Provinhas de Introdução a Físicado Estado Sólido I
23
Transcript of Provinhas de Introdução a Físicado Estado Sólido I
Universidade de São Paulo
Instituto de Física
Provinhas de Introdução a Físicado Estado Sólido I:
Resoluções
Monitor: Alexsandro Kirch
Professora: Drª. Lucy Vitória Credidio
Assali
São Paulo
2012
Sumário
1 Provinha I 5
2 Provinha II 9
3 Provinha III 15
4 Provinha IV 19
4 SUMÁRIO
4
Capıtulo 1Provinha I
O brometo de prata tem a estrutura cristalina do NaCl, ou seja, é um cristal
iônico cuja rede de Bravais é cúbica de face centrada com uma base de dois átomos,
possuindo um íon de Ag+ em (1/2,1/2,1/2) e um íon de Br− em (0,0,0). Sabendo que
o parâmetro de rede do cristal é a, determine, justi�cando sua resposta:
(2,0) (a) O volume da célula convencional;
Resposta:
A célula convencional do NaCl é uma cúbica com arestas de comprimento a. Portanto
o volume da célula convencional é V = a3
(2,0) (b) O número de átomos por célula convencional;
Resposta:
Existe 1/8 de átomo em cada vértice. Tendo o cubo 8 vértices, então nas vertices há
8 × 1/8 = 1 átomo. Há mais meio átomo em cada face. Sendo 6 faces, então 6 × 1/2 = 3 átomos.
Há mais 1/4 de átomo no meio de cada aresta do cubo. Tendo o cubo 12 arestas, então 12× 1/4 = 3
átomos. Existe mais um átomo no centro do cubo (+1). Portanto, a célula convencional enbloba
1 + 3 + 3 + 1 = 8 átomos .
(2,0) (c) O volume da célula primitiva e o número de átomos por célula
primitiva;
Resposta:
Os vetores primitivos da rede cúbica de face centrada (CFC) são dados por:
~a1 = a(1/2, 1/2, 0) ~a2 = a(1/2, 0, 1/2) ~a3 = a(0, 1/2, 1/2) (1.1)
5
6 CAPÍTULO 1. PROVINHA I
Fazendo-se o produto ~a2 × ~a3 por meio do determinante
~a2 × ~a3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı k
a2 0 a
2
0 a2
a2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a2
4k − a2
4ı− a2
4 (1.2)
Assim, o volume é
V = |~a1 · (~a2 × ~a3)| = |(a2ı+
a
2) · (a
2
4k − a2
4ı− a2
4)| (1.3)
V = | − a3
8− a3
8| = a3
4(1.4)
Assim, o volume da célula primitiva é:
V =a3
4(1.5)
Essa célula primitiva engloba dois átomos pois inclui o átomo que está no centro do cubo
como pode ser visualizado na �gura abaixo.
Portanto há 2 átomos por célula primitiva na estrutura do AgBr.
(2,0) (d) A distância, o tipo e o número de primeiros e segundos vizinhos
do Ag+;
Resposta:
Primeiros vizinhos
Considerando-se um átomo de Ag em um dos vértices do cubo. Os primeiros vizinhos
são átomos de Br ( tipo oposto ) sendo que a distância é de a/2 . Cada átomo de Ag possui então
6 primeiros vizinhos , um em dada aresta mais proximas dos quatro cubos que compartilham o
6
Alexsandro Kirch 7
átomo.
Segundos vizinhos
Os segundos estão no centro das faces como mostra a �gura abaixo:
Figura 1.1: Há um átomo segundo vizinho em cada face na �gura acima
Os segundos vizinhos são do mesmo tipo e estão nas faces do cubo separados por uma distância√2a2 .
Há portanto 12 segundos vizinhos .
(2,0) (d) O fator de empilhamento, na aproximação de esferas rígidas,
supondo que os íons tenham o mesmo raio;
Resposta:
O fator de empilhamento é dado por:
F.E. = nVesfVc
(1.6)
onde n é o numero de esferas dentro da célula convencional Vesf = 43πR
3 é o volume das esferas,
Vc = a3 é o volume da célula convencional.
Sendo n = 8, 4R = a, então:
F.E. = nVesfVc
=43π(a/4)3
a3=π
6=⇒ F.E. = 0, 52 = 52% (1.7)
7
8 CAPÍTULO 1. PROVINHA I
8
Capıtulo 2Provinha II
O CsCl é um cristal iônico cuja rede de Bravais é cúbica simples com uma
base de dois átomos:Cl− em (1/2,1/2,1/2) e Cs+ em (0,0,0). Se o parâmetro de rede
é a, dado, determine:
(a) O volume da célula primitiva, o número de átomos por célula primitiva
e a densidade de átomos desta estrutura;
Resposta:
Os vetores primitivos da rede de Bravais são dados por:
~a1 = aı ~a2 = a ~a3 = ak
Portanto o volume da célula primitiva será:
V = ~a1 · (~a2 × ~a3) = a3 =⇒ V = a3 (2.1)
Como a base possui dois átomos, então o numero de átomos por célula primitiva é n=2
A densidade de átomos é dada por:
ρ =n
V=
2
a3(2.2)
(b)A distância, o tipo e o número dos 1º e 2º vizinhos de um dos íons;
Resposta:
Considerando-se o íon centrado na origem. Os primeiros vizinhos são átomos do tipo oposto
nas posições (1/2,1/2,1/2). Há portanto 8 primeiros vizinhos .A distância dos primeiros vizinhos é
9
10 CAPÍTULO 2. PROVINHA II
d1 =√
34a .
Segundos vizinhos são os átomos dos vértices mais próximos, sendo portanto a distância
d2 = a . Há portanto 6 segundos vizinhos sendo eles do mesmo tipo
(c) O fator de empilhamento ideal, supondo os íons como esferas rígidas de
mesmo raio; Resposta:
O fator de empilhamento é dado por:
F.E. = NVesfVp
(2.3)
onde Vesf é o volume das esferas,Vp é o volume da célula primitiva e N o número de átomos que a
rede engloba. Uma rede cúbica possui um átomo, porém há um átomo no centro do cubo, sendo
portanto N=2
A diagonal do cubo é D =√
3a = 4R onde R é o raio das esferas. Portanto o volume
das esferas é:
Vesf =4
3πR3 =
4
3π
(√3a
4
)3
=π√
3a3
16(2.4)
O fator de empacotamento é então:
F.E. = NVesfVp
= 2π√3a3
16
a3=⇒ F.E. = 0, 68 = 68% (2.5)
(d) O fator de estrutura, analisando seus zeros, assumindo que o fator de
forma atômica do Cs+ é f e do Cl− é f ′.
Resposta:
O fator de estrutura é dado por:
S =∑j
fje−i ~Gj ·~rj (2.6)
Sendo ~r0 = (0, 0, 0) a posição do íon Cs+ e ~r1 = a(1/2, 1/2, 1/2) a posição do íon Cl−
Os vetores primitivos da rede recíproca são os vetores :
~b1 =2π
aı ~b2 =
2π
a ~b3 =
2π
ak
pois ~bi · ~aj = 2πδij , sendo que eles de�nem uma c¨eula primitiva (1º zona de Brillouin) cúbica de
parâmetro 2π/a e volume V = (2π)3
a3
10
Alexsandro Kirch 11
Assim:
~G = h~b1 + k~b2 + l~b3 =2π
a(h+ k + l) (2.7)
Assim, o fator de estrutura é:
S =∑j
fje−i ~G·~rj = f + f ′e−iπ(h+k+l) = f + f ′(−1)h+k+l (2.8)
S = f + f ′(−1)h+k+l (2.9)
A partir dessa equação pode se analisar os zeros:
� Se h+ k + l =par, então S = f + f ′
� Se h+ k + l = impar, então S = f − f ′
Agora considerando os planos (110) do cristal, pede-se:
(e) A distância entre dois planos consecutivos, utilizando-se os vetores de
translação da rede recíproca perpendiculares a estes planos;
Resposta:
Um vetor da rede recíproca perpendicular ao plano (110) é dado por:
~G = h~b1 + k~b2 + l~b3 = 1(2π
a)ı+ 1(
2π
a)+ 0(
2π
a)k (2.10)
A partir da de�nição da distância entre planos, obtém-se
dhkl =2π
|~G|d110 =
2π2π√2
a
(2.11)
d110 =a√2
(2.12)
(f) O tipo, o número e a distância dos 1º e 2º vizinhos de um dos íons,
considerando apenas os átomos em um destes planos (110)
Resposta:
Considerando-se apenas os átomos do plano (110):
11
12 CAPÍTULO 2. PROVINHA II
𝑎
𝑎 2
𝑦
𝑥
1 °
2 °
Os primeiros vizinhos são do tipo oposto sendo que há 4 primeiros vizinhos . A dis-
tância dos primeiros vizinho é:
d1 =
√(a
2)2 + (
a√
2
2)2 = a
√3
2(2.13)
d1 = a
√3
2(2.14)
Os segundos vizinhos são do mesmo tipo sendo eles 2 , estando a uma distância
d=a .
(g) A densidade de átomos neste plano, em termos de a
Resposta:
A densidade de átomos nesse plano é
σ =n
A(2.15)
onde n é o número de átomos e A a área do plano. A área do plano é dada porA = a(a√
2) = a2√
2.
Há dois átomos nesse plano, portanto:
σ =n
A=
2
a2√
2(2.16)
σ =
√2
a2(2.17)
-Supondo que o plano de átomos, determinadado anteriormente
, seja uma estrutura periódica bidimensional. Determine:
(h) Os vetores primitivos desta rede e as coordenads dos átomos da base;
12
Alexsandro Kirch 13
Resposta:
Considerando-se essa uma rede bidimensional, então ela terá vetores da rede real dados
por:
~a1 = aı ~a2 = a√
2 (2.18)
Havendo dois átomos na base, sendo que a posição dos mesmo é:
~r0 = 0ı+ 0, ~r1 = a/2ı+ a√
2/2 =1
2(~a1 + ~a2) (2.19)
(i) Os vetores primitivos ~bi da rede recíproca analisando seu tipo;
Resposta:
Os vetores primitivos da rede recíproca são:
~b1 =2π
aı ~b2 =
2π
a√
2 (2.20)
Esses vetores satisfazer a condição ~bi · ~aj = 2πδij
Os vetores da rede recíproca formam uma rede tipo retangular
(j) S primeira zona de Brillouin desta rede bidimensional, desenhando-a e
especi�cando o intervalo de variação dos valores de kx e ky;
Resposta:
Os limites da primeira zona de Brillouin são os seguintes:
Direção x: −πa≤ kx ≤
π
a
Direção y: − π
a√
2≤ ky ≤
π
a√
2
(k) A area da primeira zona de Brillouin desta rede bidimensional.
Resposta:
A área da primeira zona de Brillouin é dada por:
A =
(2π
a
)(2π
a√
2
)=
(2π)2√2a2
(2.21)
13
14 CAPÍTULO 2. PROVINHA II
14
Capıtulo 3Provinha III
Considere um cristal isotrópico quadrado, não metálico, de parâmetro de
rede a e área A. Utilizando a aproximação de Debye, determine:
(2,0) (a) A expressão para a densidade de modos D(ω);
Resposta:
Cada ponto k da rede bidimensional ocupa uma área A =
(2πa
)2
no espaço recíproco.
O número total de modos normais de vibração com vetor de onda k é dado pela razão da área da
circunferência de Férmi AF pela área do ocupada pelos pontos k:
N =AFA
=πk2
( 2πa )2
=a2
4πk2 =
a2
4πv2gω2 (3.1)
Aqui foi usado a aproximação de Debye k → 0 ω = vgk, onde vg é a velocidade de grupo.
É preciso lembrar que para cada ~k há dois modos de propagação da onda (dois graus de liberdade)
de modo que o número de estados na zona de Brillouin é 2N onde N é o número de átomos ou íons
da rede. Assim, N = 2N .
Sendo a densidade de modos de�nida por D(ω) = dNdω , então:
D(ω) =dNdω
= 2dN
dω=
a2
πv2gω =⇒ D(ω) =
A
πv2gω (3.2)
(2,0) A expressão para a energia térmica do sistema;
Resposta:
A energia térmica é dada por:
U =
∫dωD(ω)n(ω)~ω (3.3)
15
16 CAPÍTULO 3. PROVINHA III
onde n(ω) é a distribuição de Planck. A integração é feita de 0 até a frequência de Debye ωD que é
a frequência máxima que o sólido pode ter. Assim:
U =
∫ ωD
0
dω
(A
πv2gω
)(~ω
e~ω/τ − 1
)(3.4)
U =
(A~πv2g
)∫ ωD
0
dω
(ω2
e~ω/τ − 1
)(3.5)
Fazendo-se a mudança de variaveis x ≡ ~ω/kBT (∗) e xD = θD/T (∗∗). Aqui θD é a
temperatura de Debye dada por:
θD =~kB
ωD (3.6)
A frequência de Debye é determinada a partir de:
∫ ωD
0
D(ω)dω = N = 2N (3.7)
N =A
4πv2gω2D =⇒ ω2
D =N4πv2gA
(3.8)
Assim, a temperatura de Debye é:
θD =~kB
ωD =2πvg~kB
√N
A(3.9)
Substituindo-se (∗), (∗∗) na equação (3.5), obtém-se:
U =
(A~
2πv2
)(kBT
~
)3 ∫ xD
0
dx
(x2
ex − 1
)(3.10)
(2,0) (c) A expressão de CV para θD � T ;
Resposta:
OBS: Para resolver essa questão pode-se usar o formulário da prova. Porém aqui
apresenta-se uma passagem um pouco mais elaborada.
Se a temperatura é baixa então xD � 1 e portanto o intervalo de integração pode ser
estendido ao in�nito, já que a solução dessa integral de�nida pode ser então determinada. Essa
integral pode ser resolvida por meio da função zeta de Riemmann que é de�nida por:
ζ(x) =1
Γ(x)=
∫ ∞0
ux−1
eu − 1du (3.11)
16
Alexsandro Kirch 17
Sendo x = 3 então:
ζ(x)Γ(x) =
∫ ∞0
u2
eu − 1du (3.12)
Sendo x aqui um número inteiro, então Γ(x) = (x− 1)! e assim Γ(3) = (2)! = 2
A função zeta é dada por:
ζ(x) =
∞∑k=1
k−x ζ(3) =
∞∑k=1
k−3 = 1.2020 (3.13)
Essa soma pode ser tomada como aproxiamadamente 6/5. Assim, a integral acima
resulta ser:
ζ(x)Γ(x) =
∫ ∞0
u2
eu − 1du = 2(6/5) = 12/5 = 2.4 (3.14)
E portanto
U =
(A~πv2g
)(kBT
~
)3 ∫ xD
0
dxx2
ex − 1=
(A~πv2g
)(kBT
~
)312
5(3.15)
Agora derivando-se em relação a temperatura obtém-se
CV =∂U
∂T=
∂
∂T
[(A~πv2
)(kBT
~
)312
5
](3.16)
CV =
(36A~5πv2
)(kB~
)3
T 2 (3.17)
(2,0) (d) A expressão de CV para θD � T ;
Resposta:
Nesse limite xD � 1. Para esse caso pode se fazer uma boa aproximação expandindo-se
se a exponencial da integral numa série de Taylor e utilizando-se apenas os dois primeiros termos.
Assim:
U =
(A~πv2g
)(kBT
~
)3 ∫ xD
0
dxx2
ex − 1=
(A~πv2g
)(kBT
~
)3 ∫ xD
0
dxx2
(1 + x+ . . .)− 1(3.18)
=
(A~πv2g
)(kBT
~
)3 ∫ xD
0
xdx =
(A~
2πv2
)(kBT
~
)3
x2∣∣∣∣xD
0
(3.19)
Substituindo-se o valor de xD obtém-se que
17
18 CAPÍTULO 3. PROVINHA III
U =
(A~
2πv2g
)(kB~
)3
Tθ2D (3.20)
Para determinar a capacidade térmica a volume constante, deriva-se a energia em relação
a temperatura:
CV =∂U
∂T=
∂
∂T
[(A~
2πv2g
)(kB~
)3
Tθ2D
](3.21)
CV =
(A~
2πv2g
)(kB~
)3
θ2D (3.22)
Substituindo-se a temperatura de Debye equação (3.9) obtém-se que:
CV = 2NkB (3.23)
(2,0) (e) Se o cristal fosse isotrópico cúbico, com parâmetro de rede a e
volume V , qual as expressões que você esperaria encontrar para CV nos limites dos
itens (c) e (d)? Explique sua resposta.
Resposta:
A capacidade térmica é uma grandeza física que relaciona a quantidade de energia tro-
cada na forma de calor necessária para produzir neste uma determinada variação de temperatura.
Essa grandeza porém é dependente da dimensão do sistema. Um sistema cúbido certamente possui
maior capacidade térmica, já que a energia pode distribuir-se nas três dimensões do cristal, enquanto
que no sistema bidimensional só há duas dimensões para isso acontecer. Nesse caso, a capacidade
térmica a altas temperaturas, é 3 vezes maior que no caso 1D e assim para o item (d) se esperaria
o resultado CV = 3NkB . Seguindo o mesmo raciocínio, para baixas temperaturas, se a variação
de CV com a temperatura para o caso 2D é CV ∼ T 2 então no caso 3D se esperaria uma variação
CV ∼ T 3 .
18
Capıtulo 4Provinha IV
Considere uma rede quadrada de vetores primitivos ~a1 = 2aı e ~a2 = 2a.
Pede-se:
(1,0) (a) Os vetores primitivos ~b1 e ~b2 do espaço recíproco;
Resposta:
Os vetores da rede recíproca precisam satisfazer a condiçao de ortogonalidade ~bi · ~aj =
2πδij . Assim, os vetores da rede recíproca são:
~b1 =π
aı ~b2 =
π
a (4.1)
(1,0) (b) Os limites da primeira zona de Brillouin, desenhando-a e marcando
os pontos Γ, X e L, dando suas coordenadas. Indique quais são as direções ΓL e ΓX;
Resposta:
𝚪
𝐗
𝐋
𝑘𝑥 =𝜋
2𝑎 𝑘𝑥 = −
𝜋
2𝑎
𝑘𝑦 = −𝜋
2𝑎
𝑘𝑦 =𝜋
2𝑎
x
y
Figura 4.1: A �gura mostra a primeira zona de Brillouin reduzida, destacando os pontos de altasimetria e as direções ΓX, XL e LΓ.
19
20 CAPÍTULO 4. PROVINHA IV
(2,0) (c) Sabendo que os vetores ~k da primeira zona de Brillouin podem ser
normalizados a π/a, onde ξ = k/(πa) dê as relações entre ξx e ξy ao longo das direções
ΓL e ΓX;
Resposta:
A partir da de�nição de ξ tem-se que nos limites da primeira zona de Brillouin (kx, ky) =
( π2a ), π2a ):
ξx =kx(πa )
=π2a
(πa )=
1
2(4.2)
ξy =ky(πa )
=π2a
(πa )=
1
2(4.3)
Assim, nas direções ΓL e ΓX tem-se que:
ΓL =⇒ 0 6 ξx = ξy 61
2(4.4)
ΓX =⇒ 0 6 ξx 61
2; ξy = 0 (4.5)
(2,0) (d) Sabendo que os vetores de translação da rede recíproca são escritos
como ~G = mx~b1 + my
~b2, escreva a expressão da energia, normalizada a ~2π2
2ma2(ε′) para
a direção ΓX, na aproximação de rede vazia;
Resposta:
Considere os vetores da rede recíproca determinados no item a):
~b1 =π
aı ~b2 =
π
a
Assim o vetor ~G �ca:
~G = mx~b1 +my
~b2 =⇒ ~G =π
amx ı+
π
amy (4.6)
Quando as energias das bandas podem ser aproximadas com precisão razoável pelas
energias do elétron livre, εk = ~2k2
2m pode-se transferir as energias do elétron livre para a primeira
zona de Brillouin. Procura-se um valor de ~G tal que um valor de ~k′ na primeira zona satisfaça a
relação:
20
Alexsandro Kirch 21
~k′ + ~G = ~k (4.7)
onde ~k não tem nenhuma restrição e é o verdadeiro valor do vetor de onda do elétron na rede vazia.
Assim , a energia do elétron livre na translação para a primeira zona �ca:
ε(kx, ky, kz) =~2
2m|~k′ + ~G|2
ε(kx, ky, kz) =~2
2m[(kx +Gx)2 + (ky +Gy)2 + (kz +Gz)
2] (4.8)
Assim:
Então a energia para esses sistema na aproximação da rede vazia é dada por:
ε(kx, ky) =~2
2m[(kx +
π
amx)2 + (ky +
π
amy)2] (4.9)
É conveniente escrever a equação acima em termos de ξx e ξy de�nidos por ξi = ki/[π/a]
de forma que a equação acima �ca normalizada por:
ε(ξx, ξy) =~2π2
2ma2[(ξx +mx)2 + (ξy +my)2] =⇒ ε′(ξx, ξy) = (ξx +mx)2 + (ξy +my)2 (4.10)
Direção ΓX
Na direção ΓX tem-se que a energia é dada por:
ε′(ξx, ξy) = (ξx +mx)2 +m2y (4.11)
Direção ΓL
Na direção ΓL tem-se que a energia é dada por:
ε′(ξx, ξy) = (ξx +mx)2 + (ξy +my)2 (4.12)
Direção LX
Na direção ΓX tem-se que a energia é dada por:
ε′(ξx, ξy) = (1 +mx)2 + (ξy +my)2 (4.13)
OBS: Pode-se também considerar a subtração de ~G de forma que ~k′ − ~G = ~k ao invés
de ~k′ + ~G = ~k, O resultado �nal será o mesmo já que o termo é elevado ao quadrado.
21
22 CAPÍTULO 4. PROVINHA IV
(2,0) (e) Faça uma tabela, para a direção ΓX, dos valores de ε′, ε′Γ, ε′X ,
para mx e my variando entre −1 e 1;
Resposta:
Na direção ΓX tem-se que a energia é dada por:
ε′(ξx, ξy) = (ξx +mx)2 +m2y (4.14)
Fazendo-se a tabela, em que se varia mx entre −1 e 1, obtém-se:
mx my ε′ ε′Γ ε′X
0 0 ξ2x 0 1/4
0 1 ξ2x + 1 1 5/4
1 0 (ξx + 1)2 1 9/4
0 -1 ξ2x + 1 1 5/4
-1 0 (ξx − 1)2 1 1/4
1 1 (ξx + 1)2 + 1 2 13/4
-1 -1 (ξx − 1)2 + 1 2 5/4
1 -1 (ξx + 1)2 + 1 2 13/4
-1 1 (ξx − 1)2 + 1 2 5/4
(2,0) (f) Esboce as faixas de energia na direção ΓX utilizando a tabela do
item anterior, indicando as degenerescências dos ramos
Resposta:
Com base na tabela acima, o esboço do grá�co �ca:
22
Alexsandro Kirch 23
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Ene
rgia
x
(0,0) (0,1) (1,0) (0,-1) (-1,0) (1,1) (-1,-1) (1,-1) (-1,1)
X
(mx, my)
Onde há sobreposição de uma linha sólida e uma tracejada há degenerescência. No
presente caso são encontradas três degenrescências duplas como pode ser visualizado na �gura acima
23
