Propagação de Incerteza em Medições
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Propagação de Incertezaem Medições
Vitor F. [email protected]
2Copyright Vitor F. Pamplona
Problema
● Dois pontos quaisquer em um espaço 2D
3Copyright Vitor F. Pamplona
Problema
4cm
● Calcular a distância entre eles
4cm
4Copyright Vitor F. Pamplona
Problema
4cm
● Estes dois pontos possuem incertezas
5Copyright Vitor F. Pamplona
Problema
● Propagar as incertezas para distância?
4 +- 0.5 cm
6Copyright Vitor F. Pamplona
Conceitos: Acurácia e Precisão
● Acurácia● Proximidade do valor valor verdadeiroverdadeiro
● Precisão● Tamanho da dispersãodispersão
7Copyright Vitor F. Pamplona
Conceitos: Erro e Incerteza
● Erro● É conhecidoÉ conhecido, logo o valor deve ser corrigido
● Incerteza● Não é conhecidoNão é conhecido, logo não é possível corrigí-lo.
8Copyright Vitor F. Pamplona
Conceitos: Valores médios
● Valor verdadeiro
yv
9Copyright Vitor F. Pamplona
Conceitos: Valores médios
● Valor verdadeiro
● Valor médio verdadeiro
yv
ymv==limn∞
1n∑i=1
n
yi
10Copyright Vitor F. Pamplona
Conceitos: Valores médios
● Valor verdadeiro
● Valor médio verdadeiro
● Valor médio
yv
ymv==limn∞
1n∑i=1
n
yi
y=1n∑i=1
n
y i
11Copyright Vitor F. Pamplona
Tipos de Erros
● Erros sistemáticos● Sempre o mesmo erroSempre o mesmo erro em todas as medidas● Podem ser reduzidos ou corrigidoscorrigidos
● Instrumental / Calibração● Ambiental ● Observacional● Teórico
yvy
12Copyright Vitor F. Pamplona
Tipos de Erros
● Erros sistemáticos residuaisresiduais● Sempre o mesmo erro em todas as medidas● Não podem ser corrigidosNão podem ser corrigidos
yvy?
13Copyright Vitor F. Pamplona
Tipos de Erros
● Erros estatísticosestatísticos● Erro varia em torno do valor médioem torno do valor médio● Se repeteSe repete entre conjuntos de leituras
● Incerteza tipo AIncerteza tipo A: estimadas estatisticamente● Incerteza tipo B: estimadas de outras formas
yv y
14Copyright Vitor F. Pamplona
Incerteza Padrão
● Desvio padrãoDesvio padrão em relação ao valor verdadeiro em medições repetidas vezes
n k
15Copyright Vitor F. Pamplona
Incerteza Padrão
● Desvio padrãoDesvio padrão em relação ao valor verdadeiro em medições repetidas vezes
n k
Valor médio do conjValor verdadeiro
p2=1k∑j=1
k
y j− yv2
16Copyright Vitor F. Pamplona
Incerteza Padrão
● Desvio padrãoDesvio padrão em relação ao valor verdadeiro em medições repetidas vezes
n k
Valor médio do conjValor verdadeiro
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=m
2 r
2
p2=1k∑j=1
k
y j− yv2
17Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
● Desvio padrãoDesvio padrão em relação ao valor verdadeiro em medições repetidas vezes
n k
Valor médio do conjValor verdadeiro
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=m
2 r
2
Valor médio do verdadeiro
p2=1k∑j=1
k
y j− yv2
18Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
19Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=1k∑j=1
k
y j− j21k∑j=1
k
j− yv22 ...
20Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=1k∑j=1
k
y j− j21k∑j=1
k
j− yv22 ...
p2=m
2 r
2
21Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=1k∑j=1
k
y j− j21k∑j=1
k
j− yv22 ...
p2=m
2 r
2
m2=1k∑j=1
k
y j− j 2
r2=1k∑j=1
k
j− yv2
22Copyright Vitor F. Pamplona
p2=1k∑j=1
k
[ y j− j − j− yv]2
Incerteza Padrão
Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual
p2=1k∑j=1
k
y j− j21k∑j=1
k
j− yv22 ...
p2=m
2 r
2
m2=1k∑j=1
k
y j− j 2
r2=1k∑j=1
k
j− yv2
23Copyright Vitor F. Pamplona
● Desvio padrãoDesvio padrão em em medições repetidas vezes ● Desvio das médiasDesvio das médias
Incerteza Padrão
nk
p≈
n
24Copyright Vitor F. Pamplona
Incerteza Relativa
● Um percentual da medidapercentual da medida
= p
y
y
25Copyright Vitor F. Pamplona
4 +- 10%
Incerteza Relativa
● Um percentual da medidapercentual da medida
= p
y
y
26Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w=w x , y , z , ...
● Dado uma função
27Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w=w x , y , z , ...
● Dado uma função
w=dist x1 , y1 , x2 , y2
28Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w=w x , y , z , ...
● Dado uma função
● E que são grandezas experimentaisx , y , z , ...
x x y y z z
29Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w=w x , y , z , ...
● Dado uma função
● E que são grandezas experimentais
● Como calcularComo calcular ?
x , y , z , ...
x x y y z z
w
30Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w2=
∂w∂ x
2
x2
∂w∂ y
2
y2
∂w∂ z
2
z2...
31Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
x1 y1 z1 ...x2 y2 z2 ...... ... ... ...xn yn zn ...
● Dados as grandezas
32Copyright Vitor F. Pamplona
x2=1n∑i=1
n
xi−x2
Dedução da Propagação
x1 y1 z1 ...x2 y2 z2 ...... ... ... ...xn yn zn ...
y2=1n∑i=1
n
y i− y2
z2=1n∑i=1
n
zi−z2
● Dados as grandezas
● E suas respectivas incertezas
Valor médio do verdadeiro
33Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
w1=w x1, y1, z1, ...w2=w x2, y2, z2, ...... ... , ... , ... , ...wn=w xn , yn , zn , ...
● Pode-se encontrar w i
34Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
w1=w x1, y1, z1, ...w2=w x2, y2, z2, ...... ... , ... , ... , ...wn=w xn , yn , zn , ...
● Pode-se encontrar
● E o valor médio verdadeiro para
w i
w
wmv=limn∞
1n∑i=1
n
wi
35Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
w i≈w x , y ,z , ...
∂w∂ x
xi−x ∂w∂ y
y i− y ∂w∂ z
zi−z...
● Cada pode ser expandido em potência de desvios
w i
36Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
w i≈w x , y ,z , ...
∂w∂ x
xi−x ∂w∂ y
y i− y ∂w∂ z
zi−z...
● Cada pode ser expandido em potência de desvios
● As derivadas de segunda ordem são desprezíveis se não houver covariânciase não houver covariância
w i
37Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
∑i=0
n
w i≈nw x ,y ,z , ... ∂w∂ x
∑i=0
n
xi−x
∂w∂ y
∑i=0
n
yi−y ∂w∂ z
∑i=0
n
zi−z ...
● A soma de , entãow i
38Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
∑i=0
n
w i≈nw x ,y ,z , ... ∂w∂ x
∑i=0
n
xi−x
∂w∂ y
∑i=0
n
yi−y ∂w∂ z
∑i=0
n
zi−z ...
● A soma de , então
● No infinito os três últimos se anulam
w i
wmv≈w x ,y ,z , ...
39Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
● Logo o desvio padrão de no infinito é
w2=limn∞
1n∑i=1
n
wi−wmv2
w
40Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
● Logo o desvio padrão de no infinito é
● Utilizando a série de potênciassérie de potências dos desvios
w2=limn∞
1n∑i=1
n
wi−wmv2
w
wi−wmv2≈
∂w∂ x
2
xi−x2
∂w∂ y
2
yi−y2
∂w∂ z
2
zi−z2...
41Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
● Aplicando o somatório
∑i=0
n
w i−wmv2=
∂w∂ x
2
∑i=0
n
x i−x2
∂w∂ y
2
∑i=0
n
y i−y2
∂w∂ z
2
∑i=0
n
zi−z2...
x2=1n∑i=1
n
xi−x2
42Copyright Vitor F. Pamplona
Dedução da Propagação
● Substituindo o somatório pela incerteza
w2=
∂w∂ x
2
x2
∂w∂ y
2
y2
∂w∂ z
2
z2...
43Copyright Vitor F. Pamplona
Propagação de Incerteza
w2=
∂w∂ x
2
x2
∂w∂ y
2
y2
∂w∂ z
2
z2...
44Copyright Vitor F. Pamplona
Covariância
xy2 ≈
1n−1∑i=1
n
x i−x y i− y
● Quanto duas variáveis mudam juntasmudam juntas● EstimadaEstimada através de
45Copyright Vitor F. Pamplona
Prop. Incerteza com Covariância
w2=
∂w∂ x
2
x2
∂w∂ y
2
y2
∂w∂ z
2
z2 ...
2∂w∂ x
∂w∂ y
xy2 2
∂w∂ x
∂w∂ z
xz2
2∂w∂ y
∂w∂ z
xz2 ...
Perguntas?
Vitor F. [email protected]