Projeto e Sintonia de Controladores.2010.12.08
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Universidade Federal da Bahia - UFBA Escola Politcnica - EPUFBA Departamento de Engenharia Eltrica - DEE
Projeto e Sintonia de Controladores
Autores: Patric Piton Rafael Cmara Menha Rebeca Tourinho Lima
Salvador, 09 de Dezembro de 20101
Universidade Federal da Bahia - UFBA Escola Politcnica - EPUFBA Departamento de Engenharia Eltrica - DEE
Projeto e Sintonia de Controle
Trabalho apresentado disciplina Sistema de Controle I (ENGC42) lecionada pelo professor Dr. Adhemar de Barros do curso de Engenharia Eltrica da Universidade Federal da Bahia.
Salvador, 09 de Dezembro de 2010
2
Lista de Smbolos e AbreviaturasP: controlador proporcional PI: controlador proporcional e integral PID: controlador proporcional, integral e derivativo e(t): sinal de erro de um sistema de controle u(t): sinal na sada do controlador de um sistema de controle K: ganho proporcional Ti: tempo integral ou reset-time Td: tempo derivativo Trma: tempo de resposta de malha aberta Trmf: tempo de resposta de malha fechada
3
SumrioIntroduo ................................................................................................... 5 Lugar das Razes .......................................................................................... 8 IMC Maclaurin ........................................................................................ 42 IMC Skogestad ........................................................................................ 45 Closed Loop Specified PID ......................................................................... 51 Anlise de Desempenho .............................................................................. 59 Concluso .................................................................................................. 66 Referncias Bibliogrficas .......................................................................... 67 Anexo I ..................................................................................................... 68 Anexo II .................................................................................................... 69 Anexo III ................................................................................................... 70 Anexo IV................................................................................................... 71
4
IntroduoCom o advento da industrializao e consequente crescimento da automao, a necessidade de utilizao de controladores na indstria tornou-se cada vez mais indispensvel. A incerteza e o grau de confiabilidade de um sistema industrial ligado s perturbaes surgidas num sistema fez com que a necessidade de controladores cada vez mais robustos, que aceitem um maior esforo de controle e sejam ao mesmo tempo fceis de sintonizar intensificasse. Sendo assim, o investimento da indstria visando melhorar seus processos acarretou no surgimento dos mtodos de projeto e sintonia de controladores. Um dos mtodos mais famosos o Mtodo do Lugar das Razes que foi desenvolvido por W. R. Evans e apresentado em um artigo publicado em 1948. Este mtodo que consiste basicamente em levantar a localizao dos plos de um sistema em malha fechada em funo da variao de um parmetro K. O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localizao de plos e zeros do sistema em malha fechada, que deve ser traduzida atravs da escolha da estrutura do controlador e dos seus parmetros. Desta forma, a utilizao do lugar das razes pode ser til no projeto de controladores, pois possvel observar a movimentao dos plos em malha fechada a medida que um parmetro K varia. Sendo assim, o mtodo do Lugar das Razes muito eficiente para a anlise e projeto de sistemas de controle lineares, permitindo concluir aspectos relacionados a estabilidade e a resposta transitria destes sistemas Outro mtodo bastante utilizado o Mtodo IMC (Internal Model Control) que tem como objetivo a partir do modelo do processo e de uma especificao de desempenho obter o controlador adequado. Este mtodo requer um modelo que pode ser obtido atravs de identificao experimental (curva de reao do processo aps um degrau na varivel manipulada). Uma das grandes vantagens do mtodo de sintonia IMC que o desempenho de um controlador est associado com a razo da constante de tempo de malha fechada () com a de malha aberta (). Este trabalho visa implementar e sintonizar controladores utilizando os mtodos do Lugar das Razes e IMC e similares, avaliando atravs da mtrica de desempenho de Goodhart quais das sintonias propostas geraram os melhores resultados.
5
Figura 1: Esquemtico Geral do IMC As plantas utilizadas para sintonia so plantas de 2 ordem com atraso conforme a equao apresentada abaixo: ( )
(
)(
)
Por conta do atraso foi necessrio realizar uma aproximao, conhecida como aproximao de Pad de 2 ordem. Abaixo possvel visualizar a funo de transferncia da planta: ( ( ) ( )( )( ( ) )( ( ) )( ) ) ) )
(
(
As plantas dadas possuem os seguintes parmetros (fixos e variveis): Casos 11 12 13 14 21 22 23 24 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 2 1.5 1.5 1.5 1.5 0.75 0.75 0.75 0.75 to 0.3 0.6 0.9 1.2 0.3 0.6 0.9 1.26
1.5 0.375 0.3 31 1.5 0.375 0.6 32 1.5 0.375 0.9 33 1.5 0.375 1.2 34 1.5 0.25 0.3 41 1.5 0.25 0.6 42 1.5 0.25 0.9 43 1.5 0.25 1.2 44 Tabela 1: Parmetros das plantas para os casos trabalhados Sendo assim, os captulos seguintes utilizaro a funo de transferncia com o atraso aproximado para Pad e os dados da tabela acima para realizar as sintonias dos controladores para cada caso. No captulo 1 ser apresentado a forma de implementao do Mtodo do Lugar das Razes atravs do cdigo-fonte do programa criado bem como os grficos das sintonias realizadas. O captulo 2 ir abordar as sintonias realizadas atravs do Mtodo IMC adaptado por Maclaurin e o captulo 3 o Mtodo IMC adaptado por Skogestad. O 4 captulo apresentar um mtodo alternativo ao Lugar das Razes e IMC conhecido como Closed Loop Specified PID. O captulo 5 trar uma anlise de desempenho das sintonias propostas atravs das mtricas de Goodhart. Por fim, ser feita uma concluso onde sero relatados as dificuldades obtidas com o trabalho bem como a interpretao da equipe frente aos mtodos e resultados obtidos e ganhos de aprendizagem.
7
Captulo 1Lugar das RazesPara o projeto e sintonia dos controladores pelo mtodo do Lugar das Razes (LR) plotou-se inicialmente o Lugar das Razes das plantas (funo de transferncia de malha aberta) com o intuito de avaliar seu comportamento e a partir da escolher o melhor controlador que atenderia aos objetivos de controle. Como objetivos de controle a equipe deu preferncia aos seguintes requisitos: Tempo de resposta de malha fechada ser menor que o tempo de resposta de malha aberta; Baixo esforo de controle; Erro de posio nulo; Overshoot nulo ou pequeno. Aps anlise do Lugar das Razes e utilizando o Princpio da Parcimnia inseriu-se um controlador PI j que percebemos que pelo LR um controlador P no atenderia aos objetivos de controle. O zero do PI foi ento alocado em 1,01 do valor de -1/1. Observou-se, ento, se era possvel obter o tempo de resposta de malha fechada menor que o de malha aberta. Em um nico caso isso foi possvel como ser visto mais a frente, j em outros o PI no foi suficiente, pois no atendeu aos requisitos de controle. Nos casos em que o PI no proporcionou a sintonia desejada, utilizou-se ento um controlador PID. Sendo assim, quando se utilizou o PID alocou-se o zero do PI a 1,01 do valor de -1/1 ( esquerda dele) e primeiramente alocou-se o plo do derivativo na parte real dos plos de Pad e o seu zero um pouco direita deste. No atendendo aos requisitos de controle estabelecidos pelo grupo, o zero deslocado para a direta, podendo ou no gerar uma dominncia modal com o plo -1/2. Se necessrio o plo do derivativo ainda era deslocado para a esquerda. Vale lembrar que tais alternativas aumentam o esforo de controle. Dos Lugares das Razes puderam ser identificados alguns tipos de implementao (em malha fechada): 2 plos dominantes reais. 3 plos dominantes reais. 3 plos dominantes reais com o plo mais a direita em dominncia modal.8
3 plos dominantes, sendo um par complexo conjugado. 4 plos dominantes reais. 4 plos dominantes, sendo um par complexo conjugado. Para as configuraes com 3 plos dominantes interessante perceber que ao aloc-los ao redor do segundo ou do terceiro ponto de bifurcao suas respostas pouco mudam. Nota-se que, em geral, como estes pontos de bifurcao estavam muito prximos entre si, os resultados eram extremamente semelhantes tanto para um como para o outro caso. Os tempos de resposta so quase idnticos para um plo um pouco esquerda dos dois dominantes ou para dois plos esquerda do nico dominante. Dessa forma, ao se encontrar uma sintonia que atendesse os objetivos de controle, utilizou-se a funo rlocfind que retorna o ganho no ponto de operao (escolhido graficamente) para malha fechada. Esta funo tambm nos mostra a localizao dos plos em malha fechada nas imagens mais a frente sero apresentadas esta localizao. Visando melhorar o tempo de resposta tentou-se em alguns casos encontrar um ponto de operao que garantisse o efeito de dominncia modal. Contudo, isto nem sempre foi possvel, mas mesmo assim conseguimos garantir um tempo de resposta de malha fechada satisfatria (menor que o de malha aberta). Em consonncia com isto, aps verificar a localizao dos plos de malha fechada, avaliou-se se existia(m) plo(s) sob efeito de dominncia modal, ou seja, alocados a 5% de distncia do(s) zero(s) do controlador. Em outros casos, tentou-se alocar os plos dominantes em um dos pontos de bifurcao. Foi possvel perceber que em alguns casos houveram plos dominantes em relao aos demais plos, ou seja, os demais plos eram 4 vezes maiores que os plos dominantes, no influenciando substancialmente no tempo de resposta de malha fechada do sistema. Tambm, verificou-se se os plos de malha fechada estavam alocados de forma que o tempo de resposta de malha fechada no estivesse menor que o de malha aberta. Sendo assim, aps atingirmos as melhores sintonias possveis, geramos os seguintes tipos de grficos para cada caso apresentado na tabela 1: Lugar das Razes com os plos de malha fechada assinalados; Regio dominante do Lugar das Razes com os plos de malha fechada assinalados; Sinal transitrio da sada do sistema com tempo de resposta de malha aberta e de malha fechada assinalados; Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau.
9
A seguir sero apresentadas as sintonias obtidas com o Lugar das Razes para cada caso apresentado e seus respectivos grficos.
1.1.
Caso 11Root Locus 15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15 -10 -5 Real Axis 0 5 10
Figura 1.1: Lugar das Razes Caso 11 Para este caso, o ganho Kc foi igual a 22.4059 e o ponto de operao escolhido foi de -1.7969. Como possvel perceber logo abaixo, um dos plos est sob efeito de dominncia modal, pois est localizado a 5% de distancia de um dos zeros do controlador:Root Locus 5
4
3
2
1Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4
-2
-1.5
-1 Real Axis
-0.5
0
0.5
Figura 1.2: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 11
10
Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.3: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 11
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 Time (sec)
80
100
120
Figura 1.4: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 11
1.2.
Caso 12
Para este caso, o ganho Kc foi igual a 5.1486 e o ponto de operao escolhido foi de -1.0652. O efeito de dominncia modal tambm ocorre neste caso para um dos plos da planta, como possvel perceber logo abaixo:
11
Root Locus 5
4
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-4
-2 Real Axis
0
2
4
Figura 1.5: Lugar das Razes Caso 12Root Locus
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6 Real Axis
-0.4
-0.2
0
0.2
Figura 1.6: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 12
12
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.7: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 12Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude0.6 0.5 0.4 0
10
20
30 Time (sec)
40
50
60
Figura 1.8: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 12
13
1.3.
Caso 13Root Locus 2
1.5
1
0.5Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4 Real Axis
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Figura 1.9: Lugar das Razes Caso 13
Root Locus
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Real Axis 0 1 2 3
Figura 1.10: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 13
14
O ganho Kc neste caso foi igual a 5.7582 e o ponto de operao escolhido foi de (-1.0652+0.5634j). Neste caso, tambm ocorre o efeito da dominncia modal devido a um dos plos tambm estar localizado at 5% de um dos zeros da planta.Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.11: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 13Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
10
20
30 Time (sec)
40
50
60
70
Figura 1.12: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 1315
1.4.
Caso 14Root Locus
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -12 -10 -8 -6 Real Axis -4 -2 0 2
Figura 1.13: Lugar das Razes Caso 14 O ganho Kc neste caso foi igual a 9.7735 e o ponto de operao escolhido foi de (-0.6633 + 0.3724i). Tambm houve o efeito da dominncia modal para este caso.Root Locus
0.8
0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 Real Axis -0.3 -0.2 -0.1 0
Figura 1.14: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 1416
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6
8 Time (sec)
10
12
14
16
18
Figura 1.15: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 14
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6
Amplitude
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
50 Time (sec)
100
150
Figura 1.16: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 14
17
1.5.
Caso 21Root Locus
20
15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15
-20
-10
-5 Real Axis
0
5
10
Figura 1.17: Lugar das Razes Caso 21Root Locus 5
4
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4
-5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 Real Axis -1 -0.5 0 0.5
Figura 1.18: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 21
18
O ganho Kc neste caso foi igual a 10.0414 e o ponto de operao escolhido foi de-1.6449. Tambm ocorreu o efeito da dominncia modal para este caso.Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.19: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 21
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
10
20
30 Time (sec)
40
50
60
70
Figura 1.20: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 21
19
1.6.
Caso 22
Root Locus 8
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8
-10
-6
-4
-2 Real Axis
0
2
4
Figura 1.21: Lugar das Razes Caso 22
Root Locus
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6 Real Axis
-0.4
-0.2
0
0.2
Figura 1.22: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 22
20
O ganho Kc neste caso foi igual a 2.4027 e o ponto de operao escolhido foi de -0.9607. Neste caso, no ocorreu o efeito da dominncia modal.Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.23: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 22Step Response 1
0.95
0.9
0.85
0.8
Amplitude
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
Figura 1.24: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 22
21
1.7.
Caso 23Root Locus
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-6
-5
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
2
3
Figura 1.25: Lugar das Razes Caso 23 Neste caso, o ganho Kc foi de 2.2295 e o ponto de operao escolhido foi de (-0.7929+0.3256j). Este caso tambm possui o efeito da dominncia modal, pois um dos plos em malha fechada est a 5% de um dos zeros. Contudo, o efeito dele no Trmf pode ser desprezado, pois existem 3 plos dominantes em malha fechada que so os principais responsveis pelo Trmf.Root Locus
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.4
-1.2
-1
-0.8 Real Axis
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Figura 1.26: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 23
22
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.27: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 23Step Response 1
0.9
0.8
Amplitude
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15
20 Time (sec)
25
30
35
40
Figura 1.28: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 23
1.8.
Caso 24
O Kc neste caso possui o seguinte valor de 7.1516 e o ponto de operao escolhido foi de (-0.6950 + 0.3398i). Tambm ocorre o mesmo efeito do caso 23.
23
Root Locus
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6 -4 -3 -2 -1 Real Axis 0 1 2 3
. Figura 1.29: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 24
Root Locus 60
40
20
Imaginary Axis
0
-20
-40
-60 -25
-20
-15
-10 Real Axis
-5
0
5
Figura 1.30: Lugar das Razes Caso 24
24
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.31: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 24Step Response 1
0.9
0.8
0.7
0.6
Amplitude0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
20
40
60 Time (sec)
80
100
120
Figura 1.32: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 24
1.9.
Caso 31
Neste caso, ocorre o efeito da dominncia modal e o Kc fica igual a 3.5914. J o ponto de operao escolhido foi de -1.5668.
25
Root Locus
20
10
0Imaginary Axis
-10
-20
-30
-40
-10
-5 Real Axis
0
5
10
Figura 1.33: Lugar das Razes Caso 31Root Locus
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5 Real Axis
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Figura 1.34: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 31
26
Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.35: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 31Step Response 1
0.9
0.8
Amplitude
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
Figura 1.36: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 31
27
1.10. Caso 32Neste caso o ponto de operao foi de -1.3794 e o ganho Kc de 3.5460. Para este caso ocorreu o efeito da dominncia modal como possvel visualizar logo abaixo:Root Locus 10
5
0Imaginary Axis
-5
-10
-10
-5 Real Axis
0
5
Figura 1.37: Lugar das Razes Caso 32
Root Locus
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-2
-1.5 Real Axis
-1
-0.5
0
Figura 1.38: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 32
28
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude0.6 0.5 0.4 0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
35
Figura 1.39: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 32Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.40: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 32
1.11. Caso 33
29
Root Locus 80
60
40
20
Imaginary Axis
0
-20
-40
-60
-80 -16
-14
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
4
Figura 1.41: Lugar das Razes Caso 33 O ganho Kc para este caso foi de 3.2102 e o ponto de operao escolhido de -0.9247. Neste caso no foi possvel obter o efeito de dominncia modal.Root Locus
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-1
-0.8
-0.6 Real Axis
-0.4
-0.2
0
Figura 1.42: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 33
30
Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.43: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 33
Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
5
10
15
20 Time (sec)
25
30
35
40
Figura 1.44: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 33
1.12. Caso 34
31
Neste caso, o ponto de operao escolhido foi de (-0.8423 + 0.3138i) tendo um Kc de 3.4909. Apesar de o ponto de operao ser alocado num ponto com parte imaginria, o plo dominante de malha fechada resulta em um plo real.Root Locus 80
60
40
20
Imaginary Axis
0
-20
-40
-60
-80 -16
-14
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
4
Figura 1.45: Lugar das Razes Caso 34
Root Locus
6
4
2
Imaginary Axis
0
-2
-4
-6
-8
-2.5
-2
-1.5 Real Axis
-1
-0.5
0
Figura 1.46: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 34
32
Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.47: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 34Step Response 1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
10
20
30 Time (sec)
40
50
60
70
Figura 1.48: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 34
1.13. Caso 41
33
Root Locus 20
15
10
5
Imaginary Axis
0
-5
-10
-15
-20
-12
-10
-8
-6 Real Axis
-4
-2
0
2
Figura 1.49: Lugar das Razes Caso 41 O ganho Kc para este caso foi de 0.9053 e o ponto de operao foi de 1.4279. Neste caso ocorreu o efeito de dominncia modal como possvel perceber pela imagem abaixo:Root Locus
4
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 Real Axis -1.5 -1 -0.5 0
Figura 1.50: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 41
34
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.51: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 41
Step Response 1.4 1.35 1.3 1.25
Amplitude
1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 1.52: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 4135
1.14. Caso 42Root Locus 100
80
60
40
20
Imaginary Axis
0
-20
-40
-60
-80
-100 -15
-10
-5 Real Axis
0
5
10
Figura 1.53: Lugar das Razes Caso 42
Root Locus
5
4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3 Real Axis
-2
-1
0
Figura 1.54: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 42
36
Neste caso, o valor de Kc foi de 1.1901 e o do ponto de operao igual a 1.3926. Para este caso, como possvel perceber ocorreu o efeito de dominncia modal.Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4 Time (sec)
5
6
7
8
9
Figura 1.55: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 42
Step Response 1.5
1.4
1.3
Amplitude
1.2
1.1
1
0.9
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 57: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 42
37
1.15. Caso 43Para este caso, o ganho Kc foi de 0.9087 e o ponto de operao escolhido foi de -0.9554.Root Locus
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Real Axis 0 1 2 3 4
Figura 1.58: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 43
Step Response 1.2
1
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.59: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 43
38
Step Response 1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
Amplitude
1.04
1.02
1
0.98
0.96 0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12 14
Figura 1.60: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 43
1.16. Caso 44Para este caso, o ganho Kc foi de 2.3141 e o ponto de operao escolhido foi igual a -0.9566. Neste caso no ocorreu efeito de dominncia modal.Root Locus 2
1.5
1
0.5Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -10 -8 -6 -4 Real Axis -2 0 2
Figura 1.61: Lugar das Razes Caso 44
39
Root Locus
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-2
-1.5 Real Axis
-1
-0.5
0
Figura 1.62: Regio Dominante do Lugar das Razes Caso 44
Step Response 1.2
1
0.8
0.6Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 1.63: Sinal transitrio da sada do sistema com Trma e Trmf Caso 44
40
Step Response 1
0.9
0.8
Amplitude
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
35
Figura 1.64: Sinal transitrio da sada do Controlador para uma entrada em degrau Caso 44
41
Captulo 2IMC MaclaurinEsta variao do mtodo do IMC foi proposta por Morari and Zafiriou e utiliza a srie de Maclaurin para expandir a expresso do controlador. Os parmetros so os coeficientes da funo do controlador na origem, da primeira derivada e da segunda derivada respectivamente, como seguem:( )
(
)
(
)
(
)
( )
( (
))
Foram projetados os controladores para as 16 plantas, mas omitiu-se os resultados grficos da maioria delas, j que as mesmas apresentam comportamentos ligeiramente parecidos com os grficos seguintes. O comportamento do sinal de sada dos sistemas em questo variam entre o Caso 11 (menor overshoot) at o Caso 44 (grande oscilao) conforme as figuras 2.1 e 2.2. Sendo assim, conforme foi apresentado, os resultados mostram que a implementao deste tipo de controlador provoca um sobressinal na sada do sistema que tende a aumentar conforme o aumento do atraso. Por isso, para os casos com maior atraso (1.2), utilizou-se o mtodo IMC-Skogestad com a expectativa de se obter uma melhor sintonia. No captulo 3 sero apresentados os grficos obtidos para os sistemas com atraso igual a 1.2, de forma servir de anlise comparativa com os resultados obtidos para o IMC Maclaurin.
42
Step Response 1.2
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 2.1: IMC MacLaurin Sinal transitrio da sada do sistema (Caso 11)
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
5
10 Time (sec)
15
20
25
Figura 2.2: IMC MacLaurin Sinal transitrio de sada do sistema (Caso 44)
O esforo de controle semelhante para todos os casos e pode ser representado conforme a figura a seguir:
43
Step Response 12
10
8
Amplitude
6
4
2
0
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 2.3: Esforo de Controle para a sintonia IMC MacLaurin em questo Pode-se observar que para atingir os objetivos de controle, o controlador requereu um esforo com amplitude maior que 10.
44
Captulo 3IMC SkogestadVisando evitar perturbaes quando o setpoint sofre uma alterao do tipo degrau (derivative kick), Skogestad props uma extenso do mtodo do IMC utilizando um PID srie com o termo derivativo atuando somente na varivel do processo como possvel ver a seguir:
Figura 3.1: Diagrama de Blocos do IMC-Skogestad Desta forma teremos: ( ) ( ) ( ( ) ( ))
Sendo que , que igual a .Td, define o plo distante do PD que tem caracterstica de um filtro para rudo de alta frequncia. Como no projeto em questo a abordagem somente para o caso servo, foi escolhido o valor de 0.01 de Td sugerido por Skogestad. Obviamente no ser possvel escrever o controlador na forma de uma equao C(s). Logo teremos a seguinte planta controlada: ( ) ( ) ( )
Os parmetros propostos por Skogestad so:
45
Sendo neste caso igual ao atraso. A seguir sero apresentadas as sintonias obtidas com o mtodo IMC Skogestad quando IMC Maclauring no resultou em uma sintonia satisfatria. Isto ocorreu quando o atraso era muito grande (1.2). De qualquer forma, a equipe implementou o mtodo do IMC Skogestad em todas as plantas para que este mtodo servisse de parmetro comparativo com os outros mtodos apresentados anteriormente. Como o captulo 5 j faz uma anlise comparativa de todos os mtodos levando em conta o desempenho destes pela mtrica de Goodhart avaliada em cada planta e respectivo controlador obtido, iremos focar neste captulo somente nos casos onde o atraso foi elevado, pois como j foi informado, o mtodo IMC Maclauring gerou uma sintonia no interessante (Trmf>Trma).
1.1.
Caso 14Kc44 = 0.6250 Ti44 = 1.5000Step Response 1.2
Td44 = 1.5
1
System: Y14 Time (sec): 7.32 Amplitude: 0.98 System: planta14 Settling Time (sec): 9.94
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.2: IMC Skogestad Sinal transitrio de sada do sistema (Caso 14)
46
Step Response 1.3
1.2 System: U14 Peak amplitude: 1.2 Overshoot (%): NaN At time (sec): 2.3 1.1
1
Amplitude0.9 0.8 0.7 0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.3: IMC Skogestad Sinal transitrio da sada do controlador (Caso 14)
1.2.
Caso 24Kc44 = 0.6250 Ti44 = 1.5000 Td44 = 0.750
Step Response 1.2 System: Y24 Time (sec): 7.86 Amplitude: 1.02 1
System: planta24 Settling Time (sec): 8.08
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.4: IMC Skogestad Sinal de sada do sistema (Caso 24)
47
Step Response 1.3
1.2 System: U24 Peak amplitude: 1.19 Overshoot (%): NaN At time (sec): 2.3 1.1
1
Amplitude0.9 0.8 0.7 0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.5: IMC Skogestad Sinal de sada do controlador (Caso 24)
1.3.
Caso 34Kc44 = 0.6250 Ti44 = 1.5000 Td44 = 0.3750
Step Response 1.2 System: Y34 Time (sec): 7.65 Amplitude: 1.02 1 System: planta34 Settling Time (sec): 7.46
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.6: IMC Skogestad Sinal de sada do sistema (Caso 34)
48
Step Response 1.3
1.2 System: U34 Peak amplitude: 1.19 Overshoot (%): NaN At time (sec): 2.3 1.1
1
Amplitude0.9 0.8 0.7 0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.7: IMC Skogestad Sinal de sada do controlador (Caso 34)
1.4.
Caso 44
Kc44 = 0.62501.2
Ti44 = 1.5000Step Response
Td44 = 0.2500
System: Y44 Time (sec): 7.48 Amplitude: 1.02 1 System: planta44 Settling Time (sec): 7.29
0.8
0.6
Amplitude0.4 0.2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.8: IMC Skogestad Sinal de sada do sistema (Caso 44)
49
Step Response 1.3
1.2 System: U44 Peak amplitude: 1.19 Overshoot (%): NaN At time (sec): 2.3
1.1
Amplitude
1
0.9
0.8
0.7
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 3.9: IMC Skogestad Sinal de sada do controlador (Caso 44)
Logo, atravs dos grficos apresentados acima foi possvel perceber que o mtodo IMC Skogestad proporcionou um Trmf melhor que o IMC Maclaurin, por mais que em alguns casos este Trmf no tenha sido menor que o Trma. Tambm, foi possvel perceber que o IMC - Skogestad garantiu um menor esforo de controle comparado ao IMC Maclaurin, demonstrando, assim, ser um mtodo de sintonia mais eficiente para as plantas em questo.
50
Captulo 4Closed Loop Specified PIDTrata-se de uma variao do mtodo IMC. A aproximao foi proposta por Huang e utiliza um controlador PID srie com os seguintes parmetros:
Observa-se que este mtodo, ao alocar zeros exatamente sobre os plos da planta, no considera a incerteza do sistema e pode resultar numa m sintonia j que aos mnimos desvios no modelo o controlador deixa de atender planta. A seguir so apresentados os resultados de projeto para este mtodo:
1.1.
Caso 11Kc11 = 2.5000Step Response 20 18 1 16 14 12 0.8 1.2
Ti11 = 1.5000
Td11 = 1.5000Step Response
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.1 e 4.2: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 11)
1.2.
Caso 12Kc12 = 1.2500 Ti12 = 1.5000 Td12 = 1.5000
51
Step Response 20 18 1 16 14 12 0.8 1.2
Step Response
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.3 e 4.4: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 12)
1.3.
Caso 13Kc13 = 0.8333Step Response 20 18 16 14 121 1.2
Ti13 = 1.5000
Td13 = 1.5000Step Response
0.8
Amplitude
10 8 6
Amplitude
0.6
0.4
0.2
4 2 00
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.4 e 4.5: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 14)
1.4.
Caso 14Kc14 = 0.6250Step Response 20 18 16 14 121 1.2
Ti13 = 1.5000
Td13 = 1.5000Step Response
0.8
Amplitude
10 8 6
Amplitude
0.6
0.4
0.2
4 2 00
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Time (sec)
Figura 4.6 e 4.7: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 14)52
1.5.
Caso 21Kc21 = 2.5000Step Response 20 18 1 16 14 12 0.8 1.2
Ti21 = 1.5000
Td21 = 0.7500Step Response
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.8 e 4.9: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 21)
1.6.
Caso 22Kc22 = 1.2500Step Response 20 181 1.2
Ti22 = 1.5000
Td22 = 0.7500Step Response
16 14 120.8
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
2 0-0.2 0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.10 e 4.11: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 22)
1.7.
Caso 23Kc23 = 0.8333 Ti23 = 1.5000 Td23 = 0.7500
53
Step Response 20 18 1 16 14 12 0.8 1.2
Step Response
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.12 e 4.13: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 23)
1.8.
Caso 24Kc24 = 0.6250Step Response 20 18 1 16 14 12Amplitude
Ti24 = 1.50001.2
Td24 = 0.7500Step Response
0.8
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.14 e 4.15: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 24)
1.9.
Caso 31Kc31 = 2.5000 Ti31 = 1.5000 Td31 = 0.3750
54
Step Response 20 18 1 16 14 12Amplitude
Step Response 1.2
0.8
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.16 e 4.17: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 31)
1.10. Caso 32Kc32 = 1.2500Step Response 20 18
Ti32 = 1.50001.2
Td32 = 0.3750Step Response
116 14 12
0.8
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
02 0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.18 e 4.19: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 32)
1.11. Caso 33Kc33 = 0.8333 Ti33 = 1.5000 Td33 = 0.3750
Step Response 20 18
Step Response 1.2
116 14 12
0.8
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
02 0
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.20 e 4.21: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 33)55
1.12. Caso 34Kc34 = 0.6250Step Response 20 18 1 16 14 12Amplitude
Ti34 = 1.50001.2
Td34 = 0.3750Step Response
0.8
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
Figura 4.22 e 4.23: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 34)
1.13. Caso 41Kc41 = 2.5000Step Response 20 18 1 16 14 12Amplitude
Ti41 = 1.50001.2
Td41 = 0.2500Step Response
0.8
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.24 e 4.25: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 41)
1.14. Caso 42Kc42 = 1.2500 Ti42 = 1.5000 Td42 = 0.2500
56
Step Response 20 18
Step Response 1.2
116 14 12
0.8
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
02 0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Time (sec)
Figura 4.26 e 4.27: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 42)
1.15. Caso 43Kc43 = 0.8333Step Response 20 18 1 16 14 12 0.8 1.2
Ti43 = 1.5000
Td43 = 0.2500Step Response
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude0 2 4 6 Time (sec) 8 10 12
0.6
0.4
0.2
0 2 0 -0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.28 e 4.29: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 43)
1.16. Caso 44Kc44 = 0.6250 Ti44 = 1.5000 Td44 = 0.2500
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Step Response 20 18
Step Response 1.2
116 14 12
0.8
Amplitude
10 8 6 4
Amplitude
0.6
0.4
0.2
02 0
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
-0.2
0
2
4
6 Time (sec)
8
10
12
14
Figura 4.30 e 4.31: CLS PID Sinal de sada do controlador e sistema (Caso 44)
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Captulo 5Anlise de DesempenhoPara avaliar o desempenho de cada mtodo de sintonia de controladores, comparando-os entre si de acordo com o objetivo de controle que se quer alcanar, pode-se utilizar a mtrica de Goodhart. Esta mtrica composta por trs ndices de desempenho ponderados. Indica-se escolher esses pesos de acordo com os custos relacionados a cada ndice. A mtrica, ento, calculada da seguinte forma:
Os ndices de desempenho so obtidos pelas seguintes expresses: () ( ( ) ) | ( ) ( )|
A varivel representa o nmero de amostras do sinal. Deste modo importante escolher um intervalo onde o sinal esteja no seu perodo transitrio. O parmetro mede o esforo de controle e tambm mensura a quantidade de matria prima controladora atravs da mdia do valor de u(t). O parmetro mede o esforo de controle mensurando a sua variao. Ele pode ser interpretado como a varincia do sinal de controle. O parmetro uma medida baseada no sinal de erro igual ao IAE que proporciona uma interpretao da eficincia do controle. Os valores utilizados para foram de 0,1, 0,4 e 0,5, respectivamente. O valor de foi escolhido como o mais alto por transmitir o objetivo principal de controle na viso do grupo. Buscou-se sempre um tempo de resposta de malha fechada menor que o de malha aberta. O segundo objetivo de controle foi bem mensurado por , que o segundo valor mais alto. Ele avalia muito bem o esforo de controle. A equipe decidiu diminuir o valor de , pois este representa um valor mdio do sinal de controle. Como este no tende a zero e no foi uma objetivo trabalhar para valores abaixo de 1, decidiu-se por diminulo. Assim, a mtrica de Goodhart uma ponderao desses trs ndices que fornece informaes do esforo de controle e do desempenho baseado no sinal de59
erro. Como o sinal de erro e o esforo de controle devem ser pequenos, o desempenho ser melhor quo menores forem os valores das mtricas.
1.17. ndice de desempenho 1
Figura 5.1 ndice 1: Comparativo entre as mdias do sinal de controle Do resultado da figura 5.1 acima, observa-se que os maiores custos esto associados planta com os dois plos dominantes mais prximos e iguais, independentemente do mtodo utilizado. Verifica-se tambm que os mtodos do Lugar das Razes e de Skogestad tm os melhores desempenhos e seus resultados so muito prximos, o primeiro por ser um mtodo analtico e sintonizado cuidadosamente a partir do traado do lugar das razes e o segundo por se tratar de um PI_D. Analisando os resultados da figura 5.2, quanto ao esforo de controle, para qualquer caso, o desempenho melhora na seguinte ordem: Mtodo do Closed Loop Specified seguido do IMC MacLaurin e por fim o Lugar das Razes e Skogestad com desempenhos semelhantes. Estes resultados apontam para o fato de que para atender aos objetivos de controle propostos, os controladores projetados pelos mtodos empricos requerem um esforo de controle muito grande. O mtodo do Lugar das Razes e de Skogestad que apesar de ser tabelado, aplica o PI_D mostram que possvel submeter o controlador a menores desgastes.
60
1.18. ndice de desempenho 2
Fig. 5.2 ndice 2: Comparativo entre as varincias do sinal de controle
1.19. ndice de desempenho 3
Fig. 5.3 ndice 3: Comparativo entre os desvios do setpoint
61
O ltimo ndice foi o mais valorizado neste trabalho por estar ligado ao tempo de resposta de malha fechada do sistema j que quanto maior a diferena entre a entrada e a sada, mais tempo o sistema leva para atingir o setpoint. De acordo com os resultados da figura 5.3, o mtodo de Skogestad apresenta a melhor performance neste quesito porque o termo derivativo s atua na varivel de processo, o que diminui perturbaes quando se altera o setpoint do sistema. O desempenho dos controladores diminui, independentemente do mtodo, a medida que se aumenta o tempo morto da planta, exceo de alguns casos dos mtodos empricos. Vale ressaltar que tais mtodos como o IMC e similares no consideram a incerteza do processo e, portanto, tm baixa confiabilidade.
1.20. ndice ponderado Aplicando-se os pesos citados anteriormente, tm-se os seguintes resultados:
Figura 5.4: ndice Comparativo entre os ndices de desempenho de Goodhart Conforme observado nos ndices individuais, os melhores desempenhos foram atingidos pelos mtodos do Lugar das Razes e de Skogestad, sendo que este ltimo superou muitas vezes o mtodo analtico por no fazer uso de um PID em sua forma clssica e por no considerar a incerteza. O mtodo Closed Loop Specified se mostrou a alternativa menos adequada, o que pode ser justificado pela sua simplicidade de projeto e por, da mesma forma, no levar em62
considerao a incerteza do processo assim como o mtodo do IMC, que apresentou desempenho intermedirio. A seguir seguem as tabelas com os valores dos parmetros das mtricas de Goodhart para cada mtodo de sintonia utilizado.CASO 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 E1 0.8729 0.8694 0.8606 0.8284 0.8735 0.9034 0.9175 0.8415 0.8999 0.8756 0.8576 0.8936 1.0365 1.0432 1.0087 0.9334 E2 0.0347 0.0287 0.0323 0.0448 0.0319 0.0165 0.0162 0.0428 0.0193 0.0265 0.0320 0.0279 0.0085 0.0151 0.0022 0.0154 E3 0.0889 0.2661 0.2405 0.3026 0.2725 0.2834 0.3409 0.3061 0.2731 0.2635 0.3182 0.3598 0.2709 0.1920 0.2891 0.3110 E 0.1456 0.2315 0.2192 0.2521 0.2364 0.2386 0.2687 0.2543 0.2343 0.2299 0.2577 0.2804 0.2425 0.2064 0.2463 0.2550
Tabela 5.1: Resultados da Mtrica de Goodhart para o Mtodo do LRCASO 11 12 13 14 E1 1.0501 1.0665 1.0628 1.0347 E2 0.5139 0.5185 0.5586 0.7149 E3 0.1527 0.2507 0.1591 0.1194 E 0.3869 0.4394 0.4093 0.449163
21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
1.0467 1.0621 1.0587 1.0269 1.0507 1.0644 1.0639 1.0338 1.0542 1.0701 1.0671 1.0350
0.5004 0.5024 0.5254 0.5167 0.4972 0.4982 0.5049 0.5768 0.4969 0.4985 0.5015 0.5654
0.2135 0.1937 0.1544 0.2924 0.2473 0.2131 0.1785 0.1145 0.1782 0.2104 0.2502 0.1188
0.4116 0.4040 0.3932 0.4555 0.4276 0.4123 0.3976 0.3913 0.3933 0.4116 0.4324 0.3891
Tabela 5.2: Resultados da Mtrica de Goodhart para o IMC-MaclaurinCASO 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 E1 1.1012 1.0642 1.0430 1.0218 1.0951 1.0704 1.0377 1.0165 1.0920 1.0673 1.0350 1.0138 E2 0.2196 0.0463 0.0170 0.0114 0.1808 0.0436 0.0135 0.0094 0.1622 0.0393 0.0119 0.0085 E3 0.1379 0.1803 0.2227 0.2694 0.1052 0.1572 0.1845 0.2330 0.0786 0.1360 0.1638 0.2104 E 0.2669 0.2151 0.2225 0.2414 0.2344 0.2031 0.2014 0.2219 0.2134 0.1904 0.1902 0.2100
64
41 42 43 44
1.0911 1.0663 1.0342 1.0129
0.1563 0.0379 0.0114 0.0082
0.0717 0.1274 0.1557 0.2019
0.2075 0.1855 0.1858 0.2055
Tabela 5.3: Resultados da Mtrica de Goodhart para o IMC-SkogestadCASO 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 E1 1.1620 1.1867 1.2113 1.2078 1.1199 1.1446 1.1693 1.1760 1.1111 1.1359 1.1607 1.1707 1.1104 1.1353 1.1600 1.1703 E2 2.0403 2.0732 2.1334 2.1405 1.8137 1.8255 1.8535 1.8929 1.7956 1.8022 1.8215 1.8559 1.7944 1.7997 1.8170 1.8493 E3 0.1734 0.2347 0.2554 0.2681 0.2347 0.2681 0.2480 0.2625 0.2681 0.2625 0.2792 0.2168 0.2643 0.8201 0.2166 0.2161 E 1.0190 1.0653 1.1022 1.1110 0.9548 0.9787 0.9823 1.0060 0.9634 0.9657 0.9843 0.9678 0.9610 1.2434 0.9511 0.9648
Tabela 5.4: Resultados da Mtrica de Goodhart para o Mtodo de Closed Loop Specified PID
65
ConclusoNeste estudo foi possvel validar os desempenhos de controladores projetados atravs de 4 mtodos de sintonia: Lugar das Razes, IMC MacLaurin, Skogestad e Closed Loop Specified. O mtodo analtico do Lugar das Razes se mostrou eficaz e robusto em detrimento de mtodos empricos tabelados que abusam da incerteza dos modelos. Essa avaliao foi feita graficamente atravs da comparao dos tempos de resposta da planta sem e com o controlador, esforo de controle e atravs da mtrica de Goodhart, um ndice de desempenho que pondera trs usuais ndices estatsticos, neste caso, a mdia e a varincia do sinal de controle e o erro de setpoint. A confiabilidade dos outros mtodos questionvel dada a dificuldade enfrentada ao alocar pontos de operao coerentes nas sintonias do Lugar das Razes. Tambm deve-se atentar para os limites fsicos do sistema ao projetar controladores que apresentem, por exemplo, esforos de controle muito grandes tais como foram apresentados no mtodo do Closed Loop Specified PID.
66
Referncias Bibliogrficas[1] Campos, Mario Cesar M. Massa de. Controles tpicos de equipamentos e processos industriais So Paulo: Editora Edgard Blcher, 1 Ed., Petrobrs, 2006; [2] http://www.ee.pucrs.br/~gacs/new/disciplinas/ascn/apostilas/Aula08.pdf; [3] http://www.poli.usp.br/d/pmr2360/Download/PMR2360ApostCap4Versao 2004.pdf; [4] http://lorien.ncl.ac.uk/ming/robust/imc.pdf; [5] http://ntur.lib.ntu.edu.tw/bitstream/246246/87365/1/07.pdf.
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Anexo ICdigo para Implementao do Lugar das Razes%Definio de parmetros tau1=1.5; %valor fixado pelo grupo tau2=tau1/6; %clculo de tau2 aux=[0.2 0.4 0.6 0.8]; to=tau1.*aux; %Entrada em degrau R=zpk([],[0],1); %razo entre to/tau1 pr-definida %clculo de to
%--------------------------------------------------------------------% CASO PARA TO = 0.3 %--------------------------------------------------------------------%Planta G41=zpk([],[-1/tau1 -1/tau2],1/(tau1*tau2),'inputdelay',to(1)); planta41=pade(G41,2); %Controlador C41=zpk([-1.01/tau1],[0],1); %Saida caso41n=C41*G41; caso41=pade(caso41n,2); %Sinal de Controle U41=C41/(1+C41*planta41); figure(1) step(U41) % DEGRAU Tmf41=feedback(caso41*0.9053,1); figure(2) step(Tmf41,'b') hold on step(planta41,'r') hold off figure(3) rlocus(caso41)
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Anexo IICdigo para Implementao IMC-Skogestad%Definio de parmetros tau1=1.5; %valor fixado pelo grupo tau2=tau1/4; %clculo de tau2 aux=[0.2 0.4 0.6 0.8]; to=tau1.*aux; Kp=1; alfa=0.1; lambda=to(2); %--------------------------------------------------------------------% CASO PARA TO = 0.6 %--------------------------------------------------------------------%Definio de parmetros Ti32=min(tau1,4*(lambda+to(2))); Td32=tau2; Kc32=tau1/(Kp*(lambda+to(2))); %PLANTA G32=zpk([],[-1/tau1 -1/tau2],1/(tau1*tau2),'inputdelay',to(2)); planta32=pade(G32,2); %BLOCOS CONTROLADORES PI32=zpk([-1/Ti32],[0],Kc32); D32=zpk([-1/Td32],[-1/(alfa*Td32)],1/alfa); %razo entre to/tau1 pr-definida %clculo de to
num32=PI32*planta32; den32=1+PI32*D32*planta32; Y32=num32/den32; figure(2) step(Y32,'b') hold on step(planta32,'r') hold off U32=PI32*(1-D32*Y32); figure(6) step(U32,'b')
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Anexo IIICdigo para Implementao IMC-Maclauring%Definio de parmetros tau1=1.5; %valor fixado pelo grupo tau2=tau1; %clculo de tau2 aux=[0.2 0.4 0.6 0.8]; to=tau1.*aux; tau=(tau1*tau2)^0.5; Kp=1; alfa=0.1; %razo entre to/tau1 pr-definida %clculo de to
%--------------------------------------------------------------------% CASO PARA TO = 0.9 %--------------------------------------------------------------------lambda=max(0.25*to(3),0.2*tau); Ti13=(tau1+tau2)-(2*lambda-to(3)^2)/2*(2*lambda+to(3)); Td13=Ti13-(tau1+tau2)+(tau1*tau2-to(3)^3/(6*(2*lambda+to(3))))/Ti13; Kc13=Ti13/(Kp*(2*lambda+to(3))); C13=tf([Ti13*Td13*(alfa+1) (Ti13+alfa*Td13) 1],[alfa*Ti13*Td13 Ti13 0]); G13=zpk([],[-1/tau1 -1/tau2],1/(tau1*tau2),'inputdelay',to(3)); planta13=pade(G13,2); %Sinal de Controle U13=C13/(1+C13*planta13); figure(7) step(U13) %Controlador imc13=planta13*C13; imcf13=feedback(imc13*Kc13,1); figure(3) step(imcf13,'b') hold on step(planta13,'r') hold off
70
Anexo IVCdigo para Implementao Locked Loop Specified PID%Definio de parmetros tau1=1.5;
%valor fixado pelo grupo
%tau2
