Coeficiente binomial e identidades combinatorias-

El principio de Palomar

Pueden llamarse

Coeficientes Binomiales

Números Combinatorios 

 Combinaciones

Cuando usamos las combinaciones?

Las combinaciones se usan cuando el orden de los objetos no importa a diferencia de las permutaciones.

Que diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación"

descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas,

podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser

exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Con otras palabras:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Una permutación es una combinación ordenada.

Que es una Combinación? Son números estudiados en combinatoria

 que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. 

Colección no ordenada de objetos. Es un conjunto dado de elementos finitos, el

estudio de las diferentes maneras en que se pueden arreglar dichos elementos siguiendo reglas establecidas, es lo que se conoce como combinatoria.

Notación Representación simbólica de los números

combinatorios sin repetición.

Si se eligen r objetos de un conjunto de n objetos distinguibles, el subconjunto resultante se llama combinación de n cosas tomadas de r en r.

Por ejemplo es el número de combinaciones de 6 cosas tomadas de 3 en 3

Notación Si , , el símbolo de combinación

se representa:

Una buena manera de recordar esto es que se quieren r factores en el numerador y en el denominador.

En el numerador, se empieza con n y se va bajando; en el denominador se empieza con r y se va bajando.

La respuesta debe ser un entero. Esto significa que el denominador tiene que dividir exactamente al numerador.

nr 1 rnC

12)...2)(1(

)1)(2)...(2)(1(

!

rrr

rnrnnnn

r

PC rnrn

EJERCICIOS: CALCULAR:

25C

810C

Notación Obsérvese que

Es decir: Además, sabiendo que:

Sustituyendo en:

Se obtiene:

810C 210C

rnC rnnC

)!(!rnn

Prn

!rP

C rnrn

)!(!!rnr

nCrn

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

Donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

Y se le llama coeficiente binomial.

r

n

)!(!

!

rnr

nCrn

Otras notaciones

r

n

)!(!

!),(

rnr

nCrnC rn

Ejemplo Elegir 3 de 16 bolas de billar

O pude ser así:

Triangulo de pascal Puedes usar el triángulo de Pascal para

calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

Ejemplo En la UPV 14 alumnos desean colaborar en

una campaña de limpieza .

A) cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que los grupos consten de 5 alumnos.

B) si entre ellos hay 8 mujeres y 6 hombres, ¿ cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres ?

Respuestas A)

B)

EJERCICIOS 1-Un hospital cuenta con 21 cirujanos, de los

cuales hay que formar ternas para realizar guardias.

¿Cuántas ternas se podrán fusionar?

2- en una clase de alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos modos pude hacerse si

A: los premios son diferentes:B: los premios son iguales:

Teorema del Binomio El numero de r-combinaciones de un conjunto

de n elementos se denota a menudo como . Este número se le conocer también como coeficiente binomial porque aparece como coeficiente en el desarrollo de la expresión .

En esta sección veremos el Teorema del Binomio, que proporciona el desarrollo de la potencia anterior en términos de potencias de a y b y unos ciertos coeficientes, que son los coeficientes binomiales.

Una expresión binomial es simplemente la suma de dos términos, por ejemplo, x + y.

Formula general Sea un binomio de la forma (a+ b) Si a este binomio se le multiplica por si

mismo, se obtienen las siguientes potencias.

De lo anterior a) El desarrollo de tiene n +1 términos b) Las potencias de a empiezan con n en el

primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.

c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n en el último.

d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n .

e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n .

f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término.

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo

EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL

En el desarrollo binomial:

si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces se encuentra que:

El exponente del término b del binomio es: r −1 El exponente del término a del binomio es: n−(r

−1) = n−r +1 El denominador del coeficiente es: (r − 1)! El numerador del coeficiente es: n(n −1)(n − 2) ⋅⋅⋅ (n

− r + 2)

En consecuencia el r-ésimo termino de la expansión de es

Ejemplo. Encontrar el quinto término del desarrollo

Solución: a = x, b = 5 y, n = 6, r = 5

Aplicando la expresión:

El Principio del Palomar Conocido como el principio de la pichoneria,

principio de la cajonera de dirichlet o el principio de la caja de zapatos.

Es útil al responder la pregunta ¿ hay un elemento que tiene una propiedad

dada? Cuando se aplica con existo, solo indica que

existe el objeto

Primera forma

La razón por la que esta afirmación es cierta, se aprecia mediante un argumento por contradicción, si la conclusión es falsa, cada palomar contiene cuando mucho una paloma y , en este caso, se puede rendir cuenta de cuanto mucho k palomas. Como hay n palomas y n>k , se tiene una contradicción.

Se observa que el principio del palomar no establece como localizar el hoyo que contiene dos palomas o más. Sólo asegura la existencia de un hoyo con dos palomas o más.

Para aplicar el principio, debemos decidir que objetos tendrá el papel de palomas y que objetos tendrá el papel de palomares.

Segunda forma

Se reduce ala primera forma si X se define como el conjunto de palomas y Y el conjunto de palomares. Se asigna la paloma x al hoyo f(x)

Ejemplo Demuestren que si se seleccionan 151 cursos

diferentes de computación numerados entre 1y 300 inclusive, al menos dos tienen números consecutivos.

Sean los números seleccionados ….. Los 302 que consisten en los números junto

con ….. Tienen valores que van del 1 al 301. por la

segunda forma del principio palomar, al menos dos de estos valores coinciden. los números son todos diferentes y por lo mismo los números también son distintos.

Entonces debe ocurrir que uno en principio uno y uno en dos son iguales. Así, se tiene

Y el curso ci sigue al cj

Tercera forma

Para probar la tercera forma del principio de palomar se da un argumento por contradicción. Sea Y={y1…..ym}. Supongamos que la conclusión es falsa. Entonces hay cuando mucho k-1 valores hay cuando mucho k-1 valores …..; hay cuando mucho k-1 valores . Entonces hay cuando mucho m(k-1) miembros en el dominio de f .

Pero m(k-1) < m Que es un contradicción, por lo tanto , hay al menos k valores , a1…….ak tales que F( a1)=f(a2)=…..f(ak)

Ejemplo