Polinômios

Acadêmica: Vanessa da Silva Pires

Situação 01:

Se você somar 1 ao produto de

quatro inteiros consecutivos, o

resultado sempre será um quadrado

perfeito.

Situação 02:

Na resolução de problemas, é

comum ocorrerem situações em que a

leitura e a compreensão do enunciado

nos levam a formular expressões e

equações que nos ajudam a resolver o

problema. Imagine por exemplo que, em

determinados problemas, os enunciados

nos levem às seguintes figuras e suas

dimensões:

a) A primeira figura é uma região retangular de

dimensões x e (x+5). Determine as expressões

do perímetro e da área dessa figura.

b) A segunda figura representa um cubo com

arestas de medida x. Determine as expressões

da área e do volume dessa figura.

c) A terceira figura representa um

paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4)

e x. Determine as expressões da área total e do

volume dessa figura.

d) Qual a expressão que representa a soma de

todas as superfícies das figuras.

e) Qual a diferença entre a medida da

superfície do paralelepípedo e da medida da

superfície do cubo.

Historicização:

Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra, entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.

O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra álgebra, que é “trocar os membros” no termo de uma equação.

Polinômio com uma variável

Polinômio na variável x é toda expressão

P(x) que pode ser apresentada sob forma:

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥

+ 𝑎0′

Em que {𝑎0′,𝑎1, , 𝑎2, … , 𝑎𝑛} ⊂ ℂ, {𝑛, 𝑛 −

1, 𝑛 − 2, … ,1,0} ⊂ ℕ e a variável x pode

assumir qualquer valor complexo.

Exemplos:

a) a expressão 6𝑥4 + 2𝑥³ + 𝑥² − 7𝑥 + 9 é um

polinômio de grau 4 em que:

Exemplos:

b) a expressão 7𝑡5 + 6𝑖𝑡³ − 10𝑡, que pode ser

representada sob a forma 7𝑡5+0𝑡4 + 6𝑖𝑡³ +0𝑡² − 10𝑡 + 0 é um polinômio de grau 5 em

que:

Exemplos: c) O número 3 é um polinômio?

d) As expressões 5𝑥−3 + 6𝑥² + 4𝑥−1 + 7 e

3𝑡1

2 + 4𝑡³ + 5𝑡 − 2 são polinômios?

e) O número 2 é a raiz do polinômio

P(x)= 𝑥³ − 5𝑥² + 3𝑥 + 6 ?

Identidade de polinômios:

Considere os polinômios 𝑃 𝑥 = 2𝑥² +4𝑥 + 3 𝑒 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 , em que 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são constantes complexas.

Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios idênticos se, e somente se, P(𝛽)=Q(𝛽) para qualquer 𝛽 ∈ ℂ.

Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais.

Operações com polinômios:

Adição

A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que

se indica por P(x) + Q(x), é o polinômio

obtido ao se adicionarem os coeficientes de

P(x) com os coeficientes de Q(x).

Exemplo: Calcule a soma dos polinômios

P(x)= 12𝑥4 + 6𝑥² + 2𝑥 + 7 e Q(x)= 4𝑥³ +9𝑥² − 𝑥 − 8.

Operações com polinômios:

Subtração

A diferença entre os polinômios P(x) e

Q(x), nessa ordem, que se indica por P(x) –

Q(x), é definida como a soma de P(x) com o

oposto de Q(x).

Exemplo: Sejam P(x)= 𝑥5 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 3 e

Q(x) = 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ − 2 , calcule P(x)-

Q(x).

Operações com polinômios:

Multiplicação

O produto dos polinômios P(x) e Q(x),

que se indica por P(x) ⋅ Q(x), é o polinômio

obtido pela soma dos produtos de cada

monômio de P por todos os monômios de Q.

Exemplo: Sendo H(x) = 5𝑥³ + 2𝑥 e

G(x) = 2𝑥² + 4𝑥 − 1, efetue o produto

H(x) ⋅ G(x).

Operações com polinômios:

Divisão

Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio

não nulo D(x) significa obter os polinômios

Q(x) e R(x) tais que:

Q(x) ∙ D(x) + R(x)= E(x)

gr (R) < gr (D) ou R(x)= 0

Operações com polinômios:

Divisão

Exemplo: Vamos dividir o polinômio

P x = 3𝑥5 + 5𝑥4 + 10𝑥³ + 6𝑥² + 10𝑥 pelo

polinômio 𝐷 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥.

Exemplo: Efetue a divisão de P x = 𝑥² − 9

por D(x) = 𝑥 − 3.

Fração Polinomial:

Chama-se fração polinomial toda

expressão do tipo 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) em que P(x) e Q(x) são

polinômios, com Q(x)≠ 0.

Exemplos:

a) 5𝑥4+2𝑥−1

𝑥+3

b) 5

𝑥²−1

Teorema do resto:

Sendo a uma constante complexa

qualquer, o resto da divisão de um polinômio

P(x) por 𝑥 − 𝑎 é igual a P(a).

𝑃 𝑎 = 𝑅

Teorema de D’Alembert:

Sendo a uma constante complexa

qualquer, um polinômio P(x) é divisível por

𝑥 − 𝑎 se, e somente se, a é raiz de P(x).

a é raiz de 𝑃 𝑥 ↔ 𝑅 = 0

P(a) = 0

Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

Para a divisão do polinômio E(x) por um

binômio da forma 𝑥 − 𝑎 , em que a é uma

constante qualquer, com o objetivo de facilitar

essa operação, temos um dispositivo prático

conhecido como dispositivo prático de Briot-

Ruffini, em homenagem aos matemáticos que

a criaram, Charles August Briot (1817-1882) e

Paolo Ruffini (1765-1822).

Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

Vamos fazer a divisão de 𝑃 𝑥 = 3𝑥³ − 5𝑥2 + 𝑥 − 2

por 𝐷 𝑥 = 𝑥 − 2

1º - Colocamos a raiz do divisor seguida dos

coeficientes do dividendo, em ordem cresceste dos

expoentes de x ;

2º - Repetimos, abaixo da linha, o primeiro

coeficiente do dividendo;

Dispositivo prático de Briot-Ruffini:

3º - Multiplica a raiz do divisor pelo coeficiente retido e adicionamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste;

4º - Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente colocado abaixo do 2º coeficiente e adicionamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente;

5º - Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São Paulo: Editora FTD S.A, 2005.

PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna, 2009.

Sites: http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 25/08/2014 Polinômios no dia-a-dia