SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

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Universidade Federal de Uberlândia – Avenida João Naves de Ávila, no 2121, Bairro Santa Mônica – 38408-144 – Uberlândia – MG

RESOLUÇÃO No 30/2011, DO CONSELHO DE GRADUAÇÃO

Dispõe sobre a composição do Plano de Ensino para os componentes curriculares dos cursos de graduação da Universidade Federal de Uberlândia.

O CONSELHO DE GRADUAÇÃO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA, no uso da competência que lhe é conferida pelo art. 16 do Estatuto, em reunião realizada aos 15 dias do mês de julho do ano de 2011, tendo em vista a aprovação do Parecer no 62/2011 de um de seus membros, e CONSIDERANDO que o art. 28 das Normas Gerais da Graduação vigentes dispõe sobre o Plano de Ensino; CONSIDERANDO a necessidade de definição da composição de um Plano de Ensino para os componentes curriculares dos cursos de graduação; e ainda, CONSIDERANDO que o Plano de Ensino também deve conter as atividades avaliativas do docente, conforme art. 167 das Normas Gerais da Graduação do Conselho de Graduação,

R E S O L V E:

Art. 1o Aprovar a composição do Plano de Ensino para os componentes curriculares dos cursos de graduação da Universidade Federal de Uberlândia.

Parágrafo único. Fica aprovada a composição do Plano de Ensino, conforme anexo a esta Resolução.

Art. 2o Esta Resolução entra em vigor nesta data.

Uberlândia, 15 de julho de 2011.

DARIZON ALVES DE ANDRADE Vice-Presidente no exercício do

cargo de Presidente

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ANEXO DA RESOLUÇÃO No 30/2011, DO CONSELHO DE GRADUAÇÃO

Instituto/Faculdade de Matemática

COLEGIADO DO CURSO DE AERONÁUTICA/MECATRÔNICA

PLANO DE ENSINO

1. IDENTIFICAÇÃO

COMPONENTE CURRICULAR: Métodos Matemáticos aplicados à Engenharia

UNIDADE OFERTANTE: FAMAT

CÓDIGO: FAMAT49040 PERÍODO/SÉRIE: 4º TURMA:

CARGA HORÁRIA NATUREZA

TEÓRICA: 75 PRÁTICA: 0 TOTAL: 75 OBRIGATÓRIA: ( x ) OPTATIVA: ( )

PROFESSOR(A): Ana Maria Amarillo Bertone ANO/SEMESTRE:2012/2º

OBSERVAÇÕES:

2. EMENTA

Funções de uma variável complexa; transformada de Laplace; Séries de Fourier; Integrais e transformadas de Fourier; Equações diferenciais parciais.

3. JUSTIFICATIVA

Um curso de Métodos Matemáticos é essencial para o estudante desta área: ele inclui ideias básicas como as de números complexos, muito importantes para várias aplicações, assim como temas mais avançados de métodos matemáticos como são a série e transformada de Fourier e a transformada de Laplace. Suas aplicações a modelos de engenharia específicos, completa um panorama teórico-prático, fundamental para o crescimento acadêmico.

4. OBJETIVO

Objetivo Geral: Aplicar efetivamente os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral na solução e na

análise de problemas de engenharia.

Objetivos Específicos: Explorar instrumentos computacionais como o Geogebra e Sage.

5. PROGRAMA

1. NUMEROS COMPLEXOS

1.1 Números complexos, operações.

1.2 Forma polar dos números complexos, potenciação e radiciação.

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1.3 A exponencial complexa.

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1 A função gama.

2.2 Funções seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial.

2.3 Definição e condições de existência da transformada de Laplace.

2.4 Propriedades fundamentais, transformada de funções especiais, teorema do deslocamento.

2.5 Transformação de problemas de valor inicial.

2.6 Transformada inversa: método das frações parciais.

2.7 Transformadas de funções periódicas.

2.8 Funções de Heaviside e função impulso e suas transformadas.

2.9 Teorema da Convolução.

2.10 Aplicação: vibrações mecânicas.

3. SÉRIES DE FOURIER

3.1 Funções periódicas.

3.2 Séries de Fourier e condições de Dirichlet para convergência.

3.3 Expansão de funções periódicas em séries de Fourier, fenômeno de Gibbs.

3.4 Expansão de funções periódicas pares e de funções periódicas ímpares em séries de Fourier.

3.5 Expansão de funções não-periódicas em séries de Fourier.

3.6 Diferenciação e integração de séries de Fourier.

3.7 Identidade de Parseval.

3.8 Séries de Fourier na forma complexa.

4. INTEGRAIS DE FOURIER

4.1 Integral de Fourier como um limite de uma série de Fourier.

4.2 Identidade de Parseval para integrais de Fourier.

4.3 Integrais cosseno e seno de Fourier.

4.4 Transformada de Fourier.

4.5 Transformadas cosseno e seno de Fourier.

4.6 Teorema da Convolução.

5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

5.1 Definição, classificação e redução à forma canônica.

5.2 Exemplos de equações diferenciais parciais clássicas.

5.3 Princípio de superposição e separação de variáveis.

5.4 Condições de contorno e condições iniciais, problemas de valores de contorno.

5.5 Resolução da equação unidimensional do calor.

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6. METODOLOGIA

A metodologia usada será expositiva para os assuntos novos, usando os recursos audiovisuais, computacionais, como o Geogebra, quadro e giz . Para a parte prática de resolução de problemas e exercícios se dará ênfase à participação dos alunos no quadro, em forma individual e em grupo, dando tarefas de resolução individual ou em equipe para preparação das avaliações. Serão ministrados seminários por parte dos alunos para iniciar uma experiência do tipo científico-acadêmico e a modo de incentivo das discussões nesse sentido.

Cronograma do curso:

Novembro

26 Números complexos. Definição. Geometria e álgebra básica dos números complexos.

27 Geogebra: uma introdução ao uso do software. Rotina sobre soma, produto por um escalar, conjugado e inverso de um complexo. Visualização geométrica.

Dezembro

03 Potenciação, fórmula de Moivre e o cálculo de raízes de números complexos.

04 Uso do Geogebra para cálculo e visualização geométrica das raízes de um número complexo.

10 A exponencial complexa. Fórmula de Euler. Visualizações no Geogebra da expansão do seno e cosseno em séries de potências. Integral de uma função complexa.

11 A transformada de Laplace. Definição, cálculo operacional e propriedades.

17 Geogebra: gráfico da transformada de Laplace e sua inversa.

18 Funções seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial. Definição e condições de existência da transformada de Laplace.

24, 25 e 31 de Dezembro: Feriados

2013

Janeiro

1-6 Feriado

7 Funções periódicas. Séries trigonométricas. Visualização no Geogebra.

8 Propriedades fundamentais, transformada de funções especiais.

14 Seminário Tópico 1: Função Gamma. Gráfico no Geogebra. Transformada de Laplace, teorema do deslocamento. Aplicações à Mecatrônica.

15 Seminário de Tópico 1: alunos de aeronáutica. Tabela de Transformada de Laplace de funções básicas.

21 Seminário Tópico 2 Transformada de Laplace inversa e método das frações parciais. Exemplo e gráfico no Geogebra. Aplicações à Mecatrônica.

22 Seminário Tópico 2 alunos de Aeronáutica.

28 Seminário Tópico 3 Transformada de Laplace de funções periódicas e problemas de valor inicial. Exemplo e gráfico no Geogebra. Aplicações à Mecatrônica.

29 Seminário Tópico 3 alunos de Aeronáutica.

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Fevereiro

4 Seminário Tópico 4 Transformada de Laplace da função de Heaviside e da função impulso. Exemplo e gráfico no Geogebra. Teorema de convolução e aplicações à Mecatrônica.

5 Seminário Tópico 4: Alunos de Aeronáutica.

11 Carnaval

12 Carnaval

18 Seminário Tópico 5: Vibrações mecânicas e outras aplicações da transformada de Laplace.

19 Séries de Fourier e condições de Dirichlet para convergência. Expansão de funções periódicas em séries de Fourier.

25 Seminário Tópico 1: Transformada de Fourier. Definição. Exemplo de gráfico no Geogebra. Transformadas cosseno e seno de Fourier. Teorema da Convolução. Exemplo de gráfico no Geogebra. Aplicações à Mecatrônica.

26 Seminário Tópico 1: Alunos de Aeronáutica.

Março

4 Seminário Tópico 2: Integral de Fourier como um limite de uma série de Fourier. Identidade de Parseval para integrais de Fourier. Exemplo e gráfico no Geogebra. Integrais cosseno e seno de Fourier. Aplicações à Mecatrônica.

5 Seminário Tópico 2: Alunos de Aeronáutica.

11 Seminário Tópico 3: Diferenciação e integração de séries de Fourier. Exemplo e gráfico da solução no Geogebra. Identidade de Parseval. Aplicações à Mecatrônica.

12 Seminário Tópico 3: Alunos de Aeronáutica.

18 Seminário Tópico 4: Expansão de funções não-periódicas em séries de Fourier. Exemplo e gráfico no Geogebra. Aplicações à Mecatrônica.

19 Seminário Tópico 4: Alunos de Aeronáutica.

25 Seminário Tópico 5: Transformada de Fourier. Transformada do seno e do cosseno. Teorema da Convolução. Aplicação da Integral de Fourier à mecatrônica.

26 Equações diferenciais parciais. Definição, classificação e redução à forma canônica. Exemplos de equações diferenciais parciais clássicas.

Abril

1 Princípio de superposição e o método de separação de variáveis. Condições de contorno e condições iniciais, problemas de valores de contorno.

2 Prova de exercícios de transformada de Laplace e Fourier.

8 Preparação para entrega do trabalho sobre a equação do calor unidimensional

9 Entrega do trabalho sobre a equação do calor unidimensional.

15 – 16 Prova substitutiva e vista dos trabalhos.

7. AVALIAÇÃO

Será constituída de tres provas:

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1. Elaboração de um trabalho escrito sobre de Equações Diferenciais Parciais. Trabalho em grupo. Valor 100 pontos

2. Dissertativa sobre a Transformada de Laplace e sobre a Serie e Transformada de Fourier e suas aplicações à área de Aeronáutica/Mecatrônica, usando os recursos computacionais Geogebra. Trabalho em grupo. Valor 100 pontos

3. Prova escrita com base no Caderno de Exercícios sobre todos os tópicos da disciplina. Trabalho individual. Valor 100 pontos.

A média final será a soma do valor das três provas dividido por 3.

8. BIBLIOGRAFIA

Bibliografia Básica

KAPLAN, W. Cálculo Avançado. Vol. 2. São Paulo: Edgard Blucher & Editora da USP, 1972.

KREYSZIG, E. Matemática Superior. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1979.

BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de

Contorno. 9ª. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2010.

ZILL, D. G. & CULLEN, M. S. Equações Diferenciais. Vols. 1 e 2, 3a. ed. São Paulo: Makron Books,

2000.

Bibliografia Complementar

ÁVILA, G. S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e

Científicos, 1990.

HSU, H.P. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1973.

EDWARDS, C. H. & PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares - com problemas de contorno. 3a. ed.

Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1995.

SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier. São Paulo: McGraw-Hill. (Coleção Schaum). 1976.

SPIEGEL, M. R. Transformadas de Laplace. São Paulo: McGraw-Hill. (Coleção Schaum). 1965.

MEDEIROS, L. A. & ANDRADE, N. Iniciação às Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro: LTC -

Livros Técnicos e Científicos, 1978.

WYLIE, C. R. & BARRETT, L. C. Advanced Engineering Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1995

9. APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/______/______

Coordenação do Curso de Graduação em: _______________________________________________