CRANIZAÇÃOPRODUTO DE VETORES

by Sean Mardem

1. Dados os vetores:~u = (1, a,−2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a,−1, 1),

determine a, de modo ~u.~v = (~u + ~v).~w.

(1, a,−2a − 1).(a, a − 1, 1) = [(1, a,−2a − 1) + (a, a − 1, 1)].(a, −1, 1)

(a + a(a − 1) − 2a − 1) = [(a + 1), a + a − 1, 2a − 1 + 1].(a,−1, 1)

a + a2 − a − 2a − 1 = [a + 1, 2a, −2a].(a,−1, 1)

a2 − 2a − 1 = a.(a + 1) − (2a − 1) − 2a

a2 − a2 − 2a − a + 2a + 2a = 1 + 1

a = 2

2. Dados os pontos A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determine o vetor

→ x tal que

2 →

x − →

AB = →

x + (→

BC. →

AB) →

AC

→ AB = B − A = (−4 + 1, 1 − 0, 1 − 2) = (−3, 1, −1)→

BC = C − B = (0 + 4, 1 − 1, 3 − 1) = (4, 0, 2)→

AC = C − A = (0 + 1, 1 − 0, 3 − 2) = (1, 1, 1)→

BC. →

AB = 4.(−3) + 0.1 + 2.(−1) = −12 − 2 = −14

(→

BC. →

AB)AC = (−14.1,−14.1,−14.1) = (−14,−14,−14).Portanto,

2 →

x − →

x = (−14,−14,−14) + (−3, 1,−1) ⇒→

x = (−17,−13,−15)

4. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3

→BA − 2

→BC.

3 →

BA − 2 →

BC = 3.[(1, 2, 3) − (−6,−2, 3)] − 2[(1, 2, 1) − (−6,−2, 3)] ⇒3−→ BA − 2−→ BC = 3.[(7, 4, 0)] − 2[(7, 4,−2)] ⇒

3 →

BA − 2 →

BC = (21, 12, 0) − (14, 8, −4) 3⇒ →

BA − 2 →

BC = (7, 4, 4)Calculo do Modulo:

|3 →

BA − 2 →

BC| = √72 + 42 + 42 |3⇒ →

BA − 2 →

BC| = √49 + 16 + 16 ⇒

|3 →

BA − 2 →

BC| = √81 |3⇒ →

BA − 2 →

BC| = 9Calculo do versor:

3 →

BA − 2 →

BC =

|3 →

BA − 2 →

BC| (7, 4, 4) 9

3 →

BA − 2 →

BC =

|3 →

BA − 2 →

BC|7/9, 4/9, 4/9

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)

3. Determinar o vetor →

v, sabendo que (3, 7, 1) + 2

→v = (6, 10, 4) −

→v.

(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)

Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x 3x = 3 x = 1⇒ ⇒Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y y = 1⇒Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z z = 1⇒

→ v = (1, 1, 1)