UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE ECONOMIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU EM ECONOMIA ECO 672 – MICROECONOMIA I PROFESSORA: ELAINE APARECIDA FERNANDES ALUNA: LIANA BOHN

PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS REVISÃO DE MATEMÁTICA

1. Considere as seguintes funções: a) f(x) = lnk b) f(x) = k + cx (c>0) c) f(x) = logk² + bx² (b<0) d) f(x) = x³ – 2x e) f(x1, x2) = 6x1 – 9x2 f) f(x1, x2) = x2 – lnx1 g) f(x1, x2) = lnx2 – lnx1 h) f(x) = x² + 4 Responda:

Elabore um gráfico e identifique quais as funções são côncavas, convexas, quasecôncavas, quaseconvexas, estritamente côncavas, estritamente convexas. a) f(x) = lnk

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑘 𝑓′ 𝑥 = 0

Como a função é, na verdade, uma constante, ela passa a ter um comportamento de função

linear, podendo ser classificada como côncava e convexa ao mesmo tempo, ou, ainda, como

quasecôncava e quaseconvexa, embora não seja em nenhum caso considerada como

estritamente.

b) f(x) = k + cx (c>0)

𝑓 𝑥 = 𝑘 + 𝑐𝑥 𝑓 ′(𝑥) = 𝑐 → +

A função linear é crescente em toda a sua

extensão.

Por ser linear, a função pode ser classificada como côncava e convexa ao mesmo tempo, ou,

ainda, como quasecôncava e quaseconvexa, embora não seja em nenhum caso considerada

como estritamente.

c) f(x) = logk² + bx² (b<0)

Como 𝑏 < 0, temos: 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑘² − 𝑏𝑥

𝑓 ′(𝑥) = −2𝑏𝑥 −2𝑏𝑥 = 0 → 𝑥 = 0

𝑓"(𝑥) = −2𝑏 → −

A função tem concavidade negativa em toda a sua extensão.

A função quadrática é côncava. Ademais, apresenta um extremo relativo que é um máximo global, o que a caracteriza como

estritamente côncava. d) f(x) = x³ – 2x

𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 2𝑥 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥² − 2

3𝑥² − 2 = 0 → 𝑥 = ± 23

𝑓" 𝑥 = 6𝑥

6𝑥 = 0 → 𝑥 = 0

A função polinomial é côncava e convexa,

conforme o intervalo de análise.

e) f(x1, x2) = 6x1 – 9x2 No gráfico, a representação é: z = 6x – 9y

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 6𝑥1 − 9𝑥2 𝑓𝑥1

= 6 → +

𝑓𝑥1𝑥1= 0

𝑓𝑥2= −9 → −

𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Como as derivadas primeiras não podem ser

igualadas à zero, não há condições de achar os pontos sujeitos a serem máximos ou mínimos, de forma que a condição suficiente de segunda

ordem não é atendida, já que temos: 𝑓𝑥1𝑥1

, 𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

= 𝑓𝑥1𝑥22

De acordo com isso, não é possível identificar a

classificação desta função.

f) f(x1, x2) = x2 – lnx1 No gráfico, a representação é: z = y – lnx

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1

𝑓𝑥1= − 1

𝑥1

𝑓𝑥1𝑥1= 1

𝑥12

𝑓𝑥2= 1 → +

𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Como somente a derivada primeira de 𝑥1 pode igualada à zero, não há condições de achar os pontos sujeitos a serem máximos ou mínimos, de forma que a condição suficiente de segunda

ordem não é atendida, já que temos: 𝑓𝑥1𝑥1

, 𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

= 𝑓𝑥1𝑥22

De acordo com isso, não é possível identificar a

classificação desta função.

g) f(x1, x2) = lnx2 – lnx1

No gráfico, a representação é: z = lny – lnx

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1

𝑓𝑥1= − 1

𝑥1

𝑓𝑥1𝑥1= 1

𝑥12

𝑓𝑥2= 1

𝑥2

𝑓𝑥2𝑥2= − 1

𝑥22

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

𝑓𝑥1𝑥1> 0 e 𝑓𝑥2𝑥2

< 0

𝑓𝑥1𝑥1 + 𝑓𝑥2𝑥2

(−) < 𝑓𝑥1𝑥22 (0)

Apesar da condição necessária de primeira ordem ser satisfeita, a condição suficiente de

segunda ordem não o é (tem-se sinais diferentes para os valores das derivadas segundas), de forma que o produto entre elas é inferior à

derivada cruzada, que, neste caso, é igual à zero.

De acordo com isso, não é possível identificar a classificação desta função.

h) f(x) = x² + 4

𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥

2𝑥 = 0 → 𝑥 = 0

𝑓 ′′ 𝑥 = 2 → +

A função tem concavidade positiva em toda a sua extensão.

A função quadrática é convexa. Ademais, apresenta um extremo relativo que é um mínimo global, o que a caracteriza como

estritamente convexa.

Utilizando a definição de função côncava [f(tx1 + (1 – t)x2) ≥ tf(x1) + (1 – t)f(x2)], função convexa [f(tx1 + (1 – t)x2) ≤ tf(x1) + (1 – t)f(x2)], função quasecôncava [f(tx1 + (1 – t)x2) ≥ min {f(x1),f(x2)}] e quaseconvexa [f(tx1 + (1 – t)x2) ≤ max {f(x1),f(x2)}], prove que sua resposta ao item anterior está correta. a) f(x) = lnk

𝑓 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑘 𝑡𝑓 𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑘

𝑙𝑛𝑘 = 𝑙𝑛𝑘

Utilizando a definição para os tipos de funções, comprova-se que 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑘 atende tanto a condição da convexidade quanto da concavidade, mostrando que realmente se trata de uma função côncava e convexa ao mesmo tempo, que também pode ser quasecôncava e quaseconvexa. b) f(x) = k + cx (c>0) Sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois pontos distintos quaisquer no domínio, de forma que 𝑥1 < 𝑥2. Então, tem-se: 𝑓 𝑥1 = 𝑘 + 𝑐𝑥1 𝑓 𝑥2 = 𝑘 + 𝑐𝑥2

𝑓 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑘 + 𝑐 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 𝑡𝑓 𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥2 = 𝑡 𝑘 + 𝑐𝑥1 + 1 − 𝑡 (𝑘 + 𝑐𝑥2)

𝑘 + 𝑐 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑡 𝑘 + 𝑐𝑥1 + 1 − 𝑡 (𝑘 + 𝑐𝑥2) 𝑘 + 𝑐𝑡𝑥1 + 𝑐𝑥2 − 𝑐𝑡𝑥2 = 𝑡𝑘 + 𝑐𝑡𝑥1 + 𝑘 + 𝑐𝑥2 − 𝑡𝑘 − 𝑐𝑡𝑥2

𝑘 + 𝑐𝑡𝑥1 + 𝑐𝑥2 − 𝑐𝑡𝑥2 = 𝑘 + 𝑐𝑡𝑥1 + 𝑐𝑥2 − 𝑐𝑡𝑥2

Utilizando a definição para os tipos de funções, comprova-se que 𝑓 𝑥 = 𝑘 + 𝑐𝑥 atende tanto a condição da convexidade quanto da concavidade, mostrando que realmente se trata de uma função côncava e convexa ao mesmo tempo, que também pode ser quasecôncava e quaseconvexa. c) f(x) = logk² + bx² (b<0) Sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois pontos distintos quaisquer no domínio, de forma que 𝑥1 < 𝑥2, e fazendo uma substituição para 𝑙𝑜𝑔𝑘² = 𝐿. Então, tem-se: 𝑓 𝑥1 = 𝐿 + 𝑏𝑥1

2 𝑓 𝑥2 = 𝐿 + 𝑏𝑥2

2 𝑓 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝐿 + 𝑏 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ²

𝑡𝑓 𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥2 = 𝑡 𝐿 + 𝑏𝑥12 + 1 − 𝑡 (𝐿 + 𝑏𝑥2

2)

𝐿 + 𝑏 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ² = 𝑡 𝐿 + 𝑏𝑥12 + 1 − 𝑡 (𝐿 + 𝑏𝑥2

2)

𝐿 + 𝑏 𝑡𝑥1 2 + 𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 + 1 − 𝑡 𝑥2 2 = 𝑡𝐿 + 𝑡𝑏𝑥1

2 + 𝐿 + 𝑏𝑥22 − 𝑡𝐿 − 𝑡𝑏𝑥2

2

𝐿 + 𝑏 𝑡𝑥1 2 + 𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 + 1 − 𝑡 𝑥2 2 = 𝑡𝑏𝑥1

2 + 𝐿 + 𝑏𝑥22 − 𝑡𝑏𝑥2

2

𝐿 + 𝑏 𝑡𝑥1 2 + 𝑏𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 + 𝑏 1 − 𝑡 𝑥2 2

= 𝑡𝑏𝑥12 + 𝐿 + 𝑏𝑥2

2 − 𝑡𝑏𝑥22

𝑡𝑏𝑥12 + 𝑏𝑥2

2 − 𝑡𝑏𝑥22 − 𝑏 𝑡𝑥1 2 − 𝑏𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 − 𝑏 1 − 𝑡 𝑥2

2= 0

𝑡𝑏𝑥12 − 𝑏 𝑡𝑥1 2 + 𝑏𝑥2

2 − 𝑡𝑏𝑥22 − 𝑏 1 − 𝑡 𝑥2

2− 𝑏𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 = 0

𝑏𝑥12 𝑡 − 𝑡2 + 𝑏𝑥2

2 1 − 𝑡 − 𝑎 − 𝑡 2 − 𝑏𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2 = 0 𝑏{𝑥1

2 𝑡 − 𝑡2 + 𝑥22 1 − 𝑡 − 𝑎 − 𝑡 2 − 𝑡 1 − 𝑡 𝑥1𝑥2} < 0

Utilizando a definição para os tipos de funções, comprova-se que 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑘² + 𝑏𝑥² com 𝑏 < 0 é uma função côncava e, além disso, estritamente côncava porque todo o termo acima será menor que zero (dado que 𝑏 < 0) e o termo em colchetes, maior que zero (haja visto que 𝑡 é uma fração positiva, os dois primeiros termos serão positivos e o terceiro termo será negativo, mas menor que os anteriores). Esse resultado justifica o sinal da desigualdade. d) f(x) = x³ – 2x Sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois pontos distintos quaisquer no domínio, de forma que 𝑥1 < 𝑥2. Então, tem-se:

𝑓 𝑥1 = 𝑥13 − 2𝑥1

2 𝑓 𝑥2 = 𝑥2

3 − 2𝑥22

𝑓 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ³ − 2 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 𝑡𝑓 𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥2 = 𝑡 𝑥1

3 − 2𝑥12 + 1 − 𝑡 (𝑥2

3 − 2𝑥22)

𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ³ − 2 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑡 𝑥1

3 − 2𝑥12 + 1 − 𝑡 (𝑥2

3 − 2𝑥22)

𝑡𝑥1 3 + 1 − 𝑡 𝑥2 3

+ 3(𝑡𝑥1)² 1 − 𝑡 𝑥2 + 3 𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 2 =

𝑡𝑥13 − 2𝑡𝑥1

2 + 𝑥23 − 2𝑥2

2 − 𝑡𝑥23 + 2𝑡𝑥2

2

𝑡𝑥13 − 2𝑡𝑥1

2 + 𝑥23 − 2𝑥2

2 − 𝑡𝑥23 + 2𝑡𝑥2

2 − 𝑡𝑥1 3 − 1 − 𝑡 𝑥2

3− 3 𝑡𝑥1

2(1 − 𝑡)𝑥2 − 3 𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 2 = 0

𝑡𝑥13 − 𝑡𝑥1

3 − 2𝑡𝑥12 + 𝑥2

3 − 𝑡𝑥23 − 1 − 𝑡 𝑥2

3− 2𝑥2

2 + 2𝑡𝑥22 − 3 𝑡𝑥1

2 1 − 𝑡 𝑥2 − 3 𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 2 = 0

𝑡𝑥13 1 − 𝑡2 − 2𝑡𝑥1

2 + 𝑥23 1 − 𝑡 − 1 − 𝑡 3 + 2𝑥2

2 𝑡 − 1 − 3𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2[𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 < 𝑜𝑢 > 0

Utilizando a definição para os tipos de funções, comprova-se que 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 2𝑥 é uma função côncava e convexa, dependendo do intervalo em que se analisa a mesma. Dado que 𝑡 é maior que zero, o termo em análise pode ser positivo ou negativo, dependo dos valores de 𝑥1 e 𝑥2 que determinarão se, para estes, a função é côncava ou convexa. e) f(x1, x2) = 6x1 – 9x2 Sejam 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2) dois pontos distintos quaisquer no domínio. Então, tem-se:

𝑓 𝑢 = 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 = 6𝑢1 − 9𝑢2 𝑓 𝑣 = 𝑓 𝑣1 , 𝑣2 = 6𝑣1 − 9𝑣2

𝑓 𝑡𝑢 + 1 − 𝑡 𝑣 = 𝑡6𝑢1 + 1 − 𝑡 6𝑣1 + [−𝑡9𝑢2 − 1 − 𝑡 9𝑣2] 𝑡𝑓 𝑢 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑣 = 𝑡 6𝑢1 − 9𝑢2 + 1 − 𝑡 (6𝑣1 − 9𝑣2)

𝑡6𝑢1 + 1 − 𝑡 6𝑣1 + −𝑡9𝑢2 − 1 − 𝑡 9𝑣2 = 𝑡 6𝑢1 − 9𝑢2 + 1 − 𝑡 (6𝑣1 − 9𝑣2)

𝑡6𝑢1 + 6𝑣1 − 𝑡6𝑣1 − 𝑡9𝑢2 − 9𝑣2 + 𝑡9𝑣2 = 𝑡6𝑢1 − 𝑡9𝑢2 + 6𝑣1 − 9𝑣2 + 𝑡9𝑣2 Com este resultado, pode-se concluir que a função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 6𝑥1 − 9𝑥2 confirma a condição necessária a fim de que tenha pontos extremos de máximo e mínimo, mas isso não é suficiente para determinar exatamente quais são eles. f) f(x1, x2) = x2 – lnx1 Sejam 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2) dois pontos distintos quaisquer no domínio. Então, tem-se:

𝑓 𝑢 = 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 𝑓 𝑣 = 𝑓 𝑣1 , 𝑣2 = 𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1

𝑓 𝑡𝑢 + 1 − 𝑡 𝑣 = 𝑡𝑢2 + 1 − 𝑡 𝑣2 + [−𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣1] 𝑡𝑓 𝑢 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑣 = 𝑡 𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 + 1 − 𝑡 (𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1)

𝑡𝑢2 + 1 − 𝑡 𝑣2 + −𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣1 = 𝑡 𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 + 1 − 𝑡 (𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1) 𝑡𝑢2 + 𝑣2 − 𝑡𝑣2 − 𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 𝑙𝑛𝑣1 + 𝑡𝑙𝑛𝑣1 = 𝑡𝑢2 − 𝑡𝑙𝑛𝑢1 + 𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1 − 𝑡𝑣2 + 𝑡𝑙𝑛𝑣1

Com este resultado, pode-se concluir que a função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1 confirma a condição necessária a fim de que tenha pontos extremos de máximo e mínimo, mas isso não é suficiente para determinar exatamente quais são eles. g) f(x1, x2) = lnx2 – lnx1

Sejam 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2) dois pontos distintos quaisquer no domínio. Então, tem-se:

𝑓 𝑢 = 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑙𝑛𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 𝑓 𝑣 = 𝑓 𝑣1 , 𝑣2 = 𝑙𝑛𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1

𝑓 𝑡𝑢 + 1 − 𝑡 𝑣 = 𝑡𝑙𝑛𝑢2 + 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣2 + [−𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣1] 𝑡𝑓 𝑢 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑣 = 𝑡 𝑙𝑛𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 + 1 − 𝑡 (𝑙𝑛𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1)

𝑡𝑙𝑛𝑢2 + 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣2 + −𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 1 − 𝑡 𝑙𝑛𝑣1 = 𝑡 𝑙𝑛𝑢2 − 𝑙𝑛𝑢1 + 1 − 𝑡 (𝑙𝑛𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1)

𝑡𝑙𝑛𝑢2 + 𝑙𝑛𝑣2 − 𝑡𝑙𝑛𝑣2 − 𝑡𝑙𝑛𝑢1 − 𝑙𝑛𝑣1 + 𝑡𝑙𝑛𝑣1 = 𝑡 𝑙𝑛𝑢2 − 𝑡𝑙𝑛𝑢1 + 𝑙𝑛𝑣2 − 𝑙𝑛𝑣1 − 𝑡𝑙𝑛𝑣2 + 𝑡𝑙𝑛𝑣1

Com este resultado, pode-se concluir que a função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1 confirma a condição necessária a fim de que tenha pontos extremos de máximo e mínimo, mas isso não é suficiente para determinar exatamente quais são eles. h) f(x) = x² + 4 Sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois pontos distintos quaisquer no domínio, de forma que 𝑥1 < 𝑥2. Então, tem-se:

𝑓 𝑥1 = 𝑥12 − 4

𝑓 𝑥2 = 𝑥22 − 4

𝑓 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 = 𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ² − 4 𝑡𝑓 𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥2 = 𝑡 𝑥1

2 − 4 + 1 − 𝑡 (𝑥22 − 4)

𝑡𝑥1 + 1 − 𝑡 𝑥2 ² − 4 = 𝑡 𝑥1

2 − 4 + 1 − 𝑡 (𝑥22 − 4)

𝑡𝑥1 ² + 2𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 + 1 − 𝑡 2𝑥22 − 4 = 𝑡𝑥1

2 − 4𝑡 + 𝑥22 − 4 − 𝑡𝑥2

2 + 4𝑡 𝑡𝑥1 ² + 2𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 + 1 − 𝑡 2𝑥2

2 − 4 = 𝑡𝑥12 + 𝑥2

2 − 4 − 𝑡𝑥22

𝑡𝑥12 + 𝑥2

2 − 4 − 𝑡𝑥22 − 𝑡𝑥1 ² − 2𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 − 1 − 𝑡 2𝑥2

2 = 0 𝑡𝑥1

2 − 𝑡𝑥1 ² − 1 − 𝑡 2𝑥22 + 𝑥2

2 − 𝑡𝑥22 − 2𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 = 0

𝑥12 𝑡 − 𝑡2 + 𝑥2

2 1 − 𝑡 − 1 − 𝑡 2 − 2𝑡𝑥1 1 − 𝑡 𝑥2 > 0

Utilizando a definição para os tipos de funções, comprova-se que 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4 é uma função convexa e, além disso, estritamente convexa porque todo o termo acima será maior que zero. Dado que 𝑡 é uma fração positiva e menor que 1, os dois primeiros termos serão positivos e o terceiro termo será negativo, mas menor que os anteriores, justificando o sinal de desigualdade. Utilizando a Matriz Hessiana, prove que a sua resposta ao segundo item está correta. a) f(x) = lnk A função 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑘 já apresenta na primeira derivada o valor zero, de forma que:

𝑓′ 𝑥 = 0 Não é possível construir a Matriz Hessiana (que seria igual a uma matriz nula) e, por se tratar de uma função constante, essa construção também não é necessária. b) f(x) = k + cx (c>0) A função 𝑓 𝑥 = 𝑘 + 𝑐𝑥 apresenta como primeira derivada o valor:

𝑓 ′(𝑥) = 𝑐 → + A partir disso, não é possível construir a Matriz Hessiana pois ela seria uma matriz nula. c) f(x) = logk² + bx² (b<0) A função 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑘² − 𝑏𝑥, já que 𝑏 < 0, terá uma Matriz Hessiana com apenas um elemento (um menor principal), haja vista que:

𝑓 ′(𝑥) = −2𝑏𝑥 𝑓"(𝑥) = −2𝑏

O valor da derivada segunda corresponderá ao menor principal, de forma que o determinante hessiano é:

𝐻 = −2𝑏 Dado que este valor é negativo (o menor principal é negativo), tem-se a condição necessária

e suficiente de segunda ordem para um ponto de máximo, de forma a qualificar a função como estritamente côncava.

d) f(x) = x³ – 2x A função 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 2𝑥 terá uma Matriz Hessiana com apenas um elemento (um menor principal), haja vista que:

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥² − 2 𝑓" 𝑥 = 6𝑥

O valor da derivada segunda corresponderá ao menor principal, de forma que o determinante hessiano é:

𝐻 = 6𝑥 Dado que H pode ser negativo ou positivo, dependendo do valor de 𝑥, tem-se a condição

necessária e suficiente de segunda ordem para que haja pontos de máximo e mínimo, de forma a qualificar a função como côncava e convexa conforme o intervalo de análise. e) f(x1, x2) = 6x1 – 9x2

A função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 6𝑥1 − 9𝑥2 terá uma Matriz Hessiana formada apenas por elementos nulos, haja vista que:

𝑓𝑥1𝑥1= 0

𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Assim, a Matriz Hessiana será:

𝐻 = 𝑓𝑥1𝑥1

𝑓𝑥1𝑥2

𝑓𝑥2𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

= 0 00 0

Com base nesta Matriz Hessiana, não é possível tirar qualquer informação a respeito do tipo de função com a qual se está trabalhando. f) f(x1, x2) = x2 – lnx1

A função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1 terá uma Matriz Hessiana formada por elementos nulos e por um valor diferente de zero, haja vista que:

𝑓𝑥1𝑥1= 1

𝑥12

𝑓𝑥2𝑥2= 0

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Assim, a Matriz Hessiana será:

𝐻 = 𝑓𝑥1𝑥1

𝑓𝑥1𝑥2

𝑓𝑥2𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

= 1

𝑥12 0

0 0

𝐻 = 0 Ainda que a Matriz Hessiana não seja completamente nula, o valor do determinante Hessiano o é. Desta forma, não é possível tirar qualquer informação a respeito do tipo de função com a qual se está trabalhando. g) f(x1, x2) = lnx2 – lnx1

A função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥1 terá uma Matriz Hessiana com os elementos nulos na diagonal secundário e elementos não-nulos na diagonal principal, haja vista que:

𝑓𝑥1𝑥1= 1

𝑥12

𝑓𝑥2𝑥2= − 1

𝑥22

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Assim, a Matriz Hessiana será:

𝐻 = 𝑓𝑥1𝑥1

𝑓𝑥1𝑥2

𝑓𝑥2𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

=

1𝑥1

2 0

0 − 1𝑥2

2

𝐻 = 1𝑥1

2 − 1𝑥2

2 = − 1𝑥1

2𝑥22

A função é negativamente definida (já que o determinante Hessiano é menor que zero), mas não é possível tirar qualquer informação a respeito do tipo de função com a qual se está trabalhando

porque o primeiro menor principal (𝑓𝑥1𝑥1) é positivo, mas o segundo menor principal −1/𝑥1

2𝑥22 é

negativo, impedindo que se tenha uma condição suficiente de segunda ordem. h) f(x) = x² + 4 A função 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4 terá uma Matriz Hessiana com apenas um elemento (um menor principal), haja vista que:

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 𝑓" 𝑥 = 2

O valor da derivada segunda corresponderá ao menor principal, de forma que o determinante hessiano é:

𝐻 = 2 Dado que o H é igual 2 (o menor principal é positivo), tem-se a condição necessária e

suficiente de segunda ordem para um ponto de mínimo, de forma a qualificar a função como estritamente convexa. 2. Mostre que a função cúbica, f(x) = ax³ + bx² + cx + d, não é, em geral, quasecôncava nem quaseconvexa. É possível impor algumas restrições nos parâmetros, para que a função cúbica se transforme em quasecôncava e quaseconvexa para x ≥ 0? Partindo-se da função cúbica apresentada, temos que:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑓′ 𝑥 = 3𝑎𝑥² + 2𝑏𝑥 + 𝑐

𝑓′′ 𝑥 = 6𝑎𝑥 + 2𝑏

6𝑎𝑥 + 2𝑏 = 0 → 𝑥 = −2𝑏

6𝑎

A partir da derivada segunda, pode-se perceber que ora a função terá inclinação decrescente e ora inclinação crescente, dependendo dos valores que forem assumidos por 𝑥. Isso equivale a dizer que a função irá apresentar concavidade para baixo (será côncava) e para cima (será convexa), conforme for o intervalo analisado, incluindo ainda um ponto de inflexão. Dessa forma, a função cúbica não será, em geral, qualificada nem como quasecôncava, nem como quaseconvexa. Para a função cúbica, podemos ter quatro desenhos distintos de curvas. Cabe especial atenção, entretanto, para os casos onde há quaseconcavidade e quaseconvexidade, representados pelos gráficos 1 e 4, respectivamente. Nestes, os sinais dos parâmetros “a” e “c” são os mesmos, de forma que a função não apresente, a priori, valores de máximos e mínimos, apenas pontos de inflexão. O contrário ocorre quando os sinais destes parâmetros são distintos.

Gráfico 1

Gráfico 2

Gráfico 3

Gráfico 4

3. Mostre que a função Cobb-Douglas, f(x1, x2) = x1x2 (x1 e x2 ≥ 0), não é quaseconvexa. Quais implicações isso teria para a teoria da firma? E para a teoria do consumidor? Mostrar que a função Cobb-Douglas não é quaseconvexa implica em mostrá-la na forma de quasecôncava. Para isso, utiliza-se a seguinte definição alternativa:

“Uma função f(x), onde x é um vetor de variáveis, é quasecôncava se, e somente se, para qualquer constante k, o conjunto S≥≡{x|f(x)≥k} for um conjunto convexo”.

A partir disso, podemos estabelecer que 𝑆≥ ≡ 𝑥, 𝑦 |𝑥𝑦 ≥ 𝑘 é um conjunto convexo para qualquer k. Para esse propósito, estabelece-se 𝑥𝑦 = 𝑘 para obter uma curva de isovalor para cada valor de k. Assim, como x e y, k deve ser não-negativo. Supondo 𝑘 = 2, temos que a curva de isovalor é uma hipérbole retangular no primeiro quadrante do plano 𝑥𝑦, de forma que o conjunto 𝑆≥, composto de todos sobre ou acima de uma hipérbole regular, é um conjunto convexo, como pode ser observado na Figura 1.

Figura 1 – Curva de isovalor para um dado valor de k.

No outro caso, com 𝑘 = 0, a curva de isovalor, como definida por 𝑥𝑦 = 0, tem forma de L,

sendo que o L coincide com os segmentos não-negativos dos eixos x e y. O conjunto 𝑆≥, consistindo, dessa vez, em todo o quadrante não-negativo é, mais uma vez, um conjunto convexo. Assim, a função de Cobb-Douglas é quasecôncava, tendo sua forma como a da Figura 2.

Figura 2 – Função Cobb-Douglas no espaço tridimensional.

Outra forma de provar que a função Cobb-Douglas não é quaseconvexa se dá a partir da diferenciabilidade da função. Neste caso, temos: sejam 𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 e 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 dois pontos quaisquer no domínio. Então: 𝑓 𝑢 = 𝑢1𝑢2 e 𝑓 𝑣 = 𝑣1𝑣2. Suponha que 𝑓 𝑣 ≥ 𝑓(𝑢) ou 𝑣1𝑣2 ≥ 𝑢1𝑢2, todos eles maiores ou iguais a zero. Visto que as derivadas parciais são:

𝑓1 =𝜕𝑓(𝑥1 , 𝑥2)

𝜕𝑥1= 𝑥2

𝑓2 =𝜕𝑓(𝑥1 , 𝑥2)

𝜕𝑥2= 𝑥1

pode-se montar a condição alternativa: 𝑓1 𝑢 𝑣1 − 𝑢1 + 𝑓2 𝑢 𝑣2 − 𝑢2 = 𝑢2 𝑣1 − 𝑢1 + 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 ≥ 0

𝑢2 𝑣1 − 𝑢1 ≥ 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 As quatro possibilidades em relação aos valores de 𝑢1 e 𝑢2 que satisfazem a relação acima são: a) 𝑢2 = 𝑢1 = 0 b) 𝑢1 = 0 e 𝑢2 > 0 c) 𝑢1 > 0 e 𝑢2 = 0 d) 𝑢2 𝑒 𝑢1 > 0 As três outras subpossibilidades que se apresentam e que, da mesma forma, satisfazem a relação acima são: a) Se 𝑢2 = 𝑣2 então 𝑣1 ≥ 𝑢1 b) Se 𝑢2 > 𝑣2 então 𝑣1 ≥ 𝑢1

c) Se 𝑢2 < 𝑣2 então 𝑢2

𝑣2 é uma fração positiva.

Já que a relação é satisfeita em todas as situações possíveis, a função Cobb-Douglas é quasecôncava.

Se a função Cobb-Douglas, para a produção, fosse quaseconvexa, isso implicaria em incremento negativo conforme aumentasse os insumos utilizados na produção, ou seja, quanto mais insumos, menores quantidades seriam, de fato, produzidas, de forma que o melhor seria não produzir. Com uma função de produção deste tipo, o equilíbrio no consumo e na produção se daria somente se as curvas de indiferença fossem côncavas, o que vai de encontro com toda a base da Teoria do Consumidor. Outra possibilidade é de que os bens produzidos deveriam ser vistos como bens males, aqueles que o consumidor não deseja, de forma a inibir sua produção. 4. Verifique se as funções seguintes são côncavas, convexas, quasecôncavas, quaseconvexas, estritamente côncavas, estritamente convexas, estritamente quasecôncavas e estritamente quaseconvexas: a) f(x1, x2) = x1² – x2², (x1, x2>0)

Dada a função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥12 − 𝑥2

2, tem-se: 𝑓𝑥1

= 2𝑥1

𝑓𝑥1𝑥1= 2

𝑓𝑥2= −2𝑥2

𝑓𝑥2𝑥2= −2

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

A condição suficiente de segunda ordem exige que ambas as derivadas parciais sejam maiores que zero para um ponto de mínimo ou que sejam menores que zero para um ponto de máximo. Além disso, deve-se ter:

𝑓𝑥1𝑥1, 𝑓𝑥2𝑥2

= 0

𝑓𝑥1𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

> 𝑓𝑥1𝑥22

Como nenhuma destas condições é atendida (já que as derivadas parciais de segunda ordem têm sinais distintos e o produto destas é inferior ao quadrado da derivada parcial cruzada), a condição suficiente para determinar a inclinação da curva não se mantém, de forma que não é possível fazer inferências sobre o caráter da curva 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 . b) f(x1, x2) = - (x1 + 1)² – (x2 + 2)², (x1, x2>0)

Dada a função 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = − 𝑥1 + 1 2 − (𝑥2 + 2)², tem-se:

𝑓𝑥1= −2 𝑥1 + 1 = −2𝑥1 − 2

𝑓𝑥1𝑥1= −2

𝑓𝑥2= −2 𝑥2 + 2 = −2𝑥2 − 4

𝑓𝑥2𝑥2= −2

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

A condição suficiente de segunda ordem exige que ambas as derivadas parciais sejam maiores que zero para um ponto de mínimo ou que sejam menores que zero para um ponto de máximo. Neste caso, temos um ponto de máximo. Além disso, deve-se ter:

𝑓𝑥1𝑥1, 𝑓𝑥2𝑥2

= 0

𝑓𝑥1𝑥1𝑓𝑥2𝑥2

> 𝑓𝑥1𝑥22

−2 −2 = 4 → 4 > 0 Neste caso, foram atendidas as condições necessária de primeira ordem e suficiente de segunda ordem, de forma que 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 é uma função estritamente côncava. 5. Considere o seguinte problema:

Minimizar C = x1² + x2², sujeito à x1 + x2 ≥ 2; x1 e x2 ≥ 0. a) As condições de Kuhn-Tucker são necessárias e suficientes para um mínimo nesse caso? Justifique sua resposta.

A partir da função 𝐶 = 𝑥12 + 𝑥2

2, tem-se que as derivadas segundas são maiores que zero e que o produto entre elas é maior que o quadrado da derivada parcial cruzada.

𝑓𝑥1= 2𝑥1

𝑓𝑥1𝑥1= 2

𝑓𝑥2= 2𝑥2

𝑓𝑥2𝑥2= 2

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

Por outro lado, a função de restrição à 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥1 − 𝑥2 é diferenciável apenas uma vez, de forma que a derivada segunda é zero, o que vai de encontro com as condições de concavidade, exigindo as condições de Kuhn-Tucker. As condições de Kuhn-Tucker devem ser necessárias e suficientes para que a solução em problemas de programação não-linear seja ótima (para que, neste caso, seja estabelecido o mínimo da função). São elas:

a) As derivadas parciais tem valores correspondentes a 𝜕𝑍

𝜕𝑥𝑗≥ 0 e

𝜕𝑍

𝜕𝜆≤ 0;

b) Existe a restrição de não-negatividade a 𝑥𝑗 e 𝜆𝑖 ;

c) Prevalece a folga complementar entre cada variável e a derivada parcial de Z em relação àquela variável, isto é, o produto entre estes é nulo. b) Escreva as condições de Kuhn-Tucker e determine, por iteração, a solução do problema. Determine os valores de x1, x2 e C.

Para minimizar 𝐶 = 𝑥12 + 𝑥2

2 sujeito à 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 2 e 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0:

𝐿 = 𝑥12 + 𝑥2

2 + 𝜆(2 − 𝑥1 − 𝑥2) As condições de Kuhn-Tucker são:

𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 2𝑥1 − 𝜆 ≥ 0 𝑥1 ≥ 0 𝑥1𝐿𝑥1

= 0

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= 2𝑥2 − 𝜆 ≥ 0 𝑥2 ≥ 0 𝑥2𝐿𝑥2

= 0

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 2 − 𝑥1 − 𝑥2 ≤ 0 𝜆 ≥ 0 𝜆𝐿𝜆 = 0

A abordagem típica para resolver um problema de programação não-linear é a de tentativa e erro. Para o presente exercício, experimentar-se-á, primeiramente, supor que 𝐿𝑥1

= 𝐿𝑥2= 𝐿𝜆 = 0.

Neste caso, temos:

2𝑥1 − 𝜆 = 02𝑥2 − 𝜆 = 0𝑥1 + 𝑥2 = 2

2𝑥1 − 𝜆 = 2𝑥2 − 𝜆 𝑥1 = 𝑥2

𝑥1 + 𝑥1 = 2 → 𝑥1 = 1 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟏

2𝑥1 − 𝜆 = 0 → 𝝀 = 𝟐 𝑪 = 𝒙𝟏

𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 → 𝑪 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐

c) Represente, graficamente, a solução. Como a função C é tridimensional com restrição, limitou-se a representar a solução para os valores de 𝑥1 e 𝑥2na restrição a que a função está sujeita.

6. Considere o seguinte problema:

Maximizar π = x1, sujeito à x1² + x2² ≤ 1; x1 e x2 ≥ 0 a) As condições de Kuhn-Tucker são necessárias e suficientes para um mínimo neste caso? Justifique sua resposta. A partir da função 𝜋 = 𝑥1, tem-se que esta é diferenciável apenas uma vez, de forma que a derivada segunda é zero, o que vai de encontro com as condições de concavidade, exigindo as condições de Kuhn-Tucker.

Por outro lado, a função de restrição 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥12 − 𝑥2

2 apresenta derivadas segundas menores que zero e o produto entre elas é maior que o quadrado da derivada parcial cruzada.

𝑓𝑥1= −2𝑥1

𝑓𝑥1𝑥1= −2

𝑓𝑥2= −2𝑥2

𝑓𝑥2𝑥2= −2

𝑓𝑥1𝑥2= 0

𝑓𝑥2𝑥1= 0

As condições de Kuhn-Tucker devem ser necessárias e suficientes para que a solução em problemas de programação não-linear seja ótima (para que, neste caso, seja estabelecido o máximo da função). São elas:

a) As derivadas parciais tem valores correspondentes a 𝜕𝑍

𝜕𝑥𝑗≥ 0 e

𝜕𝑍

𝜕𝜆≤ 0;

b) Existe a restrição de não-negatividade a 𝑥𝑗 e 𝜆𝑖 ;

c) Prevalece a folga complementar entre cada variável e a derivada parcial de Z em relação àquela variável, isto é, o produto entre estes é nulo. b) Escreva as condições de Kuhn-Tucker e determine, por iteração, a solução do problema. Determine os valores de x1 e x2.

Para maximizar 𝜋 = 𝑥1 sujeito à 𝑥12 + 𝑥2

2 ≤ 1 e 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0:

𝐿 = 𝑥1 + 𝜆(1 − 𝑥12 − 𝑥2

2) As condições de Kuhn-Tucker são:

𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 1 − 2𝑥1𝜆 ≤ 0 𝑥1 ≥ 0 𝑥1𝐿𝑥1

= 0

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= −2𝑥2𝜆 ≤ 0 𝑥2 ≥ 0 𝑥2𝐿𝑥2

= 0

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 1 − 𝑥1

2 − 𝑥22 ≥ 0 𝜆 ≥ 0 𝜆𝐿𝜆 = 0

A abordagem típica para resolver um problema de programação não-linear é a de tentativa e erro. Para o presente exercício, experimentar-se-á, primeiramente, supor que 𝑥2 = 0 e que 𝐿𝑥1

= 𝐿𝜆 = 0. Neste caso, temos:

1 − 2𝑥1𝜆 = 0𝑥2 = 0

𝑥12 + 𝑥2

2 = 1

𝒙𝟐 = 𝟎 𝑥1

2 + 𝑥22 = 1 → 𝑥1

2 = 1 𝒙𝟏 = 𝟏

1 − 2𝑥1𝜆 = 0 → 1 − 2 1 𝜆 = 0

𝝀 = 𝟏𝟐

𝜋 = 𝑥1 → 𝝅 = 𝟏 c) Represente, graficamente, sua solução. Como a função de lucros depende diretamente dos valores 𝑥1, limitou-se a representá-la para mostrar o ponto onde ocorre a maximização.

7. Elabore o gráfico da função f(x) = 6 – x² – 4x. Encontre o ponto onde a função atinge o seu máximo (global) sem restrição e encontre o valor da função nesse ponto. Compare essa solução com a obtida a partir da maximização condicionada à restrição de não-negatividade de x, isto é, x≥0. Para a função dada, temos a maximização sem restrição a seguir:

𝑓 𝑥 = −𝑥² − 4𝑥 + 6 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥 − 4

−2𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = −2

𝑓′′ 𝑥 = −2

A função sempre apresenta concavidade negativa (voltada para baixo). 𝑓 −2 = − −2 2 − 4(−2)+6

𝑓 −2 = 10 A função atinge o seu máximo global sem

restrição quando x=-2 e y=10.

Para o caso da maximização condicionada à restrição de não-negatividade de x, temos: Maximizar −𝑥² − 4𝑥 + 6 sujeito à 𝑥 ≥ 0.

Dados os valores máximos da função sem quaisquer restrições, pode-se perceber que eles se encontram fora da região viável (correspondente ao primeiro quadrante do plano cartesiano). Neste caso, o máximo local estará sobre o eixo y. No ponto máximo:

𝑓 ′ 𝑥1 < 0 → 𝑓 ′ 0 = −4 e 𝑥1 = 0 Graficamente, a maximização condicionada passa a ser:

8. Resolva os seguintes problemas e mostre que as condições de segunda ordem são satisfeitas. a) Minx1, x2 x1² + x2², sujeito à x1x2 = 1

Para minimizar 𝑥12 + 𝑥2

2 sujeito à 𝑥1𝑥2 = 1: 𝐿 = 𝑥1

2 + 𝑥22 + 𝜆(1 − 𝑥1𝑥2)

𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 2𝑥1 − 𝜆𝑥2

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= 2𝑥2 − 𝜆𝑥1

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 1 − 𝑥1𝑥2

Igualando os valores à zero, tem-se:

2𝑥1 − 𝜆𝑥2 = 02𝑥2 − 𝜆𝑥1 = 01 − 𝑥1𝑥2 = 0

2𝑥1 − 𝜆𝑥2 = 0 2𝑥1 = 𝜆𝑥2

𝑥1 =𝜆

2𝑥2

2𝑥2 − 𝜆𝑥1 = 0

2𝑥2 − 𝜆𝜆

2𝑥2 = 0

𝝀 = 𝟐 2𝑥1 − 𝜆𝑥2 = 0 → 2𝑥1 − 2𝑥2 = 0

𝑥1 = 𝑥2 1 − 𝑥1𝑥2 = 0 → 1 − 𝑥1

2 = 0 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟏

O valor mínimo da função será em 1 2 + 1 2 = 2. b) Minx1, x2 x1x2, sujeito à x1² + x2² = 1

Para minimizar 𝑥1𝑥2 sujeito à 𝑥12 + 𝑥2

2 = 1:

𝐿 = 𝑥1𝑥2 + 𝜆(1 − 𝑥12 − 𝑥2

2) 𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 𝑥2 − 2𝑥1𝜆

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= 𝑥1 − 2𝑥2𝜆

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 1 − 𝑥1

2 − 𝑥22

Igualando os valores à zero, tem-se:

𝑥2 − 2𝑥1𝜆 = 0𝑥1 − 2𝑥2𝜆 = 0

1 − 𝑥12 − 𝑥2

2 = 0

𝑥2 − 2𝑥1𝜆 = 0

𝑥2 = 2𝑥1𝜆 → 𝑥1 =𝑥2

2𝜆

𝑥1 − 2𝑥2𝜆 = 0 𝑥2

2𝜆− 2𝑥2𝜆 = 0

𝝀 =𝟏

𝟐

𝑥1 − 2𝑥2𝜆 = 0 → 𝑥1 − 2𝑥2

1

2= 0

𝑥1 = 𝑥2 1 − 𝑥1

2 − 𝑥22 = 0 → 1 − 2𝑥1

2 = 0

𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟏𝟐

O valor mínimo da função será em 12 1

2 = 12 .

c) Maxx1, x2, x3 x1x2²x3³, sujeito à x1 + x2 + x3 = 1

Para maximizar 𝑥1𝑥22𝑥3

3 sujeito à 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1: 𝐿 = 𝑥1𝑥2

2𝑥33 + 𝜆(1 − 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3) 𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 𝑥2

2𝑥33 − 𝜆

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= 2𝑥1𝑥2𝑥3

3 − 𝜆

𝜕𝐿

𝜕𝑥3= 3𝑥1𝑥2

2𝑥32 − 𝜆

𝜕𝐿

𝜕𝜆= 1 − 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3

Igualando os valores à zero, tem-se:

𝑥2

2𝑥33 − 𝜆 = 0

2𝑥1𝑥2𝑥33 − 𝜆 = 0

3𝑥1𝑥22𝑥3

2 − 𝜆 = 01 − 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 0

𝑥22𝑥3

3 − 𝜆 = 0 → 𝜆 = 𝑥22𝑥3

3 2𝑥1𝑥2𝑥3

3 − 𝜆 = 0 → 𝜆 = 2𝑥1𝑥2𝑥33

𝑥22𝑥3

3 = 2𝑥1𝑥2𝑥33

𝑥22 = 2𝑥1𝑥2

𝑥2 = 2𝑥1 ↔ 𝑥1 =𝑥2

2

3𝑥1𝑥22𝑥3

2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 = 3𝑥1𝑥22𝑥3

2 3𝑥1𝑥2

2𝑥32 = 𝑥2

2𝑥33

3𝑥1 = 𝑥3 ↔ 𝑥1 =𝑥3

3

Sabendo as relações 𝑥2 = 2𝑥1 e 𝑥3 = 3𝑥1, tem-se: 1 − 𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 0

1 − 𝑥1 − 2𝑥1 − 3𝑥1 = 0

1 − 6𝑥1 = 0 → 𝒙𝟏 = 𝟏𝟔

𝑥2 = 2𝑥1 → 2(16 ) → 𝒙𝟐 = 𝟏

𝟑

𝑥3 = 3𝑥1 → 3 16 → 𝒙𝟑 = 𝟏

𝟐

𝜆 = 𝑥22𝑥3

3 = 13 ² 1

2 ³ → 𝜆 = 172

O valor máximo da função será em 16 1

3 ² 12 ³ = 1

432 .