IFSC / Cálculo I e II Prof. Júlio César TOMIO

Versão A1

PRODUTOS NOTÁVEIS EQUAÇÃO DO 2º GRAU (QUADRÁTICA)

22222)()( babababa 0

2 cbxax com a ℝ* e b , c ℝ

22222)()( babababa Resolução:

a

bx

2

sendo que: acb 4

2

22)).(()).(( bababababa Soma e produto das raízes:

a

bxx e

a

cxx .

FUNÇÃO CONSTANTE

nxf )( ou ny com n ℝ }{Im )( nxf

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

nmxxf )( ou nmxy com m ℝ* , n ℝ

edecrescentéxfm

crescenteéxfmSe

)(0

)(0

funçãodazeroouraizéxxfSe )('0)'(

Equação da reta (reduzida): nmxy Equação da reta (geral): 0 cbyax

Coeficiente angular: tgm ou

AB

AB

xx

yym

Na equação geral:

b

am e

b

cn

Cálculo da equação da reta com dois pontos ),( AA yxA e ),( BB yxB conhecidos: 0

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

Cálculo da equação da reta com um ponto ),( PP yxP e coeficiente angular “ m ”: )( PP xxmyy

Retas paralelas: sr mm Retas concorrentes: sr mm Retas perpendiculares:

s

rm

m1

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (QUADRÁTICA)

cbxaxxf 2

)( com a ℝ* e b , c ℝ

reaisraízestemnãoxf

iguaisreaisraízestemxf

diferentesreaisraízestemxf

Se

)(0

2)(0

2)(0

Coordenadas do vértice: VV YXV , sendo a

bXV

2

e

aYV

4

com acb 4

2

Se: a > 0 Im = { y ℝ / y YV }; YV é o valor mínimo da função e a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se: a < 0 Im = { y ℝ / y YV }; YV é o valor máximo da função e a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Ponto(s) de intersecção entre 2 retas, reta e parábola ou entre 2 parábolas (e assim por diante): Resolver o sistema contendo as respectivas equações das duas figuras em questão. A solução do sistema será o(s) ponto(s) procurado(s).

POTENCIAÇÃO – PROPRIEDADES

10a 11

n

aa

11

n

n

n

aaa

11

n

nn

b

a

b

a

nmnm

aa.

nmnmaaa

.

nm

n

m

aa

a

n mn

m

aa nnnbaba .. niQQ 1.0

Acadêmico(a):______________________________________________________________ Turma: _________________

↳ Taxa de variação

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LOGARITMAÇÃO

Definição: 0,10:log baeaCEbaxbx

a

Conseqüências da definição: 1log aa 01log a mam

a log bbaa

log

Propriedades: bnb a

n

a log.log cbcb aaa loglog)(log

cbcb aa loglog cbcb aaa loglog)/(log

Mudança de base: a

bb

c

ca

log

loglog Bases Padrão: bb

10loglog bb elogln

...718281,2e [Núm. de Euler]

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS [Circulares]

Função Periódica Genérica: )()( dcxsenbaxf ou )cos()( dcxbaxf

Amplitude: || bA Período: ||

2

cp

Desloc. Horizontal:

c

dDH

Desloc. Vertical: aDV

Imagem da Função Seno e Cosseno padrão: 11 xsen e 1cos1 x

Imagem da Função Tangente e Cotangente padrão: xtg e xcotg

Imagem da Função Secante e Cossecante padrão: 1sec1sec xoux e 1cosec1cosec xoux

SIMBOLOGIA MATEMÁTICA

pertence implica / então

não pertence equivalente / se e somente se

está contido = igual

não está contido diferente

contém e

⊅ não contem ou

/ tal que infinito

conjunto vazio { } portanto

qualquer que seja / para todo somatório

existe perpendicular

∄ não existe // paralelo

I existe um único idêntico

união semelhante / congruente

intersecção igual ou aproximadamente

> maior semelhante

maior ou igual ℕ conjunto dos números naturais

≫ muito maior ℤ conjunto dos números inteiros

< menor ℚ conjunto dos números racionais

menor ou igual ℝ-ℚ conjunto dos números irracionais

≪ muito menor ℝ conjunto dos números reais

# cardinalidade ℂ conjunto dos números complexos

! fatorial ABC complementar de A em relação a B

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atg

atgatg

21

22

tgbtga

tgbtgabatg

1)(

TRIGONOMETRIA Relações Trigonométricas para Triângulo Qualquer:

Lei dos Cossenos: Acos2.b.c.cba222 ˆ

Lei dos Senos: 2RCsen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ

Cálculo de Área: 2

Ca.b.senS

ˆ

Relações Trigonométricas Básicas para Triângulo Retângulo:

Teorema de Pitágoras: 222

)()()( catcathip

Relações Trigonométricas: hip

opcatsen ,

hip

adjcatcos ,

adjcat

opcattg

Ângulos complementares: º90

Relações Trigonométricas para um arco x :

1cos22

xxsen x

xsenxtg

cos

xx

cos

1sec

xsenx

1cosec

xsen

x

xtgx

cos1cotg

xtgx22

1sec xx22

cotg1cosec

Transformações Trigonométricas para arcos:

asenbbsenabasen coscos)( senbsenababa coscos)(cos

asenaasen cos22 asenaa 22cos2cos

2

cos1

2

aasen

2

cos1

2cos

aa

a

aatg

cos1

cos1

2

2cos

22

babasenbsenasen

2cos

2cos2coscos

bababa

2cos

22

babasenbsenasen

222coscos

basen

basenba

Triângulos – Classificação:

# Ângulos Internos de um triângulo:

Reto: ângulo de 90º Agudo: 0 < < 90º Obtuso: 90º < < 180º

Observação: A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º.

# Classificação dos Triângulos:

Quanto aos Ângulos: Quanto aos lados:

Acutângulo: Três ângulos agudos Eqüilátero: Três lados iguais [e três ângulos iguais de 60º]

Retângulo: Um ângulo reto Isósceles: Dois lados iguais [e dois ângulos iguais ou congruentes]

Obtusângulo: Um ângulo obtuso Escaleno: Três lados diferentes [e três ângulos diferentes]

R

a

b

c

A

B

C

hip

cat

cat

●

Considerando “a” o maior lado de um triângulo e sendo  o seu vértice oposto, temos que:

Se a2 = b2 + c2 Triângulo retângulo [Â = 90º]

Se a2 < b2 + c2 Triângulo acutângulo [Â < 90º]

Se a2 > b2 + c2 Triângulo obtusângulo [Â > 90º]

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NÚMEROS COMPLEXOS

Conjunto dos Números Complexos (símbolo): ℂ Unidade imaginária: 1i 12 i

Número Complexo z na forma Algébrica/Retangular/Binomial: biaz Conjugado de z : biaz

Operações na Forma Algébrica. Sejam: biaz 1 e dicz 2

Adição: idbcadicbiazz )()()()(21

Subtração: idbcadicbiazz )()()()(21

Multiplicação: ibcadbdacdicbiazz )()())((. 21

Divisão:

22

21

2

1

.

.

zz

zz

z

z Potências de i : 10 i , ii 1

, 12 i , ii 3 , 14 i

Número Complexo z na forma Trigonométrica/Polar: ).cos( seniz

Módulo: 22|||| babiaz Argumento: )arg(z com:

a

btg ou

a

btgarc

Operações na Forma Trigonométrica. Sejam: ).cos(. 1111 seniz e ).cos(. 2222 seniz

Multiplicação: ])(.)(cos[.. 21212121 senizz

Divisão: ])(.)(cos[ 2121

2

1

2

1

seni

z

z

Potenciação: ])(.)(cos.[ nseninz nn (1ª Fórmula de Moivre)

Radiciação:

n

kseni

n

kzw nn

k

2.

2cos com }1,...,3,2,1,0{ nk

Número Complexo z na forma Exponencial: iez . sendo ...7182,2e [nº de Euler] com rad

Representação Geométrica de z no Plano de Argand-Gauss:

Forma Retangular: biaz

Forma Polar: ).cos( seniz

Forma Exponencial: iez .

Relação entre as formas de um número complexo: iesenibiaz .).(cos

Curiosidade [relação entre os cinco números notáveis da matemática]: 01 ie

VALORES TRIGONOMÉTRICOS Conversão graus radianos: 180º rad

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º

sen

0 2

1

2

2

2

3

1 2

3

2

2 2

1

0

1

0

sen

cos

1 2

3

2

2 2

1

0 2

1

2

2

2

3

1

0

1

cos

tg

0 3

3

1

3

∄

3

1 3

3

0

∄

0

tg

z

b

Im

Re

a 0

(2ª Fórmula de Moivre)

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GEOMETRIA PLANA

2

hbStriângulo

2)()()(

cbapcomcpbpappStriângulo

4

32

equiláteroS

2

3

equiláteroh

2quadradoS 2 quadradod

hbSretângulo hbS amoparelelogr

2

dDSlosango

2

hbBStrapézio

2rScírculo 2

2rS circularsetor

rC nciacircunferê 2 rarco

Soma dos ângulos internos de um polígono qualquer: )2º.(180 nSi sendo n número de lados do polígono

Perímetro de uma figura ou polígono: soma dos comprimentos de todos os lados

GEOMETRIA ESPACIAL

Legenda: BS área da figura plana que define a base LS área lateral do sólido

h altura de uma figura plana ou de um sólido TS área total do sólido

V volume (capacidade) do sólido D diagonal do sólido

Prismas:

LBT SSS .2 hSV B

Cubo: 26 aST

3aV 3 aD

Paralelepípedo:

cbaV bcacabST 2 222 cbaD

Cilindro:

hrSL 2 rhrST 2 hSV B ou hrV 2

Pirâmide:

LBT SSS hSV B 3

1

Cone:

LBT SSS hSV B 3

1 ou hrV 2

3

1

Esfera:

3

3

4rV

24 rST

Segmentos Notáveis de um Triângulo Qualquer:

Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.

Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º).

Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.

A Mediana, a Bissetriz e a Altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736).

Pontos Notáveis de um Triângulo Qualquer:

Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.

Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.