Problemas MAI 15 16

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MECNICA APLICADA I

2015/16

PROBLEMAS PARA AS AULAS PRTICAS

Mestrado Integrado em Engenharia Mecnica

Mestrado Integrado em Engenharia e Gesto Industrial

Licenciatura em Engenharia Geolgica

Mecnica Aplicada I

Aulas Prticas Ano Lectivo 2015/16

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PLANEAMENTO DAS AULAS PRTICAS

Aula Semana Resumo

1 8 14 Set. Esttica dos pontos materiais no plano

2 15 21 Set. Esttica dos pontos materiais no espao

3 22 28 Set.

Equilbrio de corpos rgidos no plano e no espao

Mini-teste aula prtica da semana de 29 Set. 5 Out.

4 29 05 Out. Equilbrio de corpos rgidos no espao

5 06 12 Out. Anlise de trelias

6 13 19 Out. Anlise de trelias/Centrides e centros de gravidade

7 20 26 Out. Centrides e centros de gravidade

Teoremas de Pappus-Guldinus

8 27 Out. 02 Nov. Momentos de inrcia de superfcies

1 Teste 31 Outubro

9 03 09 Nov. Momentos de inrcia de superfcies e massas

10 10 16 Nov. Anlise de vigas

11 17 23 Nov. Anlise de vigas + Trelias

12 24 30 Nov. Atrito + Princpio dos trabalhos virtuais

13 01 04 Dez. Revises para o 2 Teste

2 Teste 5 Dezembro

Mecnica Aplicada I


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1 AULA - EQUILBRIO DA PARTCULA NO PLANO

Problema 1 Considere a estrutura representada na

figura, utilizada numa escavao. A

fora mxima que a corda pode suportar

de 5.8 kN, determine a altura h

mxima a que o balde E pode ser

elevado. O peso do balde 3 kN.

Problema 2 Um caixote de 2.67 kN suportado por vrios

conjuntos de roldanas, representados na figura.

Determine, para cada conjunto, a fora de

traco que necessrio exercer na corda.

Problema 3 A figura representa uma fora Q aplicada na roldana C, que pode rolar sobre o cabo ACB.

A roldana mantida na posio indicada por um segundo cabo, CAD, que passa sobre a roldana

A e suporta uma carga P = 750 N.

a) As foras que actuam num corpo podem ser classificadas em foras internas e foras externas. Diga como distingue estes dois tipos de foras?

b) Construa os diagramas de corpo livre identificando claramente a direco e sentido das foras, para a roldana C e para o conjunto constitudo pela roldana A e pela haste vertical que a prende

ao tecto.

c) Determine a intensidade da fora de traco no cabo ACB.

d) Determine a intensidade da fora Q.

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Problema 4 A figura representa um troo de um telefrico que parou na posio indicada. O cabo ABCD

passa nas roldanas A e D ligadas aos postes de sustentao. Neste cabo esto suspensos, em B e

em C, dois esquiadores.

a) Diga o que entende por diagrama de corpo livre? Desenhe trs diagramas

correspondentes: ao cabo compreendido

entre os dois postes A e D ; ao ponto B ; ao

ponto C.

b) Sabendo que cada cadeira pesa 200 N e que o esquiador da cadeira E pesa 750 N,

determine o peso do esquiador da cadeira

F.

c) Calcule as foras que o cabo ABCD exerce sobre as roldanas nos pontos A e D.

Problema 5 Na figura um acrobata caminha sobre uma corda DACBE que est fixa ao solo nos pontos D e E

e suspensa em roldanas nos pontos A e B. O peso conjunto do acrobata e da sua vara de

equilbrio de 800N. Considere a situao de equilbrio em que o acrobata est imvel em cima

da corda para x = 4m e y = 1,14m. Sabendo que a corda tem um comprimento de 20,2m entre os

pontos A e B, determine:

a) Os diagramas de corpo livre da corda DACBE e do ponto C.

b) As foras que o cabo exerce sobre o solo nos pontos D e E.

Problema 6

Uma carga de 260 N suportada por um cabo que passa nas roldanas A e B indicadas. Considere

o ngulo = 20.

a) Trace os seguintes diagramas de corpo livre:

a.1) Roldana A.

a.2) Conjunto formado pelas duas roldanas e pelo cabo.

b) Determine a intensidade e a direco da fora P que deve ser

exercida na extremidade livre da corda e as reaces em B.

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D

Problema 7

No plano vertical, uma carga de peso 400 N suspensa por um cabo AB e dois cabos ACF e ADE

que passando pelas roldanas C e D so presos a blocos de pesos 3W e W, respectivamente.

Considere que na posio ilustrada o sistema est em equilbrio esttico.

a) Diga o que entende por um diagrama de

corpo livre.

b) Apresente os seguintes diagramas de corpo

livre:

b.1) do conjunto dos cabos definido pela linha

FCADE.

b.2) do ponto A.

c) Calcule a intensidade do peso W e da fora

instalada no cabo AB.

Problema 8

Considere o guindaste da figura abaixo apresenta. Dois cabos, DAC e BC, esto ligados entre si

em C e esto carregados conforme indicado. O cabo DAC est fixo no ponto D e passa por uma

roldana em A.

a) Desenhe o diagrama de corpo livre do ponto C.

b) Sabendo que = 30 determine a fora de traco instalada em cada cabo.

c) Sabendo que o ngulo que o troo AD do cabo

faz com a horizontal = 45, determine a intensidade e direco da fora exercida pelo

cabo DAC sobre a roldana A.

E F

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2 AULA - EQUILBRIO DA PARTCULA NO ESPAO

Problema 1 Um caixote suportado por trs cabos como ilustrado na figura. Determine o peso do caixote

sabendo que a fora de traco no cabo AD de 2.74 kN.

Problema 2 Uma placa rectangular est suportada por trs cabos conforme indicado. Sabendo que a fora

de traco instalada no cabo AC de 60N, determine o peso da placa.

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Problema 3 Uma placa circular, com raio r = 25 cm est suspensa por trs

cabos ( AB, AC e AD ) de igual comprimento, como indicado na

figura. No ponto O est suspenso um conjunto de roldanas que

permite levantar a carga Q.

a) Sabendo que a fora mxima que o cabo que passa nas roldanas pode suportar de 30 N, determine a carga mxima Q

que pode ser levantada e a fora exercida sobre a placa em O.

b) Determine qual dever ser o comprimento mnimo para os cabos AB, AC e AD, sabendo que a fora que cada cabo pode

suportar no pode exceder 60 N. Considere = 30 . Justifique.

c) Em que condies a fora de traco nos trs cabos igual ? Justifique.

Problema 4 Um recipiente de peso P est suspenso em A, ao qual os cabos AC e AE esto ligados. Uma fora

Q est aplicada extremidade F de um terceiro cabo FBAD que passa em roldanas nos pontos A

e B. Sabendo que P = 1000N, determine a intensidade de Q. Considere que a fora de traco no

cabo FBAD constante em todos os troos.

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3 AULA - EQUILBRIO DO CORPO RGIDO NO PLANO E NO ESPAO

Problema 1 A figura representa uma viga ABC apoiada no ponto C e suspensa na roldana D pelo cabo

vertical DA. O carregamento consiste apenas na fora P aplicada em B (Desprezar o peso prprio

da viga).

a) Desenhe o diagrama de corpo livre da viga ABC e o diagrama do conjunto constitudo pela viga ABC e pelas roldanas D e E

b) Calcule a intensidade da fora T que necessrio aplicar para que a viga fique em equilbrio

quando = 30 .

Problema 2 A placa rectangular da figura tem uma massa de 100 kg e mantida na posio indicada na

figura por duas dobradias A e B e por um cabo DCE que passa por uma roldana em C. Supondo

que a fora de traco a mesma em ambos os troos do cabo e que a dobradia em B no exerce

reaco na direco do seu eixo, determine:

a) A fora de traco no cabo.

b) As reaces em A e B.

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Problema 3 O conjunto de barras representado na figura est soldado a um cursor A que por sua vez est

enfiado num veio vertical. Esta ligao impede o deslocamento do cursor na direco e em torno

dos eixos x e z, permitindo apenas o deslocamento e a rotao em torno do eixo y. Para o

carregamento representado determine a fora de traco em cada cabo e as reaces em A

(Desprezar o peso prprio da estrutura).

Problema 4 A barra ABC representada na figura est encastrada em A e suporta uma fora de P = 450 N

aplicada em C. Os cabos BE e BD suportam cada um uma fora de traco de 100 N. Considere

a = 2.5m.

a) Reduza o sistema de foras constitudo pela fora aplicada na extremidade C e pelas foras exercidas pelos cabos EB e DB no ponto B, a um sistema fora-binrio aplicado no ponto A.

b) Determine as reaces no encastramento A.

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Problema 5 A barra ABC apoia-se numa rtula esfrica em C e suspensa por dois cabos, AD e BE. A barra

tem 5 m de comprimento e suporta uma fora vertical F = 450 N aplicada no ponto B que fica

situado a igual distncia das extremidades A e C.

a) Defina momento de uma fora em relao a um ponto. Determine o momento da fora F

aplicada em B em relao origem do referencial.

b) Calcule o sistema fora-binrio que, aplicado na origem do referencial, equivalente fora

F.

c) Determine as foras de traco nos dois cabos e as reaces em C.

Problema 6 A janela representada na figura tem a massa de 30kg e est ligada a duas dobradias situadas nos

cantos A e B. O telhado forma com o plano horizontal um ngulo de 30, e a janela mantida na

posio horizontal indicada por uma barra EC. Considere que a fora exercida pela barra sobre a

janela tem a direco EC e que a dobradia em A no exerce qualquer fora na direco do seu

eixo.

a) Classifique o problema como hipo-esttico, isosttico ou hiperesttico? Justifique. b) Determine a fora exercida pela barra EC e as reaces nas dobradias A e B.

y

x

z

A B

C

D

E

3 m

2,6 m

4,2 m 1,2 m

0,8 m

F

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4 AULA - EQUILBRIO DO CORPO RGIDO NO ESPAO

Problema 1 Na figura est representado um veio de transmisso, ligado por uma correia ao motor M. O

momento gerado no motor transmitido ao tambor D, obtendo-se foras de traco nos ramos da

correia ligada a este tambor, T = 300 N , T' = 180 N. As chumaceiras A e C apenas restringem

movimentos de translao na direco transversal ao eixo do veio, pois montam rolamentos com

compensao angular. A chumaceira A impede tambm movimentos axiais do veio. Determine :

a) O sentido de rotao do veio, considerando que o motor est a fornecer potncia ao sistema.

b) As foras de traco nos dois ramos da correia que liga o tambor B ao motor M, sabendo que a componente segundo z da reaco em A, vale RAZ = 10 N.

c) As reaces nas duas chumaceiras.

Problema 2 A roldana da figura mantida na posio indicada por uma fora vertical P aplicada no ponto E.

Sabendo que = 60, determine o mdulo de P e as reaces em A e B. Considere que a reaco em B no tem componente segundo o eixo x.

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Problema 3

Duas roldanas de 150mm de dimetro esto montadas sobre um veio AD, como se representa na

figura. As correias em B e C esto contidas em planos verticais paralelos ao plano yz. As

chumaceiras em A e D impedem movimentos de translao transversais ao veio e a chumaceira

A impede tambm movimentos axiais de translao.

a) Diga o que entende por binrio? Qual a importante propriedade que este vector apresenta?

b) Reduza o sistema de foras em cada polia a um sistema fora-binrio equivalente no centro da polia.

c) Desenhe o diagrama de corpo livre do conjunto da figura

(sugesto: aproveite as

simplificaes da alnea

anterior).

d) Calcule as reaces nos apoios A e D.

Problema 4 Conforme se mostra na figura, duas hastes so soldadas para formar uma alavanca ABCDE, que

est encostada a uma parede vertical lisa em E e est apoiada por chumaceiras em A e B. A

chumaceira B no impede o deslocamento axial. A haste CE est ligada haste AB no ponto

mdio desta, C. No ponto mdio D da barra CE est aplicada uma fora vertical de 400 N.

a) Faa o diagrama de corpo livre da alavanca.

b) Calcule a reaco da parede no ponto E e as reaces nos apoios A e B.

A F=400 N

D

E

B

x

3 m

z

y

4 m

4 m

4 m C

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z

C

D

y

0

Problema 5 Considere o sistema da figura constitudo por um pedal montado em um veio AB que est

apoiado nas extremidades em chumaceiras A e B. Os movimentos de translao transversais ao

eixo x so impedidos pelas chumaceiras e o movimento axial impedido apenas pela chumaceira

A. Na situao de equilbrio esttico, uma fora vertical P exercida sobre o pedal produz uma

traco vertical T de 400 N aplicada no ponto C.

a) Apresente o diagrama de corpo livre do pedal montado no veio separado dos apoios A e B.

b) Calcule o momento resultante M0 das foras P e T em relao origem do referencial

situada a meio do veio.

c) Utilize a equao de equilbrio de momentos

em relao a um eixo (x M0 = 0) para calcular o valor de P.

d) Calcule as reaces nos apoios A e B.

Problema 6

A pea representada na figura, consiste numa barra AF, de 80 mm de comprimento, soldada a

uma cruz constituda por quatro braos de 200 mm de comprimento. A pea apoia-se numa

rtula esfrica em F e em trs pequenos tirantes, cada um formando um ngulo de 45 com a

vertical. Para o carregamento indicado,

a) Desenhe o diagrama de corpo livre da estrutura.

b) Determine o sistema fora-binrio que, aplicado no ponto A, equivalente fora

Q que est aplicada no ponto E.

c) Calcule as reaces no ponto F e a fora de traco em cada tirante.

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5 AULA - ANLISE DE TRELIAS

Problema 1

A trelia da figura suporta trs foras concentradas de 17,79 kN.

a) A trelia da figura uma trelia simples? Justifique.

b) Classifique interior e exteriormente a trelia em hiposttica, hiperesttica ou isostctica.

c) Aplicando o mtodo dos ns, determine o esforo a que esto sujeitas as barras da trelia indicando se o esforo de traco ou compresso.

Problema 2

Considere a trelia representada na figura apoiada em A e B atravs de apoios mveis e em G

atravs de um apoio fixo. Considere uma fora horizontal aplicada em A de 5kN e uma vertical

de 2kN aplicada em D.

a) Calcule as reaces nos apoios A e G.

b) Calcule as foras nas barras da trelia indicando se so de traco ou compresso.

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Problema 3 Considere a trelia plana representada na figura sujeita a trs cargas exteriores aplicadas.

Responda s seguintes alneas:

a) A trelia hiperesttica interior do 1 grau. Justifique esta afirmao. Como modificaria a trelia de modo a que esta fosse uma trelia simples, portanto, isosttica (justifique).

b) Determine as reaces nos apoios da trelia da figura.

c) Aplicando o mtodo dos ns calcule os esforos nas barras AB, AC, BC, BE, CE e CD da trelia da figura.

Problema 4 A trelia de 22 barras representada na figura suporta duas foras de 9 kN e est apoiada em

apoios simples nos ns A e M.

a) Classifique-a como isosttica, hipo-esttica ou hiperesttica interior. Justifique a resposta.

b) Calcule as reaces nos apoios.

c) Determine as foras internas nas barras AB, AC, BC, BD, CD e CE.

d) Pelo mtodo das seces, obtenha as foras internas nas barras GH e GI.

I

1m 1m 1m 1m 1m 1m

F1

1m

1m

1m

G

E F J M

A

B

C

D

L

H

N

F2 F2

F1 = 6kN

F2 = 1kN

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6 AULA - CENTRIDES E CENTROS DE GRAVIDADE

Problema 1 Considere a trelia da figura constituda por 19 barras. Sabendo que a = 3.81m, b = 4.57m e

F = 26.7 KN, calcule:

a) As reaces nos apoios.

b) Os esforos nas barras CE, DE e DF utilizando o mtodo das seces.

Problema 2 Considere a trelia da figura cujo apoio se faz em A atravs de um apoio fixo e em F atravs de

um cabo que est amarrado ao solo em O. No n N da trelia est aplicada uma fora vertical de

10 kN.

a) Diga se a trelia simples. Justifique.

b) Calcule as reaces no apoio A e a fora de traco no cabo OF.

c) Identifique as barras de esforo nulo. Justifique sem fazer clculos.

d) Calcule as foras nas barras AB, AC, BC, CE, BE, BD, LN, LM indicando se esto traco ou compresso.

F

3m 1m

I

H J

L

M N

O

1m

1m

1m

E

F

G

D

C

A

B

1m

1m 1m 1m

A

C E G I

BD F H J

K

F F

a2/a

b

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Problema 3 A figura mostra duas trelias articuladas no n G. A trelia do lado esquerdo tem um apoio fixo

em A, no n C est aplicada uma fora vertical F1 = 8kN e no n B est aplicada uma fora

horizontal F3 = 4kN. A trelia do lado direito tem um apoio mvel no n I e outro no n N e no

n L est aplicada uma fora vertical F2 = 6kN.

a) Justifique a seguinte afirmao: A trelia globalmente isosttica.

b) Calcule as reaces nos apoios.

c) Identifique as barras de esforo nulo justificando sem recorrer a clculos.

d) Aplicando o mtodo dos ns calcule os esforos nas barras: AB, AC, AB, BD, CD, CE. Para cada uma das barras diga se o esforo de traco ou compresso.

Problema 4 Considere uma pea construda em chapa de ao com a forma indicada na figura. A pea

simtrica em relao ao plano paralelo a xz que passa nos pontos H e D, as linhas AC, EG e GA

so segmentos de recta, a linha CDE uma semi-elipse e o furo de centro em O circular.

Determine a posio do centride da rea da superfcie superior da pea.

F3

F2 F1

1m 1m

I

H J

L

M

N

1m 1m 1m

E

F G D

C A

B

1m

1m

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Centrodes de Superfcies

Mecnica Aplicada I


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Problema 5 Considere o tubo de alumnio ABCDE da figura. Sabendo que l = 2 m, determine a distncia d de

forma que a parte BCD fique horizontal quando se suspende o tubo pelo ponto C.

Centrodes de linhas

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7 AULA - CENTRIDES E CENTROS DE GRAVIDADE TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

Problema 1 Determine por integrao a posio do centro geomtrico da superfcie plana representada na

figura.

Problema 2 Considere a superfcie plana representada na figura, constituda por uma semielipse, sobre a qual

est localizada uma superfcie delimitada pelas funes y = x e y = kx2.

a) A coordenada x = 0 porque y um eixo de

simetria. Demonstre-o.

b) Determine por integrao a coordenada y da

superfcie situada no 1 quadrante do referencial.

c) Determine a posio do centride para toda a superfcie representada na figura (ver tabelas).

Problema 3

Considere a rea sombreada da figura:

a) Determine por integrao a coordenada y do

centrode da rea sombreada.

b) Determine o volume do slido de revoluo obtido pela rotao da superfcie indicada na

figura em torno do eixo x.

c) Enuncie o 1 teorema de Pappus-Guldinus.

d) Sem efectuar clculos (mas apresentando a formulao) explique como calcularia a rea da

superfcie do slido de revoluo referido na

alnea b.

y

x 10 mm 40mm

12

90

4y x

1

1

xx dx

Nota:

Mecnica Aplicada I


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Problema 4 Considere a superfcie plana representada na figura,

delimitada por um arco de circunferncia e por um

segmento de recta paralelo ao eixo x.

a) Utilizando os valores constantes na tabela seguinte, e

sabendo que r = 0.4 m e = 30, calcule as coordenadas do centro geomtrico da superfcie.

b) Enuncie o 2 Teorema de Pappus-Guldinus. Aplique esse teorema para obter o volume do slido gerado

por rotao da superfcie em torno do eixo x.

Problema 5

Considere a superfcie a tracejado na figura delimitada por uma circunferncia de raio r e duas

rectas, y = r e y = x, definidas no sistema de coordenadas cartesiano apresentado.

a) Determine a coordenada x do centride da superfcie indicada em funo de r (utilize a informao contida

na tabela apresentada no verso).

b) Enuncie o 2 Teorema de Pappus-Guldinus.

c) Sabendo que o volume do slido de revoluo gerado pela rotao da superfcie a tracejado em torno do

eixo y de 750 cm3, determine o valor de r.

Problema 6

Considere a superfcie plana representada na figura, delimitada pelo eixo y, pela recta e pela

semiparbola indicadas.

a) Diga o que entende por momento esttico de uma

superfcie em relao a um eixo.

b) Determine, utilizando as tabelas dadas, o momento

esttico da superfcie representada em relao ao eixo

y.

c) Comprove o resultado da alnea anterior efectuando os

clculos por integrao.

d) Enuncie os teoremas de Pappus-Guldinus.

e) Considerando agora a = 20 cm, determine o volume

do slido de revoluo obtido por rotao da

superfcie da figura em torno do eixo y.

y

x

y = r

y = x

r 45

y

2a

a

-a

0 x

y = 2.(a - x)

y = x2/a - a

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Problema 7 A taa representada na figura um corpo simtrico em relao ao eixo vertical AA. Determine a sua capacidade em litros, considerando R = 250 mm.

Problema 8

Considere a taa da figura cuja fronteira definida pela rotao da linha y = k.x3 em torno do

eixo y.

a) Explique a diferena entre a definio de centride e centro de gravidade de um corpo. Em que circunstncias o centride coincide com o centro de gravidade?

b) Determine a altura h da taa para que, quando cheia at ao bordo, o volume de lquido seja de 280 cm

3 (efectue os clculos utilizando o 2 Teorema de Pappus-Guldinus e o mtodo de

integrao).

Problema 9

Considere a superfcie plana representada na figura, delimitada

pelo eixo y, pela recta e pela semiparbola indicadas.

a) Diga o que entende por momento esttico de uma superfcie

em relao a um eixo.

b) Determine, utilizando as tabelas dadas, o momento esttico da

superfcie representada em relao ao eixo y.

c) Comprove o resultado da alnea anterior efectuando os

clculos por integrao.

d) Enuncie os teoremas de Pappus-Guldinus.

e) Considerando agora a = 20 cm, determine o volume do slido

de revoluo obtido por rotao da superfcie em torno do eixo y.

y

x

a = 3cm

h

z

y = k.x3

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8 AULA MOMENTOS DE INRCIA DE SUPERFCIES

Problema 1 Considere a superfcie tracejada representada na figura e determine os momentos de 2 ordem em

relao aos eixos x e y.

Problema 2

A figura representa a seco transversal de uma viga, que foi obtida ligando uma barra de seco

semi-circular a um perfil HEA 360.

a) Enuncie o teorema dos eixos paralelos aplicado a momentos de inrcia de superfcies.

b) Utilizando as informaes que constam da tabela anexa, e aplicando o teorema dos eixos

paralelos, determine os momentos de inrcia da seco transversal em relao aos eixos x e y

do referencial cuja origem coincide com o centride da seco.

c) Diga o que entende por eixos principais de inrcia de uma superfcie. Indique, justificando, se

os eixos x, y do referencial representado so eixos principais de inrcia para a seco

transversal dada.

C

y

x

350 mm

300 mm

Y

X HEA 360 Ix = 330,90 x 106 mm4

A = 14 280 mm2

Iy = 78,87 x 106 mm4

Y

X

x

C y

y

y = 4 r / 3

Ix = Iy = r4 / 8

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y

x

Problema 3 Obtenha o momento polar de inrcia em O da rea composta da figura.

Problema 4 Considere a superfcie plana da figura cuja fronteira definida por uma semi-elipse e um

semicrculo. Com base na informao disponibilizada nas tabelas de centrides e de momentos

de inrcia em anexo, responda s seguintes alneas:

a) Determine as coordenadas do centride da superfcie no referencial x, y indicado.

b) Determine o momento polar de inrcia da superfcie relativamente ao centride.

Problema 5

A figura representa a seco transversal de uma viga. Para esta superfcie determine:

a) A posio do centro geomtrico da seco no referencial x,y indicado.

b) Os momentos de 2 ordem da seco em relao aos eixos x e y paralelos a x, y e com origem sobre o centro geomtrico.

c) O momento polar de inrcia em relao origem do referencial xy.

d) Diga o que entende por eixos principais de

inrcia ? Indique, justificando, se os eixos

xy so eixos principais de inrcia para a seco dada.

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Mecnica Aplicada I


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9 AULA -MOMENTOS DE INRCIA: MASSAS

Problema 1 Considere a superfcie plana representada na figura constituda adicionando um semicrculo a um

trapzio.

a) Determine o momento polar de inrcia da superfcie em relao origem do referencial, Jo.

b) Considere agora uma placa fina com a superfcie indicada, com espessura constante t = 10

mm e massa especfica = 7850 kg/m3. Determine o momento de inrcia da placa em relao ao eixo z.

Problema 2 Considere a superfcie plana representada na figura obtida subtraindo a um losango dois

quadrados, um com 20mm de lado e outro com 40mm de lado. A superfcie simtrica em

relao ao eixo y e o eixo x passa pelos centrides do losango e do quadrado maior.

a) Determine o momento polar de inrcia da superfcie em relao origem do referencial, J0.

b) Considere agora uma placa fina com a superfcie indicada, com espessura constante t = 10

mm e massa especfica = 7850 kg/m3. Determine o momento de inrcia da placa em relao ao eixo z.

z

x

y

160m

m

100mm

0 x

y

0

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Problema 3 Determine o raio de girao da pea ilustrada na figura em relao ao eixo BB. Considere que a pea foi obtida a partir de um prisma no qual foi feito um furo circular de raio r tal que o eixo do

furo paralelo a quatro faces do prisma e intercepta o seu centro geomtrico. Considere tambm

que a = 200 mm, h = 250 mm, r = 75 mm e a pea feita de ao com massa especfica = 7850 kg/ m

3.

Problema 4 A figura representa uma chapa com 250 x 400 mm, com 15 kg de massa e uma roldana com 300

mm de dimetro, soldadas a um veio AD, que se apoia nas chumaceiras A e B. Considere o

ngulo = 30 e tambm que a chumaceira B no exerce reaco segundo o eixo z. Considere que a roldana um disco fino com 2.5 kg de massa e determine o momento de inrcia do

conjunto placa e roldana em relao ao eixo z.

Problema 5

Considere a pea de ao ( = 7850 kg/m3) representada na figura. Determine o momento de inrcia do conjunto relativamente:

a) Ao eixo x.

b) Ao eixo y.

c) Ao eixo z.

Mecnica Aplicada I


29

Problema 6 Considere a pea de ao 37850kg m representada na figura. Determine o momento de inrcia

do conjunto relativamente:

a) Ao eixo x.

b) Ao eixo y.

Problema 7 Considere a superfcie plana representada a sombreado na figura que obtida subtraindo a um

rectngulo de lados 60x40 dois semicrculos com raio a=20mm. Para o referencial considerado

na figura:

a) Determine o momento polar de inrcia de superfcie em relao origem do referencial.

b) Diga o que entende por eixos principais de inrcia de uma superfcie. Justifique se os eixos x, y do referencial representado so eixos principais de inrcia.

c) Considere agora uma placa fina no referencial x, y, z com a superfcie a sombreado, com

espessura constante (t=5mm) e massa especfica =7850 kg/m3. Determine o momento de inrcia da placa em relao ao eixo z, Iz.

Mecnica Aplicada I


30

Mecnica Aplicada I


31

10 AULA - ANLISE DE VIGAS

Problema 1 A viga AB representada na figura encontra-se apoiada em A e B atravs de um apoio fixo e

mvel, respectivamente. Quanto ao carregamento, considere um momento exterior aplicado em

A de 5 kNm e uma carga distribuda entre A e B definida pela funo quadrtica kx2.

a) Calcule as reaces nos apoios.

b) Determine as expresses do esforo transverso e do momento flector.

c) Trace os diagramas dos esforos internos indicando o valor mximo do momento flector.

Problema 2 A figura representa duas vigas ABC e CD, ligadas entre si por uma articulao em C. A viga

ABC est encastrada em A e a viga CD tem um apoio mvel em D. Para os carregamentos

representados na figura, determine:

a) As reaces nos apoios A e D.

b) As equaes do esforo transverso e do momento flector para o troo CD.

c) Os diagramas dos esforos internos para as duas vigas.

E

A B

Mecnica Aplicada I


32

Problema 3 A viga indicada na figura est encastrada na extremidade B e suporta uma fora horizontal

F = 1 kN aplicada em C e uma carga distribuda variando linearmente entre as seces A e B. Na

seco A, QA= 2 kN/m e na seco B, QB = 1 kN/m. Na extremidade C est ainda suspensa uma

massa m = 100 kg.

a) Calcule a posio do centride da superfcie representando o carregamento distribudo

aplicado.

b) Calcule as reaces no apoio B.

c) Escreva as equaes dos esforos internos no troo AB da viga e trace os respectivos

diagramas.

Problema 4 Na figura est representada uma viga AB ligada a um apoio fixo em A e a um apoio mvel em B.

A viga suporta uma carga distribuda linear Q(x) aplicada entre A e B. No referencial indicado

na figura considere Q(x = 0) = 10kN/m e Q(x = 5) = 15kN/m.

a) Determine por integrao a coordenada x do centride da superfcie delimitada pela funo representando a carga distribuda aplicada sobre a viga.

b) Calcule as reaces nos apoios A e B.

c) Escreva as equaes do esforo transverso e do momento flector na viga e trace os respectivos diagramas.

y

x

5 m

B A

15kN/m

10kN/m

Q(x)

Mecnica Aplicada I


33


Problema 1

A figura representa uma viga ABC, encastrada em A e ligada por uma articulao trelia em C.

a) Classifique a trelia como isosttica, hipo-esttica ou hiperesttica ? Justifique a resposta.

b) Calcule as reaces nos apoios A e E.

c) Escreva as equaes do esforo transverso e do momento flector na viga e trace os respectivos diagramas.

d) Calcule as foras internas em todas as barras da trelia.

Problema 2

Considere a estrutura constituda por uma viga ABC ligada por uma articulao em C a uma

trelia CDE, como representado na figura. Determine:

a) As reaces nos apoios. b) Os diagramas dos esforos internos para a viga ABC. c) As foras nas barras FH, FD e DG da trelia.

D

50kN

30kN/m

4m

6m 3m 3m 3m

3m

10kN

5kN

H

A B C

E F

G

Mecnica Aplicada I


34

Problema 3

A estrutura representada constituda por uma trelia e uma viga. A trelia est ligada a um

apoio fixo em A e a um apoio mvel em C. A viga HK est ligada por uma articulao H trelia

e a um apoio mvel em K. A viga suporta uma carga distribuda uniforme p0 = 10 kN/m, uma

fora horizontal P = 50 kN aplicada em K e uma fora vertical Q = 20 kN aplicada na

extremidade da barra IJ, que se encontra fixa viga no ponto I.

a) Determine as reaces nos apoios A, C e K.

b) Diga se a trelia indicada uma trelia simples. Justifique.

c) Calcule a fora interna para cada uma das barras da trelia, especificando se de traco ou de

compresso.

d) Escreva as equaes dos esforos internos N(x), V(x) e M(x) para a viga HK, e trace os

respectivos diagramas.

Problema 4 A viga AB est ligada por uma articulao trelia BCDEFG como indicado na figura. Sobre a

viga est aplicada uma carga distribuda Q(x) = 5 sen ( x/10 ) [kN/m] e um momento

M = 19 kNm.

a) Diga o que entende por trelia simples ? A trelia indicada pode ser considerada uma trelia simples ? Justifique.

b) Calcule as reaces nos apoios A, F e G.

c) Escreva as equaes do esforo transverso e do momento flector na viga AB e trace os respectivos diagramas, indicando os valores mximos do esforo transverso e do momento

flector.

d) Determine a fora interna em cada uma das barras da trelia BCDEFG, indicando se de traco ou de compresso.

p0

1 m

P

Q 1 m

1 m

1 m

1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 2 m 2 m

A B

C

D

E F

G

H I

J

K x

y

Mecnica Aplicada I


35

Problema 5 Considere a estrutura constituda por uma

viga ligada por uma articulao em C a uma

trelia, como se encontra representado na

figura. Para o carregamento indicado.

Determine:

a) As reaces nos apoios A e J.

b) As equaes e diagramas de esforo normal, esforo transverso e momento

flector.

c) Classifique a trelia interiormente e exteriormente. Justifique.

d) Determine as foras nas barras DE, EG, EF e DF da trelia indicando se

so de traco ou compresso.

Problema 6 A estrutura representada na figura 2 constituda por uma trelia e por uma viga ligadas atravs

de uma articulao no ponto B. A viga encontra-se encastrada no ponto A e a trelia tem um

apoio mvel em H. A viga suporta uma carga distribuda entre B e C e um momento aplicado

em C. Sobre a trelia esto aplicadas duas foras, uma vertical no n E e outra horizontal no n

G. A intensidade dos carregamentos aplicados na estrutura encontam-se indicados na figura 2.

a) Determine as reaces nos apoios A e H.

b) Classifique interior, exterior e globalmente a trelia. Justifique.

c) Calcule a fora interna nas barras FD, DG, GE e DE, especificando se de

traco ou de compresso.

d) Escreva as equaes dos esforos internos N(x), V(x) e M(x) para a viga

AC, e trace os respectivos diagramas.

E

H

F

G

60

I

2kN/m

D

J

7.5 kN 3m

4 kN 7 kN 5m 6 kN

3m

5m

3m 3m

C

3m 4.5 m

A

B

K

2.5m

020p kN m

10C

M kN m

F

A CB

50kN 3m

3m

G

D

F

H

E

3m

3m

10kN

5m5m

Mecnica Aplicada I


36

Problema 7 Considere a estrutura representada na figura , constituda por uma viga ligada por uma

articulao em E a uma trelia. A em viga est encastrada em A e a trelia tem um apoio mvel

em L. Para o carregamento indicado, determine:

a) As reaces nos apoios A e L.

b) As equaes dos esforos internos N(x), V(x) e M(x) para

a viga ABE, e trace os

respectivos diagramas.

e) Classifique interior, exterior e globalmente a trelia.

Justifique.

f) Determine as foras em todas as barras da trelia, indicando se

so de traco ou de

compresso.

Mecnica Aplicada I


37

12 AULA ATRITO

Problema1 A extremidade A de uma barra delgada e uniforme de

comprimento L e peso P apoia-se sobre uma superfcie

horizontal, enquanto a ponta B est presa a um cabo BC. Os

coeficientes de atrito so c = 0,25 e e = 0,35. Determine o maior valor de compatvel com o equilbrio e o correspondente valor da traco no cabo.

Problema 2

A barra AB repousa sobre duas superfcies inclinadas, como se mostra na figura. A barra tem

comprimento L e suporta uma carga concentrada P aplicada distncia a da sua extremidade A.

Sabe-se que o coeficiente de atrito esttico entre a barra e as superfcies 0,5.

a) Diga o que entende por coeficiente de atrito esttico e por ngulo de atrito esttico.

b) Determine qual dever ser a distncia mnima a para que a barra no escorregue sobre as superfcies.

Problema 3 A figura representa duas massas m1 e m2 ligadas por um cabo passando em duas roldanas sem

atrito A e B. Sabe-se que a massa m1 = 1500 kg e a massa m2 = 500 kg. O coeficiente de atrito

esttico entre as massas m1 e m2 e= 0.3 e entre a massa m1 e a parede e = 0.5 .

a) Diga o que entende por coeficiente de atrito esttico?

b) Trace separadamente os diagramas de corpo livre de cada uma das massas e de cada uma das roldanas.

c) Determine a fora mnima F que dever estar aplicada para manter o sistema em equilbrio. Determine ainda a

correspondente fora de traco no cabo.

m1

A B

m2 F

60 30

P a

A B

Mecnica Aplicada I


38

Problema 4 A figura representa duas massas m1 e m2 assentes num plano inclinado e ligadas por um cabo

passando na roldana A. Sabe-se que a massa m1 = 40 kg e m2 = 60 kg e o coeficiente de atrito

esttico entre todas as superfcies em contacto e = 0,5. Responda s seguintes alneas:

a) Trace separadamente os diagramas de corpo livre de cada uma das massas e

da roldana.

b) Determine a fora mnima P que dever ser aplicada para iniciar o

movimento descendente do bloco de

massa m2. Determine ainda a

correspondente fora de traco no

cabo.

Problema 5 A figura mostra uma viga AB com massa 200 kg e comprimento de 3 m. A viga est apoiada em

A num plano inclinado e apoiada em B num apoio mvel. Existe atrito entre o plano inclinado e

a viga (e = 0.3). Em B existe uma fora exterior F aplicada de modo a garantir o equilbrio da viga na posio horizontal.

a) Diga o que entende por coeficiente de atrito esttico e, por ngulo de atrito esttico e e qual a relao entre e e e. Justifique.

b) Calcule os valores mximo e mnimo da fora F para que a viga permanea em equilbrio na posio horizontal.

Problema 6 O bloco A de 4,5 kg e o bloco B de 3 kg esto ligados por uma barra de massa desprezvel. O

coeficiente de atrito esttico entre todas as superfcies em contacto de 0,35. Pretende-se que a

barra permanea em equilbrio esttico na posio horizontal conforme ilustrado.

a) Diga o que entende por ngulo e coeficiente de atrito esttico.

b) Determine o valor de P para o qual o sistema indicado se encontra na situao de movimento

eminente (A a subir e B a descer).

F

60

A B

Mecnica Aplicada I


39

Problema 7 Na figura est representada uma escada, que foi encostada

parede de modo a ficar na posio indicada. A escada tem 5 m de

comprimento e por ela vai subir um homem que pesa 70 kg.

a) Determine a altura a que o homem poder subir a escada sem que ela caa.

b) Calcule o novo ngulo entre a escada e o solo para que o homem possa subir at ao cimo.

.

Problema 8

Na figura est representada uma escada apoiada no cho e encostada

parede atravs de um rolete. A escada tem 2,2 m de comprimento

e por ela vai subir um homem que pesa 70 kg. Considera-se que

existe apenas atrito no contacto com o cho e despreza-se o peso da

escada.

a) Diga o que entende por coeficiente de atrito esttico.

b) Determine o valor do coeficiente de atrito entre a escada e o solo para que seja possvel o homem subir at metade do

comprimento da escada.

60

2.2m

Mecnica Aplicada I


40

SOLUES DOS PROBLEMAS

DAS AULAS PRTICAS

1 AULA - EQUILBRIO DA PARTCULA NO PLANO

P.1 8,83m

P.2 a) P/2 ; b) P/2 ; c) P/3 ; d) P/3 ; e) P/4

P.3 c) 1,293 kN ; d) 2,22 kN

P.4 PF = 1,084 kN ; RA = 2,27 kN 69,8 ; RD = 1422 N 72,3

P.5 b) FAC = 2,34 kN e FCB = 2,24 kN

P.6 b) P = 99,7 N; 46,84 ; RBx = 68,8 N; RBy = 187,3 N

P.7 c) TAB = 281.74N, W = 62.84N

P.8 b) 5.645 , 0.568 CA CB T = kN T = kN c) F =10.231kN, g _ 20

2 AULA - EQUILBRIO DA PARTCULA NO ESPAO

P.1 8,31 kN

P.2 845 N

P.3 a) Qmx = 90,0 N e fora exercida em O = 120 N ; b) 66,7cm ; c) = 60,0

P.4 378 N

3 AULA - EQUILBRIO DO CORPO RGIDO NO PLANO E NO ESPAO

P.1 52,1 kN

P.2 a) 352 N b) RAx = 116 N ; RAy = 385 N ; RAz = 144 N ; RBx = 0 N ; RBy = 115,4 N ; RBz = 190,3 N

P.3 TDE = 450 N ; TCF = 200 N ; RAx = 160 N ; RAz = 270 N ; MAx = 16,20 Nm ; MAz = 0

P.4 a) FA = -95,4 i 529 j + 131 k ; MA = 783 i + 772 k b) RAx = 95,4 i ; RAy = 529 j ; RAz = -131 k ; MAx = -783 i ; MAy = 0 j ; MAz = -772 k

P.5 a) 900 i (Nm); b) 450 j (N) e 900 i (Nm); c) RCx = -30 i ; RCy = 350 j ; RCz = 251 k ; TDA = 161 N ; TBE = 129 N

P.6 b) FEC = 152 N; RAx = 40,6 N; RAy = 0 N; RBx = 0 N; RBy = 147 N; RBz = 0 N

4 AULA - EQUILBRIO DO CORPO RGIDO NO ESPAO

P.1 a) Anti-horrio ; b) Ramo superior: 142 N e ramo inferior: 322 N ;

c) RAx = 0 i ; RAy = 18,40 j ; RCy = 18,50 j ; RCz = -950 k

Mecnica Aplicada I


41

P.2 P = 462 N , RAx = 0 N ; RAy = 122,4 N ; RAz = 0 N ; RBy = 1140 N ; RBz = 0 N.

P.3 b) FB = -351 j + 49,60 k ; MB = -5,25 i ; FC = -66,0 j 374 k ; MC = 5,25 i

d) RAx = 0 ; RAy = 245 N ; RAz = 75,0 N ; RDy = 172,6 N ; RDz = 250 N

P.4 b) RAx = 150 N ; RAy = 300 N ; RAz = 0 N ; RBx = 0 N ; RBy = 100 N ; RE = 150 N

P.5 b)

P.6 b)

0.365

1.22

0.855

B

C

D

T Q

T Q

T Q

e

0.346

0.863

Fx

Fy

Fz

R Q

R Q

R Q

5 AULA -.ANLISE DE TRELIAS

P.1

AC=CE=EG AB=FH BC=FG BD=DF BE=EF DE

19,97 kN 33,4 kN 17,79 kN 26,6 kN 11,10 kN 0

traco compresso traco compresso traco nulo

P.2 a) RAy = 10,00 kN ; RGx = 4,00 kN ; RGy = 8,00 kN ; RBx = 9,00 kN

b)

AB=FG=DF=EF=BC AC=CD DE=EG BD

0 11.2 kN 8.94 kN 9 kN

Esforo nulo compresso Compresso compresso

P.3 a) hiperesttica do 1 grau

b) RAx = 6,00 kN ; RAy = 2,00 kN ; RNy = 4,00 kN

c)

AB BC CD AC BE CE

4,00 kN 1,000 kN 3,53 kN 2,83 kN 4,00 kN 0,700 kN

Traco Traco Traco Traco Traco Compresso

P.4 a) hipoesttica interior ; b) RMy = 9,00 kN ; RAy = 9,00 kN ; RAx = 6,00 kN

c)

AB e BD AC e CE BC e CD

6,58 kN 4,33 kN 0

Compresso Compresso Esforo nulo

d) barra GI : 0 kN ; barra GH : 6,00 kN (compresso)

*0 41569.2 200 24000M P i k

Mecnica Aplicada I


42

6 AULA ANLISE DE TRELIAS / CENTRIDES E CENTROS DE GRAVIDADE

P.1 a) RAy = 37,4 kN ; RAx = 0 kN ; RKy = 16,02 kN

b) FCE = 35,6 kN (traco) ; FDF = 40,0 kN (compresso) ; FDE = 11,5 kN (traco)

P.2 b) RAx = 13,3 kN ; RAy = 23,3 kN ; TOF = 18,9 kN

b) HI, IJ, LJ, LM, CB

c)

P.3 b) RAx = 4 kN ; RAy = 6,7 kN ; RNy = 5,3 kN ; RIy = 2 kN

c) FE, HI, MN, JM, AB

d)

P.4 - mm0,40y;mm8,41x

P.5 0,739m

7 AULA - CENTRIDES E CENTROS DE GRAVIDADE / TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS

P.1 - mm45,6y;mm0x

P.2 - 2

) ; ) 0 ; 0,19505

b y a c x y a

P.3 a) y =12,053mm; b)V = 53011.86 mm3

P.4 0,1740 m3

P.5 - a) 0.645x r c) 12 0.12r cm m

P.6 b) Sy = 7a3/12; e) 0,0293 m3

P.7 31,9 litros

P.8 b) 16,7 cm

AB AC BC CE BE BD LN LM

18,8 kN 10 kN 0 kN 10 kN 18,8 kN 26,6 kN 30 kN 0

C C - C T C C -

AB AC AD BD CD CE DE DF

0 kN 2,7 kN 9,5 kN 4 kN 8 kN 2,7 kN 1,8 kN 1,5

- T C T T T C C

Mecnica Aplicada I


43

8 AULA MOMENTOS DE INRCIA: SUPERFCIES

P.1 a) Ix = 1,840108 mm4 ; Iy = 1,100108 mm

4

P.2 a) Ix = 9,668108 mm4 ; Iy = 2,777108 mm

4

P.3 J0 = 3,76106 mm4

P.4 a) x = 0 mm e y = 16,83 mm ; b) 2,43106 mm4

P.5 a) y =107,3 mm ; b) Ix = 1,320107 mm4; Iy = 2,8410

7 mm4; c) J0 = 4,16107 mm4

9 AULA MOMENTOS DE INRCIA: MASSAS

P.1 a) 2,56108 mm4 ; b) 0,02 kg.m2

P.2 a) 1,10510-5 m4 ; b) 8,67210-4 kg.m

P.3 0,1310 m

P.4 0,828 kg.m2

P.5 Jx = 0,01390 108 kg.m2 ; Jy = 0,0206 kg.m

2 ; Jz = 0,01424 kg.m2

P.6 Jx = 0,0168 kg.m2 ; Jy = 0,4288 kg.m

2


P.1 a) RAx = 0kN ; RAy = 2,83kN ; RBy = 15,17kN

b) V(x) = -2x3/3 + 2,83 ; M(x) = -x4/6 + 2,83x + 5

P.2 a) RAx = 0kN ; RAy = 50,0 kN ; MA = 385 kNm

b) V(x) = -1,875x2 + 40,0 ; M(x) = -0,63x3 + 40,0x (viga CD)

P.3 a) m780,1x

b) RBx = 1,000 kN ; RBy = 6,98 kN ; MB = 18,24 kNm

b) V(x) = x2/8 2x 0,980 ; M(x) = x3 / 24 x2 0,980 x 1

P.4 a) 2,67 m

b) RAx = 0 kN; RAy = 29,13 kN; RBy = 33,38 kN

c) V(x) = -x2/2 10x +29,125 e M(x) = -x3/6 5x2 + 29,13x

11 AULA - ANLISE DE VIGAS E TRELIAS

P.1 b) RAx = 10 kN ; RAy = 77,5 kN ; MB = 265 kNm ; REy = 37,5 kN

c) V(x) = -3,75 x2 + 77,5 ; M(x) = -1,250x3 + 77,5x 265

Mecnica Aplicada I


44

d)

P.2 a) RAy = 10,83 kN ; RCx = 0 kN ; RCy = 4,17 kN ; ; RDx = 5,67 kN ; REx = 5,67 kN ; REy = 7,17 kN

c)

P.3 a) RAx = -50 kN ; RAy = -50 kN ; RCy = 86,7 kN ; RKy = 43,3 kN

b) trelia simples.

c)

AB AD BD BC BE DE CE CF EF EG FG FH GH

0 70,7 0 0 0 70,7 0 86,7 0 70,7 0 86,7 70,7

- T - - - T - C - T - C T

d) N(x) 50 N; de H a I: V(x) = 36,7-10x ; M(x) = 36,7x 5x2; de I a K: V(x) = 10(6-x) 43,3;

M(x) =43,3(6-x)-5(6-x)2

P.4 b) RAy = 17,8 kN; RFy = 28 kN; RGy = 14 kN

c) V(x) = 17,8 + 15,9[cos(x/10)-1] ; M(x) = -19 + 1,9x + (159/)sen(x/10)

Vmx. = 17,8 kN ; Mmx. = 40 kNm

d)

P.5 a) RAx = -10 kN; RAy = 120 kN; MA = 860 kNm

b)

c) 0

Mecnica Aplicada I


45

P.6 a) RAx = 5 kN; RAy = 250 kN; MA = 860 kNm; REx = RLx 5 kN; REy = 0 kN;

c)

d) 0

Problemas MAI 15 16

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