição de grandezas diretamente proporcionais, podemos fazer:

⟺ x=

⟺ ⟺

⟺ y=

x + y + z = N x + y +z = N

⟺ z=

Exemplo Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 (note-se que é um problema similar ao da propriedade 4 das proporções; compare com o exercício 9 no item 2. proporção).

Resolução

Sendo x, y e z as partes, temos:

x + y + z = 160 x + y + z = 160

⟹ x = 32

⟹

⟹ y = 48

⟹ z = 80

Resposta: as partes são: 32, 48 e 80.

4.2. DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir um número N em partes inversamente proporcionais aos números m, n e p é

o mesmo que dividir M em partes diretamente proporcionais aos inversos de m, n e

p, com m . p . n .

Exemplo. Dividir o número 81 em partes inversamente proporcionais aos números

, 1.

Resolução.

8

O problema equivale a dividir 81 em partes diretamente proporcionais aos inversos,

ou seja: 2,

e 1. Então, sendo x, y e z as partes, temos:

= 36

⟹ ⟹

x + y + z = 81 x + y + z = 81

Então temos

⟹

⟹ 18

Portanto, sendo 18 =

⟹ 1) 18 =

⟹ x = 36

⟹ 2) 18 =

⟹ 18 =

⟹ x =

= 27

⟹ 3) 18 =

⟹ z = 18

Portanto as partes são: 36, 27 e 18.

EXERCÍCIOS

1. Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado, é vendido por R$ 27,00.

Determinar a razão entre a) o preço de venda e de custo; b) o lucro e o preço de

venda.

Resolução: sendo C o preço de custo, V o preço de venda e L o lucro, temos:

a)

e b)

2. Determinar x na proporção

Resolução.

⟹ 2(x – 3) =1(6 - x) ⟹ 2x – 6 = 6 – x ⟹ 2x + x = 6 + 6

⟹ 3x = 12⟹x = 4

3. Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor

de x e y é?

Resolução: Se as sequências forem diretamente proporcionais, então,

9

De

De

Portanto a soma x + y = 4 + 28 = 32.

4. Calcular x e y sabendo que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente

proporcionais.

Resolução: se (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais, então:

1 . 12 = 2 . y = x . 4 ⟹ 2y = 12 e 4x = 12 ⟹ y = 6 e x = 3

5. Repartir uma herança de R$ 495 000,00 entre três pessoas na razão direta do número de

filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a primeira pessoa tem

30 anos e 2 filhos, a segunda tem 36 anos e 3 filhos e a terceira pessoa tem 48 anos e 6

filhos.

Resolução

Se x e y forem as quantias que cada uma das 3 pessoas deve receber, então:

⟹ ⟹

x + y + z = 495 000 x + y + z = 495 000

⟹ 1 800 000 = 15x = 12y = 8z ⟹ x = 120 000,

y = 150 000, z= 225 000 6. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na

razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é?

7. A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, qual o

valor do maior deles?

8. Assinale a falsa (supondo a, b, c, d, e, f, α, β, γ) ⊂ R*.

a)

⟹

b)

⟹

c)

⟹

d)

⟺

e) Uma das anteriores é falsa.

9. (PUC) – Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente

proporcionais, então:

a) x=1 e y = 6; b) x = 2 e y = 12; c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2; e) x = 8 e y = 12

10

10. Para que as sucessões (9; x; 5; ...) e (y; 8; 20; ...) sejam diretamente proporcionais, os

valores de x e y devem ser, respectivamente: a) 2 e 36; b)1/4 e 1/5 c) 2 e 5 d) 5 e 35

e) 5 e 36

11. As sequências (a; 2; 5; ...) e (3; 6; b;...) são de números inversamente proporcionais e

a +mb = 10. O valor de m é: a) 0,4 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) 5

12. Sabe-se que m é diretamente proporcional a n + 5 e que m = 2 quando n=1. Quando n for

igual a 4, teremos m igual a: a) 1 b) 5 c) -2 d) 3 e) 4

13. Sabe-se que p é inversamente proporcional a q + 2 e que p = 1 quando q = 4. Quando q for

igual a 1, teremos p igual a a) -2 b) 0 c) ½ d) 2 e) 3

14. A diferença, o produto e a soma de dois números estão entre si como 2, 3 e 4. Calcule tais

números sabendo-se que pertencem a R*.

15. (FUVEST) – São dados três números reais a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos

outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são respectivamente,

proporcionais a: a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 12

16. Sabe-se que x + y + z = 18 e que

. O valor de x é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

17. Sabe-se que

e que a + 3b – 2c = 100. O valor de a + b – c é:

a) 100 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50

18. (MACK) – Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a maior e a

menor parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28

19. Dividir 64 em duas partes inversamente proporcionais aos números 5/4 e 3/4.

20. Dividir 46 em duas partes inversamente proporcionais aos números 1 e 1,3.

21. (UFLA) – Três pessoas montam uma sociedade na qual cada uma delas aplica,

respectivamente, R$ 20 000,00, R$ 30 000,00 e R$ 50 000,00. O balanço anual da firma

acusou um lucro de R$ 40 000,00.

Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital

aplicado, quanto cada sócio receberá?

22. (MACK) – Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 1/2, 1/3 e 1/6, obtém-se,

respectivamente: a) 330, 220 e 110 b) 120, 180 e 360 c) 360, 180 e 120

d) 110, 220 e 330 e) 200, 300 e 160

23. A importância de R$ 780 000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um

concurso em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são

50, 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

6) B 7) C 8) E 9) C 10) A 11) D 12) D 13) D 14) 3 e 1 15) C

16) B 17) D 18) B 19) 24; 40 20) 26; 20 21) R$ 8 000,00; R$ 12 000,00

e R$ 20 000,00 22) A 23) R$ 300 000,00; R$ 258 000,00 e R$ 222 000,00

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