X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente18 a 21 de setembro de 2011São João del-Rei - MG - Brasil

ISSN: 2175-8905 - Vol. X 105

SINTONIA DE CONTROLADORES PID COM O ALGORITMO DE EVOLUÇÃO DIFERENCIAL

DAVI L. DE SOUZA1, LUCAS F. S. MAIA

1, FRAN S. LOBATO2, GUSTAVO M. DE ALMEIDA

1

1Campus Alto Paraopeba (CAP), Universidade Federal de São João del-Rei

Rod. MG 443, Km 07, 36.420-000, Ouro Branco, MG, Brasil E-mails: davilsouza@gmail.com , gustavoalmeida@ufsj.edu.br

2 Faculdade de Engenharia Química, Universidade Federal de Uberlândia

Campus Santa Mônica, 38.400-902, Uberlândia, MG, Brasil E-mail: fslobato@feq.ufu.br

Abstract PI and PID controller design (tuning) employ in general classical techniques, such as Ziegler-Nichols and Cohen-Coon. One disadvantage in this case is the need for knowing the process dynamics. An alternative approach is the use of evolu-tionary optimization methods. In this work, one of them called Differential Evolution is used for tuning the PI and PID parame-ters of a controller in a thermal process. The results, compared to those given by the classical techniques, showed that the pro-posed methodology is promising.

Keywords PID controller, Tuning, Differential Evolution.

Resumo O projeto (sintonia) de controladores PI e PID é geralmente realizado com técnicas clássicas, tais como Ziegler-Nichols e Cohen-Coon. Uma das desvantagens é a necessidade de conhecimento da dinâmica do processo. Uma abordagem al-ternativa é o emprego de métodos evolutivos. Neste trabalho, empregou-se um deles, denominado Evolução Diferencial, para a sintonia dos parâmetros PI e PID de um controlador em um processo térmico. Os resultados, comparados com aqueles obtidos com as técnicas clássicas, mostraram que a metodologia proposta é promissora.

Palavras-chave Controlador PID, Sintonia, Evolução Diferencial.

1 Introdução

O desenvolvimento de controladores que possuem comportamento uniforme em malha fechada para grandes variações da dinâmica do processo, e robustez, tem acelerado a alta competição do mercado nos dias atuais.

A exploração de novas alternativas de sistemas de controle pode resultar em um fator importante na conquista de mercado. Além disso, aspectos como aumento da demanda por processos e produtos de qualidade, responsabilidade ambiental e demandas por um mercado variável e dinâmico, motivam a busca por sistemas de controle com flexibilidade operacional, sem o conservadorismo dos métodos existentes.

Tradicionalmente, em projeto de controladores, métodos clássicos como Ziegler-Nichols (ZN) e Cohen-Coon (CC) são frequentemente empregados com essa finalidade (Souza, 2007). Apesar da simplicidade de aplicação destas metodologias, elas apresentam, como principal desvantagem, a necessidade de conhecimento da dinâmica do processo, o que, em problemas reais, se configura como uma tarefa árdua.

Recentemente, estratégias baseadas em técnicas heurísticas de otimização têm sido propostas para o projeto de controladores, dentre as quais pode-se citar Lobato e Souza (2008) e Solihin et al. (2011).

Dentre as modernas técnicas heurísticas, o algoritmo de Evolução Diferencial (ED), proposto por Storn e Price (1995), se configura como uma das metodologias mais utilizadas para a resolução de problemas de otimização. Este método consiste basicamente em utilizar operações vetoriais para a geração de soluções candidatas.

Neste contexto, o objetivo deste trabalho é avaliar a aplicabilidade do algoritmo de ED no projeto de controladores PID. Além disso, comparar os resultados obtidos com aqueles oriundos da aplicação dos métodos de ZN e CC. Este trabalho é estruturado como segue. A seção 2 apresenta uma revisão das técnicas clássicas para a sintonia de controladores. Uma breve revisão sobre o algoritmo de ED é mostrado na seção 3. Nas seções 4 e 5 são apresentados os critérios de desempenho empregados e um estudo de caso. Finalmente, na seção 6, são apresentados os resultados e os trabalhos futuros.

2 Sintonia de Controladores

Na literatura, a grande maioria dos trabalhos que envolvem o projeto de controladores faz uso dos mé-todos de ZN e CC. O princípio desses métodos é a correlação entre os parâmetros do controlador (Kc, τI e τD) com os parâmetros do modelo (K, τ e θ), atra-vés da resposta temporal do sistema em malha aberta (denominada curva de reação do processo), frente a uma perturbação degrau (Tabela 1).

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Tabela 1. Sintonia de controladores pelos métodos de ZN e CC, através da curva de reação do processo, em malha aberta (Fonte:

Seborg et al., 1989).

Controla-dor/Método

Ziegler-Nichols (ZN)

Cohen-Coon (CC)

P ( )θτKK C =

( ) 3

1θ

τKKC +=

PI ( )

( )τθ33,3

τ

τθ

τ9,0KK

I

C

=

=

( )( )[ ]

( )τθ2,20,1

τθ33,033,3θ

τ

τ

083,0θτ9.0KK

I

C

+

+=

+=

PID ( )

( )

( )τθ5,0

τ

τ

τθ0,2

τ

τθ

τ2,1KK

D

I

C

=

=

=

( )( )( )( )( )

1,35 0, 270

32 6

13 8

0,37

1,0 0, 2

C

I

D

KK τθ

θθτ τθττ

θτ τ

θττ

= +

+ =+

=+

Outro método clássico bastante utilizado é o ZN

por meio de sensibilidade limiar (Seborg et al., 1989). Este procedimento é válido apenas para plan-tas estáveis em malha aberta, e conduzido com os seguintes passos: (I) Fixação do parâmetro propor-cional com um ganho muito pequeno; (II) Aumento do ganho até a obtenção de uma resposta oscilatória com amplitude e período constantes; (III) Registro do ganho crítico (Ku) e do período crítico (Pu); e (IV) Ajuste dos parâmetros, conforme a Tabela 2.

Tabela 2. Sintonia de controladores pelo método de ZN, através da sensibilidade limiar, em malha fechada (Fonte: Seborg et al.,

1989).

Controlador/ Parâmetro

Kc τi τd

P 0,5Ku ‒ ‒

PI 0,45Ku Pu/1,2 ‒

PID 0,6Ku 0,5Pu Pu/8

Apesar da grande maioria dos projetos de con-

troladores PID serem sintonizados pelos métodos clássicos ZN e CC, eles trazem algumas dificuldades, tais como: a necessidade de conhecimento da dinâ-mica do processo em malha aberta, e no caso do mé-todo de sensibilidade limiar, a necessidade de traba-lhar próximo ao limite de instabilidade do sistema. Sendo assim, a partir deste cenário, caracteriza-se a necessidade de novas alternativas para a sintonia de controladors PID.

3 O Algoritmo de Evolução Diferencial

Dentre os vários algoritmos de otimização não de-terminísticos propostos na literatura, o algoritmo de Evolução Diferencial (ED), proposto por Storn e Price (1995), se configura como uma das principais abordagens para a resolução de problemas de otimi-zação.

A idéia principal por trás desta técnica é o es-quema proposto para atualização do vetor de variá-veis de projeto de uma população. Basicamente, a diferença ponderada, via taxa de perturbação F, entre dois indivíduos (

2rxr e

3rxr ), é adicionada a um terceiro

indivíduo (1r

xr

), como mostrado na Figura 1.

Figura 1. Fundamentação teórica do algoritmo de ED (Fonte:

Reproduzido de Storn et al., 2005).

O indivíduo gerado através deste esquema (

iνr

) é

avaliado pela função objetivo e pode inclusive substi-tuir indivíduos mal sucedidos nas gerações seguintes. Desta forma, nenhuma distribuição de probabilidade em separado deve ser usada, o que torna este esque-ma completamente auto-ajustável.

De maneira resumida, nessa abordagem pura-mente estrutural, o valor de cada variável é represen-tado por um valor real e a geração de candidatos é feita através do uso de operações vetoriais como a-presentado e detalhado a seguir (Storn e Price, 1995): Inicializar (aleatoriamente) e avaliar a população P enquanto nenhum critério de parada for satisfeito faça { para ( i = 0; i < NP ; i ++) { Rotina Candidato C[ i ] Avalie o candidato C[ i ] se ( C[ i ] é melhor que P[ i ]) P’ [ i ] = C[ i ] senão P’ [ i ] = P[ i ]} P = P’ }

em que NP é o tamanho da população, P é a po-pulação da geração atual, e P’ é a população da pró-xima geração. O procedimento para a criação do candidato (C[i]) é mostrado a seguir: Candidato C[i] Aleatoriamente selecione os pais P[ i 1], P[ i 2] e P[ i 3], ( i ≠ i 1 ≠ i 2 ≠ i 3). Geração do candidato: C1[ i ] = P[ i 1] + F ×( P[ i 2] -P[ i 3]). C [ i ] por cruzamento dos genes de P[ i ] e C1[ i ] como segue: para ( j = 0 ; j < NP ; j ++) { se ( r < CR) C[ i ][ j ] = C1[ i ][ j ] senão C[ i ][ j ] = P 1[ i ][ j ]}

em que C[i] é a solução candidata i da popula-ção, C[i][j] é a j-ésima entrada no vetor solução de C[i], r é um número aleatório entre 0 e 1, CR é a pro-babilidade de cruzamento e F é a taxa de perturba-ção.

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O algoritmo implementado por Storn e Price (1995) possibilita a escolha do tipo de estratégia que será utilizada durante o processo evolutivo. Tais es-tratégias dependem do vetor escolhido para ser per-turbado, do número de vetores que serão considera-dos para a perturbação e do tipo de cruzamento que será utilizado. Storn e Price (1995) aconselham uma população em torno de 5 a 10 vezes o número de variáveis do problema, e taxa de perturbação e pro-babilidade de cruzamento iguais a 0,5.

Na literatura, pode-se encontrar inúmeras aplica-ções do algoritmo de ED em áreas distintas da ciên-cia, dentre as quais pode-se citar: estimação de parâ-metros térmicos em reator de leito (Babu e Sastry, 1999), síntese e otimização de sistemas integrados de energia aplicados a destilação (Babu and Singh, 2000), estimação de parâmetros cinéticos em proces-sos de fermentação a batelada alimentada (Wang et al., 2001), projeto de sistemas de engenharia (Lobato e Steffen, 2007), determinação da difusividade térmi-ca aparente na secagem de frutas (Mariani et al., 2008), projeto de sistemas de engenharia com enfo-que multi-objetivo (Lobato, 2008), estimação dos parâmetros da equação de Page e do coeficiente de perda de calor de um secador rotativo em escala pilo-to (Lobato et al., 2008), estimação de parâmetros térmicos em transferência radiativa (Lobato et al., 2010), além de outras aplicações (Storn et al., 2005).

4 Critérios de Desempenho

Com o objetivo de comparar a técnica proposta com os métodos clássicos ZN e CC, aplicou-se o seguinte Índice de Desempenho (ηd):

s

d

( t / t ) OS

2

+η = , (1)

em que ts é o tempo de assentamento, OS, o o-

vershoot, e t, o tempo total de simulação. O Índice de Desempenho está contido no domínio [0, 1]. Na Fi-gura 2, ilustra-se o cálculo de ts, dado pelo tempo de assentamento na faixa 0,95b e 1,05b. enquanto OS é obtido de acordo com:

aOS

b= . (2)

5 Aplicação

O estudo de caso deste trabalho consiste de um tro-cador de calor do tipo casco-tubo em contra-corrente. Na Figura 3, Qc,i e Tc,i representam, respectivamente, a vazão e a temperatura de entrada do fluido quente, e Qt,e e Tt,e, a vazão e a temperatura de entrada do fluido frio. Tc é a temperatura do fluido no lado do casco e Tt é a temperatura do fluido no lado dos tu-bos.

Figura 2. Medidas de desempenho do sistema de controle (Fonte: Seborg et al., 1989).

Tc,s Qc,s

Tc,e Qc,e

Tt,e

Qt,e

Tt,s

Qt,s

Tt

Tc

Figura 3. Desenho esquemático do trocador de calor (Fonte: Gar-cia, 2005).

O objetivo desse sistema é aquecer uma corrente

de água a 40 oC a partir de uma corrente de água quente. As trocas térmicas consideradas são: a trans-ferência de calor entre os fluidos circulando nos tu-bos e no casco, a transferência de calor entre o fluido circulando no casco e suas paredes, e o transporte de energia (entalpia) devido ao escoamento dos fluidos nos tubos e casco. Maiores informações sobre a for-mulação e as considerações estão em Garcia (2005).

A descrição matemática do sistema de troca tér-mica resultante da combinação das equações do sis-tema com as relações constitutivas são dadas pelas equações a seguir:

( ) ( )aptt

ctstetapetetst

cV

TAUTTcQ

dt

Td

,

,,,,,,

⋅⋅

∆⋅⋅+−⋅⋅⋅=

ρ

ρ, (3)

( ) ( )apcc

ctscecapececsc

cV

TAUTTcQ

dt

Td

,

,,,,,,

⋅⋅

∆⋅⋅−−⋅⋅⋅=

ρ

ρ, (4)

( ) ( ) o o 40 C 74,4 Ct ,s c ,sT 0 T 0 = , (5)

onde ρt,e e ρt são as massas específicas da água

quente de alimentação e nos tubos, respectivamente (constantes e iguais a 998,21 kg/m3 e 995,65 kg/m3); ρc,e e ρc são as massas específicas da água fria de ali-mentação e no casco, respectivamente (constantes e iguais a 965,31 kg/m3 e 971,79 kg/m3); Vt é o volume externo dos tubos e Vc é o volume interno disponível no casco (constantes e iguais a 3,385·10-3 m3 e 4,557·10-3 m3, respectivamente); cp,a é o calor especí-

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fico da água (constante e igual a 1,0 kcal/(kg·C); U é o coeficiente global de transferência de calor (cons-tante e igual a 1.089,7 W/(m2·K); A é a área média de troca térmica (constante e igual a 0,8822 m2); e

( )ctct

ctct

ctTT

TTT

min,max,

min,max,

ln ∆∆

∆−∆=∆ é a média logarítmica da

diferença de temperatura, com etscct TTT ,,max, −=∆ e

stecct TTT ,,min, −=∆ .

A equação do conjunto sensor-transmissor se comporta como um sistema de 1a ordem e a tempera-tura transmitida (Tt, em oC) é dada por:

( ) ( ) ( ) 14,6 mAt t m.mV t

t

t

d T K T 1,019 T, T 0

dt

− −= =

τ, (6)

em que Kt é o ganho do transmissor (igual a 10,2

mA/mV); Tm,mV é a temperatura medida pelo sensor em mV; τt é a constante de tempo do conjunto (igual a 2s); e a temperatura transmitida em mA é dada por

4, += tmAt TT .

A equação do conjunto conversor I/P-válvula de controle é modelado como um sistema de 1a ordem e a posição da haste da válvula (X, em p.u.) é dada por:

( ) ( ) ( ) 0,6p.u.AT

AT

d X K v 3 XX 0

dt

− −= =

τ, (7)

em que KAT é o ganho estático do atuador (igual

a 1/12 p.u./psig); v é o sinal de saída do conversor I/P (igual a ( )[ ] 34 +−⋅ mAmK IP

, em que KIP é o ganho

do conversor e m é o sinal de 4 a 20 mA recebido pelo conversor); e τAT é a constante de tempo do con-junto (igual a 10 s).

Por fim, a equação que define a vazão através da válvula (Qc,e, em m3/s) é dada por:

ecV

X

VVec PRCKQ ,1

, ρ∆⋅⋅⋅= − , (8)

em que KV é o fator de ajuste de unidades (igual

a 7,6·10-3); CV é o coeficiente de vazão (igual a 27 gpm/psi1/2); R é a "rangeabilidade" (igual a 30); e ∆PV é a queda de pressão através da válvula (constan-te e igual a 0,2 bar).

Com a combinação da modelagem do processo, do cálculo dos parâmetros do modelo, das modela-gens da transmissão do sinal de temperatura e do conjunto conversor I/P‒válvula de controle, e da de-finição das condições iniciais do sistema, apresenta-se, na Fig. 4, a representação gráfica do modelo do trocador de calor não-linearizado em malha fechada.

A Tabela 3 apresenta, para a simulação do sis-tema de troca térmica em malha fechada com um controlador PI, o resultado disponível na literatura (Garcia, 2005) com aqueles sintonizados pelos méto-dos: Ziegler-Nichols por sensibilidade limiar (ZN-

SL) e por curva de reação (ZN-CR), Cohen-Coon (CC-CR) e método de Evolução Diferencial (ED) (com uma população com 40 indivíduos, taxa de per-turbação igual a 0,8 e probabilidade de cruzamento igual a 0,5). Apresenta-se também, para o mesmo sistema em malha fechada, os resultados da sintonia de um controlador PID, sintonizado pelos métodos: Ziegler-Nichols por sensibilidade limiar (ZN-SL) e por curva de reação (ZNCR), Cohen-Coon (CC-CR) e método de Evolução Diferencial (ED).

Pode-se observar, através da análise do índice de desempenho proposto (ηd), a qualidade do projeto de controladores obtida com o algoritmo de ED, que comparando com as técnicas clássicas demonstrou equivalência. A Tabela 4 apresenta os valores dos parâmetros para os controladores analisados. O mé-todo evolutivo foi aplicado ao sistema localmente linearizado, e então implementado no modelo não-linear (Figura 4), o que ressalta a sua eficiência. Na Figura 5, são apresentadas as respostas do sistema frente a uma perturbação degrau unitária no set-point, isto é, de 40 para 41 oC, para cada uma das sintonias dos controladores PI e PID. Pode-se observar a efi-cácia da metodologia proposta quando comparada com os métodos clássicos de ZN e CC.

Tabela 3. Comparativo entre os métodos de sintonia analisados.

Método Erro Quadrático Médio ηd

PI (Garcia, 2005)

35,81 0,127990

PI (ZN-SL) 22,58 0,079193

PI (ZN-CR) 38,48 0,008692

PI (CC-CR) 24,91 0,062792

PI (ED) 39,79 0,009491

PID (ZN-SL) 23,75 0,237793

PID (ZN-CR) 22,09 0,006494

PID (CC-CR) 19,90 0,043793

PID (ED) 22,65 0,006993

Tabela 4. Parâmetros dos controladores PI e PID.

Parâmetros Método

KC τI τD

PI (Garcia, 2005)

0,40 2,50 ‒

PI (ZN-SL) 4,41 50,00 ‒

PI (ZN-CR) 2,52 44,95 ‒

PI (CC-CR) 2,72 16,63 ‒

PI (ED) 1,00 13,38 ‒

PID (ZN-SL) 5,88 30,00 7,50

PID (ZN-CR) 3,36 27,00 6,75

PID (CC-CR) 4,43 26,02 4,25

PID (ED) 2,93 21,57 6,16

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ev Qce

Válvula

de controle

QTe

QCe

TTe

TCe

TTs

Trocador

de calor

Tref

TTs

TTe

TCe

QTe

PV_oCPV_mA

Medidor de

temperatura

Tref Tref_mA

Conversão de Tref

de oC para mA

p v

Conversor

I/P

e p

Controlador

PI

(a)

Tcs

1

TTs

1

s

1

s

TTs

TTe

TCe

TCs

q

Cálculo de

q=U.A.dTct

cPA

cPA

rho_C

rho_T

VC

VT

rho_Te

rho_Ce

cPA

cPA

4

TCe

3

TTe

2

QCe

1

QTe

(b)

Figura 4. (a) Modelo do trocador de calor não-linearizado em malha fechada e (b) subsistema com o modelo do trocador de calor.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100039.5

40

40.5

41

41.5

Tempo (s)

TTs

PI Lit

PI ZNSL

PI ZNCR

PI CCCR

PI ED

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100040

40.5

41

41.5

Tempo (s)

TTs

PID ZNSL

PID ZNCR

PID CCCR

PID ED

Figura 5. Resposta do sistema de troca térmica, frente a uma perturbação degrau unitária no set-point de 40 para 41 oC, para cada uma das

sintonias dos controladores PI e PID.

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6 Conclusão

Este trabalho objetivou a aplicação do algoritmo de ED para o projeto de controladores PI e PID. A me-todologia proposta foi aplicada na sintonia de um controlador em um sistema de troca térmica em ma-lha fechada. Os resultados obtidos foram comparados com a sintonia realizada através dos métodos tradi-cionais de Ziegler-Nichols (ZN) e Cohen-Coon (CC). Como pode ser observado na Tabela 2, o resultado com o algoritmo de ED foi o esperado, e a metodolo-gia proposta se configura como uma promissora al-ternativa para o projeto de controladores.

Como propostas de trabalhos futuros, pode-se ci-tar a aplicação da metodologia em plantas industriais, a análise de sensibilidade dos parâmetros do algorit-mo de ED na qualidade da solução, e a hibridização do algoritmo com outras técnicas clássicas e heurísti-cas.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio financeiro.

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