Conjuntos numéricos

01. (UECE – 2005) O carro x percorre 38km com 4l de combustível, o carro y percorre 63km com 6l, o z percorre 52km com 5l e o t 78km com 7l. Quanto ao consumo de combustível, o carro mais econômico é:

a) x b) y c) z d) t

O carro mais econômico é o que anda mais quilômetros, enquanto gasta menos gasolina, ou seja, apresenta a maior proporção entre distância e combustível:

Portanto, o carro mais econômico é o carro t. Resposta: d

02. (UECE – 2006) Os subconjuntos X, Y e Z do conjunto dos números inteiros positivos são constituídos pelos múltiplos de 6, 10 e 15, respectivamente. O conjunto

é constituído pelos múltiplos inteiros positivos de:

a) 30 b) 31 c) 60 d) 62

A intersecção dos conjuntos deve conter os números que são múltiplos de 6, de 10 e de 15. Como o mmc (mínimo múltiplo comum) de 6, 10 e 15 é 30, o conjunto que procuramos é o dos múltiplos de 30. Resposta: a

03. (UECE – 2007) Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy (x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades), que são divisíveis por 15. O número de elementos de X é

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

Os números que são divisíveis por 15 devem ser divisíveis também por 3 e 5, já que adecomposição de 15 em fatores primos é 3x5. Um critério para saber se um número é divisível por 3 é verificar se a soma dos algarismos é um múltiplo de 3. No caso, o seguinte número deve ser múltiplo de 3: 3+1+7+5+4+x+y = 20+x+y, onde x e y são um número entre 0 e 9 (pois são algarismos). Porém, como 31754xy deve também ser divisível por 5, seu último algarismo, y, deve ser 0 ou 5. Ou seja: se y=0 temos que 20+x+y = 20+x então x pode valer 1, 4 ou 7, pois 21, 24 e 27 são os múltiplos de 3 possíveis entre 20 e 29; se y = 5, temos que 25+x deve ser divisível por 3, ou seja, x pode ser 2, 5 ou 8 (pois 27, 30 e 33 são os múltiplos de 3 possíveis entre 25 e 34).Temos então um total de 6 combinações possíveis. Resposta: a

04. (UECE – 2007) Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n³. O número de elementos do conjunto das partes de X é:

a) 64 b) 128 c) 256 d) 512

Se n tem 3 divisores, sendo que 1 e o próprio n são dois desses divisores, então o terceiro divisor é um número a, sendo a< n e n/a = b. Porém, da última equação deduzimos que n/b = a e portanto b também é divisor de n. Então b deve ser igual a 1, a ou n. Mas se b = 1, então a = n, e se b = n, então a = 1. Em ambos os casos, n teria apenas 2 divisores. Então só podemos ter a = b, e, portanto, n = a.

O número n² = a4, portanto seus divisores são {1, a, a² = n, a³, a4 }, são 5 divisores. Os divisores de n³ = a6, são, analogamente, X = {1, a, a² = n, a³, a4, a5, a6 }. O conjunto das partes de X são todos os subconjuntos de X: , {1}, {a}, {n},..., {a6}, {1, a}, {1, n}, {1, a³},..., {a5, a6}, {1, a, n},..., {a4, a5, a6},...,{a, a², a³, a4, a5, a6}, X, totalizando 128 conjuntos distintos. Resposta: b

05. (UNESP – 2003) Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, dentre os idosos que nunca frequentaram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo(perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais). Se dentre 2000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é:

a) 680 b) 400 c) 240 d) 168 e) 68

O total de idosos é 2000 e sabemos que 1 em cada 5 dentre eles não frequentou a escola. A fração 1/5 equivale a 20%, ou seja, 20% de 2000 = 400 idosos não estudaram. Dentre eles, 17% apresentam problemas: 17% de 400 = 68 idosos. Resposta: e