Produtos notaveis e_fatorao_novo

FatoraçãoFatoração

8ª Ano8ª Ano

Unidade Temática:Unidade Temática:

Produtos Produtos NotáveisNotáveis

Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santoshttp://iammeatcat.blogspot.com

[email protected]

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:

Quadrado Quadrado da Soma de da Soma de dois termos:dois termos: bb

aa

bbaa

2)( ba

2b

2a

ba.

ba.

22 ..2 bbaa Soma das Áreas=Soma das Áreas=

)).(( baba

Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santoshttp://[email protected]


Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois

termos:termos:

bb

aa

bbaa

2)( ba

2)( ba


[email protected]


Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois

termos.termos.

a - a - bb

a - a - bb

2)( ba

2)( ba

22 ..2 bbaa

Calculando a área Calculando a área que sobrou teremos:que sobrou teremos:

)).(( baba


[email protected]


Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

22 ba

bb

aa

aa

bb

2a

2b


[email protected]


[email protected]ós a subtração Após a subtração

da maior área pela da maior área pela menor área, menor área, marcamos com uma marcamos com uma diagonal separando diagonal separando a área restante a área restante dividindo-a em duas dividindo-a em duas partes, que são dois partes, que são dois trapézios.trapézios.


[email protected]

Após separarmos Após separarmos as áreas, as áreas, registramos registramos algebricamente as algebricamente as partes que sobraram partes que sobraram (lados do trapézio).(lados do trapézio). bb

aa

aa

bb

a - a - bb

a - a - bb

Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

ba.ba.


[email protected] se juntarmos Agora se juntarmos

os trapézios os trapézios formaremos um formaremos um

retângulo de lado retângulo de lado (a + b) e (a - b) e se (a + b) e (a - b) e se calcularmos a sua calcularmos a sua

área vamos encontrar área vamos encontrar (a (a2 2 - b- b22).).

a + a + bb

a -

ba -

b

)).(( baba 2a 22 ba

bb

2b

22 ba


[email protected]

aa

bb

bbaaaa

bb

Considere um cubo Considere um cubo de aresta “a + b”, de aresta “a + b”,

como o da figura ao como o da figura ao lado.lado.

O volume de um cubo O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓde arestas ℓ é ℓ33, , então o volume do então o volume do cubo representado cubo representado pela figura é (a+b)pela figura é (a+b)33. .

O Cubo da soma de O Cubo da soma de dois termos:dois termos:


[email protected] separar as partes em que o cubo está dividido:Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:

Um cubo de aresta “a”.Um cubo de aresta “a”.

Volume: aVolume: a33..

aa

aaaa33

aa


[email protected]

Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, a e b. a, a e b.

Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume atem volume a22b. b.

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3a3a22b.b.

bb

bb

aa22

bbaa

aa22

bb

aa22 bb

aa

aa

aa

bb

aa

aa


[email protected]

Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, b e b. a, b e b.

Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume abtem volume ab22. .

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3ab3ab22..

abab22

abab22

bb

bb

aa

bb

aa

aabb

bb

abab22

bb

Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santoshttp://iammeatcat.blogspohttp://iammeatcat.blogspo

t.comt.commatemabricio1607@hotmamatemabricio1607@hotma

il.comil.com

Um cubo de aresta “b”.Um cubo de aresta “b”.

Volume: bVolume: b33..bb33bb

bbbb

aa22 bb

aa22bb

aa33



il.comil.com

Somando todos esses Somando todos esses volumes temos:volumes temos:

abab223a 3bba23 23ab

Como o volume do todo é igual à Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, soma dos volumes das partes,

temos:temos:

32233 33)( babbaaba

aa22bb

abab22

abab22

bb33



il.comil.com

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo:

23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab



il.comil.com

Portanto:Portanto:

32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).



il.comil.com

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo: 23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab

O Cubo da diferença de dois termos:O Cubo da diferença de dois termos:



il.comil.com

Portanto:Portanto:

32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).



il.comil.comHora da revisão:Hora da revisão:

Diferença de quadrados:Diferença de quadrados:

Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos:

Quadrado da diferença de dois termos:Quadrado da diferença de dois termos:

2)( ba 22 ..2 bbaa 2)( ba 22 ..2 bbaa

)).(( baba

22 ba

Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos:

Cubo da diferença de dois termos:Cubo da diferença de dois termos:32233 33)( babbaaba

32233 33)( babbaaba



il.comil.com

).( axx 2x

Fator ComumFator Comum

FatoraçãoFatoração::

xx

aaxx

2x xa.

xa.

Calculando-se a Calculando-se a Área:Área:



il.comil.com

Fator ComumFator ComumFatoraçãoFatoração

::

)2.(2 aa 2.2 a

22aa

44aa

22aa.4

a.4

aa

Colocando o fator Colocando o fator em evidência em evidência

teremos:teremos:

Fazendo o fator Fazendo o fator comum entre as comum entre as

áreas áreas encontraremos :2aencontraremos :2a



il.comil.com por agrupamento:por agrupamento:

amam

bb

aa

mm nn

)).(( nmba ma. na. nb.mb.

FatoraçãoFatoração::

bmbm

aannbnbn



il.comil.com

Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. termos apresentados, volta-se ao início.

)).(( nmba

ma. na. nb.mb. ).( nma ).( nmb

Aplicando o fator comum Aplicando o fator comum duplamente:duplamente:

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