Produtos notaveis

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POLINMIOS, PRODUTOS NOTVEISE

FRAES ALGBRICAS

Colgio Trilngue Inovao

7 srie

1

POLINMIOS, PRODUTOS NOTVEIS E FRAES ALGBRICAS O Mdulo composto por uma coletnea de exerccios que tem como objetivo ajud-lo a relembrar itens como: - Colocar em evidncia; - Produtos Notveis; - Mnimo Mltiplo Comum, onde os denominadores so variveis e no nmeros. I. POLINMIOS Polinmios so qualquer adio algbrica de monmios.

1) DEFINIO:

MONMIOS: toda expresso algbrica inteira representada por um nmero ou apenas por uma varivel, ou por uma multiplicao de nmeros e variveis. Exemplos: a) 5m b) p 2 c) 2 xy d) myGeralmente o monmio formado por uma parte numrica chamada de coeficiente numrico e por uma parte literal formada por uma varivel ou por uma multiplicao de variveis. Exemplo: 2mx 2 = 2 mx 2 {Parte Literal

Coeficiente Numrico

Os monmios que formam os polinmios so chamados de termos dos polinmios.

Obs. 1: Obs. 2: Obs. 3:

O monmio 4 ay um polinmio de um termo s.2 x + 4 y um polinmio de 2 termos: 2 x e 4 y .2 x ab + 4 um polinmio de 3 termos: 2 x , ab e 4.

2) OPERAES COM POLINMIOS 2.1. Adio Algbrica de PolinmiosPara somarmos 2 ou mais polinmios, somamos apenas os termos semelhantes. Exemplo:


7 srie

2

a) Obter o permetro do tringulo abaixo:x +1

x2

Como permetro a soma dos lados, teremos: (x + 1) + x 2 + 3x 4x 2 + 3 =

( )

(

)

3x 4x 2 + 32

termos semelhantes

x + 1 + x + 3x 4 x 2 + 3 =termos semelhantes2 2 x2x +3 { 1 4 2x 1 3 + x4 43 + 1 + 3 =

4 x 3x 2 + 4

o resultado um polinmio.

b)

(x

2

4 xy 4

)

(3x

2

+ xy + 2

)

+

(xy)

=

x 2 4 xy 4 3x 2 xy 2 + xy

Primeiro eliminaremos os parnteses tomando cuidado quando houver sinal negativo fora dos parnteses.

x 2 4 xy 4 3x 2 xy 2 + xy =2 x4 33 x2 xy 2 1 24 4 xy xy + 3 4 2 = 144 44 1 3 2

2 x 2 4 xy 6

EXERCCIOS 1) Reduza os termos semelhantes: a) 4a 2 10a 2 6a 2 4a 2 = b) a a + a =2 3 5

2) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)l)

Escreva os polinmios na forma fatorada:4x 5x 3 + 6x 2 = 8a 2 b 2 4ab + 12a 3 b 3 = 15a 3b 2x + 3a 2b3 x 4 =4

5b + 5c + ab + ac =

am + bm + cm + an + bn + cn = x 2 + 2 xy + y 2 =

a 2 + 6a + 9 = m 2 12m + 36 = 4 x 2 16 y 2 =

(5x y + x y ) + ( 3xy2 2 2

m 2 n 2 1 =

2

x 2 y 2 + 2 x 2 y 5x 2 y 2 + 6 x 2 y =

) (

)

m) (2,5x2 x 3,2) + ( 1,4x + 0,7x2 + 1,8) (3,1x2 1,5x 0,3) =

5 1 1 1 1 1 b + a + c c + a b + a + b c = 4 2 8 6 6 3


7 srie

3

2.2.

Multiplicao Algbrica de Polinmios

A multiplicao de um polinmio por outro polinmio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes. Exemplo: a)

(x + 2 y ) (x 2 x )

= x x 2 x x + 2y x 2 2y x = x 3 x 2 + 2 yx 2 2 yx

e fica assim.

b)

(2a + b) (3a 2b ) =

2a 3a 2a 2b + b 3a b 2b = 23a a 2 2 a b + 3 b a 2 b b

=

6a 2 4ab + 3ab 2b2 144 44 2 3termos semelhante s

= 6a 2 ab 2b 2

c)

(2p 1) (p 2 3p + 2)

=

Conserve a base e some os expoentes.

68 7 2p p 2 2p 3p + 2p 2 1 p 2 + 1 3p 1 2 = 2p 3 6p 2 + 4p p 2 + 3p 2 = 2p 3 6p 2 p 2 + 4p + 3p 2 = 1 24 4 3 1232p 3 7 p 2 + 7 p 2

d)

(xy 4x y) (3x y y) =2 2


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4

xy 3x 2 y xy y 4x 2 y 3x 2 y + 4x 2 y y = 3 x x 2 y y xy 2 4 3 x 2 x 2 y y + 4x 2 y 2 =3x 3 y 2 xy2 12x 4 y 2 + 4 x 2 y 2 no h termos semelhantes

Obs.: No item fatorao de polinmios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3.

Diviso Algbrica de Polinmio

Diviso de um polinmio por um monmioA diviso de um polinmio por um monmio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinmio pelo monmio. Exemplo: a) 10 x 4 20x 3 + 15x 2 5x 3 =

(

)

=

10 x 4 20x 3 + 15x 2 5x 3

== = = = =

10x 4

5x 3 5x 3 5x 3 10 4 3 20 3 3 15 2 3 x x + x 5 5 5 2 x1 4 x 0 + 3x 12 x 4 1 + 3x 1 2x 4 1 + 3 2x 4 + 3 x 1 x1

20x 3

+

15x 2

ou

10x 4 20x 3 + 15x 2 5x 3

=

10x 4 20x 3 15x 2 + 5x 3 5x 3 5x 3 / 2x 4 4x 3 3x 2 = 3 + / x x3 x3 / / 2x3 x 3 x2 = 4 1 + 2 / x3 x/ x 3 = 2x 4 + x


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5

b)

(28x y

4 3

7 x 3y4 7 x 2 y2 =

)

Como 7 x 2 y 2 mnimo mltiplo da frao, podemos separar em duas fraes.

=

28x 4 y3 7 x 3 y 4 7x 2 y2

=

28 x 4 y 3 7x3y4 7x 2 y2 7x 2 y2

= 4 x 4 2 y3 2 1 x 3 2 y 4 2 = 4 x 2 y 1 x1 y 2 = 4 x 2 y xy 2 ou28x 4 y3 7 x 3 y 4 7x 2 y2

= =

28 x 4 y 3 7x 3y4 7x 2 y2 7 x 2 y2/ / / / 4 x 2 x 2 y 2 y1 1 x 2 x y2 y2 / / / / / / / / x 2 y2 1.x 2 y 2 / / / /

= 4 x 2 y 1xy2 = = 4 x 2 y xy 2 Obs.: Na parte de fatorao de polinmios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

EXERCCIOS 3) Calcule:a) 5 x( x 3)( x + 4) = b) 3ab(2a + b)(a b) = c) (a 1)(a 2 1)(a + 1) = d) e) f)2 2 2 g) (10a bc + 25ab c 50abc ) =

(5abc )

(35a 21a ) = (7a )4 2 2

4 2 1 2 2 2 2 a b a b + ab 5 7 = h) 2 2ab

(42 y

( x3 y xy3 ) = ( xy )7

i)

24 y5 72 y3 = 6 y2

(

)

)

2a + 3 = 2 5a 2 + 1 j) a

4)a) b)

Escreva os seguintes polinmios na forma mais reduzida:+ a a x 2 2ax 2 = (x y + a )(x 2 y ) a(x + y ) =2

(x

)(

)

c) (a + b c )(a b ) (a b c )(b c ) = d) (x + y )(x y )(3x 2 y ) (x + y )(3x 2 + 2 y 2 ) =


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6

e) (a + x )(2a x )(x + a ) (2a 2 + x 2 ) = f) 3x.(2 x 2 3x 1) = g) x 2 + 5 xy + y 2 .3xy =

[

]

h) 2 x. 1 x 1 = 5 4 2

(

)

i)

3a 3 4a. + = 4 2

II.

PRODUTOS NOTVEIS

No clculo algbrico alguns produtos so muito utilizados, e so de grande importncia para simplificaes realizadas em expresses algbricas. Devido a importncia, estes produtos so chamados de produtos notveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados: 1)2) 3)

(x + y ) (x y ) (x y )2 = (x y ) 3 =

=

x 2 y2

x 2 2xy + y 2 x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3

Todos estes produtos so desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicao em relao adio e subtrao. Se lembrarmos deste detalhe no precisaremos mais decor-los, observemos:

a)

(x y ) (x + y )(x + y )2 (x y )2 (x + y )3= =

=

x 2 + xy yx y 2 / / =

=

x2 y2

b)

( x + y ) (x + y )(x y ) (x y )(x + y ) (x + y )2

x 2 + xy + xy + y 2

=

x 2 + 2 xy + y 2

c)

=

=

x 2 xy xy + y 2

=

x 2 2 xy + y 2

d)

=

=

(x + y ) (x 2 + 2 xy + y 2 )=

=

x 3 + 2 x 2 y + xy 2 + yx 2 + 2 xy 2 + y 3

x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3

Como utilizaremos os produtos notveis?Exemplos para simplificaes: 3x + 3 y 3(x + y ) a) 2 2 produto notvel (x + y ) (x y ) x y

=

3 (x y )

b)

(x + 4)2

=

x 2 + 2.x.4 + 42

=

x 2 + 8x + 16

Obs.:

(x + 4 )2 (x + 4 )2

jamais ser igual a x 2 + 16 , basta lembrarmos que:=

(x + 4 ) (x + 4 )

=

x 2 + x .4 + 4. x + 16

=

x 2 + 8 x + 16


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26

c) (a 2) jamais ser a 3 8 , pois:3

(a 2)3

=

(a 2) (a 2)2

==

(a 2) (a 2 4a + 4)a 3 6a 2 + 12a 8

=

a 3 4a 2 + 4a 2a 2 + 8a 8 { {

EXERCCIOS 5) Desenvolva os produtos notveis:a) b) c) d) e) f) g)

(a + b )2

(a b )2

(2a + 3) (3 x + 4 y )22

h) (2a + 3)(2a 3) i) (4 x + 3 y )(4 x 3 y ) j) y 1 l) m)2

(2a 3)2 (3 x 4 y )2

2 k) (d 2h )2

(a + b)(a b)

( (

5+ 32 1

)(

)(

5 3

2 +1

)

)

6)

Sabendo que a b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 b2.

III.

ALGUNS CASOS DE FATORAO DE POLINMIOS

A fatorao de polinmios ser muito usada para simplificao de expresses algbricas e para obter o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) de fraes algbricas.

1.

Fatorao pela colocao de algum fator em evidnciaObservemos que b o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidncia com o menor expoente.

Exemplos: a) ab b 2

Ento ab b

2

=

b

(a

b)

ab b =

ab =a b

b2 b =

b2 =b b

Ao efetuarmos o produto b (b a ) , voltaremos para a expresso inicial ab b 2 . b) 2ay + 4by2y o fator comum; 2 o mnimo (menor) divisor comum de 2 e 4; Portanto 2y deve ser colocado em evidncia.


7 srie

7

Assim:

2ay + 4by

=

2y

(a

+ 2b )

2ay 2 y =

2ay =a 2y 4by = 2b 2y

4by 2 y =

c) 4bx 3 16bx 2 8b 2 x

Fator comum 2bx (as variveis b e x com seus menores expoentes) 2 o mnimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. Portanto, 2bx deve ser colocado em evidncia.

4bx 3 16bx 2 8b 2 x

=

2bx 2 x 2 8x 4b

(

)

4bx 3 2bx =

4bx 3 = 2x 2 2bx 16bx 2 = 8x 2bx

16bx 2 2bx =

8b 2 x 2bx =

8b 2 x = 4 b 2bx

d) 2m 2 y 2 m3 y 5 = m 2 y 2 2 my3

(

)2m 2 y 2 m 2 y 2 = 2

m3 y5 m 2 y 2 =

m3 y5 m y2 2

= my 3

Obs.: As variveis que aparecem em todos os termos do polinmio aparecero no fator comum sempre com o menor expoente.

EXERCCIO 7) Simplifique as expresses:2 a) (a + b ) =

5a + 5b 5ab + 5a d) = 15b + 15

b) (a + b + c ) x = (a + b + c )x c) (3a + 3b ) =

a+b

e) f)g) h)

9a 2 3ab = 6ab 2b 2

a +b = a + 2ab + b 2 a 1 = a 2 +1 x2 9 = x 2 + 6x + 92


7 srie

9

IV.

FRAES ALGBRICAS As fraes que apresentam varivel no denominador so chamadas de fraes algbricas.

Exemplos:

2 , x

4t , y2

2m t

As operaes de adio, subtrao, multiplicao e potenciao de fraes algbricas so exatamente iguais s operaes realizadas com fraes no algbricas. A seguir trazemos alguns exemplos:

1.

Adio e SubtraoTanto na adio como na subtrao de fraes, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos: 3 1 + a) 2x 4y 3 1 + 2x 4y = 6y + x 4 xy

m.m.c. dos denominadores =4

xy.

4xy 4 y = x 1 = x

4xy =x 4y

4 o m.m.c. de 2 e 4. xy todas as variveis que aparecem nos denominadores comporo o m.m.c. com seus maiores expoentes.

4 xy 2x = 2y 3 = 6y

4xy = 2y 2x

b)

x2 2 y + 2 2 y 3xy 8x

24 o m.m.c. entre 1, 3 e 8; so as variveis com seus maiores expoentes.x 2y 2

M.m.c. entre y, 3xy 2 e 8x 2 = 24 x 2 y 2

24x 2 y 2 y =

24x 2 y 2 = 24x 2 y y

24x 2 y 2 x 2 = 24x 4 y 2Colgio Trilngue Inovao

24x 2 y 2 3xy 2 =

9

24x 2 y 2 7 srie = 8x 3xy 2

8x 2 = 16x

x2 2 y + 2 y 3xy 2 8x

=

24 x 4 y 2 + 16 x 3y3 24 x 2 y 2

VOC SABE A DIFERENA ENTRE MMC e MDC ? Qual a diferena entre m.d.c. e m.m.c.? m.d.c. mnimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em todos os termos) para colocar em evidncia. Ex.: a) 2, 4, 6 m.d.c. 2, pois 2 o menor nmero que divide 2, 4 e 6. b) 10, 15, 20 m.d.c. 5, pois 5 o menor nmero que divide 10, 15 e 20. m.m.c. mnimo mltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos fraes. Qual o mmc de 2,4 e 6 ? Observe: mltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) mltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) mltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6) O nmero 12 o menor dos mltiplos de 2, 4 e 6 por isso chamado de mnimo mltiplo comum.(mmc). No entanto no necessrio recorrer a este modo para determinar o mmc de vrios nmeros. Pode-se usar a regra prtica de a decomposio simultnea em fatores primos..

2, 4,6 1, 2,3 1, 1, 3Ex.: a) b) 2, 4, 6 m.m.c. 12. 10, 15, 20 m.m.c. 60.

2 2 3

1, 1, 1 2.2.3 = 12

10,15, 20 2 5, 15,10 2 5, 15, 5 3 5, 5, 5 5 1, 1, 1 2.2.3.5 = 60

Nos exemplos c e d a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrev-los na forma fatorada. 3 x c) 2 9 3x 3x xFatorando os denominadores:Colgio Trilngue Inovao 7 srie

10

3x x 2 = x (3 x ) 9 3x = 3(3 x ) M.m.c. dos denominadores fatorados x (3 x ) e 3(3 x ) ser: 3x (3 x ) 3 x 3 x Assim = = 2 9 3x x (3 x ) 3(3 x ) 3x xDenominadores fatorados

9 x2 3x (3 x )

3x (3 x ) x (3 x ) = e temos que 3 3 = 9

3x (3 x ) x (3 x )

=3

m.m.c. produto de todos os termos que aparecem nos denominadores

3x (3 x ) 3(3 x ) =

3x (3 x ) =x 3(3 x )

e temos que x x = x 2

Mas ainda podemos melhorar o resultado: (3 x )(3 + x ) = 3 + x 9 x2 produto notvel 3x (3 x ) 3x (3 x ) 3x d)a ay 1 + 2 + 2 ay a y a+y

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: a 2 y 2 = (a y )(a + y ) produto notvelAssim teremos: a ay 1 a 1 1 + + = + + = a y (a y )(a + y ) a + y ay a+y a+y

a (a + y ) + a y + a y a 2 + ay + 2a 2 y = (a + y )(a y ) (a + y )(a y )

m.m.c dos denominadores ser (a + y )(a y )

2.

Multiplicao e diviso de fraes algbricasA multiplicao e diviso de fraes algbricas exatamente igual a de fraes numricas, ou seja no necessrio obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplos:


7 srie

11

2 2y 1 4y 4 2 = = x 3 y 3xy 3xy2 4 4 3 12 12 = 3 b) x = 2 = 1+ 2 2 x x y x y x y x y 3

a)

EXERCCIOS 8. Calcule:a) 3a + 2a a = b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) p) 2 x 5 =

y y y x 3 x 2 x +1 + = x+ y x+ y x+ y a 2a 3a + = b 3b 2b a 2a 3a + = 3x 2 x 4 x 2 3 = 2 4x x 3 a+2 + = a a2 3x + 1 x + 1 = 2x 2 x 11 1 + = a+b ab

3 y a +b ab q) = x y 3a 2a r) = a+3 a+2

s) t) u)

a 5 2a = 3 a5 3x 2 2a 2 y 3 = x 8a ym+ n a b = 2( a b ) m n

2 2 v) m n 3 =

6

mn

b + 2a 2 2a = ab + a b + 1 x2 2 4 x 12 + + x + 2 x 2 x2 4

2 w) x + x 3 x + 6 = x + 1 x2 4

x)

a 2 1 2x = x a +1a 3 = a2 x

a 2b 2 b + 2 + 2 a b a b a+b 2 2 l) a + b a + b + a + b b a ab 2 m) x x 2 12 + 2 = x2 x 4 x+2 n) y 1 + y + 1 4 y = y +1 y 1 y 2 12 o) 3 x + x =

y)

z)

a 2 x2 xy = ax x

3+ x


7 srie

12

9.

Calcule:x+5 2x = 2 x 25 3x4x2 9 a2 = 4 x 2 + 12 x + 9 a

a)

3a f) m 3 2

3

=

g) 2a = 2 b 2 h) 5 x = 3 1

b)

4y

3 i) 2a2 =

5b

c)

d)

a2 ab 2 = (a 2)2 a 2b x y 2 = x2 y 2 42

j) 2ab = c 2 k) 3a b = 2

0

4c

2 l) a =

a b

m) 2 x 3x 4 2

2

=

e) 5a = 7b

ab n) = a +b


7 srie

13

RESPOSTAS 1 Questo: a) 16 a 2

DOS

EXERCCIOS

b)

19a 30(mn - 1).(mn + 1) x 2 y + 5x 2 y 2 - 3xy 2

2 Questo: a) x 2 4x 2 - 5x + 6 b) c)2 2 3

( ) 4ab(2ab - 1 + 3a b ) 3a b x (5a + bx )2 2

d) e) f)

(5 + a)(b + c) (m + n)(a + b + c) (x + y) 2

g) h) i)

(a + 3) 2 (m - 6) 2 (2x - 4y).(2x + 4y)

j) k) l) m)

(3a - 8b + 12c )242

0,1x - 0,9x - 1,1

3 Questo: a) 5x3 + 5x 2 - 60x b) c)6a 3 b - 3a 2 b 2 - 3ab 3 a - 2a + 14 2

d) e) f)

5a 2 - 3- x2 + y2 - 7y + 4y + 12y5 3

g) h) i)

2a + 5b - 10c

j)

5a +

(35ab - 28a + 40b )140

1 a

3 a+ 2

4 Questo: a) a 2 - x 4 - 2ax 2 b) x 2 - 3xy + 2y 2 - 3ay

c) d)

a 2 + bc - ab - c 2 - 5xy 2 - 5x 2 y

e) f)

- ax 2 + a 2 x - 2x 3 - 6x 3 + 9x 2 + 3x

g) h) i)

3x 3 y + 15x 2 y 2 + 3xy 3

x2 x 10 5 3a 2 + 6a

5 Questo: a) a 2 + 2ab + b 2 b) 4a 2 + 12a + 9 c) 9x 2 + 24xy + 16y 2

d) e) f)

a 2 - 2ab + b 2 4a 2 - 12a + 9 9x 2 - 24xy + 16y 2

g) h) i)

a2 -b2 4a 2 - 9 16x 2 - 9y 2

j) k) l) m)

y 2 - y +1 4 d 2 - 4hd + 4h 2

2 1

6 Questo:100

7 Questo: a) a + b b)d

c) d)

3 5 a 3

e) f)

1 (a + b) 1 (a + 1)

g) h)

x-3 x+3 3a 2b


7 srie

15

8 Questo: a) 4a y b) x (x + y ) c) a 6b d) e) f) g)7a 12x

h) i) j) k) l) m) n)

(a

2a2

-b

2

)

o) p) q) r) s) t) u)

b a(b + 1)x 2 + 2x - 4 x -42

9 (3 + x ) 10x 3ya 2 - b2 xy

v) w) x) y) z)

m+n 2 3x (x - 2) 2a-2

(8 - 3x )4x2

(a + b ) (a - b )2a b 4 (x - 2)

6a 2 a 2 + 5a + 6 2a 33xy 2 2 m+n 2(m - n )

x 3a

(a + x )y

a 2 + 5a 6 a (a 2 ) 1 2

(2y - 2 ) ( y + 1)2 x+ y

9 Questo: a) 3 2 x 10 b) c)2x 3 a(2 x + 3)

d) e) f)

g) h) i) j)

4a 6 b44 y3 5x2 125b6/8 a3

k) l) m) n)

9a 4 b 2 16c 2a2 a 2 2ab + b 2 9 x 2 24 x + 16 4x2

a b(a 2 )

25a 2 49b 2 m3 27a 3

1

a 2 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2


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Bibliografia ANDRINI, lvaro. Matemtica. So Paulo: Brasil, 1984. CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemtica Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981. CILLI, Ariodante M. e outros. Matemtica Funcional. So Paulo: Brasil,1983. DANTE, Luiz Roberto. Tudo matemtica. So Paulo: tica, 2005. MALVEIRA, Linaldo. Matemtica Fcil. So Paulo: tica, 1987. SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapec, 2008.


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