Nome: Nº: Turma:3º ANO A

Disciplina: FÍSICA Professores: CÉSAR AUGUSTO Data: ___/___/___.

AULAS 03 E 04 GRANDEZAS VETORIAIS E OPERAÇÕES COM VETORESRESUMO GERAL

1. Grandezas Vetoriais e VetoresVETORÉ todo segmento de reta que possui direção e sentido específicos.

VETORES EQUIPOLENTESDois segmentos orientados são equipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido.

F = v

VETORES SIMÉTRICOS OU OPOSTOSSão vetores que têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos diferentes.

a = −c

2. Operações com VetoresA) Soma Vetorial ou Vetor Resultante (R)

I. Métodos Geométricos

• Regra do PolígonoProcedimento básico: Na extremidade do 1º vetor liga-se a origem do 2º vetor e assim por diante. O vetor-soma liga a origem do 1º vetor com a extremidade do último vetor.

V=V 1+V 2+V 3+V 4

• Regra do ParalelogramoProcedimento básico: Ligam-se as origens dos vetores. Traça-se uma linha pontilhada paralela a cada vetor, partindo da extremidade do outro vetor. O vetor soma tem origem nas origens dos vetores dados e extremidade no cruzamento das linhas pontilhadas:

V=V 1+V 2II. Métodos Analíticos

Regra Geral: Método do Paralelogramo

onde cos é o valor do cosseno do ângulo formado entre os vetores A e B.

• Casos Particulares da soma vetorial

CASO 1: Vetores de mesma direção e mesmo sentido.Neste caso, temos = 0° ⇒ cos 0° = 1. Assim:

R² = A² + B² + 2AB ∴ S = A + B

CASO 2: Vetores na mesma direção e em sentidos opostos.Temos = 180° ⇒ cos 180° = -1. Assim:

R² = A² + B² – 2 AB ∴ S = A – B

CASO 3: Vetores Perpendiculares.

= 90° ⇒ cos 90° = 0. Logo: R² = A² + B²

Deste modo, chegamos a conclusão que:

|v2 – v1| ≤ R ≤ v2 + v1

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Educação Infantil - Ensino Fundamental e Médio

EXERCÍCIOS

Propriedades da Soma de vetores

B) Subtração Vetorial (D)Subtrair dois vetores consiste em somar o primeiro com o simétrico (oposto) do segundo. O vetor oposto de um vetor dado é outro vetor que tem a mesma direção, o mesmo módulo, mas sentido contrário ao vetor dado.

C) Multiplicação de um vetor por um número realAo multiplicarmos um vetor por um número real,

estamos apenas aumentando o seu módulo ou também podemos mudar o seu sentido, quando o multiplicamos por um número negativo. Define-se o produto de um número m por um vetor ucomo o vetor muque tem:• direção: a mesma que u ;• sentido: o mesmo que use m é positivo e oposto ao de use m é negativo.• módulo: é o módulo de umultiplicado pelo valor absoluto de m. Se m = 0 o vetor m·u é o vetor-nulo, um vetor que tem módulo igual a zero e se representa por 0. Quer dizer, 0·u=0.

TÓPICO AVANÇADOI – Produto EscalarChama-se produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u e v o número real representado por u v e calculado por:

u v = ¿ u∨¿ v∨cos

ucosO produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real como resultado.

II – Produto VetorialEste tipo de produto gera como resultado um vetor. Define-se esta operação pela relação: a×b = ab sen θ

Regra da mão direita para o produto vetorial

D) Decomposição de um vetor – Componentes OrtogonaisVamos tomar, por uma questão de simplicidade, um sistema com dois eixos ortogonais (x e y). Esses dois eixos estão contidos num plano. Consideremos um vetor v nesse plano. A componente x do vetor v (designada por vx) é dada pela projeção do vetor v no eixo x. Para determinarmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo, consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo até encontrá-lo. Agora tomamos essa distância como a projeção se a flecha estiver na mesma direção do eixo. Caso contrário, a projeção será essa distância, mas com sinal negativo. A projeção, portanto, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação ao eixo. A projeção fica definida, matematicamente, em termos do ângulo (entre o vetor v e o eixo x). Podemos escrever:

Analogamente, a componente y é a projeção do vetor v ao longo do eixo y. A expressão para v yé, em termos de ,

Forma linear de um vetorDefinimos vetor unitário a todo vetor que possui exatamente o módulo igual a 1 unidade arbitrária (u. a.), além de sua direção e sentido específicos.Em um sistema de coordenadas cartesianas (x,y), os vetores unitários são representados respectivamente por i e j . Estes vetores são úteis para, por exemplo, expressar outros vetores

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em termos de suas projeções ortogonais.Pode-se escrever:

EXERCÍCIOS1. Marque (C) para as afirmativas certas e (E) para as erradas.(1) Dois vetores possuem a mesma direção e o mesmo

módulo, logo estes vetores são iguais.(2) Dois vetores possuem a mesma direção e sentido, logo

são iguais.(3) Dois vetores possuem a mesma direção, logo são

paralelos.(4) É correta a indicação:F= 15 N.

(5) É correta a indicação: |F∨¿ =15N.(6) É correta a indicação F= 15N.(7) É correta a indicação:F = 0.

2. Dados os vetores abaixo, represente graficamente o vetor resultante e determine o módulo das somas a seguir solicitadas:

3. Ainda em relação aos vetores do exercício 2, marque (C) para as afirmativas certas e (E) para as erradas.

4. (ACAFE) — Assinale, entre as opções abaixo, aquela que completa corretamente a afirmativa:‘Grandezas vetoriais são aquelas que necessitam de ________ ________, ________ e ________ para serem perfeitamente definidas”. a) valor numérico; desvio; unidade; direção;b) desvio; sentido; direção; módulo;c) valor numérico; unidade; direção; sentido;d) módulo; vetor; padrão; quantidade;e) padrão; valor numérico; unidade; sentido.

5. (FATEC) Um ponto material movimenta-se a partir do ponto A, sobre o diagrama anexo da seguinte forma: 6 unidades (u) para o sul; 4 u para este e 3 u para o norte. O módulo do deslocamento vetorial desse móvel foi de:

a) 13u b) 7 u c) 1 ud) 5 u e) 3u

6. (UNATEL) João caminha 2 metros para oeste e depois 6 metros para o sul. Em seguida, caminha 11 metros para leste.

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Em relação ao ponto de partida, podemos afirmar que João está:a) a 10 m para sudeste; b) a 10 m para sudoeste; c) a 14 m para sudeste; d) a 14 m para sudoeste; e) a 20 m para sudoeste.

7. (UFRS) Em águas paradas, um barco desenvolve uma velocidade máxima de 6 m/s. Esse barco é usado agora para navegar em um rio, na mesma direção da correnteza, cuja velocidade é de 4 m/s, relativamente à margem. Com que velocidade máxima, em m/s, pode-se deslocar o barco, relativamente à margem quando (I) navega no mesmo sentido da correnteza e (II) navega em sentido contrário ao da correnteza?

8. (ACAFE — SC) — Analisando a figura abaixo, afirma-se que:

9. Dado o diagrama vetorial abaixo, marque (C) para as afirmativas certas e (E) para as erradas.

10. O vetor assinalado no mapa representa o deslocamento de um móvel sobre a região mapeada, na direção 60° noroeste. Se o módulo do vetor assinalado é igual a 2.000 m, qual foi, nessa etapa, o módulo do deslocamento do móvel na direção leste-oeste? E na direção norte-sul?

11. Sobre um ponto material atuam 3 forças, conforme figura a seguir O módulo, direção e sentido da resultante do sistema de forças são:(Observação: Considerar sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87)

12. (UNIFESP-2006) Suponha que um comerciante inescrupuloso aumente o valor assinalado pela sua balança, empurrando sorrateiramente o prato para baixo com uma força F de módulo 5,0N, na direção e sentido indicados na figura.Dados: sen 37° = 0,60; cos 37º = 0,80; g = 10m/s²Com essa prática, ele consegue fazer com que uma mercadoria de massa 1,5kg seja medida por essa balança como se tivesse massa dea) 3,0kg. b) 2,4kg. c) 2,1kg.d) 1,8kg. e) 1,7kg.

13. (Vunesp-1998) No ensino médio, as grandezas físicas

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costumam ser classificadas em duas categorias. Na primeira categoria, estão as grandezas definidas apenas por um número e uma unidade de medida; as grandezas da segunda categoria requerem, além disso, o conhecimento de sua direção e de seu sentido.a) Como são denominadas as duas categorias, na sequência apresentada?b) Copie a tabela seguinte em seu caderno de respostas e preencha corretamente as lacunas, indicando uma grandeza física da área de mecânica e outra da área de eletricidade, para cada uma dessas categorias.

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