PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA

PROFESSORA: MICHELE BOULANGER

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

PROGRESSÃO

É uma seqüência lógica de informações que possuem um critério específico e uma ordem

estabelecida para o surgimento de seus valores. Uma progressão pode ser

crescente ou decrescente

ARITMÉTICA

Indica uma relação numérica que seráorientada sobre forma de soma. A aritmética consiste em realizar operações utilizando o sistema de contagem na forma de adição.

PROGRESSÃO ARITMÉTICAPROGRESSÃO ARITMÉTICA

É uma seqüência numérica É uma seqüência numérica orientada sobre forma de soma onde, orientada sobre forma de soma onde, cada termo a partir do segundo, terá cada termo a partir do segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua um mesmo valor acrescido em sua seqüência, sendo este valor o seqüência, sendo este valor o mesmo para todos os elementos e mesmo para todos os elementos e chamado de razão. chamado de razão.

É uma seqüência numérica É uma seqüência numérica orientada sobre forma de soma onde, orientada sobre forma de soma onde, cada termo a partir do segundo, terá cada termo a partir do segundo, terá um mesmo valor acrescido em sua um mesmo valor acrescido em sua seqüência, sendo este valor o seqüência, sendo este valor o mesmo para todos os elementos e mesmo para todos os elementos e chamado de razão. chamado de razão.

Observe o exemplo:Observe o exemplo:

24,21,18,15,12,9,6,3Iremos chamar o primeiro elemento desta seqüência de a1

Iremos chamar de an o último termo de uma seqüência numérica

A quantidade de números que compõe uma seqüência numérica será representadapela letra n

A ordem de crescimento entre os elementos, a partir do segundo termo, sempre seráa mesma e por isto é denominada de razão sendo representada pela letra r

Então, neste caso,a1 é 3

Neste caso,an é 24

Podemos observarque a seqüência acima possui 8

números, ou seja, n = 8

Observe que a cadanovo número nestaseqüência sempre é somado o valor 3 o que nos mostra que a nossa razão (ordem de crescimento)será o número 3

Fórmula do termo geral de uma Fórmula do termo geral de uma P.A.P.A.

rnaan 11

Último termo de uma P.A. ou termo procurado

Primeiro termo da P.A.

Número de elementos da P.A.

Razão da P.A.

ExemploExemplo11::ExemploExemplo11::

rnaan 11 rnaan 11

Determine o 70º elemento de uma P.A. onde o primeiro termo é 5 e a razão é 8

O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A.

O primeiro procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. A partirdestas informações iremos desvendar o valor desconhecido utilizando a fórmula do termo geral de uma P.A.

DADOS:

a1= 5n = 70r = 8an = ?

Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, o último termo desta P.A. que no caso é o 70º elemento.

Agora basta substituir os valoresfornecidos na questão. Lembre-se

que a resolução desta fórmulasegue os princípios de resolução

de uma equação de 1º grau.

557

5525

8695

81705

n

n

n

n

a

a

a

a

ExemploExemplo22::ExemploExemplo22::

rnaan 11 rnaan 11

Determine o 1º elemento de uma P.A. que possui 120 números onde o último termo é 570 e a razão é 4

Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.

Novamente o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão para substituir os seus valores na fórmula do termo geral de uma P.A.

DADOS:

an= 570n = 120r = 4a1 = ?Utilizamos a interrogação para indicar o valor de desejamos encontrar,

ou seja, o primeiro termo desta P.A.

476570

4119570

41120570

1

1

1

a

a

a

Neste momento iremos lembrardo princípio de resolução de

uma equação onde a letra deveficar isolada em um dos lados

da equação. Neste caso, o número +476 irá para o 1º

membro (antes do sinal de igual) mas, para tanto, é necessário mudar o

sinal de positivo para negativo.

570 – 476 =a1

94 = a1

IMPORTANTE:IMPORTANTE:IMPORTANTE:IMPORTANTE:

Existem algumas questões que procuram identificar a soma de todos os termos de uma P.A. Neste tipo de questão, iremos levar em conta que esta P.A. representa um conjunto finito de elementos, ou seja, podemos definir o primeiro e o último termo desta seqüência.

Fórmula da soma dos termos de uma Fórmula da soma dos termos de uma P.A.P.A.

2

1 naaS nn

Soma de todos os elementos de uma P.A. finita

Primeiro termo da P.A.

Último termo da uma P.A.

Número de elementosDa P.A.

ExemploExemplo33::ExemploExemplo33::Determine a soma dos 50 primeiros elementos de uma P.A. ondeo primeiro elemento é 8 e o último 102

Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita

Novamente, o procedimento é anotar as informações fornecidas na questão. Porém, neste caso, a questão deseja saber o valor da SOMA de todos os termos, logo iremos utilizar para esta resolução, a fórmula da soma de elementos de uma P.A. finita

DADOS:

a1= 8an = 102n = 50Sn = ?

2

1 naaS nn

21 naa

S nn

27502

55002

501102

501028

n

n

n

n

S

S

S

S

Utilizamos a interrogação para indicar o valor que desejamos encontrar,ou seja, a soma de todos os termos de uma P.A.

ExemploExemplo44::ExemploExemplo44::

rnaan 11

2

1 naaS nn

21 naa

S nn

116

1115

3375

31385

n

n

n

n

a

a

a

a

Determine a soma dos 38 primeiros elementos de uma P.A. ondea razão é 3 e o primeiro elemento 5.

Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.?

Neste tipo de questão é preciso se atentar para o que realmente o problema quer saber. Observado isto, e de posse da informação que a SOMA será o alvo do nosso cálculo, partimos para outro questionamento: Onde está o valor do último termo desta P.A.?

DADOS:

a1= 5n = 38r = 3an = ?Sn = ?

Neste tipo de problema, iremos utilizar duas fórmulas para chegar ao resultado desejado. Primeiro utilizamos a fórmula do termo geral deuma P.A. onde o valor de an será encontrado. Após isto, utilizaremosa fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita.

22992

45982

381212

381165

n

n

n

n

S

S

S

S

O valor de an será substituídona fórmula da soma.