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Polinômios
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Polinômios
1.Introdução
2.Técnicas de fatoração
3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior
4.Teorema do zero racional
3
Nesta aula, vamos apresentar algunsassuntos de interesse, relativo aos polinômios, quevão subsidiar a disciplina de Cálculo I.
1. Introdução
4
O Teorema Fundamental da Álgebra afirmaque todo polinômio de grau n
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
tem precisamente n zeros. (Os zeros podem serrepetidos ou imaginários.) O problema de achar oszeros de um polinômio é equivalente ao dedecompor o polinômio em fatores lineares.
2. Técnicas de fatoração
5
2.1. Fórmula quadrática
22
2 2
40
2
4 40
2 2
b b acax bx c x
a
b b ac b b acx x
a a
− ± −+ + = ⇒ =
− + − − − −− ⋅ − =
Exemplo:
( ) ( )
±− + = ⇒ =
− + = ⇒ − ⋅ − =
2
2
5 15 6 0
25 6 0 3 2 0
x x x
x x x x
6
2.2. Produtos especiais
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
4 4 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
x a x a x a
x a x a x ax a
x a x a x ax a
x a x a x a x a
− = − +− = − + ++ = + − +− = − + +
Exemplos:
2
3 2
3 2
4 2
9 ( 3)( 3)
8 ( 2)( 2 4)
64 ( 4)( 4 16)
16 ( 2)( 2)( 4)
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− = − +− = − + ++ = + − +− = − + +
7
2.3. Produtos especiais
( )( )( )( )( )( )
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
4 4 3 2 2 3 4
2
2
3 3
3 3
4 6 4
4 6 4
x a x ax a
x a x ax a
x a x ax a x a
x a x ax a x a
x a x ax a x a x a
x a x ax a x a x a
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
+ = + + + +
− = − + − +
8
2.3. Produtos especiais
Exemplos:
( )( )( )( )( )( )
2 2
22 4 2
3 3 2
3 3 2
4 4 3 2
4 4 3 2
3 6 9
5 10 25
2 6 12 8
1 3 3 1
2 8 24 32 16
4 16 96 256 256
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
+ = + + + +
− = − + − +
2.3. Produtos especiais
Se expandirmos (a + b)n para n = 0, 1, 2, 3, 4e 5, obteremos as expressões abaixo:
0
1
2
3
4
5
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
1 0 0 1
2 0 1 1 0 2
3 0 2 1 1 2 0 3
4 0 3 1 2 2 1 3 0 4
5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
+
+ +
+ + +
+ + + +
+ + + + +
2.3. Produtos especiais
Os coeficientes binomiais na expansão de(a + b)n são os valores de
, para 0, 1, 2, 3, 4, , n r
nC r n
r
= =
…
onde
,!
!( )!n r
n nC
r r n r
= = −
sendo n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 1, sendo 0! = 1 e1! = 1
2.3. Produtos especiais
A expansão de
( )n fatores
( )( )( ) ( )n
a b a b a b a b a b+ = + + + +…�������������
consiste em todos os possíveis produtos quepodemos formar com as letras, no caso a e b. Onúmero de maneiras para formar o produto arbn-r éexatamente o mesmo número de maneiras paraescolher r fatores para serem expoentes de a e,consequentemente, complementá-lo com relação an, para serem os expoentes de b. Esse número demaneiras é
,!
!( )!n r
n nC
r r n r
= = −
2.3. Produtos especiais
Se eliminarmos os símbolos de adição e aspotências das variáveis a e b na forma triangular,deixando apenas os coeficientes, é possível montaro triângulo abaixo:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
⋮
2.3. Produtos especiais
Para qualquer inteiro positivo n,
0 1 1 2 2
1 1 2 2
Binômio de Newton
( )0 1 2
( )0 2
n n n n n r r n n n
n n n n n r r n
n n n n na b a b a b a b a b a b
r n
n n na b a a b a b a b b
r
− − − −
− − −
+ = + + + + + +
+ = + + + + + +
… …
… …
�����������������������������
14
2.3. Produtos especiais
Exemplo:
5 0 5 1 5 1 2 5 2 3 5 3 4 5 4 5 5 5
5 5 4 2 3 3 2 4 5
( ) 1 5 10 10 5 1
( ) 5 10 10 5
x a a x a x a x a x a x a x
x a x ax a x a x a x a
− − − − −+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 1 24 3 22 4 2 2 2
3 41 02 2
2 4 4 3 2 4 6 8
(2 ) 1 2 4 2 6 2
4 2 1 2
(2 ) 16 32 24 8
x y x y x y x y
x y x y
x y x x x y xy y
− = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +
+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
− = − + − +
15
2.4. Fatoração por grupamento
Exemplo:
3 2 2 2( ) ( ) ( )( )acx adx bcx bd ax cx d b cx d ax b cx d+ + + = + + + = + +
3 2 2 23 2 6 4 (3 2) 2(3 2) ( 2)(3 2)x x x x x x x x− − + = − − − = − −
16
Exemplo 1: Aplique a Fórmula Quadrática paraachar todos os zeros dos seguintes polinômios.(a) 4x2 + 6x + 1, (b) x2 + 6x + 9 e (c) 2x2 – 6x + 5.
2.5. Exemplos
2
2
2
4 6 36 16 6 20 6 2 5 3 5( )
2 8 8 8 4
4 6 36 36 6( ) 3
2 2 2
4 6 36 40 6 4( )
2 4 4
b b aca x
a
b b acb x
a
b b acc x
a
− ± − − ± − − ± − ± − ±= = = = =
− ± − − ± −= = = − = −
− ± − ± − ± −= = =
No exemplo 1, os zeros na parte a são irracionais, eos zeros na parte c são imaginários. Em ambos os casos aquadrática se diz irredutível, porque não pode serdecomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais.
17
Exemplo 2: Ache os zeros dos seguintes polinômiosquadráticos. (a) x2 - 5x + 6, (b) x2 - 5x - 6 e(c) 2x2 + 5x - 3.
Os zeros são (a) x = 2 e x = 3, (b) x = -1 ex = 6 e (c) x = 1/2 e x = -3.
2.5. Exemplos
2
2
2
( ) 5 6 ( 2)( 3)
( ) 5 6 ( 1)( 6)
( ) 2 5 3 (2 1)( 3)
a x x x x
b x x x x
c x x x x
− + = − −
− − = + −
+ − = − +
18
Pode ser difícil achar os zeros de polinômiosde grau três ou grau superior. Entretanto, conhecidoque seja um dos zeros de um polinômio, pode-seutilizar este zero para reduzir o grau do polinômio.Por exemplo, se x = 2 é um zero do polinômio x3 – 4x2
+ 5x – 2, sabemos que (x – 2) é um fator e, pordivisão, podemos fatorar o polinômio como segue:
x3 – 4x2 + 5x – 2 = (x – 2)(x2 – 2x + 1) = (x – 2)(x – 1)2
Como alternativa, muitos preferem utilizar adivisão sintética para reduzir o grau de umpolinômio.
3. Fatoração de polinômios deterceiro grau ou de grau superior
19
Dado x = x1 é um zero de ax3 + bx2 + cx + d.
3.1. Divisão sintética para umpolinômio cúbico
a
a b c dx1
0
Coeficientes para o fator quadrático
Padrão vertical:Somar termos
Padrão diagonal:Multiplicar por x1
20
Por exemplo, efetuando a divisão sintéticano polinômio x3 – 4x2 + 5x -2, utilizando o zerox = 2, obtemos o seguinte:
3.1. Divisão sintética para umpolinômio cúbico
11 -2
2 -4 2
1 -4 5 -22
0
(x – 2)(x2 - 2x + 1) = x3 – 4x2 + 5x - 2
Padrão vertical:Somar termos
Padrão diagonal:Multiplicar por x1
21
Ao utilizar a divisão sintética, leve em contatodos os coeficientes – mesmo que alguns sejamzero. Por exemplo, se sabemos que x = -2 é umzero de x3 + 3x + 14, podemos aplicar a divisãosintética como segue:
3.1. Divisão sintética para umpolinômio cúbico
71 -2
-2 4 -14
1 0 3 14-2
0
(x + 2)(x2 - 2x + 7) = x3 + 3x + 14
Padrão vertical:Somar termos
Padrão diagonal:Multiplicar por x1
22
Uma forma sistemática de achar os zerosracionais de um polinômio consiste em aplicar oTeorema do Zero Racional.
Se um polinômio
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + ao
tem coeficientes inteiros, então todo zero racionalé da forma x = p/q, onde p é um fator de a0 e q éum fator de an.
4. Teorema do zero racional
23
Exemplo 3: Ache todos os zeros reais daexpressão 2x3 + 3x2 – 8x + 3.
Fatores do termo constante: ± 1, ± 3
Fatores do coeficiente líder: ± 1, ± 2
Os zeros racionais possíveis são os fatoresdo termo constante divididos pelos fatores docoeficiente líder.
1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
4. Teorema do zero racional
24
Testando esses zeros possíveis, vemos quex = 1 é um deles.
2(1)3 + 3(1)2 – 8(1) + 3 = 2 + 3 – 8 + 3 = 0
4. Teorema do zero racional
-32 5
2 5 -3
2 3 -8 31
0
(x – 1)(2x2 + 5x - 3) = 2x3 + 3x2 - 8x + 3
Padrão vertical:Somar termos
Padrão diagonal:Multiplicar por x1
25
Finalmente, fatorando a quadrática
2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x + 3),
temos
2x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x – 1)(2x – 1)(x + 3)
e podemos concluir que os zeros são x = 1, x = 1/2e x = -3.
4. Teorema do zero racional