Estatística IAula 7

Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Distribuições de Probabilidade

• Na unidade anterior vimos como descrever uma distribuição de probabilidade e que características devem ser obedecidas para que uma função possa ser característica de uma distribuição de probabilidades.

• Conhecer a distribuição de probabilidade de um • Conhecer a distribuição de probabilidade de um experimento ou fenômeno nos dá uma forma simples de avaliar as probabilidades dos resultados possíveis dos mesmos.

• Os tipos de distribuição podem ser considerados modelos para descrever situações que envolvem resultados aleatórios.

Distribuições de Probabilidade

• Cada modelo de distribuição de probabilidades na estatística, terá seu conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais aquele modelo pode ser utilizado validamente.

• Os objetivos destas duas últimas unidades do seu curso podem ser resumidos nas duas seguintes curso podem ser resumidos nas duas seguintes questões:– Que hipóteses ou restrições básicas são exigidas por cada tipo

de distribuição de probabilidades? O conhecimento deste

aspecto é vital para confrontar uma variável aleatória com a

situação real.

– Como se podem usar as distribuições de probabilidades para

obter soluções de problemas?

Distribuições de Probabilidade

• Se a situação real que você analisa se aproxima fortemente de uma distribuição de probabilidades já conhecida, sua análise fica muito mais simples, como veremos adiante.

A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de

uma distribuição de probabilidades com as especificações

de determinado problema.

Distribuições de Probabilidade

• Nesta unidade veremos as principais distribuições de probabilidade que podem ser aplicadas às variáveis discretas.

Distribuição Binomial

Distribuição de Poisson

Distribuição Hipergeométria.

Distribuição Binomial:Propriedades

• A amostra consiste em um número fixo de observações, n– ex. 15 jogadas de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um

estoque

• Cada observação é classificada como uma de duas categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso– ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ou não

defeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma meninadefeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma menina

– Geralmente chamados “sucesso” e “fracasso”

– Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é igual a 1 – p

• A probabilidade é a mesma para cada observação

– ex. A probabilidade de dar cara é a mesma a cada vez que a

moeda é lançada

Distribuição Binomial:Propriedades

• As observações são independentes– O resultado de uma observação não afeta o resultado da

observação seguinte

• Para assegurar essa independência as observações podem ser selecionadas aleatoriamente, seja a partir de uma– População infinita sem reposição– População infinita sem reposição

– População finita com reposição

Aplicações da Distribuição Binomial

• Uma fábrica que classifica itens como defeituoso ou não defeituoso

• Uma firma que coloca uma proposta para um contrato ter sucesso ou não na conclusão do negócio

• Uma pesquisa de mercado para uma empresa • Uma pesquisa de mercado para uma empresa receber respostas “sim, eu comprarei” ou “não eu não comprarei” o produto da empresa

• Candidatos a um emprego aceitarem ou não a oferta da empresa

• Seu time ganhar ou não um jogo de futebol

Distribuição BinomialTécnicas de Contagem

• Suponha que sucesso seja definido como obter CARA (C) em pelo menos dois de três lançamentos de uma moeda equilibrada. De quantas formas esse “sucesso” pode ocorrer?

• Possibilidades: CCK, CKC, KCC, CCC, logo, há •

quatro diferentes maneiras.

• Essa situação é bastante simples. Nós precisamos de uma forma de contar os sucessos em situações mais complicadas.

Técnicas de ContagemCombinações

• Na Aula 4 aprendemos a usar Combinações para contar de quantas maneiras podemos selecionar X objetos em um conjunto de n objetos:

X)!(nX!

n!

X

n),(C

−=

=Xn

X)!(nX!X −

onde:

n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)

X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)

0! = 1 (por definição)

Técnicas de ContagemCombinações

• De quantas formas diferentes podemos escolher 3 sabores de sorvete se você tem 31 opções de sabores para escolher?

• O total de opções é n = 31, e você escolherá X = 3.

44952953128!123

28!293031

3!28!

31!

3)!(313!

31!

3

31)3,31(C =••=

•••

•••==

−=

=

Distribuição BinomialFórmula

XnX )(1X)!(nX!

n!P(X) −−

−= pp

P(X) = probabilidade de X sucessos em nP(X) = probabilidade de X sucessos em ntentativas, com probabilidade de sucesso p em cada tentativa

X = no. de ‘sucessos’ na amostra,

(X = 0, 1, 2, ..., n)

n = tamanho da amostra (numero de

tentativas ou observações)

p = probabilidade de “sucesso”

Exemplo: lançar uma

moeda 4 vezes, seja x = #

caras:

n = 4

p = 0.5

1 - p = (1 - .5) = .5

X = 0, 1, 2, 3, 4

Distribuição BinomialExemplo

Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações

se a probabilidade de sucesso é 0,10?

X = 1, n = 5, and p = 0,10

32805,0

0,90)(5)(0,10)(

0,10)(1(0,10)1)!(51!

5!

)(1X)!(nX!

n!1)P(X

4

151

XnX

=

=

−−

=

−−

==

−

−pp

Distribuição BinomialExemplo

Suponha que a probabilidade de comprar um

computador defeituoso seja de 0,02. Qual a

probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos

em um lote de 10 computadores?

X = 2, n = 10, and p = 0,02

0,01531

4)(0,8508)(45)(0,000

0,02)(1(0,02)2)!(102!

10!

)(1X)!(nX!

n!2)P(X

2102

XnX

=

=

−−

=

−−

==

−

−pp

Distribuição BinomialForma

n = 5 p = 0,10

0.2.4.6P(X)• A forma da distribuição

binomial depende dos valores de p e de n

• Aqui, n = 5 e p = 0,10 0

0 1 2 3 4 5 X

n = 5 p = 0,50

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

• Aqui, n = 5 e p = 0,10

• Aqui, n = 5 e p = 0,50

Distribuição BinomialCaracterísticas

• Média

• Variância e Desvio Padrão

pnE(x)µ ==

)-(1nσ 2pp= )-(1nσ pp=

Onde n = tamanho da amostra

p = probabilidade de sucesso

(1 – p) = probabilidade de fracasso

Distribuição BinomialCaracterísticas

n = 5 p = 0,10

0.2.4.6P(X)

0,5(5)(0,10)nµ === p

0,10)1(5)(0,10)()-(1nσ −== pp

Exemplos

0

0 1 2 3 4 5 X

n = 5 p = 0,50

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

0,6708=

2,5(5)(0,50)nµ === p

1,118

0,50)1(5)(0,50)()-(1nσ

=

−== pp

Distribuição BinomialExemplo

• A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num certo supermercado aproveita uma promoção especial de sorvete é de 0,30. Determine a probabilidade de que dentre seis pessoas fazendo compras nesse supermercado haja até três aproveitando a promoção.

– Solução: admitindo que a escolha seja aleatória, substituímos n=6, p=0,30 e, respectivamente, x=0, 1, 2, 3 na fórmula da distribuição binomial, otendo:

118,0)70,0()30,0(0

6)0( 60 =

=P

93,0185,0324,0303,0118,0)3(

185,0)70,0()30,0(3

6)3(

324,0)70,0()30,0(2

6)2(

303,0)70,0()30,0(1

6)1(

118,0)70,0()30,0(0

)0(

33

42

51

=+++=≤

=

=

=

=

=

=

=

=

XP

P

P

P

P

Distribuição de PoissonDefinições

• Muitos estudos são baseados na contagem das vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidade

• Uma área de oportunidade é uma unidade contínua ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal que nela possa acontecer mais de uma ocorrência de um eventode um evento

• Exemplos– Defeitos na pintura de uma geladeira nova

– Número de falhas na rede em um determinado dia

– Número de pulgas no pêlo de um cachorro

• Nestas situações você usa a distribuição de Poisson se…

Distribuição de PoissonPropriedades

A distribuição de Poisson é aplicada quando:

– Você estiver interessado em contar o número de vezes em que um

evento específico ocorre em uma determinada área de

oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo,

extensão, área de superfície e assim sucessivamente.

– A probabilidade de que um evento específico ocorra em uma

determinada área de oportunidades é a mesma para todas as áreas

de oportunidades.de oportunidades.

– O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de

oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem

em qualquer outra área de oportunidades.

– A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em

uma determinada área de oportunidades se arpoxima de zero à

medida que a área de oportunidades se torna menor.

Distribuição de PoissonFórmula

X!

λeP(X)

xλ−

=

onde:

X = probabilidade de X eventos ocorram numa área de oportunidade

λλλλ = número esperado de eventos

e = constante matemática aproximada por 2,71828…

Distribuição de PoissonParâmetro λ

• O parâmetro λ (a letra grega minúscula lambda), representa a média, ou o número de sucessos por unidade.

• A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ, e o desvio padrão é igual a λ

Distribuição de PoissonExemplo

• Suponha que, em média, 5 carros entrem em um estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de que em um dado minuto, 7 carros entrem?

• Então, X = 7 e λ = 5

5eλe 75xλ −−

0,1047!

5e

X!

λeP(7)

75xλ

===−−

� Portanto, há uma probabilidade de 10,4% de que 7

carros entrem no estacionamento em um dado

minuto.

Distribuição de PoissonForma

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

P(x

)

X P(X)

0 0.6065

λλλλ = 0,50

0.00

0.10

0.20

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

P(X = 2) = 0,0758

0

1

2

3

4

5

6

7

0.6065

0.3033

0.0758

0.0126

0.0016

0.0002

0.0000

0.0000

Distribuição de PoissonForma

λλλλ = 0,50 λλλλ = 3,00

• O formato da distribuição de Poisson depende do parâmetro λλλλ :

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

P(x

)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

λλλλ = 0,50 λλλλ = 3,00

Distribuição de PoissonExemplo

• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5 acidentes de trabalho por mês. – (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês

nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer?

– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a – (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a

ocorrer?

Distribuição de PoissonExemplo

• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5

acidentes de trabalho por mês.– (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho

venha a ocorrer?

– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer?

• Solução: com λ = 2,5– (a)

0821,0)1()71828,2(

1

!0

)5,2()0(

5,2

05,2

====−e

XP

A probabildade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho ocorra é 0,0821,

ou 8,21%.

– (b)

– A probabilidade de que em um determinado mês haverá pelo menos um acidente de trabalho é

0,9179, ou 91,79%.

0821,0)1()71828,2(!0

)0(5,2

====XP

9179,00821,01)0(1)1( =−==−=≥ XPXP

A Distribuição Hipergeométrica

• A distribuição binomial é aplicável quando selecionamos com reposição em uma população finita ou quando selecionamos sem reposição em uma população infinita.

• A distribuição hipergeométrica é aplicável quando • A distribuição hipergeométrica é aplicável quando selecionamos sem reposição em uma população finita.

Distribuição Hipergeométrica

• “n” experimentos em uma amostra retirada de uma população finita de tamanho N

• Amostra retirada sem reposição

• Os resultados não são independentes

• Permite encontrar a probabilidade de “X” •

sucessos em uma amostra retirada de uma população onde há “A” sucessos

Distribuição HipergeométricaFórmula

−

−

=

n

N

Xn

AN

X

A

XP )(

Onde:

N = tamanho da população

A = número de sucessos na população

N – A = número de fracassos na população

n = tamanho da amostra

X = número de sucessos na amostra

n – X = número de fracassos na amostra

Para entender a fórmula...

• Uma floricultura envia limoeiros de três anos em lotes de 24 e, quando eles chegam ao destino, um inspetor seleciona ao acaso três de cada lote. Se essas três árvores são saudáveis, todo o lote é aceito; caso contrário, as outras 21 árvores do lote também são inspecionadas. Como um lote pode ser aceito sem inspeção adicional, mesmo que haja muitas árvores em más condições, esse procedimento de inspeção envolve um risco considerável. Para ilustrar a magnitude do risco, vamos supor que, na realidade Para ilustrar a magnitude do risco, vamos supor que, na realidade 6 das 24 árvores estejam em más condições e determinemos a probabilidade de que um lote inteiro seja, mesmo assim, aceito sem inspeção adicional. Isso significa que devemos encontrar a probabilidade de três sucessos (árvores saudáveis) em três provas (árvores inspecionadas) e poderíamos ser tentados a argumentar que, como 18 das 24 árvores no lote estão saudáveis, a probabilidade é de 18/24=3/4 que alguma delas esteja saudável...

Para entender a fórmula...

• ... e portanto a probabilidade procurada é

• Esse resultado, obtido com a fórmula da distribuição binomial, seria correto se a amostragem fosse com reposição, mas não é isso que ocorre em problemas reais de inspeção por amostragem. Para obtermos a resposta correta

42,04

1

4

3

3

3)3(

03

=

==XP

inspeção por amostragem. Para obtermos a resposta correta de nosso problema quando a amostragem é sem reposição, devemos raciocinar como segue: há um total de

maneiras de escolher três das 24 árvores, e todas elas são equiprováveis em virtude da hipótese de que a seleção é aleatória. Entre estas, há maneiras de selecionar 3

das 18 árvores saudáveis e decorre, portanto, que a probabilidade procurada é 816/2.024=0,40.

024.23

24=

8163

18=

Para entender a fórmula...

• A expressão da Distribuição Hipergeométrica é uma generalização do método que usamos no caso das árvores.

• Suponha que devamos escolher n objetos em um conjunto de N objetos e que neste conjunto de N objetos haja A que são de um tipo (sucesso) e N-A que sejam de outro tipo (fracasso), que a amostragem seja sem reposição e que estejamos interessados na probabilidade de obter X sucessos e n-X fracassos.sucessos e n-X fracassos.

Para entender a fórmula...

• Argumentando como anteriormente, vemos que é possível escolher n objetos de um conjunto total de N objetos de

maneiras, e que X dos A sucessos e n-X dos N-A fracassos podem ser escolhidos de maneiras. Decorre que,

na amostragem sem reposição, a probabilidade de “x

n

N

−

−

Xn

AN

X

A

na amostragem sem reposição, a probabilidade de “x sucessos em n provas” é

−

−

=

n

N

Xn

AN

X

A

XP )(

Distribuição HipergeométricaCaracterísticas

• A média, ou valor esperado, da distribuição hipergeométrica é:

N

nAE(x)µ ==

• O desvio padrão é:• O desvio padrão é:

1- N

n-N

N

A)-nA(Nσ

2⋅=

1- N

n-NOnde é chamado “Fator de Correção para Populações

Finitas” para amostragens sem reposição de uma população finita.

Distribuição HipergeométricaExemplo

• Computadores são checados em um departamento com 10 computadores. 4 dos 10 computadores tem software ilegal instalado. Qual é a probabilidade de que ao selecionar três para checagem, 2 deles tenham softwares ilegais instalados?

• Então, N = 10, n = 3, A = 4, X = 2

0,30120

(6)(6)

3

10

1

6

2

4

n

N

Xn

AN

X

A

2)P(X ==

=

−

−

==

� A probabilidade de que 2 dos 3 computadores selecionados

tenham software ilegal é de 0,30 ou 30%.