Produto de Vetores

7/23/2019 Produto de Vetores

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Produto de vetores

Prof. Marcelo


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Produto Escalar

Chama-se produto escalar de dois vetores =, , = , , e se representa por. , ao nmero real

. = + +

Produto escalar de


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ExemploDados os vetores = 4, ,1 = , 2,3 e os

pontos A(4,-1,2) e B=(3,2-1) determinar o valor de tal

que . + = 5

Substituindo e resolvendo a equao dada, temos:

( 1, 3, 3)BA B A

4, , 1 .(( , 2,3) (1, 3,3)) 5

4, , 1 .( 1, 1, 6) 5

4 1 6 5

7

3


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Mdulo de um Vetor

O mdulo de um vetor vetores = , , ,representado por | |, o nmero real no negativo, talque:

2 2 2

. ( , , ).( , , )v v v x y z x y z

v x y z


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ExemploSe = 4,2, 1 seu mdulo ou norma ser:

(4, 2, 1).(4, 2, 1)

16 4 1 21

v

v


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Propriedades do Produto Escalar

Seja , e vetores quaisquer e k um nmeroreal qualquer

1)u. u = |u|2

2). = .

3).( + )= . + .

4) (ku) v= u (kv)=k (.

)


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Clculo do VersorPara calcular o versor de do vetor =4,2, 1 , fazemos:

Chamamos de vetor o versor de e calcula-se daseguinte forma .

16 4 1 21v

1 4 2 1

4, 2, 1 , ,21 21 21 21

vu v


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Clculo do Versor

Observe que o vetor unitrio

16 4 1 21 121 21 21 21

u


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Distncia entre dois pontos

2 1 2 1 2 1

2 2 2

2 1 2 1 2 1

, ,d AB B A x x y y z z

d x x y y z z

A distncia entre dois pontos, j foi discutida, masenfatizando. Seja A = , , B= , , eseja d a distncia de A a B. Logo:


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Exemplo 1

Sabendo que a distncia entre dois pontos A =1,2,3 B= 1,1, 7. Calcule m.

2 2 2

2

2

2

2, 3, 3

2 3 3 7

4 9 6 9 7

6 22 49 0

6 27 0

9

3

d AB B A m

m

m m

m m

m m

m

m


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Exemplo 2Determinar

para que o vetor

= ,

,

seja

unitrio.


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Provar que:

Exemplo 2

2 2 2

2

2 2

2 .

.

. . . . . .

2 .

u v u v u v

u v u v u v

u u v v u v u u u v v u v v

u v u v


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ngulo entre dois vetoresO ngulo entre dois vetores no nulos variaentre 0 e 180. Vamos calcul-lo

2 2 2

2 cosu v u v u v


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ngulo entre dois vetores

2 2 2

2 cosu v u v u v

2 2 2

2u v u v uv


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2 2 2

2 cosu v u v u v

2 2 2

2u v u v uv

1

2


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2 2 cos

cos

uv u v

uvu v

em radianos


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cos

uv

u v

Note que:Se . > 0ento cos > 0 e assim 0 < 90.

Se . < 0ento cos < 0 e assim90 < 180.

Se . = 0ento cos = 0 e assim = 90.


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Condio de Ortogonalidade entredois vetores

Dois vetores so ortogonais, se e somente se, . = 0.

= 2,3 2 = 1,2,4 pois . = 0.


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Exemplo

Calcule o ngulo entre os vetores = 1,1,4 =1,2,2 .


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Exemplo

Sabendo que o vetor = 2,1, 1 forma um ngulode 60 com o vetor , determinado pelos pontosA(3,1,-2) e B(4,0,m). Determine m.


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Exemplo

Determinar os ngulos internos ao tringulo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).


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Projeo de um vetor

Sejam os vetores , com 0 0e ongulo formado entre esses dois vetores.Chamamos de de a projeo de .

. .cos

u v u vw u u

u v v


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Projeo de um vetor

Como os vetores , possuem a mesmadireo ento:

2 2

. .

. .,log

w k v w k v

u v u vk v k

v v v

u v u vk o w v

v v


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Projeo de um vetor

Logo a projeo de um vetor , em um vetor , dada pela seguinte frmula:

2.

vu vw proj u vv


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Exemplo

Determine a projeo de um vetor = (2,3,4),em um vetor = 1,1,0 .


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Produto Escalar no R2

Se = , = , ento

1). = +

2) .

3)

4)

2 21 1.u u u x y

cos uv

u v

2

..

v

u vw proj u v

v


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Produto Vetorial

Dados os vetores = , , =, , tomados nesta ordem. Produtovetorial de dois vetores e x .

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v y z z y i x z z x j x y y x k


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:

Produto Vetorial

Uma melhor forma de representar o produtovetorial seria pela seguinte matriz:

Vamos comparar:

1 1 1

2 2 2

i j k

u v x y z

x y z



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:

Produto Vetorial

Calcule o produto vetorial dos vetores =5,4,3 = 1,0,1

5 4 3

1 0 1

i j k

u v

4.1 3.0 5.1 1.3 5.0 4.1

4 2 4

u v i j k

u v i j k


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:

Produto Vetorial - Propriedades

1) x = 0 .

1 1 1

1 1 1

0

i j k

u u x y z x y z

u u


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:


2) x =

x

.

1 1 1

2 2 2

i j k

u v x y z

x y z



32/33

:


2 2 2

1 1 1

i j k

v u x y z

x y z

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v z y y z i z x x z j y x x y k

Logo podemos concluir que x = x .


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:


3) x + =

x

+ x

)

1 1 12 3 2 3 2 3

i j k

u v x w x y z

x x y y z z


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