VETORES

A

B

DEFINIÇÃO:

É um ente matemático utilizado para

representar grandezas físicas vetoriais.

A B

Lemos: Vetor A e Vetor B

origem

origem

extremidade

extremidade

Massa Tempo Temperatura

GRANDEZA ESCALAR

Possui valor numérico e unidade

Força Velocidade Aceleração

GRANDEZA VETORIAL

Possui valor numérico,unidade,direção e sentido

GRANDEZAS FÍSICAS

Tudo que pode ser medido

•Grandezas Escalares – Grandezas que ficam bem definidas apenas com o módulo, sem estarem associadas a qualquer direção: área de um terreno, massa,

volume de uma caixa d’água, etc.

Grandezas físicas Vetoriais – Grandezas Vetoriais são aquelas que para

ficarem bem representadas necessitam de: Módulo, Direção e Sentido.

•Ex. : velocidade, aceleração, momento, força, etc.

Módulo: É representado graficamente

através do tamanho do vetor ou através de

um valor numérico acompanhado de unidade.

Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e

pode ser informada através de palavras

como: horizontal, vertical, etc.

Sentido: É a orientação do vetor dada pela

seta e também pode ser informada através de

palavras como: para esquerda, para direita,

do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

Características de um vetor:

Exemplo 1:

A

Módulo: 3 cm

3 cm Direção: Vertical

Sentido: Para cima

Vetor A

Exemplo 2:Módulo: 5,5 cm

Direção: HorizontalVetor B

B

Sentido: Para esquerda

Operações com Vetores

1. Soma

2. Subtração

3. Decomposição de vetores

4. Multiplicação

5. Divisão

1. Soma de vetores

1. 1 Vetores de Direções e Sentidos

iguais:

BA

A + B

O módulo do resultante é dado pela soma

dos módulos dos dois vetores.

O sentido do vetor soma é o mesmo de A e

de B.

1.2. Vetores de mesma Direção e Sentido

opostos:

BA

A + B

Nesse caso o vetor soma terá o sentido do

maior deles (o sentido do vetor B)

O módulo da soma será dado por B – A , ou

seja, o maior menos o menor.

Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais

podemos utilizar duas regras, a do polígono e

a do paralelogramo.

A regra do polígono é muito útil quando

precisamos somar três ou mais vetores

enquanto a regra do paralelogramo deve ser

aplicada com grupo(s) de dois vetores.

Regra do Polígono e do Paralelogramo

1.3 – Vetores de direções e sentidos diferentes

1.3.1 Regra do Polígono

Sejam os vetores abaixo:

A

BC D

Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos

iniciar com qualquer um deles, veja como se

utiliza a regra do polígono:

C

D

A

BSoma

Após terminarmos

ocorre a formação de

um polígono.O VETOR RESULTANTE (VETOR

SOMA) É UM VETOR QUE LIGA A ORIGEM DO PRIMEIRO COM A

EXTREMIDADE DO ÚLTIMO VETOR.

V1

V3

V2

5. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a

seguir, obtenha graficamente a soma vetorial:

V1

V2

a) V1 + V2

VR

V1

V3

V2

b) V1 + V2 + V3

VR

1.3.2 Regra do ParalelogramoSejam os vetores abaixo:

B

Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:

A

A

B

Vamos fazer traços paralelos

aos lados opostos.

Soma = A + B

Teorema de Pitágoras

Não importa a regra utilizada, se tivermos dois

vetores perpendiculares entre si, teremos o

mesmo vetor resultante e seu módulo pode

ser determinado utilizando o TEOREMA DE

PITÁGORAS:

Regra do Polígono:

AA

B

B

Regra do Paralelogramo:

S

S

S2 = A2 + B2

h2=a2+b2

Relações fundamentais em um triângulo retângulo.

1. Teorema de Pitágoras:

a ² = b ² + c ²

2. Seno ( q ) :

Sen q = b / a

3. Cosseno ( q ) :

Cos q = c / a

a = hipotenusa ; b = cateto oposto a q ; c = cateto adjacente a q

4. Tangente (q) :

Tg (q) = b / c

ab

c

q

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º

q

B

BAC

=

LEI DOS COSSENOS (Regra do Paralelogramo)

A

2 2 2 2 . .cosC A B A B q=

C

q

ou

Pois cos q = - cos

e

( + q) = 180o

A’

B’

𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ cos 𝜃

𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 ⋅ cos 𝛼

Ex. Dados a= 12 cm e b= 8cm, calcule o módulo do vetor , cujo

ângulo é 120º.

R= 10,6 cm

𝑅 = Ԧ𝑎 + 𝑏

2. SUBTRAÇÃO DE VETORES

ou

ou

(Regra do Paralelogramo)

A

B

B

A

BA

A

A

)( BABA

=B

B

orig

em

extre

mid

ade

Regra do polígono

A+(-B)

BA

is

and, vectorsamong iprelationsh the

describeshat equation t vector The-3 Ex.

CBA

CBAe

CBAd

BACc

ACBb

ACBa

=

=

=

=

=

)

)

)

)

)

R= letra B

x

y

Vx

Vy

V

Componentes retangulares de um vetor

V = Vx + Vy

V2 = Vx2 + Vy

2

tg θ = Vy/ Vx

VsenV

VV

y

x

=

= cos

3. Decomposição (Projeção) de vetores

Exemplo-6Ex. 3.2 Halliday - Um pequeno

avião decola de um aeroporto

em um dia nublado e é

avistado mais tarde a 215 km

de distância, em um curso que

faz um ângulo de 220 a leste do

norte. A que distância a leste e

ao norte do aeroporto está o

avião no momento em que é

avistado?

Sol:

Θ= 90 – 22 = 680

dx = d cos 68 = = 215. 0,375 =81 km

dy = d sen 68 = 199 km

Assim o avião foi avistado a 81 km a leste e a

199 km ao norte do aeroporto.

Norte

Leste

4. Multiplicação de vetores

4.1 um vetor por um escalar

4.2 um vetor por um vetor

- 4.2.1 Produto Escalar

-4.2.2 Produto Vetorial

4.1.Multiplicação de vetores por números

reais (escalar)

A

Tomemos como exemplo um vetor A:

Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:

3 A

A A AComprove:

-2 A

Comprove:

Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:

Vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é igual a um. Eles são

geralmente designados por orientados nos eixos x; y e z respectivamente.Sua única função é especificar uma direção e um sentido. Assim, um vetor pode

ser expresso como uma soma de três vetores, cada um paralelo a um dos eixos

coordenados:

Vetores Unitários

keji

;

kAjAiAA zyx

=

Se tivermos mais vetores procedermos do seguinte modo para somá-los: ex. Adição

de dois vetores

kBAjBAiBABA

kBjBiBkAjAiABA

zzyyxx

zyxzyx

)()()(

)()(

=

=

y

xA

BC

xC

yC

xA

yA

xB

yB

Componentes do Vetor Resultante:

yyy

xxx

BAC

BAC

=

=

Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵

Exemplo 3.4

A figura mostra três vetores:

a = (4,2m)î – (1,5m)^j

b = (-1,6m) î + (2,9m)^j

c = (-3,7m)^J

Qual é o seu vetor soma r ?

-1,5

-3,7

4,2

a

b2,9

r

θ-1,6

c

R = rx + ry

Rx= ax + bx+ cx

Rx=4,2m-1,6m+0= 2,6m

E

Ry= ay+ by+cy

Ry= -1,5m + 2,9m – 3,7m = -2,3m

logo= r = 2,6 î - 2,3 ^j

R= (√(2,6)2 + (-2,3)2 )= 3,5 m

E o ângulo medido é

θ= tan-1= (-2,3 / 2,6) = -41º

O sinal negativo indica que o

ângulo esta medido no sentido

horário

r-2,3j

2,6î2,6

-2,3

4.2 - MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM

VETOR4.2.1 – PRODUTO ESCALAR

resulta em um escalar

E o ângulo entre

i . i = 0o

j . j

K . k cos 0o = 1

E

i . j = 90o

j . K

k. i cos 90o = 0

Obs. A propriedade é comutativa

abba

.. =)(

)(

.

:

)ˆˆˆ).(ˆˆˆ(.

:

cos.

222

222

módulobbbb

móduloaaaa

onde

babababa

kbjbibkajaiaba

onde

abba

zyx

zyx

zzyyxx

zyxzyx

=

=

=

=

=

Exemplo 3.7 Halliday - Qual é o ângulo entre a.b

kib

e

jia

ˆ0,3ˆ0,2

ˆ0,4ˆ0,3

=

=

A= 5; b= 3,6; a.b=-6,0 ; ângulo = 109,5 = 110 graus.

3.2 Multiplicação de um vetor por um vetor3.2.1 Produto vetorial

jkXijiXk

ijXkikXj

kiXjkjXi

kXkjXjiXi

onde

kabbajabbaiabbabXa

kbjbibXkajaiabXa

onde

absenbxa

cbxa

yxyxxzxzzyzy

zyxzyx

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆˆˆ

:

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

:

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

==

==

==

===

=

=

=

=

)( aXbbXa

=

A propriedade comutativa

não é aplicada

Sentido horário (-)

Exemplo 3.9 Halliday

?

;ˆ3ˆ2

;ˆ4ˆ3

bXac

kib

jia

=

=

=

R= -12i – 9j – 8k

5. Divisão de vetores por números reais

B

Tomemos como exemplo um vetor B:

Se desejamos obter o vetor B / 2, teremos:

B / 2

Posição, velocidade e aceleração:

r

Vetores Posição e velocidade: O vetor posição de uma partícula P é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas até a posição da partícula:

( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k=

O vetor posição r para uma partícula é a

soma Vetorial de suas componentes vetoriais

Vetor deslocamento )( r

A variação da posição da partícula no decorrer do tempo é o vetor deslocamento

2 1r r r =

2 (9 ) (2 ) (8 )r m i m j m k=

Exemplo 4.1O vetor posição de uma partícula é inicialmente r1 e depois passa a ser r2. Qual é o deslocamento da partícula.

1 ( 3 ) (2 ) (5 )r m i m j m k=

rO X

Y

z

(-3m)î

(2m)^j

(5m)^k

9mi

2mj

8mkr1

Δr

r2 Δr = r2 – r1

Δr =[(9i+2j+8k) – (-3i+2j+5k)]

Δr =[(9i+3i) +(2j-2j) +(8k-5k)]

Δr =12i + 3k

Δr =(12m)î + (3m)k

E o módulo é:

Δr= 12,37m

Sol.:

Velocidade média )( médv

O vetor velocidade média é a razão entre o deslocamento e o

intervalo de tempo 12 ttt =

t

rvméd

=

Velocidade instantânea )(v

Define-se o vetor velocidade instantânea como o limite do

vetor deslocamento quando )0( t

dt

rd

t

rv

t

=

=

0lim

jvivjdt

dyi

dt

dxv

ou

jt

yi

t

x

t

jyix

t

rv

yx

tttt

ˆˆˆˆ

ˆlimˆlimˆˆ

limlim0000

==

=

=

=

Exemplo4.3 e 4.44.3-Para o coelho do exemplo anterior encontre avelocidade vetorial no tempo t = 15s, na notação devetores unitários e na notação de módulo – ângulo.

4.4 -Encontre a aceleração vetorial

Vx = dx/dt = d/dt (-0,31t2+7,2t +28)= - 0,62 t + 7,2

Para t = 15 s, Vx = -2,1 m/s

Vy = dy/dt = d/dt( 0,22 t2 – 9,1 t +30) = 0,44 t – 9,1

Para t = 15 s, Vy = - 2,5 m/s

Logo, V = (-2,1 m/s) i + (-2,5m/s) j (not. vetores unit.)

E Para o módulo calculamos: Vr2 = vx

2 + vy2

Vr = 3,3 m/s e para achar o ângulo fazemos:

tan q = vy/vx = tan-1 (-2,5/-2,1) q = 50o .

Como o sentido é horário e esta no 3 quadrante 180 – 50 = 130º

Como o sentido é horário = -130

ax= dvx/dt = d/dt (-0,62t +7,2) = -0,62 m/s2

ay= dvy/dt = d/dt (0,44t -9,1) = 0,44 m/s2

a = (-0,62 m/s2) i + 0,44 m/s2)j (notaç. vet. Unit.)

Logo o módulo de a é:

a2= ax2+ay2= (-0,62)2+(0,44)2)1/2 ; ar=0,76m/s2

p/ obter o ângulo tg θ= 0,44/-0,62 = -0,71

θ= - 35º. Como esta no 2º. Quad. 180 + 35= 215o.

Como está no sentido horário = -215o

X(m)

Y (m)

-0,62

0,44

X(m)

Y (m)

-2,1

-2,5

vr

-130º

-215o.

ɵ

Aceleração média ( )méda

O vetor aceleração média é a razão entre a variação da

velocidade e o intervalo de tempo

12 ttt =

méd

va

t

=

A aceleração instantânea é o limite desta razão quando

)0( t

0lim

t

v dva

t dt

= =

kajaiakdt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

zyx ˆˆˆˆˆ ==

Exemplo 9:A posição de uma bola de beisebol é dada por r. Obtenha sua velocidade e sua aceleração.

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1,5 (12 / 16 / ) 4,9 / .r mi m si m sj t m s jt=

2 2ˆ ˆ ˆRe .: (12 / ) [16 / (9,8 / ) ] ; ( 9,8 / )sp v m s i m s m s t j a m s j= =

V= dr/dt = (12 i + 16 j) – 2 (4,9) j t

= (12 m/s) i + (16 m/s) j – (9,8 t m/s2)j

= (12 m/s) i + [(16 m/s) – (9,8 m/s2) t] j

a=dv/dt = – (9,8 m/s2) j